応用確率論演習問題 (1/30) 3 台のコンピュータを一人で修理する． N(t

応用確率論演習問題 (1/30)
3 台のコンピュータを一人で修理する．N (t) を故障中のコンピュータの台数とし，
それぞれのコンピュータは平均 30 分おきに故障し，修理にかかる時間は平均 60
分であるという．
1) N (t) はどのような BD 過程となるか．
2) すべてのコンピュータが故障している確率を求めよ．
3) コンピュータが 1 台も故障していない確率を求めよ．
4) 故障台数の平均値はいくらか．
解答例;
1) 単位時間における故障生起率は 1/30，修理生起率は 1/60 である．


 3 − n , n = 0, 1, 2,
 1 , n = 1, 2, 3
λn =
, µn = 60
30
0,
0,
n ≥ 3,
n = 0, n ≥ 4,
とすれば N (t) はパラメータ λn , µn を持つ BD 過程である．
2) pn (t) = P (N (t) = n)，qn = lim pn (t) とおけば，
t→∞

3
1

p00 (t) = − p0 (t) + p1 (t),



30
60

{
}
(3 − n)
1
4−n
1
0
pn (t) = −
+
pn (t) +
pn−1 (t) + pn+1 (t),


30
60
30
60



pn (t) = 0, n ≥ 4.
t → ∞ として

1
3

0 = − q0 (t) + q1 (t),



30
60

{
}
(3 − n)
1
4−n
1
0
=
−
+
qn (t) +
qn−1 (t) + qn+1 (t),


30
60
30
60



qn = 0, n ≥ 4.
これを解いて
n = 1, 2,
n = 1, 2,

3!
 (4 − n) × 60 q
2n q0 , n = 0, 1, 2, 3,
n−1 = · · · =
30
(3 − n)!
qn =

0,
n ≥ 4.
∞
∑
qn = 1 より，
n=0
q0 =
{∑
3
3!
2n
(3
−
n)!
n=0
}−1
=
1
.
79
すべてのコンピュータが故障している確率は
q3 =
2) q0 =
3)
3
∑
n=0
1
．
79
nqn =
3
∑
n=0
n
3! 3 1
48
2
=
.
0! 79
79
3!
1
6 + 48 + 144
198
2n
=
=
.
(3 − n)! 79
79
79
1