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9 1 ( 3 7) 2004年6 月 30 日 連続講座 断層 映像法の 基礎第 16 回 M悶におけるその他のアーチフ ァク ト 篠原広行 1) ・ 大淵新 1) ・坂口和也 1) ・ 今江禄ー 1) ・ 薄葉大輔 1) 橋本雄幸2) 1 ) 東京都立保健科学大学 2) 横浜創英短期大 学 放射線学科 情報処理!学科 フ ーリ エ級数展開は周期間数について行うことが はじめに 第 12 回と 第 1 5 回で、再構成像に混入するアーチファ f悼す引 a n cos苧吋n sin苧x) 'EA ー チファク トを取 り上げた 。 ) ( クトから、被写体が動いたときに生じるモ ー ションア できるが、その式は、 今回は、 MRIの画像再構成において再構成画像に混 入するモーションア ー チファク ト以外 のア ー チファク ト について見ていく 。 まずは、境界線からリング状に 波打つような筋が生じるギブスのリンギングアーチ ファク ト について解説する 。 次に 、サ ンプ リ ングの間隔 によって折り返しが出てしまうエイ リ アジングアーチ となる 。 ここで、 Tは周期間数の周期に 当 たり、 a n と b n は、 a n 寸 ff(x)cos竿出(刊は) ( 2 ) b n = 有 f収)sin 竿xdx ( 3 ) (n=0 ,l, 2....) ファク ト について解説する 。 最後に、分子の構造によっ て共鳴周波数が変化することによりイメ ー ジングの から求めることができる 。 リンギングアーチフ ァク ト 検出位置がシフ トし てしまう 化学シフ ト ア ー チファク の現象が分かりやすいように、矩形波を用いてシミュ レー ションする 。 図 1 に示すような x=O で左右対称と トについて解説する 。 なる矩形波を (2)、 (3)式を用いてフーリエ係数を求め、 1 . リンギ、ングア ー チファク ト 2. エイリ アジングアーチファクト フ ーリエ級数展開すると、 ∞ n - I cos[2πx(2n-1)x] f(X)=L( 一 1) 3. 化学シフ トアーチフ ァク ト ( 4 ) 2n-1 1 . リンギンク‘ アーチファク卜 となる 。 こ の式を分かりやすく展開すると、 ギブスの リ ンギングア ー チファク トは、 フ ーリ エ変 換を用いた画像に混入するアーチファク トとし てよ く知られている 。 このアーチファク ト は、フ ーリエ 級 数展開でのフ ーリエ合成の際にフ ーリエ級数の和を f ( x ) = c o s2πxー cos6πx 3 . cos10πx + 一一一一一一 5 cos14πx . cos18πx 9 ( 5 ) 一一 7 途中で、切ってしまったり、高周波成分が無くなってし ま ったり したときに起こる 。 MRI の画像再構成では、 となる 。 第 l 項から第4項までそれぞれフ ーリ エ合成の 離散フ ーリエ 変換を用いることはこのシ リー ズの中 計算をしたグラフを 図 2(a)~(d) に示す。 図 1(司では x の で何度も話したが、離散フ ーリ エ変換はフ ーリ エ合成 範囲を -1.5 から 1.5 までの3周期分を 表示し、 図 1(b)では そのものであり 、 計測デー タは有限であるため 、 その x の範囲を -0.5 から 0.5 までの I 周期分を表示したが、 フ ーリエ級数の次数の和は途中で切る ことに なる 。 こ 図2以降ではギブスのリンギングアーチフ ァク ト を見や のため計測デ ー タに よ っては 、こ の リ ンギングア ー チ すくするために l 周期分のみを 表示する 。 図2 を見ると ファクトが顕著に現れることがある 。 リ ンギングア ー 波の数が増えながら徐々に矩形波に近づいていく様子 チファク ト の現れる様子を数式とグラフを使ってシ が観察される 。 さらに、 図 3 に第 10項までの和と第 50 ミュ レーションしてみる 。 項までの和を計算したグラフを示す。 第 10項までの和 別刷 請求先: 干 11 6-8551 東京都荒 川 区東尾久 7-2-10 東京都 立 保健科学 大 学 保健科 学 部放射線学 科 TEL:0 3 3 8 1 9 1 2 1 1 FAX:0 3 3 8 1 9 1 4 0 6 篠原広行 9 2 . ( 3 8 ) 断層映像研究会雑誌第 31巻第2号 図1 周期が1 で'x=Oで‘左右対称の矩形波 ( a )3周期分を表示 図2 ( b )1 周期分を表示 矩形波のフーリ工級数展開を有限の項まで フー リ工合成したグラフ 図4 数値ファン卜ムの形状 画素数は 128x128で\1 辺は 20cm。 楕円の組み 合わせで作られている 。 ユートが見られる 。 このオーバーシュー トはフーリエ 合成を無限大 ま で続けても無くなることはなく、約9% (司第1 項までの合成 のオ ーバ ー シュ ート が生 じることが知られている 。 こ れをギブス現象と呼んで、いる 。 次に リンギングアーチファク トを 数値ファントムの画 像でシミュ レー ション する 。 ここで用い る数値 フ ァ ント 5 1 ムの画像を 図4に示す。 数値フ ァン トムは 128X 128画素 の画像とする 。 再構成法は 、 MRIの2次元フ ー リエ変 換法を用いる 。 2次元フ ー リエ変換法の計測データは、 (c) 第3l.頁までの合成 図3 (d) 第4項までの合成 日 63 sre(k ， m)=~ L. S(i，j)cos[2xπx42.58xl06 x A. 2 0 .. .~_A . 20 .~ _< . ~ _O 4x一一xixkxlO-4 + 一~xj x m x lO-ijx lO-J)) ( 0 . 1xl O 1 2 8 • .• .1 2 8 矩形波のフーリ工級数展開をさらに大きな項まで フー リ工合成したグラフ ( 6 ) . .~ 63 63 L. -S(i，j)sin[2xπx42.58x10 6 x ( 7 ) A 2 0 .. . ~_A . 2 0 . ~_O • ~_O (O.l xlO-4 x一一 x ixkxl0-4 + 一~xjxmx lO-ijx lO-J)) 1 2 8 • .. .~ .1 2 8 sim(k，m)= ~ 1 . 1 と なる。 ここで、 kはサ ンプリ ング点を表し、 oから計 測数n までの 整数値をとり、 m は位相エ ンコ ードの大 きさを表 し、 -n/2 から n/2-1 ま での整数値 をと る 。 そ (b) 第50項までの合成 の他 の 数値については、第 10回の2次元フ ー リエ変換 法のシミ ュレーションに 詳しく 載 っ ている 。 今回 の リ ンギングアーチファクトに関する部分は 、サ ンプ リン グ点の数と位相エ ンコ ードの数である 。 両者において、 においても矩形波の値が極端に変わ って いる不連続 その数が少ないとこ ろで、打 ち切 って しまうとリンギン 点から波状のアーチファク トが生じている 。 第50項ま グア ー チフ ァク トが生じることになる 。 ここでは 、サ で計算したとしても、矩形波の不連続点からの波状の ンプリング点の計測数と位相エンコー ド の変化の数 アーチファク トは消えていない。 さらに特徴的なこと を 等 しく n とおいているが、 それぞれにおいて別々に に 、 不連続点で値が大きくなるところではその値がよ 異な っ た数で打ち切れば、 そ れぞれの方向に リン ギン り大 きくなって から波打ち、小 さ くな ると こ ろで はそ グア ーチフ ァ ク ト が生じる 。 実際に、サ ンプリ ングと位 の値がより小さくな っ て から波打つ よ うなオーバーシ 相エ ンコードにおい て32， 64， 128の値で計測を行った 9 3 ( 3 9) 2004年 6 月 30 日 場合の再構成画像を 図 5(a)~(i) に示す。 サ ンプ リ ング じている 。 両者の数が等 しい場合は、同 心円状 に波打 の方向がx方向で、あるため、サンプ リ ングの数が少な っ たアーチフ ァ クトが生じている 。 このように、フ ー い場合、縦縞のア ーチ ファク ト が生じている 。 また、 リエ空間のデータを少ないところで、切 っ てしまうとそ 位相エンコードの方向がy方向であるため、位相エン の方向に波状のリンギングアーチフ ァ クトが生じる 。 コ ー ドの数が少ない場合、横縞のア ー チファクトが生 MRIでは、データがフ ーリ エ空間で計測されるので、 図5 サンプリングの計測数と位相エンコードの変化の数を変えて再構成した画像 (a) サンプリンクの計測数: 3 2 位相エンコードの数: 3 2 (b) サンプリングの計測数 :64 位相エンコードの数: 3 2 (c) サンプリンクの計測数: 1 2 8 位相エンコードの数: 3 2 3 2 (e) サンプリングの計測数 :64 位相エンコードの数 :64 (f) サンプリングの計測数: 1 28 位相エンコードの数 :64 (9) サンプリンクの計測数: 3 2 位相エンコードの数: 1 28 (h) サンプリングの計測数 :64 位相エンコードの数: 1 28 (i) サンプリングの計測数: 1 28 位相エンコードの数: 1 28 (d) サンプリングの計測数: 位相エンコードの数 :64 断層映像研究会雑誌第31 巻第2号 9 4 ( 4 0 ) 図6 矩形波のフーリエ級 数展開を第 101頁までフー リエ合成する際に、第 6!頁 から第 10項までの値を少 1.5 1 しずつ小さくしながら加え で約20% ま でソj、さくして加えた結果を 図6 に示す。 図 3(a) に比べると波の出方が小さくなっている 。 これは 、 リ ンギングア ー チファクトが軽減されたことを意味 し ている 。 この リ ンギングアーチファク ト の軽減処理を数値フ たグラフ ァントムシミュレ ー ションにおいてサンプリングと位 相 エ ンコ ード の数が両者とも 64のときに行 っ たもの を図7に示す。 こ のシミュレ ー ションでは、 フーリエ次 数の第16項から値を徐々に減少させ、 第32項で約ω% このアーチフ ァク ト は計測数に大きく係わ っ てくるこ になる よ うに し て加 えてある 。 図7(a)(b) は処理を行わ とになる 。 ない場合のそれぞれ実部と虚部の計測データで、図 リ ンギングア ー チファク トは、 フ ーリ エ空間での次 7(c) はその計測 デー タから再構成した画像である 。 図 数をいきなり 切 る こ とによって生 じ るので、 ある程度 7(d)伶) は リ ン ギ ングア ー チファク ト の軽減処理を施し の次数から次数を 切 ると こ ろ ま で少 し ずつ値を落 と た実部 と 虚部の計測デー タで、 図7仰 はそのデー タか していくことに よ って 、 ア ー チファク ト を軽減さ せ る ら再構成 した画像である 。 図7(りでは、リンギン グアー ことができる 。 図3(a) に示 し た第 10項までのグ ラ フに チフ ァ ク ト が軽減されている 。 ただし、この処理は ロ おいて 、 第6項から徐々に値を 小 さくしながら第 10項 ーパスフィ ル タの処理と同じ よ うな処理になるので、 図7 サンプリングと位相エンコードの数が両者ともに64のとき、リンギングアーチファク卜の軽減処理を施さないデータ と施したデータの実部と虚部の計測データとそのデータを元に再構成した画像 ( c )(a)、(同のデータを元に2次元 (a) リンギングアーチファクトの軽減 処理を施さない実部の計測データ (b) リンギングアーチファクトの軽減 処理を施さない虚部の計測データ フーリエ変換で再構成し た 画像 (d) リンギンクアーチフ ァ クトの軽減 処理を施した 実部の計測デー タ (e) リンギングア ー チフ ァク トの軽減 処理を施した 虚部の計測 デー タ ( f )(d)、 (e)のデー タを 元 に2次元 フー リ 工 変換で再構成し た 画像 2004年 6 月 30 日 9 5 ( 41 ) X 周波数領域 ー一泊 =u r Jn 2ﾟ x 図 8 実領域でサンプリングした場合のサン プリング間隔と周波数領域の関係 軽減処理を行わない画像に比べ全体が少しぼけたよ うな画像になる 。 -f m . v= ) max- 2 L lx ( 9 ) の間にあるアナログ信号である 。 信号の最大周波数を 2. 工イリアジングアーチファクト 調べるには周波数領域を見ればよいので、元のアナロ エイリアジングアーチファク ト は、デ ー タのサンプ グ信号をフーリエ変換すればよいことになる 。 実領域 リング間隔によ っ てフーリエ変換した領域において、 でサンプ リ ングした場合のサンプ リ ング間隔と周波数 データの折り返しが出てしまう現象である 。 これは、 領域の関係を 図 8 に示す。 図8 に示すとおり、周波数領 サンプリング定理としてよく知られている法則から説 域では 1/ .6 x の間隔で、帯域制限されたデータが繰り 明することができる 。 返し並んでいると考えられる 。 もし、アナログ信号の サンプリング定理とは、アナ ロ グ信号とデジタル信 号を結びつける定理であり、 「 アナログ信号をデジタ 、 ‘，F 1 2L lx ' s ・、 ~ 町出 ， Aリ 上の周波数でサンプリングしてデジタル化すれば、 元 れる最大周波数よりも大きい場合、式で表すと、 1A ル化する場合に、アナログ信号の最大周波数の2倍以 実際の最大周波数 fmax が、サンプリング間隔で導出さ のアナログ信号を完全 に復元することができる 」 とい うものである 。 これをアナログ信号の最大周波数 fm部 の場合はどうなるであろうか。 この場合、 図9 に示すよ とデ ジ タル化のサンプリング間隔ム X との関係に 言 い うに 1/ ム X の間隔で繰り返し並んだデータが、隣のデ 換えると、「アナログ信号を完全に復元するためには 、 ー タと重なってし ま う 。 隣のデー タは、自身の逆側の Llx= ~ 日 2f max ・一 デー タと等しいので、折り 返してデー タが入 っ てきた ( 8 ) ことになり、この現象をフーリエ空間でのエイリアジ ングア ーチ ファク ト と呼んでいる 。 というサンプリング間隔でサンプ リ ングする 必要があ る 」 となる 。 では、このサンプ リ ング定理とフー リ エ変換の関係 MRIの計測では、フーリエ空間でサンプリングする ので、折り返しによるエイリアジングア ー チフ ァ クト は再構成された画像空間に入り込んでくる 。 この現象 を考えてみる 。 ム x でデータをサンプリングしたとす を、数値ファントムを用いたシミュレーションで再現 ると、そのデ ー タが再現できるのは最大周波数が する 。 数値ファン ト ムは 図4 と同じものを用いる 。 2次 9 6 ( 4 2 ) 断層映像研究会雑誌 +τ7+ 第 3 1巻 第 2号 X 周波数領域 図9 /イ 2ﾟ 1x アナログ信号の実際の最大周波数 f max が、サンプリング間隔で導出される最大周波 数よりも大きい場合のサンプリング間隔と周 波数領域の関係 ん副 エイ ')7 ジングアーチファ クト 元フ ーリエ 変換法でのシミュレ ー ションは、 (6)、 (7)式 を用いて行うが、この式の中で、 は O.l msのサンプリン s'sm(k，O)zE-S(j，O)sin(2×πx42.58XI06 x ( 1 2 ) , 20 . . . . . .~_ . O，l x lO- 4 x一一 xj x k x I0づ) 1 2 8 グ間隔でサンプリングを行い、このサンプリング間隔 に合わせて位相エンコ ード をかけている 。 サンプリン となる 。 ここで、 k はサンプリング点を表し、 0 から計 グ間隔とそれに合わせて位相エンコードを変えてデ 測数 n までの 整数値をとり、 O は投影の角度を表す 。 ータを取り、再構成した画像を 図 10 に示す。 (a) はサン その他の数値については、第 9 回の投影再構成法のシ プリング間隔を O.l ms、 (b) は O.l 5ms、 (c) は O.2msでサン ミュレーションに詳しく載っている 。 。方向の投影を プリングしている 。 位相エンコ ードは それぞれのサン O から π において 128投影、 64投影、 32投影でデータを プリング間隔に合わせて変化させている 。 図 10(b) で 取得し、 FBP法で再構成した画像をそれぞれ図 11(司 は上下方向に、 図10(c)では上下左右の方向に折り返し ~(件 に示す。 図 11(c)の32投影においては、角度方向の によるエイリアジングアーチファクトが見られる 。 サンプリングによるエイリアジン グア ーチフ ァク トが 投影再構成法においては、角度方向のサンプリング 放射状に現れている 。 このように、投影再構成法にお が少なくなると角度方向においてエイリアジングアー いては投影数が少ないと、角度方向にもエイリアジン チファク トが生じる 。 角度方向のサンプリングとは投 グアーチファクトが生じる 。 影数のことで、投影数が少ないということは角度方向 のサンプリング間隔が広がっていることを意味する 。 角度方向のエイリアジングアーチファクトを見るため に、投影再構成法について 図4 に示した数値ファント 3. 化学シフトアーチファク卜 被写体を構成する物質は、その分子構造によって水 素原子核が受 ける静磁場の大きさが若干異なってく ムを用いてシミュレー ションを行う 。 投影再構成法の る 。 水素原子核が受ける静磁場が異なると共鳴周波数 シミュレ ー ションの式は、 がシフトし、再構成したときの位置情報がずれてしま s'dk，O)=ES(j，O)cos(2×πx42.58xl0 6 x , .. ,-"Voxjxkx 20 .... .. . ..lO~_-3) . O,l x lO-4x 1 2 8 う 。 このために生じるアーチフ ァク トを化学シフトア ( 1 1 ) ーチフ ァク トと呼んで、いる 。 典型的な例に水と脂肪の 違いにより生じる化学シフトアーチファクトがある 。 NMR現象の角周波数と静磁場の関係は、 9 7 ( 4 3 ) 2004年6 月 30 日 図 10 2次元フーリ工変換法においてサンプリング間隔とそれに合わせた位相エンコードを変えてデータを取得し再構成 した画像 (a) サンプリング間隔 0.1ms で データを取得 図 11 (c) サンプリンク.間隔0.2msで・ (b) サンプリング間隔0.15ms で‘ データを取得 データを取得 投影再構成法において投影数を変化させてデータを取得し再構成した画像 (a) 投影数を 0 から π において (b) 投影数を 0 から π において 128投影でデータを取得 64投影でデータを取得 m h 田d p u Aリ qd 'EA- × 一 'EA- 凸り一 'EA- × 一 匂一1 び 一O hυ一 ' 。δ 一 A 岨 ( 1 3 ) X ω。 =yBo (c) 投影数を 0 から τ において 32投影でデータを取得 ( 1 6 ) で表されるが、物質の違いによる角周波数のずれは、 t:.ω'c = yδBo ( 1 4) となる 。 と表される 。 ここで y は磁気回転比で 6 は遮断定数で 謝辞 ある 。 水と脂肪の遮蔽定数の差は、約 3.5 X 10 - 6 であ 本稿で使用したプ ロ グラムの開発は、東京都立保健科学大 る 。 勾配磁場G を印加したとすると、距離のずれは、 t:.XrδBo =- - L G ( 1 5 ) となる 。 静磁場を1T、勾配磁場を O.l G/cm とすると位 置 のずれは、 (1 5)式より 学特定プ ロ ジェクト研究「生体内可視化技術 に関する教育 研究支援プログラムの開発」に よるものである 。 ダウンロードされた論文は私的利用のみが許諾されています。公衆への再配布については下記をご覧下さい。 複写をご希望の方へ 断層映像研究会は、本誌掲載著作物の複写に関する権利を一般社団法人学術著作権協会に委託してお ります。 本誌に掲載された著作物の複写をご希望の方は、 （社）学術著作権協会より許諾を受けて下さい。但 し、企業等法人による社内利用目的の複写については、当該企業等法人が社団法人日本複写権センタ ー（ （社）学術著作権協会が社内利用目的複写に関する権利を再委託している団体）と包括複写許諾 契約を締結している場合にあっては、その必要はございません（社外頒布目的の複写については、許 諾が必要です） 。 権利委託先 一般社団法人学術著作権協会 〒107-0052 東京都港区赤坂 9-6-41 乃木坂ビル 3F FAX：03-3475-5619 E-mail：[email protected] 複写以外の許諾（著作物の引用、転載、翻訳等）に関しては、 （社）学術著作権協会に委託致してお りません。 直接、断層映像研究会へお問い合わせください Reprographic Reproduction outside Japan One of the following procedures is required to copy this work. 1. 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