多次元 AR モデノレによるシステム解析 - 日本オペレーションズ・リサーチ

多次元 AR モデノレによるシステム解析
石黒
真木夫
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1
1
1
1
1
1
1
1
x (i)= 主 A(m)x (i -m)+õ (i)
はじめに
システム解析家の道具箱に入れておいてもらいたい方
法を提案しようと思う.多次元 AR モテ'ルを「分析する」
ための道具である.
身もふたもない言い方をすれば，
r 赤池と中 111 (
19
7
2
)
によって提案された“時系列の解析と制御のためのプロ
グラムパッケージ TIMSAC" に含まれる MULNOS
の機能を拡張して応用の範囲を広げるとともに，対話型
にして使いがってを良くしたフ。ログラム J の提案という
ことになる.将来の参照の際の便利のためにこれを AR.
DOCK と名つe けておく.
(
1
)
η1. =1
rAR モデルドック j のつもり
である.意味は「人間ドック」から類推されたい.
で表わされる.ここで ， {x(i)} は h 次元ベクトルの系列，
{A(m)} は h 次元係数行列である.時系列 j{x(i)} の振舞
いは，次数 M ，
係数行列 {A(m) :i=I ， 2 ， … ， M} および
ノイズ系列 {õ(i)} の分散共分散行列 Z などのパラメータ
によって決定される.
与えられたデータ {x (i) :i=I ， 2 ， … ， N} が (1)式の機構
で生成されると想定すると，最尤法でパラメータを推定
することができる.データが十分に長い場合，
i=I ， 2 ， … ， M} の推定値が満たすべき最尤方程式は近似
的に
N
M
i=1
.
¥
:
=
1
との影響をモデル上で調べることができる.結果を見な
がら対話的に切断，接続を試みることができる.
N
L
:x(i)xT(i-m)=L
:A(k)L
:x(
i-k)xT(i-m
i=1
ω)
m=I , 2,"', M
ARDOCK の特徴は，以下のとおりである.
-システムのコンポーネント聞の信号経路を切断するこ
{A(m):
となる.ここで (T) は転置の意味である.
Z に関してなにも制約を置かない場合には，
{A(m)}
の推定値が定まったという条件のもとで
(
i
)=x(i) ーさ
・ノイズ源相互が完全には相互に無相関でない場合にも
N
拙 =1
A(m)x(i-m)(i=1 ， 2， … ， N) ，
B =L
: (i)T(i)
対処できる.
2 番目の主張は， MULNOS を使ったことのない読者
には良くわからないかもしれないが， MULNOS を利用
するに当つての 1 つの障害がある程度回避できるという
として，
L:=長 B
(
3
)
が最尤法による Z の推定値になる.
ことである.
2
. 多次元 AR 毛デルとノイズ寄与率
時系列モデルの使われる分野は非常に広く，工学的な
データや，自然科学の分野のデータはもちろんのこと，
いわゆる文科系のデータ解析においても効果をあげてい
る.その中でとりわけ愛用されているのが AR モデルで
ある.
Z としてブロック対角型の構造，たとえば
L
:
=
(
L
:pp ...,
¥
L
:qq/
を仮定すると，
B ー (l!.pp
-¥Bqp
l
!
?
Bqq)
q
と B を分割して得られる {Bp q} を使って
L: pp =占Bpp ，
2
.
1 モデルのあてはめ
(
4
)
L: qq =会Bqq
と推定されることになる.対角プロックが一般に L 個の
多次元 AR モデルは
場合にも同様である.
いしぐろ
まきお文部省統計数理研究所
干 106 港区南麻布 4-6-7
1989 年 10 月号
Z としてプロック対角裂の構造を仮定するモデルの A
1C' 主，
プロックの個数を L として
© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.
(
3
5
)5
4
7
よって AR モデル (1)のパラメータの推定値が得られる.
AIC= 去 Nkt log27r+ NlogdetL
:!!+Nkt
MULNOS は，
(
5
)
+(k t 十 l)kt
で与えられる.
FPEC の結果にもとづいてノイズ寄与率
(9)を推定するプログラムである.ただし， MULNOS は
L: (4)が完全に対角型であること，つまり各雑音源が互い
2
.
2 パワースペクトルとノイズ寄与率
に独立であることを前提としている.
多次元 AR モデルのパラメータが推定できると，周波
数応答関数
DECONV は，雑音源から各測定値へのインパルス応
答を推定するプログラムであるが，本稿ではこれ以上触
A(f)=[I-EA(m)rwm]→ (O~f云 0.5)
(
6
)
間 =1
れる余裕がない.
2
.
4 ARDOCK
と，クロスパワースベクトル，
P(f)=A(f)L
:A*(f) (O~f云 0.5)η
がただちに計算できる.ここで I は単位行列.
(*)は共
ARDOCKは. MULNOS に手を加えて，一般の対角
型の分散共分散行列 L: (4) に対するノイズ寄与率(9)が推定
できるように改良したプログラムである.
役転置の意味である.
Z が(4)式のようなプロック構造をもっていると. (竹式
ARDOCK の機能を以下のように整理することができ
る.
から
(Pvv(
f
) Ppq(
f
)¥
(App(f)A阿(f)\
q
P(f)=
(
:PP
D
P
q
;
J
.
.
:
)
. A(f)=
(
-;PP ,'-:,:
;
J
.
.
:)
¥Aqp(
f
) Aqq(f)J
¥Pqp(f) Pqq(f)J
7
,':.:
として，
Ppp(f)=App(
f
)L
:ppApp*(f)+Apq(f)L
:qqApq*(f)
:ppAqp*(f)+Aqq(f)L: qqAqq本 (f)
Pqq(f)=Aqp(f)L
ノイズの分散共分散行現u: のプロヴク対角化:r;の構
造を変えたときの A 1C(5) の値が計算される .L: の構造
が変わることによってパワースベクトルの推定値，ノイ
ズ寄与率が変わる.
(
8
)
が得られる.
ベクトル x (i) の第 j 成分のパワ}スベクトルは行列
P(f) の(j .j) 成分として推定されるが. (8)式の意味する
ところは . Pjj が
[ARDOCK の繊能1
j の値によって
A 1C の値が小さい場合のものが最
も信頼できるはずだが，問題意識のあり方によっては，
AIC 最小のモデルを使えない場合もある.使用者の判
断で処理しなければならない.
マスキング操作:
1
. 周波数応答関数を計算する (6)式における AR モデ
Pj
j
(
f
)=[App(
f
)L: ppApp本 (f)Jjj
ルの係数行列 {A(m)} の任意の成分を強制的に 0 に置く
+[Apq(f)L
:qqApq*(f)Jjj
ことが可能.たとえば，マスク
あるいは
Pj
j
(
f
)=[Aqp(f)L
:ppAqp*(f)Jjj
1110000
1110000
1110000
1
1
1
1
1
1
1
1
1
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1
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1
1
1
1
1
1
1
:qqAqq*(f)Jjj
+ [Aqq(f)L
の形に書けるということである.いずれにせよ
パワースベクトル =L: pp に由来する部分
+L: qq に由来する部分
の形になる.右辺の 2 つの項は L 、ずれも周波数 f の関数
を (7x 7)係数行列 {A(m)} にかけることによって，
Ajk(m)=O(j =1.2 , 3 , k=I.2 , 3
.4, m=I , 2.
で常に正の値を取る.
Z pp に由来する部分
(
9
)
パワースベクトル
で定義される量をスベクトルに対する pp ブロックから
のノイズ寄与率と名づける .L: の対角プロックの数が一
….M)
とした場合を調べることができる.このような机上実験
によって，ある信号経路を切り離した時のシステムの挙
動の変化を容易に確認することができる.
2
. L: の任意の対角プロックを強制的に O にできる.
般の L 個であっても各ブロックからの寄与率を同じよう
これによって，あるノイズ源、が除去された時の効果を確
に定義することができる.
認できることになる.
2
.
3 TIMSAC
パワースペクトル表示:
TIMSAC パッケージに含まれている AR モデルにも
とづく多次元時系列解析用のプログラムとして.
MULNOS.DECONV 等がある.
5
4
8 (36)
FPEC.
FPEC を使うことに
各変数のパワースペクトルのグラフを見ることができ
る.細か L 、ことだが，対数スベクトルではなく，
r 生の」
パワースベクトルである.ノイズ寄与はパワースベクト
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f二
Time
図 1
ロータリーキルンの運転記録
ルカ丸、くつかのCiE) 項の和であると L 、う見方に立つも
変数までが被制御変数，つまり被制御システムであるセ
のだから，これとを並べるパワースベクトルは「生 J の
メントのロータリーキルンの状態を表わす変数，残りの
ものであるべきなのである.グラフ表示に当っては，ス
4 変数が制御入力である.図中 Wattage などと記され
ケーリングを固定して，モデル操作にともなうスベグト
ている略称の意味に関しては表 1 にまとめておいた.な
ルの形の変化だけでなく，高さの変化がすぐわかるよう
お，
になっている.
めに源データを 100 で割ってある.
3.
[MODEL1
]
数値例
7 チャンネルである.第 1 変数から第 3
1989 年 10 月号
AR モデルを当てはめたところ，次数
4 の AR モデルが AIC の意味で最良のモデルとして選
図 1 はセメントのロータリーキルンの運転記録であ
る.長さ 511 ，
グラフに入れる目盛りの数値の桁数を小さくするた
ばれた.ノイズ源の分散共分散行列を正規化した相関行
列は表 2 のようなものであった.非対角項が比較的小さ
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(
3
7
)5
4
9
表 1
変数番号
数
変
表 2
内
略称
'ι
内49Jd
Wattage
Pressure
Temperature
R
Fuel
せ
ZJZO
CR
ヲg
Damper
容
キルン駆動所要動力
クーラ下室圧力
窯尻ガス温度
キルン回転速度
燃料供給率
クーラグレート速度
1
.00
-0.15
-0.1
5
1
.00
ー O.
1
6
ー 0.01
O
.10
0.15 -0.03
ー 0.06
0.08
0
.
0
1
0.04
0.09
0.03 -0.09
0.02 -0.03
O
.1
0 0.08 0.04 1
.00 ー 0.11
0.09 -0.01
1 1
.00 ー 0.05 -0.06
-0.06 0
.
0
1 0.09 ー O. 1
1
.
0
0 0.04
0.15 0.03 0.02 0.09 ー 0.05
.00
-0.03 -0.09 -0.03 -0.01 -0.06 0.04 1
-0.16
1
.00
相関行列
ー 0.01
窯尻ダンパ開度
雑音によっている.低周波領域における第 1 変数と第 3
くノイズ源の問に顕著な相関は見られない.このモデル
を MODEL 1 と名づけよう.
MODEL 1
の AIC の値
は表 3 の第 1 行自に示されている 25765.92 であった.こ
れより次数の高いモデルも，低いモデルも AIC の値は
これより大きくなる.このモデルから推定される各変数
のパワ}スベクトルのグラフを図 2 の 1 段目に示す.
パワースベクトルを見ると，第 1 変数から，第 3 変数
までの被制御変数，および制御変数である第 4 から第 7
変数までのいずれをとっても，
ほとんど周波数 0.1 以下
の低周波部分にパワーが集中していることがわかる.ス
第 3 変数のスペクトルの構造も第 1 変数のものと似て
いる.パワーの大きな部分が被制御変数の発生する雑音
に由来するものである.直流成分における第 6 変数から
の寄与が顕著である.
制御変数のパワースペクトルに関しては，第 6 変数と
第 7 変数が比較的被制御変数の雑音に応答している以
外，ほとんど自分自身で閉鎖的な挙動を示しているのが
印象的である.
[MODEL3J
このスベクトルの構成を調べるために，
MODELl の分散共分散行列にマスク
イズ寄与率を推定することができる.制御変数のノイズ
と，被制御変数のノイズのあいだには相関がないが，被
制御変数のノイズ相互の間に，あるいは制御変数のノイ
1
0
0
0
0
0
0
0100000
0010000
0001000
0000100
0000010
0
0
0
0
0
0
1
ズ相互の聞には相関があると想定するモデルを作ってみ
よう. MODELl の分散共分散行列にマスク
1
1
1
0
0
0
0
1
1
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1
1
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0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
をかけて MODEL 2 を構成して調べてみる.このモデ
ルから推定される各変数のパワースベクトルは図 2 の 2
段目に示されている.
ノイズ寄与率の定義を拡張してあるの
で，必ずしも 7 変数全部が互いに独立でない場合にもノ
ペグトルの構造は単純である.
[MODEL2
J
変数からの寄与が大きいのが目だつ.
1 段目の結果とほとんど変わらな
x3
をかければよい.相関行列が 3
影響によるものである. MODEL2 の AIC の値は，表
対角型になる.これを MODEL3 と名づける.このモデ
3 の 2 行自の 25799. 14で，情報量規準の立場からは，全
と 4
x4
いなかで，第 2 変数のスベクトルの形の変化がマスクの
のプロッグ
ルの AIC の値は表 3 の 3 行目に示す25776.73 となる.
変数が互いに無相関と見ることに無理があることを示し
まだ，全変数の聞に相関有りとする最初のモデルより値
ているが，ここではあえてこのモデルにもとづくノイズ
が大きく，不満は残るが，全変数が完全に独立であると
寄与率を図 2 の 3 段目に示す.
する 2 番目のモデルに比べるとだいぶ低くなる.図 3 の
第 1 変数のスペクトルの構造を見ると，直流成分のほ
1 段目にこのモデルから推定される最初の 3 変数のパワ
ぼ50%が制御変数の揺らぎに起因するものの，パワーの
表 3
対角ブロック型モデルの AIC
大部分が自分自身の発生する雑音によっていることがわ
かる.制御変数の中では，第 5 変数と第 7 変数からの寄
与が大きい.第 4 変数と第 6 変数からの寄与は小さい.
第 2 変数のスベクトルの構造は第 1 変数のものと似て
いる.やはりパワーの大きな部分が自分自身の発生する
5
5
0(38)
モデル
MODEL1
MODEL2
MODEL3
分散共分散行列のプロック構造
AIC
(1
7
)
(
1
)
(
2
)
(
3
)
(
4
)
(
5
)
(
6
)
(
7
)
25765.92
(1
3)
(
4
-7
)
2
5
7
7
6
.7
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2
5
7
9
9
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図 2
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Freq
各変数のパワースベクトルとノイズ寄与率
ースペクトルのグラフを示す.この場合，パワースベク
1
1
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1
1
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1
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0000000
0000000
トルに対する各変数のノイズからの寄与を分離して推定
することはできないが，
0
.
2
0
1プ】 C 'l
r被制御変数群 J からの寄与と
「制御入力群」からの寄与は分離できる.図 3 の 2 段目
にこの場合のノイズ寄与率のグラフを示す.図 2 とは，
各ノイズ源からの寄与が細かく分離されていないだけで
をかけて得られるモデルを MODEL 4 とする.このモ
なく，
デルから推定されるパワースベクトルを図 3 の上から 3
r 被制御変数群 j と「制御変数群 J へのパワーの
振り分けに関しても多少違っているはずだが，被制御変
段目に示す.
数と制御変数の聞の絡み具合いを見るにはこれで十分で
ことがわかる.特に直流成分に近い低周波成分における
あろう.
[MODEL4]
1 段目のスベクトルに比べて背が低くなる
パワーの低下が L 、ちじるしい.突は，この結果はわかっ
今度はこのモデルをいじってみること
ていた.図 3 を見ると各パワースベクトルにおける制御
にしよう.まず，制御変数のノイズを 0 にしてみる.分
プロックからの影響の割合がわかるから，この分がなく
散共分散行列にマスク
なった時のパワースベクトルの姿は，予想できるのであ
1989 年 10 月号
© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.
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図 2
(つつ.き)
る.これは，制御系が出しているノイズを抑えることが
をかければよい.このモデルを MODEL5 と名づける.
できれば，システム全体の揺らぎを小さくできるであろ
このモデルにもとづくパワースベクトルの推定値を図 3
の 4 段目に示す.
うということを示唆している.
[MODEL5
]
では，関 1 の運転記録での制御は，有
害無益と考えるべきなのだろうか?
この点をチェック
するには，制御入力から被制御システムへの信号の経路
こんどは，分散共分散行列と AR 係数行列に，それぞ
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5
2 (40)
段目のスベクトルより債が大きくなっている.
これらの結果から，制御が確かに有効に働いては L 、る
が，その代償として非常に低い周波数領域における揺ら
を切断してみれば良い.
れ，マスタ
3 段目に比べてスベクトルの背が高く
なった.直流成分のごく近傍以外の周波数領域では
ぎを持ち込んでいるらしいということがわかる.
まさ
に，赤池らが図 1 のデータから読み取ったことである.
これにつづく赤池らによるセメントのロータリーキルン
の計算機制御の詳細に関しては参考文献を参照されたい
[MODEL8
J
最後に，被制御システムから制御入力
への信号経路を切った場合のパワースペクトルとノイズ
寄与率のグラフを図 3 の 5 段目と 6 段目に示しておく.
© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.
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ペクトルの変化を見ることができる.
ある信号経路を切ったときの効果が小さければ，そこ
は本来切れていることが予想される.これを確認するこ
とは制約された AR モデルのあてはめを行なって，その
をかけた場合で‘ある.オベレーターがシステムの状態を
モデルの AIC と無制約 AR モデルの AIC を比較する
見ないで制御入力を操作したとすればこうなるであろう
ことによって可能であろう. ftIJ 御系を別のものに切りか
と L 、う非現実的な例である.
えたときの効果を見るようにすることも容易だが，ここ
4
.
最
ではこの点には深入りしないこととする.
後
このように，モデルのパラメータを変えてみた場合の
線形ジステムにおけるコンポーネント聞の関連を調べ
ることを目的とするプログラム ARDOCK を紹介した.
1989 年 10 月号
結果をただちに信用するのは危険であるが，さらに深く
追求して L 、く場合の手がかりになり停ることは確かであ
© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.
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[2J 八木原彬股( 1976) ，セメントプロセスの制御，数
る.
Cプログラムの公開について 1
汎用性のあるプログラ
理科学，
ムで使い道もあると思われるので，なるべく早い機会に
No.153, p
p
.
5
3
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9
.
[3J Otomo , T. , Nakagawa , T. and Akaike , H.
何らかの形で公開することにした L 、が，時聞がとれるか
(1972) , S
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どうかが問題である.
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[謝
IFAC , 8 , p
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.
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.
辞]
[4J Hagimura , S. , Saitoh , T. and Yagihara , Y.
1986年度の統計数理
(1988) , Application o
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研究所共同利用研究集会 (61 ・共会・ 18) で，ある程度
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発表済みである.その後の明治大学の大矢多喜夫教授と
plant. , AISM , Vol
.40 , No.3 , pp.419-438.
の「雑談」の中で刺激されて，プログラム化した部分も
[5J Nakamura , H. and Toyota , Y. (1988) , Staｭ
ここで紹介した方法については，
多い.記して感謝の意を表したい.
参
ラ老
文
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.40 , No.1 ,
thermal power plants , AISM , Vol
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.
[1] 赤池弘次，中川東一郎:ダイナミツクシステムの
[6J 尾崎統編( 1988) ，時系列論，放送大学教育振興
統計的解析と制御，サイエンス社 (1972).
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4 (42)
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© 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.
オベレーションズ・リサーチ