リアルオプション評価におけるゲーム理論の適用

リアルオプション評価におけるゲーム理論の適用
コストマネジメント研究
601B032-6 後藤 允
指
導 大野 髙裕教授
An Application of Game Theory to Real Options Approach
by Makoto GOTO
1 研究目的
近年，プロジェクト評価の分野においてリアルオプ
ション・アプローチが注目されている．リアルオプショ
ン・アプローチとは，ファイナンス理論に基づいて意思
決定の柔軟性を貨幣価値に換算するもので，従来プロ
ジェクト評価の主流であった NPV (Net Present Value)
法において，その経営戦略の価値を考慮していないと
いう欠点を補完できるものである．
現段階におけるリアルオプション理論は単一主体の
意思決定をモデル化しているのみであり，それは石油
採掘や新薬開発などにおいては有用である．しかし，
実際の場面においては競合他社の存在が意思決定に大
きな影響を与えるのは確実であり，複数主体における
モデル化が期待されている．
これに対しては経済学におけるゲーム理論を応用し
ようとする試みが始まっており，Trigeorgis [1] はアメ
² 2 人のオーナーがそれぞれ同等のビルを賃貸して
おり，両者ともに既存のビル (古ビル) を壊し，新
しいビルに再開発する権利 (オプション) を有する．
² 両者が同時に開発しようとすると，一方がランダ
ムに競争に勝ち，先導者となり，他方は追従者と
なり，望めば次の瞬間にも開発できる．
² 古ビルの賃料 R は一定とし，新ビルの賃料は完成
時の需要ショック X(t)1 とビルの供給量による逆
需要関数 D[Q(t)] によって決定され，その後永久
に続く．
² オプションの行使によってオーナーは現在の賃料
収入 R=r と建設コスト I を失い，建設期間 ± 年を
経て，新ビルが完成する．
² 先導者の新ビル完成後，追従者の古ビルの価値は
(1 ¡ °)R=r に低下する．
このような仮定のもとで，Dixit and Pindyck [4] の
手法に従い，以下の定式化を行なっている．
リカン・コールオプションの配当率によって，また Smit
and Ankum [2] はゲームの木と囚人のジレンマによっ
て，競争状態を記述した．これらはゲーム理論として
不十分であるのに対して，Grenadier [3] は情報不完備
ゲームを扱うことによって，一応の成果をあげている．
しかし，Grenadier はオプションの種類が限定的であ
ること，均衡解が非現実的であること，以上 2 点の問
題点がある．
そこで本研究では，まず Grenadier において異なる
オプションを設定し，これを定式化することによって
汎用的なモデルを提案する．さらに，利得関数を修正
することによって，現実的な均衡解を導出することを
目的とする．
2 従来研究
Grenadier は，ある不動産市場において競争による
価値の低下をモデル化した．その不動産市場では，以
下の仮定がおかれる．
F (X) =
(1 ¡ °)R
+ W (X)
r
(1)
8
µ
¶¯
>
I + (1 ¡ °)R=r X
>
>
if X < XF
>
>
< ·
¯¡1
¸ XF
D(2) ¡(r¡¹)±
(1 ¡ °)R
W (X) =
e
¢X ¡
¡I
>
>
>
r¡¹
r
>
>
:
if X ¸ X
F
(2)
8 ¡(r¡¹)¿
e
¯
D(2) ¡ D(1)
>
>
>
XD(1) +
¢
>
>
r
¡
¹
¯
¡
1
D(2)
>
>
µ
¶µ
¶¯
>
>
(1
¡
°)R
X
<
¢ I+
if X < XF
L(X; ¿ ) =
r
XF
>
>
e¡(r¡¹)¿
Xe¡(r¡¹)±
>
>
>
XD(1) +
>
> r¡¹
r¡¹
>
>
: ¢[D(2) ¡ D(1)]
if X ¸ X
F
(3)
1 Grenadier はオフィス開発に対してはビジネスの収益性，アパー
ト開発に対しては仕事の増加，工業市場に対しては工業製品の売上
などが考えられるとしている．本研究では日経平均として取り扱う．
表 1: 均衡行使戦略 (Grenadier)
X
プレイヤー
X < XL
XL · X < XF
待機
待機
行使 (待機)
行使 (待機)
行使 (行使)
行使 (行使)
X ¸ XF
競合
ただし，L(X; ¿ ) ¡ I は先導者の価値，F (X) は追従者
の価値，¿ 2 [0; ±] は完成までの期間，° 2 (0; 1) は古
ビルの賃料低下率，r は無危険利子率，XF は追従者
の最適行使水準である．次に，先導者が開発を開始し
た瞬間 (¿ = ±) を考え，L(X; ±) ¡ I = F (X) となる点
XL 2 (0; XF ) が一意に存在することを示し，表 1 の部
分ゲーム完全均衡を導いている．ただし，() 内は追従
^ 最適行使水準を V ¤ とする．ただし，
投資コストを I,
¹ は V の期待収益率，¾ は V のボラティリティ，dz は
ウィナー過程の増分である．
3.1 競争を考慮しない場合の価値
まず，比較のために競争を考慮しない場合の価値
J (V ) を求める．開発オプションの価値を
wG (V ) と
i
h
D(1) ¡(r¡¹)±
X, I^ = I より，
e
すると，V =
(r¡¹)
J(X) =
R
+ wG (X)
r
となる．ここで，Dixit and Pindyck の手法を用いると，
デルを適用できない．さらには，両者の利得関数を同
8
µ
¶¯
X
I
>
>
<
¸
wG (X) = ·¯ ¡ 1 XJ
D(1) ¡(r¡¹)±
>
>
:
¢X ¡I
e
r¡¹
一としており，両者同一の均衡行使戦略になっている
と導かれる．ただし，最適行使水準は
者になった場合の戦略である．
しかし，古ビルの撤退，即新ビル参入と，オプショ
ンの種類が限定されており，異なるオプションにはモ
(4)
が，現実的には利得関数が異なることが多く，非現実
µ
XJ =
的な均衡解になっているという問題点がある．
¯
¯¡1
¶·
if X < XJ
if X ¸ XJ
(5)
¸
r ¡ ¹ (r¡¹)±
e
¢I
D(1)
(6)
となり，
3 本研究の提案
¯=
¡(¹ ¡ 1=2¾ 2 ) +
p
(¹ ¡ 1=2¾ 2 )2 + 2r¾ 2
>1
¾2
(7)
本研究においては，Grenadier の仮定をほぼ踏襲し
ながら，異なるオプションを設定し，より汎用的なモ
である．以下，競争を考慮して定式化を進める．
デルを定式化する．Grenadier のオプションを撤退・即
参入オプションとすれば，これ以外に参入オプション，
撤退オプション，参入・撤退 2 段階オプションの 3 種
3.2 追従者の価値
類が考えられる2 ．本研究では，参入オプションの定式
次に，先導者が開発を開始した瞬間の，追従者の価値
化を試みることにする．変更される仮定は次の通りで
FG (V ) を求める．追従者のオプション価値を
WG (V )
h
i
ある．
² 両者は古ビルを壊さずに，新ビルを開発するオプ
ションを有する．
² 両者は異なる建設コストを必要とする．
² オプションの行使によって，建設コストのみが失
われ，新ビル完成後も古ビルの価値に影響はない．
まず，競争を考慮してプロジェクト価値3 を評価し，次
にゲーム理論によって均衡行使戦略を導出していく．以
下，原資産を V とし，V の挙動を dV = ¹V dt+ ¾V dz,
2 オプションの種類は，成長オプション，一時停止オプション，交
換オプションのように無限に考えることができるが，経営にとって
最も重要なオプションはそのプロジェクトを実行するか，しないか
の選択であると考える．
3 本研究でいう価値とは，保有する資産，プロジェクトから生み
出されるキャッシュフローのことである．また，オプション価値と
は，NPV に加えてその選択を待つことのできる価値である．
D(2) ¡(r¡¹)±
(r¡¹) e
とすると，V =
X となる以外は 3.1
節と同様に，
FG (X) =
R
+ WG (X)
r
8
>
>
<
µ
¶¯
I
X
¸
WG (X) = ·¯ ¡ 1 XG
>
D(2) ¡(r¡¹)±
>
:
e
¢X ¡I
r¡¹
(8)
if X < XG
if X ¸ XG
(9)
と導かれる．ただし，最適行使水準は
XG =
となる．
µ
¯
¯¡1
¶·
¸
r ¡ ¹ (r¡¹)±
e
¢I
D(2)
(10)
3.3 先導者の価値
3.4.1 I < IC の場合
追従者は最適戦略を実行しているという条件で，先
導者の価値 LG (V ) を考える．先導者はすでに開発オプ
ションを行使し，完成までに ¿ 年あると仮定する．追
従者が停止時間 TC = infft ¸ 0 : X(t) ¸ XC g で参
入してくるので，先導者の価値 LG (V ) は次のオプショ
ンのポートフォリオ L1 (V ) + L2 (V ) によって複製され
る．ただし，競合の投資コストを IC とし，
XC =
µ
¯
¯¡1
¶·
¸
r ¡ ¹ (r¡¹)±
¢ IC
e
D(2)
プションを購入する．このオプションは行使価格
0, 固定された満期日 ¿ をもつ．
2. X(t) ¢ [D(2) ¡ D(1)] の永久配当率を支払う資産の
コールオプションを購入する．このオプションは
行使価格 0, 確率的な満期日 TC + ± をもつ．
オプション 1 に対して，満期日のペイオフは V ¡ I^ =
であるので，
e¡(r¡¹)¿
XD(1)
r¡¹
(12)
¤
となる．オプション
h 2 に対して，V iが既知であるの
で，(11) 式，V =
D(2)¡D(1) ¡(r¡¹)±
e
r¡¹
LG (X; ±) < FG (X) for X < XL1
LG (X; ±) ¸ FG (X) for XL1 · X < XC
LG (X; ±) = FG (X) for X ¸ XC
(15)
3.4.2 I > IC の場合
1. X(t) ¢ D(1) の永久配当率を支払う資産のコールオ
L1 (X; ¿ ) =
る4 ．
(11)
である．
XD(1)
r¡¹
I < IC を仮定すると，LG (X; ±) = FG (X) となる一
意の点 XL1 2 (0; XC ) が存在し，以下の関係が成立す
X, I^ = 0 より，
I > IC を仮定すると，(0; XG ) の範囲で LG (X; ±) =
FG (X) となる点は，パラメータに依存して 0 個か 2 個に
なる．この点が 0 個のとき，X に依存せず LG (X; ±) <
FG (X) となる．2 個のとき，これらの点を XL2 < XL3
とすると，以下の関係が成立する5 ．
LG (X; ±) < FG (X)
for X < XL2
LG (X; ±) ¸ FG (X)
for XL2 · X · XL3
LG (X; ±) < FG (X)
LG (X; ±) = FG (X)
for XL3 < X < XG
for X ¸ XG
(16)
3.5 均衡行使戦略
先導者の価値は
R e¡(r¡¹)¿
LG (X; ¿ ) =
+
XD(1) + L2 (X) ¡ I
r
r¡¹
(13)
8
µ
¶¯
>
¯ D(2) ¡ D(1)
X
>
>
¢
I
¢
>
C
>
D(2)
XC
< ¯¡1
L2 (X) =
if X < XC
>
>
¡(r¡¹)±
>
Xe
>
>
:
[D(2) ¡ D(1)]
if X ¸ XC
r¡¹
(14)
と導かれる．
先導者と追従者の価値の関係が求められたので，2 人
のオーナーがオプションを行使して新ビルの開発を開
始するか，あるいは待機するかという部分ゲームを考
え，I < IC を仮定して均衡行使戦略を導出する6 ．両
者は自らの利得を最大にするように行動する．すなわ
ち，LG (X; ±) < FG (X) のとき先導者にならないため
に行使せず，LG (X; ±) ¸ FG (X) のとき先導者になる
ために行使する．追従者になった場合は，最適行使水
準になるまで待機する．(15), (16) 式より，XL2 , XL3
の存在に依存して，両者の均衡行使戦略は表 2, 3 のよ
うになる．
均衡行使戦略に基づくと，X(0) ¸ XC のとき，両
者行使し，追従者になった場合は即行使する．また，
3.4 先導者と追従者の価値の関係
次に，先導者が建設を開始した瞬間の先導者と追従
者の価値の関係を考える．先導者は LG (X; ±), 追従者
は FG (X) の価値を受け取る．初期参入時間に依存し
XL2 · X(0) · XL3 のとき，両者行使し，追従者に
なった場合は最適行使水準まで待機する．それ以外の
とき，プレイヤーは必ず先に行使でき，先導者となる．
競合は必ず追従者になり，XC まで待機する．
て，先導者の価値は追従者よりも大きく，あるいは小
4 証明は本論参照．
さくなる．
6I
5 証明は本論参照．
> IC のときは，プレイヤーと競合の戦略を交換すればよい．
表 2: 均衡行使戦略 (XL2 , XL3 なし)
5 考察
X
プレイヤー
競合
X < XL1
XL1 · X < XC
待機
待機
図 1 より，追従者，先導者ともに，オプションを考慮
行使
待機
することにより NPV を上回ること，また競争を考慮す
行使
行使
ることで価値が低下することがわかる7 ．また，XL1 <
X ¸ XC
XJ となっており，競争を考慮することによって行使
表 3: 均衡行使戦略 (XL2 , XL3 あり)
が早まるといえる．さらに，(0; XC ) の範囲で XL1 が
一意に存在することもわかる．
X
プレイヤー
競合
X < XL1
XL1 · X < XL2
待機
待機
図 2 より，プレイヤーの方が競合よりも価値が大き
XL2 · X · XL3
XL3 < X < XC
X ¸ XC
行使
待機
いことがわかる．これより，投資コストが小さい方が
行使
行使
有利になるといえる．これは，技術力に優れた企業が
行使
待機
競争優位を保つことができるという現実に合致した結
行使
行使
果といえる．
4 数値実験
6 結論
パラメータを R = 1, I = 300, IC = 340, ¹ = 0:005,
本研究においては，オプションの種類の限定という
¾ = 0:5, r = 0:01, ± = 2, D(1) = 150, D(2) = 120
従来研究の問題点を克服することによって，より汎用
とし，競争を考慮した場合の価値，しない場合の価値，
的なモデルを提案することができた．また，両者が異
NPV を比較する．このとき，XJ = 0:0108, XG =
0:0135, XC = 0:0153, XL1 = 0:0101, XL2 = 0:0118,
なる利得関数を用いることによって，異なる均衡行使
XL3 = 0:0130 となる．
た．さらに，競争の考慮によって価値が低下すること，
戦略が導かれ，従来研究よりも現実的な結果が得られ
行使が早まることが示され，本研究の有効性が検証さ
れた．
7 今後の課題
² 撤退オプション，参入・撤退 2 段階オプションの
定式化
図 1: プレイヤーの価値の関係
図 2: 両者の関係
参考文献
[1] Trigeorgis, L.: \Anticipated Competitive Entry and
Early Preemptive Investment in Deferrable Projects",
Journal of Economics and Business, vol.43, no.2,
pp.143-153 (1991).
[2] Smit, H.T.J. and Ankum, L.A.: \A Real Options
and Game-Theoretic Approach to Corporate Investment Strategy Under Competition", Financial Management, vol.22, no.3, pp.241-250 (1993).
[3] Grenadier, S.R.: \Strategic Exercise of Options: Development Cascades and Overbuilding in Real Estate
Markets", Journal of Finance, vol.51, no.5, pp.16531679 (1996).
[4] Dixit, A.K. and Pindyck, R.S.: Investment Under
Uncertainty, Princeton University Press, Princeton
(1994).
7 証明は本論参照．