物理で使う数学公式

物理で使う数学公式
平成 14 年 11 月 1 日
1
物理で使う数学公式
1.1
三角関数
加法定理から導き出される和積の公式を用いると入射波と反射波の合成（定常波の発生）
やうなりを数学的に証明できる。これらの導出は 2 次試験では必須。練習しておきたい。
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
sin(α − β) + sin(α + β) = 2 sin α cos β
sin(α − β) − sin(α + β) = −2 cos α sin β
1.1.1
固定端反射
固定端では入射波と反射波の和が０であるので位相がπずれる。
¶
µ
x
t
−
とする。 y1 + y2 = 0 よって y2 = −y1
T
λ
µ
¶
½ µ
¶
¾
t
x
t
x
y2 = −A sin 2π
−
= A sin 2π
−
+ π 位相差の導出
T
λ
T
λ
y1 = A sin 2π
反射波は逆向きに進むので
µ
y2 = −A sin 2π
t
T
+
Y
となることに注意して y2 を書き改める。
¶
t
x
+
さて、2 つの波を合成しよう。
T
λ
µ
Y
x
λ
x
t
−
= y1 + y2 = A sin 2π
T
λ
2π
2π
= −2A cos t sin x
T
λ
¶
µ
t
x
− A sin 2π
+
T
λ
¶
いかなる t についても x = 0 では Y = 0 となり節になる。その後 x =
り節ができる。
1
λ
2
毎に Y = 0 とな
1.1.2
自由端反射
位相のずれはないので右向きの進行波 (入射波）と左向きの進行（反射波）を合成する。
µ
¶
t
x
y1 = A sin 2π
−
T
λ
µ
¶
t
x
y2 = A sin 2π
+
T
λ
2π
2π
Y = y1 + y2 = 2A sin t cos x
T
λ
x = 0 では cos 2π
λ 0 = 1 だから合成波 Y は t によって変化し、振幅 2A で最大値は Y = 2A
となり常に振動する。これより x = 0 は腹になる。その後 x = λ2 毎に Y = ±2A となり腹
ができる。
1.1.3
うなり
加法定理から導き去れた和積の公式を置き換えておく。
sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sin α cos β
A+B
=α
α + β = A より 2
A−B
α − β = B より =β
µ
¶
µ2
¶
A+B
A−B
sin A + sin B = 2 sin
cos
2
2
振動数 f1 と f2 の波が合成されると |f1 − f2 | のうなりが生じる。さて証明しよう。
y1 = A sin 2πf1 t y2 = A sin 2πf2 t
Y = y1 + y2 = A sin 2πf1 t + A sin 2πf2 t
¶
µ
¶
µ
f1 + f2
f1 − f2
Y = 2A cos 2π
t sin 2π
t
2
2
µ
¶
f1 − f2
f1 + f2
Y = 2A cos 2π
t sin 2πf t ここで f =
2
2
f は f1 、f2 が近いとき平均振動数を表わし耳に聞こえるおおよその音の高さを表わす。 ³
´
2
また、第 1 項の 2π f1 −f
t = 2π をみたす時間 t すなわち周期 (≡ τ とおく） は
2
τ=
2
f1 − f2
この間に 2 回のうなり（音の強弱）を聞くので、うなりの周期は
の周期 T は τ の 21 倍である。
¯
T =
¯
¯
τ
1 ¯¯
= ¯¯
2
f1 − f2 ¯
したがってうなりの振動数 ν は
ν=
1
= |f1 − f2 | （証明終）
T
2
1
2
となる。ここでうなり
• 教科書（数研 物理 1B P155) のうなりの説明
うなりの振幅が大きい点は 2 つの波 f1 、f2 の位相差が 0（同位相）であり、振幅が 0 の
点は 2 つの波の位相差が π ずれることになる（逆位相）。
したがって、うなりの山が 1 回起こるとき、2 つの波は逆位相 ⇒ 同位相 ⇒ 逆位相となり、
お互いの波の山の数は 1 つずれる。よって、
|f1 T − f2 T | = 1
1
|f1 − f2 | =
が成り立ち
T
この T[s] 間にうなりは 1 回大きくなるからうなりの振動数 ν は上記の説明と同様に、
1
ν = = |f1 − f2 | となる。
T
1.1.4
インピーダンス
p
a sin θ + b cos θ = a2 +b2 sin(θ + α)
a
b
cos α = √
sin α = √
a2 +b2
a2 +b2
½
µ
¶
¾
1
cos (ωt + φ)
v0 sin ωt = i0 R sin (ωt + φ) + ωL −
ωC
s
= i0
tan ϕ =
1.2
µ
R2
ωL −
R
1
+ ωL −
ωC
¶2
sin (ωt + φ + ϕ)
1
ωC
等比数列
Geometrical Progression G.P. と略記
（跳ね返りの問題）北大 94 年後期・奈良女子 99 年などで出題
a(1 − rn )
an = arn−1 : 一般項 Sn =
: n 項までの和
1−r
Sn = a + ar + ar2 + · · · · · · +arn−1 · · · · · · (1)
ar + ar2 + · · · · · · +arn−1 + arn · · · · · · (2) a(1 − rn )
(1 − r)Sn = a − arn Sn =
1−r
a
無限等比級数。
n → ∞ Sn →
1−r
rSn
1.3
=
２次方程式の解の公式と完全平方
放物運動や最大値を求めるとき使用する。
√
−b ± b2 − 4ac
2
ax + bx + c = 0 x =
2a
3
√
b2 − ac
ax + 2bx + c = 0 x =
a
µ
¶2
2 − 4ac
b
b
y = ax2 + bx + c = a x +
−
2a
4a
−b ±
2
1.4
二項定理。近似計算
n
n(n − 1) 2 n(n − 1)(n − 2) 3
x+
x +
x ··· ∼
= (1 + nx)
1!
2!
3!
x
x2 x3
1+ +
+
+ ···
1!
2!
3!
x3 x5 x7
x−
+
−
+ ···
3!
5!
7!
x2 x4 x6
+
−
+ ···
1−
2!
4!
6!
n
n−1
y + n C2 xn−2 y 2 + · · · + n Cn y n
n C0 x + n C1 x
tan θ ∼
= θ cos θ ∼
=1
√
1
2 ∼
1 − x (1 + x) = 1 + 2x 1 + x ∼
=1+ x
2
(1 + x)n = 1 +
ex =
sin x =
cos x =
(x + y)n =
sin θ ∼
=
1
∼
=
1+x
1.5
相加相乗平均
a+b √
≥ ab 等号は a = b のとき 証明は両辺二乗して
2
¶2
µ
¶
µ
a−b 2
a+b
a2 + 2ab + b2 − 4ab
=
− ab =
≥ 0 （証明終わり）
2
4
2
4
2
2.1
物理で使う数学公式 微分積分編
運動方程式のエネルギー積分
運動方程式からエネルギー保存則の導出では合成関数の微分を利用する。運動エネル
ギーの変化は保存力のした仕事に等しい。
y = f (u) u = g(x) のとき dy
dy du
=
dx
du dx
dv
dx
= F 両辺に v =
をかける
dt
dt
dx
dv
mv
= F ここで左辺を合成関数の微分と考えて
dt
dt
Ã
!
2
d mv
dx
= F さらに両辺をｔで積分して
dt
2
dt
m
Z (
d
dt
Ã
mv 2
2
"
2.2
!)
Z µ
dt =
mv 2
2
¶
dx
F
dt
dt
#t2
Z
=
F dx
t1
電位の定義
Q(C) の点電荷から距離 r(m) 離れる点の電位は無限遠を電位の基準 0(v) とすると無限
遠から位置 r まで+1(C) の試験電荷を運ぶときの電界からの力に逆らう外力のした仕事に
等しい。
V =
¶
Z rµ
kQ
∞
−
x2
·
kQ
dx =
x
¸r
=
∞
kQ
r
負電荷 (Q < 0) のときも同様。
V =
¶
Z rµ
kQ
∞
x2
·
kQ
dx = −
x
¸r
=−
∞
k |Q|
kQ
Q < 0 だから結局 V =
r
r
5
2.3
三角関数の微分
三角関数の微分の証明をしておこう。
sin x cos h + cos x sin h − sin x
sin(x + h) − sin(x)
= lim
h→0
h
h
cos h − 1
sin h
= sin x lim
+ cos x lim
h→0
h→0 h
h
(sin x)0 =
lim
h→0
π
のとき sin x < x < tan x が成り立つから
2
x
1
sin x
sin x
<
逆数にして 1 >
> cos x lim cos x = 1 より lim
=1
x→0
x→0 x
sin x
cos x
x
0 < x<
1 <
この算法は挟み撃ちの定理という。一方もうひとつの式の極限を考えよう。
cos h − 1
h→0
h
lim
よって
(cos h − 1)(cos h + 1)
cos2 h − 1
− sin2 h
= lim
= lim
h(cos h + 1)
h(cos h + 1)
h(cos h + 1)
1
1
sin h
)( lim
) = −0 × 1 × = 0
= −( lim sin h)( lim
h→0 cos h + 1
h→0
h→0 h
2
= lim
(sin x)0 = cos x
また、
cos(x + h) − cos x
cos x cos h − sin x sin h − cos x
= lim
h→0
h→0
h
h
cos h − 1
sin h
= cos x lim
− sin x lim
= − sin x
h→0
h→0 h
h
(cos x)0 =
2.4
lim
変数分離形の微分方程式の解法
dv
dt
dv
dt
y
dy
dt
dy
dt
dy
y
log |y|
y
=
a − kv
µ
=
=
=
¶
a
−k v −
(∗)
k
a
v − とおいて両辺をｔで微分する
k
dv
v が y に置き換わった (∗) 式を書き換えると
dt
=
−ky シンプルになった
=
−kdt 変数分離
=
−kt + C
=
±eC e−kt = Ae−kt
t → ∞ のとき y → 0 だから v →
6
a
となる。
k
v−
a
k
v
=
=
0
=
A
=
よって v
=
Ae−kt
a
+ Ae−kt
k
t = 0 のとき v = 0 （初期条件という）だから
a
+ Ae−k×0
k
a
−
k
´
a³
1 − e−kt
k
例 雨滴の速度 速度に比例した抵抗を受ける。
dv
dt
dv
dt
dv
v − mg
k
¯
¯
¯
¯
mg
¯
¯
log ¯v −
k ¯
mg
v−
k
m
= mg − kv
µ
k
mg
v−
m
k
k
= − dt
m
k
= − t+C
m
¶
= −
k
k
= ±eC e− m t = Ae− m t
t = 0 のとき v = 0 初期条件
mg
A = −
k
´
k
mg ³
v =
1 − e− m t
k
7