リズムと同期現象

1
吉川研 ゼミ
リズムと同期現象
ーLEDホタルの同期ー
川上 博
2014(H26).02.20
2
話の概要
リズムは同期する
Christiaan Huygens （オランダ 1629-1695）
1656年 振り子時計を発明：複数の振り子時計が同期することを発見
3
話の発端：合原プロジェクトの具体例
1976年Synchronous Fireflies, J. Buck and E. Buck,
Sci. Am. Vol. 234, No. 5
1980年代後半∼2000年：吉川研一先生，塩水Osc., PetBottle Osc. etc
1995年 Electronic Fireflies, W. Garver and F. Moss
1996年(H.8) 年方形波発振器を用いた電子ホタルの同期現象
NLP96-5：高坂，川上，上田
1998年(H.10) 年Trans. IEICE Vol. E-81-A, No. 4
2011年(H.23) 年春夏からLEDホタルをつくり実験する．共同研究者：
最先端研究開発支援プログラム(FIRST合原最先端数理モデルプロジェクト）
合原一幸，木本圭子，関川宗久，合原一究，
上田哲史，伊藤大輔，辻 明典，川上 博
4
話の流れ
１．リズムをつくる：発振器の仕組み
◎ 方形波発振器：最も簡単なdigital-analog-hybrid系
２．引き込み現象：強制同期
◎ LEDホタルを光方形波信号で強制振動させると？
３．同期現象：相互同期
◎ LEDホタルを相互に結合する
４．解析：幾何学的アプローチ
◎ hybrid系：FSM+力学系を解析する 5
ゲンジホタルの発光：同期パタン
ホタルの発光
周期:
sec
逆相同期
周期:
sec
同相同期
周期:
sec
[6] 電気関係学会四国支部大会，2013年9月21日（土），徳島大学，辻明典
6
ゲンジホタルの発光：同期パタン
2012/06/12 徳島県吉野川市美郷川田川流域，木本，関川，合原，川上
7
ゲンジホタルの発光：同期パタン
2012/06/12 徳島県吉野川市美郷川田川流域，木本，関川，合原，川上
8
１．リズムをつくる：発振器の仕組み
場所：徳島県吉野川市美郷川田川流域
ゲンジボタル発祥の地「国の天然記念物」により保護
日時：2013年6月29日20時∼22時
温度，湿度：22度，85％
対象：ゲンジボタル（オス）の個体
9
２つの典型的なリズム波形
正弦波
analog
T
方形波
digital
T
t
10
リズム波形をつくる：発振器
正弦波発振器(harmonic oscillator)
発振器
方形波発振器(square wave oscillator)
弛張振動(relaxation oscillation)
11
RC方形波発振器
R2
v0
v+
v
C1
R3
R5
E
R4
RC square wave oscillator
鹿おどし
pet bottle oscillator
12
RC方形波発振器と発振波形
E
R2
v
v0
v+
v
C1
R3
R5
R4
αE
βE
0
E
Tm
v0
E
0
t=0
dv
+v =E
R2 C1
dt
dv
+v =0
R 2 C1
dt
Ts
T
13
キャパシタとRC回路
ポンプ
R
i
+q
C
-q
A
v
E
水源
J
C
B
C
v
v
q
状態（水量）
タンク
E
i
R
オリフィス
v
v(t)
v(t)
t
t
14
Comparator
v0
E
E
R2
comparator
vin
v0
v+
R1
vin
0
R1
R1+R2
v0=A(V+ - Vin)
v0
E
hysteresis
comparator
E
E
E
R
vin
v0
v+
R
R
vin
0
1
3
E
2
3
E
E
15
RC方形波発振器
R2
E
v0
v+
v
C1
R3
R4
R5
E
v+M
αE
v+m
βE
v
0
v0
E
0
t=0
T
x0 =1 の運動
0
β
α
1
x0 =0 の運動
16
LEDホタルの回路例：type A1
R2
受光
光入力 :
q
発光
v0 : p
photo Tr
v+
v:x
C1
R3
R4
photo Tr
E
r3
R5
LED
光入力 :
q
comparator : p
on:1
off:0
on:1
off:0
on:1
off:0
off:0
off:0
RD
◎ photo Trは，光入力qとコンパレータ出力pの条件で開閉するスイッチである
◎ この回路のdigital状態（モードという）はp, qの組み合わせで４モードある
◎ p=0かつq=1のとき，Tr：onとなり，R3//r3が小(\betaが小）さくなる
17
LEDホタルの回路図：type A1
VCC 3V∼9V
NJL7502L
NJL7502L
E
8
VCC
7
6
2OUT
2IN-
R2
5
1M
2IN+
2732D
1OUT
1IN-
1IN+
GND
1
2
3
4
R5
1M
R3
1M
C
47k
1uF
C1
R4
RD
330
LED
1M
GND
注） NJL7502L の向きを逆にすると同相同期するホタルとなる．
Emitter
Collector
18
２．引き込み現象：強制同期
◎ LEDホタルを光方形波信号で強制振動させる
受光
発光
R2
光入力 :
q
v0 : p
photo Tr
v+
v:x
C1
R3
R4
E
r3
R5
LED
RD
19
LEDホタルの回路例：type A
受光
R2
光入力 :
発光
q
v0 : p
photo Tr
v+
v:x
C1
R3
R4
E
r3
R5
光の照射あり : q=1
mode3 : (q, p)=(1,1)
p =1 の運動
LED
RD
0
mode1 : (q, p)=(1,0)
’
p =0 の運動
1
光の照射なし : q=0
mode2 : (q, p)=(0,1)
q=1かつp=0のとき，Tr：onとなり，
R3//r3が小(\betaが小）さくなる
0
mode0 : (q, p)=(0,0)
x
p =1 の運動
p =0 の運動
1
20
モード遷移図と相図
phase diagram
mode transition diagram
q(t)=0
Dynamics:
.
x=-x+1
Output: PhotoTr: off
off
q &&
Input: Light: q=1
State:
{p=1, x(t)}
off<x<
Dynamics:
.
x = - x+1
Output: PhotoTr: off
q && x<
off
x(t) >
x(t) <
x(t) >
q &&
on <
x<
Input: Light: q=0
State:
{p=0, x(t)}
Dynamics:
.
x=-x
Output: PhotoTr: off
off
モード 0
q &&
off<x<
q && x>
off
t=0
to mode 0
comparator
p(t)=1
off
off
x(t) <
off
T
光入力 q(t)
on
mode 2
from mode 0
on
Input: Light: q=1
State:
{p=0, x(t)}
Dynamics:
.
x=-x
Output: PhotoTr: on
on
モード 1
from mode 2
comparator
p(t)=0
x(t)
Input: Light: q=0
State:
{p=1, x(t)}
モード 3
x(t)
モード 2
mode 0
off
to mode 2
on
t
q(t)=1
dT
t=(1-d)T
to mode 1
mode 3
from mode 1
from mode 3
mode 1
to mode 3
t=T
21
Poincaré 断面と写像
q(t)=0
to mode 0
off
on
mode 2
from mode 0
from mode 1
from mode 2
p(t)=0
x(t)
comparator
off
on
mode 3
mode 0
mode 2
A
comparator
glue together
p(t)=1
from mode 3
t=tn
mode 3
M1
M1
M0
M0
off
on
mode 1
to mode 2
to mode 3
t
t=tp
x(t)
A
dT
A
comparator
p(t)=0
x(t)
x(t)
p(t)=1
光入力 q(t)
to mode 1
t=tn
comparator
q(t)=1
T
off
on
mode 0
t
mode 1
22
bifurcation diagrams: duty cycle=0.5
beta_on
beta_off=0.5
4 3
2
0.5
3
0.9 1.0
1
2
1.5
period T
v(t)
alpha=0.75
beta_off=0.5
beta_on=0.4
1.7
34
2.0
1
2.5
2.7
23
v(t)
alpha=0.75
beta_off=0.5
beta_on=0.4
t
1.5
period T
t
2.0
2.5
T=2.2
x
T=2.0
x
x
T=1.4
1.0
3.0
T=2.5
x
0.5
t
t
24
x
x
waveform for T=2.7
t
t
25
x(n+1)
x(n+1)
mapping trajectories for T=2.7
x(n)
x(n)
26
x(n+1)
x(t)
x(t)
Poincaré map on torus-like surface
t
x(n)
27
３．同期現象：相互同期
◎ LEDホタルを相互に結合する
28
２つのLEDホタル：A1, B1
typeA1
R2
R2
光入力 :
q
光入力 :
v0 : p
photo Tr
v+
v:x
C1
R3
r3
光入力 : q
v+
R5
LED
v:x
R3
C1
on:1
off:0
on:1
off:0
on:1
off:0
off:0
off:0
v0 : p
E
r3
R4
RD
comparator : p
q
photo Tr
E
R4
photo Tr
typeB1
photo Tr
光入力 :
q
R5
LED
RD
comparator : p
on:1
off:0
on:1
on:1
off:0
off:0
off:0
off:0
29
LEDホタルの結合
x-axis
A1
A1
mode0 : (q, p) = (0, 0), dx/dt+x = 0, dy/dt+y=0
mode1 : (q, p) = (1, 0), dx/dt+x = 1, dy/dt+y=0, \beta_yon
mode2 : (q, p) = (0, 1), dx/dt+x = 0, dy/dt+y=1, \beta_xon
mode3 : (q, p) = (1, 1), dx/dt+x = 1, dy/dt+y=1
y-axis
x-axis
B1
B1
y-axis
mode0 : (q, p) = (0, 0), dx/dt+x = 0, dy/dt+y=0
mode1 : (q, p) = (1, 0), dx/dt+x = 1, dy/dt+y=0
mode2 : (q, p) = (0, 1), dx/dt+x = 0, dy/dt+y=1
mode3 : (q, p) = (1, 1), dx/dt+x = 1, dy/dt+y=1,\alpha_x, yon
30
phase portraits
A1
B1
A1
B1
(0, 1)
(1, 1)
(1, 1)
yon
yoff
y(t)
y(t)
y
(0, 1)
yoff
y
yon
(0, 0)
(1, 0)
xon
xoff
x(t)
x
(0, 0)
(1, 0)
x
x(t)
xoff
xon
31
LEDホタルA1の同期：逆相
(0, 1)
(1, 1)
B
y(t)
y(t)
y
yoff
A
yon
(0, 0)
xon
xoff
x(t)
x
(1, 0)
x(t)
\alpha_x=\alpha_y=0.8
\beta_x=\beta_y=0.3
\beta_xon=\beta_yon=0.18
32
LEDホタルB1の同期：同相
(0, 1)
(1, 1)
A
yon
yoff
(0, 0)
y(t)
y(t)
y
B
xoff
x(t)
x
xon
(1, 0)
x(t)
\alpha_x=\alpha_y=0.73
\alpha_xon=\alpha_yon=0.85
\beta_x=\beta_y=0.2
33
y(t)
y(t)
LEDホタルB1の同期：逆相
x(t)
\alpha_x=\alpha_y=0.73
\alpha_xon=\alpha_yon=0.85
\beta_x=\beta_y=0.2
x(t)
34
４．解析：幾何学的アプローチ
◎ hybrid系：FSM+力学系を解析する 35
ハイブリッド回路の回路方程式
Hybrid回路の数学モデル：ODE+FSM
時 間 連続
状
態
離散
連続
離散
微分方程式
差分方程式
ODE
FSM
in continuous time
Poincaré map
Finite State Machine
FSM
ODE : ordinary differential equations: vector field
FSM : finite state machine(有限状態機械)
36
Hybrid回路の数学モデル
◎１つのFSM ( Finite State Machine: 有限状態機械 )と
このFSMのモード数と同じ数の力学系からなる複合系
mode —— FSM の状態
state —— 力学系の状態
◎系の運動 —— FSMのeventと力学系のflowで時間発展する
event —— phase event, timer event, mixed event
mode遷移図
(graph)
vector場
(ODE)
37
hybrid系の運動
x1
A3
M3
mode 2
e02
e20
mode 0
A2
e32
e23
e03
e10
e30
e01
M2
mode 3
e13
e31
x2
e23
x(t)
D2
D3
mode 3
e31
mode 2
x2
analog dynamics
x1
x0
A1
M1
mode 1
mode 1
A0
M0
digital dynamics
x1
x0
M
A3 x(t)
A1
x2
hybrid dynamics
mode 0
38
日本科学未来館：メディアラボ第13期展示
39
日本科学未来館：メディアラボ第13期展示
「1たす1が2じゃない世界 ― 数理モデルのすすめ」 2014年2月19日(水)∼9月1日(月)
http://www.miraikan.jst.go.jp/info/1401291716264.html
40
ミッション7《ホタルとシンクロせよ》
一人ひとりがバラバラにふるまっていたはずが、気がつくと同じリズムで行動していた、
という経験は誰しもあるでしょう。こうした同期現象は、例えばホタルの集団発光でも
見られます。ホタルを模した電子回路で同期を起こす仕組みを解明します。
41
References
[1]
S. ストロガッツ著，蔵本由紀監修，長尾力訳：SYNC なぜ自然はシ
ンクロしたがるのか，早川書房，2005
[2]
J. Buck and E. Buck: Synchronous Fireflies, Sci. Am. Vol. 234, No. 5, 1976
[3]
W. Garver and F. Moss: 電子ホタルで生物の同調現象を再現しよう，
日経サイエンス1995年1月号特別付録，pp. 1-4
[4]
高坂拓司，川上博，上田哲史；方形波発振器を用いた電子ホタルの同期現象，
信学技報，NLP96-5,1996-05
T. Kousaka, H. Kawakami and T. Ueta; Synchronization of electric fireflies
by using square wave generators, IEICE Trans. Fundamentals, vol. E81-A, No.4
1998.
[5]
K. Kimoto, A. Tsuji, M, Sekikawa, I. Aihara, D. Ito, T. Ueta, K. Aihara and H. Kawakami;
ACM Multimedia Art Exhibition 2012, Todaiji Culture Center, 10/12-11/4, 2012
[6]
，伊藤，木本，合原，関川，上田，合原，川上；LEDホタルによるゲンジボタル
の発光同期パタンの解析，電気関係学会四国支部連合大会論文集，2013