物理入門-B

物理学の世界 B
小池正宏
2011 年 10 月 19 日
i
序文
このノートは物理学 B、 第二学期半年分の講義内容を簡単にまとめたものである。高等学校に於ける物理
学や数学の知識はとくに期待していないが、内容的には物理学 A の続きである。従って物理学 A を履修して
いることが望ましい。物理学 A の内容は力学又は運動学、熱・統計力学及び分子運動論等と呼ばれている部
分であった。特にランダム運動とエントロピーの関係など、前期の履修者も、もう一度復習しておくとよいで
あろう。
後半は物理学の分野としては、電磁気学、量子力学、原子核、物性物理学、相対性理論、素粒子宇宙物理学
などと呼ばれている部分を簡単に紹介することになる。だいたい一回一章程度のペースで進んでいければ良い
と考えている。
最初に荷電粒子、特に電子のランダム運動と電流、それによって生ずる磁場、ランダム運動する電子の発す
る電磁波など一般的な事柄について学ぶ。前期の万有引力において学んだ「重力場」の考え方を電磁気の場合
にも拡張し「電磁場」について考える。又、近代物理学に於て最も重要な量子論の考え方、特にエネルギー量
子と原子模型の関係などについて論ずる。
原子核の一般的な性質について理解を深めることは原子力エネルギーを理解する上でも重要である。原子核
内部における陽子や中性子の運動は原子核の崩壊や放射能発生の源である。原子核変換は今日我々の知る元素
はなぜ 92 種類程度に限られているのかなどについても理解を深めることが出来るであろう。
放射線の測定に関しては原子力や放射能など社会的にも話題になるが、ときとして知識不足による誤解も見
受けられるようである。放射線測定は大学の物理学実験のテーマでも取り上げられているのでこれに必要な知
識を簡単にまとめた。
物性物理学は今日のハイテク産業の基礎を支えるものであるが、大変広範囲にわたる。この講義では基礎物
理学的にも、応用においても重要な意味を持つ超伝導の物理について簡単に紹介する。その他トランジスター、
IC やレーザー光線などで知られている半導体物理学や、光物性などもコンピューター技術をを理解する上で
大変重要であるが、残念ながら今回は取り上げることが出来なかった。これらは情報科学などの講義において
機会があれば必要に応じて取り上げることにしたい。
我々の住むこの宇宙は何時どの様にして創造されどの様に変化して今日に至り、将来はどこへ行くのであろ
うか?これは常に人類永遠のテーマであった。最近急速に発展してきた原子核・素粒子の観点から見た宇宙物
理学について簡単に紹介する予定である。宇宙の誕生、物質と力の究極の根源は何であろうか?筆者の経験な
ど多少の主観もまじえて、出来るだけ最新の話題を盛り込むようにした。
詳細に立ち入ることはしないが、出来るだけ近代的な物理学の考え方を前面に出すよう心掛けた。特に講義
の後半は第一線の研究者たちが現在何をどの様に考えて、何をなそうとしているのか等、形式的な知識を覚え
増やす事より、物理学的な考え方の基本を身につけることが出来るよう努めたい。
このような研究分野では常に最新、最高のテクノロジーが要求されるのであるが、このノートではこれらの
技術的な側面にはあまり触れていない。その主なものは高速エレクトロニックス、粒子検出器、高速オンライ
ンデータ処理、超高真空、ハイパワー発振器、超伝導電磁石、磁場中に於ける荷電粒子の軌道解析、そしてこ
ii
序文
れらの測定器を総合的にコントロールする高速オンラインコンピューターコントロール技術などなどである。
更にこれらの測定システムを一括管理するソフトウェアー技術は最も高度な知識と、よいチームプレーが要求
される。物理学の研究を具体的に推進して行くためにはこれらの技術開発が不可欠である。
「我々は如何にして安全に豊かで、健康にして快適な生活を手に入れるか?」これはプラクティカルな意味で、
もう一つの、人類永遠のテーマである。これらの最先端技術はこの点に於て、大きく貢献していくことになる
であろう。俗にハイテク技術、ハイテク産業などと呼ばれているものはその一端を示すものである。
インターネットを通じて多くの資料を得た。解説に当たっては出来るだけ最新の研究成果に基づくよう注意
した。これらの情報源は主に LBL ( カリフォルニア大学バークレー研究所 ) 、NASA ( アメリカ航空宇宙局)
、Fermi Natinal Accelerator Lab. ( 国立フェルミ加速器研究所) 、CERN ( 欧州共同原子核研究所 ) 等に公
開されているデータを利用させていただいた。物理学者の写真などは米国物理学会その他下記のホームページ
に公開しているものを借用した。
http://www.aip.org/hisitory/esvs
http://th.phisik.uni-frankfurt.de/ jr/physpicnobel/html
http://www.slac.stanford.edu/library/nobel.html
iii
目次
序文
第1章
i
重力場と電磁場
1
1.1
クーロン力 (Coulomb)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
重力場と電磁場について…場について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
力の単位と電気量
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
電位と位置 ( ポテンシャル ) エネルギーについて
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
電流 - 電荷の流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.6
重力と電気力と大きさの比較
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
第2章
電場と電子の運動
7
2.1
電場による力の伝達と電子の速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
電気力線の密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
原子の構造と金属内の自由電子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
2.3.1
原子模型
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3.2
自由電子
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
導体中の自由電子と電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4.1
金属の電子ガス模型
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4.2
熱運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.5
熱運動と定常電流
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.6
電気抵抗とジュール熱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.7
温度と電気抵抗とエントロピー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.7.1
温度と電気抵抗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2
エントロピーの増大
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
電気抵抗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
荷電粒子の運動と電磁場
13
3.1
右手系座標と右ネジの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2
電磁場における荷電粒子の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.8
第3章
3.2.1
重力場と質量 m
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.2.2
電磁場と電気量 q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2
3.2.3
質量もエネルギーである mc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.2.4
電子の速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
iv
目次
3.3
電荷の運動と磁場の発生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.4
磁場中における荷電粒子の運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.4.1
同方向に走る荷電粒子は互いに引き合う . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
磁束密度の大きい方から小さい方へ力が働く。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.4.2
一様な磁場中をこれと直角に等速度で走る荷電粒子の軌道は円運動である。 . . . . . .
20
3.4.3
コイルについて . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
ローレンツ力による検討
3.5
第4章
4.1
磁場の変動による電流の発生
エネルギー量子の発見
23
Frank-Hertz の実験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
4.1.1
フィラメントの役割とその現象について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
金属内の自由電子が蒸発する . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
フィラメントを飛び出した電子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
電流が流れ、発熱、発光
4.1.2
グリッドと陽極 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.3
実験とその結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
4.4
現象の分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.5
この実験結果の物理的解釈について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.2
実験操作について
第5章
5.1
4.5.1
原子の構造について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.5.2
エネルギ-スペクトルの説明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
原子と原子核
29
元素、原子、原子核 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.1.1
5.2
5.3
5.4
以後よく使用される言葉について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
原子核の一般的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.2.1
原子核の体積 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
5.2.2
陽子と中性子はほぼ同数
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.2.3
軽い核は融合した方が安定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.2.4
重い核は分裂した方が安定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
5.2.5
最も安定なのは Fe の領域
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
何故元素は 100 種類程度しか存在しないのかー原子核の崩壊と変換 . . . . . . . . . . . . . .
34
5.3.1
陽子数の限界と陽電子崩壊 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
5.3.2
中性子数の限界と電子崩壊 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
5.3.3
もっと大規模な原子核崩壊もある . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
原子核の内部運動と電磁波 ( γ 線 ) の放射 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.4.1
原子核の集団運動模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.4.2
原子核の表面振動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.4.3
原子核の電磁波放射について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.4.4
量子論的な考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
v
第6章
核分裂と原子力
43
6.1
重い原子核の崩壊
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
6.2
中性子捕獲と原子核分裂 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
6.3
核分裂の連鎖反応
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
連鎖反応が起こる条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.3.1
6.3.2
U の濃縮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
電磁石による方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
拡散による方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
臨界質量 (critical mass) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
原子力エネルギーの利用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.3.3
6.4
6.5
235
同位元素の分離と
6.4.1
連鎖反応の制御 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
6.4.2
原子力発電 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
プルトニウムはどのようにして出来るか？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.5.1
Np ) の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.6
使用するほど増加する原子力燃料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
6.7
原子炉内で生成される分裂片 (放射性物質) について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
放射線の測定
53
7.1
放射線とは何か . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
7.2
放射線の発生源とそのメカニズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
第7章
Neptunium ( ネプチニウム
239
7.2.1
原子内の電子の運動により放出される可視光線，X− 線 . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
7.2.2
原子核の内部から放出されるもの。原子核の崩壊，原子核反応 . . . . . . . . . . . . .
56
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.3.1
放射線計測の単位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.3.2
天然に存在する放射能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
7.4
放射性物質の寿命と半減期 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
7.5
ベータ崩壊とベータ 線のエネルギースペクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
ベータ線のエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
中性微子 (neutorino) の測定について
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
7.5.1
ベータ線と物質の相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
7.5.2
ベータ線検出器とその動作原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
ガンマ崩壊とガンマ線スペクトル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
7.3
7.6
放射線測定に使用される単位
60
7.7
Co のベータ、ガンマ崩壊の例： . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
7.6.1
ガンマ線と物質の相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
7.6.2
ガンマ線 (光子) 吸収のメカニズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
7.6.3
ガンマ線の検出 シンチレーションカウンター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
一般的な素粒子の粒子識別とエネルギー測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
7.7.1
電磁石による測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
7.7.2
Time Of Flight (TOF) 法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
時間差測定回路について
7.7.3
チェレンコフカウンターとその原理
vi
目次
7.8
7.9
7.10
第8章
8.1
8.2
放射線による年代測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
7.8.1
宇宙線が生み出す同位元素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
7.8.2
長寿命の同位体、炭素− 14 の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
放射線の性質と放射線治療 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
7.9.1
エックス線 (低エネルギー電磁波) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
7.9.2
荷電粒子 (主に陽子ビーム) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
7.9.3
重イオン粒子線 (相対論領域の超高エネルギー重イオン) . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
実験室における放射線管理について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
7.10.1 放射性同位元素の作成、生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
7.10.2 実験用放射線源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
7.10.3 放射線管理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
7.10.4 汚染検査 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
7.10.5 ヒューマンモニター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
7.10.6 原子炉事故等でよく話題になる放射能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
超伝導の物理
89
INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
8.1.1
超伝導現象について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
8.1.2
高温超伝導 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
超伝導状態の主な特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
8.2.1
電気抵抗がゼロになる . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
8.2.2
マイスナー効果 (Meisner effect) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
8.2.3
同位元素効果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
8.3
超伝導の 3 大条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
8.4
超伝導線の構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
8.5
超伝導状態における自由電子の振る舞い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
8.6
BCS-理論と超伝導状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
8.7
8.8
第9章
8.6.1
クーパーペアの特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
8.6.2
超伝導状態の崩壊 . . . クーパーペアの崩壊 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
応用例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
8.7.1
超伝導船 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
8.7.2
磁気浮上電車 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
電子の量子論的な性質について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
8.8.1
ゼロ点振動 . . . 不確定性原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
8.8.2
電子のスピン (spin) について . . . 電子は小さい磁石でもある . . . . . . . . . . . . . .
99
特殊相対論
101
9.1
はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.2
時空座標の表現について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.3
MICHELSON-MOLEY の実験 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.4
相対性の原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.4.1
相対運動とガリレーの座標変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
vii
9.5
9.6
9.4.2
時空間座標の表現と相対運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.4.3
動いている座標系内の運動を静止系でみる . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
ENERGY-MOMENTUM SPACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.5.1
光速度に近い電子の運動
9.5.2
全エネルギーについて . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.5.3
エネルギーと運動量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
質量を持たない量子 · 光子 (photon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.6.1
9.7
9.9
9.10
第 10 章
10.1
観測する人によって質量は違って見える . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Energy-Momentum Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.7.1
9.8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
運動量とエネルギーベクトルの表現
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
質量とポテンシャルエネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.8.1
長距離力 ( 重力、クーロン力 ) ポテンシャルと全エネルギー . . . . . . . . . . . . . . 121
9.8.2
短距離力 ( 核力) ポテンシャルと全エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
粒子の発生を伴う衝突 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.9.1
対創成の運動学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.9.2
電子-陽電子の対創成
9.9.3
数値計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
TRANSVERS MASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
核子の構造とクォーク模型
127
核子の中間子模型と核力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.1.1 力を媒介する初粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.1.2 核力の到達距離と中間子の質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.1.3 電磁気力を媒介する仮想粒子-フォトン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.2
クオーク模型 ( Quark Model ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.2.1 クオーク模型の提唱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.2.2 クオークの基本的性質 ( u-quark, d-quark ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.2.3 素粒子の構造とクオーク模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10.2.4 素粒子反応とクオーク模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.2.5 物質の根源と力の根源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10.3
素粒子の標準模型
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10.3.1 新しいクォークの発見 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
10.3.2 素粒子の標準模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.4
第 11 章
宇宙の創造と究極の素粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
素粒子宇宙物理学
141
11.1
我々の住む星、地球 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11.2
輝く星、太陽 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
11.3
宇宙空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
11.4
星の誕生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
11.5
星の輝きー核融合反応とエネルギーの放出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
11.5.1 星の燃焼開始 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
viii
目次
11.5.2 膨張する火の玉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
11.5.3 ガンマ線から可視光線へ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11.6
巨大な星の最後は鉄の塊 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
11.6.1 燃料廃棄物ヘリウムの蓄積と星の収縮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
11.6.2 よみがえる活力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
11.6.3 星の燃焼サイクル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
11.6.4 輝ける星の終末 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
11.7
中性子星の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
11.7.1 巨大な星の爆縮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
11.7.2 核子気体から核物質へ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
11.8
激しい中性子星の活動と X 線パルサー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
11.9
中性子星の内部と高エネルギー原子核反応ー中間子凝縮 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11.9.1 爆縮後の内部エネルギー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11.9.2 パイ中間子凝縮は起こるか？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11.10
中性子星の内部は超伝導状態かーガンマ線天文学の誕生 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.10.1 宇宙からのガンマ線バースト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.10.2 ニュートリノ天文学について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.11
核子をも押し潰す巨大な重力ークォーク物質は存在するか . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.12
加速器実験によるクォーク物質の探索 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
付録 A
不確定性原理について
157
付録 B
時空座標系の回転について
159
B.1
複素座標と座標の回転 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
B.2
双曲線関数について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
付録 C
π 中間子の寿命の計算
163
1
第1章
重力場と電磁場
重力の作用する空間を重力場と呼んでいる。重力場における物体の運動を学んできた。重力場の
中にある質量は重力による力を受け、加速度運動をする。
物理学の理論はポテンシャルとエネルギーの保存則に基づいて論じられる事が多い。ポテンシャ
ルの高いところにある物体は、その場からの力を受け、よりポテンシャルの低いところへ自動的に
移動して行き、このエネルギー差は一般的には運動エネルギーに変換される。
重力の他にも電荷の間に作用するクーロン力によるクーロンポテンシャル ( 電磁場 )、原子核の
内部において重要な核力による核力の場-Nuclear potential- 等についても後に学ぶ。クーロン場
におけるポテンシャルはクーロンポテンシャルと呼ばれている。これから学ぶのは電荷を持った物
体のクーロン力の場における運動についてである。
1.1 クーロン力 (Coulomb)
二つの質量 m, M の間には万有引力 (重力) が作用しているが、二つの電気量 q, Q の間には電磁気力 ( クー
ロン力 ) が作用している。質量と異なり電気にはプラスとマイナスの二種類がある、同符号の場合は斥力、異
符号の場合は引力が作用する。その大きさは各々の電気量 q, Q に比例しその間の距離の二乗に反比例する。
式で書けば
f=
kqQ
r2
(1.1)
となり、重力の場合の質量 m, M を各々電気量 q, Q で置き換えたものと同じである。従って重力場合に用い
られた種々な表現はそのまま電磁場に於ても利用できる。式 (1.1) はクーロンの法則 ( Coulomb) と呼ばれ、
重力の場合の万有引力の法則に対応する。ここで k は比例定数で重力の場合の G に当たる。電気量 q や力 f
の単位の呼び方によって異なる値を持つ。図 1.1 に重力とクーロン力との対応関係を示してある。
図 1.1
万有引力とクーロン力の比較。各物理量の対応に注意。質量と電気量とが対応している。比例定数
G と k の大きさは電気量の場合の方がはるかに大きい ( 1020 ) 。
力学における質量に対応するものは、電磁気学では電気量である。質量の 1 kg に当るものは、電気では 1
2
第1章
重力場と電磁場
クーロン ( Coulomb - 人名からとった*1 ) と呼ばれており、これが電気量の基本単位である。
現在知られている電気の最小単位は、電子 (e− ) 又は原子核内に存在している陽子 ( e+ ) の持つ電気量で
ある。これらの電気量は、大きさは等しいが、その符号は反対である。従って、理論的には、これを電気量の
基本単位として用いるのが理想的であるように思える。しかし、日常の基本単位として、クーロン、アンペア、
ボルト、オーム、ジュールなどの実用的な単位が使われている。その理由としては
i) あまりにも小さく取扱上不便であること、
ii) 電気的な諸現象は原子や電子の発見以前から実用化されていたため、日常的な単位の方が先に定着して
いたこと、
であろうか。電気量 1 クーロンの中には電子約 1019 個が入っている。言い換えれば電子 1 個の電気量
1.6 × 10−19 は クーロンである。素粒子物理学の世界では、電子の電気量 ( e± ) を 1 とする単位系がよく利用
されている。これは、共に取り扱う物理量 ( 時間、長さ、質量等 ) も小さく、相対的に適当なためである。
重力と電気力の表現形式の対応関係を表 1.1 にまとめておく。この表からも分かるように、クーロン力と重
表 1.1
重力の相互作用
万有引力
地球上では
重力場の強さ
万有引力定数
2
力学と電磁気学の理論形式の比較
重力の式表示
f=
電磁気の相互作用
GmM
= mg
R2
電磁気の式表示
f=
クーロン力
f = mg
GM
g= 2
R
一方を基準にすると
G = 6.67 × 1011
クーロン力の定数
クーロン場の強さ
2
2
[ Nm /kg ]
2
kqQ
= qE
R2
f = eE
kQ
E= 2
R
k = 8.9875
2
[ Nm /C ] or [Jm/C ]
m を x だけ動かす仕事量
f x = mgx
q を x だけ動かす仕事量
f x = qEx
重力ポテンシャル
φ(x) = gx
クーロンポテンシャル
φ(x) = Ex
位置エネルギー
mφ(x) or mV (x)
ポテンシャルエネルギー
qφ(x)
力は互いに作用し合う相手が電気量であるか質量であるの違いはあるが、式の形式は全く同じであることが分
かる。大きな違いはその比例係数の値である。重力定数 G に比べてクーロン力の比例定数 k は非常に大きい。
このことはクーロン力は重力に比べて著しく大きいことを意味する。
1.2 重力場と電磁場について…場について
重力場
万有引力の式を直接用いる代わりに重力定数 g を導入することによりその取り扱いが大変簡便になっ
た。このような空間を強さ g の重力場と呼ぶ ( 地表では大体一定 )。高さが地球の半径に比べて無視で
きない程度の高さになると、高さ x の関数として変化するので、 g(x) と書くべきである。
電磁気の場合地球のような固定した基準点を持たないので g のような普遍的な定数を定めることは出来
ないが、その便利な手法、場の考え方、はそのまま利用されている
電磁場
第 2.1 図 1.2 の如く、電磁気学では重力の g に対応するものは E でありこれを, 重力の場合同様, 電
場の強さと呼んでいる。即ち電場 E の場所に電気量 q を置くとその電場の方向に qE の力が働く。重
*1
名に由来する単位や記号は一般に大文字で表す。アンペア ( A )、ボルト ( V ) 等。又、物理量は斜体で表す。
1.3 力の単位と電気量
3
力場の強さ g の所に質量 m を置いた時 g の方向に mg の力が働くのと同じである。磁気についても同
様な手法が適用でき、電場と磁場は同様に処理することが多いのでこれらを一括して電磁場と呼んでい
る。即ち、質量に力を及ぼす空間は重力場であり、電気又は磁気に力を及ぼす空間が電磁場である。
地球は非常に大きいので g は常に平行で下向きに作用しているように考えてもそれほど不自然ではなっかた
が、電磁気の場合取り扱う物質の大きさが地球ほど大きくないため E の方向はさまざまであり、3 次元的な
ベクトルの性格が強く表面に現れる場合が多い。このことから、いろいろ便利な数学的処理法が開発されてい
る。ベクトル解析などはよく利用される手法である。
電場の強さ E の空間に点電荷 q を置いた時 f = qE の力を受けるため、運動の法則により q はその力の方
向へ移動してゆく。この軌跡を電気力線と呼んでいる。地球表面で質量 m を置いたとき地球の中心へ向かっ
て ( 又は垂直に ) mg の力を受け落下してゆくのと同じ。即ち、重力線の強さ g の場合その方向はほぼ平行に
真下に向いていることになる。宇宙の彼方から眺めれば、地球の中心に向かっている。
電気力線の方向は、プラスの電荷より発してマイナスの電荷方向へ向かうと約束されている。
図 1.2
重力の場合地球表面ではその強さは一定値 g ( ベクトル定数 ) を用いると便利。電気量の場合 E
が一定として取り扱える場合はすくない。E は方向を持つベクトル変数である。重力の場合も人工衛星の
様に遠距離まで考える時は g は変数となる。
1.3 力の単位と電気量
式 (1.1) に於ける比例定数 k は力 f や電気量 q 、距離 r などの単位の取り方によって異なった値を持つ。
力の単位に重力の場合のニュートン (1kgW = 9.8 N) の単位を使用し、電気量にクーロンの単位がよく使用さ
れるが、このとき単位も含めた表すとクーロン力は
f [N] = k
qQ[C2 ]
,
r2 [m]
[
k = 8.985 × 109
N · m2
C2
]
(1.2)
となる。また数値計算の際には [N ·m]=[Joul] であるから [N· m2 ]=[Joul · m] の関係等もよく利用される。
これまで種々なエネルギーの単位をエレクトロンボルト (eV) 表してきたが、この場合
ke2 = 1.44[eV · nm] = 1.44[MeV · fm]
などの変換係数を使用すると数値計算が簡単にできる。e は電子の電気量の値を表す。
(1.3)
4
第1章
重力場と電磁場
1.4 電位と位置 ( ポテンシャル ) エネルギーについて
重力場の強さ g の空間で質量 m の物体を高さ x だけ持ち上げる ( g の方向に逆らって動かす ) ときの仕事
の量 W は mgx であり、これは位置エネルギー ( ポテンシャルエネルギー ) の差であった。この位置 x に於
ける重力ポテンシャルは x = 0 の位置より gx だけ高いのである。 ポテンシャルエネルギーは m = 1 の物体
がその位置で持つエネルギー である。
図 1.3
電荷 Q の近傍におけるクーロンポテンシャルの図。巨大な質量 M の近辺における重力ポテンシャ
ルの図も同様である。Q が M に、q が m に、そして又場の強さでは、E が g に対応している。
重力ポテンシャル (V で表す*2 ) は空間の持つエネルギーであり、場所 ( の座標 ) によって定まった値を持
つ。V は空間座標のみの関数であるから、通常 V (x) の如く書く。
質量 m が重力ポテンシャル V (x) の点 x に存在するとき この物体は mV (x) の位置エネルギーを持つ。地
表付近では mgx。
電場の強さ E の空間で電気量 q の電荷を点 A から電気力線の方向に逆らって距離 x の点 B まで移動する
に必要な仕事の量 W は qEx である。このとき B 点の方が A 点より Ex だけ電気的ポテンシャル (電位 ) が
高いと称する。空間固有の関数 Ex を一般に V (x) と書き、これを電気的ポテンシャルと称する。電気的ポテ
ンシャルの事を簡単に電位と呼んでいる。電位 V (x) の座標 x に存在する電気量 q は qV (x) の電気的ポテン
シャルエネルギーを持つ。二点 A − B 間の電位の差は電位差である。日常的にはこれを電圧とも呼んでいる。
1.5 電流 - 電荷の流れ
電荷の移動を電流と呼んでいる。ある断面を毎秒 1 クーロンの電気量が通過したとき 1 アンペアの電流が
流れたと称する。これは電子の数でいえば約 1019 個がこの断面を通過したことに当る。これらの電子は電位
の高いところから低いところへ移動したのである。
このような電荷を帯びた粒子、特に電子の運動とその性質、周囲の空間即ち電磁場に対する影響、等につい
て詳しく論ずることにする。
例題
家庭用 100 ボルト のコンセントに 100 ワットの電球がついている。このとき毎秒何個の電子がこの電球を
通過して行くか。
*2
力学では速度も V で表すことが多いので、混乱を避けるため、ポテンシャルは ϕ で表すことが多い。ϕ はギリシャ文字でファイ
と読む
1.6 重力と電気力と大きさの比較
5
解答
100 V の電圧で 100 W の電球に流れる電流を I アンペア [ A ] とすると
100[ W ] = 100[ V ] × I[A ]
であるから、この電球を流れる電流は 1 アンペアである。従って毎秒 1 クーロンの電気量がこの電球を通過し
ていくことになる。電子 1 個の電荷 e は e = 1.6 × 10−19 クーロンであるから 1 クーロン中の電子の数 n は
n=
1
= 0.645 × 1019
1.6 × 10−19
となる。即ち、1 アンペアとは 0.645(= 1/1.6) × 1019 個の電子が一方向へ向かって移動している状態のこと
である。
1.6 重力と電気力と大きさの比較
重力は電磁気の力に比較して大変小さい力であることは既に述べているが、どの程度小さいのかをもう少し
定量的に比較してみることにする。これらの力の大きさを左右するものはそれぞれの力の比例定数 G 及び、k
である。表 1.1 にこれらの値が示されている。即ち
G = 6.7 × 10−11 [N · m/kg]
(1.4)
k = 9.0 × 109 [N · m/C]2
(1.5)
である。
全ての原子の中で最も構造の簡単な原子は水素原子である。水素原子の構造は、図 1.4 に示す如く、中央に
1 個の陽子が有り、その周囲を 1 個の電子が回っている。地球が太陽の周りをまわっている様子によく例えら
れる。これは地球と太陽の間に作用している重力を求心力としてまわっているのであることはよく知られてい
るところである。
図 1.4 水素原子の模型図。水素原子は 1 個の陽子の回りを 1 個の電子が半径 r で回っている。陽子と電
子は同じ大きさで符号の異なる電荷を持つ。この円運動の求心力としてクーロン力 fC と重力 fG が作用
しているはずである。
水素原子の場合についてみると、電子は中央に位置する陽子との間に作用する電磁気力 ( クーロン力 ) を求
心力としてまわっているのである。電子も陽子も同量の電荷 e を持つ。この電子又は陽子の持つ電荷 e は自
然界に存在する最小の電気量で、その大きさは
e = 1.6 × 10−19
[ Coulombs ]
(1.6)
6
第1章
重力場と電磁場
である。
電子 ( m ) 及び陽子 ( M ) はそれぞれ質量を持つ。従ってこれらの間には万有引力も作用している。然し
この重力の影響はクーロン力に比較して著しく小さいので、通常は考慮する必要はない。
ここでは水素原子内の陽子と電子の間に作用している 2 種類の力、クーロン力 fC と万有引力 fG の大きさ
を比較してみることにする。電子の軌道半径を r とすると各々の力は次のようにかける。
fG =
GmM
r2
(1.7)
ke2
r2
(1.8)
fC =
ここで電子及び陽子の質量、それぞれ m, M 、は既に十分精確に測定されていて、理科年表などによると次
の通りである。
m = 9.1−31 [kg]
(1.9)
M = 1.7 × 10−27 [kg]
(1.10)
又万有引力引力の定数 G とクーロン力の比例定数 k は表 1.1 に示してあるとおりである。これらを考慮して
二つの力の割合を比較してみることにする。
計算を簡単にするために、先ず比例定数 G と k の倍率を計算しておく。式 ( 1.4 ) と ( 1.5 ) からそれらの
比を取ると、
[ ]−2
G
6.7 × 10−11 [ N · m/kg ]2
−20 kg
=
=
0.74
×
10
k
9.0 × 109 [ N · m/C ]2
C
(1.11)
となる。
次に式 ( 1.7 ) と ( 1.8 ) の比を計算すると、陽子と電子間の距離 r は同じであるから省略できて、次のよう
になる：
( )
fG
GmM
G
9.1 × 10−31 × 1.7 × 10−27 [ kg]2
=
=
·
2
fC
ke2
k
(1.6 × 10−19 [ C ])
( )
G
9.1 × 1.7 × 10−58 [kg]2
=
·
k
1.62 × 10−38 [ C ]2
( )
[ ]2
G
−20 kg
=
× 6.0 × 10
k
C
[ ]2
[ ]−2
kg
kg
× 6.0 × 10−20
= 0.74 × 10−20
C
C
(1.12)
= 4.4 × 10−40
即ち重力の影響はクーロン力に比べて倍率で書くと約 40 桁も小さいのである。従って通常の原子や電子の運
動を論ずる電磁気学においては、重力の影響は全く考慮する必要がないことが分かる。
7
第2章
電場と電子の運動
金属内の自由電子は周囲の温度と同じ平均エネルギーを持って激しいランダム運動を続けている
が、全体として特別の方向へ向かって移動することはない。この電子集団に外部から電場を与える
と電子達はランダム運動をしながら全体としても電場の方向へ向かって集団的な移動を始める。こ
の電子の集団移動は電流として観測される。ここでは電場の性質とこれが電子の及ぼす力について
考える。
2.1 電場による力の伝達と電子の速度
電気の伝わる速度は光の速度と同じと言われているのは、電場の伝わる速度が光速度と同じため、電場をか
けた瞬間に全ての電子がその方向への運動を開始するのであって、電子自身の走る速度が速いのではない。運
動を開始させる力がほぼ光速度で伝わるのである。日常的な電子の走る速度は光速度の 1/1000 程度である。
電灯のスイッチを入れると即座に明かりが付くのはフィラメントの中の電子が即座に動き始めるからであっ
て、発電所にある電子が光速度で電球の所まで走ってくるわけではない。
2.2 電気力線の密度
電場の強さは距離の自乗に反比例して小さくなって行く。これは電気力線の面積当りの数が距離の自乗に比
例して小さくなって行くからと考えることが出来る。即ち電場におかれた電荷の受ける力は電気力線の密度に
比例する。電気力線の密度のことを電束密度 ( flux ) と呼んでいる。
図 2.1
電気力線の面積当りの本数は距離の自乗に反比例して少なくなる。単位面積当りの電気力線の数を
電束密度と呼んでいる。電気量 q の受ける力はこの電束密度に比例する。
8
第2章
2.3
電場と電子の運動
原子の構造と金属内の自由電子
電子の集団に電場をかけるとクーロン力が働き、電子は電場の方向へ一様に動きはじめる ( 電子の電荷はマ
イナスなので電場の方向と反対であるが . . . )。この電子の一様な流れが電流である。電気を良く通すことで知
られている金属の場合について、この電流となる電子の様子を原子の立場から検討してみる。
2.3.1 原子模型
図 2.2 は原子の構造を示す概念図である。中心にプラスの電荷を持つ重い原子核があり、その周りを幾つか
の電子が回っている。重力場における太陽とその惑星の関係に良く似ている。電子の数は原子核の中の陽子の
数と同数存在して、全体として原子は電気的には中性の状態にある。
( flux ) と呼んでいる。
図 2.2
原子の模型図。太陽の周りをまわる惑星達と似ている。このような模型を原子のシェルモデル
(shell Model - 殻模型) と呼んでいる。電子の走る軌道のことをシェルと呼んでいる。原子核から遠いシェ
ルの電子は原子核からの引力が弱く自由電子となりやすい。
金属のように多くの電子が幾重にも原子核を取り巻いて存在する時は、遠くにいる電子は原子核からの引力
が弱く、更に原子核の発する電場の多くは内側の電子によって打ち消され外側の電場は極めて弱い。即ち外側
の電子は剥がれ易い。この剥がれ易い電子がいろいろな化学反応や、電気伝導などで重要な役割を果たすので
ある。元素の性質もこの剥がれ易い電子の数によって決る場合が多い。
2.3.2 自由電子
金属内にはこのような原子が密集して存在している。第 8.2 図はこの状態を示したものである。このように
原子が密集してくると、剥がれ易い電子は四方八方からの引力や回りの同じく剥がれ易い電子からの斥力など
が複雑に作用して、全くランダムな運動をしながら金属内をさまようことになる。このように固有の原子核か
ら離れて自由にさまよう電子のことを自由電子と呼んでいる。自由電子の運動は気体の分子運動と極めて似て
いる。その運動エネルギー分布は気体のマックスウェルーボルツマン分布の場合とほぼ同じである。
2.4 導体中の自由電子と電流
2.4 導体中の自由電子と電流
2.4.1 金属の電子ガス模型
金属の中にはたくさんの自由電子があたかも空気中のガスのようにランダムな運動*1 をしている。このよう
な見方をするとき、これを金属の電子ガス模型と呼んでいる。空気中の酸素や窒素分子が電子で置き代わった
ものを想像すれば良い。
図 2.3
金属中の電子ガスの運動状態。速度の方向、エネルギーはランダムであり、互いに衝突を繰り返し
ながら、エネルギーの交換をしており、そのエネルギー分布は気体分子のボルツマン分布と同じ。この金属
に外部から電場が加わると、ランダム運動を繰り返しながら、全体として電場の方向へ移動してゆく。この
全体の並進運動が電流となって現れる。個々の電子のランダム運動のスピードは全体の並進運動より遥か
に高速である！！
各々の電子はいろいろな速度で衝突しながらランダムに走り回っている。極端な低温の場合を除いて、これ
ら電子ガスのエネルギー分布は空気の場合同様マックスウェルーボルツマンの分布によく似ている事から、そ
の金属全体を電子ガスの入った容器と仮定して種々な現象を説明することができる。
図 2.4
電子は質量が大変小さいので、ランダム運動による衝突回数も多く、たちまち全体が平衡状態に達
する。熱伝導が速い。部屋の空気分子は、質量が大きく、同じ温度では速度が大変小さい、この為ランダム
運動による衝突回数も少なく、平衡状態に達するまでに長時間を要する。電津伝導が悪い。
*1
ランダム運動のことを熱運動とも呼んでいる。
9
10
第2章
電場と電子の運動
針金の先端を炎の中に入れるとたちまち手元まで熱くなる。金属は熱伝導が高い。これは針金の先
端の電子ガスのランダム運動のエネルギーが高くなり、周辺の電子と衝突を繰り返し、全体が一様
な温度になってエントロピーの増大を目指すからである。この点は部屋の片隅をストーブで暖めた
のと同じである。電子ガスと空気の違いはその質量の点である。電子の場合は質量が大変小さいた
め、同じエネルギー (温度) でもそのランダム運動のスピードが極めて速い。従って素早く衝突が繰
り返され、短時間に全体の温度が一様になるのである。即ち、エントロピー最大が短時間に実現す
る。従って自由電子のガス (金属) は空気に比べて熱伝導が高いのである。
2.4.2 熱運動
電子は電気を持っているので各々の電子の軌跡に従って電流が流れているが、全体としては互いに消しあっ
て電流が流れているようには見えないのである。これは電子運動の速度や方向が完全にランダムであるからで
ある。このようなランダム運動によるエネルギーは熱としてのみ現れる。この事から一般にランダム運動のこ
とを熱運動 ( thermal motion ) とも呼んでいる。
１個の電子の持つ電流は ev で表され、速度 v は方向性を持つベクトル量であるため、反対方向に同じ速さ
で走っている電子があれば互いに打ち消しあってゼロとなって見える。他方運動エネルギーは で表されるスカ
ラー量なので、どの方向に走っている電子のエネルギーも加算されるので、速度が大きくなるとそれに対応し
て全エネルギーは増大してゆく。このように全体として特定の方向への移動を伴わないエネルーギーは、熱エ
ネルギーとして現れるのである。
2.5 熱運動と定常電流
ランダム運動している電子の集団に外部から電場 E がかかると、各電子がこれまでのランダム運動と共に
電場の方向の力が加わって、全体として電子は電場の方向へ加速されて移動 ( 並進 ) し始める ( 運動の第二法
則 f = qE = mα )。このような電子の全体としての移動が電流となって現れる。定常電流は激しくランダム
運動している電子が全体としてある特定の方向へ集団移動して行く現象である。この集団移動の速度は、個々
の電子のランダム運動の速度に比べて比較的ゆっくりとしたものと考えてよい。
電流は、激しくランダム運動している蜻蛉 ( 電子 ) の集団がそよ風に乗って流されて行く ( 定常電
流 ) 情景に似ているか？ 蜻蛉の数が多ければそれだけ大きな電流が流れることになる。風の速度
が速くなれば蜻蛉の数は同じでも、毎秒の蜻蛉の移動数は多くなり、大きな電流が流れていること
になる。蜻蛉の集団内での動きが激しいほど温度が高い。全ての蜻蛉が風の流れに身を任せれば、
定常電流は変わらないが、温度は大変低いことになる。風がやみ、蜻蛉の集団が一カ所で飛び回っ
ているときは、温度は高いが定常電流はゼロ。
蜻蛉は電子であり、風の流れに漂う蜻蛉集団は電流である。各々の蜻蛉は e の電荷を持つ。1019 匹
の蜻蛉集団が 1 クーロンの電気量となる。毎秒この 1019 匹の集団が目の前を通過して行くとき、1
アンペアーの電流が流れたと称している。
ランダム運動のみの場合、それがいかに激しくても自由電子の集団全体の重心の位置は変わらない。運動の
激しさは温度の高さとなって現れる。
外部から電場が加わると電子集団全体の重心の移動が始まる。この重心の移動 ( 流れ ) が電流となって現れ
る。電流は自由電子集団全体がきまった方向への流れによる。毎秒 1 Coulomb ( 電子の数にして約 1019 個 )
2.6 電気抵抗とジュール熱
の電子集団がある方向へ移動しているとき、1 Ampere の電流が流れたと称しているのである。
2.6 電気抵抗とジュール熱
電場により加速されると電子の衝突は次第に激しくなってランダム運動によるエネルギーが高くなってい
く。即ち温度が上がってゆく。この衝突の現象が電気抵抗であり、それによるランダム運動のエネルギー上昇
が電流による熱の発生となって現れる。このように電流と抵抗によって発生する熱をジュール熱とも呼んで
いる。
電場から得たエネルギーの一部は衝突によりランダム運動のエネルギーに変えられジュール熱となる。これ
が電気抵抗によるエネルギーの損失と呼ばれるものである。加速される方向は電場の方向のみであるが、衝突
の速度が速いため、散乱されて行く速度も速くなり、この方向を変えた分だけ、電場方向の速度成分は小さく
なり、ランダム方向の速度が高まる。これが定常電流が熱エネルギーに変化するメカニズムなのである。第
11.1 図はこの様子を示したものである。
図 2.5
電場方向 (水平) 煮加速された電子は衝突によって方向を変えると、その分だけ電場方向の速度成
分は小さくなり、垂直成分即ちランダム運動 · 熱運動の速度を得る。
2.7 温度と電気抵抗とエントロピー
2.7.1 温度と電気抵抗
金属内のランダムな運動が激しくなり、温度が高くなると電子同志の衝突がはげしくなり電場による並進運
動も更に困難になっていく。即ち、金属内の温度が高くなると電気抵抗も大きくなって行くのである。
2.7.2 エントロピーの増大
並進の加速運動も激しい衝突の繰り返しにより互いにエネルギーを交換しながらランダム運動のエネルギー
( 熱エネルギー ) に代って行く。即ち、ランダム運動の方が並進運動のような整然とした運動よりエントロ
ピーが大きいのである。これを自由電子のエネルギー分布で見ると電子集団全体のエネルギー分布は第 12.1
図の如く高い方へ移動してゆく。電子の平均の運動エネルギーが高くなり温度が上がる。
11
12
第2章
図 2.6
電場と電子の運動
自由電子のエネルギー分布。外部からの電場により加速されて得た並進運動のエネルギーも互いに
衝突を繰り返しているうちにランダム運動のエネルギーに代わってゆく (エントロピー増大の法則)。した
がって全体のエネルギーも高い方へ移動してゆく。エントロピーが最大となるような分布に変わってゆく
のである。
2.8 電気抵抗
ある断面を毎秒どれだけの電気量が通過したかが電流の大きさとなるから、温度又はランダム運動の状態が
同じなら、同じ電場の強さでもこの断面積が大きい程大量の電子が移動する事になる、即ち、電位差が同じで
も大量の電気量が移動する。電気抵抗は導体の金属が同じならその断面積に反比例する。即ち、同じ金属なら
太い導線程電気抵抗は小さく毎秒大量の電気量が運ばれ、大きな電流が流れる。
電位差が小さく電子の速度がのろくても導体が太ければ大量の電子が移動するので電流は大きい。胴体が細
ければ電子の速度が速くても電子の異動する総量は少ない。よく例えられる水の流れの例では「揚子江の流れ
は極めてのろいが、毎秒吐き出す水量は莫大なものである。水道の蛇口の水は大変勢いは良いが、毎秒吐き出
す水量はたかがしれている」といった類である。
13
第3章
荷電粒子の運動と電磁場
要約
i) 荷電粒子が走るとその周辺には磁場が発生する。方向は右ネジ。
ii) 磁場中を荷電粒子が走ると進行方向と直角にローレンツ力が発生。方向は速度 v から磁場 B
へ向かって右ネジ q [v B]。
iii) 磁束密度の高い方から低い方へ力が働く。
iv) 磁束密度の時間的変化は電場を発生させる。方向は磁束密度の変化を妨げる方向。大きさは
時間変化に比例。コイルの中へ急激に棒磁石を挿入するとコイルに電流が流れる。入れたま
ま放置すると電流は次第になくなる。動いていることが大切。
応用例
i) 平行電流は互いに引力。
ii) 一様磁場中を垂直に横切る荷電粒子は円運動。
iii) 磁石の振動はコイルに電流を発生。マイクロフォン等。
3.1 右手系座標と右ネジの法則
x 軸を y 軸の方向へ向かって回転する時、ネジの進む方向に z 軸が向いているような座標系のことを右手
系と呼ぶ。これを
[y · z] = x,
[z · x] = y,
[x · y] = z
(3.1)
の如く、各軸名がアルファベット順に繰り返されていることが分かる。即ち y 軸を z 軸の方向へ回転したと
きネジが進む方向が x 軸の方向である。物理学の理論はグラフ表示するときには、全てこのような右手系の座
標を使用している。
これは既に小学校時代から馴染んできている座標系のことである。x 軸を水平右向きに書くとき、y 軸を垂
直上向きに書く習慣のことである。この時 y 軸を下向きに取る座標系は左手系である。
右手系と左手系は互いに対称にできており、右手系から左手系に移るには式 ( 3.1 ) において、軸の向き、
x, y, z の符号を逆に取ればよい。即ち、
[y · z] = −x,
[ z · x] = −y,
[x · y] = −z
(3.2)
とすればよい。最もよく見られる左手系の世界は鏡に映った像である。鏡に写ってみえる自分の像は左手系の
姿である。鏡の中には左手で歯を磨いている自分の姿を見る筈である。
14
第3章
図 3.1
荷電粒子の運動と電磁場
右手系座標と右ネジの法則。x 軸を y 軸へ回転した時ネジは z 軸の方向へ進む。同様に y 軸を z
軸の方向へ回転するとネジは x 方向へ進む。このように x → y → z と文字の順番がのように逆順になら
ないような関係になっているとき、この系は「右手系」であると称する。
3.2 電磁場における荷電粒子の運動
地球 (質量 M ) の表面に於ける重力場の強さは g である。重力場 g は質量 m に力を及ぼす。同様に電荷
Q の周辺に於ける電場の強さを E と書くことにする。電場 E は他の電荷 q に力を及ぼす。今質量 m の物体
が電荷 q を帯びているときこれらの運動を形式的に比較してみる。図 3.2 を参考にして比較してみるとよい。
3.2.1 重力場と質量 m
重力場の強さは g である。地上 x1 の位置に質量 m の物体があるとき、その位置エネルギー ( potential
energy ) は mgx1 である*1 。この物体が x2 の位置まで移動 ( 落下 ) するとき、その位置エネルギーの差
mgx2 − mgx1 が運動エネルギーに変換される。そのあいだの関係は
1
mv 2 = mgx2 − mgx1 = mgh,
2
= mV,
h = x2 − x1
(3.3)
gx2 − gx1 = V2 − V1
ここで、 V はポテンシャル V1 = gx1 と V2 = gx2 の差である。その最終速度が
√
v=
2mgh
≡
m
√
2mgV
m
(3.4)
の関係にあることは簡単に知ることができる。
3.2.2 電磁場と電気量 q
電場の強さ E の空間で点 x1 における質量 m の物体に電荷 q がある時、その電気的位置エネルギー ( ポテ
ンシャルエネルギー) は qEx1 である。この物体が x2 の位置まで移動すると、その位置エネルギーの差が運
動エネルギーに変換される：
1
mv 2 = qEx2 − qEx1 = q(V2 − V1 ) = qV,
2
*1
V = V2 − V1
重力場は電磁場に比べて大変弱いので、電磁場が存在する場合は重力場は無視して良い。
(3.5)
3.2 電磁場における荷電粒子の運動
図 3.2
15
重力場における質量 m の加速と、電磁場中における電気量 q の加速運動の比較。
である。式 ( 3.5 ) から、その最終速度は
√
v=
2qV
m
(3.6)
で与えられる ( 重力場では電気量 q の代わりに質量 m がくるので、式 ( 3.6 ) は 式 ( 3.4 ) と同じ形式になっ
ている)。V1 及び V2 はそれぞれの場所におけるポテンシャルであり、電気の場合には電位と呼んでいる ( 重
力場では高さとか水位等と呼ばれているものと同じである )。従って V = V2 − V1 は電位の差であり、電位差
と呼んでいる。日常的には電圧とも呼ばれている。
16
第3章
荷電粒子の運動と電磁場
ポテンシャルとポテンシャルエネルギーについてのお話
• 質量 m の人が 1 階にいるとき、そのポテンシャルエネルギーは mgh である ( 各階の高さを h と
する )。この人が 2 階に上がるとそのポテンシャルエネルギーは となる。これは 2 人の人が 1 階
にいるのと同じポテンシャルエネルギーを持つことになる。
• これに対して、1 階とか 2 階のような場所 ( 空間的な位置 ) がポテンシャルである。即ち、質量が
存在すると、それにエネルギーを発生させる能力が場所によって異なるのである。1 階より 2 階の
方がその能力が 2 倍高いのである。このことを 2 階の方がポテンシャルが高いと称する。同じ人な
らポテンシャルの高い所にいる方がポテンシャルエネルギーは高いのである。低いところにいても
質量の大きい人なら同じエネルギーを持つことができる。
• 2 階の人が足場を失うと、よりポテンシャルの低い所へ、自動的に移動する ( 落下する )。これは
ポテンシャルの低い方が、より安定であるからである。状態はポテンシャルの低い方へ向かって変
化する。これによって失ったポテンシャルエネルギーは運動エネルギーに変換される。この失われ
たポテンシャルエネルギーと発生した運動エネルギー、 は同じ量であり、これがエネルギー保存の
法則と呼ばれているものである。
• あらゆる自然現象は安定した状態の方を好む。ポテンシャルの低い状態を好み、またエントロピー
の大きい状態を好むのである。
• しからば、ポテンシャルは低いがエントロピーは小さい状態と、ポテンシャルは高いがエントロピー
が大きい状態があるときは、自然はどちらを好むのか！？ これは思案のしどころだ！！ あなた
ならどちらを選ぶ？ まさか一つの体で 両方！ と云うわけにもいくまい？
3.2.3 質量もエネルギーである mc2
我々はこれまで位置エネルギー ( ポテンシャルエネルギー )、 運動エネルギー、熱エネルギー等について学
んだが、電気的エネルギー、原子力エネルギーなどいろいろなエネルギーがあることはよく知られている。同
様に質量もエネルギーの一種なのである。質量 m のもつエネルギーは mc2 であることが知られている。ここ
に c は光速度定数である：
E = mc2 ,
c = 3 × 1010 [cm/sec]
(3.7)
である。この光速度定数 c は、重力定数 G、 ボルツマン定数 k 等と共に物理学上最も重要な定数の一つで
ある。光速度は日常的な物体の速度に比べて、比較にならないほど大きいことからも明らかな如く、式 ( 3.7 )
で与えられる質量のエネルギーは大変大きいのである。例えば 1g の質量の持つエネルギーは ジュール、約
100 兆ジュールにも及ぶのである。従って日常は質量を運動エネルギーや熱エネルギー等と同じ単位で使用さ
れることはない。よく利用されるのは 光速度の二乗 c2 を単位として表すことである。
一方、電子のような素粒子の世界ではその質量も大変小さく、日常のグラム単位で表すのは大変不便である。
例えば電子の質量は である。この質量の小ささから、日常的なエネルギー、例えば室温 ( 約 1/40 eV ) にお
いても、その速度は大変速く、光速度に比較できるほどである。
3.2.4 電子の速度
このように軽い電子は、同じエネルギーでもその速度は大変大きく、km/sec 等の単位で表現するにはあま
りにも大き過ぎる。通常これらの速度は光速度 c を単位として表し、これを記号 β で表す、即ち光の速度の何
倍かで表す：
β=
v
c
いかなる物体も光速度を越えて走ることはないので、β は 1 より大きくなることはない。
(3.8)
3.3 電荷の運動と磁場の発生
17
これらの素粒子の質量は通常 eV ( エレクトロンボルト ) の単位で表すのが普通である。例えば、電子の質
量はエネルギー単位で表すと mc2 = 0.51 MeV であり、陽子の質量は 940 MeV である。 MeV ( ミリオン・
エレクトロンボルト ) は 106 eV である。
式 ( 3.6 ) は質量 m, 電気量 q の物体が電位差 V ( ポテンシャルの差 、電位差は電圧とも呼ばれている ) に
よって加速されたときの運動エネルギーまたは速度を与えている。このように電気量を含んでいる物体の運動
エネルギーを表現するのには eV 単位を利用するのが便利である。いま、質量 m 、電気量 q を、最も基本的
な素粒子の一つである電子の質量 m とその電荷 e の場合について検討すると、式 ( 3.6 ) の両辺を c2 で割っ
て次のように書ける。また mc2 は電子の質量のもつエネルギーを表すことになり、0.51 MeV であるから、こ
れを代入すると、
β=
v
=
c
√
v2
2[eV]
=
2
c
mc2
√
2[ev]
=
mc2
(3.9)
2[eV]
= 1.98 × 10−3
0.51 × 106 [eV]
即ち光速度の約 0.2% である。実際の速度 v は、その単位である光速度定数 c を掛けて
v = 1.98 × 10−3 c = 1.98 × 10−3 × 3 × 105 [km/ sec] = 5.94 × 102 [km/ sec]
(3.10)
の如く簡単に求めることができる。
表 3.1 計算に便利な換算表
2
1 [g]
5.6 × 1032 [ eV/c ]
1 [eV]
1.6 × 10−19 [Joules]
2
電子の質量
m
510 [ keV/c ]
電子の電荷
e
1.6 × 10−19 [ Coulombs]
電子の電荷と質量の比
(e/m)
1.76 × 1011 [ Coulombs/kg]
3.3 電荷の運動と磁場の発生
これまで電気量について検討してきたが、磁気についても全く同様な議論が可能である。電気量 q, Q 等の
代わりに磁気量 m, M を用い、電場の強さ ( 正確には 電気力線の密度 ) E の代わりに 磁場の強さ ( 正確に
は磁束密度 ) B で置き換えるだけでよい。
今度は電子のように電荷を持った粒子が光速度で走るとき、その周辺でどのようなことが起こるかについて
考えてみる。電荷を帯びた粒子が空間中を走るとき、その周辺には進行方向と垂直な面に円形状の磁場が発生
する。電流が流れている針金の周辺には、それをとりまく円形状の磁場が生じている。針金の近くは磁場が強
く、遠ざかるに従って急速に弱くなってゆく。電気量 q の物体が z 軸の方向へ走るとき、そのまわりには円形
の磁場が発生する。その方向は右ネジの法則にしたがい x 軸から y 軸の方向へ回転する方向である。発生す
る磁場の強さは電気量 q の大きさに比例して大きく、q からの距離の二乗に反比例して小さくなっていく。
3.4 磁場中における荷電粒子の運動
磁場を横切って荷電粒子が走ると進行方向と直角の方向に力を受ける。その力の方向は速度の方向から磁場
の方向へ右ネジをまわしたとき、ネジの進む方向と同じ。その大きさは、磁場が強いほど、また速度が速いほ
18
第3章
図 3.3
荷電粒子の運動と電磁場
電荷が走るとその周辺には磁場が発生する。磁場の方向は電荷 q の走る方高へ進む右ねじの回転方
向と同じ (右ねじの法則)。磁場 B の方向は電場と垂直な平面内で右の図のごとく発生。磁束密度 B の強
さは電荷からの距離 r の自乗に反比例して弱くなる。
ど大きい。電荷が大きくなればさらにその分大きくなる。式で表すと、
f = qvB
(3.11)
図 3.4 は磁場の大きさ B と直角に、速度 v の荷電粒子が走る時の磁場 B 、速度 v 、力 f の方向の関係を示
したものである。
図 3.4 磁場 B と荷電粒子の速度 v と受ける力 f の方向の関係図。
日常よく現れる二三の例をあげる。
3.4.1 同方向に走る荷電粒子は互いに引き合う
同種の電荷が平行に走るとき、各々の電荷が発生する磁場により互いに引き合う。これを図 3.4 の右ねじの
法則による方法と、磁束密度の考え方から検討してみる。
3.4 磁場中における荷電粒子の運動
図 3.5 同方向に向かって走る荷電粒子は、互いの磁場の影響を受けて引き合う方向に力が働く。この図
では第一の粒子の作る磁場により第二の粒子が受ける力を示している。第一の粒子についても同様である。
このことから同符号の荷電粒子が同じ方向へ向かって走るときは、互いに引き合う方向に力が働く。
ローレンツ力による検討
磁束密度の大きい方から小さい方へ力が働く。
二つの平行に走る電荷の作る磁場の関係を見ると図 3.6 のごとくになっている。二つの電荷の内側は、互い
に作る磁場の方向は逆向きで互いに打ち消す方向であるが、外側では二つの電荷の作る磁場が同じ方向を向い
ており、互いに助け合う方向である。このことから磁束密度の大きい方から小さい方へ圧力 ( 力 ) が働くと考
えてもよい。
図 3.6
磁束密度の大きい方から密度の小さい方へ力が働く。二粒子の外側は、磁場の方向が同じため、互
いに加わって磁束密度が高くなる。二粒子間では磁場の方向が逆向きとなり互いに打ち消し合って磁束密
度が小さくなる。磁束密度の高い方から低い方へ力が加わる。磁束密度の高い方が圧力が高い。
二本の平行な針金に、同方向に電流を流すと互いに引き合う。金属のパイプで作られた避雷針に落雷すると、
この電流による引力でパイプが潰れることがある。これらは全て荷電粒子 ( 電子 ) の運動による磁場の発生と
それるによるローレンツ力によるものである。
19
20
第3章
荷電粒子の運動と電磁場
3.4.2 一様な磁場中をこれと直角に等速度で走る荷電粒子の軌道は円運動である。
一定の速さで走る物体に、常にこれと垂直な力が作用するとき、この物体は円運動をすることは既に力学で
学んだ。図 3.7 の場合、ローレンツ力は荷電粒子の進行方向と直角に作用する。これが求心力となり、等速円
運動となるのである。速度が次第に大きくなるときは、半径が次第に大きくなり、渦巻状の運動をすることに
なる。
図 3.7
一様な磁場中を、磁場と直角に一定の速さで走る電荷は、等速円運動である。ローレンツ力の方向
は v から B へ右ネジ。また円内は電荷の作る磁場が外部からの磁場 B と反対方向を向くため磁束密度が
小さい。円の外部は内部より圧力が高いので内向きの力。外部は補い合う。
例題
質量 m、電気量 q の物体が速度 v で磁場 B の空間では円運動するときの軌道半径 r はどのよう表せるか
(図 3.7 参照)。磁場 B によって受けるローレンツ力は f は
f = qvB
(3.12)
であるから、この力 f を求心力として速度 v で等速円運動する時の加速度 α は
α=
v2
r
(3.13)
であるから、運動の第二法則「f = mα」の関係を利用して、
v2
r
(3.14)
mv
p
=
qB
qB
(3.15)
qvB = m ·
となる。これより r を求めると
r=
と書くことができる。ここで p = mv はこの物体の運動量である。
逆に正確に測定されている磁場 B の中へ電荷 q を持粒子が入射してきたとき、軌道半径を測定すればこの
粒子の運動量 p は次のようにかける。
p = qBr
(3.16)
3.5 磁場の変動による電流の発生
21
この関係は荷電粒子の運動量を測定する際によく利用される重要な関係式である。このような測定器は磁気分
析装置などと呼ばれることが多い。このような場合粒子の運動量の値を Br 又は Bρ (ビーロー) 値などと呼ば
れ事さえある。これは軌道半径を記号 ρ で表す習慣による。
3.4.3 コイルについて
強い磁場を作り出すことは、いろいろな応用上大変重要である。原理的には大量の荷電粒子を高速度で走ら
せれば qv が大きくなり、その周辺には強い磁場が発生する。即ち大電流を流せばよい。そのためには直線電
流を流すより、円状に電流を流すと、その内部では全ての磁場が互いに同方向に向かって助け合い、効率良く
磁場を集中できる。さらにこの円電流を幾重にも重ね合わせると、一層効果的である。コイルはこれらの条件
をよく満たしている。また図 3.8 のごとく、直線状に巻かれたコイルの内部にできる磁場は、直線的でかつ一
様である。この性質はいろいろな面で応用されている。
図 3.8 円電流の内部では、電流の発生する磁場は全て同じ方向を向いて、円内部に閉じ込められる ( 左図
)。これを積み重ねたのがコイルである。同じ電流に対して、コイル内部の磁場は巻数の数に応じてどんど
ん強くなっていく。コイル内部の磁場はほとんど一様になる。
これらの性質を利用して、コイルは種々な電気製品や工業の電磁石などに多く利用されている。電化製品で
はコンセントの電圧をラジオ等の電源電圧費変換する変圧器、カセットテープなどを回すモーター、マイクロ
フォンやスピーカーなどの音声を電気信号に変換するためにもコイルは重要な役割を果たしている。
3.5 磁場の変動による電流の発生
磁場が急激に変動すると、その周辺には電場が発生して磁場の減少を防ごうとする。この電場の大きさは磁
場の変動の激しさ、即ち単位時間当りの磁束密度の変化に比例する。
E = −α ·
∆B
,
∆t
αは比例定数
(3.17)
図 3.9 の左図に於て、上向きの磁束密度が急速に減少すると、これを補うため、右の図のごとく上向きの磁
場を作る方向、即ち右ネジを上向きに進めるような回転方向に電場が発生する。 従って発生した電場は周辺の
荷電粒子に力を及ぼし、これらを加速し、これは電流を発生させる源となる。即ち、ここに導体があると矢印
の方向に電流が発生する。
22
第3章
図 3.9
荷電粒子の運動と電磁場
磁束密度が急激に変化すると、この変化を補う方向へ電場が発生する。発生する電場の大きさは磁
束密度の変化の激しさ、即ち磁束密度の時間的変化の大きさに比例する。
これらの現象を利用したものにマイクロフォン等がある*2 。音声からの風圧がマイクロフォンの振動板に当
ると、これと一体になっている磁石が音圧に応じて振動する。この磁石の回りにはコイルが巻いてあり、この
磁石の変動による磁束密度の変化が、コイルに電流を発生させる。
コイルにより発生した電流を増幅し、第二のコイルに流す。このコイルの中にも振動板 ( スピーカー ) に直
結した磁石があり、コイルの電流変化に応じた磁束密度の変化によって振動板が振動する。
図 3.10
マイクロフォンの原理図。音による風圧がコイルの中にある磁石の振動板を振動させる。この振
動によりコイル内の磁束密度が時間と共に変化するので、コイルに電流が発生する。
*2
最近はコンデンサーの原理を利用した、小型のものがよく利用されている
23
第4章
エネルギー量子の発見
フランク-ヘルツ ( J. Franck and G. Hertz ) の実験 ( 1914 ) について考えてみる。この実験
はエネルギー量子の考え方を実験的に示したもので、近代物理学の基礎となっている量子論発展の
歴史に於て、最も重要な実験の一つである。原子がエネルギーレベルを持つことを発見したのであ
る。
これにより原子が惑星のような軌道を持つ電子を含む今日の原子模型をを知ることになるのであ
る。実験の議論にはいる前に装置を概観し、電場と電子の運動、電子のランダム運動、ジュール熱
などがどの様に利用されているか復習してみる。
4.1 Frank-Hertz の実験
実験装置*1 は、水銀の蒸気を封入したガラス菅の中にフィラメント、グリッド及び陽極の電極をセットした
ものである。水銀蒸気のはいった真空菅、又は今日の蛍光灯を想像すれば良い。その装置のスケッチを第 19.1
図 4.1 に示す。
図 4.1 フランク-ヘルツの実験装置の概念図。
*1
J. Frank と G.L.Hertz の二人はこの業績により 1925 年ノーベル物理学賞が授与された。James Frank and Gustav Hertz,
Impact of an electron upon an atom (1925)
24
第 4 章 エネルギー量子の発見
4.1.1 フィラメントの役割とその現象について
電流が流れ、発熱、発光
i) フィラメントはタングステンなどの金属を真空中にいれて、これに電流を流すとジュール熱で発熱して
明るい光を放つ。白熱電球として知られている物である。金属の中では自由電子がランダム運動をして
いる。電場がない場合は電子の運動は平均化されているので電流とはならない。
ii) これを電池に繋いで電圧をかけるとランダム運動に加えて、電場の方向に全体として移動をはじめるの
で、これが電流となって現れる。
iii) この電場の方向への加速は電子同志の衝突を激しくし、一段とランダム運動が激しくなる。即ち整然と
して一方向への運動 ( 電流 ) によるエネルギーは, より自由度の高い乱雑な運動 ( ランダム運動 -熱運
動 ) のエネルギーへと変化して行く。即ちエントロピーが増加して行く。これがジュール熱であった。
iv) ランダム運動が激しくなると電場による電子の流れは益々多くの激しい衝突を繰り返すことになり進行
が困難になる。即ち金属は益々ジュール熱により温度が高くなり電気抵抗が大きくなってゆく。
v) 電子は急激に加速されたり、方向を変えたりすると電磁波を発生する。ランダム運動のエネルギーが高
くなると発生する電磁波のエネルギーも高くなり、その波長が短くなり、ついに可視光線の領域にはい
る。これがジュール熱による発光であり、白熱電球はこの光を利用しているのである。金属の温度が高
くなると電気抵抗は大きくなる。
金属内の自由電子が蒸発する
i) これによりますますランダム運動のエネルギーが高くなると、元々原子核からの引力が小さかった自由
電子であるから、ついには完全に原子核から離れて金属の外へ飛び出してしまうものも多くなってくる。
所謂熱電子の放出である。これらは液体の蒸発に対応している。
ii) 弱いながらも金属内部の原子に引かれているため、この力に打ち勝って蒸発*2 し金属の外へ飛び出した
電子のエネルギーは大変小さい。
iii) このフィラメントに図 4.1 のごとく電場がかけてあると、金属から飛び出ると同時にこの電場で加速さ
れ速度を上げながらフィラメントから遠ざかって行く。
以上がフィラメントの働きである。即ち、フィラメントは真空菅の中へ電子を供給する源である。
フィラメントを飛び出した電子
金属からとびだした自由電子は、陽極からの電場で加速されそのエネルギーを増して行く。しかしこのガラ
ス菅の中には水銀のガスが封入してあるので、この加速された電子は水銀の原子と衝突することになる。
4.1.2 グリッドと陽極
i) グリッドはフィラメントに比べて高い電位に設定されており、フィラメントから蒸発した電子に強い引
力 ( クーロン力 ) を与えて加速する。グリッドは網目状になっており、十分加速された電子はこの網目
を通過して陽極まで到達できるようになっている。
*2
水の蒸発に於ける表面張力のようなもので、金属面から飛び出す際に内部からの引力にの影響でエネルギーを失う。このエネル
ギーは仕事関数 (work function) と呼ばれている。その値は金属の性質によって異なる。
4.2 実験操作について
図 4.2
電場により加速された電子は互いに激しい衝突を繰返し、そのエネルギーはランダム運動のエネル
ギーに変わってゆき、発生する電磁波は可視光線の領域に達し発光し始める。更に金属表面の電子で特にエ
ネルギー分布図の高い部分の電子は微かな原子核からのクーロン力にも打ち勝って外部へ蒸発してゆく。
ii) 陽極はグリッドより少し低い電位に設定されており、グリッドを通過した電子に逆向きの力が作用して
ブレーキをかける。この為十分高いエネルギーまで加速されなかった電子は陽極まで到達出来ずグリッ
ドに吸着されてしまう。
iii) 即ち、十分高速に加速された電子のみが陽極まで到達してこの金属内へ侵入して電流となる。この電流
の大きさを電流計 (図 4.1 の A ) で読み取ることにする。
4.2 実験操作について
i) グリッドの電位を次第に上げてゆくとフィラメントとの間により強い電場が発生するから、電子はより
強いクーロン力を受け加速度が大きくより高速で走るようになる。そのため毎秒陽極へ到達する電子の
数は多くなり、陽極を流れる電流は増大する。この電流は図 4.1 の電流計 A で観測される。
ii) 従ってグリッドの電位を上げてゆくとそれに応じて陽極の電流は多く流れるようになってゆく。一般に
は図 4.3-左図のようなグラフが期待される。これは一般的に抵抗を待つ金属導体に電圧をかけたときに
起こるよく知られている現象である。
4.3 実験とその結果
i) フランク-ヘルツはこのガラス管の中に水銀の蒸気を封入してグリッドの電位を変えながら陽極の電流
を測定していった。
ii) その結果は上に述べた予想とは異り、陽極電流の大きさはグリッドの電位と共に大きな変動を繰返し、
図 4.3 ー右図のような多くの山と谷を交互に繰返しを示すグラフを得た。更に特徴的なことは、これら
の山と谷の間隔がほぼ等間隔 ( 約 4.9 ボルト ) に繰り返される結果となった。この現象はこれまでの一
般的な電流と電圧の関係 (4.3 左図) からは理解できない不可解な現象である。
である。
25
26
第 4 章 エネルギー量子の発見
図 4.3
フランク-ヘルツの実験で得られたグリッド電位と陽極電流の関係のグラフ ( 概念図 )。グリッド
電位を上げていくと陽極電流は著しく増加するが、ある程度を越えると又元通りに減少する。このような状
態を繰り返す。特徴的なことは山と谷がほぼ等間隔に繰返される事である。左図は通常の導体における電
圧と電流の関係。
4.4 現象の分析
i) 管内には水銀の蒸気が満たしてあるので電子は水銀原子と衝突してエネルギーを失い、グリッドに吸着
されて陽極まで到達できないに違いない。従って陽極の電流は減少する。
ii) しからば更にグリッドの電位を上げて電子を加速したとき再び陽極電流が増加し、山と谷を等間隔で繰
り返すのは何故か？
iii) 二つのテニスボールを衝突させた場合この様なことは考えられない。ぶつかってくる球が速くなれば当
然衝突後のスピードも速くなる ( 力学の衝突問題を思い出してみよう )。
iv) 水銀原子と衝突後の電子のエネルギーの周期的な変動はこれまでの物理学では理解できない不可解なも
のである。
v) 水銀原子は必ずある決まった量のエネルギーしか電子から受け取らないのである。電子のエネルギーが
いくら大きくても必要以上のエネルギーは受け取らない。又必要量以下であれば決して受け取ることを
しないのである。これが今日のエネルギー量子の考え方の源となったのである。
vi) 現在ではこれらの難問はすべて解決されて、全く新しい物理学、量子論として完成されている。この量
子論の完成により原子、原子核などの内部構造に関係した多くの現象に対する人類の理解は飛躍的に進
歩した。
4.5 この実験結果の物理的解釈について
4.5.1 原子の構造について
i) 原子は中央に重い原子核がありそのまわりを多くの電子が、太陽系の惑星のように、幾重もの軌道に
乗って取り巻いている。これらの電子に外部から電子が入射してきて衝突すると弾きとばされて更に
外側の軌道へととび移る。遠くの軌道へ飛ばすには大きなエネルギーを要する。即ち入射電子のエネル
ギーが高くなければならない。
ii) ここで重要な点は、少しエネルギーを得れば、20 ページの式 ( 17.5 ) の関係にしたがって、そのエネル
ギーに比例して少し軌道半径を大きくするといった事にならない点である。従って次の軌道へ跳ぶに十
分なエネルギーを得ない限りその軌道にとどまっている点である。逆により多くのエネルギーが供給さ
4.5 この実験結果の物理的解釈について
れてもそれが必要以上のエネルギーを受け取ることはない。
iii) 原子の内部では電子の軌道半径は電子のエネルギーと共に連続的に大きくなっていくことはできないの
である。従って原子が吸収できるエネルギーも、この軌道半径に対応してトビトビの値しか吸収できな
いことになる。
図 4.4
原子の構造の概念図。このような模型をシェル-モデル ( 殻 ) と呼んでいる。内側の電子をより外
側まで移動させるには原子核からの引力に逆らって引っ張らねばならないので遠くのシェルへ移動させる
程ほど多くのエネルギーを要する。
4.5.2 エネルギ-スペクトルの説明
図 4.5
陽極の電流が著しく減少する。更にグリッドの電位を上げるとグリッドに到達する前に再び十分の
エネルギーを得て陽極まで到達する。更に電位を上げると二度目の衝突が起こってエネルギーを失い同様
のことを繰り返す。
i) 管内には水銀の蒸気が封入してあるのでフィラメントから出て加速された電子は水銀原子内の電子と衝
27
28
第 4 章 エネルギー量子の発見
突してその電子を更に外側の軌道へ弾きとばし、自分自身のエネルギーを失ってしまう ( エネルギー保
存 )。このため衝突後の電子はエネルギーが低くグリッドに吸着されて陽極までは到達できない。この
ため陽極に流れる電流は著しく低下する。
ii) 更にグリッドの電位を上げてゆくと、衝突によってエネルギーを失っても再びグリッドに到達する前に
十分のエネルギを得て陽極まで到達することが出来るようになる。
iii) 従って再び陽極の電流が流れ始めるのである。更にグリッドの電位を上げていくとグリッドに到達する
前に二度目の衝突をしてエネルギーを失い、同様のことを繰り返す。
29
第5章
原子と原子核
全ての物質は分子よりなり、その分子は数種類の原子の組み合わせによって構成されている。原
子は中央に重く小さい原子核とそれを取りまく電子群によりなる。分子を構成する仕組みはこの原
子周辺を取り巻く電子の数に支配されている。
原子核は 2 種類の粒子、陽子と中性子よりなる。陽子は電荷を持ち、中性子は電気的に中性であ
る。原子核を取り巻く電子の数はこの原子核内の陽子の数によってきまる。従って全ての物質の性
質は原子核内の陽子数によって支配されていることになある。
原子核のサイズは原子の 1 万分の 1 程度のサイズである。このように小さい空間内に於てはエ
ネルギーの最小単位、エネルギー量子が大変大きい。原子核の狭い空間内に閉じこれられて運動し
ている陽子中性子の持つエネルギー量子は大変大きく、原子を取り巻く電子に比べても 1000 倍程
度である。これが原子力エネルギーが巨大な理由である。ここでは原子核の一般的な性質について
述べる。
5.1 元素、原子、原子核
全ての物質は約 100 種類程度の元素の組み合せによって作られており、その元素は原子より構成されてい
る。従っていろいろな元素、物質の性質は原子の構造と深い関係にある。この 100 種類の元素の組み合せの数
は無限に多く、これが自然界の物質の種類の多さの原因である。各々の原子はその中心にプラスの電荷を持つ
重い原子核があり*1 、その周りを何個かの電子が幾重にも取り巻いている。これは太陽の周りを取り巻く惑星
によく例えられ、原子の殻模型 ( shell Model ) と呼ばれている。原子核は太陽に、電子は惑星に対応する。
更に原子核の中を見ると、ほぼ同じ質量を持つ 2 種類の素粒子、陽子と中性子とで構成されている。陽子は
プラスの電荷を持っており、その大きさは電子の電荷と同じである。この電気量が自然界に存在する最小の電
荷である。このことから、ミクロの世界の議論においては、この陽子又は電子の電荷 e を単位として用いるこ
とが多い。
原子の性質、即ち元素の種類、は原子核を構成する陽子の数、又はそれを取り巻く電子の数によって決ると
いってよい。その原子核はわずか 2 種類の素粒子、陽子と中性子、から構成されており、しかもその組み合せ
についてはいろいろな条件がある。このことが元素の種類が僅か 100 種類程度しかない主たる理由である。
*1
今日の原子模型はイギリスの物理学者、Ernest Rutherford ( ケンブリッジ大学キャベンディシュ研究所 ) によって提起された。
原子の放射性変換を発見。この業績で 1908 年ノーベル化学賞が授与された。α 放射線がヘリウムイオンであることを確認、金箔
による α 粒子の散乱から原子核の存在を提起した。α 線による窒素の人工的破壊に初めて成功した。
「原子物理学の父」といわれ
ている
30
第5章
図 5.1
原子と原子核
原子構造の概念図。陽子、中性子の半径は約 1fm、質量は約 940 MeV/c2 。陽子と中性子は約 10
fm 程度の大きさの空間、原子核、のなかに閉じ込められている。この原子核を取り巻く電子の軌道半径は
約 105 fm である。即ち原子は原子核に比べて約１万倍の大きさである。電子の質量は 0.51 MeV/c2 で、
陽子の約 2000 分の 1 である。この図はヘリウム原子の例である。
5.1.1 以後よく使用される言葉について
i) 原子核
原子構造の概念図を図 5.1 に示す。原子のサイズは大体 10−8 cm 程度である。原子核のサイズはその
1 万分の 1 程度である。しかしその質量のほとんどはこの小さな原子核が受け持っているのである。
ii) 陽子 · 中性子 · 核子
原子核は陽子 ( プロトン = proton ) と中性子 ( ニュートロン = neutron ) とからなり、陽子はプラス
の電荷を持ち、中性子は電荷を持たない。この点を除いて陽子と中性子は極めて似た性質を持つ。これ
らは電荷の点を除いては同種粒子のように取り扱われることが多い。このような場合陽子と中性子を一
括して核子と呼んでいる。陽子と中性子は同一粒子の異なった状態を見ているのである。電荷を帯びた
状態になっているときが陽子であり、それ以外の時は中性子として見えるのである。核子の質量 M は
2
2
eV 単位で表すと M = 940MeV/c , 電子の質量 m = 0.51MeV/c に比べて、約 2000 倍大きい。この
ため原子全体の質量を論ずるときでも、電子の質量は無視して良いのが普通である。
iii) 陽子数中性子数
原子核の性質、従って又原子の性質の多くはこの原子核の中に含まれている陽子の数と中性子の数に
よって決まるといってもよい程この数の組み合せは重要である。一般に原子核の内部では陽子と中性子
の数はほぼ同じである場合が最も安定である。原子核構造の研究の主要部分はこの数の組み合せによる
振舞いを調べる事にあると言ってもよい程である。陽子数は Z で、中性子数は N で表す習慣となって
いる。陽子数 Z は元素の周期律表における原子番号と同じである。
iv) アボガドロ数
物質 1 グラム中に存在する核子の数で、その数は約 6 × 1023 個*2 である。即ちどんな物質でも 1 g 中
には 6 × 1023 個の核子を含んでいる。
化学の分野では 1 モル ( mole ) 中に存在する分子数としている。その定量的な定義は「12 g の 12
6 C6
の中に存在する原子の数」とされている*3 。これは炭素 C は大変安定な元素で、純粋な物質が容易に得
られることによるものと思われる。かっては酸素を基準にしていた時代もあったが、酸素は簡単に化合
物を作り、正確な測定が比較的困難であったことによるものと思われる。また同位元素の種類も酸素の
*2
*3
アボカドロ数の最新の値は 6.022136736 × 1023 である ( Phys. Rev. D150, 1233 (1994)。
数値的にはいずれも同じになるのは当然である。各自試してみるとよい。
5.1 元素、原子、原子核
31
方が多い。
標準状態では 1 モルの気体は常に同じ体積、22.4 リットルであることもよく知られているところで
ある。
v) 元素の性質
元素の化学的性質は原子核内の陽子の数によって決る。いろいろな化学反応や元素の性質は原子の最も
表面をまわっている電子の数に大きく支配されるが、この電子の数も原子核内部の陽子数によって決っ
ているのである。このことからも分かるように、元素の化学的性質のほとんどは、原子核内の陽子の数
によって決まるのである。
vi) 元素記号
原子核の性質は陽子数 Z 、中性子数 N 、核子数 A(= Z + N ) が決まれば基本的な性質が理解できる。
元素の化学的振舞いを支配している電子の数も陽子数によって決る。従って元素名と同時に、右の図の
如く、これらの数も併記する習慣がある。核子の総数は化学等で質量数と呼ばれているものとほぼ同じ。
vii) 同位体
核子数が比較的少ないうちは核内における陽子と中性子の数はほぼ同数であるが、核子数の多い原子核
になると陽子の電荷の反発力が大きくなり、陽子数に比べて中性子の方が多くなりがちである。同じ陽
子数に対していろいろな中性子数を含んだ原子核が存在する。陽子数が同じで中性子数の異なる原子核
を同位体又は同位元素と呼んでいる。元素の化学的性質は陽子数のみによって決るから、同位体の化学
的性質は完全に同じため、化学的処方により同位体を分離することは原理的に不可能である。しかし原
子核の質量は核子数によって決るから、同位体の含まれ方によって同じ元素でも質量に違いがでてくる。
従って同位体を分離するためにはこの質量の違いを利用する方法によることになる。
図 5.2
ヘリウムの同位体。陽子数が同じで中性子数が異なる。
viii) 核力
陽子のように同符号の電荷に働く力は、その距離の自乗に反比例して大きくなる。陽子が原子核のよう
な小さい空間内に接近していると、その間のクーロン力は非常に大きくなり、その反発力で原子核は爆
発する筈であると思われる。にもかかわらず多くの陽子が狭い原子核の空間内で安定して存在するの
は、クーロン力よりも遥かに強い核力によって引き合っているからである。核力は重力や電磁気の相互
作用よりも遥かに強い第 3 の新しい力なのである。この事から核力のことを強い相互作用と呼んでい
る。核力はクーロン力に比べても約 130 倍強いのである。
ix) 核力の性質
核力は陽子、中性子の区別なく核子間に作用する。又原子核内では一個の核子が必要とする体積は決っ
ている。このため原子核の体積は中に含まれる核子の数に比例している。核力は大変大きな力である
が、その到達領域は極めて小さく 2 ∼ 3 fm 程度離れるとその力は全く無視出来るほど小さい。又極端
に近いところ ( < ∼1fm ) ではあまり強くなく、核力が威力を発揮するのは、互いに 1 fm 近辺にいる
時のみと考えてよい。
従って原子核の内部では核子はほとんど自由に動き回ることができる。核力のこの性質により原子核は
32
第5章
原子と原子核
表面振動などさまざまな内部運動が可能となるのである。
x) 結合エネルギー
各種の粒子を結合している力の事である。ミクロの世界での記述では力をエネルギーに換算して表すこ
とが多い。原子核を取り巻く電子の結合エネルギーは最も原子核から遠いもので 1eV 程度、又最も原
子核に近い内側の電子で大体 10 ∼ 100 keV 程度である。一般に重い金属 (正確には陽子数の多い元素)
ほど、電子の結合エネルギーは大きい。
これに対して核内の核子の結合エネルギーは約 8 MeV である。即ち核子の結合は電子のクーロン力に
よる結合に比べて 100 倍程度大きいのである。これは核子の閉じこめられている空間が原子より遥かに
小さいことによる。図 5.1(30 ページ) に見られる如く、原子の閉じこめられている空間 ( 105 fm ) に比
べて原子核 ( 10 fm ) は約 1 万分の位置程度なのである。このことから原子核の内部に於いては、エネ
ルギーの最小単位、エネルギー量子は大変大きいのである。
原子・原子核を構成している素粒子達の性質を表 5.1 にまとめておく。
表 5.1
原子 · 原子核を構成する素粒子の性質
粒子の種類
陽子
中性子
電子
電荷
+
0
e−
∼ 1 fm
∼ 1 fm
∼0
938.27
939.55
0.511
e
サイズ
2
質量 [ MeV/c ]
5.2 原子核の一般的性質
5.2.1 原子核の体積
原子核内に存在する核子 1 個の必要とする最低の体積 v は一定で、その半径 r0 は 1.1 fm である。原子核
内に於ける核子は球形であると仮定するとその体積は v は、
v=
4π 3
· r0 = 5.58 [fm3 ]
3
(5.1)
である。従って A 個の核子を含む原子核の半径 R 及び体積 V は各々
R = r0 A1/3 ,
V =
4π 3
· r0 A
3
(5.2)
と書けることになる。r0 は核半径定数と呼ばれている。
例題
i) 日常よく見られるアルミニュウム (27
13 Aℓ14 ) の原子核について核半径の定数 r0 = 1.1 fm と仮定して、
その核半径 R と体積 V を求めよ。
ii) 原子核の中では 1 fm3 当たり平均何個の核子が存在しているか ( 核子密度)。
iii) 原子核内での平均エネルギー密度は何 fm3 か。
解答
5.2 原子核の一般的性質
33
i) 総核子数 A = 27 であるから、これらの数値を式 (5.2) に代入して計算すると。
R = 1.1 × 271/3 = 1.1 × 3 = 3.3 [fm]
4π
(1.1)3 × 27 = 150 [fm3 ]
V =
3
(5.3)
となる。
ii) 式 (5.2) で示された体積 V の中に A 個の核子が入っているので、単位体積当たりでは
ρ=
A
3
A
=
=
= 0.18 [ fm3 ]
4π 3
V
4πr03
r A
3 0
(5.4)
iii) 核子 1 個のエネルギー は M c2 = 940 MeV であるから、これを核子密度 ρ にかけて、
3
ε = M c2 ρ = 940 × 0.18 = 169 [ MeV/fm ]
(5.5)
である。
5.2.2 陽子と中性子はほぼ同数
基本的には、原子核は、条件の許す限り、同数の陽子と中性子を含むのが安定な状態である。
5.2.3 軽い核は融合した方が安定
軽い原子核は互いに融合した方がよりエネルギーの低い、より安定な原子核となり得る。このことは、二つ
の原子核を圧着融合するとより安定な原子核に変り、残りのエネルギーは核外へ放出されることを意味する。
核融合反応による原子力エネルギーはこの原理を利用するものである。
原子核はプラスの電荷を持っているため、互いに接近してくるとクーロン力による反発力が作用する。陽子
数が大きい程、又互いの距離が小さくなる程この力は大きくなる。
ある距離以下に接近してくると、クーロン力よりも遥かに大きい核力の領域に入り、この引力により二つの
原子核は融合してひとつとなる。核力の到達距離は約 1 fm 程度である。陽子 1 個 をこの距離まで押し込む
為に必要なエネルギーは、軽い核で 1 ∼ 2 MeV, 重い核 (陽子を多く含む核) で 20 MeV 程度である。核融合
させるために必要なエネルギーはこの電気的な反発力を乗り越えて核力の到達領域に近づける為に費やされる
のである。従って核融合反応によって原子力エネルギーを引き出すためには、このクーロン力に打ち勝つため
のエネルギーに比べて、合体後に放出されるエネルギーが大きい方が望ましい。
そのためには陽子数の少ない原子核の方が接近させるために必要なエネルギーが小さくてすむことになる。
このような理由から核融合反応による原子力利用には軽い陽子数の少ない原子核同志の融合が利用される。
太陽のような巨大な星も軽い原子核が融合してより重い原子核に変換しながら余分なエネルギーを核外へ放
出しているのである。圧着の力は重力によって供給されるのである。巨大な星は質量が非常に大きいので、重
力も極めてめて大きく、原子核さえも圧着できる程なのである。
5.2.4 重い核は分裂した方が安定
非常に重い原子核では、二つのより軽い原子核に分裂した方がより安定な状態となる。原子核内の核子数が
多くなると陽子間の電荷の反発力がしだいに大きくなり、次第に核力とも競争し得る強さになってきて不安定
になってくる。このような核子数の多い原子核では核子数の少ない二つの原子核に分裂した方が安定である。
34
第5章
図 5.3
原子と原子核
水素の同位元素である重水素 ( Deuteron ) と三重水素 ( Triton ) が核融合しつつあるときの概念
図。この反応は 21 D1 + 31 T2 → 42 He2 + n + 17.56 MeV の如く書き、エネルギー利用の研究上重要な反応
の一つである。融合のために必要なエネルギーに比べて放出されるエネルギー 17.5 MeV は大変大きいこ
とに注意。エネルギーの実用化には未だ至っていない。
このとき内部の余剰エネルギーが核外へ放出される。現在利用されている原子力は、重い原子核の分裂による
このエネルギーを利用したものである。
5.2.5 最も安定なのは Fe の領域
軽い核は融合して重い原子核に変った方が安定であり、大変重い原子核は二つのより軽い核に分裂した方が
安定である。この間に最も安定な原子核がある筈である。それが鉄の原子核である。
5.3 何故元素は 100 種類程度しか存在しないのかー原子核の崩壊と変換
5.3.1 陽子数の限界と陽電子崩壊
核内の陽子、中性子の数が多くなってくると、狭い空間内に閉じ込められた陽子の間のクーロン力による反
発力が次第に大きくなり、このエネルギー ( ポテンシャルエネルギーにあたる ) がどんどん大きくなってゆ
く。核子数が鉄の核子数を著しく越えて多くなってくると原子核はしだいに不安定になってくる。
i) 陽電子崩壊 ( Positron Decay )
原子核内で核子数が多くなり陽子間の反発力によるエネルギーが大きく不安定な状態になってくると、
ついには陽子-中性子数の対称性を破って、陽子が中性子に変身してでもこのエネルギーの増加を解消
しようとする。この変身の際に、陽子は陽電子と中性微子とを放出する。これは中性子は電荷がないた
め、陽子が持っていた電荷を陽電子の形で核外へ放出することになるのである。これが原子核の崩壊で
あり、その本質的な過程は次のような陽子の崩壊である。
p → n + e+ + ν
or p → n + β + + ν
(5.6)
この過程を通じて核内の陽子数が 1 個減少し、クーロン力によって過剰になったエネルギーの一部が解
放され、もとの原子核のエネルギーが低くなり、より安定した状態になる。核内の余剰エネルギーは陽
電子と中性微子によって持ち去られることになる。これは原子核の β 崩壊と呼ばれているもので、陽電
子を放出することから特に陽電子崩壊 ( Positron Decay ) とも呼んでいる。
ν は中性微子 (ニュートリノ = neutrino) と呼ばれる中性の素粒子でその質量は極めて小さく、値は現
在でも未だ測定されていない。中性微子はこのような陽子-中性子間の変換の際に現れる特有の素粒子
である。中性微子については別の機会に論ずることにする。
ii) 電荷の保存則
5.3 何故元素は 100 種類程度しか存在しないのかー原子核の崩壊と変換
35
原子核の崩壊や、核子の変換の過程を通じて、電荷の総数は変化しない。即ち、電荷はいかなる素粒子
の反応に於ても保存される。これは物理学においては、エネルギー保存則等と共に、最も基本的で重要
な法則の一つである。
陽電子崩壊は核子数の変化はないが、中性子数が一個増加し、陽子数が一個減少する。このことは元素
の種類が変化したことを意味する。周期律表において原子番号が 1 つ若い元素となる。
図 5.4 (左図) 電子崩壊の概念図。中性子の数が多すぎると、その一つが陽子に変換して電子と中性微子を
核外へ放出する。n → p + e− + ν 。(右図) 陽電子崩壊の概念図。陽子の数が必要以上に多いと、陽子が中
性子に変換して、陽電子と中性微子を放出する。p → n + e+ + ν 。
5.3.2 中性子数の限界と電子崩壊
i) 中性子捕獲
一般に核内の核子数が多くなってくると陽子間に生ずるクーロン力によるエネルギーが高くなることか
ら、同じ陽子数に対して中性子を多く含む同位体が多数存在するようになる。中性子は電荷を持たない
ため、核内に中性子数が増大していってもクーロン力によるポテンシャルエネルギーの増大はないから
である。
中性子は電荷を持たないため、プラスの電荷を持つ原子核に対しても反発力を受けないため、容易に接
近し、核力の働く領域に入ると即座に核内に吸収されてしまう。これを原子核による中性子捕獲と呼ん
でいる。このように一般に核子数の多いは原子核は中性子を多く含み易い傾向にある。
ii) 電子崩壊 ( Electron Decay )
このことから、ある陽子数に対していくらでも中性子数の多い同位体が存在するわけではない。中性子
数が陽子数に比べて著しく多くなってくると、核内における中性子の核力ポテンシャルのエネルギーの
みが増大し、中性子は陽子と電子に崩壊してこのエネルギーの増大を解消するようになる。即ち、
n → p + e− + ν
or n → p + β − + ν
(5.7)
の如く核内の中性子は陽子に変わり、電子と中性微子を核外に放出する。これは β 崩壊の中でも特に電
子崩壊 ( Electron Decay ) と呼んでいる。
原子核が電子崩壊すると、陽電子崩壊とは逆に、原子番号の一つ大きい元素に変化する。
宇宙創成の初期は、対称性やエントロピーの観点から全ての原子核が同数の陽子と中性子をもって出発
したかも知れないが、以上のような理由から、エネルギー的に不安定なものは直ちに崩壊して、今日の
ような安定な原子核のみが生き残ったと考えられる。
36
第5章
原子と原子核
更に不安定の程度の低いものは崩壊の頻度が少なく、完全に消失するのに大変な時間を要する。このよ
うなものは現在も存在しており、引続き崩壊を続けている。これが放射性同位元素である。
核子が陽子又は中性子に変換して電子又は陽電子と中性微子を放出する崩壊過程をまとめて β 崩壊と呼
んでいる。β 崩壊では核子数に変化は起こらない。
5.3.3 もっと大規模な原子核崩壊もある
i) α崩壊
重い原子核になるに従って、陽子数が増加し、電荷の反発力による内部のエネルギー (クーロンエネル
ギー) が一段と大きくなり、原子核の一部が外部へ放出されてしまうことがある。これがα崩壊と呼ば
れる現象でである。分析の結果α粒子の中味は陽子・中性子各 2 個、合計 4 個の核子よりなることが分
かった。即ち、これはヘリウム元素の原子核と同じものである。α崩壊した原子核は質量数が 4 個、陽
子数即ち原子番号が 2 番減少する。原子番号Ｚ、質量数 A、中性子数 N の原子核 X がα崩壊して新し
い原子核 Y に変換したとするとき、これを式の形式で表すと次のようにかける。
A
Z XN
→ A−4
Z−2 YN −2 + α
(5.8)
α 粒子を放出した残りの原子核は陽子が 2 個減少したため、内部の電荷も少なくなり安定となる。
図 5.5
重い原子核になると α 粒子を放出する。α 粒子は最も安定なヘリウムの原子核と同じものである。
ii) 中性子捕獲と原子核分裂
このように核子数が大きくなると、原子核の直径が大きくなり、その両端にある核子間ではもはや核力
が到達しにくいほどになる。例えばウラニウム
238
92
は天然に存在する最も重い元素であり、238 個の核
子を含むからその核半径 R は
R = r0 A1/3 = 1.1 × 2381/3 = 6.8 [ fm]
(5.9)
となり、直径は約 13 fm にも及ぶことになる。こうして周辺にいる陽子同志では核力の影響は比較的
小さくなり、クーロン力の影響が大きく現れてくることになる。このような大きい原子核になると、核
表面の陽子はその周辺にある数個の核子による核力しか受けていないのに対し、クーロン力は核力よ
り遥かに長距離でも作用するため、核内全体の陽子の間で作用しているので、何らかの理由でその形に
ちょっとした歪みが発生してもたちまちクーロン力にる反発力で分裂してしまうのである。
しばしばそのきっかけとなるのが中性子の衝突である。中性子は電荷を持たないので自由に原子核に
近づくことができる。たまたま原子核と近く、核力の到達領域に近づいた中性子は、突然その核力で核
5.4 原子核の内部運動と電磁波 ( γ 線 ) の放射
37
内に取り込まれてしまうのである。その瞬間原子核のサイズは一瞬大くなり形にも歪みが生じ、これに
よってギリギリ迄耐えていた原子核がついに二つに分裂してしまうのである。このような現象は中性子
捕獲による核分裂としてよく知られている現象である。
新たに発生した二つの分裂片は陽子中性子とも半減し、又陽子中性子数のアンバランスも解消して、身
軽な安定同位体となる。ここで注意しておくことは、これまでの重い原子核内には中性子が大変多く含
まれていたので、二つの軽い分裂片を作る際に何個かが原子核の外に取り残されて、その物質内をさま
よい続けるものが生ずることである。この取り残された中性子が核分裂の連鎖反応、原子力エネルギー
の発生において、重要な役割を果たすことになる。これについては後に詳しく論ずることにする。
よく知られている の核分裂の例を式の形式で書くと
235
92 U143
∗
+ n → 236
9 2U144 → X + Y + xn
(5.10)
のごとく表される。この式の意味は が中性子 n を吸収して、中性子数の 1 個多い となり、これが過剰
なエネルギーを含んでいるため X 及び Y のほぼ同じ大きさの核に分裂し、x 個の中性子 n が核外に取
り残されていることを意味している。元素記号の右肩の (*) 印はその原子核の正常な状態に比べて過剰
なエネルギーを含んでいて不安定であることを意味する。このように過剰なエネルギーを含んでいる状
態のことを励起状態にある原子核と呼んでいる。励起状態にある原子核は不安定で直ちに崩壊する場合
が多い。
核分裂は核融合の場合と異なり、電荷を持たない中性子捕獲によるため、クーロン力を乗り越える必要
がなく、反応を誘発するためのエネルギーをほとんど必要としない。このことが連鎖反応を可能にし、
核エネルギー利用の為にも幸いしている。
iii) 原子核の励起状と基底状態
気体分子、例えば水 ( H2 O ) における振動、回転のような分子の内部運動に類似のものである。原子核
内の核子が通常の状態より激しく、高いエネルギーの状態のことである。これに対して通常の状態のこ
とは基底状態と呼ばれている。
5.4 原子核の内部運動と電磁波 ( γ 線 ) の放射
励起状態にある原子核から放射されてくるγ線がどの方向にどの程度強く放射されるかを観測することに
よって、その原子核の形状やその運動状態を知ることができる。励起状態においてγ線を放射している原子核
の運動は大きく分けて次ぎの三つのタイプが良く知られている。
i) 独立粒子模型
原子模型や太陽系の惑星のように何個かの核子が楕円軌道を描いて回っていると考えられるタイプ。こ
の楕円軌道を回っている核子がその軌道を変えるときに γ 線を放射する。太陽系に例えれば惑星が軌道
を変えるようなものである。又は、原子の場合には周辺の電子が軌道を変えるときに光を発生する。原
子核から放射される γ 線の性質を調べればその核子が回っていた軌道の様子を知ることができる。原子
核内の核子数が少ない場合には、個々の核子の運動状態が外部からもく見えるのである。従って核子数
の少ない原子核、特に陽子や中性子の数が奇数個の場合にはこのタイプに属するものが多い。原子核の
中にもこのように軌道運動のはっきりした性質があることを組織的に見いだし、その理論を確立たのは
ポーランド生れの女性物理学者 Mayer*4 である。
*4
Mayer はこれらの業績により、ドイツの物理学者 Hans Jensen と共に 1963 年ノーベル物理学賞が授与された。Maria Goeppert
38
第5章
図 5.6
原子と原子核
原子核の殻構造模型。メイヤーは原子核の中の陽子、中性子も惑星のような軌道運動をしているも
のがあることを見いだした。核子がこれらの軌道を変えるときに γ 線を放射する。
ii) 集団運動模型原子核内の陽子や中性子の数が多くなってくると、個々の粒子の振舞いよりも粒子集団全
体としての振舞いの方が重要な役割を果たすようになってくる。空気中の雲や、水滴は大変多くの粒子
( この場合水の分子 ) からなるが、我々が関心を示すのは、内部の分子 1 個 1 個の運動よりも、雲や水
滴の形状や表面状態の変化であるのと同様である。このように核内の粒子全体の集団を一つの物体の如
く考えてその振舞を調べる手法を、原子核の集団運動模型による手法と呼んでいる。この多くの核子集
団がどのような形をして、どのような振舞いをしているかは放射されてくるγ線の性質を調べることに
より詳しく知ることができる。更にこの集団運動模型には次の二つのタイプがよく知られている。
• 回転模型
これは全体の形状は回転楕円体 (卵形) が高速で回転していると考えられるものである。原子核内
の多くの陽子の存在により、この卵の表面は一様に帯電しているのでその周辺の電場の変動が激し
く、これが電磁波即ちγ線となって観測される。このγ線を測定することによりこの原子核の歪み
と大きさや回転の速さを知ることができる。
図 5.7 核内の核子数が多くなると個々の粒子の性質は目立たず、一様に帯電した剛体や液滴のように 1 個
の塊として見える。この塊が回転したり、表面振動すると電磁波を発生する。
• 表面振動型
これは全体の形状はほぼ球形で、その表面は柔らかく、ぷよぶよとしていて水滴に例えられる。こ
のことから別名液滴模型等とも呼ばれている。この表面が一様に帯電しているので、表面が振動す
る度にその周辺の電場に変動が起こり、これが電磁波のγ線となって観測される。この γ 線がどの
Mayer and J. Hans D.Jensen, Nuclear shell structure, (1963)
5.4 原子核の内部運動と電磁波 ( γ 線 ) の放射
39
ような方向にどの程度強く発生してくるかを観測することにより、その振動の形状や振幅の大きさ
等を知ることができる。
5.4.1 原子核の集団運動模型
ここでは標準的な放射線源として知られている、コバルト-60 (
60
Co ) の β 崩壊によって生ずる原子核
60
Ni
の集団運動模型によるγ線放射のメカニズムについて簡単に考えてみることにする。
原子核
60
Ni はその内部に 28 個の陽子と 32 個の中性子を含み、核内の総核子数は 60 個であり、その形状
は球形である。このように原子核内には電荷を持った粒子が多く含まれており、これらが原子核全体にほぼ一
様に分布しているから、その表面は一様に帯電している。従ってこのような原子核は一様に帯電した球又は液
滴のように考えてよい。このような原子核は
下の説明は典型的な球形核
60
60
Ni 以外にも多くあり、まとめて球形核と分類されている。以
Ni の表面振動と電磁波の発生メカニズムについてである。
原子核はその大きさが原子などに比較して大変小さく、その中に存在している核子達は大変狭い空間の中に
閉じこめられているので、原子核内部に於いては最小のエネルギー単位、エネルギー量子が大変大きく、従っ
て原子核内部から放出される電磁波、光子のエネルギーは大変高い。このように原子核の内部から放射される
電磁波は放射線の一種 γ線として知られているものである。
5.4.2 原子核の表面振動
原子核に外部からエネルギーを加えるといろいろな内部運動を始める。これは液体から蒸発した水の気体分
子が外部エネルギーを吸収して回転や振動によって内部エネルギーを高めて行くのとよく似ている。内部エネ
ルギーの高い原子核 - これを励起状態にある原子核と称する - が生ずるのは、他の素粒子との衝突や、不安定
な原子核が分裂したり、崩壊して電子等の放射線を放出した後に残された原子核は一般に励起状態にあるのが
普通である。
60
Co が β 崩壊して電子を放出した後に残される原子核
60
Ni も励起状態にあり、表面振動等の激しい内部
運動をしている。このエネルギーは γ 線の放射によって冷却していく。一般的に一回のγ線放射で安定になる
まで冷却することは少なく、何段階も γ 線を出し続けることが多い。60 Ni の場合は 2 回 γ 線を放射すること
が分かっている。第 1 回目は 1.77 MeV の γ 線を、第 2 回目は 1.33 MeV の γ 線を放出して安定な同位元素
となる。
励起状態からの放射 γ 線の方向やエネルギーの測定によって、その原子核の形状や内部運動の様子、振動の
形や振幅の大きさや振動の速さ、歪みの大きさ、回転のスピード等詳しくを知ることができるのである。60 C
の β 崩壊に続いて放射される γ 線のスペクトルにみられる 1.33 MeV ピークは
されるものである。以下
60
60
Ni の表面振動によって放射
Ni の表面振動による γ 線放射の様子を詳しく調べてみることにしよう。
5.4.3 原子核の電磁波放射について
表面に電気を帯びた物体が振動するとき、この物体は電磁波を発生して次第にその運動エネルギーを消耗し
て行き、ついには静止する。振動のエネルギーが電磁波のエネルギーとして空間中へ放射されていくのである。
ラジオの電波も同様であるが、この場合は外部から電力をつきごんで振動が止まらないようにしているのであ
る。これが発振器と呼ばれるものである。
1 次元の場合 ( 両端を固定されたゴム紐の振動 ) に例えれば、振動の腹の部分は空気の振動が激しく空気圧
の変化が大きく、この圧力の変化が音波となって空中へ伝わって行く。このゴム紐が一様に帯電していると、
40
第5章
図 5.8
60
60
Co は β 線を放出し
Ni は多くの内部エネルギーを含んでおり、激しい表面振動を続
けている。この振動によって電磁波が発生し、これが γ 線として観測される。1.33 MeV ピーク上の楕円
シンチレーションカウンターによる
60
て、 Ni に変化する。この変換直後の
Co からのγ線スペクトルの測定。
原子と原子核
60
は振動中の原子核の形を意味する。
図 5.9
ゴムひもの振動。腹の部分は空気の圧縮膨張が激しく、この方向に音波を発生する。このゴムひも
が帯電しており、振動が非常に速くなると、この方向に電波を放出する。
腹の部分の電場の変化が激しく、電波となって空間中に広がって行くのと似ている。図 5.9 はこの様子を音波
の発生と比較した説明図である。
図 5.10 は
60
Ni が球形を中心に表面振動している時の状態を示したものである。原子核の表面は一様に帯電
している。これが振動すると形の尖った部分の周辺は瞬間的に空間の電場が強くなったり弱くなったりする。
この電場の変化が非常に高速に繰り返されるので、これが電磁波として広く空間中へ広がって行く。これが放
射線として観測されている
60
Co ( 実は
60
Ni ) の 1.33 MeV の γ 線である。γ 線は非常に周波数の高い電磁
波なのである。腹の部分は荷電密度の変化が大きく、この活動的な部分をで表す時、図 5.10 の垂直断面図をみ
ると第 27.5 図の如くなり、強弱の位相が反対な腹の部分が２組計４個の極が存在することが解る。このこと
からこの振動は４重極 ( 22 -pole ) 振動と呼ばれる。図 5.10 及び図 5.11 から想像出来ることは。このような
表面振動では、電磁波の発射される方向は図の垂直方向と水平方向 ( 南北と東西 ) が特に強いといった方向性
が見られるであろうことである。この γ 線放射の方向性の問題は、角度相関と呼ばれる実験で観測することが
5.4 原子核の内部運動と電磁波 ( γ 線 ) の放射
41
Ni の４重極振動。放射線の標準線源として知られている 60 Co から放出される
1.33 MeV γ 線は、 Co の β 崩壊後、激しく振動している 60 Ni の励起状態に変る。この表面電荷を持つ
球 60 Ni の振動によって電磁波が放出される。上の二つの形の間を毎秒 2.4 × 1021 回振動している。腹の
図 5.10 球形原子核
60
60
部分は動きの激しい所、節の部分は動きの少ない所。矢印は腹と節の位置を示す。
出来る。この角度相関の実験が最初に成功したのも、この
60
Co の放射γ線を用いた
60
Ni の原子核について
であった*5 。
図 5.11
図 5.10 の振動している原子核を縦に切断した断面図。表面振動の腹の部分は電荷の変化が激しく
起こる。4 重極 ( 22 -pole ) 振動の場合はこの極が 2 組 4 個存在している。振動の腹の周辺は電場の変動
が激しくこれが電波となって伝わっていく。これが γ 線として観測される。この図の場合は γ 線の発射さ
られる方向は 90◦ 方向である。このように発生してくる γ 線の角度を測定することにより、原子核の形状
を知ることができる。このような実験は γ 線の角度相関と呼ばれるものである。
*5
E.L Brady and M.Deutch, Phys. Rev. 72 (1947) 870, 72(1948) 1541
42
第5章
原子と原子核
5.4.4 量子論的な考察
帯電した球、原子核、の表面振動について、ミクロの世界における量子論的な考察について
60
Ni のγ放射
を例にとって少し補足しておく。
放射線源としてよく知られている
60
Co の原子核は不安定で、電子を放出して
60
Ni の原子核に崩壊する。β
崩壊と呼ばれている現象である。その半減期は約 5 年である。すなわち、5 年後にはその放射能の強さ ( 数 )
は半分に減るのである。即ち、60 Co の半分は
い原子核
60
60
Ni に変化している。この
60
Co の崩壊によって誕生した新し
Ni は、誕生直後には高い内部エネルギーを内蔵しており、激しい表面振動を続けている。高い内
部エネルギーを含んだ励起状態にある。このノートで論じているのはこの表面振動のさまざまな振舞について
である。
原子核の表面振動の場合、振動中絶えず電磁波を放出し続けているのではなく、ある時期がくると突然振動
が停止してそれまで振動していた運動エネルギーが一挙に電磁波の塊として放出されるのである。我々はこれ
を光子 ( photon ) と呼んでいる。一旦光子を放出して静止した原子核はもはや光子を出すことは無い。放射
線源からγ線が絶えず連続的に観測されるのは、無数の 60 Co の崩壊によって新たな
るからである。この振動する原子核
60
60
Ni が次々と誕生し続け
Ni が誕生してから光子を放出して静止するまでの時間は各々の原子核
によって異なるが、生物の場合と同様、平均寿命が存在する。このような振動する原子核の寿命は大変短く一
般的に 1 psec ( ピコセカンド )*6 程度である。
60
Ni の場合測定によると誕生後平均 0.7 psec で 1.33 MeV
の光子 ( γ 線 ) を放出して静止する。
これは我々の感覚からすると大変短いものであるが、原子核の振動は極めて速く、その振動数は約 1022 / sec
である。すなわち、その寿命 10−12 sec の間に 1010 回 ( 100 億回 ) の振動を繰り返すのである。地球は 1 日
に 1 回自転している。これを原子核に例えれば 100 億日、約 3 千万年にも匹敵するのである。従ってこの間
の原子核の運動は充分安定で詳細にわたって調べるに値するのである。
*6
psec=10−12 sec, pico-seconds = ピコセカンドは 1 兆分の 1 秒
43
第6章
核分裂と原子力
ガスや石油などの燃焼等化学反応により得られるエネルギーは原子の最外殻周辺の電子の組み替
えによって発生するものであり、そのエネルギーは原子 1 個当たりほぼ 1eV 程度である。他方原
子力エネルギーは原子核内の核子の組み替えによって生ずるものである。この場合のエネルギーは
原子 1 個当たり、1 MeV 程度である。原子 1 個当たりで単純に比較すれば化学反応の 100 万倍で
ある。
現在この原子核から発生してくるエネルギーの実用化に成功しているのは核子数の多いウラニウ
ムなどの核分裂を利用するものである。これは中性子捕獲など、核分裂を発生させるために殆どエ
ネルギーを必要としない過程が利用できるからである。
軽い核の核融合反応も大きなエネルギーを発生するが、実用化には未だ成功していない。共に電
荷を持つ原子核をその電気的反発力に逆らって核力の到達距離まで近づける事が出来ないことによ
る。この融合させる為に要するエネルギーに比べても核融合によって発生するエネルギーの方が遥
かに大きいこともよく知られている。
6.1 重い原子核の崩壊
原子力の利用において重要な役割を果たすのはウラニウム (ウラン) 元素である*1 。原子番号 92 番のウラ
ニウムは天然に産出する最も原子番号の大きい元素である。その外見は鉛によく似ているが、鉛よりずっと
重く感ずる。実験的には
235
92 U143
227
92 U135
∼
240
92 U148
まで数多くの同位体が知られているが、重要なのは
238
92 U146
と
の 2 種類である。更に天然に存在しているウラン-235 はわずか 0.72% 程度で 99.3% はウラン-238 で
ある。従って日常ウランと云えば 238
92 U のことであると考えてよい。これらのウランもすでに内部エネルギー
は限界を越えており完全な安定同位体ではなく、いずれも α 崩壊を続けてる。238 Ｕの半減期は約 40 億年で
あり、235 U は約 7 億年である。即ち原子力燃料として利用されている 235 U は 7 億年後には半分になる。
しかし原子力エネルギーの利用という観点から見ると、最も重要な役割を果たしているのは、わずか 0.7% し
か含まれていない
235
U の方である。原子力エネルギーの燃料に使用されるのは 235 U である。天然に多く存
在している 238 U は中性子捕獲をしても簡単には核分裂が起こらないのである。
6.2 中性子捕獲と原子核分裂
重い原子核では外部から接近してくる陽子は、大変大きなクーロン斥力が作用する為、核力の作用領域まで
到達することは極めて困難となる。陽子がウラニウムのような重い原子核からのクーロン斥力に逆らって核力
*1
鉛、及びウラニウムの密度は各々、11.34 及び 18.7 g/cm3 である。
44
第6章
核分裂と原子力
の到達範囲まで近づくには、おおよそ 20 MeV 程度のエネルギーを要する。これを電圧によって加速するとす
れば 2 千万Ｖの高圧が必要ということになる。
図 6.1
非常に核子数の多い核では半分に分裂する (核分裂)。軽くなった分裂片は中性子を取り込みきれ
ず、何個かの中性子は周辺に散らばる。
これに対して電荷を持たない中性子は、このような斥力がないため、運動エネルギーが殆どゼロに近い中性
子でも容易に核力の領域に接近し核内に捕獲されてしまう。とくに奇数個の核子を持つ
235
U はこののろい中
性子を吸収すると即座に核分裂を起こし、もとの原子核はほぼ半分の軽い二つの原子核となり、何個かの中性
子を放出する。この分裂の際に核内に大量に蓄積されていた内部エネルギーが余剰エネルギーとして核外に放
出される。
従って外部から特別にエネルギーをつぎ込むことなく、核内に蓄積されているエネルギーを取り出すことが
できるのである。このエネルギーを実用的なかたちで制御しながら取り出すのが原子力エネルギーの利用であ
る。よく知られている
235
92 U143
の中性子捕獲による核分裂の例を具体的に式の形式で書くと
236 ∗
141
92
n + 235
92 U143 → 92 U143 → 56 Ba85 + 36 Kr56 + 3n + 175MeV
の如くかける。この式の意味は 235
92 U143 が中性子 n を吸収して一瞬中性子数の 1 個大きい
となるが、これが過剰なエネルギーを含んでいるため即座に分裂して
141
56 Ba85
及び
92
36 Kr56
(6.1)
236 ∗
92 U143
の同位体
のほぼ同じ大きさ
の核に分裂して、同時に 3 個の余剰中性子を放出したことを意味している。右肩の「*」印 はその原子核の正
常な状態に比べて過剰な内部エネルギーを含んでいることを意味する。このように過剰な内部エネルギーを含
んでいる状態のことを、励起状態にある原子核と呼んでいる。一般に励起状態にある原子核は即座に崩壊する。
この分裂反応によって解放されるエネルギーは 175 MeV である。図 6.2 にこの過程を示しておく。化学的な
燃焼により発生するエネルギーが原子 1 個当たり 1eV 程度である事を考えると、単純にいって 1 億倍にも匹
敵することになる。原子力エネルギーの有用性はこの点にある。
原子核の分裂過程に於いて重要な点は、重い原子核内の余剰エネルギーの放出は原子力エネルギーの源とな
り、余剰中性子の放出は核分裂の連鎖反応を維持する源となるのである。
6.3 核分裂の連鎖反応
このような重い原子核は元々陽子数に比べて大変多くの中性子を含んでいたので、分裂して軽い原子核にな
ると、幾つかの中性子が新しく出来た原子核内に入り込めず取り残されてしまう。これが更に近所の
235
92 U143
6.3 核分裂の連鎖反応
45
U∗ となって核分裂を起こ
す。分裂後，いくつかの中性子は核外に取り残されてさまよい歩く (式 6.1 参照)。そのかなかの１個が別
の 235 U に当たるとこれが核分裂を起こし，更に中性子数が増大して連鎖反応を起こす。
図 6.2
ウラニュウム 235 が中性子を捕獲して励起状態に入り，不安定な
236
何個かに捕獲され分裂をおこすと、その結果又中性子が発生してこれが更に周囲の原子核に吸収されてこれ
を分裂される。このように中性子の数は鼠算的に増殖し、鼠算的に 235 U が分裂して、鼠算的に多くのエネル
ギーが一瞬のうちに解放されてゆく。これが核分裂の連鎖反応と呼ばれるもので、良く知られているものが
235
92 U143
を用いた原子爆弾である。核分裂の連鎖反応の過程を概念的に図示したものが図 6.3 である。
6.3.1 連鎖反応が起こる条件
235
92 U143 の近くを偶然通りかかった中性子がこれに吸収されたとす
141
はたちまち核分裂して、56 Ba85 と 92
36 Kr56 の二つの原子核に分裂して、3 個の中性子と 175
ウラン金属の塊にわずかに含まれている
ると、この 235 U
MeV のエネルギーを放出する (式 ( 29.1 ) 参照)。このとき放出された 3 個の中性子のうちの少なくとも 1 個
がそのその金属中の別の
235
U の原子核に吸収されると、この原子核も分裂して更に 3 個の中性子を作り出す。
即ち発生した中性子が同じウラニウム金属中の他の 235 U に吸収される確率が 1/3 以上であればその金属片の
中では核分裂が連続して起こり、中性子の数がどんどん増加してゆき、核分裂によるエネルギーもねずみ算的
に増加していく (図 6.3)。
他方、最初の核分裂によって作り出された中性子が、3 個ともその金属中で他の
235
U に出会うことなく、金
属外へ去った場合はたった一回の核分裂で全てが終了してしまう。この場合は時々散発的に核分裂が起こり、
散発的に 3 個の中性子が放出されるだけで、核分裂が連続して起こることはない。大きいとは云え原子核 1 個
分の発生するエネルギーの総量はとるに足らない程度で、人間に感ずるようなエネルギー量とはならない。
核分裂のエネルギーを利用できるためには、最初の場合のように連続して核分裂が起こりエネルギーも中性
子の数もねずみ算的に増大しエネルギーが蓄積されていくのでなければ意味がない。すぐに分かることはウラ
46
第6章
図 6.3
核分裂と原子力
中性子捕獲による 235 U の核分裂の連鎖反応の概念図
ニウム金属の塊が大変小さければ全ての中性子は次の 235
U に出会う事なく外部へ去ってしまうであろう。
逆にこの塊が十分大きければ、いつかはこの塊の中で中性子は他の
235
U に出会って吸収されて核分裂を起こ
すことになる。従って核分裂を連続的に起こしてエネルギーを取り出すためにはこの
235
U の塊がある程度以
上に大きくなければならない。
しかし既に述べたように天然のウラン金属の中に含まれている
幸にして
ない
238
235
235
U は僅か 0.7% しかない。ある中性子が
U の 1 つに吸収されたとしても発生してくる 3 個の中性子が次ぎに出会うのは核分裂とは関係の
U であって、235 U に出会う可能性は殆どない。従って天然に存在しているウラン金属に中性子を当て
ても、核分裂が連続して起こることもなければ、エネルギーが発生してくることもないのである。もし天然の
ウランの大部分が
235
U で出来ていたり、あるいは
238
U が中性子捕獲によって簡単に核分裂をするような性
質を持っていたとしたら、地球誕生と同時に全てのウラン鉱は核分裂の連鎖反応で大爆発を起こし地球は消滅
していたに違いない。
235
U の含有量が少なく、又
238
U が連鎖反応を起こしにくい性質を持っていたことは
幸いであった!
6.3.2 同位元素の分離と 235 U の濃縮
天然のウラン鉱が連鎖反応を実現できないのは
から核分裂に必要な
235
235
U だけを集めて、
235
U の含有量が少なすぎたのだ。それならばウラン鉱の中
U のみの塊を作ればよいことになる。銅やアルミニウムの金属も
同様に精製しているではないか。基本的にはその通りであるが、この場合は
235
U も 238 U も共に陽子数が同
じ同位体である。従って化学的な性質は全く同じなので、銅やアルミのように化学分離が出来ないのである。
同位体の分離は質量の違いを利用する手法しか適用できないことは既に述べた (「7 同位体」
、31 ページ参照)。
同位体を分析、又は分離する方法として電磁石を使用する方法と、質量による速度の違いを利用する方法につ
いて、その原理を簡単に紹介しておく。
電磁石による方法
イオン化した原子に電圧をかけ加速し、これを電磁石の中を通すとローレンツ力により円軌道を描くことは
既に述べた (20 ページ「3.4.2 一様な磁場中をこれと直角に等速度で走る荷電粒子の軌道は円運動である。」参
照)。その軌道半径は粒子の運動量に比例する。電圧 V によって加速されるエネルギー ε 、と速度 v 運動量 p
の間には、粒子の持つ電気量 q とすれば
ε = qV =
p2
1
mv 2 =
2
2m
(6.2)
6.3 核分裂の連鎖反応
47
の関係がある (14 ページ「3.2.2 「電磁場と電気量 q 」参照)。磁場の強さが B であればその粒子の軌道半径 ρ
は運動量 p に比例し
p = qBρ
(6.3)
の関係にある。加速されるエネルギーは同じであるから、2 種類の粒子の質量 m, M 、運動量を p1 , p2 とす
れば
qV =
1
1
mv 2 = M V 2
2
2
p21
p2
= 2
2m
2M
又は
(6.4)
の関係にある。式 ( 6.3 ) の関係を考慮して各々の軌道半径の比を見ると、
V ρ1
ρ1
p1
=
=
=
Bρ2
ρ2
p2
√
m
M
(6.5)
となって、その軌道半径の違いを利用して質量を分離することができる。図 6.4 はこの関係を利用した同位体
分離装置の概念図を示したものである。
図 6.4
電磁石を利用したどうたいぶんり装置の概念図。イオン化された原子を電圧で加速し，これを電磁
石へ通すと円軌道を描く。質量の大きい物程起動半径が大きい。
拡散による方法
気体の温度は粒子 1 個あたりの平均運動エネルギーであることは既に述べた。質量の異なる粒子 m, M
(m < M とする) からなる混合気体を考えるとき、温度が T ならば、各々の速度を v1 , v2 とするとき、運動エ
ネルギーと温度の関係は次のように表せる。k はボルツマン定数である。
1
1
ε = kT mv12 = M v22
2
2
(6.6)
48
第6章
核分裂と原子力
同じ運動エネルギーなら質量の大きい粒子は速度が小さく、質量の小さいものは速度が速い。この粒子はラン
ダム運動によって絶えず周辺の壁に衝突しているが、速度の速い、即ち、質量の小さい粒子ほど毎秒壁に衝突
する回数が多いことになる。
この混合気体が 図 6.5 のような二つの部屋に分けられた一方の部屋 (左) に入れてある。中央の仕切りには
小さな穴が空いていたとする。たまたまこの穴に命中した分子は右側の部屋に移ることになる。粒子はランダ
ム運動しているので、速度の速い粒子の方がこの穴に当たる頻度が多いことになる。従って右側の部屋は次第
に速度の速い、質量の小さい粒子が多くなっていく。ランダム運動であるから当然左の部屋へ逆流していく粒
子もあるが、左側の粒子数の方が圧倒的に数が多いから全体としては右側の部屋へ移動する方が遥かに多い。
この操作を繰り何段階も繰り返すことにより、しだいに質量の小さい粒子を濃縮していくことができるので
ある。
図 6.5
拡散による質量分離の原理図。温度が同じなら全ての粒子の平均運動エネルギーは同じ。質量の小
さい粒子の方が平均速度が速く，単位時間に壁の穴に当たる回数が多い。こうして，質量の小さい粒子程右
の部屋へ多く移る。この過程を繰り返すと質量の小さい粒子の濃度が次第に高くなってゆく
6.3.3 臨界質量 (critical mass)
連鎖反応を進行させるためには、天然のウラニウムの中に僅か 0.7% しか含まれていない
235
92 U143
のみを集
めなければ原子力燃料とはならないのである。この作業をするところがウラニウム濃縮工場または原子力燃料
工場なのである。
こうして濃縮された
235
U の塊が大きくなってくると、自然界に存在する中性子が偶然この塊に進入してく
るとたちまち連鎖反応が起こり、大爆発を起こすことになる。235 U が連鎖反応を維持し得る最低の量は臨界
質量と呼ばれている。臨界質量は状況にもよるが、数キログラムといわれている。少量の塊を何個かに分けて
おいて、必要なときに合体させると爆発するような仕掛にしたのが原子爆弾の仕掛であるといわれている。
6.4 原子力エネルギーの利用
6.4.1 連鎖反応の制御
原子力発電等に利用されているものは、この鼠算的に発生してくる中性子の一部を他の原子核に吸収させる
ことによって、連鎖反応を起こす原子核の数とその速度をコントロールするものである。例えば、ウラニュム
と炭素を適当な割合で混ぜ合わせておくと、発生してくる中性子の中の何個かは、核分裂には関係のない軽い
6.5 プルトニウムはどのようにして出来るか？
49
原子核、炭素に吸収されてしまうので*2 、連鎖反応は断ち切られる。この炭素と
235
U の割合を調整して、ウ
ラニュムに捕獲される中性子の数を調整して、必要なだけのエネルギーを解放しながら連鎖反応を続けさせる
ことが出来るのである。
6.4.2 原子力発電
原子力発電はこの反応を高圧の水中で行わせ、数百度の高温高圧の熱湯を作り、この熱湯の走るパイプを水
の入ったプールの中を通すことにより、プールの水を沸騰させ、この蒸気を利用してタービンを回転し発電す
るのである。図 6.6 に原子力発電システムの概念的にまとめてある。
図 6.6
原子炉による発電の原理図。核分裂の連鎖反応によって発生したエネルギーによって加熱された水
は数百°迄加熱され，次の水槽に送られ，熱交換器を通してこの水槽の水を蒸気に換える。この蒸気を室外
の蒸気タービンに導いて発電機をまわす。炉心の高温高圧循環水とその循環システム内の水は放射化され
ているので，完全密閉循環し，蒸気発生の水とは完全に分離されている。蒸気タービンに使用された蒸気は
再度冷却液化されてもとの水槽へ戻される。液化装置の冷却には海水等が導入されている。
6.5 プルトニウムはどのようにして出来るか？
6.5.1 Neptunium ( ネプチニウム
239
Np ) の生成
原子炉燃料として利用されている濃縮された
235
U の中にはなお大量の
238
U が残っている。原子炉内の連
鎖反応で大量に放出される中性子の多くはこの 238U に吸収される。この中性子を吸収した 238 U は核分裂は
起こさないが、非常に中性子過剰となり、β 崩壊を 2 回繰り返し、最終的には
239
94 Pt145
235
なって原子炉内に蓄積される。プルトニウムは天然には存在しない元素であるが、
(プルトニウム) と
U 同様中性子を吸収す
ると核分裂を起こす。従ってこのプルトニウムを回収、濃縮することによって、新たに原子力燃料として使用
することができる。従って 235 U が全て核分裂を終わり、完全に使用済みとなった原子力燃料の中には大量の
*2
軽い核は融合した法が安定。(詳細は 33 ページ「5.2.3 軽い核は融合した方が安定」 参照
50
第6章
239
核分裂と原子力
Pu が蓄積されているのである。使用済み燃料からこのプルトニウムを化学的に分離回収するのがプルトニ
ウム再生工場である。
ウラニウムからプルトニウムが生産されて行く過程はおおよそ次の通りである:
i) ネプチニウムの生成
に中性子が吸収されると、中性子が 1 個多い同位体 になるが、これはそのままでは核分裂しないこと
は既に述べた。
然し、分裂するほどではないが中性子があまりに過剰であることにより、著しく高い励起状態にあり不
安定であることには変わり無く、 239
92 U147 は β 崩壊によって核内の中性子の一つが陽子に変わって電子
と中性微子を核外へ放出し に変化する。即ち、
239
92 U147
−
→ 239
93 U146 + e + ν
(T1/2 = 23 m).
(6.7)
この崩壊の半減期 ( Half life ) は 23 分である。従ってある時刻で 10 個の
23 分後にはは５個に減り、代わりに 5 個の
あれば、23 分後には 1g の
ii) プルトニウムの生成生じた
239
93 Np146
239
93 Np146
があったとすると
が生じていることになる。また、2g の 239
92 U147 が
239
93 Np146 が出来ていることになる。
239
93 Np146 はまだ不安定で、更に 2.3
にかわる。即ち、
239
92 U147
−
→ 239
94 Pu145 + e + ν
日の半減期で β 崩壊して Plutonium
(T1/2 = 2.3 d).
(6.8)
239
239
従って 2.3 日後には 1g あった 239
93 Np146 から 0.5g の 94 Pu145 が生じていることになる。この 94 Pu145
は β 崩壊に対しても大変安定でその半減期は約 2 万年 (2.4 × 104 yr) である。
結局
235
U の原子炉の中に混入していた天然の 238 U は 239 Np,
239
半減期 2.3 日と短いので、長時間放置しておくと自然崩壊して全て
6.6
Pu などとの混合物となるが、239 Np の
239
Pu に変わってしまうことになる。
使用するほど増加する原子力燃料
天然に存在するウラニウム鉱の大部分を占めるのは核分裂することの出来ない
まれるわずかな
235
238
U であるが、この中に含
U を濃縮して原子炉の中で燃料として使用している間に、新しい原子力燃料 239 Pu が生産
されていることになる。原子炉はエネルギーの生産と同時に新しいプルトニウム燃料の生産を行っていること
になる。
こうして天然に存在しているウラニウムの大部分は直接核燃料として使用できないものであるが、原子炉に
よって新たな原子力燃料、プルトニウムに変換することができるのである。使用する程増加していく原子力燃
料、夢のエネルギー源等と呼ばれるのはこの為であろう。
まとめ
i) 現在天然に存在している利用可能な核燃料は 235 U のみである。しかもウラニウム鉱の中に含まれてい
るのは僅か 0.72 % しかない。これを分離、濃縮して利用しているのが現在の原子炉である。
ii) この 235 U に天然のウラニウム 238 U を混合しておけば、235 U が燃焼しながら、大量に存在する
を
239
iii) この
Pu に変えてくれる。天然には存在しない、新しい燃料
239
Pu を分離濃縮して、
238
239
U と混合して使用すればこの
U
Pu が生産されてくる。
238
た量以上のプルトニウム燃料を生産することが出来るのである。
238
U がまた 239 Pu に変換され、使用し
6.7 原子炉内で生成される分裂片 (放射性物質) について
図 6.7
天然のウラニュウム鉱の中に僅か 0.72% しか含まれていない 235 U を濃縮して核燃料として利用し
ている。この燃料に混入している 238 U は燃焼の際に発生する中性子を吸収して 239 U となり、これが β 崩
壊を繰り返し，核燃料として利用できる 239 Pu に変換される。この 239 Pu を更に濃縮して天然に大量に存
在する 238 U と混ぜて核燃料として利用すると，この混ぜた 238 U は更に，元の燃料と同じ 239 Pu 燃料に変
換される。利用すればする程もとの燃料 239 Pu が増えてゆく。
6.7 原子炉内で生成される分裂片 (放射性物質) について
中性子を吸収した 238 U は、内部エネルギーが著しく過剰となり，二つの核に分裂し、更に数個の中性子が
核外に取り残され，空中又はウラン物質内をさまようことになる。
分裂の仕方にはいろいろあるが，極端に大きいものと小さいものに分裂する事はなく，ほぼ同じ程度の大き
さに分裂するのが普通である。更に詳しく見ると、分裂により生じた二つのペアーはそれそれ大きさは完全に
同じである事は少なく，大きさの差が 1 : 1.5 程度の場合が非常に多いと云う特徴がある。それでも，分裂に
よって生成される核種は 40 種類以上にも上る。
核分裂によって生じたこれらの核は全て高い励起状態にあり，更に中性子を放出するものもあるが，大部分
は β 崩壊をしていろいろなエネルギーの γ-線をたくさん放出し，最終的には安定な同位元素になる。
これらの分裂片の半減期は比較的短い物が多く，数秒から数分のものが大部分であるが、中には例外的に寿
命の長いものもあり，放射性同位元素として残り，環境、健康被害等の観点から、厳重な管理が必要となる*3 。
核爆弾実験や原子炉事故等で問題になる同位元素の例
核実験や原子炉事故などで「死の灰」と呼ばれている物はこれらの長寿命の放射性同位元素の事である。有
名の物では
•
*3
131
I 半減期 8.05 日：揮発性で風等で空中に広く拡散し，人の体内に入ると甲状腺に集積される性質が
原子炉が危険であると云われているのは，これらの長寿命放射性同位元素が大量に生成されるからである。
51
52
第6章
核分裂と原子力
あり，大量に被爆すると甲状腺がんになる可能性が高い事で知られている。
逆に，この性質を利用してがん細胞のトレーサーとして医学利用されているようである。通常の計数器
で数えられる程度の放射線では被害もなく，一ヶ月もすれば崩壊してなくなってしまう。大病院等では、
特定の企業を通じて定期的に供給されているようである。
•
137
Cs β 崩壊の半減期 30 年：風等で空中に拡散し，植物や地中に長期間残留し，人間の寿命 100 年に
比べれば半永久的に存在することになる。体内に入っても数日で大半は排出されると云われている。崩
壊過程が単純で 662keV のガンマ線を放出するのみ。このため放射線計測において標準線源としてよく
利用されている。多くの研究室で研究用に常備している放射性同位元素のひとつである。
•
90
Sr 半減期 28.1 年：単純なベータ崩壊のみで，ガンマ線を放出しないので，透過性が小さく検出しに
くい。体内に入ると Ca と化学的性質が近く，骨に吸着し，大量に被爆すると白血病等，骨や血液のが
んにおかされる可能性が高い事が知れれている。
ベータ崩壊の過程が，核構造の研究よく使用された。放射線計測においてもベータ線スペクトルの標準
線源として常備している研究室も多い。
53
第7章
放射線の測定
放射線の種類とその発生のメカニズム，又放射線に含まれるいろいろな粒子の性質について簡単
に述べる。又これらの粒子がどのようにして測定されているか，その検出器と測定の原理的な考え
方について説明する。
放射線は原子核の崩壊，変換にともなってその余剰エネルギーが粒子又は電磁波の形で原子核外
へ放出される物である。従ってその発生のメカニズムは原子核の構造と深く関わっている。
放射線測定は、基本的にはこれらの粒子が検出器である物質との相互作用によって吸収されたエ
ネルギーを電気信号に変換する方法が利用されている。従って入射粒子と物質との相互作用を理解
しておく事が重要となる。
ここでは放射線測定上必要とされる基本的な事柄について簡単にまとめた。一般的な素粒子のエネルギー，
運動量の測定についての基本的な考え方についても少しふれる事にする。
7.1 放射線とは何か
ベクレル (Henri Becqurel) がウラニウム化合物とともに保管されていた写真乾板が感光していた事から，放
射能を発見したのは 1886 年の事である*1 。その後 1899 年にはラザーフォード (Ernest Ratherford) は放射線
には 3 種類の異なった性質を持ったものが存在している事を発見た。彼はこの３種類の放射線を，物質の貫通
力の小さい順に α, β, γ 線と呼んだ。原子核物理学の芽生えである。
今日，測定の観点から考えるとき，放射線には大きく分けて３種類の異なったタイプがある。荷電粒子線，
中性子，電磁波である。これらの放射線が物質に当たると，この物質中の原子，電子等と衝突し、その際の相
互作用によりエネルギーの一部を失う。入射した物質が十分厚い場合はその衝突過程が連続して繰り返され，
入射粒子は全てのエネルギーを失う。100 万分の１秒程度の一瞬の出来事である。放射線が失ったエネルギー
は物質中の原子や電子の運動エネルギーとして与えられる。このエネルギーは物質内の瞬間的な電流発生と
なって観測される*2 。これは電流のパルス等と呼ばれている。
荷電粒子，中性子，電磁波は各々物質中の電子や原子との衝突のメカニズム (相互作用) が大きく異なるので
ある。そのため，放射線計測においても，それぞれ異なった原理に基づく検出器や解析の方法が工夫，開発さ
れてきた。
i) 電磁波について
*1
ベックレルは天然放射能の発見で 1903 年ノーベル物理学賞を授与された。Antonie Henri Becqurel, Discovery of spontaneous
radioactivity. (1903)
*2
この現象については後に詳しく論ずるが，電離現象と呼ばれているものである。
54
第7章
放射線の測定
レントゲン写真など医療面でよく利用されている X− 線は，最もよく知られた電磁波に属する放射線
である。ラジオの電波や可視光線等も電磁波である。X− 線と電波や可視光線との違いは，そのエネル
ギーである。可視光線のエネルギーは 0.5 eV 程度であるのに対して，X− 線のエネルギーは 100 keV
程度にも及ぶ。更に，原子核崩壊や，素粒子反応で現れる電磁波のエネルギーは MeV, GeV 単位で呼
ばれる領域のものが大部分である。
ii) 荷電粒子
電子等，荷電粒子よりなるものである。よく知られている荷電粒子の放射線はアルファ線，ベータ線等
である。アルファ線はプラス 2 価の電荷を，ベータ線はプラス又はマイナス 1 価の電荷を持つ。電荷を
持つこの種の放射線は単に個数を数えるだけでなく，電磁石等を利用して大変広いエネルギー領域にわ
たって，精度の高いエネルギー測定も可能である。
iii) 中性粒子
電荷を持たない粒子，特に中性子である。原子炉や原子核実験施設等では重要な意味を持つものである。
電荷を持たない事から，その検出や精密測定は困難である。通常は入射中性子によって検出器中の原子
核 (電荷を持つ) が散乱されたり，核反応により荷電粒子を放出するとき，この荷電粒子の運動により発
生する光や電気信号を検出する。二次的な過程を利用しているのである。この事が中性子の精密測定を
困難にしているのである。
中性子の遮蔽や検出器には，軽い原子核 (H, C や B 等) を含む物質がよく使用される。入射中性子によ
るリコイル (反蹴) の速度が大きく，電流発生の効率が良いからである。検出器としてはプラスチックの
素材*3 がよく使用される。又遮蔽材としては水槽やパラフィン (炭素化合物) 等が多用されている。
この種の放射線は物質内の衝突，核反応の過程が複雑で，一般に解析が難しく，現実的にはモンテカル
ロ法等で反応過程を近似的に推定している場合が多い。
中性子線は物質内に入って大量のエネルギーを失うので，被爆の影響が大きく，原子炉施設，核実験施
設における安全管理，作業員の健康管理上からも十分な研究を要する物の１つである。物質，材料工学
的にも多く利用されている。
図 7.1 はプラスチック検出器内での中性子の振る舞いを概念的に表したものである。プラスチック内の
電荷を持つ陽子や炭素原子核を散乱する事により，光や電気信号を発生させる。中には検出器の外へと
びだしてゆくものもある。この場合は入射中性子のエネルギーがその分小さく見える。中性子のエネル
ギーを測定するのはいろいろな困難がともなう。
7.2 放射線の発生源とそのメカニズム
レントゲン写真等，医療上使用されている X− 線は原子の内部深くから発生してくる電磁波である。通常の
化学反応による熱や可視光線は原子の表面近くから発生してくる電磁波である。言い換えれば最外殻近くの軌
道上の電子の運動によるものである。
これに対して，原子爆弾の被爆等で発生する放射能，ガンマ線は原子の中心部にある原子核の内部から発生
してくるものである。又は原子核内の陽子や中性子の運動によって発生してくる電磁波である。そのエネル
ギーは原子内の電子の運動による電磁波，X− 線に比べると千倍程度エネルギーが高いのである*4 。自然界に
は放射線を出し続けている放射性同位元素も多数知られている。これはその元素の原子核が崩壊し，別の元素
*3
*4
プラスチックセンチレータなど。
X− 線のエネルギーは keV がよく使用され、ガンマ線のエネルギーには MeV 単位がよく利用されるのはこのためである。更に，
可視光線等の電磁波には eV の単位がよく使用される。
7.2 放射線の発生源とそのメカニズム
図 7.1
入射した中性子は検出器内の陽子や炭素と衝突，反応して運動エネルギーを得て光や電気信号を発生する。
に変化するときに発生するものである。最近では粒子加速器や原子炉等を利用して、いろいろな放射性同位元
素を簡単に作り出せるようになり，核物理のみならず，医療面でも重要な役割を果たすようになった。
微弱ではあるが，我々の住んでいる地球上至る所絶えず放射線が降り続けている。これらは宇宙の彼方から
やってくる宇宙線と呼ばれている超高エネルギー粒子が，大気中の窒素や酸素等との衝突によって発生するも
のである。何億年もの間に，これらの放射線が生物の遺伝子を破壊し，突然変異の一翼を担ってきたとも云わ
れている。
7.2.1 原子内の電子の運動により放出される可視光線，X− 線
i) 赤外線，可視光線
これらは大変エネルギーの低い電磁波で通常は放射線とは呼ばれていない。その発生のメカニズムは物
質中の電子のランダム運動*5 によるもので，いろいろなエネルギーの電磁波が混じり合って，連続的な
スペクトルとなっている。熱線，赤外線等もこれに属する。そのエネルギー分布もマックスウェルーボ
ルツマンの分布に従っている。
ガスの炎に調理器具等が触れると，突然黄色い光を発する事はよく経験する所である。これは器具に付
着していた食塩 (NaCl) 中のナトリウム原子の外殻をまわっていた電子が高温のガスに触れ一瞬外側の
軌道に上がり、再びもとの軌道に戻る*6 ときに発生する電磁波である。この場合の発生メカニズムは
X− 線の場合と同じである。電子の軌道のエネルギーは元素の種類によって決まっているので，発生す
る電磁波のエネルギーは元素固有の値を持つ単色光である。化学の炎色反応に利用されている。
原子を取り巻いている最外殻近辺で遷移するときは可視光線領域の光子が放出又は吸収されるので
ある。
ii) X− 線
*5
金属のように原子が密集して結晶を作っているような物質では、最外殻の電子は原子核との結合力がほとんどなく、物質中を自由
に動き廻っている。これらの電子は自由電子と呼ばれている。自由電子は運動できる空間が大変広いため、そのエネルギー量子は
極めて小さく、事実上ゼロなので、その運動エネルギーは連続的に変化する。日常我々が目にする可視光線はこれらの電子が発生
する電磁波である。詳しくは 8 ページ、
「2.3 原子の構造と金属内の自由電子」参照
*6 滞在時間は約 1 京分の 1 秒程度
55
56
第7章
放射線の測定
図 7.2 X− 線は電子がその起動を変えるときに発生する。最外殻周辺の電子が軌道を変えるとき発生する
電磁波のエネルギーは低く，可視光線領域の光となる。最内殻周辺の電子が軌道を変えると発生する電磁波
のエネルギーも高く，これらが X− と呼ばれている。
原子核に近い内殻近辺の電子が軌道を変えるとエネルギーの高い光子，電磁波が放出される。内殻では
電子の軌道半径が小さく，このような狭い空間内においてはエネルギーの最小単位，エネルギー量子が
大きいのである*7 。狭い空間から放出される光子 (電磁波) のエネルギーは高くなる。X− 線のエネル
ギーは通常 keV 単位で表される。
7.2.2 原子核の内部から放出されるもの。原子核の崩壊，原子核反応
一般に放射能と呼んでいるときはこの原子核内部から発生してくる粒子や電磁波を指すのが普通である。原
子核のサイズは 10 fm
*8 程度で，電子軌道の最内殻に比べても約
1 万分の 1 程度である。従って原子核内部に
おけるエネルギー量子は大変大きく，発生してくる粒子や電磁波のエネルギーも大変高く，X− 線が keV 程度
であったのに比べると MeV 単位で呼ばれるのが普通である。又，原子核内部から発生する電磁波はガンマ線
(γ − ray) と呼んで X− 線と区別して呼んでいる。
原子核内部から発生してくる放射線は次の 3 種類が代表的なものである。
i) アルファ線 (He の原子核と同じもの). . . 透過力は小さく，破壊力は大きい。
プラスの電荷をもつ重い粒子である。He 原子核と同じもので，陽子 2 個，中性子 2 個からなる。物質
中に入射すると電荷も質量も大きいため，物質内での電離作用も大きく，衝突した原子が大きくリコイ
ル (反蹴) されるため，物質に与えるエネルギーは大きいが自分自身の失うエネルギーも大きい。このた
め，アルファ線は物質中に入ると急速にそのエネルギーを失うため、貫通力は大変小さい。他方，この
短距離の範囲内に全てのエネルギーを物質に与えてしまうのでその部分は大きく破壊される。人体に当
たると，皮膚の表面破壊が大きい。
又，アルファ線を放出する放射性物質が飛散すると，検出は大変困難である。地面や壁面に付着してい
*7
*8
この事は量子論の一般的法則である。
1 fm = 10−15 m = 10−13 cm。fm はフェムとメーターであるが，通常核物理学者 E. Fermi の名にちなんでフェルミと呼んでい
る。
7.2 放射線の発生源とそのメカニズム
57
ても，放出されるアルファ線は透過力が小さいため，空気中で吸収されるので，検出器をきわめて近づ
けないと発見できないからである。この点、以下に述べるガンマ線とは対照的である。知らずに人が触
れ皮膚に付着するとその部分は大きく破壊される。取り扱い，管理に十分注意を要するものである。
通常は原子番号の大変大きい (82 以上) 原子核の崩壊によって放出されるものである。この領域の原子
核は核内の中性子が大変過剰な状態にあるのが普通で，自動的に崩壊する同位元素が多く存在する。こ
れらは半減期が非常に長いものが多く (何億年といったものもある)，天然放射能として知られている。
ラドン温泉等はこれらの同位元素が微量に含まれているのであろうか？これらの天然放射能は地球の誕
生と同時に存在していたものと想像される。
ii) ベータ線 (電子，又は陽電子と同じもの). . . 透過力は比較的大きく，破壊力は比較的小さい。
電子の質量は原子核に比べると大変小さいので，物質内の電子，原子と衝突しても，毎回の衝突で失う
エネルギーが小さいので，全ての入射エネルギーを失う迄に走る距離が長い。即ち，ベータ線は物質中
での貫通力が大きい。人体に当たると，体内深くまで到達するが，アルファ線のように集中的は破壊力
は小さい。
空気中では大変透過性が高いので，完全に遮蔽して管理する必要がある。移動の際には鉛製の容器に入
れて持ち運ぶ。天然放射能として自然界に常に存在しているものもあるが，これらは大変微量、微弱で
ある。大部分は原子炉や加速器によって人工的に作られたものである。
天然放射能として知られているものには例えば：
•
40
18 K
9
はベータ崩壊し，40
18 Ar なり 1.4 MeV のガンマ線を放射しているが，その半減期は 10 年であ
る。注意深く観測すれば，殆どのコンクリート材で検出されるものである。
•
14
6 C
は約 5800 年の半減期でベータ崩壊して
14
7 N
になるが，これは大気中の窒素原子に高エネル
ギーの宇宙線が反応して生成されるもので，現在では生成される量と、崩壊してゆく量とがバラン
スして，数万何単位で一定量の 14
7 C が大気中に存在している事が知られている。この事を利用して
古跡物の年代測定等に利用されている事もよく知られている。
iii) ガンマ線 (高エネルギーの電磁波). . . 透過性は極めて高い。
ガンマ線は大変高エネルギーの電磁波である。物質との相互作用も荷電粒子に比べるときわめて小さ
く，小さな物質は大部分貫通してしまう。可視光線のように紙一枚で完全に遮蔽されてしまう事はない。
レントゲン写真で知られる X 線でさえ，大部分が人体を貫通して，背後の写真乾板に到達して、ここで
止められている (感光) のである。X− 線やガンマ線等の電磁波は重い原子核 (原子番号の大きい) 物質
ほど遮蔽効果が大きい。レントゲン写真はこの事を利用しているのである，骨格 (Ca) は人体 (H, N, O,
C) よりも遮蔽効果が大きいので，X− 線が遮蔽されて，後ろの乾板迄到達しないので感光しないので
ある。
放射性同元素が β− 崩壊すると，きわめてまれな例外を除いて，直ちにガンマ崩壊を起こし数個又は多
数のガンマ線を発生する。このため，俗に放射能のカウント数と云われているものは大部分このガンマ
線と考えてよい。放射能と呼ばれているもののベータ線のエネルギーはそれほど高くないので，検出器
の前にアルミニウム等の板をおくとベータ線は簡単に遮蔽され、ガンマ線のみを数えることができる。
これらの発生メカニズムや一般的な性質については既に述べてあるので，ここではその測定の観点から説明す
る事にする (詳細は「第 5 章 原子と原子核」29 ページ 参照)。
58
第7章
放射線の測定
7.3 放射線測定に使用される単位
放射能の発見以来，原子物理学者のアイデアはその発見の歴史とともに，放射能の強さを表すいろいろな単
位が使用されてきた。核物理の進歩とともに放射線発生のメカニズムに関する知識が深まった事から、より合
理的な単位が使用されるようになってきた。最近では医療，農業等いろいろな分野で放射線の使用が日常的と
なってきたことから、国際的に共通な単位の使用が重要になってきた。
ここでは国際的な委員会 (International Commission on Radiation Units = ICRU) が定めている単位につ
いて，日常よく使用される放射線計測と単位について簡単に纏めておく。放射線計測においてはいろいろな観
点からその強度に関する考え方，表現法が異なる。その基本的な考え方の違いは：
• その放射性物質 (放射線源) から毎秒何個の粒子が放出されているか？ . . . 原子核崩壊の数
• ある物体が毎秒何個の放射線粒子を吸収したか?. . . 被爆の程度
受けた放射線の量ではなく，実際に物質が吸収した放射線粒子数が重要な意味を持つ場合。高エネル
ギーのガンマ線等は，人体に当たっても大部分は貫通してしまうので、実際の被爆量は少ない。これに
対して，アルファ線等は入射した全てが体内に吸収され，更に，１個の粒子の破壊量がガンマ線やベー
タ線に比べて大変大きい。
• ある物体に総計何個の放射線粒子があったか？ . . . 照射量。
その実質的な効果は受ける物質，入射粒子の種類とそのエネルギーによって大いに異なるが，それは問
題にしない。
等である。
一般に中性子以外の放射線の物質との相互作用、又は遮蔽効果については、同じエネルギーの放射線に対
して：
• 遮蔽する物はとしては、厚い程効果が大きい
• 物質としては原子番号が大きい元素程有効である。アルミより鉄、更に鉄より鉛の方が効果的である。
中性子に関しては、別途考慮する条件が多い。一般には軽い元素、炭素、ホウ素等が効果的。水，パラフィン
等がよく使用されている。人体は水とほぼ等価と考えられるので、中性子の遮蔽効果、言い換えれば被爆効果
は大変大きいので危険度は高い。
7.3.1 放射線計測の単位
i) 放射線源の強度を表す単位 = becquerel (ベックレル Bq). . . 1 Bq = 1 個/sec
「毎秒 1 個の放射線粒子が放出されている」*9 放射線源の強度を 1 ベックレル ( 1 Bq) と称する。一般
に使用する放射線源から放出される粒子数は大変多く，習慣的にはキューリー (Curie = Ci) の単位が
使用されてきた。これはキューリー夫人が発見したラジウム (Ra) 元素 1 グラムの放射線源の強度が 1
キューリーである*10 。
1 Ci = 3.700 × 1010 Bq,
*9
*10
1 Bq = 27 pCi
(7.1)
毎秒の原子核崩壊数=disintegration per second(dps)
放射能発見の初期の頃では，質量 1 グラムの Ra と 1 Ci の放射線を放出する Ra は完全に等量であった。この時代，1 Ci は放射
線の強度を表すよりは、むしろ放射性元素，Ra の量を表す単位と見られていた。現在では 1 Ci の Ra は質量 1 グラムと関係な
く、純粋に放射線の強度として定義され，1 Ci = 3.700 × 1010 /sec である
7.3 放射線測定に使用される単位
59
即ち，放射線強度 1 キューリーの線源からは毎秒 3.7 × 1010 個の粒子が放出されている。実験室的な感
覚で云えば 1Ci の放射線源は大変強い放射能である。一般学生実験等で使用されているスペクトルの測
定等では 1µCi ≈ 1mCi(104 ≈ 107 Bqs ) 程度*11 のものが多い。
他方，農業における品種改良，医療用の放射線治療，原子炉による材料工学の研究等では ≈ 100Ci(≈
1012 Bq) もの線源が使用されるとのことである。
放射能の汚染検査等でよく使用されるサーベーメーターとも呼ばれているガイガーカウンター (GM-
counter) による線源の強さを求める具体的な例題を示しておく：
• 例題：
入射窓の面積 S = 10[cm2 ] のガイガーカウンターで放射線源からの距離 R = 20[cm] の位置で数え
たら、毎秒の係数率 ∆N は 100 カウント/sec であった。この線源の強度 N0 は何ベックレル？
• 解答：
放射線は線源から四方八方に平等、対称的に放出されているから、カウンター以外の方向にも同じ
強さで放出されている。従ってこの分を補正するため、全立体角について合計 (積分) する必要があ
る。線源から距離 R の位置にある面積 S の立体角 ∆Ω とすると、カウンターに入る数 ∆N は
∆N = N0 ∆Ω,
∆Ω =
S
R2
(7.2)
の関係にある。これから N0 を求めると：
R2
(20[cm])2
400[cm]2
∆N
= ∆N ×
= 100 ×
=
100
×
∆Ω
S
10[cm2 ]
10[cm]2
= 4000[Bqs]
N0 =
4 × 103 [Bqs]
=
× 1Ci
3.7 × 1010 [Bqs]
(7.3)
= 1.08 × 10−7 Ci ≈ 0.1µCi
このカウンターでは毎秒 100 個を数えているが、線源からは毎秒 4000 個の放射線が出ている。こ
の線源の強度は 4000 ベックレル (約 0.1 マイクロキューリー) である。
一般に、
「放射線に近づく程強い」又は「強さは距離の自乗に反比例する」とは、この検出器の数える数
∆N のことをいっているのである。「体内被爆は非常に危険」といわれているのは、サーベーメータで
数える数、∆N の 10 倍以上の放射線 N0 を全てを、たえず被爆し続けるからである。
図 7.3
線源の強度は検出器で数えた数を全立体角について補正しなければならない。立体角は面積 S と
距離の自乗 R2 の比である。
*11
1µCi は 100 万分の 1 Ci, 1 m Ci は 1000 分の１ Ci。
60
第7章
放射線の測定
ii) 放射線の吸収 (被爆) 量を表す単位=Gray=グレイ)
• Gray (グレイ: Gy)
1 Gy = 1 J/kg = 6.24 × 1012 MeV/kg
(7.4)
基本的には，「その物体 (例えば人) に入射した放射線粒子 (∆N 個) によってどれだけのエネル
ギーが蓄積されたか? 蓄積されたエネルギーの量」を示す単位。物質が放射線の影響を受けるの
は、この物質中に蓄積されるエネルギー量によるのである。
物質内で吸収された放射線のエネルギー量が， 物質 1kg 当り 1 ジュールのとき，1 Gy のエネル
ギーを吸収 (人の場合は被爆) したと称する。同じ数の放射線粒子に当たっても，その粒子の種類や
エネルギーによって被爆の量は大きく異なる。例えば１個の放射線が入射しても，その粒子が アル
ファ線 とベータ線ではその効果はにおおいに異なる。ガンマ線等では物質を貫通して全く効果なし
のこともあり得る。
• Equivalent dose(単位=Siebert シーベルト: Si) · · · 人体に対する被爆の被害程度を表す量*12
人体の被爆については，一般的な物質とは別に健康上の被害程度を考慮して，詳細な方法，単位が
用いられている。基本的には Gray に基づいているわけであるが，同じ被爆量でも広範囲に稀薄に
被爆したのと，特定の箇所や器官に集中しして被爆したのではその効果が全く異なるからである。
基本的な考え方は，アルファ線等のように，電荷や質量の大きい粒子は貫通力が小さく，全てのエ
ネルギーが局所的に集中し，危険度が極めて高い。これに対してベータ線やガンマ線等は透過力が
大きく，広い範囲にわたって薄く吸収されるので，比較的危険度が低い。
このような状況を考慮して，実際に被爆した粒子やエネルギーによって危険度の重みを掛けて被害
度の大きさを定量的に示す方法である。この被害度の大きさを示すのがシーベルトである。この危
険度の重みは危険因子又は過重因子 (radiation weightninng factaor wR ) と呼ばれている。
最も危険度の低い X− 線、ガンマ線等を 1(wR = 1) として，以下これの何倍危険かを wR の整数
値で示し，Gray 値に重みとして掛けて実際の危険度を「シーベルト」の単位で示すことにしてい
る。従って，wR = 1 の X− 線，ガンマ線等の場合はシーベルトとグレイは同じである。
1 Si = 1 Gy × wR ≈ 100 rem(reontgen equivalent in man)
(7.5)
国際的に定められている最新の加重因子 wR の値を表 7.1 に纏めておいた*13 。
この方法によって，被爆した放射線の種類やエネルギーに関係なく何シーベルト被爆すれば，どの
程度危険かの表現が簡単かつ客観的にできるのである。一般的な傾向として，荷電数や質量の大き
い粒子は危険度が高い。中性子は荷電はないが，物質内で原子と衝突し，イオン化して原子をはじ
き飛ばすので，核分裂片と同様の効果があり，大変危険なのである。
7.3.2 天然に存在する放射能
• 年間自然放射能 (バックグラウンド:natural annual background ). . . 0.4 ∼ 4mSi/year
• 宇宙線のバックグラウンド (主に µ 中間子 ) . . . 1 cm2 当たり毎分 1 個程度
• 人体への許容放射能
*12
初期の頃は rem(reontgen equivalent in man) が使用されていた。日本では 1989 年 (平成元年)rem から Ci 使用に変更になっ
た。1 Si ≈ 100 rem
*13
Particle Data Group; Journal of Physics G, Nuclear and Particle Physics, Vol 37, No. 7A (2010) p. 341
7.4 放射性物質の寿命と半減期
61
表 7.1 Radiation weightning factaors wR
Radiation type
wR
X− 線、ガンマ線は全エネルギー領域
1
電子、µ− 中間子の全エネルギー領域
1
中性子 En <1 MeV
2.5 + 18.2 × exp [−(ln En )2 /6]
中性子 10MeV ≤ En ≤ 50MeV
5.0 + 17.0 × exp [−(ln(2En ))2 /6]
中性子 En > 50MeV
2.5 + 3.25 × exp [− ln(0.04En )2 /6]
陽子、荷電 π− 中間子
2
アルファ線、核分裂片、重イオン
20
放射線従事者に定められている年間被爆許容量は 15 mSv/year(ヨーロッパ) ∼ 50 mSv/year (USA)*14
7.4 放射性物質の寿命と半減期
放射性同位元素はその原子核の内部エネルギーが過剰になり，耐えられなくなったときにいろいろな形でそ
のエネルギーを外部へ放出する。例えば，陽子中性子数のバランスが著しく不均衡になったときにはベータ崩
壊によって安定な状態を実現し，その余剰エネルギーは電子と中性微子として核外へ放出される。この電子が
放射能として観測されるものである (詳細は 35 ページ「5.3.2 中性子数の限界と電子崩壊」参照）。言い換える
と，いったん崩壊した原子核はもはや放射能を出す事はない安定同位体となる。
一般に物質中には無数の原子核が存在している。1 モル中には約 1023 個の原子核が存在している。これが
全てベータ崩壊をする放射性同位元素であったとすれば，総量 1023 個の電子を放出し終わると，全てが安定
核となりもはや放射能は無くなる。この 1023 この電子を放出するのにどのくらいの時間がかかるかが問題で
ある。例えば，1 秒間で全てを完了したとすれば，この放射線源は 1023 Bqs(ベックレル)、約 1013 Ci(キュー
リー)*15 ということになる。これは大変強烈な放射線源である。他方，これが 1010 秒 (約 300 年) の歳月を要
するとすれば 1Ci の放射能が観測され，この線源は 1Ci と云いたい所であるが、実際の放射能はこのように一
様に崩壊してゆくのではないのである。
原子核の崩壊は現在存在している放射性原子核の数に比例して崩壊してゆくのである。従って最初は大変な
勢いで多くの電子を放出するが，どんどん崩壊して残りの原子核の数が少なくなるにつれて毎秒放出される電
子の数も少なくなってゆくのである。同じ 1 秒間でも初期の頃と最後の頃では毎秒放出する電子の数は全く異
なるのである。ある時刻に測定された強度が，その半分に減少する迄の時間をその放射線源の半減期と呼んで
いる。
現在生き残って存在している放射性同位元素の数を N 個として，この現象を式で表すと，
dN
= −λN
dt
(7.6)
である。t は経過時間を表し，λ は比例定数で崩壊係数 (decay constant) と呼ばれており，それぞれの放射性
同元素固有の値である。dN/dt は崩壊の速度，又は放射性同位元素が減ってゆく速度である。崩壊係数 λ を持
つ放射性同位元素について，ある時刻 t = 0 における放射線の係数率 (カウント数) が N0 個であれば，それか
*14
*15
日本ではこれらに準じているが，大きな原発事故等が発生すると，状況に応じて変更しているようである。
1
正確には 3.7
× 1013 = 2.7 × 1012 Ci.
62
第7章
放射線の測定
図 7.4
放射線の数 (係数率) は時間ととも減少する。強度 (カウント数) が半分になる迄の時間が半減期
(half time) である。このグラフは半減期が 20 日の放射線源の強度 (カウント数/分) が時間とともに変化
してゆく様子を示している。この例では、10 日のカウント数が 1 万個／分であったが，20 日後の 30 日に
は５千個/分に減っている。
ら t 秒後のカウント数 N (t) 個は、上の式 (7.6) を解いて，次の式で求める事が出来る：
N (t) = N0 e−λt .
(7.7)
これをグラフで表すと図 7.4 のごとくなる。尚 λ と半減期 T1/2 の関係は
1
N0 = N0 e−λT1/2
2
(7.8)
ln(2)
0.693
=
= 0.693τ
λ
λ
(7.9)
の関係を考慮すると，次のようになる：
T1/2 =
崩壊係数 λ の逆数 τ はその線源の平均寿命 (mean lif 又は単に life) と呼ばれ，半減期 (half life) とともにその
放射線同位元素の性質を論ずる際によく使用される。一般に同位元素の寿命 (life) と呼ぶときはこの平均寿命
のことである。
7.5 ベータ崩壊とベータ 線のエネルギースペクトル
原子核はほぼ同数の陽子と中性子から構成されているのが普通であるが，中性子の数が陽子の数に比べて必
要以上に多い原子核では，中性子が崩壊して，陽子に変換し電子と中性微子を放出し，陽子と中性子の数が同
数に近くなるように変化する。これがベータ崩壊と呼ばれる現象である。この際に核外に放出される電子が放
射線として観測されるのである (詳細は 34 ページ「5.3.1 陽子数の限界と陽電子崩壊」など参照)。
ベータ線のエネルギー
この過程において解放されるエネルギーの総量 E はその崩壊，反応によって決まっており，新しく出来た原
子核と元の原子核の質量差 (E = ∆M c2 ) となって現れるのである。この質量差 ∆M に対応するエネルギー
∆M c2 が電子と中性微子に適当に分配される。
このようにエネルギーの総量が決まっているため，電子が多くのエネルギーを取れば，中性微子の取り分は
少なくなる。従って電子のみに注目してみると，電子が全エネルギーを取ったときがベータ線として観測され
7.5 ベータ崩壊とベータ 線のエネルギースペクトル
る電子最高のエネルギーであり，逆の場合は殆どゼロエネルギーとなる。しかし大部分の場合はそれぞれがほ
ぼ同じ程度に分け合うことが多いので，図 7.5 のごとく，最高エネルギーの半分くらいのエネルギーを中心に
して高エネルギー側と低エネルギー側へほぼ対称に分布する。このようにベータ線の電子は一個１個異なった
エネルギーを持って放出される。即ち，ベータ崩壊によって放出される電子は連続スペクトルを示す t ので
ある。
図 7.5
ベータ崩壊では原子核内の中性子が陽子に崩壊して電子と中性微子を放出する。中性子と陽子の質
量差に相当するエネルギーが電子と中性微子に配分され，電子は連続スペクトルを示す。中性微子は観測さ
れない。
図 7.6
水素の同位元素である三重水素がベータ崩壊して電子と中性微子 (ニュートリノ) を放出し 32 He に
変わった。三重水素は半減期 12 年の放射性同位元素で，最大エネルギー約 19eV の電子を放出する。中性
微子は測定困難。
中性微子 (neutorino) の測定について
中性微子は電荷を持たず，その質量はきわめて小さく，未だに測定されていない。中性微子は物質とほとん
ど相互作用をすることがないのである。このため，ベータ線の測定時には電子とほぼ同数の中性微子が入射し
ているのであるが，検出器に反応することはない。
図 7.6 は水素の同位元素である三重水素 (トリチュウム又はトリトン 31 H2 ) が β− 崩壊してヘリウムの同位
元素 32 He1 に変化する例を示したものである。基本的には三重水素の中の中性子の１個が陽子に変換して，核
外に電子と中性微子を放出したのである。三重水素においては 1 個の陽子に対して，2 個の中性子 (即ち 2 倍)
が存在しあまりにも中性子過剰なのである。放出された電子はベータ線として観測される。中性微子は検出器
63
64
第7章
放射線の測定
に数えられることはない。
この反応において，放出される電子のエネルギーを正確に測定することにより，中性微子の持ち去ったエネ
ルギーを計算し，その質量を評価する実験がなされたが，尚中性子の質量は未だ未定で，存在したとして、そ
の上限を知る程度である。
7.5.1 ベータ線と物質の相互作用
ベータ線は物質を通過中，物質中の原子と衝突を繰り返し，次第にエネルギーを失い、ついには静止してそ
の物質に吸収されてしっまう。入射してから静止する迄の距離をレンジ (range = 飛程) と呼んでいる。レン
ジは物質により，又入射電子のエネルギーによって異なる。電子をちょうど止めることの出来る距離をその物
質のそのエネルギーにおけるレンジという。従って，ある物質を用いてこのレンジを測定すれば入射電子のエ
ネルギーを計算することができる。このことを利用して電子のエネルギーを計ることができる。ベータ線源と
図 7.7
物質中での電子のエネルギー損失 (吸収される量)。ベータ線は物質中で、その貫通距離とともに次
第にエネルギーを失って，ついには静止して，物質に吸収され，消失する。この通過距離をレンジと呼んで
いる。電子のエネルギーが高くなると急激にレンジ (renge) は長くなる。即ち，貫通力は大きくなる。
検出器 (例えば，ガイガー · ミュラー検出器) の間に薄いアルミニウムの板を 1 枚づつ挿入してゆき，ついに検
出器が数えなくなったときのアルミニウムの厚さを測れば，計算によってこのベータ線のえねるぎーを求める
ことができる。この方法は簡単であるが，エネルギー決定の精度はあまりよくない。特にエネルギーの異なる
ベータ線が混じっているとき等その分離さえ困難であることが多い。
7.5.2 ベータ線検出器とその動作原理
i) 荷電粒子による気体のイオン化
通常の原子は原子核内の陽子と同数の電子が周辺を回っており，原子全体としては電気的に中性の状態
にある。この原子の近傍を高速の荷電粒子が通過すると，かすかな力で引きつけられていた外殻の電子
はその衝撃で原子の外へたたき出されてしまう。こうして電子を失った原子は全体としてプラスに帯電
することになる。このように電子をはぎ取られて，プラスに帯電した原子をイオンと呼んでいる。この
状態に変わることをイオン化 (ionization) 又は電離現象と呼んでいる。図 7.8 は荷電粒子の通過による
電離現象を模型適し示したものである。
こうして荷電粒子が気体中を通過すると，周辺の原子がイオン化されてその軌跡にそってイオン化され
た原子とはぎ取られた電子のペアーがでる。プラスとマイナスのペアーが沿って発生する。この発生そ
7.5 ベータ崩壊とベータ 線のエネルギースペクトル
た電気を集めて電気的な信号に変えるのが放射線のガス検出器 (ガスカウンター) である。
図 7.8
荷電粒子の衝突によりイオン化された原子。荷電粒子が気体中を通過すると周辺の原子がイオン化
され，粒子の秘跡に沿って電子ーイオン対の列が発生する。
ii) 一般的なガスカウンターの原理と構造
図 7.9 は一般的なガスカウンターの模型図である。アルゴンガスを封入した円筒状の金属容器の中心に
直径 1µm 程度の細いタングステン線を絶縁して張って (この線こことを芯線と呼んでいる) ，これに高
い電圧 (∼ 1000V) を欠けておく。図では外壁にマイナスの電圧をかけてある。
このカウンター内を荷電粒子が通過すると，その軌跡に沿ってイオンと電子のペアーが発生する。発生
した電子は電位の高い中央の芯線に向かって勢い良く引きつけられてゆく。他方，イオンは反対にマイ
ナス電位の外壁に引きつけられていく。こうして芯線には一瞬電子が吸収され電流となり，これが電気
信号，パルスとして検出される。
iii) ガイガー · ミュラー計数管とベータ線の検出
ガイガー · ミュラー計数管 (Geiger-Mular Counter ≡GM counter) は典型的なガスカウターであり，安
価で取り扱いが簡単であり，携帯用としてもよく使用されている。いろいろな種類の放射線に対しても
感度が高いことから、放射能汚染のチェック等にもよく使用され，サーベイメーター等とも呼ばれてい
るほどである。
その動作原理はおよそ次の通りである：
（a）アルゴンガスを封入してある GM 計数管内をベータ線が通過すると，その軌跡に沿ってアルゴンガ
スが電離される。
（b）電離によって発生した電子は，高電圧の細い芯線 (タングステン) 強い力で引かれて加速される。芯
線は細い程その周辺の電場が強いので，電子を引きつける力が更に大きくなり，一段と加速される。
（c）この加速された電子は激しいスピードで芯線に向かう途中，更に多くの原子と衝突して，これらを
電離してゆく。この過程の繰り返しにより，電子とイオンの数はねずみ算的に増大する。この現象
を「電子雪崩 avalanch」と呼んでいる。芯線の周りに大量の電子が集まるとその周辺の電場は相
殺されてこれ以上雪崩は進まなくなる。
65
66
第7章
図 7.9
放射線の測定
ガスカウンターによる荷電粒子検出器原理図。アルゴンガスを封入した円筒形の容器と中心にタン
グステンの細い芯線を張り，約 1000V の電圧を与えておく。放射線が入射するとその軌跡に沿ってアルゴ
ンガスが電離され，発生したイオンは高電位の芯線に引きつけられ，パルス的な電気信号を発生する。
（d）芯線に収集された大量の電荷が電流となって外部に流れ出ると，芯線の周辺はもとの状態に戻り，
高い電場を発生し，次の粒子の入射を待つことになる。この芯線からの電流を増幅してスピーカー
等に接続しておくと，ベータ線 (電子) が１個入射するたびにビープ音を発生するようにすることが
できる。市販されている GM-検出器にはこのようなものが多い。
（e）GM-計数管では，電子雪崩によって発生する電子の数は，検出器の構造や動作させる電圧等によっ
て決まる，可能な限界迄雪崩が進行するので，入射粒子の種類やエネルギーとは関係なく最大限ま
で雪崩が進むので，入射粒子の種類やエネルギーに関する情報は得られない。ベータ線の数のみを
数えるのに向いている，感度は鋭敏である。雪崩による飽和状態が消失する迄の時間が長いため、
極端に高い係数率には耐えられなくなり、数え落としが生ずる (dead time が大きい)。
図 7.10 GM カウンター内にベータ線が入射すると，カウンター内のガスが電子とイオンに電離する。こ
の電子は芯線の電場により加速され，他の原子を電離する。これが旧実に繰り返され，電子雪崩を発生さ
せ、雪崩は可能限り限界増殖する。るこの電子が芯線に集められて電流となる。
iv) 比例計数管 (proportional counter)
7.6 ガンマ崩壊とガンマ線スペクトル
67
よく使用されるガスカウンターの一つである。GM カウンターとの違いはエネルギーや粒子識別など等
の情報を得ることが出来る点である。自作も簡単で、大学の研究室でも実験の目的に適したものを自作
して使用しているところが多い。
原理的には 7.5.2-3 のガイガーカウンターと同じものであるが、芯線に加える電圧を低く (数百ボルト)
してガイガーカウンターのように電子雪崩ができない状態で使用する。検出器内を荷電粒子が通過する
とその粒子の軌跡にそって多くの電子ーイオン対ができるが、このイオン対の数はガス内でのエネル
ギー損失に比例する。ガス中で 1 個の原子を電離するに必要なエネルギーはほぼ一定で約 30 eV であ
る。計数管内での電子のエネルギー損失が仮に 100 keV とすれば、発生するイオン対の数 n は
n=
100keV
∼ 3000 個
30eV
(7.10)
となる。この発生した電子が芯線に到達するまでに更に又途中の原子をイオン化するが、雪崩状態にな
るなでには成長することなく、ほぼ一定の倍率を保っている。芯線の電圧やガス圧等によって異なるが、
数千倍程度の値である。この倍率は multiplification factor と呼ばれている。結果として、芯線に集ま
る電子の総数は式 (7.10) にしたがって、入射粒子が検出器内で失ったエネルギー量 ∆E(エネルギー損
*16
失とよんでいる) に比例する (入射エネルギーには反比例)。
分解能は最初に最初に発生するイオン対の数の統計的ばらつきによって制限されるので、eq.(7.10) の例
では
√
√
∆E
n
3000
=
=
∼ 2%
E
n
3000
(7.11)
程度が限界である。
比例計数管は一般の原子核実験ではエネルギー損失の差が大きい、粒子識別のような目的でよく使用さ
れる。不感時間 (dead time) は電子雪崩を創らないのでガイガー管よりは回復が速い。
尚、素粒子実験の分野では、比例計数管の応用は急速に発展し、粒子の通過位置で発生したイオンー電
子対が芯線まで到達するまでの時間情報を利用して粒子の通過位置を正確に読みとったり、多数の芯線
を、例えば 2 mm 間隔で並べて張り、粒子の軌跡をコンピュータ上にグラフィック表示するなど高速エ
レクトロニクス、コンピュータの性能、ソフトウェアの進歩と共に大きな進歩を遂げている。
7.6 ガンマ崩壊とガンマ線スペクトル
核内の陽子数と中性子数のバランスが著しく崩れると，中性子が陽子と電子に崩壊し、その電子を核外に放
出，ベータ崩壊して不安定な状態を解消する。しかしこれで完全に安定な状態 (基底状態) に到達することはま
れである。この場合更に核内核子の運動が激しく高い励起状態にある。この状態は電磁波，ガンマ線を放出す
ることによって最終的な安定状態に達する。この過程がガンマ崩壊である。具体的な例として，60 Co のベー
タ、ガンマ崩壊について簡単に纏めてみると：
60
Co のベータ、ガンマ崩壊の例：
半減期約 26 年の放射性同位元素 60
27 Co33 は実験室等で最もよく使用されている放射線源である。天然に安定
して存在するコバルト元素は
*16
59
27 Co32
であることを考えると，60
27 Co33 は少し中性子過剰であることがわかる。
一般にガスカウンター内は原子密度が希薄で、大部分の入射粒子はカウンター内で一部のエネルギーを失うが、そのまま貫通する
のが普通である。このような場合、検出器内で失うエネルギー量は入射粒子のエネルギーが高くなると急速に小さくなる ∆E が小
さくなる。この様な場合、∆E カウンターとも呼ばれている。
68
第7章
図 7.11 放射性同位元素
60
27 Co33
がベータ、ガンマ崩壊をして安定な元素
60
28 Ni32
放射線の測定
に変化してゆく過程。
Co は 5.26 年の半減期でベータ崩壊して Ni に変換する。この Ni は半減期，約 10−12 sec で 1.17MeV
のガンマ線を放出し，更に 10−12 ssec の半減期で 1.33MeV ガンマ線を放出して安定な Ni になる。
60
60
60
これを解消するために核内の中性子が電子とニュートリノを放出して陽子に変換し，より安定な
壊する。ここ迄の崩壊は半減期も 26 年と長く，ゆっくりと崩壊するが，崩壊後に誕生する
状態にあり*17 ，約
10
−12
∗
60
28 Ni32
60
28 Ni32
に崩
は高い励起
sec(１兆分の１秒) の半減期で 1.17MeV ガンマ線を放出、更に引き続いて同程度の半
減期で 1.33MeV ガンマ線を放出し，最終的に安定な 60 Ni にとなる。一般にベータ崩壊の半減期は長短様々で
あるが、ガンマ崩壊の半減期 (励起状態の寿命) は短く、特別な場合を除いては、１兆分の１秒程度である。図
7.11 は放射性同位元素 60
27 Co33 崩壊過程を模型的に示したものである。
実際に観測されたガンマ線のエネルギースペクトルの例は「5.4.2 原子核の表面振動」図 5.8(40 ページ) に
示しておいた。
このようにベータ崩壊が起こると、それに引き続いて起こるガンマ崩壊は複数回続き、複数個のガンマ線を
放出することになる。60 Co の例では 2 回、2 個のガンマ線であるが、一般的には非常時多く、1 回のベータ崩
壊で数 10 個のガンマ線を放出することも珍しくない。放射性同位元素の放出する放射能の大部分がガンマ線
であり、ベータ線の数はマイナーなものであることが多い。
サーベーメータ (G-M カウンター) 等でガンマ線のみを数えてその数を「放射能の強さ」と称しているのは
このためであろう。原子炉事故等でよく問題になる
*17
137
Cs や 90 Sr は、むしろまれな崩壊の仕方をする放射性
このように粒子の放出を必要とするほどではないが、過剰なエネルギーを含んでいる状態を励起状態とよび、*印をつけて、通常の
安定原子核と区別して示すことが多い。
7.6 ガンマ崩壊とガンマ線スペクトル
同位元素なのである。
実験の教材としてもよく知られている、ガンマ線源 137 Cs はベータ崩壊の後、１個のガンマ線を放出するも
のであり、ベータ線の数とガンマ線の数はほぼ同数と考えてよい。
90
38 Sr(ストロンチュウム)
90
ウム）に崩壊し、この
に安定な
は約 29 年の半減期で最高エネルギー 0.56MeV のベータ線を出して 90
39 Y(イットリ
Y は約 64 時間の半減期で最高エネルギー 2.28 MeV のベータ線を放出して、最終的
90
40 Zr(ジルコニュム)
になる。この 2 段階のベータ崩壊の過程を通じて、殆どガンマ線を出さないので
ある。この珍しい特徴から、実験の教材としてよく利用されるものである。
7.6.1 ガンマ線と物質の相互作用
ガンマ線は電磁波、光子 (フォトン ≡ photon) であり、質量を持たない。この為、他の質量を持つ粒子から
成る放射線とは物質との相互作用において特有の振る舞いをする。物質内で消滅したり、電子ー陽電子対創成
(electoron-positron pair creation) 等質量に転換したりである。
ガンマ線は本質的には物質中でエネルギーを失うことはなく，通過距離に応じた確率で物質に吸収されて消
滅する。このためベータ線のようにある程度以上の厚さの物質を通過すると，完全にエネルギーを失って、無
くなってしまう (物質内の自由電子となる) ことはない。ただ貫通する距離とともに光子の数が少なくなって、
強度が弱くなってゆくのみでる。原理的な理屈をいえば、どんなに厚い物質でも、必ず何個かのフォトンは貫
通してくるのである。
このため，ガンマ線の場合には，ベータ線のレンジの代わりに，その強度が半分になるときの厚さをそのエ
ネルギーにおける Half thickens と呼んでいる。Half thickness はガンマ線のエネルギーが高くなるにつれて
急激に厚くなってゆく。物質としては質量数の大きい元素ほど遮へい能力は高く、half thickness は小さい。
ガンマ線の遮へいには中性子などと違いパラフィンや水などより、鉛などが効果的である。
図 7.12
光子が物質中を通過するときは，途中で次第にエネルギーを失ってゆくのではなく，ある程度貫
通すると完全に消滅するのである。物質中を長距離走っていると，この消滅する確率が高い。従って最後迄
走り抜けてくる光子の数が少なくなってくる。入射した光子が半分に減らしうる物質の厚さを，その物質の
Half thickness と呼んでいる
7.6.2 ガンマ線 (光子) 吸収のメカニズム
入射ガンマ線が物質中に吸収される過程としては光電効果、物質中の電子とのコンプトン散乱、物質中の電
場との相互作用で電シー陽電子対を発生するペアークリエーションである。ガンマ線の測定においては、これ
69
70
第7章
放射線の測定
らの吸収過程について十分理解しておくことが重要である。いかにそれらの過程の特徴を簡単まとめてみる：
i) 光電効果 (Photo-electric effect)
金属に光が当たると金属内の電子がたたき出される。この現象を光電効果と呼んでいる。たたき出され
る電子のエネルギーは入射する光子のエネルギーに比例する。即ち，波長に反比例する。
飛び出してくる電子のエネルギーは光の強さ (光子の数又は量) とは無関係である。強い光 (数多くの光
子) を当たれば数多くの電子が飛び出してくるが，そのエネルギーは同じである。光の強度と光のエネ
ルギーを混乱しないように*18 。
光電効果の現象を説明するために，アインシュタインは光には粒子的な振る舞いをする性質があること
から光量子説*19 を提唱した。光子のエネルギー (E) はその振動数 (ν) に比例する。即ち
E = hν.
(7.12)
h = 6, 62606896 × 10−34 J sec
(7.13)
ここで，比例定数 h はプランクの定数と呼ばれ
である。
飛び出してくる電子のエネルギーは，光子のエネルギーより少し低いが，これは物質より飛び出すとき
物質内の原子からの引力に打ち勝つために費やされるもので，ワークファンクション (work function)
と呼ばれている。Work function の値は物質によって決まる一定の値である。従って，光電効果によっ
て飛び出してきた電子のエネルギーを測定すれば入射光子のエネルギーを知ることができる。放射線の
測定においてはこの点が重要なのである。
図 7.13 光電効果の概念図。物質中の原子軌道を回る電子を叩き出す。
ii) コンプトン散乱 (Compton Scattering, 光子と電子の散乱)
光子が物資中の電子と衝突して，電子にそのエネルギーの一部を与えて光子は方向を変えて散乱されて
ゆく。光電効果と異なる点は，入射光子が物質内の原子に吸収されのではなく，自由電子*20 との衝突に
よるので，電子に与えるエネルギーによって，散乱されてくる光子のエネルギー (振動数，波長) が異な
*18
強い光の方がエネルギーが大きいというのは，個々の光子のエネルギーが小さくても，光子の数が多いので，全体としてのエネル
ギーの量が多いのである。光子集団の総エネルギー量と１個の光子のエネルギーを混同しないように！
*19 アインシュタインはこの業績により 1921 年ノーベル物理学賞を授与された。Albert Einstein, Photoelectric Effect (1927)
*20 原子内の軌道を回っている電子ではなく，特定の原子に固定されていないで，ランダムに動き回っている電子。
7.6 ガンマ崩壊とガンマ線スペクトル
る点である。これは光子と電子があたかも玉突きの球のように、共に粒子的な振る舞うことから，ここ
でも光の粒子性が示された。コンプトンはこの業績により，1927 年ノーベル物理学賞を授与された*21 。
このことから、光子と自由電子の衝突、散乱の現象をコンプトン散乱 (Copmton scattring) と呼んで
いる。
入射したガンマ線が検出器中の電子とコンプトン散乱し，検出器外へ去ってゆくと，検出器から得られ
る電気信号は電子がリコイルによって受け取ったエネルギーのみなので，入射ガンマ線のエネルギーは
分からない。このような衝突は三体問題であり、光子と利コイルの電子のエネルギーは連続的に変化し
うる。ガンマ線のエネルギー測定の観点から見ると，この点は光電効果の場合と大いに異なり，連続ス
ペクトルとなって現れるため，データの解析を困難にしている。
図 7.14
コンプトン散乱。光子 (ガンマ線) と自由電子との散乱。散乱されてくる光子のエネルギーはリコ
イルされる電子と共に毎回異なる (3 体問題)。
iii) 対創成 (Pair creation, 電子ー陽電子の対創成)
入射光子のエネルギーが約 1.5 MeV 以上*22 高くなると物質中の原子付近を通過する際，電子と陽電子
の対を発生して，これら再びが対消滅する過程がある。陽電子はプラスの電荷を持つ点を除いては電荷
と全く同じもので、電子の反粒子に当たるものである。電子の質量エネルギーは mc2 = 0.51MeV であ
るから，原理的には 2 個分 1.02MeV のガンマ線ならペアークリエーションが可能なはずであるが，起
きる頻度は無視できる程小さい。
検出器が十分大きい場合は発生した陽電子は物質内の電子と散乱しながらエネルギーを失い，殆ど静止
状態になると，近くに存在している電子と共に対消滅 (pair annihilation) を起こして消滅し，それらの
質量エネルギー、0.51MeV に相当するガンマ線を 2 個反対方向に放出する。電子ー陽電子対の全エネ
ルギーは 1.02MeV であるが，1.02MeV のガンマ線 1 個を放出することは、一般には、ない。理由は発
生した陽電子が再び電子とペアーを作るのは殆ど静止状態になってからである。このため消滅寸前のペ
アーの運動エネルギーは殆どゼロになっているため，特定の方向へ 1 個のガンアマ線を出すと運動量が
保存できない。このため，同じエネルギーのガンマ線 2 個を反対方向へ発生して，エネルギー，運動量
共に保存する状態になるのである。
この対消滅が物質の表面近くで起こると，発生したガンマ線の 1 個又は両方共に検出器から飛び出し
てしまうことがある。このようなことが起こると入射したガンマ線のエネルギーより，0.51MeV 又は
1.02MeV 低く見えることになる。これらはコンプトン散乱と違って明確なピークとなって現れる。こ
*21
*22
Arther Holly Compton, Compton effect, (1927)
原理的には電子の質量エネルギーの２倍、1.02 MeV で良い筈であるが、現実にはぎりぎりのエネルギーでは起こる確率が極めて
低く、観測にはかからない
71
72
第7章
放射線の測定
の現象によるピークはエスケープ ピーク (escape peak) と呼ばれ，別なガンマ線と見間違えられること
があるので解析の際には注意を要する点である。特に検出器のサイズが小さいときによく起こる現象で
ある。光電効果によって吸収されたピーク*23 のエネルギーより 0.51 MeV 又は 1.02 MeV 低いエネル
ギーのガンマ線が別に存在するかのように見えるからである。
図 7.15 電子ー陽電子対創成。入射ガンマ線のエネルギーが電子の質量エネルギー 0.51MeV の 2 倍を超
えると電子ー陽電子対創成が起こる。発生した陽電子は物質中の電子と共に対消滅し，電子の質量に相当す
るエネルギー，0.51MeV のガンマ線 2 個を互いに正反対の方向に発生する。
7.6.3 ガンマ線の検出 シンチレーションカウンター
放射線源から発生するガンマ線の強度等を知るためにガンマ線の数のみを知れがよい場合にはガイガーカウ
ンターが大変簡便である。しかし，線源の核種等をっ知るためにはそのガンマ線のエネルギーを知る必要があ
る。ガンマ線のエネルギーを精度良く測定できる検出器としては Si(Li)、Ge(Li) などを利用した半導体検出器
(分解能 ∼ 1%) が研究現場ではよく使用されている。
半導体検出器の動作原理はガスカウンターに類似である。ガスカウンターの場合は気体原子が電離され電
子ーイオン対が出来るが、半導体では電子とその穴 (particle-hole) のペアーである点が原理的な違いである。
半導体の場合、1 対の particle-hole を作るのに必要なエネルギーが電子イオンペアーの ∼ 30 eV に対して、小
さいため (Si では 2.3 eV、Ge では 5.3 eV)、同じエネルギー吸収量に対して大量のペアーが発生し、その統計
的なばらつきが小さく、高い分解能が得られる点が大きな長所でる。
反面常温に於ける熱運動のエネルギーは約 0.025 eV であることを考えると、particle-hole pair 発生に対す
る影響は、Ge の場合、0.025/5.3 ∼ 0.5% であり無視できないので、これを避けるため、更に温度を 100◦ 程
度下げて使用する必要がある。通常は液体空気を使用して冷却している。このため維持管理が煩雑となる。
ここではガスカウンターや半導体検出器とは原理的に異なる，シンチレーションカウンタについて簡単に説
明する。分解能は 10% 程度であるが、学生実験等でもよく使用されているものである。スペクトルの解析過
程については何れの場合もほぼ同じである。
プラスチックに放射線を当てると可視光を発する。この発光時間は大変短い (∼ 10−8 sec) ことから、シン
チレーションと呼んでいる。この光を電流に変換して放射線のエネルギーを知ることが出来る。この原理を使
用したものをシンチレーションカウンターと呼んでいる。
ガンマ線測定用のシンチレーションカウンターの基本構成は、ガンマ線が当たるとそのエネルギーに比例し
*23
光電効果、photo-electric effect, による現象であることからフォトピーク (photo-peak) 等と呼んでいる人も多い
7.6 ガンマ崩壊とガンマ線スペクトル
た強度の可視光を発する NaI の単結晶、この可視光を電流に変換する真空管の一種、光電子倍増管とその出力
パルスを増幅し電流の大きさに対応するヒストグラムを作る回路、波高分析回路とパルスの数を数えるスケー
ラー等からなる。最近ではパーソナルコンピュータが発達、普及しているので、IC(Integrated Circuit) 化さ
れた Amplitude to Digital Converter(ADC) など利用して直接エネルギースペクトルをスクリーン表示し、
オンラインデーター解析の機能を持っているするのが普通となっている。
ここでは光電子倍増感の原理とシンチレーションカウンターによって得られる典型的なガンマ線スペクトル
の特徴と解析の際に必要な基本的な知識について説明する。
i) シンチレーター (NaI)
NaI の単結晶にガンマ線が入射するとシンチレーションを発する。この光量は入射ガンマ線のエネル
ギーに比例するので、この光を電流に変換して測定する。NaI の結晶は透明であるが、潮解性があり、
空気中では水分を吸収して崩壊してゆくので、通常はアルミニュウムの薄膜とガラスで密封されており、
このガラス面に光電子倍増管を密着してシンチレーション光を観測する。形状は 2.5cmφ × 2.5cm high
程度の円筒形をしているのが普通である。サイズが大きくなると急速に高価になっていく。
ガンマ線が NaI の結晶に入り結晶内で失ったエネルギー、言い換えれば NaI が吸収したエネルギーが
光に変換され、その光量に比例した電流に変換されてこの電流量から吸収されたエネルギーを知るこ
とが出来る。重要なことは入射ガンマ線のエネルギーが測定されるのではなく、NaI に吸収されたエネ
ルギーが測定されるのである。実際に入射したガンマ線の数を知るためには、観測されたスペクトルか
らいろいろな解析によって求める必要がある。実際に入射したガンマ線のうち何 % が NaI に吸収され
るか示す割合は吸収効率又は detection efficiency と呼ばれている。Detection efficiency は結晶のサイ
ズ、形状、入射ガンマ線のエルぎー等によって大きく異なる。
あるエネルギーの決まったガンマ線を NaI-シンチレーションカウンターによって観測されたスペクト
ルの典型的な概念図を図 7.16 示す。既に検討したガンマ線と物質の相互作用 (69 ページ) がどのように
反映しているかを考えてみる。
• 光電効果 = photo peak
入射ガンマ線が完全にシンチレーター内で吸収されるので、この時に得られる出力電流は入射ガン
マ線のエネルギーに完全に比例する。スペクトル上では、この吸収過程によるピークをフォトピー
クと呼んでいる。カウント数は half-thickness でみられる通り、シンチレーターのサイズが小さく
なったり、入射エネルギーが高くなると共に相対的に急速に小さくなっていく。入射ガンマ線のエ
ネルギーとその強度は殆どこのピークから解析して得られる。最も重要な過程である。
• コンプトン散乱とバックグラウンド
入射ガンマ線がシンチレータ内の自由電子との散乱で散乱後のガンマ線又はリコイルされた電子の
いずれかがシンチレーターの外へ抜けた出した場合は、その分のエネルギーが小さく観測される。
シンチレータの周辺へ入射して場合に起こる可能性が高い。抜けるエネルギーはガンマ線の散乱角
によって変化するため、連続スペクトルを示す。シンチレータのサイズが小さいとこの割合が多く
なっていく。
放射線源の周りを鉛のブロック等で囲んであると、この鉛に当たったガンマ線が鉛とのコンプトン
散乱で跳ね返ってくることになる。したがって 180◦ コンプトン散乱によってほぼ同じエネルギー
のガンマ線が多く発生し、かなりはっきりしたピークを作ることがあるので注意を要する。Back
scattering peak 等と呼ばれている。
• 電子ー陽電子対創成
73
74
第7章
図 7.16
放射線の測定
シンチレーションカウンターによるガンマ線の典型的なスペクトルの形。ガンマ線と NaI との相
互作用の違いによって吸収されるエネルギー量が異なるため、その出力パルスのスペクトルはこのような複
雑な形を示す。
対創成によって生じた陽電子がシンチレータ内の電子と対消滅した時に二つの 0.51 MeV(mc2 ) ガ
ンマ線を発生する。この二つが共にシンチレーター外へ抜けた場合は 1.02MeV、どちらか一つが
抜けた場合は 0.51 MeV だけ低いエネルギーと観測される。フォトピークより 0.51 MeV 又は 1.02
MeV 低い位置にピークとなって現れる。それぞれ one escape peak 又は two escape peak と呼ば
れている。0.51 MeV のガンマ線が「1 個又は 2 個シンチレーターから逃げ出した」という意味で
ある。この escape peak はコンプトン散乱の場合と異なりはっきりしたピークとなる。
いろいろなエネルギーのガンマ線が入射してくる場合に別のガンマ線と間違えないよう注意が必要
である。
ii) 光電子増倍管
シンチレーション光を電流パルスに変える。円筒状の真空管であるが、入り口の金属膜にシンチレー
ション光が当たると光電効果により電子が叩き出される。この叩き出された電子を高い電圧で加速し近
くの電極に集める。この衝撃でこの電極は更に多くの電子を発生する。これを繰り返すことによって電
子は加速されながら急速に数を増大してゆく。この加速電極は 10∼14 段程度のカスケードになってお
り、最終的には ∼1 万倍程度にも増幅される。一種の雪崩現象である。
光電子増倍管の原理的な概念図を図 7.17 に示す。この増幅された電子は陽極よりパルス電流として取
り出される。この電流は更に増幅回路で増幅され計数装置又は計算機へ送られ解析される。毎回発生し
てくるパルス電圧の大きさを測定することにより，入射ガンマ線のエネルギースペクトルを見ること
ができる。このような一連の回路システムを含めたガンマ線測定装置はシンチレーション・スペクトロ
メータ システムとして市販されている。
iii) ガンマ線スペクトルの解析
7.6 ガンマ崩壊とガンマ線スペクトル
図 7.17 光電子増倍管の原理図。NaI にガンマ線が入射するとシンチレーションを発する。この光が光電
子増倍管に入ると光電効果により電子を発生する。この電子は高い電圧で加速され、次の電極で更に多くの
電子を発生する。10∼14 回繰り返し大量 (∼1 万倍程度) の電子に増幅されて陽極に集められる。陰極から
陽極までの電圧は 1000 ∼ 3000V 程度である。この電流パルスを更に増幅回路で増幅し、波高分析回路で
スペクトルを作る。
シンチレーション・スペクトロメータによって得られたガンマ線のエネルギースペクトルより、放射線
より発生したガンマ線のエネルギーとその強度 (個数) を得る迄の解析過程を簡単に纏めると、概略次の
通りである：
（a）Photo peak: 光電子効果では入射ガンマ線の全のエネルギーがシンチレーション光に変換されるの
で，この過程で収集された場合はカウンターから発生する電流パルスは入射ガンマ線のエネルギー
に比例する。従ってガンマ線のエネルギーはこの過程で収集された場合を用いてそのエネギーを決
定することができるのである。
（b）コンプトン散乱では、NaI 中の電子と散乱するため，光子のエネルギーの一部がその電子に奪われ
る。このとき電子又は散乱された光子のどちらかが NaI から逃げ出した場合は、入射ガンマ線のエ
ネルギーはその分だけ低く見える。この電子と光子の間のエネルギーの分配の割合に応じて発生す
るパルスの大きさはいろいろな値を取りうる。これがガンマ線スペクトルの連続部分となって現れ
るのである (図 7.16 参照)。
典型的なガンマ線スペクトルの実測例を図 7.18 に示しておく。放射線源 137 Cs は 30 年の半減期で
662 keV のガンマ線１個を放出する人工的な放射線同位元素で，最も単純なエネルギースペクトル
を示すことから，いろいろな放射線計測器の較正等によく使用されているものである。測定は NaI
のシンチレーション光を光電子倍増管で電気信号に変換し，この出力電圧を測定したものである。
このようなガンマ線のスペクトルの解析においてなされる一般的な処理はおおよそ次のようなもの
である。
75
76
第7章
放射線の測定
（c）エネルギー及び強度の決定と分解能の評価
エネルギー Eγ はピークの中心を取る。必ずしも測定点の上とは限らない。ピークの左右のバラン
スを考えながらな内挿して求める。正確にはピークの形をガウス関数等を仮定して計算機でカーブ
フィッ t ィング (curve fitting) して求めることが多い。
• 半値巾 ∆Eγ (Full Width at Half Maximum = FWHM) はピークの半分のときの巾
∆E
• 分解能 R はピークの位置と反値巾の比，R =
Eγ .
• Photo peak の面積を計算し，これからその強度を計算する。次に入射ガンマ線の何 % がこの
photo peak を作る光電効果によるものかを計算して，この検出器に実際に入射してきたガン
マ線の数を求める。更に，放射線と検出器の距離からその立体角を計算し，その線源から全方
向に放射されるガンマ線の総数を計算する。これらは全て検出器の大きさ，位置，ガンマ線の
エネルギー等によって異なる。
このため，すでに正確にエネルギーと強度が測定されている標準線源を用いて，そのシステム
における phto peak efficiency を測定しておくと，これを利用して，未知のガンマ線源のスペ
クトルからのガンマ線のエネルギーとその強度を簡単に求めることができる。大部分の研究室
では，先ずこのようなものを用意しておくようである。以後のスペクトル解析がきわめて効率
的にできるからである。
図 7.18
新チレションカウンターで測定した
137
Cs からのガンマ線数ペクトル。半値巾はピーク値の半分
の高さにおける全巾。ピークの位置は測定点上にあるとは限らない。分解能 R は半値巾とピーク値の比。
7.7 一般的な素粒子の粒子識別とエネルギー測定
放射線に限らず，一般的な素粒子の測定について原理的なこと，基本的なことを簡単に述べる。
7.7 一般的な素粒子の粒子識別とエネルギー測定
77
図 7.19 実測された photo peak efficienncy の例。放射線強度が正確に測定してある標準線源を用いて，
その測定システムでの photo peak efficiency を作成しておく。入射ガンマ線の数が同じでも、そのエネル
ギーによって急速に検出効率が低下してゆく。
7.7.1 電磁石による測定
質量 m 荷電量 q の粒子が磁場 B と直角に速度 v で走るとき，この荷電粒子は速度と磁場の方向に対して直
角の方向に力 f が発生する。常に速度と直角方向に一定の力を受けるとき，その物体は等速円運動をする。こ
の力 f の大きさは f = qvB であり，その方向は速度 v の方向から磁場 B の方向へ右ねじを回したときにねじ
の進む方向である (17 ページ 「3.4. 磁場中における荷電粒子の運動」参照)。半径 ρ の等速円運動をする物体
の加速度は mv 2 /ρ であるから，この関係を運動の第二法則「物体の加速度はその物体の受ける力に比例する」
に当てはめてみると、
qvB =
mv 2
ρ
(7.14)
の関係にある。この式を整理すると qBρ = mv とかける。左辺 mv は質量 m の運動量を表す量であるから，
これを p と表すことにすると式 (7.14) は、次のように簡単な形になる。
p = qBρ
(7.15)
こうして一定の磁場中を走る荷電粒子はその軌跡の回転半径を測ればその粒子の運動量を知ることができる。
電磁石による荷電粒子の運動量測定の原理図を図 7.20 にまとめてある。線源の位置，検出器の位置等は 0.1
mm 程度の精度で測定できるので，ガス検出器やシンチレーション検出器に比べると，高い精度でエネルギー
の測定が可能である。
加速器等で発生する素粒子は非常にエネルギーが高く，通常の磁場では曲率半径が極端に大きくなり，大き
な磁極が必要となり，実現が難しくなる。この問題解決のため、超伝導電磁石等が利用されることもある。
78
第7章
図 7.20
放射線の測定
電磁石による荷電粒子の運動量を測定の原理図。入射粒子の運動量は曲率半径に比例する。発生
源の位置と検出器の距離を測定すれば，運動量が分かる。
7.7.2 Time Of Flight (TOF) 法
Time Of Flight 法は粒子が一定の距離,L を走るのに要した時間 t を測定する手法である。これは基本的に
は速度の測定である。自動車のスピード違反を取り締まる方法と類似の方法である。
図 7.21 にその概念図を示してある。予想される粒子の軌跡上に二つの一検出器 D1 と D2 を距離 L 抱け話
して設置し，D1 と D2 から発生してくる電気信号 (パルス) の時間差 ∆t を高速エレクトロニクス回路用いて
測定するのである。このような時間差を測定する回路は同時係数回路 (coincidence circuit) 等と呼ばれてい
る。一般に素粒子は光速度に近い速度で走るので，この時間差はきわめて小さく，測定回路のスピードが最も
重要な役割を果たす。検出器間の距離 L を大きく撮れは時間差 ∆t は大きくなり，測定精度をあげることも出
るが，測定室，測定器の配置等の観点から限界がある。
光は 1 nsec*24 に約 30 cm 走る。又は 1 ナノセカンドに約 1 フィート走る。従って，D1 − D2 の距離が 1 m
に設置されているとき，ほぼ光速度の粒子がこの間を通過する時間 ∆t = 3nsec である。最近の高速エレクト
ロニクス技術によると，同時係数回路の時間識別能力は約 0.1 nsec 程度である。従って，この粒子の速度は十
分測定可能ということになる。
電磁石による軌道半径の分析から荷電粒子の運度量，p = mv を正確に計ることは出来る。しかし，速度と質
量を独立に測定できないため，同じ運動量を持つ粒子の種類は識別できない。例えば同じ運動量の水素と重水
素の区別がきない。この解決のために Time Of Flight の法の併用で粒子識別が可能となる。運動量 (p = mv)
と速度を同時に測定することにより，その粒子の質量を決定することができるのである。質量スペクトルと運
動エネルギーの 2 次元スペクトルを得ることができる。
*24
1 nsec = 10−9 sec はナノ・セカンドと読む。1 ナノセカンドは十億分の一秒。
7.7 一般的な素粒子の粒子識別とエネルギー測定
79
図 7.21 Time Of Flight 法による粒子の速度測定の概念図。時間差測定回路は二つの入力端子からの入力
パルスの時間差に比例した大きさのパルスを発生する回路である。Time to Pulse Hight Converter とも
呼ばれている。約 10−11 sec の時間分解能を持つのが普通である。
時間差測定回路について
高速エレクトロニクスを利用した時間差測定について簡単にまとめておく。時間差測定回路 (Time to
Amplitude Converter、又は Time to Digital Conveter)*25 は二つの入力、Input1、Input2 と一つの出力
Output をもち、二つの入力パルスの時間差に比例した出力電圧を発生する回路である。原理的な概念図を図
7.22 にまとめておく。
主要部分は 1 ビットの加算回路で、Input1 に信号が来ると”1”となり、次に信号 Input2 が来ると ”1 + 1” =
”2” → ”0” となるが、この”1”が続いている間の電流 i をコンデンサーに充電すると総電気量 Q = i × ∆t で
あり、これを容量 C のコンデンサーに蓄えると出力電圧は V = Q/C である。この出力電圧 V は時間 ∆t に
比例するので、これを例えば 8 ビットの演算装置で数えれば二つの時間差 ∆t を 256 段階のステップでで知る
ことができる。
7.7.3 チェレンコフカウンターとその原理
「光速度は全ての物体の速度の上限であり，何物もこれを超えて走ることは出来ない」ことはよく知られて
いる。しかしこの光の速度とは真空中を走る光のことである。光は物質中に入ると遅くなる。入射した物質中
の速度と真空中の速度との比はその物質の屈折率と呼ばれている。物質の屈折率が n であれば、その物質中を
走る光の速度 v は
n=
*25
1
c
=
v
β
(7.16)
最近ではこのような回路の出力を直接高速コンピュータに入力して処理することが多いので、出力信号をディジタル化した値に変
換することから、Time To Digital Converter(TDC) と呼ばれることの方が多い。例えば出力信号が 8 ビットなら 256 段階の時
間差が識別できることになる。
80
第7章
放射線の測定
図 7.22 Time To Amplitude Converter の原理。二つの入力パルスの加算が 0 から 1 になっている間に
流れる電流をコンデンサー C に蓄えると、総電気量は Q = i × ∆t となり、時間差 ∆t に比例した出力電
圧 V = Q/C が得られる。
である。レンズやプリズムによって光が曲げられるのはこのためである。空気の屈折率はほぼ 1 と考えてよ
い。例えば水の屈折率は約 1.33 であり，これから水中における光の速度 v を計算すると;
v=
c
c
=
= 0.75c
n
1.33
(7.17)
水中では光の速度は真空中の 75% 程度である。
他方，エネルギー 10 MeV の電子の速度は β = v/c = 0.999*26 、即ち真空中の光の 99.9% であり，水中に
おいては光の速度を遥かに超えて走るのである。
超音速ジェット機が音速を超えるとき，激しい衝撃波を発生するように，素粒子が物質中で光速度を超える
とき激しい光を発生するのである。この現象はロシアの物理学者チェレンコフ (Cerenkov)*27 等によて発見さ
れたことから，チェレンコフ・ライト (Cerenkov light) と呼ばれている。
図 7.23
物質中を光より速く走る電子はチェレンコフ光を発生する。電子が点 A において発生した光子
は，電子が点 B に達したとき，点 C に到達している。電子の速度は速い程放出角度は鋭くなる。多数の電
子が同方向に走る場合は，軸対称なので全体として光は円錐状に見える。
チェレンコフ・ライトは素粒子の進行方向に向かって円錐状に放射される。粒子の速度が速い程円錐の角度
*26
*27
簡単な計算方法はこの章の付録 (84 ページ) に示しておくが、詳細は「第 9 章特殊相対論 (101 ページ)」を参照のこと。
Cerenkov, Frank, Tamm はこの現象の発見とその理論的な解明の業績によって，1958 年ノーベル物理学賞を授与された。
7.8 放射線による年代測定
81
θ は小さく，鋭くなってゆく。電子の速度との関係は
cos θ =
1
nβ
(7.18)
である。又このとき放出される光子の数 N はおおよそ次のようになる：
N ∼ 500 sin2 θ
(7.19)
このチェレンコフ光を光電増倍管で電気信号に変換して，高エネルギー粒子を識別して検出できる。このよ
うなチェレンコフ現象を利用した検出器はチェレンコフカウンターと呼ばれている。
電子のように質量の小さい粒子は簡単に光速度に近い速度に近づくが，陽子のように質量の大きい粒子はか
なりの高エネルギーでもチェレンコフライトを発生しない。このような性質を利用して電子，中間子，陽子等
の粒子識別によく利用される。検出器としての物質は測定するエネルギー領域に応じて，水，ガラス，アルゴ
ンガスなど適当な屈折率のものを使用する。
最近では宇宙から飛来する超高エネルギーの粒子が大気中に突入するときに発するチェレンコフライトを観
測する実験等にも利用されている。空気の屈折率は極めて 1 に近いので，殆どの粒子は光を発することはない
ので，超高エネルギーの粒子みを識別して観測するのには適している。
7.8 放射線による年代測定
7.8.1 宇宙線が生み出す同位元素
地球上には絶えず宇宙から様々な素粒子が降り注いでいる。これらは宇宙線と呼ばれている。これらの素粒
子は地球を取り巻く大気に突入すると，これを構成する原子に衝突し，様々な原子核反応を起こす。その結果
大気中には絶えずいろいろな放射性同位元素が生成され続けていることになる。
これらの反応によって作り出された陽子や中性子は，更に周囲の水素原子等と衝突しながら次第に大気深く
侵入してくる。それらの過程を通じて電荷を持つ陽子は周囲に存在している自由電子等を捕獲して安定な水素
原子となって大気中を漂うことになる。
これに対して電荷を持たない中性子はいろいろな原子核と衝突し，エネルギーを失いながら，我々の住んで
いる地球表面にまで侵入してくる。このような低エネルギーの中性子は地球表面に存在しているいろいろな原
子核に捕獲されて，それらの原子核の同位体を作り出している。半減期の短いものは崩壊してやがて無くなる
が，半減期の長いものは，新たに生成される量と崩壊してなくなる量とがバランスした状態でいつまでも地上
に存在し続ける。このように生成と崩壊の量のバランスが釣り合っている場合は，その同位体の存在比は宇宙
のタイムスケールにも匹敵する長期にわたって一定に保たれている。
7.8.2 長寿命の同位体、炭素− 14 の例
このような例として，地球表面に大量に存在している窒素 14
7 N7 と反応して，半減期約 5730 年の放射性同位
元素 14
6 C8 を作る次の反応がある。
14
7 N7
+ 10 n1 → 14
6 C8 + p
(7.20)
このようにして，大気中の炭素のうち，約 100 万分の 1% は 14
6 C8 として存在している。これらの炭素は炭
酸ガスとして植物によって接種され，更にその植物は動物に接種されてタンパク質等となって，あらゆる生物
82
第7章
放射線の測定
の中に大気と同じ割合で含まれている。これらの生物は生きている間は絶えず新陳代謝等で大気中の炭素と入
れ替わっているため，この同位体の含まれる割合は大気中のそれと同じく，常に一定に保たれている。
しかし，この生物が死亡して，新陳代謝が止まると，この体内の
ていく：
14
6 C8
14
6 C8
の量はベータ崩壊によって次第減っ
−
→ 14
7 N7 + e + ν
今，砂漠の中から発見された木簡から抽出された炭素から放出される
(7.21)
14
6 C8
のβ崩壊による放射能が，大気
中の同量の炭素から検出される放射能に比べて，その強度が半分であったとすると、この木簡はその半減期に
当たる 5730 年前に切り倒された木材であることが分かる。このようにして，古代遺跡や化石の中から放出さ
れる 14
6 C8 の微弱な放射能を測定することによって，それらが生命を維持していた時代を計算することができ
るのである。
現在では宇宙線の変化や太陽の磁場変動，地球磁場の影響，大気中の核反応の割合や地球上の位置による
14
6 C8
の含有量の僅かな違い等も正確に分析されており，更に微弱な放射能の測定技術の進歩，質量分析器等に
よる，同位体のスペクトル測定技術等の進歩により，5 万年程度の古代迄その年代を言い当てることができる
ようになった。古代遺跡の発掘や，その他の考古学の面でも大変その威力を発揮している。
7.9 放射線の性質と放射線治療
最近いろいろな種類の放射線によるガン治療などが行われるようになった。癌細胞に放射線を照射すること
により、その細胞を死滅させるものである。エックス線治療と呼ばれるものがよく知られていた。又最近では
加速器による荷電粒子による放射線治療も可能になり、成果を挙げているようである。
このような放射線治療とは、入射した放射粒子が物質、この場合癌細胞、に吸収されることである。した
がって放射線と物質の相互作用のメカニズムが大変重要となる。物質との相互作用は放射線の種類、エネル
ギーによって大きく異なるからである。放射線治療の際にはこのことを十分理解しておくことが、医師にとっ
ても患者にとっても大変重要である。放射線の種類と物質、この場合人体、の相互作用の特徴的な違いを簡単
に復習してみると：
7.9.1 エックス線 (低エネルギー電磁波)
電磁波、光子は物質中に入射すると、物質中の電子とのコンプトン散乱等により電離を繰り返しながら進行
し、最終的には消滅する。この消滅するまでの通過距離は物質、入射光子のエネルギーにより大きく異なる。
人体の場合は水ほぼ透過と考えてよく、いろいろな検討は水で実験して進めているようである。
一般に光子の場合は透過距離に応じた確率で吸収、消滅するのである。入射光子の数が半分に減る物質の厚
さをその物質の、そのエネルギーにおけるハーフシックネス (half-thickness) と呼んでいることは既に述べた
とおりである (「7.6.1 ガンマ線と物質の相互作用」69 ページ参照)。したがってあるエネルギーで入射した光
子はこの距離を走る毎に半分、更に半分と幾何級数的に減ってゆくのである。
この点を放射線治療の観点から見ると、体内深くに癌細胞がある場合、身体の外部から照射した光子は、癌
細胞に到達する前に消滅し、幾何級数的に減少している。逆の見方をすれば、癌細胞が死滅する時は、体の表
面からそこに至るまでの正常細胞が幾何級数的に多く死滅しているのである！！
電磁波による治療は、身体の表面程破壊が激しく、患部に至る間の正常細胞は完全に破壊されても問題がな
いか、それ以上に患部の治療の方が重要であることが条件となる。
7.9 放射線の性質と放射線治療
83
例えて云えば「体内の癌細胞を焼き殺す為に身体の表面に真っ赤に焼けた鉄板を当てるようなものか？」
7.9.2 荷電粒子 (主に陽子ビーム)
陽子ビームの特徴は、ベータ線と同様物質中に入射すると、一様に相互作用を繰り返しながらエネルギーを
失い、ある距離 (そのエネルギーのレンジ-range) だけ進入すると、そこで消滅する (「7.5.1 ベータ線と物質の
相互作用」64 ページ、図 7.7 参照)。ベータ線との大きな違いは陽子の質量が電子に比べて約 2000 倍も大きい
為、透過距離が極めて短く (renge が小さい)、人体内で十分止まる点である。更に陽子加速器を利用すること
で、入射エネルギーを自由に、正確に選べる点である。入射、進行方向もほぼ正確に直線的である。更にレン
ジの計算もかなり高い精度で計算式がで確立しており*28 、概略の計算は関数電卓などでも簡単にできる状態で
ある。
陽子ビームによる治療は、人体中の何処でも正確に狙い撃ちできる点である。しかし陽子ビームが通過した
軌跡は完全に破壊される。
例えて云えば、「体内のガン細胞めがけて焼け火箸を突き刺すようなものか？それでも真っ赤に焼けた鉄板
を押し当てられるよりはましか?」
7.9.3 重イオン粒子線 (相対論領域の超高エネルギー重イオン)
超高エネルギー重イオンビーム*29 は、通常放射能と呼ばれるものではないので、この章でも論ずることはし
なかった。
比較的最近、巨大加速器による相対論領域の超高速重イオン加速が可能となり、この重イオンビームによる
各種のガン治療が大変有効で、大きな成果を挙げているので、この重イオンビームの特徴について少し述べる。
アルファ線の透過距離 R(renge) が大変短いことは既に述べたが、一般に荷電粒子の物質中の透過距離はそ
の帯びている電荷の大きさ ez と質量 m に反比例して短くなっていく。他方、その入射エネルギー E が高く
なるとレンジ R は急速に伸びてゆく。重要項目を簡単に式で纏めれば：
R∼
E2
e2 (zm)(ZM )
(7.22)
の関係にある。ここで、Z, M は通過する物質元素の苛電 (原子番号) とその質量 (原子量又は核子数) である。
放射線治療の場合は対象が人体、近似的には水 (H2 O) で ZM の部分は共通で変わることはないので定数のよ
うに考えて良い。
レンジが短いことは、この限られた範囲に大量のエネルギーが吸収され、集中的に破壊されることを意味す
る。したがって質量や苛電の大きい重イオンのレンジは極めて短く、しかもエネルギー (エネルギーは質量に
比例する) は大きいので局所的な破壊力は莫大なものとなる。したがって通常の放射能のような低エネルギー
では表皮さえも貫通できない。
この問題を解決する為には、入射エネルギーを高くすれば、貫通力は入射エネルギーと共に大きくなる。超
高速重イオン加速器はこの目的には大変適したものである。
*28
Beth-Bloch の公式
*29
一般に重イオンの意味はヘリウムからウラン迄を意味するが、実際には炭素、酸素、ネオン、アルゴン等が主たるものである。核
物理学ではウランまでの全ての元素のイオン加速することを目指している。
84
第7章
放射線の測定
重イオンビームの特徴は比較的エネルギーを失うことなく物質中を貫通し、止まる寸前に大量のエネルギー
を失うことである。高速重イオンが物質中での通過距離とエネルギー損失、言い換えれば物質が吸収するエネ
吸収されるエネルギー量
ルギー量 (破壊される量) との関係を図 7.24 に示しておく。
Range
物質を通過する距離[cm]
図 7.24 超高速重イオン粒子が物質中を通過する際の距離と吸収されるネルギー量との関係。粒子が失う
エネルギーは物質が吸収するエネルギーでもある。人体の場合は被曝量となる。比較的小さなエネルギー
損失で進行し、止まる寸前で大量に失う。この領域で大きな破壊が起こる。
この貫通途中であまりエネルギーを失わない点が陽子の場合と大きく異なる点である。陽子のレンジ (64
ページの「図 7.7 物質中での電子のエネルギー損失 (吸収される量)」) と比較して見れはその特徴がよく解る
であろう。
光速度にも匹敵する超高速重イオンは質量、苛電、エネルギー全てが通常の放射能とは比較にならないほど
大きいので、その破壊力は実に巨大なものとなる。しかもその巨大なエネルギーが、物質通過途中で失われる
ことなく、静止寸前に放出されることで、体内の癌細胞を集中的に破壊するのである。
例えて云えば、細い針金の先に爆薬を仕込んで体内に差し込み、癌細胞に到達したら火を放つ様なものであ
る。
重イオンビームの貫通距離 (レンジ) の計算は電子や陽子のような単純な素粒子の場合程には正確な理論が
確立していないが、最近では高速計算機の発展もあって、∼ µm の程度で再現できるようである。
素粒子や宇宙物理学研究の為に開発されてきた高エネルギー重イオン加速器は、現在医療用として各地で建
設が進んでいるようであるが、多くの技術開発を要する分野でもある。超高真空技術、高速オンライン計算機
とそのソフトウェア、ビーム輸送技術、いろいろな元素のイオン化技術、その他超伝導など多くの技術開発を
要する部門である。素粒子宇宙物理のような基礎科学のみならず、実用的なハイテク産業の技術開発や医療面
でも多いに活躍してくれることを祈る次第である。
付録：超高速電子の速度計算 (相対論領域の速度計算)
電子の静止質量エネルギー mc2 は 0.51 MeV である (c は光速度定数)。このように質量の小さい粒子は僅
かなエネルギーでもたちまち光速度に近い速度を得る。そのため電子の質量エネルギー程度を超えると、その
7.9 放射線の性質と放射線治療
85
速度を論ずる際には相対論的な計算をする必要がある。例えば上に述べた 10 MeV の電子の速度を計算してみ
る。電子の質量、その運動エネルギー、運動量、全エネルギー、をそれぞれ m、T 、p、E とすると：エネル
ギーと運動量の関係は：
E 2 = (mc2 + T )2 = (cp)2 + (mc2 )2
(7.23)
電子の速度 β = v/c は運動量 p と全エネルギー E の比で、次のように表すことができる
β=
v
cp
=
c
E
(7.24)
ここで、
E = mc2 + T,
等の関係を考慮して β を求めると：
(cp)2 = (mc2 + T )2 − (mc2 )2 = (2mc2 + T )T
√
(2mc2 + T )T
β=
mc2 + T
(7.25)
の如く表される。これに電子の静止質量 mc2 = 0.51 [ MeV]、運動エネルギー T = 10 [ MeV] を代入して、計
算すると：
β=
√
(2 × 0.51 + 10) × 10
10.4976
=
= 0.999.
0.51 + 10
10.51
(7.26)
運動エネルギー 10 MeV の電子は光速度の 99.9% の速度で走っていることになる。
尚、陽子であれば、質量エネルギー M c2 = 938.27[MeV] であり、運動エネルギー 10 MeV に比べて十分大
きいので、その速度は小さく、相対論的な計算は必要ない。T = mv 2 /2 の如く計算すればよい。
陽子の場合に相対論的な計算が必要になるのは T = 1000 MeV 程度からである。「7.9.3 重イオン粒子線 (83
ページ」で述べた如く、陽子、中性子が多数集まっている重イオン原子核を相対論領域の速度まで加速するに
は、いかに大きなエネルギーが必要か想像できるであろう。重イオン加速器は直径 100 m にも及ぶ巨大な装
置である。
86
第7章
放射線の測定
7.10 実験室における放射線管理について
7.10.1 放射性同位元素の作成、生成
現在天然に存在している放射性同位元素は種類も限られており、その強度は極めて微弱なものである。研究
用、医療用等に使用されているもの等、その他の全ては人工的に創られたものである。放射性同位元素の製造
装置はサイクロトロン等の荷電粒子加速器、核分裂の連鎖反応を利用する原子炉等である。
• 加速による核反応を利用する
サイクロトロン等の加速器は加速粒子とそのエネルギーをある範囲で自由に選べることから、ターゲッ
ト核種と入射粒子のエネルギーを適当に組み合わせによる核反応を利用するので、存在可能な放射性同
位元素のほとんどを製造することができる。原子番号 100 を越える未知の元素もこの方法によって発見
されてきた。このようにして製造された放射性同位元素を利用して何千種類もの同位元素の励起状態、
核構造の詳細が解明されてきた。
荷電粒子加速器の場合は加速粒子の強度に限界があり、大量の同位元素を製造するのには向かない。主
に研究用、特定の医療用の放射性同位元素製造等に利用されている。
• 原子炉を利用する
原子炉の場合は実験用のみならず、原子力発電などにより発生する中性子の照射や燃料の核分裂によっ
て生ずる核分裂片など放射性同位元素が自動的に蓄積されてくる。その量と強度は、研究室レベルの感
覚から見れば、無尽蔵とも云える程大量である。燃料廃棄物と呼ばれているものである。これらを化学
分析法により必要な元素を分離抽出する。その他原子炉では中性子捕獲反応による放射性同位元素も多
く製造されている。材料工学や農業用の品種改良等、工業用に使用するものは原子炉によるものが多い
と思われる。
7.10.2 実験用放射線源
• 密封線源
放射線源は、その元素の化学的な性質等により、いろいろな状態、液体、個体、粉末の状態で使用又は保
存されている。一般に大学の研究室や学生実験等で使用する放射線源は完全に密封された容器に封入さ
れており、取り出すことの出来ない状態で使用されている。人体に直接触れても付着することはない。
容器の形状は使用目的により異なるが、水銀電池のような形状のものをよく見かける。材質は薄いアル
ミニウム箔やプラスチック製が多い。放射線が容器の材質内で吸収される量を最小限に抑えるために大
変薄い素材で作られていることが多く、衝撃には弱いので取り扱いには注意が必要である。特にベータ
線源は要注意である。電子エネルギーの精密測定のような場合には密封線源は使用しない。
大学の学生実験等で使用されるものは法の規制を受けない 1µCi (≈ 104 Bqs) 程度の密封線源のものが多
い*30 。
• 解放線源
アルファ線やベータ線のような荷電粒子のエネルギーを正確に測定したい場合は密封線源を使用するこ
とは出来ない。容器の素材中での多重散乱やエネルギー損失によって正確なエネルギーが測定できない
*30
密封線源でも 100µCi = 3.7 × 106 Bqs を越えるものは、一定の法的な手続きが必要である。
7.10 実験室における放射線管理について
87
からである。特にアルファ線の場合は物質との相互作用が大きく、空気中でも飛程が短くカウンター迄
到達しないことが多い。又、通常のガイガーカウンターなどでは入射窓の箔膜を通過できない。一般に
は真空容器の中で測定することが多い。
アルファ線源は液体化合物の状態で保存しておき、使用の際には直径 1µmφ 程度の細いタングステン線
等に塗布し、真空容器 (vaccume chamber) の中で測定する。
加速器等を使用して放射性同位元素を生成する場合は、一般には金属薄い板又は粉末状態で照射するの
で、これを試験管や特殊な容器に入れて保存することになるが、このようなものは解放線源と呼ばれ、
放射線管理区域から持ち出すことは出来ない。化学処理等必要な処理は所定の部屋で作業することにな
る。これらの放射線管理区域はその研究室又は大学の放射線管理責任者が管理することになっている。
一般の学生実験等で解放線源を使用することはないであろう。
表 7.2 研究室等でよく使用される放射線源の例
放射線源
核種
半減期
ガンマ線
137
55 Cs
22
11 Na
60
27 Co
31
15 P
90
38 Sr
210
84 Po
30.167 yr
ベータ線
アルファ線
Energy(MeV)
0.662
2.6 yr
0.511, 1.28
5.263 yr
1.17, 1.33
14 d
28.7 yr
138.376 yr
1.71
0.562, 2.282
5.407
7.10.3 放射線管理
微弱な密閉線源以外の放射性物質、解放線源の取り扱いは，放射線取り扱い区域を指定し，この区域を管理
する放射線管理責任者の許可を必要とするのが一般的である。
管理区域へ入る場合は，履物，実験用衣類など、管理区域内のみで使用するものに着替えるのが一般的であ
る。放射性物質に触れる作業をする場合は専用の使い捨てゴム手袋を着用する。作業中に使用した器具，廃棄
物等は室外へ持ち出すことなく，この区域内で保存し，紙等の廃棄物はこの室内の所定の容器で保存しておく
必要がある。
管理区域責任者はこれらの設備，使用後の廃棄物等の処理に関する責任を持つことになる。可燃性の廃棄物
等で半減期の短いものは，残留放射能のないことを確認してから焼却処理をする。
管理区域内で作成した放射線源等を係数室，その他の管理区域外の実験室へ持ち出す際は，密封線源又はそ
れに準ずる処置をし，管理責任者の許可を得るのが普通である。
7.10.4 汚染検査
管理区域における作業終了後、退室の前には，室内に用意されている特定の手洗い所等で手を洗浄し，作業
着の汚染を検査し、身体，衣服等が汚染していないことを確認する必要がある。
通常、衣服、作業テーブル、床等の汚染検査は GM-カウンターで表面をスキャン (scan) する。ガンマ線等
は多少の距離があっても問題がないが、90 Sr のようなベータ線の検出には入り口の幕の出来るだけ薄いものが
望ましい。ベータ線は空気による吸収を避けるため対象物に接近して検査する必要がある。従ってカウンター
88
第7章
放射線の測定
の入り口表面が対象物に接触しないことが大変重要となる。カウンターの窓の幕が薄いので接触により破れな
いよう注意が必要。表面に汚染物質が付着すると使用できなくなることもある。
ガンマ線との区別はカウンターの入り口をアルミニウムの薄い板等で遮蔽してカウント数を比較してみると
よい。
加速器等の大型装置を設置している所では、複数の人が同時に作業し、頻繁にに出入りすることが多いため、
効率的な汚染検査装置も開発されている。検査装置の前に立ってボタンを押せば直ちに全身をスキャンし、汚
染している場合はブザーで知らせる仕組みのものがよく見られる。
7.10.5 ヒューマンモニター
放射線管理区域では常に放射線強度の時間的変動を記録しておくのが普通であるが、これは原子炉のように
大規模な環境では、それぞれの状況に応じて特別な配慮がなされていると思われるので、ここでは通常の大学
研究室程度の規模における例を簡単にまとめると：
建物内の放射線管理区域では常時室内の放射線の状態を記録しておく。状況にもよるが、壁面の何カ所かに
サーベーメータを設置し、その出力の時間的変動をレコーダーやコンピュータに記録保存するのが一般的で
ある。
放射線作業中はポケット線量計とフィルムバッジを携帯するのが普通である。線量計は一種の電離計で、入
射した放射線によって内部のガスが電離され生じた電気量を蓄積するものである。定期的に放電してリセット
する。
フィルムバッジは一種の写真乾板で、当たった放射線によって露光された量を測定するものである。3 セン
チ平方程度のものが黒い遮光しに密封されており、薄いプラスチック容器に納めてある。容器の一部にに薄い
遮蔽板をおいて、感光度の違いから、ある程度放射線の種類を識別できるように工夫してある。
これらのデータ解析は民間業者に委託している場合が多い。一ヶ月に一度程度回収して委託し、その結果を
受け取る。
7.10.6 原子炉事故等でよく話題になる放射能
原子炉事故等でよく問題になる放射能はセシュウム-137、ストロンチュウム-90、ヨウド-131
プルトニウム-244
(244
94
( 131
53
)
I, T1/2 = 8.1d 、
)
Pu, T1/2 = 8 × 107 yr 等であろう。いずれも半減期が長く、体内被爆による被害が大
きいことで知られている。ストロンチュウムは骨髄に蓄積され白血病の、ヨウドは甲状腺がんの発症例が多い
といわれている。
放射能による被爆でよく話題になる、体内被爆は大変危険であるといわれているのは、線源から発する放射
線が全立体角にわたって吸収されるからである。体外の場合は最大でも片側半分しか当たらない。「7.3.1 放射
線計測の単位 (ページ 58)」の例題で検討した、式 (7.3) を思い出せば、サーベーメーターで毎秒 100 個の線源
でも、これが体内に入ると、4000 個全てが体内で吸収されることになるのである。体内にある線源は常に最大
立体角で、排泄されない限り、絶え間なく生涯被爆し続けることになる。その被爆総量は莫大である！！
89
第8章
超伝導の物理
ごく低温状態においてのみ現れる，超伝導現象はミクロの世界における量子論的な振る舞いを直
接我々の五官で見ることの出来る貴重な現象である。オンネスが絶対零度近辺で，水銀の電気抵抗
が突然ゼロになることを発見して以来，その理論的解明に至る迄に 50 年以上もの歳月を要した不
思議な現象でもある。(量子論や相対論はほぼ 30 年で完成した)。
超伝導は工業技術的にも重要な現象であり，超伝導列車等の輸送技術，エネルギー貯蔵技術，
スーパーコンピュータ等の高速エレクトロニクス技術等，その応用分野は計り知れない。最近では
高温超伝導現象等が新たに発見され，更に理論的な解明が求められているが，未だ完全な理論を
持っていない。100 年にもわたり，世界の科学者を悩まし続けている不思議な現象である。
ここでは超伝導現象の特徴を簡単に概観し，現在，物理学者達が理解している理論的な考え方に
ついて簡単に説明する。
8.1 INTRODUCTION
Quiz 絶対零度 (-273 ℃) において，金属の電気抵抗は 0 か？ 無限大か？次の答えの正否について論ぜよ。
a1 絶対零度においては全ての原子や電子の運動エネルギーは 0 となっている筈であるから，電子の運
動によって生ずる所の電流は流れることは出来ない。従って電気抵抗は無限大である。
a2 温度を下げていくと電気抵抗は小さくなっていくのだから，絶対零度においては電気抵抗は 0 の筈
である。
8.1.1 超伝導現象について
全ての気体は温度を下げていくと，分子運動のエネルギーが小さくなり，液体，固体へと変化してゆく。こ
こことはただ１つの例外，ヘリウムガスを除いては全ての気体について確かめられた。
ヘリウム原子は絶対零度でも，零点振動によるエネルギーが大きく，固体のような結晶を作らない唯１つの
元素である (ヘリウムは 4.2 ◦ K において液化する)。オンネスが初めて液化に成功したのは 1908 年である。
この液体ヘリウムによって冷やされた水銀の電気抵抗が約 4.2 ◦ K において突然ゼロになったことから，金属
の超伝導現象*1 が発見された。ヘリウムの液化に成功してから 3 年後，1911 年のことである。オンネスはこれ
らの業績により 1913 年ノーベル物理学賞を授与された*2 。
*1
電気工学の分野では超電動と書かれている場合が多いが，物理学では superconductivity の翻訳に近い超伝導が使用されている。
*2
Heike Kamerlingh Onnes, Matter at lowtemperature, 1913
90
第8章
超伝導の物理
以来，この液体ヘリウムの温度領域において多くの金属や合金が超伝導現象を起こすことが確かめられて
いった。例えば，Nb3 Ge は 23 ◦ K において，ロジウム金属 (Rh) は 0.001 ◦ K において超伝導状態に相転移す
る。その後も電流の精密測定技術，核磁気共鳴法によって、超伝導コイルを流れる電流は少なくとも 10 万年
以上は減衰することはないであろうことが確かめられている。
現在実用化されている超伝導合金は Nb3 Ge(23 ◦ K), Nb3 Sn(18 ◦ K), Nb3 Ti(9 ◦ K) 等がよく使用されている。
電磁石のコイルによく利用されているのは NbTi である。超電導電磁石の原理的な到達最高磁場*3 は約 80
kGauss 程度であるが，日常的に使用されているものは 40 kGauss 程度のものが多い。
尚，通常の工業用の鉄製の電磁石は 10 kGauss 程度のものが多い。これ以上になると鉄内部の磁場が飽和状
態になり，磁場の強さが流す電流に比例しなくなってくるからである。大量の電流を流しても、それ程磁場が
強くならないのである。日常の文房具等で使用されているマグネットは高々 100 Gauss 程度であろう。
8.1.2 高温超伝導
最近これらの金属に比べて遥かに転移温度の高い Y-Bs-Cu-O 系の合金で液体窒素の温度を超えるものが
発見されているが，これらについての十分な理論的解明は未だなされていない。転移温度が液体窒素の沸点
(77.35 ◦ K) の温度を越え得ることは，装置の冷却用に高価な液体ヘリウムが不要になり，装置も簡単になるた
め，工業的には大きな意味を持つ、憧れの夢であった。液体ヘリウムの使用においては，その装置自身を常に
液体窒素で冷却していなけらばならない。更に、ヘリウムガスは高価であるため，使用中に気化したヘリウム
は回収して再度冷却し，液体に戻して使用する。このようなヘリウムの循環装置全体は液体窒素 (液体空気*4 )
で冷却しながら使用するのである。
図 8.1
超伝導に関係して，低温物理学においてしばしば現れる物質の気化温度と，超伝導領域の俗称。
8.2 超伝導状態の主な特徴
超伝導状態とは大変電気をよく通す物であろう事は、日常的な常識からも想像できるところであるが、物理
学的にも大変重要な特徴がある。超伝導現象を理論的に解明していく上で、十分理解し、克服しなけれがなら
ない超伝導特有の現象について、簡単に整理しておく。
*3
*4
電流がある限界を超えると，自分自身の電流により，超伝導状態が破壊されるのである。超伝導の条件参照。
液体窒素と液体空気は基本的には同じものである。空気は酸素と窒素が大部分であるが，液体空気を長期間保存しておく間に，沸
点の高い酸素は大部分蒸発糸で失われ，実質的に液体窒素となるのである。空気中の窒素を濃縮して液化するのではない。
8.2 超伝導状態の主な特徴
91
8.2.1 電気抵抗がゼロになる
超伝導状態においては，電気抵抗がないため*5 ，いくらでも大きな電流を流すことができるのみならず，いっ
たん電流が流れると，その回路から電池を取り去っても，永遠に電流が流れ続ける。
超伝導状態は気体，液体，固体と同様１つの相であり，安定な状態である。温度を変えると気体が液体に変
わるのと同様，低温になると超伝導状態に相転移するのである。
図 8.2 水銀 Hg の電気抵抗は 4.2◦ K で突然 0 になる。超伝導状態に等転移する。
8.2.2 マイスナー効果 (Meisner effect)
超伝導状態になり得る物体を磁場の中におき，冷却していくと，超伝導状態に転移した瞬間物体内の磁場は
外部へはじき出される。超伝導状態にある限り金属の内部に磁場が入り込むことはない。
超伝導状態にある物質に磁場をかけると，内部に磁場が発生しないように表面に電流が流れる。この表面電
流は外部磁場がいくら強くなっても，超伝導状態が破れない限り，必要に応じていくらでも多く流れるので、
この電流により発生する磁場で丁度打ち消されて，金属内には磁場が発生することはない。この外部磁場に
よって発生する表面電流を反磁性電流と呼んでいる。
超伝導状態にない金属でも，この反磁性電流は流れるが，抵抗があるため，きわめて少ししか流れられない
ので外部磁場に打ち勝つことができないのである。
この現象はその物質が超伝導状態にあるかどうかのテストによく利用される。超伝導物質に外部から磁場を
かけると浮き上がるのである*6 。
8.2.3 同位元素効果
同じ同位元素では，質量の軽いもの，即ち，原子量の小さい又は中性子数の少ない同位元素程転移温度が高
く，超伝導状態になりやすい。式で表すと：
M α Tc = constant
(8.1)
の如く表されることが，実験的に確かめられている。ここで，M は原子量，又は核子数であり，Tc は超伝導
状態への転移温度 (critical temperature) を示している。α は実験的な測定によると，0.5 程度のものが多い。
*5
*6
きわめてゼロに近いのではなく，完全に無いのである。
磁石の上に超電導合金を置き、此れを冷却してゆくと、この合金が超電導状態に入った瞬間、浮き上がる。理科の実験などのデモ
ンストレーションでよく見られるようである
92
第8章
図 8.3
超伝導の物理
マイスナー効果の概念的説明図。外部磁場は超伝導体を避けて通る。超伝導体では、外部磁場がい
くら強くなっても、それを打ち消すに十分なだけの反磁性電流が流れる。外部磁場と、この反磁性電流によ
る磁場との斥力で、超伝導体はうきがる。
図 8.4
反磁性電流は超伝導体の表面のみを流れる。物体を貫く磁場により，その磁束の周辺には円電流が
生ずるが、導体内部では互いに接する部分で逆電流となり互いに打ち消しあうので，導体表面のみ電流が流
れる。
電荷を持たない中性子が，電気的な性質である超伝導現象に影響を与えている。このことは超伝導状態への
相転移に関しては，金属内の自由電子のみならず，結晶を作っている原子自身の運動状態も重要な役割を果た
していることを示している。このことは後に述べる超伝導現象の理論的な解明において，重要な意味を持つこ
とになる。
8.3 超伝導の 3 大条件
図 8.5
超伝導体に外部から磁場を加えると，外部磁場を完全に打ち消すまでいくらでも大きな電流がその
表面に流れる。この電流の作る磁場と外部の磁場との反発力で浮き上がる。超伝導体の反対の面 (図では上
面) には反対方向に表面電流が流れ，この電流による磁場が発生する。これによって外部磁場は超伝導体を
避けて通ったような流れになる。左の図は通常の磁石による反発力の例。
8.3 超伝導の 3 大条件
超伝導現象は極低温においてのみ現れる状態である。金属の電気抵抗がゼロとなるこの温度より低温状態を
維持する限り、無限に大電流を流すことができるのであろうか？残念ながら、相転移温度以下でも、ある程度
以上の電流が流れると、突然超伝導状態は破れるのである。実験的に超伝導状態が維持されるために必要な条
件は次の三つに集約される：
i) 臨界温度 (Tc ). . . 温度の限界を超えないこと
温度がある限界を超えると超伝導状態は破れる。この温度の限界は金属の種類によって決まっている。
この温度は転移温度 (critical temperature) と呼ばれている。
ii) 臨界電流 . . . 電流の限界を超えない
温度が限界内であっても，ある限界以上の電流が流れると超伝導状態は破れる。
iii) 臨界磁場 (Bc ). . . 磁場の限界を超えない
温度や電流が限界内に保たれていても，ある限界を超えた強い外部磁場にさらされると超伝導状態は破
れる。
以上は金属内で自由電子のエネルギーが温度によって高められるか、電場によって加速されるか、磁場に
よって高められるかの違いはあるが，いずれの場合においても自由電子のエネルギーがある限界を越えると超
伝導状態は破れるのである。温度，電流，磁場による合計のエネルギーがある限界を超えると超伝導状態は破
れるのである。
8.4 超伝導線の構造
通常針金の電気抵抗はその太さに反比例する。したがて通常の電線では出来るだけ太い針金が望ましい。し
かし，超伝導線においてはいくら細くても抵抗がないので，大量の電流を流すことができる。このことから，
超伝導合金が高価なこともあって，超伝導線は絹糸のように細いものが使用されている。そのため，超伝導線
93
94
第8章
超伝導の物理
は常温においては極めて電気抵抗の高い導線である。
i) 過電流に対する対策
超伝導線を低温に保持しておいても，これに規格以上の電流が一瞬でも流れると超伝導状態は破壊され，
通常の細い針金状態に変わる。この瞬間、急激にこれ迄の大電流が流れなくなるため，電流の時間的変
化が非常に激しく，これに対応して電磁誘導による強烈な磁場が発生する。この力によって，コイル等
は爆発的に破壊される危険にさらされる。
図 8.6
超伝導状態は電流、温度、外部からの磁場の強さのいずれかがある限界を超えると破壊される。
ii) 超伝導が破れると，導線の抵抗が高くなるため，ジュール熱による温度上昇もあって、更に事態は悪化
する。
iii) これらの危険に対処するために，図 8.7 のごとく，超伝導線は太い銅線の中に埋め込んである。何らか
の理由で過電流が流れると，急激に抵抗が発生し，超伝導線を流れていた電流は，周りの太い銅線の方
を流れることになる。これにより，超伝導線を流れる電流は再度減少し，ジュール熱による温度上昇か
らも解放されて，元の超伝導状態に戻る。
図 8.7
超伝導線の断面図。超伝導線は太い銅線の中に細い超電導線が多数埋め込まれている。更にこのよ
うな超伝導線を埋め込んだ銅線を、何本かワイヤーロープのように縒線にして使用している。細い超伝導
線に過電流が流れ，超伝導状態が破れると，抵抗が小さい銅の分を流れ，超伝導線を流れる電流が少なくな
り，再度超伝導状態が回復する。
8.5 超伝導状態における自由電子の振る舞い
8.5 超伝導状態における自由電子の振る舞い
超伝導状態の原子物理学的な解明は、イリノイ大学の三人の研究者，Bardeen, Cooper, Schreiffer, によっ
て完成された (1956 年)。彼らはこの業績により，1972 年ノーベル物理学賞を与えられた*7 。以来この理論は
この三人の名前をとり、BCS 理論と呼ばれている。この理論の重要なポイントは次のに点である：
i) ごく低温においては，全ての自由電子はスピン上向きと下向きの二個の対を作り、より安定な状態とな
る。この電子のペアーはこの理論の発明者の名にちなんで，クーパーペア (Cooper pair) と呼ばれて
いる。
ii) これらの電子対はあたかも１つの粒子のように、いつも行動をともにする。お互いに相手を無視して，
自由に振る舞う時は超伝導状態が破れた時である。人間に例えれば男女，夫婦のようなものか？
自由電子がクーロンの反発力にも関わらず，引力によって対 (クーパーペア) を作る理由については、電子と
結晶格子の振動に関する相互作用，電子とフォノンの散乱問題等，量子力学的に高度な知識を必要とするため，
ここでは結論のみを鵜呑みにすることにする。この事にこだわらなければ，超伝導現象の理論は殆ど簡単に理
解できるであろう。さきに述べた同位元素効果 (page 91 の「同位元素効果」を参照) 等も、この現象との関係
を示しているのである。
8.6 BCS-理論と超伝導状態
8.6.1 クーパーペアの特徴
絶対零度近くでは、自由電子の運動エネルギーはきわめて小さいものになり，反対方向のスピンを持つ電子
同士が接近してくると，スピン同士の引力の方が大きくペアを作る。このペアの結合エネルギーは，通常の自
由電子が絶対零度で取り得る最大の運動エネルギーより大きいため，このような低温状態において衝突しても
ペアが破壊され，元の自由電子に戻ることはない。
従って常温における自由電子のように互いに衝突し合ってエネルギーを交換しランダム運動に変わってゆく
ことができないので，エントロピーの増大もなく、電流によるエネルギー損失，ジュー熱の発生もない。
8.6.2 超伝導状態の崩壊 . . . クーパーペアの崩壊
温度，電流，磁場がある上限を超えると超伝導状態は破壊されることは既に述べたが，これらは全て，この
クーパーペアを破壊する条件なのである。
例えば，外部からの電場 (電圧) により，クーパペアの速度が増し，ペア同士，又は結晶を作っている原子と
衝突した際のエネルギーでペアの結合が破れ，自由電子となる。
又大量のクーパペアが一斉に電場の方向に移動すると、その電流により周辺には大きな磁場が発生する。こ
の磁場による力がペアの結合エネルギーより大きくなると，ペアの電子は両方とも磁場の方向を向き，ペアが
破壊され、自由電子の状態となる。こうして自由電子の数が多くなると，ジュール熱となり，超伝導現象は一
挙に破壊される。図 8.8 はこの過程を概念的に示したものである。
*7
Jhon Bardeen, Leon N. Cooper, J. Robert Schrieffer, Theory of superconductivity, 1972。Bardeen は William Schockley, Walter Houser Brattain 等と共にトランジスターの発明とその理論的解明より，1956 年ノーベル物理学賞を受賞してい
る。
95
96
第8章
図 8.8
超伝導の物理
対電子の運動エネルギーが大きくなり，これにより発生する磁場は大きくなり，この磁場が電子対
をを結びつけている力より大きくなると，両方の電子が磁場の方向を向き，対が破れて自由電子となる。
このようにして，外部から加えられたエネルギー，熱，電場，磁場等の影響によりクーパーペアが破壊され，
超伝導状態が破れていく過程を概念的に示したのが図 8.9 である。簡単に纏めると次のように考えることがで
きる。
i) 温度の上限を超えると、自由電子の取り得る運動エネルギーがペアーの結合エネルギーより大きくなる
と、ランダム運動による互いの衝突によりクーパペアは破壊されて，通常の自由電子となる。
ii) 強い外部磁場を受けると、ペア内の電子のスピンが共に磁場の方向を向き，ペアは破壊される、通常の
自由電子となる。
iii) 大量の電流が流れると、この電流による磁場により，周辺に発生する磁場により、同じ理由でペアは破
壊される。
このように超伝導状態が実現する為には、全ての自由電子の運動エネルギーが殆どゼロ状態になり、スピ
ンースピンの相互作用 (引力) によりクーパーペアを形成することが条件となる。したがって、この状態を実現
する為には、先ず温度を下げ、自由電子の運動エネルギーを小さくすること、更に原子の格子振動による自由
電子の励起 (フォノン*8 と電子の衝突エネルギー) を小さく抑えることが必要条件となるのである。此れが極低
温においてのみ、超伝導状態が実現している理由である。
超伝導が安定な状態として存在し得るのは、ミクロの世界においてはエネルギーが量子化されており、連続
的な増加が出来なので、最小のエネルギー量子以下の運動エネルギーでは、常温におけるランダム運動による
衝突とは異なり、エネルギーの変化、交換が出来ないからである。
超伝導状態はミクロの世界でのみ起こり得る現象が、通常のマクロ的な現象として現れている大変珍しい例
である。
*8
フォノン (phonon) は結晶の格子振動を量子化し表現であるが、ここでは深く論ずることなく、単純に極低温又は零点振動してい
る原子と自由電子の衝突と考えておくことにする。
8.7 応用例
図 8.9
97
超伝導状態においては，全ての電子はスピンの反対のもの同士で対を作り，この対電子は常に同一
行動をとる。この電子対が破れる条件は物質によって決まっている。こく低温ではランダム運動のエネル
ギーは大変小さく，これらの対同士が衝突しても，そのエネルギーは量子化されている対の結合エネルギー
より小さく，エネルギーのやり取りが出来ず，超伝導状態となる。
8.7 応用例
8.7.1 超伝導船
超伝導磁石を用いて強力な磁場を作り，高速で船を走らせようとするものである。
船の底に強い磁場を発生できるように超伝導コイルを設置する。船底の両サイドには水中に突き出した電極
をつけておく。この船を海水に浮かべると図 8.10 の如く右から左へ海水中のイオンが流れる。この電流は垂
直磁場のローレンツ力で船の後ろ向きに力を受ける。この海水を蹴る力で船は前進する。
ローレンツ力の大きさは F は電流の大きさ I と磁場の強さ B の積 (F = I × B) として得られる。海水の電
気抵抗は大きいので，大きい電流を流して力を得るのは効率が悪い。そこで、超伝導電磁石のように強い磁場
で力を得る方が効率が良い*9 。
8.7.2 磁気浮上電車
図 8.11 は磁気浮上の原理を示したものである。超伝導状態にあるリングに永久電流を流しておくと、この電
流による磁場が発生して永久磁石のようになる。
このリングが別の銅のリングの近くを平行に通過すると，この銅のリングの中に急激に磁場が生ずるので，
リングはこの磁場を打ち消す方向に円電流が発生する (ページ 21 の「磁場の変動による電流の発生」参照)。
この電流の作る磁場と超電流の磁場とは方向が反対なので，これらのリングの間には反発力が働く。図 8.11 は
*9
f = eV × B = I × B 、方向は右ねじの法則。
98
第8章
図 8.10
超伝導の物理
超伝導磁石を用いた、スクリュウのない電磁石推進船の原理図。
この概念図を示すものである。この原理を利用したのが磁気浮上電車である。
超伝導列車はレールの代わりに銅のリングを並べておき，その上を超伝導磁石のリングを積んだ電車が通過
すると、電車と下の銅リングが反発力を発生し，電車を浮上させる。電車が通過してしまう元の銅リングとな
る。電車のスピードが上がるほど、磁場の時間的変化, dB/dt, が大きいので反発力は増大する。
このシステムの特徴は，電車に積んだ超伝導磁石の永久電流には全くエネルギーを必要としない。地上にあ
る銅のリングにも全く電流を必要としない。置くだけでよい。電車の浮上は，電車の推進力によって得られる
のである。
図 8.11
超伝導電車の浮上原理。超伝導の永久磁石が銅のリングの上を平行に走ると，大きな磁場が急激
に銅のリングを横切るので、銅のリングにはこの磁場を打ち消す方向に大きな電流が発生する。この電流の
作り出す磁場により二つのリングの間には斥力が発生し電車が浮上する。電車が通過した後には普通の銅
リングに戻る。電車内の超伝導磁石も、地上の銅リングもエネルギーを必要としない。浮上のエネルギーは
電車の推進力が供給する。
8.8 電子の量子論的な性質について
99
8.8 電子の量子論的な性質について
8.8.1 ゼロ点振動 . . . 不確定性原理
全ての物質は温度を下げていくと，分子，原子や電子の運動エネルギーは小さくなり，気体，液体，固体へ
と相転移をしていく。従って全ての物質は絶対零度では分子の運動エネルギーはゼロとなり，全ての分子，原
子等は静止する。
しかし，このようなミクロの世界では不確定性原理と呼ばれる量子力学の基本的な法則があり，全ての粒子
はその位置と運動量を同時に正確に確定することは原理的に不可能な状態なのである。
静止とは位置 x = 0 と運動量の値 p = 0 が同時に確定することであり，このようなことは原理的に起こりえ
なのである。このミクロの世界では，粒子の位置 x，と運動量 p 共に僅かな揺らぎが存在するのである。それ
ぞれの揺らぎの量を ∆x, ∆p とすると，これらの揺らぎの大きさは，次の程度であることが知られている。
∆x∆p ≈ ~
(8.2)
ここで，~ はプランクの定数*10 と呼ばれ，光速度定数 c、重力定数 G 等とともに，不変的は物理定数である。
8.8.2 電子のスピン (spin) について . . . 電子は小さい磁石でもある
電子は荷電 e を持った質点に近い素粒子であるが，この電荷が自転しているかの如く，小さな磁石片の様な
性質を示す。この性質のことを、その方向も含めてスピン角運動量又は単にスピンと呼んでいる。スピンは右
回りと左回りがあり，一般に右ねじの法則に従って，磁場が上向きのときをスピン上向き，又はプラスのスピ
ンと呼んでいる*11 。スピン角運動量もミクロの世界では量子化されており、不連続な特定の値のみを取り得
図 8.12 電子は電荷を持つと同時に自転もしている。このため，電子は小さな磁石でもある。磁石の極性
は自転の方向に対して右ねじの法則。この磁石のことをスピンと呼んでいる。図の記号 + と-はスピンの符
号で、電荷の符号ではない。
*10
~ はプランク定数 h を 2π で割ったものを示す。通常のプランク定数 h と区別して，Dirac 定数とも呼ばれている。又，エネルギー
の単位もジュールより MeV 等の方が量子論では便利である。h = 6.626 × 10−32 J sec, ~ = h/(2π) = 6.582 × 10−22 MeV sec
*11
電子はマイナスの電荷を持つため、自転による電流の向きと磁場の方向について、矛盾を感ずるかもしれないが，スピンの実際の
意味は直接回転運動を意味しているのではなく，磁石の向きを意味しているので，自転の電流は説明上の便宜的なものであり，今
の場合問題にしなくてよい。
100
第8章
超伝導の物理
る。スピンの最小単位は σ の記号で表され、素粒子のスピン値はその整数倍又は反整数倍に限られる。通常ス
ピン角運動量は記号 s で表され、電子のスピンは磁場の向きをｚー軸にとると、次のようにかける。
sz =
1
~σz
2
(8.3)
101
第9章
特殊相対論
電子のように質量の大変小さい素粒子は、僅かなエネルギーでも大変高速で走っている。このよ
うな超高速の世界での運動を記述するためには、これ迄学んできたニュートン力学のみでは十分で
はなく、相対性理論に基づいて記述しなければならない。相対性理論は二つの大きな理論から構成
されている。特殊相対性理論と一般相対性理論である。
特殊相対性理論は同じ現象を互いに一定の速度で動いている異なった系で観測した時の両者の関
係を論ずるものである。一般相対論は加速度を持った二つの系での観測の問題であり、特に重力場
における問題が宇宙論と関係して大きなテーマとなっている。
このレポートで論ずる、特殊相対論は Michelson-Morley の実験によって示された、光速度はい
かなる系で観測しても一定であることに端を発する、固有時間と同時性の問題等、時空間に関する
新たな認識とその取り扱いについて少し述べる。更に、このような状況のもとで、光速度に近い速
度走る素粒子達の運動を考える上で必要となる運動学、相対性力学について、実用的な観点から簡
単にまとめてみた。速度、エネルギー、運動量、質量等の一般的性質について、超高速で走る電子
の運動を例に特殊相対論の立場から考えてみる。
9.1 はじめに
物理学の歴史に於いては、しばしば人類の文明に大きな影響を与えた新発見があった。例えば、多分人類発
生以来信じて疑う事もなかったであろう天動説に代わって誕生した、地動説などはその典型的な例である。こ
の頃天文学は大いに発展し、以来、人類は、伝統的な習慣や宗教によるのではなく、客観的な観測に基づいて、
科学的な目で宇宙を見るようになった。
近年に至っては放射線、X-線、あるいは遺伝子の螺旋構造等の発見により、元素の内部構造や生命現象に関
する認識が大きく進化した。生物を含め、自然界を原子、分子のレベルから見つめることができるようになっ
た。更に最近では宇宙の起源、力の根源と素粒子の関わりが論じられるようになった。時間的にも空間的にも、
また精神的にも人類の視野は大きく広がった。
20 世紀に入ってから物理学上の大きな出来事は、量子論と相対性理論の出現がある。いずれも一般の物理学
者が十分理解するまでには、多くの天才たちの間で長く、難解な議論が続き、その過程では様々な観測結果の
解釈や難解な数学的手法が提案され、試されてきた。これらの理論はこれまでの経験とは相容れない考えが多
く、観測、測定の根本的な問題に深く関わりのある問題だったからである。
現在完成している相対性理論は特殊相対論と一般相対論に大別される。特殊相対論は互いに等速度で動いて
いる系での相対運動を論じ、一般相対論では加速度を持った二つの系での相対運動を論ずるものである。互い
に等速度で動いている系は慣性系 (reference frame) と呼ばれている。特殊相対論は慣性系に於ける運動の時
102
第 9 章 特殊相対論
空座標変換の問題である。
このレポートで論ずる特殊相対論は Michelson-Moley の実験により、「いかなる系に於いても光速度が一
定である」ことが証明されたことに端を発する。光にはいかなる速度を加えても差し引いても常に一定値
c = 3 × 108 [m/sec] であることが実験的に証明されたのである。これはすでに数学的にも完全な形で確立して
いたニュートン力学、単純な加算の法則とは全く矛盾するからである。20 世紀最大の天才物理学者といわれて
いる、Einstein はこの問題解決、相対性理論の完成に於いて、大きな役割を果たした。この相対性理論が理解
される迄には長く、困難な時期が続いた。相対性理論は時間や空間に関して、全く新しい認識を必要としたか
らである。
我々の存在している時間ー空間は絶対的に固定しているものではなく、観測している系によってそれぞれ異
なることが実験的に示されたからである。特に時間に関しては「時の流れは誰に対しても平等だから…」と
いった考えは根本的に覆されたからである。時間も観測系によって変わる。時間も一人ひとり互いに異なった
流れ方をしているのである。固有時間 (proper time) の概念である。
20 世紀後半に於いては技術の進歩が著しく、特に素粒子物理学の発達により、素粒子のエネルギーや寿命の
測定が広い領域まで可能となり、相対論的な計算が日常的に必要となってきた。例えば、荷電パイ中間子の寿
命は 26[nsec] であるが、加速器を使用した衝突実験などで発生する高エネルギーのパイ中間子の寿命はその数
倍にもなることは、実験物理学者にとっては日常的な現象として知られている。
このような実験で問題となるのは、いろいろなエネルギーで発生した中間子が検出器まで到達する前に、ス
ピードの遅いものほど早く寿命を全うして消滅してしまうものが多いからである。したがって、実際に発生し
た中間子の数を知るためには検出器で観測された数に、検出器に到達する前に消滅した数を計算して補正しな
ければならない。各粒子についてエネルギー、スピードごとの寿命を正確に知る必要がある。
日常的には、特急列車に乗っても、普通列車に乗っても我々の寿命が変わることがないのは列車の速度が光
速度に比べて著しく小さくその違いが無視できるからである。
9.2 時空座標の表現について
物体の運動とは、物体の存在している場所と時間の関係を記述する問題である。その物体が「何時 (when)」
「何処にあるか (where)」を論ずることである。場所は通常三次元の空間内座標、例えば、点 P(x, y, z) で表す。
時間は過去から未来に向かって絶えず流れ続けてとどまることがない。この流れを制御することはできない。
ある時の瞬間を基点として、そこから過去または未来に向かっての長さを比較することになる。
これらの「何時 (when)、何処で (where)」の関係を定量的に論ずるには座標系を用いて表現するのが便利で
ある。この座標系では時間 t と通常の空間座標、(x, y, z) 又は位置ベクトル r の 4 つの軸を持つ事になる。こ
の 4 つの変数を持つ座標上の点 P(t, r) は、時間 (t) と空間 (r) 上の位置を同時に表現しており、これをエベン
ト (event = 現象の意) と呼んでいる。この 4-次元座標上のエベントを示す点 P は world point と呼ばれてい
る。空間上の点 (world point) が時間とともに移動する時、点 P(t, r) の軌跡は world line である。
通常、相対論が問題になるのは全てが光速度に近い領域の事である。従って時間の変化に対する空間座標
の変化がきわめて大きく、数値的なバランスが悪い。更に、world point においては時間軸と空間軸では次元
が異なる。このらの事から、通常は時間軸には t の代わりに、光速度定数 c = 3 × 108 [m/sec] をかけた変数
τ ≡ ct を用いる事が多い。これによって全ての軸の次元が [m] に統一され、数値的にもバランスがよく、分か
りやすい。*1
*1
この点は便宜的な事であり、高エネルギー実験や素粒子論等では c = 1 と考えて、c を省略して書く場合が多い。
9.2 時空座標の表現について
103
この表現に従って world point 間の距離 ds は次のようになる。
(ds)2 = (dτ )2 − (dr)2
(9.1)
ピタゴラスの定理と異なる点は空間座標の符号が異なる点である。これは全ての系で光速度が一定の条件によ
るもので、全ての系で時間の流れが共通の場合のピタゴラスの定理と大きく異なる点である。
電子のような質量の小さい荷電粒子は僅かなエネルギーでも光速度に近い速度で走り、その運動は通常の
ニュートン力学ではなく、特殊相対性理論に従って記述しなければならない。
通常の力学に於いては２点間の距離はいかなる座標変換に対しても不変である。例えば、(dx, dy, dz) 間の
距離 dl の 2 乗、dl2 = dx2 + dy 2 + dz 2 (ピタゴラスの定理) は、いかなる座標変換をしても不変である。即ち：
dl2 = dx2 + dy 2 + dz 2 = dl2 = dx∗ 2 + dy ∗ 2 + dz ∗ 2 = dl∗ 2 ,
or dr2 = dr∗2 .
(9.2)
これに対して光速度不変の世界では時空の 4-次元座標において、event 間の距離の 2 乗、ds2 = (cdt)2 − dr2 )
が不変である、ds2 = ds∗ 2 即ち：
ds2 ≡ (cdt)2 − dx2 − dy 2 − dz 2 = (cdt∗ )2 − dx∗ 2 − dy ∗ 2 − dz ∗ 2 ≡ ds∗ 2
又は
(cdt)2 − (dr)2 ≡ const.
(9.3)
又、エネルギー運動量空間では：
ϵ2 − p2x − p2y − p2z = ϵ∗ 2 − p∗x 2 −p∗y 2 − p∗z 2 ≡ m2
又は
ϵ2 − p2 ≡ m2
(9.4)
*2
である。
時間変数 τ を実数、空間変数 r を虚数軸にとる複素数座標で表示する事にすれば、
(τ )2 + (idr)2 ≡ const.
(9.5)
又、エネルギー ϵ を実数、運動量 p を虚数軸にとれば
ϵ2 + (ip)2 ≡ const.
(9.6)
である。これらの現象を記述する数学はローレンツ変換 (Lorentz transformation) と呼ばれており、これが特
殊相対論の集約である。これらの理論では、互いの相対速度が光速度に近い場合にのみ顕著になるもので、日
常経験する現象では当然、これまで長らく信じられてきたガリレー変換と一致するものである。我々が日常経
験する世界では時速数百キロ程度であったことから、相対論の考えを必要とすることはなかったのである。
作業中に関数電卓等で計算するためには双曲線関数表示が便利である。このテキストでは式 (9.5)、及び式
(9.6) で示されるような複素座標表示を使用することにした。一つの変数が虚数である事を除けば、全ての記
述が高等学校で学んだ、複素座標と、三角関数で表示できるからである。又、不変量であるエベント間距離
(τ )2 + (ix)2 ≡ const
(9.7)
も、ピタゴラスの定理と同様で理解が容易であろう。
*2
エネルギー、運動量の単位をそれぞれ、例えば、MeV/c2 、MeV/c で記述することにし、式の上では c = 1 と考え、c は省略して
いる。
104
第 9 章 特殊相対論
一般に、相対論のテキストでは時間軸を縦に、空間軸を横にとっているのが普通であるが*3 、 このテキス
トでは高等学校の算数同様、独立変数である時間 t を横軸 (実数軸) に、空間座標 r 又は x を縦軸 (虚数軸) に
とっている。例えば落体の運動を示す放物線の式、x = 21 gt2 等のグラフ。
双曲線関数と虚数の三角関数の関係はオイラー (Euler) の公式、eiθ = cos θ + i sin θ 、において θ → iθ の置
き換えで、容易に書き換えることができる。これらの関係式は付録「B.2 双曲線関数について (160 ページ)」
に纏めておいた。
9.3 MICHELSON-MOLEY の実験
「光の速度は、その発光源の速度にも、観測者の速度にも無関係で常に一定不変である」。このことがマイ
ケルソンとモーレイによって実験的に示されたのは 1887 年のことである。これはマイケルソン-モーレイ
(Michelson-Moley) の実験*4 として歴史的に有名である。アインシュタインの特殊相対性理論 (1905 年) の発
表にさかのぼること 18 年である。
時速 100 km で走っている電車の中で、その進行方向に向かって時速 50 km で球を投げるとき、この電車
に座っている人が見ると、この球の速度は時速 50 km に見えるし、地上の人が見ると、電車の速度が加わっ
て、(100 + 50 = 150 km/h)、すなわち、時速 150 km に見える。然し、この球または電車が光子 (光の量子
photon) となると事態は全く異なる。この光の球は電車に座っている人が測定しても、地上の人が測定しても、
その速度は常に一定の値を示し、時速 30 万 km/sec である。「光の速度は、ほかのどんな速度を加えても、差
し引いても、常に一定不変な値 (通常 c で表す) を示すのである」。従っていかなる物体も光の速度 c を超えて
走ることはないことになる。これが Michelson-Moley の実験から得られた結論である*5 。
この光の速度は宇宙のいかなる地点で測定しても、またいかなる速度で走っている星の上から測定しても、
いかなる速度で走っている星から発せられた光も、常に一定である。このことから光速度 c は、万有引力定数
G 等とともに、物理学上最も基本的で重要な定数である。今日では光が進む距離が長さの基準となっている。
従って光速度定数 c は正確に
2
c = 2.99792458 × 108 [m/sec ]
(9.8)
である。現在、1 m の定義は光が 1 秒間に進む距離の 1/c である。*6
9.4 相対性の原理
9.4.1 相対運動とガリレーの座標変換
速度 V で走っている電車内のテーブルで球が転がっていた。その前には時計とデータの記録用紙が用意さ
れていた。混乱を避けるために、電車内の記録用紙に記録するときはは常に*印をつけて区別することにして
いる。時刻は 0:00 時を指していた。丁度駅を通過中だったので、駅の時計も 0:00 で二つの時計は正確に一致
していることが確認できた。当然のことながら、駅では時々刻々の電車の動きを記録している。
*3
これは物理学の世界における伝統的な習慣で、その理由は必ずしも明確ではない。
1907 年ノーベル物理学賞
*5 マイケルソンとモーレーはこの信じがたい結果が実験の不備によるものでないことを確認するために、1029 年にいたるまで何度も
何度も実験を繰り返していたと伝えられてれている
*6 1 メートルの定義は光が 1 秒間に走る距離の 1/299792458 である。昔は 1 メートルは赤道の 4 千万分の一とされていたが、後に
メートル原器等が作られ、これを基準にしていた時期もあったが、現在では光の速度を基準にしている。
*4
9.4 相対性の原理
105
それから t∗ 秒後の状態をみると、球はテーブル上 x∗ の位置に移動していた。このときの球の速度 v ∗ は、
v∗ =
x∗
t∗
(9.9)
′
である。これを駅に立っていた人が見ると、球の位置は電車の移動距離 X が加算され、駅の時計も t 秒を示
′
しており、電車の速度が V であったので X = V t であるから、
′
x = x∗ + X = x∗ + V t
′
(9.10)
′
である。時間の流れは誰に対しても共通なので t ≡ t∗ = t であるから、式 (9.9) から x∗ を求めて式 (9.10) に
代入すると、
′
x = (v ∗ + V )t = v ′ t
′
即ち v = v ∗ + V
(9.11)
である。同じ球の速度が、電車内では v ∗ 、駅上では v ∗ + V に見えることになる。これはよく知られた加算の
結果である。日常の経験とよく一致している。これは駅の時計と電車内の時計が共通の値を示しており、式
′
(9.9) と式 (9.10) の間で t∗ と t が共通として代入し、消去した結果である。
「時の流れは誰にとっても共通で、何人もこれを変えることはできない」ことはよく知られた事実である。
定量的な検討をする場合は座標を用いて論ずるのが便利であることから、駅に固定された座標系 K(t, x) 、
電車に固定された座標系を K ∗ (t∗ , x∗ ) で表すことにすると、この二つの座標系の観測結果は、次のようにまと
めて書くことができる。
′
x = x∗ + X
′
v = v∗ + V
(9.12)
これは座標系 K ∗ と K の間の座標変換である。K で観測された結果は K ∗ 内に於いて観測された結果に K 内
に於ける K ∗ 自身の変化分を単純に加えればよい。
このような通常の加算が可能な変換はガリレー変換と呼ばれている。古典力学においては一定の速度で相対
運動をしている座標系の間ではガリレー変換によってそれぞれの座標系でみた運動に変換できることが知られ
ている。
9.4.2 時空間座標の表現と相対運動
i) 時空座標による表現
目の前に静止している物体の座標点 P は、ある瞬間を時空座標の原点 O(τ = 0, ix = 0) にとると、こ
の原点にたっている観測者の座標 P は、空間座標は x = 0 のままであるが、時間は絶えず過ぎ去ってゆ
く (増大する) ので、τ 軸上を絶えず走り続けていることになる。
ロケットがこの瞬間に観測者の前を通過してゆき、t 秒後には距離 x だけ移動していたとすると、図
9.1-右の如く座標点 P は矢印の方向へ移動してゆくことになる。点 P の勾配は
tan θ =
ix
v
x
≡
=i
τ
ct
c
(9.13)
とかける。ここで v はこのロケットの速度を意味している。一般に、相対論的な議論が必要となるのは
その物体の速度が光速度 c に近い領域であることから、その速度が光速度の何 % か、即ち光速度 c を
106
第 9 章 特殊相対論
図 9.1
左図：静止物体の空間座標は変化しないが、時間座標は絶えず増加を続けている。右図：この物体が
t 秒後に距離 x だけ移動したときの時空座標は P(τ, ix) である。OP の勾配、tan θ = ix/τ = ix/ct = iβ 、
は光速度を単位とした速度である。
単位として表現することが多い。光速度を単位とした速度は通常 β の記号で表している。即ち β ≡ v/c
である。通常 β は次元を持たないスカラー量である。
一般に観測者が立っている座標系を絶対座標、これに対して相対的に動いている物体に固定された座標
系 (この場合ロケット) を固有座標と呼ぶ。このテキストでは固有座標系において観測された変数には ∗
をつけて区別する事にする。図 9.1 右図の例でいえば、絶対座標系で t 秒後のロケットの座標は観測者
の系 (絶対座標) では P(τ, ix) であり、ロケットに固定された座標系 (固有座標) では P∗ (τ ∗ , ix∗ = 0)
となる。ロケット内で静止している物体の固有座標は、位置の変化が無いので、全て ix∗ = 0。ベクト
ル OP の勾配 tan θ は
tan θ =
ix
x
= i = iβ
τ
ct
(9.14)
の関係にあり、絶対座標系 (観測者) からみたロケットの固有座標系の速度 (光速度単位) となっている。
ii) 絶対時間と固有時間 このロケットの t 秒後の時空座標点 P の時間成分の絶対座標は τ であり、固有座
標は OP の長さで表されるから、絶対座標系との関係は
τ ∗ 2 = τ 2 + (ix)2
∗
τ =
√
τ 2 + (ix)2 =
√
1−
( x )2
τ
τ=
√
1 − β2 τ
(9.15)
の関係にある。
図 9.2
固有時間は絶対時間より常に小さい、即ちゆっくり進む。あらゆる系で絶対時間が最大で、最も速く進む。
ここで、β 2 > 0 であるから、常に、τ ∗ < τ である。この関係から固有時間 (proper time) は絶対時間
に比べて常に小さいのである。すなわち、
観測者に対して相対的に動いている物体上では、観測者から見ると、常に時間の流れはゆっくりと進むのである。
9.4 相対性の原理
107
iii) 時空に於ける同時性 (Simultaneity) と固有距離 (Proper length) について ある系の空間上の異なる 2
点に於いて同時刻に発生した event は、別の reference frame に於いては時間的に同時ではない。空間
的に異なるに点に於ける同時は、他の reference frame では同時ではない。
超高速で走るロケット内で長さ L∗0 の棒の一端 (根元) が目前に到達した瞬間の時刻を原点とする時空の
座標系で、ロケット内の系と地上に固定した観測者の系の関係を表すと図 9.3 の如くなる。ロケットは
t 後には ix だけ移動するので、速度のパラメータ (時空の勾配) は tan θ = ix/τ ≡ iβ である。
棒はロケット内では静止しているので τ = 0 でに於いては、ix∗ 軸上にある。その長さを iL∗0 とする。
添字の 0 は静止を、
「＊」はロケット内での観測値を意味する。棒の長さ iL∗0 は OP1 である。即ち、こ
の棒に固定された座標系では、点 P0 (0, 0), P∗1 (0∗ , iL∗ ) は、たとえ棒が移動しても、常に同時刻には同
時に決定される座標点であり、その空間的な距離は L∗0 である。
しかし、この現象を地上の観測者にとっては時間の流れが異なるため、棒の先端と根元が同時刻であの
は根元に対して先端の時間が ∆τ ∗ たけ経過したときである。このとき地上の観測者が見る棒の先端の
座標は P1 (0, iL) であり、ロケットの座標系では P1 (∆τ ∗ , iL∗0 ) である。
図 9.3 棒の根元はロケット内でも地上でも座標原点を同時、τ = 0, τ ∗ = 0 に通過する。棒の先端はロ
ケット内の時計では τ ∗ = 0∗ で根元と同時に通過するが、地上ではまだ到達していない。先端が地上の時
計で同時と観測されるのは ∆t 秒後である。このときが観測者にとって先端と根元が同時刻であり、その
ときの先端の座標は地上の座標系では P1 (0, iL) である。ロケット内では L∗0 であった棒は、観測者には
L = L∗0
p
1 − β 2 にみえる。β 2 > 0 であるから、L < L∗0 である。これは到着時間のずれにより発生して
いる。この時間のずれはロケットの系と地上の系の相対速度による。この現象はローレンツ収縮 (Lorentz
contaction) と呼ばれている。
棒の根元と先端が観測者に同時刻と見えるときの空間座標は P1 (0, iL) である。棒の先端をロケット内
の同時と観測者の見る同時との間にはロケットの観測者には ∆τ ∗ = L∗0 tan θ = iβ 、地上の観測者には
∆τ = L∗0 sin θ だけ遅れることになる。
地上の観測者に棒の根元と先端が同時刻に見えるときの棒の長さ iL とロケット内で観測した長さ iL∗0
の関係は図 9.3 を参考にして、
iL cos θ = iL∗0 ,
又は
iL = iL∗0
√
1 − β2
(9.16)
である。β < 1 であるから、L < L∗0 であり、地上において観測される棒の長さ L は、ロケット内
で観測していた長さ L∗0 より短く観測されることになる*7 。これはロケット内での同時刻と地上の観
*7
図面上では L∗
0 の方が L より短く見えるが、これは x 軸及び、角度 θ が虚数である事による。数学上の長さと視覚とが異なるので
注意。
108
第 9 章 特殊相対論
測者の同時刻との違いによるものである。観測系が異なる場合、時間と空間の違いが同時に発生す
るのである。棒の長さは観測者の系で静止しているときが最大であり、観測者に対して動いている
系では常に小さく見えるのである。静止系での長さは abosolute length、其れに対して等速で動い
ている系 (reference frame) に於いて観測される長さは「固有長 (proper lenght)」と呼ばれている。
固有長 (proper length) は常に絶対長 (absolute length) より小さい。
観測者に対して相対的に動いている物体は、観測者から見ると常に短く見えるのである。即ち、静止し
ている系で最大である。この現象はローレンツ収縮 (Lorentz contraction) と呼ばれている。
iv) 相対運動の時空表現
地上に固定した座標系 K(τ, ix)、ロケット内に固定した座標系 K∗ (τ ∗ , ix∗ ) とする。ロケット内で測定
した変数は*をつけて地上の座標系と区別することにする。
図 9.4 相対運動している各々の系で静止している原点 O(0, 0) ある物体の t 秒後の点 P の座標 (τ, x) の
関係を示す。観測者 (絶対座標系) で静止している点を P、動いている座標系 (固有座標系) で静止して
いる点は P∗ 印で示してある。観測者の系では目の前の物体は制止したままであるから (x = 0) のまま、
P(τ, 0)。他方、動いている系の物体はこの間座標系と共に距離 x だけ移動しているので、観測者から見れ
ば P(τ, ix) に移動している。しかし、この物体も動いている座標系の人から見れば、静止しているのであ
るから、(x∗ = 0) であることに変わりはない、P∗ (τ ∗ , 0∗ )。いずれの系に於いても、時間は静止すること
はないので、この間、各々の系では τ, τ ∗ だけ経過している。ガリレー変換の世界では常に τ = τ ∗ である。
光速度不変の世界で、エベント間の距離が一定、s2 = s∗2 , dτ 2 + (idx)2 ≡ const、の世界では時間の変化
τ ≡ ct も各々座標系に固有の値 (proper time)τ, τ ∗ などをもつ。
ロケット内の系 K∗ (τ ∗ , ix∗ ) で机上に静止している球を発見 (認識) した瞬間を座標原点 O(τ ∗ = 0, x∗ =
0) にとると、この球の ix∗ 座標は一定値 x = 0 の状態が続いているから、このエベントの座標 P∗ は τ ∗
軸上を絶えず増加し続けることになる。t∗ 秒後の座標は P∗ (τ ∗ , 0) である。この 2 点間のエベントの距
離 (複素平面上または時空間上のエベント間の距離) を s∗ とすると s∗ = τ ∗ である。
この同じ現象を地上に固定されている座標系 K(τ, ix) の人が見た場合を考えてみる。この場合ロケット
の位置が変化しているのであるから ix 座標も変化している。地上に固定された座標系 K(τ − ix) でみ
るとき原点は同じであるが、地上の時間 t 秒後の球の座標は図 9.4 の如く点 P(τ, ix) になる。ix はロ
ケットの地上での移動によって生じた部分である。図 9.4 から明らかなように、O(0, 0) − P(τ, ix) はロ
ケット内の τ ∗ 座標の方向であるから、地上からみたこのロケット内の座標系 K∗ はある角度 θ だけ回
転したものになっていることがわかる。この回転角 θ は図 9.4 を参考にして；
tan θ =
x
v
ix
= i = i ≡ iβ
τ
ct
c
(9.17)
で表せる量である。ここで、ロケットの速度が一定であるから、x/t は地上でみるロケットの速度であ
る。x/t = v と書くと、β = x/ct = v/c は光速度 c を単位として表したロケットの速度を地上で観測し
9.4 相対性の原理
109
た値 (地上の座標系 K で得られる) である。
s∗ はロケット系において τ ∗ 軸の長さであったから、地上の系では τ と表記することになる。
さらに点 P(τ, ix) を極座標で表せば
τ (≡ ct) = s∗ cos θ
ix = s∗ sin θ
(9.18)
となる。ここで、tan θ = iβ が与えられているので、sin θ, cos θ は、図 9.5 のような三角形を考慮して
求めれば、次の如く β を用いて表すことができる。
iβ
iβ
=√
sin θ = √
12 + (iβ)2
1 − β2
1
1
=√
cos θ = √
12 + (iβ)2
1 − β2
(9.19)
これらの式は特殊相対論では頻繁に現れるので、多くのテキストでよく見かける式である。*8 式 (9.19)
図 9.5 tan θ が与えられたとき、その分母と分子を直角に持つ三角形を考えれば sin θ, cos θ は簡単に求められる。
を考慮して sin θ, cos θ を求め、具体的な形で書くと (9.18) は：
s∗
τ=√
1 − β2
iβs∗
ix = √
1 − β2
(9.20)
ここで、s∗ = τ ∗ であったことを考慮すると、ロケットの座標系と地上の座標系に於ける点の関係は
t∗
t= √
1 − β2
vt∗
= vt
x= √
1 − β2
(9.21)
地上に対して一定の速度 v で走っているロケット内で t∗ [sec] 机の上に静止している球を見つめている
間に、地上では t[sec] の時間が過ぎ去り、その間にロケットは当然のことながら vt(式 (9.21) の第三項)
だけ移動している。重要なことは、式 (9.21) にみられるごとく、時間の長さが異なることである。v は
光速度 c を超えることはないのだから、β < 1 であり、t < t∗ である。
例えて云えば、ロケットの速度が光速度の 90% の場合は、地上の時計が 1 秒を示しているとき、ロケッ
ト内の時計は t∗ = t
*8
√
√
1 − β 2 = 1 × 1 − (0.9)2 = 0.44 秒を示していることになる。ロケット内の時
ここで注意すべきは、β 2 > 0 であるから、cos θ > 1 となって、通常の三角関数の関係とは矛盾するように見えるが、これは θ が
虚数である事を考慮すれば、双曲線関数 cosh に相当するので、実際は −∞ . . . ∞ の値をとることができるのである。双曲線関数
との関係については後に纏めておく事にしよう (B.2 双曲線関数について、160 ページ参照)。
110
第 9 章 特殊相対論
*9 これはロケット内の時計 (proper time) が遅れるので
計はずいぶんゆっくりと進んでいることになる。
はなく、地上の観測者 (world time) にはそのように見えるのである。立場を変えて、ロケット内の観測
者 (この場合はこれが world time) が地上の時計 (proper time) を見れば、やはり自分の時計に比べて
遅れて見えるのである。
• 空間座標のみ考慮した、日常的な例で考えると：
二人の同じ身長の人 A, B が向い合って話している。しかし、この二人が遥か遠く離れて見たとき、
A から見ると B は大変小さく見える。写真に映った姿を物差しで図れば明らかであろう。逆に B
から見ると A は大変小さく見える。しかし夫々が自分の持っている物差しで自分の身長を測れば、
互いに同じであることにはかわりない。この例では、自分の持っている座標が絶対座標であり、相
手の座標が固有座標だからである。(写真の例ではカメラが絶対座標であるが…)。時間に関しても
これと同様に、動いている相手の時間 (固有時間) はゆっくり進むのである。
• 時空間に拡張してみると：
上の二人、A, B が異なるフレーム (遠くで、高速で動いている) 場合、A から見ると、B は背丈は
小さく見えるのみならず、時間も小さく見える (時間の進みが鈍い) のである。
その理由は
「光速度は誰がどの系で見ても一定値 c = 3 × 108 [m/sec] である」
ことによる。
遠くで動いている B が小さく、頭と足が同時に見えるのは時間がゆっくり流れているからである。
結局、A に対して遠く位置で速く動いている B は長さも、時間も共に小さく見えるのである。時間
が小さいとは A に対して経過時間が少なく、ゆっくりと流れている事を意味している。結論として
重要な事は：
いずれの場合も絶対距離、絶対時間が最大である。固有距離、固有時間はより小さい！
v) 同時性について雑談
• じゃんけんポン！ーあいこでしょ！
A 君は光の 90% の速度で走るロケットで宇宙を旅していた。地球上では二人の子供、B 君と C 君
がジャンケンーポンをやっていた。ジャンケンーポン！ あいこでーショ！なかなか勝負がつかな
いので、ポン！ ポン！と繰り返していた。毎回の繰り返しの間隔は 1 秒であった。たまたま地球
上を通りかかった A 君もこれに参加して、すれ違い時にポン！と出した。互いに 1 秒後に又ポン！
B 君と C 君は互いに「グー」でまたも引き分け！しばらくしてからロケット上の A 君が「パー」を
出してきた。A 君の勝ち！！
B
と C 君 は 即 座 に 叫 ん だ ！「 後 出 し だ ，ず る い ！ ！ 2.3 秒 も 経 っ て か ら 出 す な ん て
( 君
)
√
1/ 1 − (0.9)2 ！！」
「そんな事はない、君たちこそ後出しだ！」と A 君はロケットの中で叫んだ。
このとき既にロケットは地上からは 0.9 × c = 27 万キロの彼方を走っていた。
同時！といっても異なる場所では同時とはならないのである。位置が異なれば、時間の流れも異な
るからである。誰の目で見ても「同時」とは位置と時間の両方が同じときのみが「同時」なのであ
*9
誤解を避けるために一言：我々が見ることのできる物体で、こんなに速く走る物体は存在しない。光速度に比べれば無視できる程
度である。即ち、β ≈ 0 というより、β = 0 と考えてよい 、従って t = t∗ である。しかし、素粒子の世界ではこのようなことは
ありふれた現象であり、例えば、π 中間子の寿命は約 1 億分の 2 秒であるが、発生した瞬間から大変高速で走り、速度によって、
その寿命が数倍も異なることは珍しくない。後に具体例を示すことにしよう。
9.4 相対性の原理
111
る。日常生活では位置の違いが無視できる程小さいから、時間の違いのみを考えれば十分なだけで
ある。地上の人と月面に立つ人がジャンケンをすれば問題だ！
• 超新星爆発
ただ今ニュースで、宇宙の彼方での超新星爆発が報じられた。観測によると、その光源は地球から
１億光年の彼方との事である。
ということは，我々が今地上で観測した光は１億年前に発信されたことになる。現時点でこの超新
星が爆発した場所で何が起こっているかを知るのは、更に１億年後になるのである。地球上では、
ニュースの発表と超新星爆発は同時であるが、地球上と爆発の場所での同時は１億年ものズレがあ
ることになる。
即ち、遠くの星を観測する事により遠い昔を今見ることができるのである。宇宙の遠くを観測する
事は、宇宙誕生の頃を今見る事なのである！
9.4.3 動いている座標系内の運動を静止系でみる
このロケット内の球がロケット内の時間 t∗ の間に x∗ だけ動いていたとしたら、地上の人にはこの球の運動
はどのように見えるかについて考えてみる。同様に複素座標上で考えると、ロケット内の座標系 (K∗ ) におい
て ix∗ だけ増加した点 P∗ (τ ∗ , ix∗ ) を書き加えると図 (9.6) の如くである。ロケット系 K∗ (τ ∗ − ix∗ ) での回転
′
角 θ ∗ 、地上の座標系 K(τ − ix) で見た回転角を θ とすると、回転角の関係は
′
θ = θ∗ + θ,
′
′
tan θ = tan(θ∗ + θ)
(9.22)
′
である。地上の座標系を (τ , ix ) とすると、既にみた球の速度 θ ∗ にロケットの速度 θ が加わって、図 9.6 の
如くなる。これをそれぞれに対応する速度 β などで書くと
tan θ∗ + tan θ
1 − tan θ∗ tan θ
∗
′
iβ + iβ
iβ ∗ + iβ
iβ =
=
∗
1 − iβ iβ
1 + β∗β
′
tan θ = tan(θ∗ + θ) =
(9.23)
となる。
′
β は速度 β で走るロケット内で β ∗ で転がっている球を、地上で見た速度である。これが時空における速度
の一般的な加算公式である。ロケットが電車のようにのろい場合のガリレー変換式の (9.12) に対応するもので
ある。β ∗ << 1, β << 1 の場合は、それらの積はさらに小さく、β ∗ × β ≈ 0 であるから、
′
β = β ∗ + β,
即ち
′
v = v∗ + v
(9.24)
となって、式 (9.12) と一致する。
極座標で書くと、式 (9.18) を考慮して、τ ∗ = s cos θ ∗ , ix∗ = s sin θ ∗ であるから；
′
τ = s cos(θ + θ∗ ) = s cos θ cos θ∗ − s sin θ sin θ∗ = τ ∗ cos θ − ix∗ sin θ
′
∗
∗
∗
∗
∗
ix = s sin(θ + θ ) = s sin θ cos θ + s cos θ sin θ = ix cos θ + τ sin θ
′
(9.25)
(9.26)
′
まとめてマットリックス表示をすると、よく知られれているベクトル (τ ∗ , ix∗ ) を (τ , ix ) へ変換する座標回
転の表現と同じである。
[
[
′ ]
τ
cos θ
=
′
sin θ
ix
− sin θ
cos θ
][
τ∗
ix∗
]
(9.27)
112
第 9 章 特殊相対論
図 9.6
動いている座標系からみる。s はどのような系で見ても一定不変であるから s = s∗ 。
′
議論をまとめると、(τ , x′ ) は地上の座標系、(τ ∗ , x∗ ) はロケット内の座標系、θ はロケットの地上における速
度 β に対応する座標系の回転角度である。さらに、これらを β で表示すると
tan(θ) = iβ,
sin(θ) = √
iβ
1+
(iβ)2
= iβγ,
1
cos(θ) = √
=γ
1 + (iβ)2
(9.28)
ここで簡単のため、次の式で与えられる変数 γ を導入すると
γ≡√
1
(9.29)
1 − β2
式 (9.27) は次のように具体的に観測される変数で表示することができる
[
[
′ ]
τ
γ
=
′
iβγ
ix
−iβγ
γ
][
τ∗
ix∗
]
(9.30)
の如くなる。
具体的な形で時空の関係式を書けば；
′
τ = γτ ∗ + βγx∗
′
∗
x = βγτ + γx
∗
(9.31)
(9.32)
さらに、球の速度を通常のごとく v で表し、すべて実数のみで表現すると、
′
t∗ + vx∗ /c2
t =√
1 − (v/c)2
′
vt∗ + x∗
x =√
1 − (v/c)2
(9.33)
(9.34)
である。観測者の系、絶対座標で見たこの球の速度は x/t は、x∗ /(ct∗ ) = β ∗ の関係を考慮して、まとめると
′
β =
′
x
vt∗ + x∗
β + β∗
=
′ =
∗
∗
ct
ct + vx /c
1 + ββ ∗
(9.35)
これらの関係、式 (9.34)、(9.35) は、がリレー変換の式 (9.12) に対応する変換公式になる。がリレー変換
が有効であった非相対論の世界では「全ての座標系において、時間は同じに流れる」と仮定していたのに対し
て、相対論の世界では「全ての座標系において、光速度は常に一定である (Michelson-Morley の実験)」ことに
基づいている点が、本質的な違いである。この事から、時間もそれぞれの系によって固有の流れ (固有時間 =
proper time) を持つことになる。このような光速度不変の原理、相対論に基づいた座標変換はローレンツ変換
(Lorentz transformation) と呼ばれている。ローレンツ変換は時空の複素座標表示における座標回転であり、
その回転角は座標系間 (絶対座標と固有座標間) の相対速度に対応している。
9.5 ENERGY-MOMENTUM SPACE
9.5 ENERGY-MOMENTUM SPACE
9.5.1 光速度に近い電子の運動
電子のように極めて軽い粒子になると、外部から僅かなエネルギーを加えても、その速度は急激に増大して
いく。このようにして更に外部からエネルギーを加えてゆけば、どんどん速度が上がってゆき、ついには光の
速度 c を超えることになるのではないか、と思うかもしれないが、このような軽い電子も光速度に近づいてく
ると、もはやいくら大きな力を加えても、その速度は殆ど変化せず光の速度 c の値に限りなく近づくのみで
ある。
それではこのような状態の時、外部から加えたエネルギーは何処へ行ってしまうのであろか？ これは
ニュートンの運動の法則 f = mα に反するのではないか？
一方同じ力に対して変化のしにくさの程度を示す物理量が慣性であり、質量であった。光速度に近づいてく
るといくら力を加えても速度の変化がほとんどない。このことは極めて質量が大きいことを意味する。即ち、
光速度に近づくと、外力による速度の増大はほとんどなく、質量の増加が著しくなるのである。E = mv 2 /2
では v が変化せず、m の方が変化して行くと考えればよい。
このように速度が光速度に近づいてくると、電子の運動エネルギーは速度を上げることによって増大するよ
りは、自分の質量を増大する事によってエネルギーを吸収することになるのである。更に超高エネルギーの世
界では、特に電子のような軽い粒子では、全エネルギーの大部分は質量の増大によるエネルギーとなり、静止
状態に於いて持っていた自分固有の質量によるエネルギーなどは、ほとんど無視できるほど小さな部分となっ
てしまうのである。この点は日常の感覚と大いに異なる。
9.5.2 全エネルギーについて
このような超高速の運動に於いては、速度の僅かな変化でも質量の変化が大きく、速度によるエネルギーと
質量によるエネルギーの区別がはっきりせず、両方を含めた全エネルギーを用いて表すことにしている。質量
をエネルギーの単位で表す理由が理解できよう。
「でもそれって不便じゃない？」 「その粒子が速いのか遅いのかどうやって区別するの？」 「もともと質
量の大きな粒子がゆっくり動いているのと、小さい質量が速く走っているのどうやって区別できるの？」
この問に答えるには、常に全エネルギーの内、どれだけが質量で、どれだけが速度によるネルギーなのかそ
の割合を知っていなければならない。しかもその割合は速度の変化と共に変化する。光速度に近づくとホンの
ちょっとの速度を上げるのにも莫大なエネルギーを要する。その大部分は質量の増大に消費されるからであ
る。無限にエネルギーをつぎ込めば、速度は限りなく光速度に近づき、その質量は無限大になってゆく。
このような状況を考えると、エネルギーを表すのにほとんど変化しない速度を用いて表現するのはあまり便
利な方法とはいえないことが分かる。逆に、日常の場合には質量の変化は殆どなく、エネルギーの変化は速度
の変化のみによると考えてよかったので、速度の変化で表すのが便利であった。
113
114
第 9 章 特殊相対論
9.5.3 エネルギーと運動量
通常素粒子の運動を表すのに、速度よりも運動量 (p = mv) を用いる方が便利である。これなら速度と質量
の両方の変化を総合的に含んでおり、又速度の方向も同時に表現できる。しかも超高速の素粒子の運動のみな
らず、これまでに学んできた力学でも慣れ親しんできたとおりである。
話を元に戻して、全エネルギー E の中の速度に由来する部分と質量に由来する部分の割合は、或いはもっ
と直接的に、速度 v は全エネルギーと運動量から次のように書けるのである：
v=
pc
,
E
β≡
v
p
=
c
E
(9.36)
即ち、運動量と全ネルギーの比が速度になっているのである。この公式については後でもう少し詳しく検討す
る必要があるので、ここでは物理的な意味を記憶しておく程度にしておこう。質量は一般に光速度定数 c を
用いた単位で表されることが多いので、数値計算の場合には単位に注意する必要がある。このように質量も含
めた全エネルギーと運動量を用いることにより、非常に一般的な運動について一貫した記述が可能となるので
ある
9.6 質量を持たない量子 · 光子 (photon)
光は質量のない素粒子である。従って全エネルギーの中に質量に由来する部分は存在しない。一般に質量の
ある物体に力を加えると、速度を増して運動エネルギーが増大する。この外力に対して速度の「変化のしにく
さ加減 (慣性)」 が質量であった。従ってこの質量が微小なときは僅かな力でも限りなくその速度を増してゆ
く。この極限が光子 (photon) であり、その速度が光速度定数 c である。また外力に影響されないのであるか
ら、減速されて速度を下げることもない。質量のない光はいったん発生すると止まることはないのである。し
かも全エネルギーの全てが速度に由来する部分のみから成り立っていることになる。この時運動量はどのよう
になるのであろうか？
i) 光の運動量
運動量は速度と質量の積であり、速度は光速度定数 c で一定の値である。質量はゼロであるから、質量
と速度の積もゼロとなるはずである。この論法に従うと式 (9.36) の分子 pc はゼロであり、運動量と全
エネルギーの比もゼロになり、従って光の速度もゼロになってしまう。これは大変な矛盾である。何が
まずかったのであろうか？運動量を質量と速度の積などと考えるのがよくないのであろうか？
運動量とはもともと質量と速度に由来する量というようなものではなく、質量のような振る舞いをして
いたエネルギーの部分と速度、即ち運動エネルギーに由来する部分が一体となって混じりあったような
固有の物理量なのではなかろうか？このように考えれば、質量など存在しなくとも、エネルギーさえ存
在すれば、運動量も存在する事になる。これまで考えてきた低速度の質点の運動では、運動量を質量と
速度の積と考えても、幸いにして困ることに遭遇しなかっただけのことである。
質量は我々の日常生活に於いては大変重要な量であるが、自然の本質を記述するレベルではより基本的
な物理量である、エネルギーの数ある状態の中の一つにすぎなかったのである。このように運動を記述
する上で最も重要な物理量はエネルギーとその流れの速さと方向を示す運動量であることが分かる。エ
ネルギーはあるときは位置エネルギーとして、ある時は運動エネルギーとして、或いは又電磁気のエネ
ルギー、そして質量として、いろいろその姿形を変えて我々の前に登場するのである。そして運動量は
その流れの速さと方向を示す量なのである。運動量はエネルギーのような量を示す物理量 ( スカラー量
9.6 質量を持たない量子 · 光子 (photon)
115
) の流れの速さと方向を示す物理量 ( ベクトル量 ) である。このことからも質量が存在しなくても、エ
ネルギーが存在すれば、その流れは存在し、運動量となるのである。その流れの速さの限界は光速度定
数ということになる。光は質量を持たないエネルギーの典型的な例である。運動量は式 (9.36) より
p = βE
(9.37)
であることを考えると、運動量は全エネルギーを運ぶ割合である。β = 1、すなわち光速度が可能なの
は運動量と全エネルギーが等しいとき、
p=E
(9.38)
質量がゼロのときに限るのである。今日、エネルギーを光速度で運ぶことができるメカニズムとしては
電磁波、重力波、そしてニュートリノについては未だ未解決である。光は我々が肉眼で見ることのでき
る「質量を持たないエネルギー」の典型的な例である。
「光はどのような系で見ても常にその速度は一定である。この速度は自然界で実現しうる最高速度の限
界でこれを越えて速度を上げることはない。更に光の場合は質量を持たない。」
このような状態に於いて、エネルギーの低い光とエネルギーの高い光とでは何が異なるのであろうか？
エネルギーはスカラー量であり、運動量はその流れと方向を示すベクトル量である。質量はないので全
てのエネルギーが常に流れの総量となっている。光のエネルギーが高くなると、この流れの総量も大き
くなる。同じ速度で大量のエネルギーを運ぶために、質量を増大させることの出来ない光は、その毎秒
の振動数を速くすることによって実現しているのである。毎秒 2 倍のエネルギーを運ぶためには同じ時
間内に 2 倍の振動を繰り返すことによって実現しているのである。光のエネルギーはその振動数 ν に比
例するのである。この際の比例定数 h はプランクの定数として知られており、現代物理学における最も
重要な不変定数の一つである。
ii) 全エネルギーと運動量の表現
このように考えてくると、電子の全エネルギーの方も運動エネルギーの部分は速度よりも運動量を用い
て表す方が一貫性がある、電子に一定の力を加え続けるとき、電子はどんどん速度を上げてゆき、やが
て光速度に近づいてくる。こうなるとほとんど速度は増加しないが、その運動量の方はいつまでも増大
し続ける。同じ力に対して速度の変化が小さいことから、慣性即ち質量が増大してゆくからである。
全エネルギー E は質量に由来する部分 mc2 と運動量に由来する部分 pc を用いて表現するのが普通で
ある：
E 2 = (mc2 )2 + (pc)2 ,
E=
√
(mc2 )2 + (pc)2
(9.39)
である。
iii) 運動エネルギーについて
静止しているとき、即ち運度量 p = 0 の時の全エネルギーは質量によるエネルギーのみであるから、運
動量 p を持つときの全エネルギーとの差は運動によって得たエネルギーであるから、これを運動エネル
ギー T と呼ぶことにして全エネルギー E との関係をみると
T =
√
(mc2 )2 + (pc)2 − mc2
(9.40)
の如く表せる。ここで通常の如く質量のエネルギーに比べて運動量が大変小さい場合について考える
と、式 (9.40) は次のように変形できて、我々がこれまで見慣れてきた運動エネルギーとして表すことが
116
第 9 章 特殊相対論
出来るのである：
√
2
T = mc
1+
[
]
( pc )2
1 ( pc )2
p2
1
2
2
−
mc
≈
mc
1
+
−
1
=
= mv 2
2
2
mc
2 mc
2m
2
(9.41)
ここで p = mv の関係と、質量のエネルギー mc2 は運動エネルギーに比べて十分大きいと仮定して平
方根の式を展開し第一項のみを採用した。運動によるエネルギーが質量のエネルギーに近い領域では、
その速度は光速度に極めて近いので、エネルギーや運動量を光速度 c を単位として表現する習慣ある。
このような単位を用いると c は全て省略でき、式 (9.39) は次のように簡単に書くことが出来る：*10
E 2 = m2 + p2 ,
E=
√
m2 + p2
(9.42)
このように全エネルギーはその運動量と質量の割合が速度によって変化することを見てきた。然しこれ
は大変な問題を含んでいるのである。
9.6.1 観測する人によって質量は違って見える
例えば電車の通路を歩いている人を見るとき、その速度は車内の座席で見るのと、電車の外の地上で見るの
とでは大違いであることは誰もが経験するところである。地上の人から見ると歩いている人の速度に電車の速
度が加わるので大変速く移動しているように観測される。急いでいる人がエスカレーターに乗っても尚歩き続
けるのはこのことを知っているからであろう。
これは歩いている人の速度によるエネルギー、運動エネルギーがその質量のもつエネルギーに比べて大変小
さいので、問題にはならないのであるが、電車の速度が電子のように光速度に近くなると、この車内を歩いて
いる人を座席から見るのと地上から見るのとでは大変な違いである。歩いている人がその速度を 2 倍にあげる
と、座席の人には確かにその速さは 2 倍に見えるが、地上の人から見るとこの人の速度は電車に乗っているだ
けで既に光速度に極めた近かったのであるから、その速度はほとんど増加することはなく、そのエネルギーは
大部分質量の増加によって吸収されたように観測されるのである。言い換えれば、車内で歩いている人の質量
は、座席の人が測定した値と、地上の人が測定した値とは大変異なっているのである。即ち、質量は観測する
人との相対速度によって異なった値を示すのである。
このように考えてくると、エネルギーが質量、運動、熱、電磁気等など、様々に変化してしまった結果の性質
を理解することも大切であるが、それらの根源となっているエネルギーの本当の姿、素顔とは何なのであろう
か？ 宇宙の中には想像を絶する程の質量、熱、光その他いろいろな顔をしたエネルギーが存在している。こ
のように様々に変化をしてしまう前、宇宙の創成時に於いてエネルギーはどんな顔をしていたのであろうか？
この本質を知ることこそ自然の本質を知ることであり、多くの物理学者達が求め続けているところでもある。
超高エネルギーの世界に於ける現象の詳細は、これまでの物理学のみでは不十分で、より一般化された物理
学、相対性理論と量子論に基づいて記述しなければならないのである。高エネルギーの素粒子の世界に於ける
運動では特殊相対性理論が大変重要な役割を果たす。これに対してその速度が光速度に比べて著しく小さく、
運動エネルギーは質量のエネルギーに比べて無視できるような、或いは速度の増大によって質量が変化するこ
とのないような日常的な運動は非相対論的力学、又はニュートン力学などと呼ばれている。
またこれまでもみてきたように、超高速で走る物体はその質量も空間的な広がりも小さい場合が多い。この
ような物体は僅かな外力で簡単に光速度に接近する。狭い空間内に閉じこめられた素粒子達のエネルギーは量
子化されており、これらの運動は量子論に基づいて記述されなければならない。電子などは最も身近な素粒子
*10
素粒子の場合、エネルギーは MeV で表す。この場合、質量は MeV/c2 、運動量は MeV/c となる。数値計算の際に注意を要する。
9.7 Energy-Momentum Vector
の例である。素粒子のようなミクロの世界の現象を記述するためには量子論と相対性理論が不可欠となるので
ある。
図 9.7
光速度で走る電車内で速度 V で走っている人は、車内の人から見るとその質量も人並みの大きさ
である。これを地上の人が測定すると、人の速度も c に近く、その質量は大変大きく観測される。
9.7 Energy-Momentum Vector
エネルギーはスカラー量であり、運動量はその流れの量と方向を示すベクトル量である。これらは互いに深
くかかわり合って独立に変化することはできない量である。日常の運動に於いては、質量エネルギーに比べて
図 9.8 光速粒子の運動は運動量と運動エネルギーを各々実数軸と虚数軸に持つ複素座標を用いて表現す
る。右の図は同様に時空を複素座標表示したもの。tan θ = iβ ≤ 1 であることから、点 P は 45◦ 以下の範
囲に限られる。いずれも tan θ は速度である。
運動エネルギーは無視できるほど小さい。速度が変化するとそれに応じて運動量も変化するが、全エネルギー
の変化は微々たるもので無視できるのが普通である。従って運動量は全エネルギーとは無関係に、独立に変化
していると考えても問題はなかった。従ってニュートン力学では運動量と運動エネルギーの変化を考えるだけ
で十分であった。光速度に近い領域では、運動量の変化は質量の変化に直接影響する事から、運動量と全エネ
ルギーは互い独立に変化することはあり得ない。
このような関係にあるエネルギー (E) と運動量 (p) をあたかも一つのベクトルの成分のようにまとめて処
理すると便利である。運動量は一般に (px , py , pz ) の 3 成分をもつ 3 次元ベクトルであるから、これにエネル
ギーの成分が加わって、 4 つの成分を持つ時空間ベクトルを考えることになる。これまで論じてきた光速度に
近い世界での速度や運動量エネルギーの合成などは、この 4 次元ベクトルの合成によって簡単に計算すること
ができるのである。
117
118
第 9 章 特殊相対論
9.7.1 運動量とエネルギーベクトルの表現
このようなエネルギーと運動量ベクトルの合成の様子は、複素数の座標を用いて表すのが便利である。エネ
ルギーは方向を持たないスカラー量なので、通常のベクトルの成分と考えるのは適当でないので、このスカ
ラーとベクトルを各々実数と虚数に対応させて複素数のベクトルと考えて、通常の 3 次元の方向を持つベクト
ルとスカラー量を組み合わせた 4 次元ベクトルを用いるのである。
実数軸にエネルギーを、虚数軸に運動量 (一般には 3 次元ベクトルであるが、簡単のため x-軸上の運動に限
ることにする) を取り、運動量 p とエネルギー E の点をグラフ上に取る。この点から原点までの距離 m は次
のように表される。
m2 = E 2 + (ip)2 ⇒ E 2 − p2
(9.43)
この関係から見ると、m はこれまで我々が質量と呼んでいたものに対応していることが分かる。又その勾配は
tan
ip
= iβ または、時-空座標では
E
tan θ =
ix
v
= i · = iβ
ct
c
(9.44)
で表現され、これは我々がこれまで、速度と呼んできたものであることがわかる。または θ = iη (η は実数) と
おいて、実数のみで書き表すと、
tanh η = β
(9.45)
である。この角度 θ の絶対値はラピディティー (rapidity) と呼ばれ、記号 η などがよく用いられている。式
(9.45) から明らかなように、β = 0 のとき η = 0、β = 1 のとき、すなわち光速度において、η = ∞ となる。
速度が 0 の時 θ = 0 となり、このベクトルの大きさは p = 0, E = m となり、質量が全エネルギー、即ち静
止していることを示している。速度の上限は光速度定数であり、β = 1 であることから、点 P は 45◦ 以下の
部分に限られることになる。このベクトルを極座標を用いて表すと、
E =m cos θ
ip =m sin θ
(9.46)
式 (9.44) の関係から、図 9.5(page 109) を参考にして、tan θ の値より cos θ, sin θ の値を求めると、
1
1
cos θ = √
=√
≡γ
12 + (iβ)2
1 − β2
iβ
iβ
sin θ = √
=√
≡ iβγ
2
2
1 + (iβ)
1 − β2
ただし、簡単のため、
γ≡√
1
1 − β2
(9.47)
(9.48)
なる新しい変数を導入した。式 (9.46) にこれらの式 (9.47) を代入すると、E, ip はそれぞれ
m
E = m cos θ = √
≡ mγ
1 − β2
iβm
ip = m sin θ = √
≡ imβγ
1 − β2
(9.49)
の関係にあることがわかる。
これは机の上に静止していた質量 m の電子を地上の人が観測して得られるエネルギーと運動量の値である。
ロケットは地上に対して速度 β で走っている。ロケットが静止し、β = 0 の時は質量 m が全エネルギーであ
9.7 Energy-Momentum Vector
119
る、この時のエネルギーを静止エネルギーと呼ぶことにすると、全エネルギーと静止エネルギーの差が運動に
よって増加したエネルギーであるからこれを運動エネルギー (kinetic energy) と呼び、記号 T で表すことに
すると、T は次のように表すことができる：
[
T = √
mc2
1 − β2
]
− mc
2
[
]
[
]
1
1 v2
1
= mc2 (1 − β 2 )−1/2 − 1 ≈ mc2 1 + β 2 − 1 = mc2 ·
= · mv 2 (9.50)
2
2 c2
2
となり、低速における通常の運動エネルギーの表示と一致する。
i) 速度の合成
次にこの机の上で静止していた電子に電場を与え、この机に対して速度 β1 で走り出したとする。この
とき、地上の人から見たときの速度 β2 は、通常なら β2 = β1 + β2 となるところであるが、この電子も
ロケットも共に光速度に大変近いとすると、例えば β1 = 0.9, β2 = 0.8, とすると β2 = β + β1 = 1.7 と
なっていまい、これは光速度を越えてしまうことになるから、そのようなことは起こる筈がない。
この関係をも一度図 9.8 に対応する速度の関係図で示すと図 9.9 の如くなる。添字 1 はロケット内から
見た電子の速度、 2 は地上から見たときの電子の速度に対応する。添字のないものはロケットの速度で
ある。この図から明らかなように、θ2 = θ + θ1 の関係にある。この時地上から見た電子の速度 β2 は
tan の加算の公式を用いると次のようになる。
tan θ2 = tan(θ + θ1 ) =
tan θ + tan θ1
,
1 − tan θ tan θ1
(9.51)
各項を tan の代わりに式 (9.44) の関係 tan θ = iβ を用いて を用いて β 書き直すと、
iβ2 =
i(β + β1 )
iβ + iβ1
=
1 − iβiβ1
1 + ββ1
(9.52)
となるのである。これは特殊相対論に於いてよく用いられる速度の加算公式である。これに先ほどの数
値を代入してみると
β2 =
β + β1
0.8 + 0.9
=
= 0.99
1 + ββ1
1 + 0.8 × 0.9
(9.53)
となり、地上の人から見るとこの電子は光速度の 99% の速度で走っているように見えるのである。
光に乗って別の光を見るときは、β1 = 1, β = 1 を代入るすと、β2 = 1 となり、光はどの系で見ても常
に光速度定数で走っているのである。
同様の計算をさきにに導入した rapidity η を用いて試してみると、β = 0.8, 0.9 に対応する rapidity は
各々、η = 1.472, 1.098 であるから、η + η1 = 1.472 + 1.098 = 2.571 であり、
η2 = atanh(η + η2 ) = atanh(2.571) = 0.988
(9.54)
となり、式 (9.53) と一致する。このように速度の代わりに、rapidity η を使用すれば、相対論領域の速
度においても通常の加算の手法が利用できる。このことから高エネルギー領域ではエネルギーや運動量
スペクトル表示とともに、ラピディティースペクトル表示がよく使用される。
日常我々が見る運動のように、速度が光速度に比べて極めて遅いとき、β << 1, 及び β1 << 1 、従っ
て式 (9.52) に於いて ββ1 << 1 が成り立つときは分母が 1 となるので、通常の加算公式と一致する。
即ち、式 (9.52) は最も一般的な速度の加算公式なのである。
ii) 4-次元ベクトルの合成と座標変換
このように光速度に近い領域では速度の変化はほとんど見られないのである。この時のエネルギー
と運動量の関係はどのようになっているのだろうか。質量、運動量共に光速度定数を単位としたエ
120
第 9 章 特殊相対論
図 9.9
動いている座標系からみる
ネルギーの単位を用いることにすると記号 c を省略できて便利である。ここで電子のエネルギー、
E1 = m cos θ1 、運動量 m sin θ1 はロケット内に於ける電子のエネルギー及び運動量であることを考慮
して上の式を簡単にまとめると、式 (9.46) で θ → θ2 = θ + θ1 と置き換えてみると、sin, cos の加算の
公式を用いて:
E2 = m cos(θ + θ1 ) = m cos θ · cos θ1 − m sin θ · sin θ1
ip2 = m sin(θ + θ1 ) = m sin θ · cos θ1 + m cos θ · sin θ1
(9.55)
ここで電子のエネルギー、E1 = m cos θ1 、運動量 ip1 = m sin θ1 は電車内における電子のエネルギー
および運動量であることを考慮して上の式をまとめると：
E2 = E1 cos θ − ip1 sin θ
(9.56)
ip2 = E1 sin θ + ip1 cos θ
となり、更にマトリックスを用いてよく利用されている形で表すと、
[
] [
E2
cos θ
=
ip2
sin θ
− sin θ
cos θ
][
] [
E1
γ
=
ip1
iβγ
−iβγ
γ
][
E1
ip1
]
(9.57)
の如くなる。
式 (9.57) はよく知られている二次元座標の回転マトリックスで、ベクトルを θ だけ回転する作用を持
つことから明らかなように、同じ電子の測定でもその観測系の速度が異なるときは、その観測系の相対
速度、この場合ロケットの速度 、θ だけそのエネルギーと運動量を成分とする複素数のベクトルを θ だ
け回転すればよいことが分かる。このような座標変換はローレンツ変換 ( Lorentz transformation ) と
呼ばれているものである。
実用的には、このような変換は高エネルギーの素粒子反応では、実験データを理論の計算や予言と比較
する際、実験室系と重心系の変換に於いて日常的に利用されているものである。原子核や素粒子反応で
実際に遭遇する例は、測定データの実験室系から重心系への変換であろう。この場合実験室で測定され
るデータは地上からの観測 (E2 , ip2 ) であり、重心の速度がロケットの速度 β に対応していることに
なる。
従って重心系におけるエネルギーと運動量のベクトル (E1 , ip1 ) は式 (9.57) から回転の逆行列を求めて
(E1 , ip1 ) について解けばよい：
[
] [
E1
cos θ
=
ip1
− sin θ
sin θ
cos θ
][
E2
ip2
]
(9.58)
又は実数のみで表すと、原子核実験の研究者の間でよく用いられている公式と同じ形式となる。
[
] [
E1
γ
=
ip1
−iβγ
iβγ
γ
][
E2
ip2
]
(9.59)
9.8 質量とポテンシャルエネルギー
121
尚、θ に対応する重心系の速度は全系の運動量と全エネルギーの比であるから、例えば、質量 m、入
射エネルギー T の粒子が質量 M の静止ターゲットに衝突するときの重心系の速度 βcm は、E =
T + m, E 2 = m2 + p2 などの関係を考慮し
βcm
√
T (T + 2m)
p
=
=
E+M
T +m+M
(9.60)
で簡単に計算できる。衝突の問題に於いては、衝突前の各々の粒子の質量と入射エネルギーが与えられ
れば、その重心の速度は一義的に決まることはよく知られている。
図 9.10 実験室系において、入射粒子のエネルギーが与えられれば、その系の重心の速度は決まる
9.8 質量とポテンシャルエネルギー
9.8.1 長距離力 ( 重力、クーロン力 ) ポテンシャルと全エネルギー
宇宙をさまよう小物体が地球の重力圏、重力場の中に突入するとどんどんその速度をあげて行く。運動エネ
ルギーはどんどん増大してして行く。これはポテンシャルエネルギーが運動エネルギーに変換されて行くから
である。地球の重力場程度の場合はその速度は光速度に比べると大変小さく、全エネルギーの増加と云っても
質量の部分の増加は無視できる。
電子のように質量の小さい素粒子の場合は電磁場の中で加速され続けると、その速度はたちまち光速度に近
づき、電子の全エネルギー増加は質量の増大の方が重要な意味を持つことになる事は既に述べた。これは電場
のポテンシャルエネルギーの減少分が電子のエネルギーの増加となって現れた結果である。電場のポテンシャ
ルエネルギーが電子の全エネルギーの増加、即ち質量の増加に変換されたのである。
9.8.2 短距離力 ( 核力) ポテンシャルと全エネルギー
このような重力や電磁気の相互作用とちがって、核力のように極めて短距離の間で巨大な力を受けるとき、
即ち一瞬のうちに巨大なポテンシャルエネルギーが変化するとき、核子のような大きな質量を持つ粒子は、い
きなり光速度に近い速度を得ることは困難である。このような場合にもポテンシャルから供給された巨大なエ
ネルギーは質量に変化して吸収されるのである。このような強い力の場ではポテンシャルエネルギーの増減は
質量の増減となって表れるのである。
核分裂や核融合のように短距離の間に巨大なポテンシャルエネルギーの変化があるばあいにいは、質量が減
少し、大量の運動エネルギーに変換され、多くの粒子、核子や原子核に分配されるが、これらの粒子の質量は
大きく、光速度には遠く及ばないが、化学反応などで得られるエネルギーに比べると遥かに大きく、これが原
子力エネルギーの源となっているのである。
122
第 9 章 特殊相対論
図 9.11 核力の作用する範囲。核外から核内へ入る瞬間、1fm 程度の間に大きなポテンシャルエネルギー
を得て質量が増大する。重力場のように運動エネルギーが増大する場合と異なる。逆に核内の核子を取り
出すときは、この質量エネルギーが運動エネルギーとして放出される。原子力エネルギーはこの原理を利用
したものである。
電子の全エネルギー E とするとき一定の力 f の作用する場の中で x 移動したとすると、f · x が仕事の量
であるから
E =f ·x
(9.61)
このときのエネルギーの増加の割合をみるために、その時間微分を見ると
dE
dx
=f·
=f ·v
dt
dt
(9.62)
これは単位時間当たりのエネルギーの増加量であり、馬力又はパワーと呼ばれている。ここで力はポテンシャ
ル V の勾配であるから
f =−
dV
dx
(9.63)
これを上の式 (9.62) に代入すると
dx
dV dx
dE
=f·
=
dt
dt
dx dt
(9.64)
となり、左辺の dx は分子分母で省略でき、dt は左辺と右辺で省略できるので、簡単に書くと
dE = −dV
(9.65)
。ポテンシャルのギャップが大変大きく短距離であるため、働く力は大きいが短時間で十分速度をえられない
ようなときは、ポテンシャルエネルギーの減少がそのまま質量の増大となって現れる。核力のように短距離力
で、核子の質量も大きく速度が上がらないときは、ポテンシャルエネルギーは質量に変換される量が大きく顕
著になる。
ポテンシャルエネルギーの変化は質量の増大となり、質量はエネルギーであることが重要な意味を持つこと
が分かる。
9.9 粒子の発生を伴う衝突
9.9.1 対創成の運動学
質量はエネルギーの一つの状態であることはよく知られている。ここでは二つの粒子の激しい衝突により、
限られた空間内に著しくエネルギーが集中し、そのエネルギーの一部が質量に変換され、新しい粒子が発生す
9.9 粒子の発生を伴う衝突
123
る場合の運動学について述べる。
−
一般的に (E1 , ip1 ) の粒子が (E2 , ip2 ) の粒子に衝突して質量の (µ, µ) ペアー
*11
を創成した場合を考える
と、実験室系で見た全エネルギーは質量も含めて、(E1 + E2 ) であり、全運動量は (ip1 + ip2 ) である。 この
関係を図 9.8 にならってエネルギーと運動量の複素数座標に描いたものが図 9.12 である。M は各々の粒子が
実験室系で静止しているときの全質量、この場合 (m1 + m2 ) である。従って 4 次元的不変量の式 (9.43) に対
応する関係式は
M 2 = (E1 + E2 )2 + (ip1 + ip2 )2
(9.66)
−
のようにかける。M の長さはどのような系で見ても変わらないので、(µ, µ) のペアーと最初からあった
m1 , m2 すべてが静止している系、すなわち、
∑
pi = 0 の系でみると
−
M = (m1 + m2 ) + (µ + µ)
(9.67)
である。従ってこの二つの系の間のエネルギーー運動量の間には次の関係が満たされているはずである。
−
M 2 = (E1 + E2 )2 + (ip1 + ip2 )2 = (m1 + m2 + µ + µ)2
(9.68)
この関係より、一般的な 2 粒子の衝突により質量 µ の対創生 (pair creation) に必要な最低エネルギー
(threshold energy) を求めることができる。
図 9.12 エネルギー E 、運動量 ip を持つ 2 個の粒子 (E1 , ip1 ) と (E2 , ip2 ) の系を複素数座標に示した図。
この初期条件によって決められた M の長さ (値) はどのような系で見ても変わらない。ローレンツ変換に対
して不変である。電子の対創成の最終状態を重心系で見れば 4 個の電子が静止していて全運動量がゼロになる
系、M =
∑
mi の全エネルギーが実数軸の長さとなるまで回転してみればよい。
9.9.2 電子-陽電子の対創成
簡単な例題として、静止している電子に超高速の電子が衝突したときに陽電子と電子の対を発生し、3 個の
電子と 1 個の陽電子となる最低のエネルギー ( この反応の threshold energy と呼んでいる ) がどの程度であ
るかを求めてみることにする。
*11
−
反粒子は通常その粒子に対応する記号の上に棒 (バーと読む) をつけて表示する。例えば、陽子 p の反粒子 (p-bar) は p で表示す
る。
124
第 9 章 特殊相対論
図 9.13
電子の衝突による pair creation。入射粒子の質量とエネルギー、ターゲット粒子の質量が決まれ
ば重心系の速度は決まる。対創成の最低エネルギーは重心系で発生した粒子及び入射粒子すべてが静止し
ている状態。
質量 m の電子が、同じく 質量 m の電子に衝突して、電子 - 陽電子の対創生を起こすことのできる最低入
射エネルギー T を計算してみる。なお電子と陽電子の質量は同じであり、光速度定数 c の単位で表すことにし
て、入射粒子の全エネルギーを E1 = T + m とすると、
(T + m + m)2 − p2 = (4m)2
E1 ≡ p2 + m2 = (T + m)2
(9.69)
この二つの式から、T を求めると
T = 6m
(9.70)
を得る。
このときの重心の速度 βcm は
βcm
p
=
=
E
√
√
(T + m)2 − m2
T
=
T + 2m
T + 2m
(9.71)
即ち、T = 6m の場合には βcm = 0.88 である。重心系で発生した 4 個の静止している電子は我々の実験室系
で見るとすでに光速度の 88 % で走っていることになる。この 4 個の電子の運動エネルギーをも最初の入射粒
子が負担しなければならないので、2 個の電子を発生るに必要なエネルギーはその質量分、2m では十分では
なく、 6m もの入射エネルギーが必要となるのである。
9.9.3 数値計算
電子の静止質量は 0.51MeV/c2 であるから、実験室系において β = 0.88、即ち、ラピディティー η =
arctanhβ = 1.376 で走る電子の運動エネルギー T 、運動量 p 等は:
T = m cosh η − m = 0.564 MeV
p = m sinh η = 0.926 MeV/c
(9.72)
である。Threshold energy で生じたこれらの電子は実験室では 0.56 MeV の電子として観測されるのである。
又、対創生 ( pair creation ) を起こさせるためには最低 3 MeV の入射エネルギーが必要である。 1 eV は
電位差 ( 電圧 ) 1 V で加速される電子の運動エネルギーであるから、このエネルギーを持つ電子を発生させる
ためには約 300 万ボルトの電圧発生装置があればよい。
電子の代わりに陽子の衝突による陽子-反陽子の対創生も同じ計算となる。陽子、反陽子の静止質量 M は約
M c2 = 940MeV ≈ 1GeV であるから、反陽子発生の thershold energy は 6M 即ち、約 6 GeV の入射エネル
ギーが必要となる。これを電圧発生装置で得るには 60 億ボルトの電圧が必要になる。このような高電圧は実
現が困難であることから、シンクロトロンと呼ばれる加速装置が使用される。これらは電子シンクロトロン、
陽子シンクロトロンなどと呼ばれている。
9.10 TRANSVERS MASS
125
9.10 TRANSVERS MASS
これまで運動量座標については 1 次元を仮定して論じてきた。しかし運動量は 3 次元ベクトルである。従っ
てこれらを一般的な 3 次元座標上で処理するのは煩雑な計算となる。しかし大部分の実験においては入射粒子
の運動量のみが大変大きく、ターゲット粒子は静止している場合が多い。従ってローレンツ変換が必要なのは
入射粒子の方向に関する成分のみでよい。衝突後の粒子や衝突によって新たに発生した粒子達は重心系で見た
ときにはあまり大きくない場合が多いのである。対創生の場合も衝突後の状態を見ると 4 個の粒子共に静止し
ているが、重心の速度は光速度に近いことから、実験室で見るとこれらの粒子も重心の速度で入射粒子と同じ
方向へ走っている。しかし入射粒子と直角の方向の速度はゼロである。
衝突問題においては入射粒子の方向には軸対称であり、運動量についても入射粒子の方向とそれに直角方
向の 2 次元ベクトルとして処理しても一般性を失うことは無い。このことを考慮して衝突後の粒子の運動量
p を軸方向成分 pL , とそれに直角方向のベクトル成分 pT に分解して考えると簡単に処理できることが多い。
pT 及び pL は各々 Transverse momentum 及び Longitudinal momentum と呼ばれている、即ち
p = pT + pL
p2 = p2T + p2L
(9.73)
と書くことにする。即ち、この粒子の全エネルギー E の式は
E = m2 + p2 = m + p2T + p2L
= mT + p2L
(9.74)
と現すことができる。ただし
m2T = m2 + p2L
(9.75)
である。mT は transverse mass と呼ばれている。この式は全エネルギー E を mT と pL で表したものであ
るが、この式の意味を考えてみると、発生粒子の運動量を入射粒子の軸方向への射影を取っているため、同じ
力に対して運動量が小さく見えることになる。言い換えれば質量が大きく見えていることになり、この増加し
てみえる質量を transverse mass mT と呼んでいるのである。こうして軸対称の 2 次元の衝突問題はこれまで
取り扱ってきた 1 次元の衝突問題と同様に取り扱うことができるのである。従ってこのような二体散乱におけ
るローレンツ変換はエネルギー・運動量の 2 次元の平面上でも十分解析可能なのである。
図 9.14 相対論的衝突。相対論の効果が大きいのは入射粒子の方向のみである。
発生粒子のエネルギー、運動量は Transvers mass を用いて表せば、時空の勾配を表す式 (9.44) 及び η は
126
第 9 章 特殊相対論
ipL
= iβ
E
E = mT cos θ
tan θ =
(9.76)
ipL = mT sin θ
または、すべて実数の形式で書けば
η = arctanh
(p )
L
E
≡ arctanhβ
E = mT cosh η
(9.77)
pL = mT sinh η
である。重要なことは、入射粒子の方向と β, pL が同じであることである。
一般に衝突の問題においては入射粒子の方向に対して軸対称であること、この軸の垂直方向の運動量の初期
値がゼロであることを考慮すると、jpT はそのまま重心系の運動量を反映している。このスペクトル解析から
高エネルギー原子核衝突過程における多くの情報を簡単に知ることができることから、実験データー解析の際
の常套手段の一つとされている
127
第 10 章
核子の構造とクォーク模型
全ての物質の根源である元素の性質は、その原子をとりまく電子の数とその振る舞いによって決
まる。その電子数は原子核内の陽子の数によって決まる。原子核内の陽子はあらゆる物質の性質や
振る舞いを決定する源である。更に原子力や太陽のエネルギー活動のような原子核反応によるいろ
いろな現象も、原子核の内部運動のような性質も、核内の陽子数と中性子数の組み合わせによって
支配されている。核子、即ち陽子と中性子は、我々が身近に見る宇宙の全ての活動の源である。太
陽のエネルギー源もこの範疇に属する。
最近この究極の素粒子の内部構造が次第に明らかになってきた。このような狭い空間に於けるエ
ネルギー量子は大変大きく、100 MeV 以上にも及ぶ。これは太陽の中心に於ける原子核反応を支
配するエネルギーの 100 倍以上である。このような高エネルギー現象は、我々の住む地球上はも
とより、太陽系の中でも見ることはない。核子の内部構造が重要な役割を果たすのは、宇宙誕生の
直後であり、又宇宙がその長い生涯を閉じる直前である。
10.1 核子の中間子模型と核力
10.1.1 力を媒介する初粒子
陽子と中性子は基本的には同じ粒子の異なる状態であること、その間に作用する力は大変強力で、到達範囲
の短い力であることは既に述べた (29 ページ「5.1 元素、原子、原子核」参照)。
この力の源となるものは何であろうか？このような陽子、中性子の間には、この「核力を媒介する何か新し
い素粒子が介在しているに違いない」ことが、Yukawa ( 湯川秀樹 ) によって予言された ( 1935 )。図 10.1 は、
今日中間子と呼ばれているこの仮想粒子によって 2 個の陽子と中性子が結ばれている様子を模型的に表現した
ものである。二つの陽子間を π − 中間子が行き来して、この中間子の共有で引き合っている。原子間の電子の
共有結合に似ている。π − 中間子を抱えている方は電気的に中性になり、これが中性子のように見え、他方は
電荷を持つので陽子に見える。これが中間子による核力の媒介の基本的な考え方である。
この素粒子のやり取りにより互いの質量は一瞬増減することになるが、これが不確定性原理による時間とエ
ネルギーの揺らぎと考えると、
∆E∆t ≈ ~
(10.1)
の範囲程度である。~ はプランク ( Planck ) の定数と呼ばれ、時空やエネルギーなどの共存し存在し得る最小
単位であり、約 6.6 × 10−22 [MeV · sec] である。この意味する所は、極めて限られた短い間においてはエネル
ギーの揺らぎが大きく、我々が通常理解しているようなエネルギーの保存則が成り立っているかどうかさえも
分からないのである。逆に極端に小さいエネルギー領域においては其れが存在している時間に関する情報は原
128
第 10 章
図 10.1
核子の構造とクォーク模型
核力を媒介する中間子の想像図。二つの陽子の間で、π − 中間子を共有し強く結びついている。電
子を共有している原子の共有結合に似ている。中間子 π − が回っている方が中性子に見える。このように
陽子と中性子は π − 中間子を交換しながらその姿を変えている。
理的に知ることができないのである。
ドイツの物理学者、ハイゼンベルクによって示されたこの「不確定性原理」はミクロの世界の法則、量子論、
量子力学の基本原理であり、これまでの我々の認識とは大いに異なるところであり、量子力学完成までの過程
において科学者の間でも長い議論が続いた。二十世紀前半のことである。
10.1.2 核力の到達距離と中間子の質量
核力の到達距離 r がせいぜい 2 fm 程度であることから、この間を最も速い光速度 c で走るのに要する時間
∆t を計算してみると:
c∆t = r,
∆t =
r
2 × 10−13 [cm]
=
≈ 6 × 10−24 [sec]
c
3 × 1010 [cm/sec]
(10.2)
となる。この時間内に予想されるエネルギーの揺らぎ ∆E は式 (10.1) にこの ∆t を代入して、数値を入れて
概算してみると
∆E =
~c
197 [MeV · fm]
=
≈ 100 [MeV]
r
2 [fm]
(10.3)
となる。このことから ∼ 10−24 sec 程度の間には 100 MeV 程度のエネルギーが一瞬発生・消滅したとしても
不思議ではないのである。このエネルギーが質量を持った素粒子のかたちで一瞬発生し、隣の核子に吸収され
て消滅していたとしても不思議ではないのである。この粒子は、∆E = mc2 より、質量約 100MeV/c2 と予
想される。これは電子の質量 0.51MeV/c2 よりは遥かに大きいが、核子の質量 950MeV/c2 よりは遥かに小
さいことから、中間子と呼ばれた。このようにして二つの核子間にはこの一瞬生じた素粒子が絶えず行き来し
て結びついているのである。
その後多くの実験が続けられ、紆余曲折はあったが、宇宙線の中から質量 mc2 = 140MeV をもち、核子と
の間で極めて強く反応する素粒子が発見された。これが Yukawa の予言していた中間子であることが実験的に
実証され、Yukawa はこの業績で日本人としてはじめてノーベル物理学賞を受賞した ( 1949 )*1 。Yukawa の
理論的予言から約 15 年後のことである。これが核力の理論的解明の始まりであり、
「素粒子間の力はそれを媒
介する粒子の交換によって生じる」という相互作用の基本的考え方となった。このような発想は今日でも場の
量子化としてよく知られている。
Yukawa の予言したこの中間子は今日では π 中間子 ( π meson 又は pion ) と呼ばれるもので、プラス、マ
イナス、中性の電荷を持つ 3 種類の π 中間子が存在していることが分かっている。このように核子に取り込
*1
Hideki Yukawa, Prediction of mesons, 1949
10.1 核子の中間子模型と核力
129
まれて力の媒介をして、自由に核外へ飛び出すことのない中間子は実際に観測されることはないので、仮想中
間子 ( virtual meson ) と呼ばれている。これに対して、素粒子の反応等により、原子核の外へ飛び出し、自
由に走り回っている中間子を real meson と呼んで核内のみに存在している中間子と区別している。
このように核外に飛び出した π ± 中間子の寿命は大変短く、約 26 nsec ( 26 × 10−9 sec ) である。特に中性
中間子 ( π 0 ) の寿命は短く 10−15 sec 程度で崩壊して 2 個の光子となる。π 中間子の質量は約 140 MeV と大
変小さいので、発生してくる中間子の速度は大変速く、光速度に近いことが多い。そのため我々の観測してい
る静止系 ( 実験室系 ) では時間の進み方が大変遅く見え、その寿命も大変長く観測される。例えば運動エネル
ギー 100 MeV の中間子の速度は光速度の約 80 % 程度であり、その時間の延びは静止しているときに比べて
約 1.7 倍、即ち 26 × 1.7 = 44nsec と観測される (詳細は 136 ページの「B. π中間子の寿命の計算」を参照)。
10.1.3 電磁気力を媒介する仮想粒子-フォトン
一般に素粒子間に作用る力はその力を媒介する粒子、仮想粒子の交換によって起こる。電磁気力の場合の仮
想粒子はフォトン ( photon = 光子 ) である。
二つの電子の衝突過程
e+e→e+e
(10.4)
に於て、我々が観測するのは衝突前の 2 個の電子と、衝突後、運動量やエネルギーが変化した後の 2 個の電子
であるが、この過程を詳しくみると衝突過程の前後で各々の電子の状態が変化するのはこの衝突の間に各々の
電子間で仮想光子 ( virtual photon ) が交換されたからである。一方の電子が仮想光子 (γ ∗ ) を放出し、他方
がこれを吸収した為、互いの運動量やエネルギーが変化したのである。即ち式で表すと
e → e + (γ ∗ ),
(γ∗) + e → e
(10.5)
のような 2 段階の過程が起こっているのである。仮想光子の交換は不確定性関係の成り立つ範囲内の極めて限
られた時間内に、限られた空間内での出来事で、我々の測定器で観測されることはない。我々が観測するのは
このような限られた時間・空間を遠く離れた時点での衝突前後の電子のみである。
図 10.2 電子の衝突過程に於ける仮想光子 (γ ∗ ) の放出・吸収の概念図。
130
第 10 章
核子の構造とクォーク模型
表 10.1 核子を構成しているクオークの種類とその電荷。e は電子などの持つ自然界に存在する最小の電気量の最小単位。
クォークの種類 (方向)
クォークの電荷
u-quark(up)
e/3
d-quark(down)
−2e/3
10.2 クオーク模型 ( Quark Model )
10.2.1 クオーク模型の提唱
π 中間子の発見以後、高エネルギー加速器や、素粒子の測定装置の開発が急速に進歩し、数多くの新しい素
粒子が発見されていった。 1950 年から 1960 年代のことである。これら数多くの素粒子は互いに反応し合っ
て別な素粒子に変換されたり、新たな素粒子を生み出したり、大変複雑な性質を示すことが明らかとなってき
た。このようにして何十種類もの素粒子が発見されてみると、「素粒子とは何か?」といった素朴な疑問が生じ
てくる。このような複雑な素粒子の性質を総合的に調べあげ、共通の性質を持ったもの同士を分類し、素粒子
の系統的な研究が進むにつれて、これらの素粒子と呼ばれてきた粒子達も、より基本的な素粒子の組み合わせ
による複合粒子ではないかと考えられるようになってきた。
核子や π 中間子のように強い力に拘わる素粒子は、2 種類のより基本的な素粒子の組み合わせと考えると全
ての性質が簡単に理解できることが、ゲルマン ( Murray Gell-Mann ) とツバイク ( George Zweig ) によっ
て互に独立に提示された ( 1964 )。この最も基本的な素粒子中の素粒子はクオーク ( quark ) と名付けられた。
クオークの導入により核力のような強い相互作用に拘わる数多くの素粒子の正体が系統的に解明され、同時に
近代素粒子物理学の基礎が確立した。今日ではこのクオークによって創り出される一連の素粒子達はハドロン
( Hadron ) と総称されている。陽子、中性子、π 中間子等はハドロンの仲間である。
ゲルマンはこの業績により、1969 年ノーベル物理学賞*2 を授与された。今日の素粒子・原子核物理学の研究
はこのクオークの考え方の延長線上で展開されている。
10.2.2 クオークの基本的性質 ( u-quark, d-quark )
i) クオークの電磁気的性質
核子は u クオークと d クオークと呼ばれる 2 種類 3 個のクオークから構成されている。陽子が電荷を
持つことから明らかなように、クオークも電磁気的な電荷を持っている。u, d の名前の由来は、自転の
向きが右向き ( 上向き ) の状態を up-quark,、左向き ( 下向き ) の状態を down-quark と呼んでいる
のを、省略しているものである。このことからも明らかのように、この二つの粒子は実は、同種粒子の
異なった二つの状態なのである。
これまでみてきた素粒子達との最も大きな違いは、その電荷の大きさの問題である。核子や電子は自然
界に存在する電気量の最小単位 クーロンの電荷を持っていた。これ以下の電気量は自然界で観測される
ことはない。然しクオークの場合は状況が少し異なる。核子を構成しているクオークの電荷 ( 電気量 )
は u-quark と d-quark とで少し異なり、各々 2e/3, e/3 である。e は我々の知る最小の電荷、電子や陽
子のそれと同じである。
*2
Murray Cell-Mann, Quark model for particle classification, 1969.
10.2 クオーク模型 ( Quark Model )
ii) 核子のクオーク模型
図 10.3 に示されているように、核子は 3 個のクオークから構成されており、その組み合わせは、陽子
は ( u − u − d )、中性子は ( d − d − u ) である。各々について第 55.1 表に従って全電荷を計算してみ
ると、陽子は e であり、中性子は 0 となり、これまでの観測と一致してることを簡単に確かめることが
できる。
図 10.3 核子のクォーク模型。陽子は u − u − d の構成であり、その電荷は e となる。中性子の構成は
d − d − u の組み合わせであり、その全電荷はゼロとなり、電気的に中性である。
図 10.3-右側の中性子中の d-quark の一つが上向きに向きを変えて、u-quark になると ( u − u − d ) の
組み合わせとなり、左の図と同じ陽子になる。陽子と中性子の間の変換は、核子中のクオークの一つが
向きを変えることによって起こるのである。
iii) クオーク間の力
核力の場合の短距離力は、その力を媒介する素粒子、π中間子の存在を知ることにより多くの基本的な
性質が解明された。Yukawa の提唱したこの思想は、現在もそのまま受け継がれ、今日クオークを知る
に至って、より根本的立場から核力に関する理解が深まった。π中間子も含めて、それらの素粒子の内
部構造に関する知識が重要なのである。クオークはこのように強い相互作用に拘わる素粒子の基本構造
を理解できる最も基本的な素粒子である。その力の一般的な性質は、核力に類似するところもあるが、
1 fm 以下程度の距離では殆ど自由である。然し、これ以上離すことは極めて困難であり、突如として発
生する激しい引力により引き戻されてしまうのである。この力は極めて大きく核力の 100 1000 倍とい
われている*3 。クオーク同士は互いに固いゴム紐で結ばれている球に似ている。
この理由から、素粒子の内部に存在しているクオークを単体で外へ取り出して観測することは不可能で
あるとされている。これまでも長年にわたりこの単体のクオーク、即ち、1/3 又は 2/3 の電荷を持った
素粒子を探す努力が続けられてきたが、現在でもそのような素粒子は発見されていない。今日では単体
のクオークは原理的に観測されることのない素粒子として理解されている。クオークは素粒子の内部に
おいてのみ存在可能なのである。
iv) クオークと反クオーク ( Quark and Anti-Quark )
原子核の β 崩壊の際に放出される陽電子は、我々が日常考えている電子の反粒子 ( 反物質 ) であり、い
ろいろな性質が電子と反対の符号を持っていることは既に述べた ( ページ 34「 5.3.1 陽子数の限界と陽
電子崩壊」参照)。通常の粒子と接近すると両者は消滅して 、質量として持っていたエネルギーは全て
光 ( 電磁波 = 光子 ) に変わってしまう。このような質量を持つ素粒子には全てその反粒子が存在する。
*3
Quark 間の力の強さは正確には知られていないが、1 fm 引き離すのに約 1000 MeV のエネルギーを要するといわれている。尚、
原子核内の核子を引き出すのに必要なエネルギーは 1 個当たり約 10 MeV である。
131
132
第 10 章
核子の構造とクォーク模型
この粒子と反粒子が接近すると、彼らの持っていた質量エネルギーは全て消滅してしまい、その膨大な
エネルギーは、そのときの状況に応じて、新たな素粒子として生まれ変わる。電子と陽電子の場合には、
互いに消滅して光子として生まれ変わったのである。このような現象は対消滅 ( pair annihilation ) 又
は対創成 ( pair creation ) と呼ばれており、素粒子の一般的性質としてよく知られている。
クオークの場合も同様に、全てのクオークには反クオーク (anti-quark ) が存在している。素粒子の激
しい衝突の際に互にクオークと反クオークの対消滅又は対生成が起こり、種々な素粒子が創り出される
のである。これらの過程は大変変化に富んでおり、複雑な現象でもあるので、ここではこれ以上立ち入
らないことにする。一般的にいって、ここでも最終的にはエネルギー保存則とエントロピー増大の法則
は守られており、高いエネルギーを持つ少数の素粒子を作るよりは、できるだけ低エネルギーの素粒子
をたくさん作る傾向にある。高エネルギー現象になるに従って数多くの素粒子達が発見されてきた理由
の一つである。しかし、反応の進行は、単にエネルギーとエントロピーだけでなく、他にも様々な法則
や選択則があり ( 例えば電荷の保存など ) 、残念ながら、その振る舞いは必ずしも単純とはいいがた
い。これらの過程を詳細に調べて行くのが素粒子反応の研究である。
v) 強い力の根源 ( カラー= Color )
クオーク間のこの強力な力を媒介する素粒子は何であろうか？
各々のクオークは電気や磁気の場合と異なり、３種類の異なった極性を持つ。そのため電磁気の場合
の如くプラスとマイナスの 2 種類のみの記号で表現すことはできないので、色相学になぞらえて、「カ
ラー ( color ) 」又は「color-charge」と呼んで通常の電気量と区別している*4 。プラス・マイナスや北
極 ( N )・南極 (S ) 等の代わりに、光の三原色、赤 ( Red )、緑 ( Green )、青 ( Blue )、を用いる。ク
オークはプラス又はマイナスの通常の電気量のほかに、この Red ( R ), Green ( G ) , 又は Blue ( B
) のいずれかのカラーを持っている。クオーク間の強力な引力は、このカラー ( color charge ) によっ
て発生するのである。先に述べた短距離力の性質もこの coler charge の性質による。素粒子間に作用し
合う力の根源はその力を媒介する仮想粒子の交換によることは既にみてきたとおりである。核子間の核
力は中間子を媒介とし、電磁気力の場合は仮想光子が力の媒介を担う粒子であった。クオーク間の力を
媒介する仮想粒子はグルーオン ( gluon ) と呼ばれている。仮想中間子が電荷を帯びていたように、グ
ルーオンはカラーを帯びている。
クオークの間を行き来している仮想粒子グルーオンはカラーとアンティカラーの混合色を帯びている。
カラーの種類、R, G, B 又はその補色 (R̄, Ḡ, B̄ ) の組み合わせがなんであるかは問わない。カラーによ
る力は大変強力であり、このグルーオンの交換よって結ばれているクオークを引き離す為に要するエネ
ルギーは約 1 GeV/fm 程度といわれている。核子間の結合エネルギーが約 10 MeV 程度であることか
ら考えると約 100 倍ということになる。原子核を破壊するのに比べ、核子や中間子を破壊するためには
大変大きなエネルギーが必要なのである。
このように素粒子はクオークの複合体であり、それらを外部へ取り出すことができない。この様子を、
丈夫な袋の中に入っている球にたとえて、素粒子のバッグ模型などと呼んでいる。バッグが素粒子で
その中にクオークの球が何個かはいっている。バッグ内のクオークは自由に動き回ることはできるが、
バッグの外へ取り出すことはできない*5 。
*4
磁石の場合に「プラス・マイナス」の代わりに「北極・南極」又は「N-極・S-極」と呼んで、電気の「プラス・マイナス」の呼び名
と区別しているのに似ている
*5 バッグ模型はマサチューセッツ工科大学 (MIT) のグループによって提唱されたことから、MIT-Bag と呼ばれることもある
10.2 クオーク模型 ( Quark Model )
10.2.3 素粒子の構造とクオーク模型
i) 白色の素粒子のみが観測可能
核子の組み合わせから種々な元素を作ったように、クオークの組み合わせで、いろいろな素粒子を作る
ことができる。この場合に重要な条件は、我々の観測にかかる素粒子となるのは、そのカラーの組み合
わせが白色になる場合のみである。
光の場合によく知られている如く、三原色 ( 赤 - 青 - 緑 ) が同じ濃度で混合されているとき、我々の目
には白色光として観測される。クオークの場合はカラーが白色の組み合わせになった時のみ、素粒子と
して観測可能となり、それ以外の場合は仮想粒子として振舞い、我々の観測にかかることはない。
ii) 3 原色のカラーが白色になる条件は次に二つの場合に限られる。
• 赤 - 青 - 緑の三色が同じ濃度で混合されたとき。
• 同じ濃度の補色と混合されたとき。(R − G − B)-(C − M − Y )*6 の関係と同じ。
色の 3 原色の組み合わせの様子を図 10.4 にまとめておいた。
図 10.4
光の３原色混合によって白色となりうる組み合わせ。
クオークの場合もこれと同様である。クオークの場合は、反クオークがその補色を担うのである。赤色
のクオークにたいする反クオークは赤色の補色 ( シアン ) を持つのであるが、反クオークを anti-quark
( アンティ-クオーク ) と呼ぶのが習慣となっているので、赤 ( Red ) の補色のことを anti-Red と呼ぶ
ことにする。即ち、anti-quark は quark の anti-color を持つ。
iii) 3 個のクオークからなる核子達 ( 3 色を含む場合 )
陽子は u − u − d の 3 個のクオークからなることは既に述べた。これら 3 個のクオークは各々 Red,
Green, Blue ( R − G − B ) を適当に分け合って担っている。二つの u がそれぞれ Red, Blue であれ
ば、最後に残った d は Green ということになる。
これらの 3 色が混合して白色となり、我々の目には陽子として観測されているのである。これら 3 個
のクオークより構成されている粒子達はハドロンの中でも特にバリオン ( baryon ) と呼ばれている。
iv) 2 個のクオークからなるメソン達 ( 補色同士の場合 )
第 2 のタイプの例として、先に述べたパイ中間子 π − は ( ū − d ) の組み合わせでできている。ū は
*6
(C, M, Y ) は各々シアン、マゼンタ、イェローの三色 、即ち ( R, G, B ) の補色を表す。ここでは (R − G − B) の補色 (C, M, Y )
を素粒子の粒子ー反粒子 (particle-antipartckle) の関係の習って、それぞれ anti-colore, (R̄, Ḡ, B̄) で表す。
133
134
第 10 章
核子の構造とクォーク模型
バリオン (baryon) は 3 個のクォークよりなる。例えば、陽子 (u − u − d) は赤 (R)、緑 (G)、青
(B) の 3 色カラーによって結ばれている。クォークと反クォークからなるメソン (meson)π − (ū − d) は例
えば、赤と反赤 (color-anticolor) で結ばれている。
図 10.5
u の反粒子を表す。同様にカラーの方も を各々 anti-Red, anti-Green, anti-Blue を表すことにする。
π − 粒子内の d-quark が R のカラーを持っているときは相棒の ū-quark は anti-Red (R̄ ) のカラーを
担っていることになる。即ち ( ū − d) は (R̄ − R ) のカラーが合成されて白色となり、我々の目には
π − 中間子として観測されているのである。陽子と π − 中間子の内部構造の例を図 10.5 にまとめてあ
る。また表 10.2 には π − 中間子の電荷、カラーの構造をまとめてある。
表 10.2 π − メソンの内部構造をクォークの組み合わせで書き表した例。電気量は電子と同じ e − をもち、
カラーは anti-color と color の組み合わせで白色となっている。これが我々に π − メソンとして観測され
ている物である。ū, R̄ 等はそれぞれ anti-quark, anti-color を表している。
クォークの状態
電荷の状態
カラーの状態
素粒子の内部構造
素粒子の状態
(ū − d)
) (
)
(
2
1
− e + − e
3
3
π − meson
(R̄ − R), (Ḡ − G) or (B̄ − B)
白色
−e
このように quark と anti-quark の組み合わせでできている素粒子は、一般にメソン ( meson ) と呼ば
れ、種々なな力を媒介する役割を果たす粒子として知られている。上のパイメソンは核子間の力を媒介
する粒子であることは既に述べたとおりである。このほかにも ( d¯ − u ) 等の組み合わせでメソンを作
ることもできる。この組み合わせでできるメソンはどのようなものか、表 10.2 を参考に考えてみては如
何？新しい素粒子をもう一つ知ることになるかも！
強い力を解明することは、これまで述べてきたクオークとグルーオンの性質を十分理解することにあ
る。これらの力を支配する新しい量子力学が現在も開発途上にあり、これらは量子色力学 ( Quantum
10.2 クオーク模型 ( Quark Model )
Chromo-Dynamics = QCD ) 等と呼ばれている。これに対し、電場や磁場と電荷を持つ粒子 ( 電子、
光子等 ) の間の力と運動を記述する量子力学は、量子電磁力学 ( Quantum Electro-Dynamics = QED
) と呼ばれている。量子電磁力学 ( QED ) は 1950 年代にほぼ完成し、現在、最高の実験精度による測
定結果もこの理論に矛盾するものはない。
Sin-Itiro Tomonaga ( 朝永振一郎 ) , Julian Schwinger, Richard P. Feynman*7 の三人の物理学者に
は、この量子電磁力学完成の業績により、1965 年度のノーベル物理学賞が授与された。朝永は湯川につ
いで日本で二人目のノーベル物理学受賞である。尚この湯川と朝永は高等学校時代からの同級生であり
親友でもあった。
v) クオークと核力
素粒子間の相互作用はその力を媒介する仮想粒子の交換によってなされている。電磁気力の場合は仮想
光子によってなされていることは既に述べた。クオーク間の強い力は coloer charge を持つグルーオン
の交換による。陽子-中性子間の核力は π − 中間子によって媒介されていると考えてきた。
しかしクオークの存在を知った今日、例えば π − 中間子も又 color charge を持つ ( ū − d ) 等、クオー
クの複合粒子であることを知っている。そのクオークは素粒子のバッグの中に閉じ込められていて外
部へ取り出すことができないこともみてきた。このように固く閉ざされたバッグの中から、どうしてク
オークの複合体である中間子のような粒子が飛び出してきて、周辺の核子 ( バッグ ) との間を行き来で
きるのであろうか?
素粒子内部に於ては不確定性原理 ∆E∆t ≈ ~ の範囲内でクオーク間で仮想粒子の生成消滅が繰り返さ
れている。エネルギー ∆E の大きいものは短命であり、小さいものは ∆t が大きくなるので、遠方まで
到達することができる。このようなエネルギーの小さい仮想粒子グルーオンは隣接する核子内のクオー
クとの間で微かに相互作用が可能となる。これにより隣接する核子との間に核力が発生する。このよう
な微かな相互作用でも、カラーは大変強力な力なので、クーロン力よりは遥かに強いのである。
またバッグ模型の観点からみるとバッグの内部では絶えず color-charge の生成・消滅が繰り返されて
いるので、バッグの外壁には其れと反対の anti-color charge の誘発が繰り返されている。バッグの外
壁面は絶えず anti-color charge の生成消滅が繰り返されていると考えられる。これは強い磁石 ( N 極
) を鉄片に近づけると反対側に S-極が誘発されるのにいている。こうして anti-coler-charge に覆われ
た二つのバッグが接近すると、これらの表面に誘発された color 同志は互に組み合ってグルーオンを形
成し結合力となる。このような現象は中性の水分子 H2 O が内部の電気的な偏りによって分子間引力 (
Van der Waals 力 ) を生ずる現象に似ていることから「Color Van der Waals」力などと呼んでいる人
もいる。
しかし、このようなカラーやグルーオンの性質は今日でも十分には解明されていない。特に比較的長距
離間の color-charge の性質や、グルーオンの振舞いについての定量的な解析は困難である。これらの定
量的な記述は、色量子力学 ( Quantum chromo-Dynamics ) の完成を待つことになるであろう。
10.2.4 素粒子反応とクオーク模型
核子や中間子はクオークの複合体であり、内部におけるクオークは互に自由に振舞っているのであるが、こ
れを素粒子の外へ引き出だそうとすると強力なゴム紐で結ばれている球のように、急激に巨大な復元力が作用
して引き離すことは出来ないのである。その力はおおよそ 1 fm/GeV 程度であることも既に述べた。
*7
Sin-Itiro Tomonaga, Jullian Schwinger, Richard P. Feynman, Quantum electrodynamics, 1965
135
136
第 10 章
図 10.6
核子の構造とクォーク模型
核力のクォーク模型。核子内ではクォーク間でグルーオンの交換により color-charge の生成消滅
が繰り返されている。グルーオンのエネルギーが小さいものは長時間滞在でき、隣接する核子内のクォー
クと相互作用することが可能となる。急激な color の発生消滅は隣接する核子表面に anti-color を誘発し、
これらとの間で新たな仮想メソンを形成する。このような過程を通じて隣接する素粒子間の相互作用が発
生する。
この強力な力に打ち勝つ程の力で引っ張ったらどうなるのであろうか?クオークをバッグの外へ叩き出すこ
とが出きるのではなかろうか?このようなことを試すのが素粒子反応の実験である。粒子加速器と呼ばれる装
置で光速度近くまで加速された素粒子を衝突させるのである。
ここでは 1 GeV 以上の高エネルギーの光子を陽子に当てたときの様子を考えてみる。 1 GeV の光子の波
長は約 0.2 fm 程度である。陽子のサイズがほぼ 1 fm であるから、陽子内部のクオークを狙い撃ちできる可
能性は十分ある。実際実験して陽子の中から飛び出してきた粒子を調べてみると、 π + 中間子と中性子が観測
されるのである。これを反応式の形式で表現すると:
γ + p = π+ + n
(10.6)
の如くかける。左辺は反応前 ( 衝突前 )、右辺は反応後 ( 衝突の結果 ) を示す。 γ は入射してくる光子、p は
ターゲットの陽子を、右辺の π + 、n は発生してきた π + 中間子と中性子を表す。期待通り、陽子は破壊されて
中性子と π + 中間に分解された。 π + 中間子の電荷は電子のそれと同じく e である。1/3 又は 2/3 の電荷を
持つクオークは現れないのである。クオークの代わりに中間子が出てきた。この衝突の過程で陽子の内部で何
が起こったのか詳しく考えてみることにする。
陽子は u-quark 2 個と d-quark 1 個の複合粒子であることは既に知っている。入射光子のサイズは十分小さ
いので、陽子の中の u-quark の一つを直撃したとする。ゴム紐は伸びて u-quark を引き戻そうとするが衝撃
力は十分大きく、ゴムひもはどんどん伸びてついには切れてしまう。このとき紐の切れ目の両端に、これまで
ゴム紐の中に張力として蓄えられていたエネルギーが一挙に解放され、quark の対創成 ( pair creation ) が起
こり d-quark ( d ) と anti-d-quark (d¯ ) が発生するのである。この新しくできた d はもとの陽子のバッグに
引き戻されバッグの中身は ( u − d − d ) 即ち中性子となり、d¯ の方は引きちぎられた u と一体となり、新し
10.2 クオーク模型 ( Quark Model )
いバッグ (d¯ − u ) 、即ち π + 中間子となる*8 。
図 10.7 素粒子反応 γ + p = π + + n をクォーク模型で示した概念図。入射光子に直撃された u はゴムひ
もが限界以上に伸びて切れる。この切断した両面に (d¯ − d) の対創成が起こった。(中央 b 図)。d は元の
バッグへ引き戻され (u − d − d)、即ち中性子として観測され、d¯ の方は契れた u と組んで (d¯ − u) となり、
π + 中間子として観測される (右 c 図)
これらの過程が模型的に図 10.7 にまとめてある。このようにクオークを結ぶゴム紐が切れると、その切断面
では quark-antiquark の対創成が起こり、クオークが単独で取り残されることはないのである。このゴム紐の
切断の様子は、磁石の棒を中央から切断するとその切断面には新たに、N − S 極が発生して単独の N 極や S
極が取り出せない状態とよく似ている。
このようにして素粒子反応で発生した中間子は素粒子内に閉じこれられている仮想粒子ではなく、実際に観
測される粒子 ( real particle ) なのである。その生存時間も π + 中間の寿命は (2.6 × 10−8 sec(26n sec)) であ
り、不確定性原理で問題にされる時間 10−22 sec ( 式 10.2 参照 ) とは全く異なる、観測可能な時間帯なので
ある。
10.2.5 物質の根源と力の根源
全ての物質、元素の根源である核子 ( 陽子、中性子 ) はより基本的な素粒子、2 種類のクォーク ( up-quark,
down-quark ) 3 個の組み合わせによってその性質が支配されており、互いに及ぼし合う強い力もこれらの間
で互いに交換し合う仮想中間子又はグルーオンにより媒介されていることが理解できた。これらの素粒子間に
及ぼす力を媒介する素粒子、例えば π − 中間子の性質もこの 2 種類の quark ( ū − d ) 2 個の組み合わせによ
り決まることも理解できた。物質を作り出す素粒子は 3 個のクォークより成る複合粒子であり、素粒子間の力
を媒介する素粒子は中間子 ( meson ) と呼ばれクォークと反クォークのペアーから組み立てれられている ( 複
合粒子 ) である。
物質の根源となる素粒子は 3 個のクォークよりなり、それらの力を媒介する素粒子はクォークと反クォーク
のペアーで成り立っているのである。これらのクオークの帯びている color-charge が白色光となるような組
み合わせの複合粒子は real particle として実際に我々が観測できる素粒子である。
素粒子物理学の世界では、一般に物質の根源となる素粒子はフェルミ粒子 ( Fermi-particle ) 又はフェルミ
オン ( Fermion ) 、力を媒介する素粒子、即ち、クォークと反クォークよりなる素粒子は総称してボーズ・ア
インシュタイン粒子 ( Bose-Einstein particle ) 又は簡単にボーズ粒子とかボソン ( Boson ) などと呼ばれて
*8
( d¯ − u) の電荷は d の電荷 -1/2 であるからその反粒子 は 1/2 であり、u は 2/3 であるから、合計 +1 となり、プラス e の電
荷を持つことになる。
137
138
第 10 章
核子の構造とクォーク模型
いる。物質の根源はフェルミオンであり、力の根源はボソンである。
10.3 素粒子の標準模型
10.3.1 新しいクォークの発見
核子の大きさは約 数 fm 程度であり、これらの間の力を媒介する中間子の質量エネルギーは 140 MeV であ
ることは既に述べた。又ミクロの世界では、その空間が狭くなる程エネルギーの最小単位、エネルギー量子が
大きくなることも既に学んだ。
パイ中間子の発見後、物質や力の根源を理解する素粒子論は大きな進歩を遂げ、研究の規模も世界的な協力
により、より高エネルギー加速器及び測定技術の進歩により、数多くの新しい素粒子が発見されてきた。非常
に高いエネルギーまで加速された素粒子の衝突により、大変狭い空間の中に瞬間的に大量のエネルギーが集中
し、この狭い空間から発生してくる中間子 ( ボソン ) はこれまでのパイ中間子等に比べて、不確定性原理 の
関係から、大変大きな質量を持ち、このようなボソンを媒介とする力によって支配されている素粒子達はこれ
まで我々の知る u, d クォークとは全く異なる性質を持ったクォークによって作られていることが明らかとなっ
てきた。
究極の素粒子、クォークに新たな種類が存在することに気付くまでには、物理学者の間でも長い混乱の時期
があった。全く理解に苦しむような振舞いをする素粒子が頻繁に観測されたからである。このような状況の中
で、最初に発見された新しいクォークは「ストレンジクォーク」と名付けられ s-quark と呼ばれている。当時
の研究者たちの苦悩がこの名前に刻まれているのであろう。s-quark の電荷は d-quark と同じく -(1/3)e で
ある。
新しく s-quark が発見されたことにより、これまでの u, d quark と合わせて 3 種類のクオークの組み合わ
せにより、あたらな複合素粒子の存在が予想できるようになった。例えば ( u − d − s ) や ( u − s̄ ) 等など。(
u − d − s ) の電荷は (2/3 -1/3 -1/3 = 0 ) である。この素粒子は中性ラムダ粒子 ( Λ0 ) と呼ばれるものであ
る。また ( u − s̄) の電荷は ( 2/3 - (-1/3) = 1 ) であり、陽子と同じ電荷を持つ K + 中間子と呼ばれるもの
である。このような s-quark を含む複合粒子の振舞いは、これまでの知識では全く理解できない不可解な所が
多く、奇妙な粒子 ( srange particle ) などと呼ばれ、世界中の物理学者が頭を悩ましてきたのである。尚、Λ0
及び K + 粒子の質量は各々、1116 MeV/c2 , 及び 494 MeV/c2 であり、その寿命は各々 2.6 × 10−10 sec, 及
び 1.2 × 10−8 sec である。Λ0 の性質は中性子に類似のところも多く、あたかも少し重い中性子 ( 中性子の質
量は 940 MeV/c2 ) のようにみえ、原子核の中に中性子と共にまぎれ込んで存在することも出来る。このよう
な Λ0 粒子を含んだ原子核は同位元素の中でも特にハイパー核 ( Hyper nucleus ) などと呼ばれている。これ
らの詳しい性質についてはこれ以上立ち入らないことにする。
高エネルギー素粒子の加速、観測技術の進歩と、研究者達の協力も一段と国際化が進み大規模な実験が可能
となり、このような素粒子の衝突実験や、遠い宇宙のかなたから飛来する放射能、宇宙線の中かから、益々多
くの新しい素粒子が観測され、大きな混乱を招くことになるのであるが、その都度新しいクォークの存在が確
認され、同時に自然の究極の姿が如何に単純なものであるかに新たな感激を得るのである。
1974 年は素粒子物理学の研究者にとっては忘れ難い年である。更に新種のクォークよりなる素粒子 が米国
の二つの研究所から、同時に独立な方法で確認され、同じ日に発表されたのである。このクォークは「チャー
ム charm 」と名付けられ、c-quark と呼ばれている。
この実験のリーダーであった米国ブルックヘーブン国立研究所の Richter と スタンフォード大学線型加速
10.4 宇宙の創造と究極の素粒子
139
器研究所の Ting は、この素粒子の発見で 1976 年ノーベル物理学賞を授与された*9 。
10.3.2 素粒子の標準模型
現在までに確認されているクォークは 6 種類である。これまで述べた ( u, d, s, c ) に加えて、
「ビューティー,
beauty 又は ボトム, bottom」、「トップ , top 」の 2 種類のクォークが最近発見されている。現在まで発見さ
れている素粒子はすべてこの 6 種類のクォークの組み合わせによって組み立てられていることが明らかにさ
れ、これに矛盾する振舞いをする素粒子は今のところ観測されていない。
これらのクォークは、空間的には極めて限られた範囲に閉じ込められており、その広がりは核子の更に千∼
1 万分の 1 程度と考えられている ( 核子の直径は約 数 fm であることは既に述べた )。このような極微の世
界に於ける素粒子達が相互作用し合っている力を媒介する W 及び Z 0 と呼ばれるボソン ( Boson ) 粒子*10
の質量エネルギーは 約 80 GeV もあり、核子の 100 倍近い質量エネルギーである ( 核子の質量エネルギー
は 940MeV) 。あの強力といわれていた核子間の力、核力を媒介しているパイ中間子の質量エネルギーが僅か
140 MeV であったことを思い出すと、この極微の世界におけるエネルギーが如何に巨大なものであるか想像
できよう。
ヨーロッパ連合共同利用原子核研究所 ( CERN ) の Rubbia と Meer はこれらの素粒子、W, Z0 の発見に
より、1984 年度のノーベル物理学賞が授与された*11 。
このようにして多くの素粒子が発見され、それらの性質、即ち質量、寿命、素粒子間の反応の仕方、崩壊の
仕方、互いに相互作用し合う力の大きさ等がほぼ完全に理解されるようになった。これらの性質を総合的かつ
単純に理解するためには、これまで述べた 6 種類のクォークを次のようなマトリックス状の表にまとめておく
と大変便利なのである。
(
u, c, t
d, s, b
)
上の行 ( u, c, t ) は 2/3 の電荷を持ち、自転が上向き ( 右巻き ) であり、下の行 ( d, s, b ) の場合は電荷
-1/3 を持ち自転が下向き ( 左巻き ) のクオークである。このような考え方は、現在では素粒子の標準模型と
して物理学の研究者の間では極めて真実に近いものであると信じられている。その詳細は、このノートの意図
するところを越えた議論となるので省略する。
10.4 宇宙の創造と究極の素粒子
これまでみてきたような極微の世界における超高エネルギー現象は、通常の世界で見ることはない。特殊な
実験に於ける一瞬の出来事である。然し遠い昔、宇宙誕生の直後、全ての銀河が未だ一点に集中していた頃、
超高エネルギーのこの宇宙には核子のような複合素粒子は存在できず、安定したペアーを作ることさえ出来な
いクォークやグルーオンがガスのようにこの狭い空間を満たしていたと考えられている。これらの超高エネル
ギーの火の玉宇宙は一瞬のうちに膨張し巨大な宇宙となり、その宇宙空間のエネルギー密度が小さくなると、
これらのクォークガスは互いにペアーやクラスターを作り種々な素粒子となり、あるものは物質の根源となる
素粒子 ( フェルミオン ) となり、又あるものは力の媒介をする素粒子 ( ボソン ) となった。宇宙の膨張は更
に続き更にエネルギー密度は低くなるとこれらの素粒子達はより安定な素粒子に崩壊し、最終的には最も安定
*9
*10
*11
Buton Richter and Samuel Chao Chung Ting, Discovery of J/Y particl, 1976
mw = 80.22 [GeV/c2 ], mz = 91.187 [GeV/c2 ]
Carlo Tubbia and Simon van der Meer, Discovery of W, Z and stocastic cooling for colliders, 1984
140
第 10 章
核子の構造とクォーク模型
な素粒子、陽子と中性子となった。これらの現象は宇宙誕生後数分間の出来事であったと考えられている。
宇宙空間の膨張は限りなく続き、核子間の距離がしだいに遠ざかり、何個かの核子の集団があちこちに出来、
原子核が形成され、種々な元素・物質が出来ていった。この段階で初めて宇宙に元素が誕生することになる。
それから 100 億年程度たった今日の宇宙はこれらの元素の集団が多くの星となって宇宙空間のあちこちに銀河
となって散らばっている。我々の住む太陽系もこれらの銀河の中の一つに属している。夜空に見える天の川 (
Milky Way ) は煙のように見えるが、この一つ一つの分子が、我々の見る太陽とほぼ同じ大きさなのである。
Milky way と呼ばれるミルクの分子は太陽ほど大きく、又太陽と同じように輝いているのである。
現在の宇宙は十分冷えており、太陽といえどもその活動するエネルギーはもはや中間子のような力を媒介す
る素粒子は原子核の中に閉じ込められてしまっているのである。太陽内のランダム運動による衝突程度ではク
オーク同志のゴム紐をちぎることが出来ないのである。宇宙誕生の歴史と、素粒子の役割については近年急速
に進歩し、素粒子宇宙物理学 ( particle cosmology ) と呼ばれる新しい物理学の分野が誕生してきた。素粒子
宇宙物理学については別の機会に論ずることにする。
141
第 11 章
素粒子宇宙物理学
宇宙誕生後数分にして最も単純な元素、水素が発生したといわれている。以後、100 億年の間
に、無数の星や銀河が誕生し、死滅していった。今日我々が知るあらゆる物質を構成している元
素、炭素、鉄、等からウランに至る全ての元素はこれらの星の内部における原子核反応によって合
成されてきた。やがて終末を迎えた星の大爆発によってこれらの元素は宇宙全域に星屑となってば
らまかれていった。これらの星屑は、無数に散らばる他の星達の重力により取り込まれていった。
我々の身体の大部分は水 (H2 O) であり、残りの大部分は炭素 (C) であり、更にわずかなカルシ
ウム (Ca)、鉄 (Fe) 等の重金属から構成されている。その意味では我々の遠い祖先もこの星屑なの
である。
この章では、この宇宙を構成している銀河や星達の誕生から、死に至るまでの壮大なドラマを近
代的な素粒子 · 原子核物理学の観点から考えてみる。
11.1 我々の住む星、地球
地球の平均密度は鉄に近いことは既に計算したことがある (詳細は物理学 A「地球の質量を測る」参照)。内
部をもう少し詳しく見ると、図 11.1 の如く何層かのシェル状になっている。
中心部は重い鉄で出来ており、その外側にいくにしたがって土砂 (Si) ー水 (H2 O) と次第に軽い元素で構成
されており、外部は最も軽い窒素や酸素のガス (N2 , O2 ) で構成されていることが分かる。我々が住んでいるの
は水の領域にかすかに点在している土砂の上である。その外側には更に軽い酸素、窒素、水素等の大気で被わ
れている。我々の身体の組成も大部分は水で出来ている。我々は星の表面に住んでいるのではなく、星の内部
に存在しており、我々自身星の組成の一部をなしているのだ！
これは重力によって質量の大きいものほど強く引き合って、中心に集まってしまったのである。したがって、
地球内部の圧力は大変大きく、高いエネルギー状態にある。此れは１つの典型的な星の内部構造を示している
のである。
11.2 輝く星、太陽
太陽は輝く星の中では最も代表的な星である。夜空に輝いている星の大部分はほぼ太陽に近いものある。太
陽の表面温度は約 6000 度、おおよそ 1 eV 程度で、その中心部は 1400 万度 (∼ 1.4keV) と推定されている。
このことから、太陽の半径 R、質量 M は恒星の大きさを論ずる時の単位として用いられることなある。
R = 7 × 1010 [cm]
M =1.99 × 10
23
[g]
(11.1)
(11.2)
142
第 11 章
図 11.1
素粒子宇宙物理学
地球の断面図とその校正元素の関係。重力の作用で中心程重い元素で構成されている。外側は最
も軽い大気で覆われている。
表 11.1
太陽と地球のサイズの比較。
3
半径 [ cm]
体積 [ cm3 ]
質量 [ g]
太陽
6.9598 × 1010
1.4121 × 1033
1.989 × 1033
地球
6.37103 × 10
1.0832 × 10
5.977 × 10
8
8
密度 [ g/cm ]
27
3
1.4
5.5(Fe=7.8)
3
此れから、太陽の平均密度を計算してみると、約 1.4 [ g/cm ] となり、地球の平均密度、約 5.6 [ g/cm ]、と
比較してもかなり小さいことが分かる。地球は大部分が鉄の塊であったのに対して、太陽は殆ど、水素とヘリ
ウムのガスから成り立っている為である。ガスといっても重力の締めつけによる圧力が大変大きく、液体のよ
うな高密度 (水の密度 1 より大きい！) になっていると考えられる。太陽と、地球の質量、密度等を次の表に
纏めておく。
ガスといっても水素やヘリウムの分子や原子が存在するわけではなく、このような高温状態においては、原
子核から電子がはぎ取られて、原子核と電子がバラバラになって混じりあった状態になっている。水素と原子
核の間の結合エネルギーは約 13 eV で、此れは温度に換算すると約 15000 程度である。したがって太陽内部
の温度による運動エネルギー 1.4 keV の方が遥かに原子核が電子を引き留めておく結合エネルギーよりも大
きいのである。このように原子核と電子がバラバラになって混じりあっている状態をプラズマ状態と呼んでい
る。太陽の内部は水素とヘリウムのプラズマ状態となっているのである。
11.3 宇宙空間
宇宙空間の大部分は、星の周辺を除いて物質密度は極めて薄く、最も簡単な原子、水素が所々に漂っている
程度といわれている。これらは無限とも言える時間をかけて、重力によって次第に集まり、やがて雲のような
水素ガスの集団となる。此れが星の誕生の始まりである。この段階でどの程度の量の水素を取り込むかは、こ
の星の将来の運命に大きく影響することになる。
11.4 星の誕生
143
11.4 星の誕生
このようにいったん原子の集団が出来ると、粒子間の距離は近く、集団の質量は大きくなる為、ますます引
力は大きくなる。ガス集団内部の原子は互いに引き合い、密度の濃いものになっていく。遠くまで重力の影響
を及ぼすようになり、更に遠くをさまよっている浮遊物や水素原子を取り込み、ますますその質量は増大して
いくと同時に、中心部は重力の圧力により、原子は分子状になり、分子状のものは気体から液体、固体へと圧
縮されていく。こうして中心部の密度は高くなり、質量が大きくなると、ますます周辺の分子は中心へ向かっ
て高い運動エネルギーを持って引き込まれていく。地球上における例に例えれば、重力定数が大きく、中心部
(地表) へ向かって落ちてゆく速度は大きくなり激しい衝突を繰り返すことになる。
図 11.2 水素の衝突により陽子が融合して重水素となり、陽電子と中性微子を放出し、星は輝き始める。
この水素同士、即ち、陽子同士の衝突の際の速度が大きくなってくると、クーロン力による反発力に打ち
勝って、核力の到達距離にまで接近出来るほどになると、核力により互いに融合し、より重い原子核に変換さ
れる。この核融合反応によって放出されるエネルギーが星の輝きの始まりである。この爆発のエネルギーに
よって周囲の陽子の衝突は一段と激しく加速され、核融合反応が急激に激しく進行し、巨大な火の塊となって
いく。我々が見る太陽の輝きもこれである。これは水素爆弾が連続して爆発している状態に例えられる。
以下に、この星のたどる運命をもう少し詳しく見ていくことにしよう。
11.5 星の輝きー核融合反応とエネルギーの放出
11.5.1 星の燃焼開始
星の中心部で重力の締めつけが大きくなると、ランダム運動している水素原子同士が衝突のエネルギーが高
くなり、クーロン力による反発力に打ち勝って、2 つの核子が融合して重水素を作る*1 。最初の核融合反応の
始まりである。これを式で書くと：
p + p = 21 D + e+ + ν + 1.44MeV
(11.3)
の如くなり、これは陽子が衝突して重水素を作り、余分なエネルギーを放出する (図 11.2 参照)。このエネル
ギーは温度に換算すると約 100 億度にも相当する (1 MeV は約 100 億度)。この段階で星の燃焼が始まる。
*1
軽い核では融合して重い核になったほうが安定である。(33 ページ「5.2.3 軽いい核は融合したほうが安定」参照
144
第 11 章
素粒子宇宙物理学
11.5.2 膨張する火の玉
このような核融合反応によるエネルギーの放出が始まると、星の内部エネルギーはますます高くなり、重力
の圧力の締めつけに逆らって、熱い火の玉の膨張が始まる。
図 11.2 は式 (11.3) を図で表したものである。この図から容易にに想像されるように、基本的な素過程は
p → n + e+ + ν
(11.4)
であり、陽子が中性子に変換されて、陽電子と中性微子 (ニュートリノ) を放出する。中性微子は電荷を持た
ず、質量も殆どゼロに近いので、周辺の物質との相互作用は殆どなく、殆ど高速度でこの星からとび去って
いく。
他方、陽電子の方は電荷もあり、この星の内部の原子核や電子などと衝突して (速度の変化、加速度が生じ
て)、電磁波 (光子) の放出を繰り返し、エネルギーを失っていく。
中心部では外部からの水素 (陽子) を取り込んでいろいろな熱核融合反応がどんどん進行して行く。式 (11.3)
に引き続いて次のような反応が進行することがよく知られている。
+ p → 32 He + 5.5MeV
(11.5)
+ 32 He → 42 He + 2p + 12.8MeV
(11.6)
2
1D
3
2 He
これらの反応を総合的に振り返ってみると、途中いろいろな経過をへてはいるが、最初と最後を纏めてみる
と、結局最終的には 4 個の水素原子が 1 個の He 原子に変換さえていることが分かる*2 ：
4p → 42 He + 26.7MeV
(11.7)
である。そのエネルギー約 27MeV の内、約 25 MeV が太陽の内部エネルギーとなって残り、その他は中性微
子等となって即座に太陽から放出されていく。水素は陽子のみから出来ているが、ヘリウムの中には 2 個の中
性子が存在しており、これがどのような過程を経て作られてくるのかが、事態を複雑にしている元であろう。
これらの過程は現在の太陽の総エネルギーや質量、寿命等をうまく再現出来るようなモデルは現在も重要な
研究テーマの１つのなっている。よく知られているのは CNO サイクルと呼ばれ、炭素 (C) が触媒のような働
きをする過程である。これらは歴史的にも重要で、有名ではあるが、話しが細かくなるので、ここではこれ以
上深入りしないことにする。
Hans Albrecht Bethe は星の内部におけるエネルギー発生のメカニズムに関する研究で 1967 年ノーベル物
理学賞を授与されている*3 。
このような熱核反応を繰り返しながら水素原子の集団は式 (11.7) に見られるように、最も安定と言われて
いる 4 He の原子核を生産していく。「水素が燃えてヘリウムが出来る」と言われているのはこの過程を指して
いる。
現在の太陽のエネルギーの大部分はこれらの過程を通じて作り出されている。即ち、水素原子が核融合反応
によりヘリウムになり、膨大なエネルギーを放出して火の玉となり、重力の圧力を跳ね返して巨大な火の玉の
膨張となる。
ヘリウムは 4 個の核子からなるが、この質量は 4 個の陽子のそれよりわずかに軽く、この質量の欠損分が輝
きのエネルギーとなって放出されているのである。この失われた質量エネルギーは、重力による収縮、即ち、
重力ポテンシャルによって再度供給されて行くのである。
*2
*3
式 (11.3) と式 (11.5) の両辺を 2 倍して式 (11.6) に加え、両辺を整理する。
Hans Albrecht Bethe, Energy production in stars(1967)
11.5 星の輝きー核融合反応とエネルギーの放出
11.5.3 ガンマ線から可視光線へ
このような熱核反応によって放出されるエネルギー、ガンマ線は ∼ 数 MeV 程度のエネルギーである。これ
らのガンマ線は多くの電子とと散乱を繰り返しながら星の内部をさまよい歩く。衝突を繰り返す毎にそのエネ
ルギーは分割され、多数の低エネルギーの光子に分割されていく。これらの光子が太陽の表面に到達する頃に
は、そのエネルギーは 1 eV (約１万度) 程度の低エネルギーの光子が何百万個にもなっている。即ち、強度の
強い (数が多い) 低エネルギーの光子、可視光線となっているのである。この可視光線が輝く星、太陽である。
中心部で発生したガンマ線が散乱を繰り返している時間は数千年にも及ぶといわれている*4 。いったん太陽の
表面をでた光子は数分で地球に到達する。
図 11.3
太陽の中心部で発生した γ 線は、電子との衝突を繰り返し、多くの低エネルギーの光子に分解さ
れていく、最終的には 1eV 程度の可視光線になる。我々が見ているのはこの光である。太陽の表面温度は
約 6 千度といわれているのも、このエネルギーを意味している。
このように 1 個の高エネルギー光子が数多くの低エネルギー光子に増殖し、同時に多くの電子のランダム運
動を激しくして行く過程は、著しいエントロピーの増大過程である。したがって、この逆過程、即ち、これら
の可視光線に対応する低エネルギーの光子が多数集まって、エネルギーの高いガンマ線 1 個に戻ることはな
い。これは太陽から来る比較的エネルギーの高い紫外線の光子が地球に到達した時も同様で、大気や地球表面
の電子達と衝突を繰り返し、より多くの更にエネルギーの低い光子、熱線となって増殖し、地球や我々を暖め
てくれるのである。
太陽に近い上空は寒いが、空気の多い地球表面の方が暖かいのはこのためである。上空は寒いが光子のエネ
ルギーが高い紫外線が多く、光子の数は少ない (強度が弱い) ので寒く感ずる。光子の数が少なく、大変寒い高
山で日焼けが激しいのは、光子のエネルギーが高く、表皮の分子を破壊するからである。
*4
一度衝突をした光子が次に他の電子と衝突するまでに走る平均の距離を平均自由行程と呼ぶ。此れはとりまく粒子の密度やエネル
ギーから計算できる
145
146
第 11 章
素粒子宇宙物理学
11.6 巨大な星の最後は鉄の塊
11.6.1 燃料廃棄物ヘリウムの蓄積と星の収縮
水素の燃焼が続くとともに、中心部には燃焼によって生じた、より重いヘリウムの原子核が強い重力の圧力
で締めつけられながら蓄積してゆく。このヘリウムは燃焼することはないので、外部の圧力によってどんどん
圧縮されていく。したがって大部分の水素が消費されてヘリウムに変わると、膨張しする速度よりもヘリウム
ガスが重力の圧力で収縮される勢いが激しく、膨張してきた火の玉は急速に収縮してこの星の最初の生命の終
末を迎えることになる。
11.6.2 よみがえる活力
中心部に蓄積されたヘリウムは重力の圧力によってどんどん圧縮され、その圧力と温度がある限界を超える
と，この圧力によって，原子核が互い圧着されて核融合反応を起こし，より重い原子核，例えば 7 Be に変化
し，余分なエネルギーを出し始める。即ち，重力の高い圧力によってヘリウムが核融合し燃焼を始めることに
なる。このようにして水素燃料を使い果たした巨大な星は，重力のエネルギーの助けをかりて廃棄物として生
じたヘリウムを燃料として再び輝きを増してゆく。
11.6.3 星の燃焼サイクル
このように軽い核は重力のエネルギーによって核融合を起こし，更に安定なより大きな原子核に変換してい
く。この間，莫大な原子力エネルギーを放出し，膨張，収縮を繰り返しながら輝き続ける。こうして星の内部
では燃焼過程を通じて軽い元素から次第に重い元素が次々に合成されていく。
どのような元素がどのような順序で出来てくるかは現在でも完全には解明されていない。いろいろな元素が
合成される核反応が進行する温度，エネルギーが各々の元素毎に異なるからである。又ある元素は合成されて
もすぐに又次の燃焼が始まり比較的短時間で無くなってしまう。逆に長時間安定状態を保っている元素もあ
る。こうして様々な元素の燃焼，核反応が複雑な組み合わせで同時進行しているからである。現実には上に述
べたように全ての水素が完全燃焼してヘリウムになる以前にいろいろな核反応が始まるのである。従って，全
ての水素が燃え尽きてヘリウムとなって，太陽の火が完全に消えたことはなかったと思われる。特にヘリウム
は核融合反のしにくい，燃えにくい元素なのである。
このような原子核反応がどのようなエネルギーでどの程度起こり，どのような新しい元素が合成されるか等
は試してみることができるものも多い。粒子加速装置，サイクロトロン，バンデグラーフ等による低エネル
ギー核反応の研究である。日本においてもこのような実験は現在でも精力的に続けられている。この分野の研
究は天体核物理学等と呼ばれている。
11.6.4 輝ける星の終末
そして最後には最も安定な原子核，鉄が出来る迄この過程は続く。鉄は最も安定な原子核で，原子核がこれ
より大きくなると、核融合よりは核分裂を好むことになる (詳細は 33 ページ「5.2.4 重い核は分裂した方が安
定」参照)。この鉄に至る迄どのような核反応過程を繰り返していくについての詳細は未だ解明されておらず，
加速器を用いた研究が現在も精力的に続けられている。
あまり大きくない，例えば太陽程度以下の質量を持つ星は，最終的にはこのような鉄の塊となって宇宙空間
11.7 中性子星の生成
147
をさまよいつづけることになる。偶然同様の運命を辿ってきた他の星と出会い，激しく衝突して粉々になり，
宇宙の塵として宇宙をさまようか，更に巨大な星，例えば太陽のような星や後に述べる中性子星のようなもの
に飲み込まれてしまうか，その運命は偶然に左右され，誰も知ることはないであろう。
11.7 中性子星の生成
11.7.1 巨大な星の爆縮
星の全質量が太陽の 10 倍以上にもなると，その運命は大きく異なる。中心部の圧力は極めて高く，鉄が原
子の構造を維持していくことができなくなるからである。
鉄の原子は隣同士の圧力により，その周辺の電子がこれ迄の軌道を維持できなくなり、その軌道はおしつぶ
されて周辺の電子が原子核の中に押し込まれてしまうことが起こる。結晶構造は崩壊して原子は分解し原子核
同士が直接接触できる程度迄圧縮される。鉄原子の結晶ではなく原子核の結晶状態となり，密集した原子核と
電子の集団となる。ついには原子の軌道を回っていた電子が重力の圧力によって原子核の中へ陥没し，押し込
められてしまう。
図 11.4
重い星の爆縮。中心部の原子は重力の圧力で押しつぶされ、原子核と電子の密集した集団となる。
このため星の体積は約 1 兆分の１に縮小する。このときに放出されるエネルギーで周辺部の原子は大爆発
を起こし、粉々になって宇宙全域に渡って吹き飛ばされ、宇宙の塵となる。
4
これは半径 105 fm の原子が突然 10fm 程度の原子核のサイズに縮小することであり，その半径が 10 , 即ち
一万分の一程度になり，体積にすれば 10−12 , １兆分の１に爆縮するのである。これは太陽が山手線の中に収
まり，地球は我々の校舎の中に収まる程の縮小ぶりである。このときに解放されるエネルギーは莫大なもので
あり，星の大爆発として遠く宇宙の果て迄輝き渡ることであろう。
11.7.2 核子気体から核物質へ
爆縮によってその体積が小さくなると，その重力は極端に大きくなる。重力の大きさは距離の二乗に反比例
するから，半径が 10−4 倍になれば、その力は 108 倍，1 億倍にもなることになる。例えば，これ迄 1cm3 の水
が 1g であったものが、突如として 1 億グラム，100 トンの重さとなるようなものである。
148
第 11 章
図 11.5
素粒子宇宙物理学
鉄の原子核の中へ周囲の電子が押し込まれて陽子と反応し、全ての陽子が中性子に変わる。これ
はベータ崩壊の逆反応に当たる。
このように爆縮により，重力によるエネルギーの供給は急速に増大し，この星の内部は高い圧力で表面から
の締め付けにより原子核内の陽子は周辺に散在している電子を吸収して，少しでも質量、即ち，エネルギーの
大きい中性子へと変換されていく*5 。鉄の原子 1 個が 56 個の中性子の核になるためには約 7MeV のエネル
ギーが必要である。式で表すと：
56
26 Fe
+ 26e− → 56n + 7.32MeV
(11.8)
となる。中性子の電子崩壊の逆反応が起こることになる。
このようにして重力による締め付けによって供給されるポテンシャルエネルギーを質量エネルギーに換える
ことにより，出来るだけ運動エネルギー，即ち温度や圧力を少なくし、より安定な状態を維持しようとする。
図 11.5 は鉄の原子核の中へ周囲の電子が押し込められ内部の陽子が中性子に変わっていった状態を示す概念
図である。
重力によるエネルギーの供給は限りなく続くので，更には 56 個の中性子の袋 (核) はその袋の状態を維持で
きなくなり，全ての中性子はバラバラになり，自由中性子となって星全体が中性子ガスのような状態になる。
このような状態は通常の分子気体や、金属の電子ガス模型と似ていることから，核子気体等と呼んでいる。こ
れらの過程をまとめて式に書けば：
56
4
26 Fe + γ → 13 × 2 He + 4n − 124.4MeV
4
2 He + γ → 2p + 2n − 28.3MeV
(11.9)
(11.10)
更に途中を省略して最初と最後だけを簡単にまとめると、次のように書くことも出来る。
56
26 Fe
→ (26p + 30n − 488 MeV)
(11.11)
式 (11.11) の右辺の −488MeV は負号持つことから，約 1000 億度*6 も温度を下げることを意味している。
運動エネルギーが質量エネルギーに変換された結果である。
このように全てが中性子の核子気体，核物質からなる星を中性子星と呼んでいる。１個の鉄の原子核を完全
にバラバラの核子気体にするために要するエネルギーは大体 500 MeV 程度である。この過程のおいては膨大
*5
厳密には中性子の方が陽子より僅かに質量が大きい。従って自由な状態にある中性子は約 10 分の半減期で陽子に崩壊して電子と
中性微子を放出する。陽子及ぶ中性子の質量はそれぞれ 938.272MeV/c2 , 939.552Mev/c2 , その差は 1.29MeV/c2 、これは温度
に換算すると約 100 億度。
*6 488 MeV のエネルギーを鉄の原子核の中にあった 56 個の核子が分け合ったとして概算した。488/56 MeV を温度に換算した。
11.8 激しい中性子星の活動と X 線パルサー
なエネルギーを必要とし，太陽程度のあまり大きくない質量を持った星ではこのエネルギーを重力で供給する
ことは出来ない。従って中性子星となりうるためには，少なくともこれ以上のエネルギーを重力で供給できる
質量を持っていなければならない。
図 11.6 鉄の原子核内の陽子が全て中性子に変化させられ、更に重力の圧力が高まると原子核の袋は破れ
全ての中性子が気体のようにバラバラになる。このような状態は中性子気体と呼ばれている。その大きさ
は数キロメートル程度と想像されている。
このようなシナリオが成立するためにはどれだけの重力エネルギーが必要であり，上に検討した如く各過程
で必要なエネルギーが分かれば，これらを合計して重力エネルギー，U = M 2 /r, に換算すればよい (M は質
量，r は星の半径)。結論的には太陽の 7 倍程度の質量があれば，長い間の輝きの末，中性子星になると云われ
ているが，詳細は未だ解明されていない。
11.8 激しい中性子星の活動と X 線パルサー
宇宙の彼方から約 33msec の周期で電波を発している、目に見えない天体が発見されたのは 1967 年のこと
である。いわゆるパルサーの発見である。ケンブリッジ大学の Antony Hewish と Martin Ryle はこれらの業
績により，1974 年ノーベル物理学賞を授与されることになる*7 。Leo Ezaki(江崎玲於奈) の超伝導トンネル効
果の発見による受賞の翌年のことである。
これはその表面に強力な電磁場を持つ星の自転によるものと推定された。この周期から自転の速度を概算す
ると，きわめて高速であり，通常の星ではその遠心力で分解されてしまい，安定な状態を維持することは不可
能であることが分かった。これが中性子星が実験物理学の上に登場した始まりである。
中性子星存在の可能性は 1932 年 Baad と Zwicky 達によって指摘されていたが、理論的な可能性のみで実
在はしないものと考えられていた。当時カリフォルニア大学バークレー校にいたオッペンハイマー達はその
性質について多くの可能性を指摘し，近代的な中性子星像の基礎的な描像を計算によって示していた (J. R.
Oppenheimer and G. M. Volkove, 1939)。
中性子星が高速で自転するとき、地球のように周辺に磁場があったり，表面の一部に電荷の集中した所があ
ると，そこから電磁波が放出される。これが地球の方向を向いた時に地上でパルスとして観測される。岬の灯
台と同じである。従ってこのパルスの周期が中性子星の回転の周期となる。このことからこの星の重力の大き
さ，内部エネルギー，表面の様子等多くを知ることができるのである。
*7
Antony Hewish, Discovery of pulser, Sir Matin Ryle, Pioneerinng radioastoronomy work, 1974
149
150
第 11 章
素粒子宇宙物理学
図 11.7 最初のパルサーは点滅する電磁波として発見された。この図はかに星雲の超新星爆発の残骸とし
て生じたパルサーである (1967)。右は電磁波が激しく輝いている状態、左は電磁波が弱くなった状態。パ
ルサーは中性子星が光速度に近いスピードで回転しており、粒子のジェットが生じ、これが強力な電磁波を
発射していると考えられる。
周期が短いことは，回転の速度が速いことであり，パルサーの周期から予想される回転速度から概算すると，
通常の物質はその遠心力によりバラバラに分解される程の大きさである。これを支えることの出来る重力は通
常の星の質量では不可能である。このことからパルサーの正体が，原子から出来ている物質ではなく，核物質
からなる物体，中性子星であることが明らかになってきたのである。
図 11.8 中性子星からの電磁波はその自転により、地球では周期的に観測される。これが X 線パルサーである。
現在では 100 個以上のパルサーが発見されており，その周期は 33 msec ∼ 3.75 sec 迄、星によって様々であ
る。しかしその周期は星によって決まっており，極めて一定である。現在知られている最短周期のものは，か
に星雲の中にある周期 33 m sec のパルサーとされている。この近傍では 1054 年超新星の大爆発の記録が中
国等の古文書に残されている。(爆縮)。このときに中性子星になったと想像されている。
11.9 中性子星の内部と高エネルギー原子核反応ー中間子凝縮
151
11.9 中性子星の内部と高エネルギー原子核反応ー中間子凝縮
11.9.1 爆縮後の内部エネルギー
中性子星の表面は鉄の原子核が気体又は液体のような状態で密集している。この状態では未だ鉄の原子核が
残っている。その周辺には原子からはがれた多くの電子が雲のように散在している。鉄の原子や結晶はもはや
存在しない。
更に内部にはいると圧力が高まり原子核は分解されてバラバラの核子の集団となっている。この領域では多
くの陽子は電子を吸収して大部分は中性子になっている。この状態は核子気体等と呼ばれている。この名前か
ら察しがつくように，その概略の振る舞いは核子の理想気体の状態方程式によって推察できる部分がかなり
ある。
図 11.9 に爆縮によって出来た芯の内部構造の予想図を示す。
11.9.2 パイ中間子凝縮は起こるか？
重力の締め付けで，全ての陽子が中性子になっている状態は、陽子ー中性子数のアンバランスの極に達して
おり，この非対称性によるポテンシャルエネルギーの増大も著しい。地球上の原子核の場合はこれを解消する
ために中性子が陽子に変わる，電子崩壊によって解消した (詳細は 33 ページ「5.2.2 陽子と中性子はほぼ同数」
参照)。更に重力におる締め付けは果てしなく続き，内部の圧力は限りなく上昇してゆく*8 。既に電子崩壊が不
可能になっているこの中性子星では，この大量のポテンシャルエネルギーの増大を解消するために，中性子が
π − 中間子を放出して陽子に変化し，これを解消しようとすることが考えられる。
n + 140 MeV → p + π −
(11.12)
のような変化である。ベータ崩壊における電子の代わりに π − 中間子を放出することに対応する。ただし，中
間子の質量 (mc2 = 140 MeV) は電子の質量 0.51MeV に比べて，約 300 倍の大きさである。前に陽子がより
大きい質量の中性子に変化した時の質量差 Mn − Mp = 1.29MeV に比べても 300 倍近いエネルギーを消費で
きる (Mp , Mn はそれぞれ陽子，中性子の質量)。従って電子崩壊比べて遥かに大量のエネルギー過剰を解消で
することができる。このようにして多くの中性子が π − 中間子を放出して陽子に変化していく。ここでも大量
の運動エネルギーが質量エネルギーに変換され，圧力の上昇を抑えることになる。
一方この過程におけるエントロピーの増大について考えると，同量のエネルギーを解放するにしても、出来
くだけ数多くの中性子が出来るだけ低エネルギーの π − 中間子を多く作り出す方が，自由度が大きく，有利で
あることは明らかである。このことから低エネルギーの π − 中間子の大量発生が起こると予想される。
これらの現象は，例えば過飽和状態の食塩水がチョットした刺激で大量の食塩の結晶を一挙に沈殿させる現
象に似ていることから，パイ中間子凝縮 (pion condensation) 等と呼ばれている。図 11.10 はこの過程を概念
的に示したものである。
このような過程を経て，中性子と陽子の数がどのような割合で安定するかは，重力ポテンシャルによるエネ
ルギー，言い換えれば最初にこの星が取り込んだ総質量の大きさと，陽子ー中性子の非対称性によるポテン
*8
核子間に作用する核力や，クォーク間に作用するカラーによる引力は大変大きくはあるが，ある程度以上の近距離では大変弱いの
で，これらの力によって限りなくポテンシャルエネルギーが増大することはない。重力の場合はこの点が大きく異なり，未解決の
難問が多い。
152
第 11 章
素粒子宇宙物理学
図 11.9 中性子星からの電磁波はその自転により、地球では周期的に観測される。これが X 線パルサーである。
シャルエネルギーの大きさ，更にはその過程におけるエントロピーの増大と程度などが適当な条件を満たした
所で安定した平衡状態に達する。
図 11.10 中性子星からの電磁波はその自転により、地球では周期的に観測される。これが X 線パルサーである。
パイ中間子凝縮は地上の実験室でも，巨大加速によって超高速に加速された原子核，例えば 238
92 U のように
大量の中性子を含んだ原子核を互いに衝突させ，高密度の核物質を作り出し，大量の低エネルギー π − 中間子
の発生が観測する試みがなされてきたが，現在未だ確認されていない。通常の原子核のように僅か 200 個程度
の核子集団では重力は無視できるので，発生した中間子は核子に比べて質量が小さいので，低エネルギーでも
簡単に核外へ飛び出してくるため，これが観測できると期待されている。
このような考えは更に発展されて，巨大な中性子星の内部では，π − 中間子よりも更に質量の大きい中間子，
例えば K − 中間子 (質量約 490MeV/c2 ) が析出する K 中間子凝縮の方がさきに起こる可能性も指摘されてい
るが，このレポートではこれ以上深入りをしないことにする。
この領域の核子は巨大な原子核のようになっており，その表面近くでは，比較的重力の締め付けが小さい部
分では，反対向きのスピンを持った核子同士が対を作って，超伝導状態となっていると考えられている (核子
11.10 中性子星の内部は超伝導状態かーガンマ線天文学の誕生
のクーパーペア)。更に中心部に入ると中性子も重力の圧力でおしつぶされ，全体が溶融して，全ての素粒子
と力の根源であるクォーク · グルーオンの混合ガスとなっている可能性があると考えられている。この状態は
クォーク · グルーオン プラズマとばれ、現在世界の物理学者が精力的に実験，研究を続けている。
11.10 中性子星の内部は超伝導状態かーガンマ線天文学の誕生
11.10.1 宇宙からのガンマ線バースト
最近 X 線のエネルギーを遥かに越えた ∼ MeV 領域のガンマ線を発する天体の存在が確認された。この天
体の正体は未だ十分には解明されておらず，今後の大きな研究対象のひとつである。
パルサーが規則正しく周期的なパルスを発生てくるのに対して，ガンマ線星は時折激しくガンマ線を発する
が，その後沈黙を守り，再度忘れた頃に爆発的にガンマ線を発する。一週間後のこともあれば、3 ヶ月、半年，
一年後のこともあり，一定していない。
いろいろなモデルが提案されているが，中性子星に関係しているものをあげると，概略次の通りである。
i) 中性子星の内部は巨大な１つの原子核のようになっている。
ii) この領域では中性子は上下のスピンをもていた核子が対を作って，核子の超伝導状態になっていると考
えられる。即ち，核子のクーパーペアが出来ている。
iii) この状態で，重力の締め付けによるエネルギーが蓄積してくると，このペアの崩壊が起こり、超伝導状
態が破れる。この際大量のエネルギーがガンマ線として放出される。これがガンマ線バーストとして観
測される。
iv) これによって蓄積された過剰なエネルギーが解放されるので，超伝導状態が回復して暫くは沈黙が続き，
次の重力エネルギーの蓄積を待つ。ガンマ線バーストの周期が一定していないのは，この周期が一定し
ていないためと考えられている。
ガンマ線に関するデータは未だ少なく，人工衛星によるガンマ線の測定は，近い将来の大きなテーマである。
高エネルギーのガンマ線測定器は重量も大きく，人工衛星による打ち上げのためには多くの測定器技術の開発
が必要である。
11.10.2 ニュートリノ天文学について
このようなガンマ線の発生は比較的星の表面に近い所で発生していると考えられることから，表面の情報は
多いが，中心部の情報を得るには十分ではないと考えられている。星の内部深くで発生しがガンマ線は表面に
達する前に吸収されてしまうからである。これに対して，最近中性微子 (ニュートリノ) による天文学の重要性
が指摘されている。中性微子は物質との相互作用がほとんどなく，物質による吸収がないからである。しかし
これが同時に観測が困難であることを意味している。全ての観測はその粒子と検出器となっている物質との相
互作用，吸収によってなされるものであるからである。現在もこのニュートリノの観測，測定技術は世界的な
課題であり，研究開発が続けられている。
その他にもニュートリノはその観測の困難なことから、現在最も謎の多い素粒子の１つで，おおよその質量
さえも測定に成功していない。大変小さいことだけはあきらかであるが、どの程度小さいは全く分かっていな
い。最近の情報では 1 eV 以下とも云われている。これは電子の 5000 分の 1 に当たる。
宇宙空間の中にニュートリノがどの程度存在するかは，最も基本的な物理量である宇宙の総エネルギー量や
宇宙の誕生時の様子を知る上で，大変重要な問題であるが，残念ながら，現在では全く分かっていない。ニュー
153
154
第 11 章
素粒子宇宙物理学
トリノに関係した物理は将来への大きな課題の１つである。
11.11 核子をも押し潰す巨大な重力ークォーク物質は存在するか
中心部に入ると堅い核子も重力によって圧縮され，核子を構成しているクォーク物質になっていると考えら
れている。
原子核内のエネルギー密度は約 180MeV/fm3 であることは既に述べたが (33 ページ, 式 (5.5) 参照)、重力の
圧力がこれを越えると，これ迄 3 個ずつ核子の中に収まっていたクォークが核子としての性質を失い，クォー
クのガス，ランダム運動しているクォークとその力を媒介する量子，グルーオンの巨大な粒子混合集団になる。
核子の質量エネルギーがクォークの運動エネルギーに変わり，高温，高圧のクォークガスとなる。このような
クォークーグルーオンのガスの運動を記述するためにはカラーの量子力学 (Quantum Choromo Dynamics =
QCD) によらなければならない。これらの強い力を記述する新しい力学は現在も開発中である。
クォークは磁石のように単独の粒子として取り出すことは出来ないので，これを直接観測することは原理的
に出来ないことは既に述べた (詳細は 135 ページ，「10.2.4 素粒子反応とクォーク模型」参照)。しかし多くの
素粒子反応の分析結果から，物理学者はこの存在を信じて疑わず，これがいろいろな素粒子物理や宇宙物理に
おいて果たしている役割を詳細に研究中である。
11.12 加速器実験によるクォーク物質の探索
原子核の衝突でクォーク物質は作れるか？
高速に加速された原子核同士を衝突させ，その衝撃のエネルギーで中性子内部のように，中性子のみからな
る高密度核物質や核子が溶融したクォーク物質を作り出す試みがなされている。
原子核の平均エネルギー密度は約 180 MeV/fm3 程度である，通常の原子核ではこのエネルギーは大部分質
量の形で核内に存在している。これに比べて運動エネルギーは大変小さく，従って温度や圧力も小さい。通常
の原子核は、金属等の原子物理に例えれば，絶対零度に近い状態である。
核子が光速度に近い高エネルギーで衝突すると、核子はその質量の一部を失い多くの中間子を発生する。こ
れらの中間子は核子の質量に比べると大変小さく 140 MeV/c2 , 約 15% 程度で、大変高温，高圧ガスに近い状
態になる。このような現象は中間子の多重発生として詳しく調べられている。これらの中間子の運動は空気分
子の場合同様、マックスウェルーボルツマン分布にしたがい，中間子の気体が発生し蒸発していく過程に類似
である。Enrico Fermi はこの分野の研究でもパイオニヤ的な役割を果たした。
このような原子核が激しく衝突したとき，その衝撃で二つの原子核が重なりあった部分の核子密度とエネル
ギー密度が急激に高まり，中性子星の内部と同様な状態を実現させようとするものである。原子核内のエネル
ギー密度，即ち圧力が核内の平均密度 180 MeV/fm3 を越えると，核子はドドロに溶けて崩壊し，それらの組
成であるクォークやその間の力を媒介しているグルーオン等が互いに入り乱れてランダム運動と生成，消滅を
繰り返し，電荷やカラーを帯びた素粒子のガスのように振る舞うと予想されている。このような状態はクォー
ク · グルーオンープラズマと呼ばれている。現在世界各国で多くの素粒子原子核研究者達がこのような状態の
発見を目指して研究を続けている。残念ながら現在もこの状態の実現には成功していない。これも 20 世紀か
ら引き継がれている大きな課題の１つである。
地上ではこのような状態が実現できたとしても，一瞬のうちに崩壊し，いろいろな核子や素粒子を放出して
冷却していくので，これらの素粒子を詳細に分析してゆくことにより，これらの核物質がどのようにして創り
出され，どのような性質を持ち，そしてどのように崩壊し，どのようなエネルギー環境でどのような素粒子が
11.12 加速器実験によるクォーク物質の探索
図 11.11 ウラニウム 238
92 U146 のように中性子を多く含んだ 2 個の原子核が超高速で正面衝突し、互いに重
なりあった部分は超高密度核物質となる。超高エネルギーの重力ポテンシャルによって圧縮されて出来た
中性子星の内部と同じ状態が実現できるか？
創りだされ，どのような寿命で消滅していくか等など、多くの情報を得ることができる。
このようにして宇宙が生成された直後，未だ元素の元となる陽子や中性子が存在する以前から，今日我々の
知る多くの素粒子，元素が創りだされる迄の歴史を詳しく調べることができると期待されている。
宇宙の遥か彼方に存在している不思議な星，中性子星の歴史や振る舞い，又その内部構造のみならず，宇宙
創成の謎や物質の根源，それらの発生の秘密の詳細を解明することが出来ると期待されている。
このような研究は，実験の規模も，予算の規模も大変大きくて，１カ国のみでは難しい状態になっている。
最近，ヨーロッパでは世界の共同利用研究のために，大きな加速器を持つ，世界規模の研究施設が建設中であ
る。この加速器によって，加速された原子核の衝突エネルギーは約 10 TeV*9 であり，これは核子の持つ質量エ
ネルギーの 1000 個分にも相当する運動エネルギーである。このシンクロトロンと呼ばれる加速器の直径は約
27 km で、電車のように多数の電磁石が円形に並べられている。その磁極の間には真空のパイプが設置され，
核子はこのパイプの中で光速度近く迄加速される仕組みになっている。真空にする理由加速中の核子が空気の
原子核と衝突してしまうことを避けるためである。
我が国でも，旧東大原子核研究所、高エネルギー物理学研究所，宇宙線研究所，理化学研究所，等の研究者
達を中心に、新しい研究組織の再編も含めて，世界核国との協力のもとこれらの研究を推進する努力が続けら
れている。これらの研究所で新たな挑戦に携わるのは現在の若者，このレポートの読者達である。
*9
TeV = 1012 eV, 1TeV = 1000GeV,1GeV = 1000MeV, 1MeV = 106 MeV. 核子の質量エネルギーは 940MeV, 即ち約 1GeV
である。
155
156
第 11 章
素粒子宇宙物理学
図 11.12 超高速の原子核同士が衝突により、衝突部分がその衝撃で圧着され、火の玉のような高密度の核
物質となって飛び出してくる。この火の玉は重力によって圧縮された中性子星の内部と同様な状態が実現
されると予想される。ここから発生してくる核種の新粒子やその振る舞いを分析することにより、宇宙創成
期の詳細を知ることができると考えられている。
157
付録 A
不確定性原理について
既にゼロ点振動の所でも述べたが、位置と運動量、エネルギーと時間の間にはゼロ点近傍で原理的な揺らぎ
があり、これら二つの物理量を同時に正確に決定することは原理的に不可能であることがドイツの物理学者ハ
イゼンベルク ( Werner Heisenberg ) によって指摘された。これはハイゼンベルクの不確定性原理として量
子物理学の最も基本的な原理の一つである。ハイゼンベルクはこれに基づいた量子力学の建設の業績により、
1932 年ノーベル物理学賞が授与された。自然界に於けるその揺らぎの最低量はプランクの定数
~ = 6.582122020 × 10−22 [MeV · sec]
(A.1)
である。このような不確定関係にある物理量は時間 ∆t とエネルギー ∆E の関係と位置 ∆x と運動量 ∆p の
関係の二種類である。これらを式で表すと次の如くかける:
∆ · ∆E = ~
(A.2)
∆x · ∆p = ~
(A.3)
∆x 等はそれらの量の僅かな揺らぎの量を示す。
159
付録 B
時空座標系の回転について
B.1 複素座標と座標の回転
複素平面における座標回転については、極座標形式を用いると分かりやすいので、簡単にその要点をまとめ
ておく事にする。
虚数軸を y 、実数軸を x にとり、半径 z の円を考える。この円周上の点 P(z) の座標 z は
z = x + iy
(B.1)
で表される。これを極座標で表すと、その x, y 成分はそれぞれ
x = |z| cos θ
y = |z| sin θ
(B.2)
(B.3)
で表される。|z| は複素数 z の絶対値 (実数) で、円の半径にあたる。x − y 座標で書くと、次の通りである。
z = x + iy,
z ∗ = x − iy,
zz∗ = (x + iy)(x − iy) = x2 + y 2
通常 |z| =
√
zz ∗ =
√
(B.4)
x2 + y 2 で与えられる。z ∗ は複素数 z の複素共役数を表す。
図 B.1 複素極座標表示。左図：x − y 座標表示と極座標表示間の関係。右図：複素平面上で回転する点
Pi (z)。θ = θ1 + θ2 。
一方、オイラーの公式 (Euler’s formula) としてよく知られている、指数関数と三角関数との関係式：
eiθ = cos θ + i sin θ
(B.5)
160
付録 B
時空座標系の回転について
を考慮すると、z = |z|eiθ の関係になっている事が分かる。
z = |z|eiθ = |z|(cos θ + i sin θ) = x + iy
(B.6)
である。この式は x 軸上の点 P0 (z) を原点を中心に θ だけ回転した点 P1 (z) の位置を表している、(図 B.1-右
図も参照)。即ち、eiθ をかける事は、|z| を θ だけ座標回転する事を意味するのである。eiθ をかけるたびにそ
の座標系は θ だけ回転してゆくことになる。通常の x − y 座標の回転表示に比べると直感的で分かりやすい事
が分かるであろう。
例として、x 軸から θ1 だけ傾いた座標系 P1 (z) : z1 = x1 +iy1 において、θ2 回転した点 P2 (z) : z2 = x2 +iy2
の x, y 座標はもとの座標系 (z = x+iy) から見たときにどのように表されるかを考えてみる。即ち、θ = θ1 +θ2
であるから、座標の回転は eiθ = ei(θ1 +θ2 ) の関係にある。eθ の実数、虚数、各成分はそれぞれ
x = cos θ = cos(θ1 + θ2 ) = cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 = x1 cos θ2 − y1 sin θ2
y = sin θ = sin(θ1 + θ2 ) = cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2 = x1 sin θ2 + y1 cos θ2
(B.7)
→
→
となり、二次元ベクトル −
r (x, y), −
r (x1 , y1 ) を表すマトリックスの形で書くと、
[ ] [
x
cos θ2
=
y
sin θ2
− sin θ2
cos θ2
][ ]
x1
y1
(B.8)
→
→
となり、ベクトル −
r は−
r1 を θ2 回転するときのマトリックスと同じである事がわかる (図 B.1-右図参照)。複
素座標表現の z = z1 eiθ2 に対応する部分である。
更に、(x1 , y1 ) 座標は (x0 , y0 ) 座標を θ1 だけ回転したものであるから、再度代入すると、
[ ] [
][
][ ]
x
cos θ2 − sin θ2 cos θ1 − sin θ1 x0
=
y
sin θ2
cos θ2
sin θ1
cos θ1
y0
[
][ ]
cos θ2 cos θ1 − sin θ2 sin θ1
cos θ2 sin θ1 − sin θ2 cos θ1
x0
=
sin θ2 cos θ1 + cos θ2 sin θ1 − sin θ2 sin θ1 + cos θ2 cos θ1 y0
[
][ ]
cos(θ1 + θ2 ) − sin(θ1 + θ2 ) x0
=
sin(θ1 + θ2 ) cos(θ1 + θ2 )
y0
(B.9)
極座標表示では
|z|eiθ = |z|ei(θ1 +θ2 ) = |z|eiθ1 eiθ2 = |z|(cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 )
= |z| [(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 ) + i(sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2 )]
= |z| [ cos(θ1 + θ2 ) + i(sin θ1 + θ2 ) ]
= x + iy
(B.10)
の関係にある。
B.2 双曲線関数について
「B.1 複素座標と座標の回転」
、ページ 159 に示されているオイラーの関係式 (B.5) から、三角関数 sin θ, cos θ
を指数関数 eiθ , e−iθ で表すと、
eiθ − e−iθ
,
2i
eiθ + e−iθ
cos θ =
2
sin θ =
のごとくかける。
(B.11)
B.2 双曲線関数について
161
ここで、指数関数が実数の場合、三角関数はどのようになるのであろうか。これを検討するために式 (B.11)
において、θ を iθ で置き換えてみると (θ ⇒ iθ ：θ は実数)：
ei(iθ) − e−i(iθ)
eθ − e−θ
=i
= i sinh θ
2i
2
ei(iθ) + e−i(iθ)
eθ + e−θ
cos(iθ) =
=
= cosh θ.
2
2
sin(iθ) =
(B.12)
ここで、sinh θ, cosh θ は双曲線関数 (Hyperbolic functiion) と呼ばれているものである。この場合、θ は
−∞ ∼ ∞ の実数である。三角関数*1 と双曲線関数の関係をまとめると、次のとおりである：
sin(iθ) = i sinh(θ)
cos(iθ) = cos(θ)
(B.13)
tan(iθ) = i tanh(θ)
三角関数の加算の公式に対応する双曲線関数の加算の公式をまとめると、次の通りである。
sinh2 θ − cosh2 θ = −1
(B.14)
sin(θ1 + θ2 ) = sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2
sinh θ1 + θ2 ) = cosh θ1 sinh θ2 + sinh θ1 cosh θ2
(B.15)
cos(θ1 + θ2 ) = cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2
cosh(θ1 + θ2 ) = cosh θ1 cosh θ2 + sin θ1 sinh θ2
(B.16)
sin2 θ + cos2 θ = 1
tan(θ1 + θ2 ) =
tan θ1 + tan θ2
1 − tan θ1 tan θ2
tanh(θ1 + θ2 ) =
tanh θ1 + tanh θ2
1 + tanh θ1 tanh θ2
(B.17)
これらの関係式を考慮して、式 (9.28) を双曲線関数を用いて表すと：
β
sinh θ = √
= βγ
1 − β2
1
cosh θ = √
=γ
1 − β2
tanh θ = β
(B.18)
となる。例えば、 「9.2. 時空座標の表現について」、103-ページの式 (9.7)、における event 間の距離が不変の
関係式：
ds2 = dτ 2 − dx2 ≡ cnst.,
は
(
cosh θ − sinh θ =
2
2
1
√
1 − β2
cosh2 θ − sinh2 θ = 1
)2
(
−
√
β
1 − β2
(B.19)
)2
=1
(B.20)
である。
これらの関係から、相対論の座標変換、速度の合成など、には極座標表示を用いると大変見通しも良く、取
り扱いが容易になる事がわかる。
素粒子実験等のデータ解析においては、全ての粒子が光速度に近く、観測者の系で得られる速度 β の測定値
全て 1 に近く、殆ど同じ値になってしい、グラフ表示には大変不便である。このため速度の代わりに θ を使用
する事も多い。相対論力学では θ に対応する量は Rapidity と呼ばれ、η の記号で表される事が多い)。即ち、
η = ArcTanhβ である。このようなグラフ表示は rapidity-plot 等と呼ばれている (η は 0 ∼ ∞、β は 0 ∼ 1)。
*1
Hyperbolc function に対応する呼び方をするなら、三角関数は Circular function である。
163
付録 C
π 中間子の寿命の計算
静止している π 中間子の寿命は約 26 [ nsec ] である ( 正確には 26.030 nsec , nsec は 10−9 sec)。運動エ
ネルギー T = 100 MeV で走っている π 中間子の寿命 τ を計算してみる。π 中間子の質量エネルギー mc2 は
140 MeV ( 正確には 139.56995 MeV ) であるから、全エネルギー E は
E = T + mc2 = 100 + 140 = 240 [MeV]
(C.1)
である。
他方、全エネルギー E を運動量 p を用いて表すと
E 2 = (pc)2 + (mc2 )2 ,
(C.2)
又はエネルギー E [MeV]、運動量 p[MeV/c]、質量 m[MeV/c2 ] を全て光速度の単位で書くことにすると式 (
57.5 ) は簡単に
E 2 = p 2 + m2
(C.3)
の如く書くことが出来る。式 ( 57.6 ) からこの p 中間子の運動量 p を計算すると、
√
√
√
E 2 − p2 = (T + m)2 = T (T + 2m)
√
= ( 100 × (100 + 2 × 140) = 195[MeV/c]
p=
(C.4)
(C.5)
となる。速度は運動量と全エネルギーとの比であるから (103 ページ「第 IX 章 特殊相対論」の式 ( 50.4 ) 参
照)、このときのπ中間子の速度 v は、光速度を単位として表すと
β≡
p
v
=
=
c
E
√
T (T + 2m)
195
=
= 0.81
T +m
240
(C.6)
となり、運動エネルギー 100 MeV で走る中間子の速度は光速度の 81% であることが分る。このように超高
速度で走る物体では、静止している系との時間の流れが目に見えて異なり、π 中間子の寿命も我々の実験室系
から測定すると、大変長く見えるのである。時間の進みが大変ゆっくりなのである。この時間の流れの違いを
計算してみると、静止しているπ中間子の寿命 は、我々の実験室で測定すると
τ0
τ0
= 1.7τ0
=√
τ=√
2
1 − (0.81)2
1−β
= 1.7 × 26 = 44[nsec]
(C.7)
(C.8)
となって観測される。即ち 1.7 倍 時間の流れが遅いように見える。この効果もあって、素粒子反応によって
生成される π 中間子はエネルギーが高くなるに従って速度が上昇すると同時に、急速に寿命が延びて消滅する
164
付録 C
π 中間子の寿命の計算
までの走行距離が長くなり、発生源から遠く離れた位置でも観測が容易になってくる。更にエネルギーが高く
なるとその速度は光速度に近づき、殆ど変化がなくなるが、時間の方はどんどん長くなって行く。このように
超高速に加速された中間子は我々が実験室で見る限り安定な粒子と変わらないほど長時間生き続けることが出
来るのである。この事を利用して素粒子の性質に関する種々な精密実験がなされている。
原子核反応によって発生した π 中間子の運動エネルギーが 100 MeV であったとするとき、この中間子がそ
の寿命 44 [ nsec ] を終えて消滅するまでの間に走行し得る距離 L を概算してみると
L = vτ = βcτ
(C.9)
−9
= 0.81 × 3 × 10 [m/sec] × 44 × 10
8
[sec] = 11[m]
(C.10)
となる。
比較のために、10 MeV の中間子の場合について同様の計算をしてみると、式 ( 57.8 ) に於て T = 10 MeV
を代入して β = 0.36 となり、これを式 ( 57.9 ) 及び式 ( 57.10 ) に代入してして、時間ののびと走行距離 L
を計算すると L = 3 m であることが分る。低エネルギー中間子の精密測定が難しいと云われる理由の一つで
ある ( 物質中に於けるエネルギー損失など他にもたくさん理由はあるが... ) 。
中間子の測定装置のサイズを考えると、これらを全て 3 m の範囲内に配備するのはかなり窮屈な方である。
特に精密測定のために電磁石などを使用するのは配置上容易ではない。尚、運動エネルギー 100 MeV 程度の
π 中間子は、わが国の加速器実験では比較的低エネルギーに属するもので、大変日常的なエネルギーである。
陽子の衝突によって発生し得る π 中間子の最低運動エネルギーは約 10 MeV である。