講義では、 中心力ポテンシャルU(r)の下での質点(質m)の(ぉ,〝)平面上

1/1ペ ージ
IⅡ 。(中 心力問題)
講義では、中心カポテ ンシャル び(r)の 下での質点 (質 量 η)の
(“
,7)平 面上の運動 を極座
標 o,7)=(r OOs,,rdnψ )を 用いて考察した。要点をまとめると以下の通りであった
:
角運動量の ″成分 (保 存量)を
Mで 表す と
M=協 r2ψ
であり、rの 運動方程式は
鶴r=―
3ミ(F)
券
で与えられる。 ここに有効ポテンシャル ydF(r)は 次式で定義される
(A)
:
十
陽0=颯 →
撃
窮
今、び(r)=arnの 場合 を考 える。 ここに、αとれは定数 で ある。以下 の設間に答えよ。
(1)中 心カポテ ンシャル 颯 r)が 引力であるためには、定数 αと れは どのような条件 を
満さねばな らな いか?
以下の設間では (1)の 条件が満 されて い る場合を考える。
(2)π =2、 π=-1お よび
"舞
-4の 場合の 晩ぼr)を 図示せよ。
(3)原 点 (r=o)に 落ち込 まな い有界な軌道が存在するためには ■はどのような範囲に
なけれ￨ばな らな いか?理 由を付 して答えよ。
以下では πは間 (3)で 与えた範囲にあるとする。
(4),(t)=宅 =一 定 の円軌道 の半径 raを 求めよ。なお、 この円軌道 の角運動量を M
とする。更に、質点が この円軌道 を一周するのに要する時間 (同 期)Tcを rc、 だ、
燒 を用 いて表せ。
(5)前 問 (4)の 円軌道か ら微小にずれた軌道を考えよう。り )を 微小 として r(1)を
(ι
r(1)=ra十
り (1)
(B)
と表す。r(ι )の 運動方程式 (A)に c)を 代入 し、微小なりについて 隻縣Or展 開を行つ
て一次 の項 のみを残 したり(3)の (線 形化 した)運 動方程式を書き下せ。なお、運動
方程式の係数 は rc、 M、 れ を用 いて表せ。
(6)前 間 (5)で 得た り )の
(ι
(線 形化)運 動方程式 の解 は振動 を表す。この振動 の同期
為
と (4)で 求めた円軌道 の同期 場 との関係 を導晩
(7)上 で考えた、円軌道に微小な振動が加わった軌道は、定数 ■がどのような条件を満
す場合に開 じるか?ま た、 この条件 を満す ■の例 を三つ与えよ。
http:〃 image.blog.1市
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2009/07/16