Page 1 強磁性体におけるスピン波不純物準位 (昭和47年9月26日 受理

論
文
強磁性体におけるスピン波不純物準位
堀 悦男＊＊
川部 健＊
（昭和47年9月26日受理）
Spin Wave lmpurity Levels in a Ferromagnet
Takeshi KAwABE and Etsuo HoRI
（Received September 26， 1972）
Localized spin waves due to a single substitutional ferromagnetic or antiferromagnetic impurity atom in a
ferromagnet are studied by the two−time Green function method． The localized spin wave modes emerge above
the spin wave band and do also below it for the antiferromanetic impurity． Their energy levels are expressed as a
function of J7J and 〈S’2＞ ／ 〈S2＞ through ari extended Watson integral， where the primes refer to the impurity
atom． The temperature−effects of the loca1ized levels are also discussed．
1 緒
2グリーン関数と不純物準位
書
不純物を含む系を考える前に純粋な強磁性体の系のグリ
純粋な結晶の中に1個の不純物原子が含まれている系の
投ﾖ数を求めておく。純粋な強磁性体のスピン系のハミ
格子振動には，連続なエネルギースペクトルの他に，不連
ーー
続なエネルギースペクトルが現われる。不純物原子のまわ
ルトニアンを次のように与える。
りの局所状態を摂勤として，これを最初に理論的に明らか
π・＝一碧ノiisi ・si・ （1）
にしたのはLifshitz 1）である。その後これに類似した問題
として，不純物が金属中の伝導電子のエネルギースペクト
（1）においてSi， Sゴはそれぞれゴ番目，ブ番目の格子点に
ある原子のスピンオペレーーター，ノゴ’はそれらの間に作用
ルに与える影響や2），磁性体におけるンピン波不純物状態
するスピン間の交換結合の大きさである。
の問題が明らかにされるようになった。後者については
2時間グリーーン関数の定義を
Wolfram， Calloway3）や， Takeno4）が強磁性体の中にまわ
GOIm（t−tノ）…≡≡〈Sl＋（の；Sm一（ガ）〉 （2）
りの原子スピンと強磁性的に結合する不純物原子を含む系
のスピン波不純物状態を調べている。さらに同様な母体の
中に反強磁性的に結合する不純物原子を含む系については
Ishii等5）によって調べられ，；著者くKawabe）もこの場合
で与え，Tyablikov decoupling＜S〆Sノ＋；Sガ》→〈5〆＞
x〈Sゴ＋；Sm一〉を用いて，時間からエネルギーωにフーリ
エ変換されたグリーン関数を求めると
隙課爵・｝ r）
の詳細な数値解析を行なっている6）。
ここでは強磁性体の中に1個の不純物原子（母体と強磁
性的に結合する場合と，母体と反強磁性的に結合する場合
で与えられる。（3）式においてkについての和は第1ブリ
を含む）を含む系のスピン波不純物状態を，2時間グリー
ン関数の方法を用いて統一的に記述し，従来の絶対零度で
の議論を有限温度まで拡張できることを示す。なお強磁性
不純物によるs型局在波についてはHone等が有限温度に
おける研究を行なっている7）。
＊非常勤講師（岡山大学理学部）
＊＊本校一般物理
ルアン領域についてとられる。また，ノ。，κ＝1（0）一ノ（k），
ただし
」（k）一＝Jodeikd． ． （4）
A
・itについての和は最近接格子点に関する和である。
次に原点0にスピンSノをもつ不純物原子が含まれている
系について考える。この系のハミルトニアンは
一 261 一
津山高専紀要 第3巻 第3号（1973）
1
GOImは既に（3）式に求められた純粋な系のグリーン関数で
ε
ε
δ
β
β
ε
ε
一1
ε
ε
ε
ε
㎝
βδ
β
∫ノ
ε
ε
δ
一
βεε
β
1
ε
βεε［δεε
Gl．rGOI．十Z GaliVil・ Gi．． （6）
β
Dyson方程式に従うことが知られている。
1
いることを示す。弱い摂動がある時のグリーン関数は次の
1
と書ける。ノ’。i＞0は不純物原子が母体の原子と強磁性的
に結合していることを，ノ’oi＜0は反強磁性的に結合して
βδ εεεε
DEi1 1
i i
β
β
一δεεεε
1
㍊γγ・γγγ
7次元行列式が0でなければならない。
X＝X，一2Σノ’o’Sち・Si十2Σ1，iS』’Si， （5）
（9）
ただし
ある。以後の記述を簡単にするために，GO， Gを＜sz＞／π
a＝12cr（／’一」）（GOooo−GOiee），
で割り，Vに＜S2＞／πを掛けて，それらを改めてGe・G． V
β綴2（atノ’一σノ）（GOOOO−GO100），
7一・2・（■一・）｛壱（・…＋・・2・・＋・G・・1・）
と定義する。交換相互作用は最近接格子点の問にのみ働く
（10）
と仮定し，ハミルトニアン（5）式をもとに不純物を含む系
一GOIoo｝ ，
のグリーン関数を求め，（6）式と比較すればγの行列要素
6＝：： 2 （a7’一aJ） （GOIoomGO200） ，
を得ることができる。結果は次のようになる。
e＝ 2 （a7’一aJ） （GOIoo−GOne） ，
篠射レ⑦
を用いた。（9）式は計算は少し面倒であるが，次の形に因
数分解される。
D一 ｛（1−a） （1一一B＋6＋ 48） 一6B7｝ （1−B−8）3
×（1一一B＋6−28）2． （11）
ただし，＜SiZ＞＝〈sz＞＝σσ≒0），〈Soε〉＝♂とおいた。
33種類の局在スピン波
また，JOA＝∫，．1’OA＝ノt． 2は最近接格子点の数である。（7）
に示された以外のVの行列要素は0になる。不純物原子が
原点および6個のそのまわりの格子点におけるグリーン
強磁性的なときはJ’，σ’＞0であり，反強磁性的なときは
関数が解をもつ条件として，D＝0でなければならないこ
■，dぐ0であることを注意しておく。ここで結晶構造と
とを前の節で示したが，（11）式の右辺から次のような3種
して単純立方格子を仮定し，（7）を用いて（6）式を具体的に
類の異なった形の解が得られることがわかる。
表わすと，
（1一α）（1一β＋δ＋4ε）一6βγ＝0， （12a）
・・。一G・・m＋・2・（アー川…脚一壱（・・1，・・＋σ・1一・・
1−3−S＝＝ O， （12b）
1−B＋S−2e＝O． （12c）
＋GOI ．OIO＋GOi ．e−iO＋GOI，OO1＋GOI，OO−1）｝Go，m
−2（σ7Lσ川（GoムOoo−Goム100）GIOo，m＋（Gol，ooo
この節ではこれらの解がもつ物理的な意味について調べる
−GOt ，一ioo） G−ioo，m 一1’ （GOi ， ooo−GOi ．oio） Goio，m
が，その前にGOImnについて成り立つ関係式およびexte−
＋（GOi，ooo“GOI，一io）Go−io，m＋（GOi，ooe−GOi，ooi）
nded Watson integral Ilmn（pa）との関係を求めておく。
Gooi，m十（GOi，oee−GOi，oo−i）Goon’；m｝． （8）
結晶の対称性を考慮すれば，（3）式より次の恒等式
ここでGOI，IOOにおける100等は格子間隔を単位にとってそ
GOioo ＝iitliii． ＋（1 ’iltii｝ir．GOeoo， （13）
の位置の指数を示した。
GOioo 一’ilfi （GOooo ＋ GO200 ＋ 4GOiio） ＝＝ iit｝．GOioo ， （14）
GOImをその指数によってGOIx−nx ， ly 一一my ， le−Maと表
わせば結晶の対称性から
が成り立つことは容易に示すことができる。一方，単純立
Genoo ＝ GO−noo＝GOono＝ ・・’”’ ＝：GOoo−n，
方格子におけるextended Watson integral Ilmn（μ）は次の
GOnn’o ＝ GOn−n’e ＝＝ GOnon’ ＝＝ ’ ” ”’ ＝ GOn’o−n ，
ように定義される。
等の関係が成り立つことは容易に示すことができる。また
スピシ波不純物状態を仮定すれば，そのエネルギーωをも
あ
Ilmn（・）噛∫∫∫
coslx cosmy cosnx
。吉一9（…x＋・…＋・…）
つGO（ω）はC（ω）に比べて無視できる。これらのことに注
意して（8）式をGOO。Jm， Gioo，m， G−loo，me Goio，m， Go−iO，m，
O＄ pa ：1｛ 1 ．
dxdyd2，
（15）
GOOi，m， Geo−i，mについて解く。この目的のために（8）式
で1について原点及び6個のその最近接格子点に対応する
この積分の数値計算および解析的性質はすでに詳しく調べ
7個の方程式を書けばこれから解が得られる。上記のグリ
られている8）一一10）。この積分とグリーン関数GOImnの関係
ーン関数が0でない意味のある解をもつ条件として，次の
を求めれば次のようになる。
一 as2 一
強磁性体におけるスピン波不純物準位
臨1｝1匙ω’｝（・6）
この式からp型局在波のエネルギースペクトルを♂／σ，
ノ’／ノの関数として求めることができる。
（iii） d型局在波
μ＝1はスピン波エネルギーバンドの上限に対応し，μが
最後に，（12c）式が成り立つ時，
小さくなるに従ってωは大きくなり，μ＝0はω→D。に対
Gooo＝e， Gioo ＝＝G−ieo， Goie＝＝Go−io， Geoi＝Goo−i，
応する。
Gieo十Goio十Gooi＝＝O （24）
（i）s型局在波
まず，（12a）式だけが満たされる場合について，もとの
が解として得られるが，これは
7個のグリーン関数の方程式を解くと，
Gooo＝＝：O，Gioo” G−ioo＝一Goio ＝一Go−ie，Gooi ＝Goo−i （25）
Gioo＝＝G−ioo＝＝Goio＝＝Go−io＝Gooi＝Goo−i， （17）
が得られる。この平なスピン波励起はs型局在波と呼ばれ
および（25）と同様な解の重ね合わせとして求められる。
る。（12a）をもとの記号で書き改めれば，
（25）はd型局在波と呼ばれ，2重に縮退している。（12c）式
1＋（ξη一1）ωGoi⑪o＋12σノ（1一η）（Goooo−Goloo）＝O，（18）
ただし，ξ＝σノ／σ，η＝ノγノとおき，恒等式（14）を用い
は
1 一e（gn−1）（leoo（lt）＋1200（pa）一21no（p））＝o （26）
た。さらに，（13），（16）式を用いれば，
と書き改められ，この式からd型局在波のエネルギースペ
…（・）一、一1銘導錦上1呈1男〉。， （・9）
クトルを求めることができる。
が得られる。この関係式からs型局在波のエネルギ・一一・t・は
反強磁性不純物を含む系では（i）で調べたようにスピン
μを通してσt／σ，∫’／ノの関数として求めることができる。
波バンドの下にs型局在波が現われるが，（23），（26）式か
ここで注目すべきことは，反強磁性的な不純物を含む場合
らこの領域にp型，d型局在波が現われることはない。μ
にはω〈0の短域（物理的にはω＞0はスピンの回転が
∼1における近似式11）
ω♪0の場合に比べて一向きになっており，エネルギーと
3ゾ5
11mn （sh） ＝＝ llmn（1） 一
Vfi． 十〇（1−pa） （27）
ゾ2π
してはその絶対値をとると理解すればよい）にもs型局在
波が現われるということである。ω≦0のときはμ≦一1
を用いれば，スピン波バンドのすぐ上ではs型，s1型， p
であり，（15）式からIooo（一μ）＝一1000（μ）の関係があるの
型，d型局在波のエネルギーは
憂＝：＝：；二；：；： ｝（28）
で（（15）式は形式的には0≦1μ1≦1で定義できる），（19）
式でμを一μとおくことにより，
1・・（・）一、一ll三1砦奪赤1警；）。、 （・・）
で表わされる。ただし，E篇ω／12」σ（従ってE・＝2はスピ
ン波バンドの上限）であり，η。，ξaはそれぞれの局在波が
が得られる。この場合にξ，η〈0であることに注意してお
バンドの上端に現われる時のノ’／ノおよびσ’／σの値である。
こう。（20）式に従ってωぐ0の領域に現われる局在スピン
また，スピン波バンドのすぐ下では，sO型局在波のエネル
波を特にsO局在波と呼び，スピン波バンドの上に現われ
ギーはξに無関係に
る局在スピン波をs1局在波として，これと区別する。
E＝in
（ii）．P型局在波
で表わされる。（19），）（20），（23），（26）式から数値解析に
つぎに，（12b）式が成り立つ場合に．は，7個の方程式か
より得られた結果をFig．1∼Fig．4に示しておく。．
ら解として，
E
Gooo＝O，Gioo＝一G−ieo，Goio＝一Go−io，Gooi＝＝一Coo−i （21）
4
ξニユ ∼二1
彗＃7 ξ・5
が得られる。これは，
S：O．2
Geoo ＝＝ O， Gioo ＝＝ HG−ioo，Goio ＝＝ Go−io＝Gooi ＝＝ Goo−i＝O （22）
3
および同様な2種類のスピン波励起の重ね合わせで作られ，
P型局在波と呼ばれる。この状態は3重に縮退している。
（12b）式を書き改めると，
2
0 ！ 2 3 を る
i 一一il一 （gn−i） （iooo （pa） 一i200 （ib））一 o． （23）
Fig．1 Reduced energies of spin wave i皿purity levels
for s一 like mode （ferromagnetic impurity）．
一 263 一
津山高専紀要．第3巻第3号（1973）
6E
最後に，これらの局在波がスピン波バンドの上または下
に現われる境界条件を求めておく。（19）式より，強磁性不
g一一一一7
4
純物を含む系のs型局在波および反強磁性不純物を含む系
葦＝一5
のs1型局在波に対してそれぞれ
2
SP1鯉 WハレE BAハ∫D
2 牟 6 8・ ’σ一塁
o
3，937
rp｝一ll− ≠撃煤Gg6gTl 968，
（g， op＞o）
（30亜目
・≦，鷺8，
（g， n〈o）
（30b）
g＝一7
が得られる。sO型局在波は回が十分大きい領域を除
一2
｝＝一5
いてスピン波バンドの上限付近で常に存在する。p型局在
波，d型局在波の場合には，（23），（26）式より不純物の種
ξ畠『1
一4
e＝一〇2
類の如何にかかわらず，その境界条件がそれぞれ次式で与
えられる。
一6
Fig．2 Reduced energies of spin wave impurity levels
for sl一 and sO一1ike modes （antiferromagnetic
impurity），． The former appears above the spin
wave band and the latter below it． Absolute
values of E should be taken for the energies．
g q ；；1 5，765，
（31）
gnk6．398．
（32）
Fig・5は上の結果を示したものであり，各々の曲線の上
側がそれらの局在波が存在する領域である。
ー
マ
ー
E’
6
‘
5
1引昌7
邸言5
S1
4
p
p
3
d
p
d
3
d
1gl＝2
2
iP
2
Q5 1
d
3
2
s
4叩
1
Fig．3 Reduced energies of spin wave impurity levels
for p−and d−like modes． They are the same for
both cases of a ferromagnetic and an antiferro−
OM． e6 3 g s 6 11
Fig．5 Boundary curves for s一， p一， d一 and sl−like
rnagnetic impurities．
modes appearing outside of the spin wave band．
Each localized mode appears above its bounda−
ry curve．
4
lgl 一3
z
4 有限温度における振舞
E
．E
σ，σ’は絶対零度ではそれぞれS，S’という値をもつ
P
d
‘
3
so
s
が，温度の上昇とともに減少していく関数である，Jtが小
さいとき不純物の磁化あるいはσ’が分子場近似で実験結果
（FeMn：Mn 1．5％含有）を非常によく説明できることを
Jaccarino等が報告している12）。そこで前節までのスピン
st
狽煤@3 − 51nf 60
Fig．4 Reduced energies of spin wave impurity levels
fdr all modes appearing for a ferromagnetic and
an antiferromagnetic ・impurities．
波不純物準位をσt／σを通して温度の関数として調べてみ
る。
σはグリーン関数（3）について不ベクトル定理を用いれ
ば，T5／2の項までスピン波近似と一致する結果が次のよう
一 as4 ，一
強磁性体におけるスピン波不純物準位
に得られる。
References
1） 1．M．Lifshitz； JETP， 17（1947）1076； 18（1948）293．
a＝s一 g（g） t3／2一一gZ’f g （g） ts／2．
（33）
ただし，t＝kBT／8πS1。また，♂については分子場近似に
2）G．F．Koster and工C．Slater；Phys． Rev．96（1954）1208．
3） T．Wolfram and J．Calloway； Phys． Rev． 130（1963）22
07．
より，
4） S．Takeno； Prog． Theor． Phys． 30（1963）731．
5 ） H．Ishii， J．kanamori and T．Nakamura； Prog． Theor．
σ’＝S’Bsノ（12ノノσSノ／kBT）
（34）
で与えられる。Bs’はBrillouin関数である。（33），（34）式
Phys． 33（1965）795．
6）萬成勲，川部健；日本物理学会第20回年会（1965）予稿
集第2分冊，P．297．
よりσ’／σが温度の関数として求められ，従ってこれらを
3節で得られた結果に用いれば，s型， P型， d型スピン
7） D．Hone， H．Callen and L．R．Walker； Phys． Rev． 144（19
66）283．
8） 1．Mannari and C．Kawabata； Res． Notes Dept． Phys．，
局在波エネルギーが温度の関数として計算できる。
Okayama Univ． No．15（1964） ．
5 結
9） 1．Mannari and H．Kageyama； Prog． Theor． Phys． Su−
言
ppl． Extra Number（i968）269．
ここで取り扱った系のスピン波不純物準位は既に研究さ
10） T．Kawabe and 1．Mannari； Rep． Res． Lab． for SURF−
れている3）∼5）が，ここでは不純物が強磁性原子，反強磁性
ACE SC．；・IEN一 CE， Okayama Univ． 3（1970）221．
原子の場合を統一的に，しかもスピンオペレーターのまま
11） 1．Mannari and T．Kawabe； Rep． Res． Lab． for SURFA一一
CE SCIENCE， Okayama Univ． 3（1971）257．
取り扱った。さらにスピン局在波についてグリーン関数に
12） V．Jaccarino， L．RWalker and G．k．Wertheim，； Phys．
最初からs型，p型， d型局在波としての条件を与えるこ
Rev． Letts． 13（1964）752．
とをせず，忠実にグリーン関数に関する7次元行列式を解
き，その解からこれらの局在波を導いた。結果は既に得ら
れているものと変わらないが，その数値解析は，詳細に調
べられているextended Watson integralを用いているので
正確である。また，スピン波バンドのすぐ上における局在
波エネルギーのE−2・・c（η一ηo）2，E−2・〉⊂（ξ一ξO）2等の依
存性は，この積分の解析的性質から導かれる。スピン波バ
ンドのすぐ下におけるsO型局在波のエネルギーがξに関係
せずE29ηであることは，ηすなわちノγノが十分小さく
ても常に局在波が現われるということであり，注目すべき
ことである。局在波の温度依存性についてその定式化を行
なうにとどまったが，数値計算による結果は今後の論文と
して発表したい。
一 265 一