7．二次方程式の利用 ② 図形関連の問題ほか

公立高校入試 過去問 数学 ２.方程式 ３.二次方程式（３年）
学習塾･家庭教師の先生方へ
よく受ける質問内容をもとに、この教材の効果的な使い方をお伝えいたします。
特に中学３年生を対象にした受験対策として使われる場合の学習塾からの問い合わせが多くあります。
中学１･２年生の学年では、１年間で数学の教科書１冊を終えればよいのですが、３年生の場合はそういうわ
けにはいきません。３年生の１年間で、３年生の教科書１冊と受験対策（１年～３年）を塾の講座で実施しな
ければなりません。
学習塾におきましては、３年生の年間カリキュラムを以下のＡ．Ｂのように、大きく２つに分類できました。
Ａ．３年生の教科書内容の日々の学習指導と並行して受験対策をされている学習塾
Ｂ．３年生の教科書を前倒し（１１～１２月位）で終えて、それ以降受験対策をされる学習塾
Ａ．３年の教科書と並行して受験対策を実施されている場合
① ３年生の教科書のある単元が終了した後にその単元から出題されている公立高校入試の過去問を
生徒に解かせて高校入試の学力レベルまで引き上げる使い方。
② ①と並行して１年生で学習した内容の各単元の重要事項を説明した上で、その単元から出題されて
いる公立高校入試の過去問を生徒に解かせて高校入試の学力レベルまで引き上げる使い方。
Ｂ．３年生の教科書を前倒し（１１～１２月位）で終えて、それ以降受験対策をされる
① 前倒しで３年生の教科書を終え、その後に受験対策として受験する都道府県の出題傾向に沿った単
元の過去問及びその類似問題を大量に解かせて高校入試レベルに引き上げる使い方。
② 点数が取れない単元や不得意分野の過去問及び類似問題を大量に解かせて苦手を克服し得点につ
なげる使い方
いずれの場合でも数学の受験対策は受験する都道府県の入試問題の出題傾向を分析した上で、その傾向に沿っ
た問題（類似問題）の過去問演習をやらないわけにはいきません。（３年生対象の実力テスト・模試は、その
都道府県の傾向に沿った出題形式・出題内容である場合が多いようです。）
また、例えば公立高校入試に出題される関数の問題はミックス問題が出題される都道府県が多くあります。
３年で学習する放物線（二次関数）と１年比例･２年一次関数との組み合わせ問題が出題される都道府県では
３年生で学習する内容を終えなければ高校入試の過去問に手をつけられない事も起こりうる場合があります。
中学１･２年生の講座でも単元終了時点で、あるいは、その日に学習した内容の練習問題として、徐々に高校
入試レベルの問題に触れさせることも可能です。高校入試の問題が解けることによって生徒各自のモチベーシ
ョンが上がるようです。
学習塾や家庭教師の先生方は年間カリキュラムの中でアレンジしてお使い下さい。
中学生各自で利用される場合
公立高校入試の受験対策学習は各自が受験する都道府県の公立高校入試の出題傾向に沿った問題を数多く演
習して下さい。まずは自分が受験する公立高校入試問題の出題傾向を一覧表で確認し、出題可能性の高い単元
からの問題を確実に解けるようにして下さい。
この教材は
■ 数学の成績を短期間に伸ばせる・定期テスト・実力テスト・公立高校入試のための実践力・得点力を付け
られる！
■ 点数が取れない分野・単元を克服できる！
■ 不得意・苦手を克服できる！
■ 中学１年生でも２年生でも学校で習った内容が高校入試でどのように出題されるのか、どんな問題が出る
のか、早い段階から受験対策を進めることができる！
■ 自分が受験する公立入試の傾向をつかんだ効率よい学習ができる！
■ 自宅で自分のペースで学習を進めることができる！
この様な中学生に最適な教材です。
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公立高校入試 過去問 数学 ２.方程式 ３.二次方程式（３年）
７．二次方程式の利用 ②
図形関連問題
【問１】
ある中学校では，図のように，校舎の壁にそった長方形の花だんをつくることにしました。この花だんの壁がわの１
辺を除いた３辺の長さの和が 24 m，面積が 72 m2 となるようにします。
このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（岩手県 2002 年度）
(1) 花だんの縦の長さを求めるために，その長さを x m として，方程式をつくりなさい。
(2) 花だんの縦の長さを求めなさい。
解答欄
(1)
(2)
m
解答
解説
2
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公立高校入試 過去問 数学 ２.方程式 ３.二次方程式（３年）
【問２】
図のような，高さが 8 cm と 18 cm の２つの円柱 P，Q がある。円
柱 P，Q の体積は等しく，円柱 Q の底面の半径は円柱 P の底面の
半径より 5 cm 短い。円柱 P の底面の半径を x cm として方程式を
つくり，円柱 P の底面の半径を求めなさい。
（栃木県 2002 年度）
円柱 P
円柱 Q
解答欄
答
cm
解答
解説
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【問３】
ある正方形の縦を 5 cm，横を 10 cm それぞれのばして長方形をつくると，その面積がもとの正方形の面積の６倍
になった。このとき，もとの正方形の１辺の長さを求めなさい。
（鳥取県 2002 年度）
解答欄
cm
解答
解説
【問４】
縦が x cm，横が 12 cm の長方形がある。この長方形から１辺が x cm の正方形を１個切り取ったら，残りの面積
が 20 cm2 になった。このときの x の値をすべて求めなさい。
（秋田県 2003 年度）
解答欄
解答
解説
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【問５】
図のように，１辺の長さが 15 cm の正方形の折り紙を，のりしろの幅をすべて等しくして重ねてはり合わせ，大きな
正方形をつくる。このとき，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（新潟県 2003 年度）
(1) のりしろの幅をすべて 1 cm とするとき，次の①，②の問い
に答えなさい。
① ９枚の折り紙をはり合わせたとき，できた大きな正方形の
１辺の長さと面積をそれぞれ答えなさい。
② n2 枚の折り紙をはり合わせたとき，できた大きな正方形
の面積を n を用いて表しなさい。ただし，n は自然数とす
る。
(2) のりしろの幅をすべて x cm として，81 枚の折り紙をはり合わせて１辺が 125 cm の正方形をつくった。このとき，
x の値を求めなさい。
解答欄
①
cm
１辺の長さ
面積
cm2
(1)
②
(2)
cm2
x＝
解答
解説
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公立高校入試 過去問 数学 ２.方程式 ３.二次方程式（３年）
【問６】
図１のような１辺 6 cm の正方形のうすい紙が，４枚ある。この４枚の正方形の紙を図２のようにはりあわせ，面積が
100 cm2 の大きな正方形の紙をつくることを，太郎さんと花子さんはそれぞれ考えた。なお，のりしろ（はりあわせる
部分）の幅はすべて同じとし，その幅を x cm とする。
次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（岐阜県 2003 年度）
(1) 図２の大きな正方形の紙の１辺の長さを，x
を用いて表しなさい。
図１
図２
(2) 太郎さんと花子さんはそれぞれ次のように考えた。
ア～ウには文字を使った式を，エには整数を，オには１次方程式を，それぞれあてはまるように書きなさい。
太郎さんの考え
図２の大きな正方形の紙の面積が 100 cm2 であることから，x についての２次方程式をつくると，
ア
＝100 となる。
左辺を展開して，x2＋bx＋c＝0 の形にすると， イ
この左辺を因数分解することによって， ウ
＝0 となり，
＝0 となる。
花子さんの考え
図２の大きな正方形の紙の面積が 100 cm2 であることから，２乗して 100 になる数を考えると，
大きな正方形の紙の１辺の長さは
エ
cm であることがわかる。
このことから，x についての１次方程式をつくると， オ
となる。
(3) このとき，のりしろの幅を何 cm にすればよいかを求めなさい。
解答欄
(1)
(2)
cm
ア
イ
ウ
エ
オ
(3)
cm
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解答
解説
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公立高校入試 過去問 数学 ２.方程式 ３.二次方程式（３年）
【問７】
縦 8 m，横 12 m の長方形の土地がある。図のように，縦に２本，横に１本の同
じ幅の道をつくり，残りの部分を花だんにすることにした。花だんの面積と道の面
積が同じになるようにするには，道の幅を何 m にすればよいか。
次の①，②の問いに答えなさい。
（滋賀県 2003 年度）
① 道の幅を x m として，x についての方程式をつくりなさい。
② ①の方程式を解いて，道の幅を求めなさい。
解答欄
①
②
m
解答
解説
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公立高校入試 過去問 数学 ２.方程式 ３.二次方程式（３年）
【問８】
図のように，２つの長方形 ABCD，EFGH があり，辺 EF 上に辺 AB がありま
す。AB＝6 cm，BC＝8 cm で，頂点 C から辺 GH までの距離は，AE の長さ，
BF の長さと同じです。図の
の部分の面積が長方形 ABCD の面積の半
分になるとき，頂点 C から辺 GH までの距離は何 cm になりますか。 頂点 C
から辺 GH までの距離を x cm として方程式を作り，求めなさい。
（北海道
2005 年度）
解答欄
方程式
計算
答
cm
解答
解説
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【問９】
縦の長さが 10 m，横の長さが 12 m の長方形の土地がある。図のように，縦
と横に同じ幅のまっすぐな通路をつくり，通路を除いた土地の面積がちょうど 80
m2 になるようにしたい。このとき通路の幅を x m とする。
次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（岐阜県 2005 年度）
(1) 次の A と B の２通りの方法で方程式をつくった。ア～エには x の１次式を，
オには x の２次式を，それぞれあてはまるように書きなさい。
A
通路を除いた土地の面積は，縦の通路と横の通路を右の図のように
移しても変わらない。
通路を除いた土地の面積の関係を方程式で表すと，
(
B
ア
)(
イ
)＝80となる。
通路の面積は，縦の通路の面積と横の通路の面積をたして，重なっ
た部分の面積をひくと求めることができる。
通路の面積の関係を方程式で表すと，
ウ ＋ エ － オ ＝10×12－80となる。
(2) (1)の２通りの方法でつくった方程式を，それぞれ変形すると，同じ２次方程式 x2＋bx＋c＝0 となる。この２次方
程式を書きなさい。
(3) 通路の幅を何 m にすればよいかを求めなさい。
解答欄
ア
イ
ウ
エ
オ
(1)
(2)
＝0
(3)
m
解答
解説
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公立高校入試 過去問 数学 ２.方程式 ３.二次方程式（３年）
【問 10】
のように解いた。
次の問題を下の
(ア)
～
(オ)
の中に数または式を書き入れよ。
（長崎県
2005 年度）
問題
「図のように，同じ平面上に長方形 ABCD と長方形 EFGH があり，AB＝EF
＝5 cm，BC＝FG＝7 cm である。この２つの合同な長方形は，辺 AD と辺
EF，辺 DC と辺 FG がそれぞれ点 I，点 J で垂直に交わり，AI＝EI となって
いる。このとき，長方形 IFJD の面積が 8 cm2 になるような線分 AI の長さを求
めよ。」
AI＝x cm とする。線分 ID，線分 IF の長さは，それぞれ x を用いて表すと，ID＝
IF＝
(イ)
(ウ)
(ア)
cm，
cm である。長方形 IFJD の面積が 8 cm2 であることから方程式をつくると，
＝8
となる。
となる。ただしこの場合，問題に適するのは x ＝
この方程式を解くと，
であるから，線分 AI の長さは
(オ)
(オ)
cm である。
解答欄
ア
イ
エ
オ
ウ
解答
解説
以降の年度の過去問が（平成２３年度出題まで）【問 11】～【問 32】まであります。
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