ガウス年譜 - オイラー研究所

ガウス年譜
(Johann Carl Friedrich Gauss,1777-1855)
1621 年
1748 年
バ シ ェ (Claud Gaspar Bachet de M
éziriac ,1581-1638)がディオファント
オイラー (Leonhard Euler , 1707-1783)が
スの『算術』の原典にそのラテン語
『無限解析入門』を発表する。
訳をつけて刊行した。
eiθ = cosθ + isin
θ が述べられた他、
無限級数や無限乗積をたくみに使っ
て、それらの間の様々な恒等式を発
1630 年
見した。
こ の 頃 、 フ ェ ル マ ー (Pierre de
Fermat,1601-1665) が バ シ ェ 版 の 『 算
1773 年
術』を読み研究を始め、1636 年頃ま
でには「欄外ノート(marginal note)」
ラ グ ラ ン ジ ュ (Joseph
を書き終わる。
Lagrange,1736-1813) が 『 ア リ ト メ テ
Louis
ィカの探求・第 1 部』(全集,第Ⅲ巻
1640 年
pp.695-738)を出版する。
10 月 18 日、この日付きのフレニク
1775 年
ルに宛てた手紙の中でフェルマーが
ラグランジュが『アリトメティカの
「フェルマーの小定理」を発表する。
（フェルマーの小定理）
探求・第 2 部』
(全集,第Ⅲ巻 pp.739-795)
p は素数、 a は p で割り切れない整
を出版する。
数とすると次の合同式が成り立つ。
a p−1 ≡ 1 (mod. p )
1777 年 ガ
ガウス誕
生
4 月 30 日、ドイツのブランシュベイ
1670 年
フェルマーの長男のサミュエル
ク(Braunschweig)公国に煉瓦職人の父
(Samuel de Fermat,1630-1690)がバシェ
ゲプハルト・ディートリヒ・ガウス
版の『算術』を再版し、父の書き込
と母ドロテア・ベンッエの間にガウ
み（「欄外ノート」）を付録としてつ
スが生まれる。
けた。この中で「フェルマーの最終
1783 年
定理」以外に「4n+1 型の素数はどれ
もみな二つの平方数の和として書き
オイラーが平方剰余相互法則、その
表される」（直角三角形の基本定理）
第 1 補充法則、第 2 補充法則を発見
を発見した。
し発表する。（「素数による平方数の
わり算に関する様々な観察」、『解析
178
小品集』、第Ⅰ巻、pp.64~84、オイラ
であった。そのおかげで、先生が問
ー全集、Ⅰ-3、pp.497~512 参照）
題を書き終わらないうちに答えを提
1784 年
出することが出来た。
ブランシュベイクの聖カタリーナ国
ここで、ガウスが発見した方法を考
民学校に入学。
えてみることにする。先ず、1 から 100
までの数を次のように並べてみる。
1+ 2 + 3 + 4 + L + 97+ 98+ 99+ 100
1786 年
同校校長のピュットナーの算数のク
(①式)
ラスに入る。
今度はこれを①式とは逆に次のよう
に並べてみる。
100+ 99+ 98+ 97+ L + 4 + 3 + 2 + 1
1787 年
(②式)
ピュットナーの助 手であるマーティ
ン・バーテルスと親交を結ぶ。一緒
ここで、①式の最初の数 1 と②式の
に二項定理や無限級数を研究する。
最初の数 100 の和はもちろん 101 で
この年、次のような中学校の英語の
ある。又、①式の 2 番目の数 2 と②
教科書にも載った有名な逸話をガウ
式の 2 番目の数 99 の和も 101 である。
スは残している。
又、①式の 3 番目の数 3 と②式の 3
ガウス達はいたずらをしてピュット
番目の数 98 の和も 101 である。又、
ナー先生に怒られて次のような課題
①式の 4 番目の数 4 と②式の 4 番目
を与えられた。
の数 97 の和も 101 である。又、①式
「1 から 100 までのすべての数を足し
の 5 番目の数 5 と②式の 5 番目の数
た和を求めよ」
96 の和も 101 である。
・・・。結局、
この問題は他の生徒にも与えられた。
①式と②式の同じ順番にある数の和
このピュットナーという教師はこの
は皆 101 になっている。そして、こ
ような小学生にとっては非常に時間
れが 100 個ある。つまり、①式と②
のかかる計算問題を出すのが好きで
式を足した和は次のようになる。
あった。生徒は、答えを出すと先生
100× 101
の机の上に答えを書いた石板を置く
(③式)
ことになっていた。
つまり、10100 になる。しかし、こ
ピュットナー先生がこの問題を書き
れは、あくまでも①式と②式を足し
終わらない内に、ガウスは石板を先
た和であるので、1 から 100 までの
生の机の上に置いたのであった。し
和を求めるにはさらに③式を 2 で割
かも、ガウスの答えは正しかった。
る必要がある。そうすれば、1∼100
これには先生も他の生徒も驚きを隠
までの数を足した和が求まる。した
すことは出来なかった。実は、ガウ
がって、1∼100 までの数を足した和
スは毎回このような計算問題を先生
は次のようになる。
は出すので、何とかして簡単に計算
100× 101
2
する方法はないかと常日頃から考え
ていた。そして、なんとガウスは簡つ
したがって、1∼100 までの数を足し
単に計算する方法を発見していたの
た和は 5050 になる。ガウスはこのよ
179
うなことをわずか 10 歳で考えたので
ン、オイラー、ラグランジュの諸作
あった。
品を研究。
「平行の公準は保持されないが論理
1788 年
的に一貫性のある幾何学が存在しう
バーテルスがピュットナーの学校を
る」という非ユークリッド幾何学の
去る。
概念が芽生える。
ガウスはギムナジウムの２年級に入
り、語学に秀でた才能を発揮。
1793 年
素数の分布に関する発見。「 n 以下
1790 年
の素数の個数はおよそ
ギムナジウム最上級に進む。
最優秀生徒として表彰される。
n
102
103
104
105
106
107
108
1791 年
ブラウンシュヴァイク公国のフェル
デ ィ ナ ン ド 公 (Kal Wilhelm
Ferdinand ,1735-1806)の官邸に参上。
国務大臣兼枢密顧問官フェロンセ・
フォン・ローテンクライツから対数
n
個 」
logn
素数の個数
誤差
(%)
21
25
16
144
168
14
1085
1229
12
8685
9593
9
72382
78499
8
620420
664579
7
434294493
45505212
5
n
logn
表を送られる。
1794 年
算術幾何平均を考え始める。その意
算術幾何平均の特殊な場合とある種
味は、 a,b を二つの正数とし、 a,b
の羃級数との関係を発見。
a+ b
、幾何平均 ab を
最小二乗法を発見。
2
それぞれ a1 ,b1 とし、 a1 ,b1 の算術平
1795 年
均、幾何平均をそれぞれ a2 ,b2 とし
の算術平均
て、次々に求めるならば、これらは カロリナ高等学校卒業。
共通の極限に近づく。その共通の極
3 月、
「 − 1が 4n+1 型の素数の平方剰
限値を a,b の算術幾何平均という。
余で 4n+3 型の素数の平方非剰余であ
ガウスはそれを記号 M (a,b) で表現
る」ことを発見。今日ガウスの第一
した。
補充法則の名で知られている。現代
風に書けば次の式で表現できる。
1
 − 1
(p−1)
  = (− 1)2
 p
1792 年
2 月 18 日、
カロリナ高等学校(Collegium
Carolinum) に 入 学 。 カロ リ ナ 高 等 学
又、帰納法によって平方剰余相互法
校 の 数 学 教 授 チ ン メ ル マ ン (August
則をオイラーとは独自に発見。
（ガウスの平方剰余相互法則）
Wilhelm Zimmermann) の紹介で、ブラウ
ンシュヴァイク公の援助を受ける。
p が 4n + 1 型 と い う 形 の 素 数 な ら
古代語（ギリシャ語）や近代語（ラ
+ p は、又 p が 4n + 3型という形な
ら − p は、正に取るときに p の剰余
テン語）をマスターする。ニュート
180
となる任意の素数の剰余であり、正
数学日記」は『ガウス整数論(D.A)』
に取るときに p の非剰余となる任意
の形成過程を明らかにする覚書集と
の素数の非剰余である。
見なせる。実際、これを通して『ガ
ルジャンドルの記号を使い現代的な
ウス整数論』の個々のテーマの研究
表記でかけば次のようになる。
を開始した日時が相当に特定される。
又、オイラーの影響を大きく受けて
（ 現 代 的な 表 記 に よ る 平 方剰 余 相 互 法
書かれている。
則）
1
1
(p−1)⋅ (q−1) p 
 q
2
  = (−1)2
 
p
 
 q
同じ 3 月 30 日、正 17 角形の作図法
を発見する。この記念すべき出来事
が「ガウスの数学日記」の第 1 項と
ここで、 p,q は相異なる奇素数。
して次のように記されている。
「正多角形の中で三角形、五角形、
ただし、この現代的な平方剰余相互
十五角形および辺数を次々に 2 倍し
法則の表記は実際のガウスの相互法
て生ずるものの作図が可能であるこ
則よりも守備範囲が狭まっている点
とは幾何学の初歩を学んだものは誰
に注意が必要である。ガウスは p,q
でも知っていることで、そこまでは
の一方または両方が負の場合も考え
既にユークリッドの時代に出来てい
ている。
たのであるが、その後は初等幾何学
10 月 11 日、ブランシュベイクを去る。
10 月 15 日、ゲッチンゲン(Go&& ttingen)
ではそれ以上には出来ないことと一
般に信ぜられていたように見える。
大学学生として登録。最小二乗法の
少なくとも私はこの方面において更
応用。
に一歩進める試みの成功したことを
聞かないのである。この故に、今上
1796 年
記の正多角形の外になお多くのもの，
3 月 30 日、この日から「ガウスの数
例えば 17 角形などの作図が可能であ
学日記(Nachbildung des Tagebuchs)」を
ることの発見は注意に値するものと
書き始める。この日記は、この日か
考える次第である。
ら 1814 年 7 月 9 日に渡り書かれた。
この発見は実は一層広汎なる或る理
この日記は、ガウスの生前の備忘録
論の系題に過ぎないのであるが、そ
(Notizen-journar)のことで、1898 年に、
の理論はなお少し未完成の所がある
ガウスの孫のカール・ガウス(1847-
から完成の上で速やかに発表するで
1927) が 保 管 し て い た も の を 、 パ ウ
あろう。
」
ル・シュテッケル(1862-1919)が発見
この日記は現在『ガウス全集』の第
した。
10 巻の第 1 分冊の pp.483-574 にその
内容的には、総計 146 項目の項目が
解説と共に収録されている。又、原
ある。大半は初めの 2 年間に集中し
文そのものを写した写真が PDF ファ
ている。1796 年は 49 項目（全体の
イルの形でも収録されている。
33.6%）、1797 年は 33 項目（全体の 」 4 月 8 日、
「 − 1が 4n+1 型の素数の平
22.6%）で、この 2 年間だけで全体の
方剰余で 4n+3 型の素数の平方非剰余
約 56%を占める。つまり、
「ガウスの
である」との証明を発表。
181
平方剰余相互法則の第 1 証明を初等
的な方法で行う。
dx
∫
1− x4
4 月 12 日、円周の角の余弦に関する
に関してレムニスケート関数に関す
公式を発見。この部分は『ガウス整
る研究を始める。レムニスケート的
数論 D.A.』の第 7 章に関する発見で
サイン s(u)、レムニスケート的コサ
ある。
イン c(u)をレムニスケート積分の逆
4 月 29 日、剰余の法則の不可分とは
関数として求めた。因みに、ガウス
限らない剰余と量への拡張。つまり、
がレムニスケート積分の意義を認識
平方剰余の定理の複素数への一般化。
する契機として作用したのはオイラ
この項目は『D.A』の第 4 章に所属
ーの加法定理である。
する。
これを裏付ける基礎的な資料文献と
6 月 22 日、2 元 2 次形式の研究を始
して高瀬正仁は以下のものを挙げて
める。
いる。
6 月 27 日、平方剰余相互法則に関す
「レムニスケート関数の最も古い研
る第 2 証明を始める。
究 」 (Älteste
7 月 10 日、どんな整数も多くとも 3
lemniskatische Funktionen)
つの 3 角数の和で表されることを発
( ガ ウ ス 全 集 、 第 10 巻 の 第 1 分
見する。
冊,pp.145-171)
Untersuchungen
über
7 月 27 日、2 次形式論の概要がまと
まる。
9 月 2 日、ガウス和により平方剰余
相互法則に関する第 7 証明を完成。
Proprietates)
1− x4
dx
1− x3
が ∏ :x = z お よ び x = Φ :z と 定 め
(ガウス全集、第 3 巻,pp.404-412)
「レムニスケート曲線」
られるならば、
(De Curva Lemniscata)
(ガウス全集、第 3 巻,pp.413-432)
1
1 7
1 10
z −
z +
Φ :z = z− z4 +
8
112
1792
又、「レムニスケート関数の最も古い
研究」の論文の pp.154-155 の中には
3
3⋅ 185
z18 −
z16
1792⋅ 52
1792⋅ 52⋅ 14⋅ 15⋅ 16
次のような虚数乗法に関する公式も
のようになることを計算した。
出てくる。
10 月 1 日、円周等分方程式の 3 次分
(
)
sint+ costsinu cosu − 1
(
)
cost− sintcosu sinu − 1
sint+ u − 1 =
解式の発見。
10 月 9 日、素数次円周等分方程式の
cost+ u − 1 =
既約性について研究する。
cosu − costsinu sint − 1
cosu − sinu costsint − 1
1 月 10 日、「オイラーの基準」と呼
1797 年
dx
∫
ついての発見。内容は、もし
∫
の優美な諸性質」
1− x4
(Elegantiones Intergralis
9 月 9 日、オイラー積分の逆関数に
dx
「積分 ∫
ばれている式をガウスは独自に発見
1 月 8 日、レムニスケート積分
182
した。この「オイラーの基準」の内
(c) ここで、弧 π に対応するこの分
容は不明である。しかし、ジュレジ
母を θ と置くと、弧 kπ のレム
ンガーの注記によると、二項積分と
ニスケート正弦の分母は θ
いわれる積分
等しい。
m −1
∫x
l
l
(a + bx ) dx
θ = 4.810480
である。
基準」を指すという。
(e) この θ の双曲線対数は
1 月 12 日、完全積分
1.570796
dx
n
である。すなわち
1− xn
π
2
が円の求積に帰着されることを考量
である。
した。
2 月 4 日、平方剰余の相互法則に関
この年、複素関数論の考察始める。
する第 2 証明が完成する。又、平方
10 月 、「 代 数 学 の 基 本 定 理
剰余相互法則に関する二つの補充法
(fundamental theorem of algebra)」の証
則の証明に成功した。
明完成する。
3 月 2 日、今日的な表記で表すと、
(代数学の基本定理)
次のガンマ関数とベータ関数の関係
「複素数係数の（1 次以上の）代数
式を独自に発見した。
方程式は少なくとも 1 つの複素数根
B (p,q) =
Γ(p)Γ(q)
Γ (p + q)
を持つ」という定理のことである。
この主張は体論の言葉で言い換えれ
3 月 12 日、
「ガウス整数論 D.A.」の
ば 「複素数体は代数閉体である」 と
原稿の初めの部分が仕上がる。
述べることもできる。
3 月 19 日、レムニスケート曲線を n
に
(d) ここで、
µ
n ν
の可能性に関する「オイラーの判定
∫
kk
x2 = −1
個の部分に分けると n2 次の方程式が
というただ 1 つの方程式の根（虚数
導かれることを発見した。
単位）を実数に付け加えた体系（複
3 月 21 日、レムニスケートを定規と
素数）を考えるだけで、どんな代数
コンパスのみで幾何学的に 5 等分す
方程式（しかも複素数係数のそれ）
る。
でもその体系内で根を持つようにな
3 月 29 日、ガウスはレムニスケート
るというのは、驚くべき事実である。
曲線に関する事柄で以下のものに注
この定理の主張は、因数定理などを
目した。
用いて帰納的に「複素数係数の任意
(a) 二倍弧のレムニスケート正弦を
の n 次方程式
分数の形に分母と分子に分けて
表示するとき、その分子は、単
an xn + an−1xn−1 + LL + a1x + a0 = 0
弧のレムニスケート正弦の分
は複素数の中に重複度をこめて n 個
子・分母×レムニスケート余弦
の根を持つ」 という事実を導くので、
の分子・分母の 2 倍に等しい。
このことを指して代数学の基本定理
(b) 分母=(分子)4+(分母)4
183
あろう」と考えた。
と呼ぶこともある。
7 月 16 日 、 ヘ ル ム シ ュ テ ッ ト
(Helmstedt)大 学で欠席 のまま哲 学博
1798 年
7 月、レムニスケートの研究に関し
士の学位を受ける。博士論文は代数
て大きな成果を上げる。主な結果と
学の基本定理の最初の証明に関する
して
論文「1 変数の任意の実多項式が 1
1− 2e−π + 2e− 4π − 2e−9π + ⋅ ⋅ ⋅ =
次または 2 次の実多項式の積に分解
2ω
π
しうることの新しい証明(Demonstratio
nova
1
− π
4
e
9
− π
4
+e
−
+e
25
π
4
+ ⋅⋅⋅ =
theorematis
omnem
functionem
algebraicam rationalem integram unius
1 2ω
2 π
variabilis in factores reales primi vel
を導いたことが挙げられる。
secundi gradus resolvi posse)」(ガウス全
9 月 29 日、ゲッチンゲン大学を去り、
集、第 3 巻、pp.3-30)を含んでいた。
ブラウンシュヴァイクに帰り、整数
後に 1815 年、1816 年、1849 年にも
論に関する大作の準備にあたる。パ
同じ定理に関する別の証明を行って
ッフの家に滞在してヘルムシュテッ
いる。これらの証明も『ガウス全集、
ト大学の図書館を利用し、またパッ
第 3 巻、pp.31-122』に載っている。
フと一緒に仕事をする。
1800 年
この年までに、ほぼ「ガウス整数論
D.A.」の原稿完成。
1 月、整数論に関するルジャンドル
の論文を受け取る。
ル ジ ャ ン ド ル (Adrien-Marie
Legendre,1752-1833) が 『 数 論 の エ ッ
2 月 13 日、最も単純な 3 元 2 次形式
の整数が有限であることを発見。
セイ(Essai sur la théorie des nombres)』の
春、一般楕円関数及びモジュラー関
初版を発表する。
数を発見。ガウスは
1799 年
π
2
M (1, 1+ µ )
2 月 14 日、３元２次形式に関する研
= ω~
π
究を開始。
2
M (µ , 1+ µ )
5 月 30 日、レムニスケート関数に関
して現代の表記で書けば、
π
= ω~′
として、


dϕ
π  4sinπυ 4sin3πυ

− 2
+ ⋅ ⋅ ⋅
S(u)= ~  1
∫
0
4
3
1
1
2
2
−
µω  2
1− x
0 1−

sinϕ
 h + h− 2 h3 + h 2

2
を「広義に於けるレムニスケートサ
という関係を発見。 4ω はレムニス
1
ω=∫
dx
=
1
2
イン(sin.lemn)」と称した。ここで、
ケート関数の周期である。ここでガ
u
ウスは
M (1, 2)=
π
2ω
iω~′
υ = ~ , τ = ~ , h = eπiτ
ω
ω
とおくと、 µ = 1 のとき S(u)は「レ
になることがもし証明されるならば、
ムニスケートサイン(sin.lemn)」にな
「確かに解析の新分野が開かれるで
る。
184
ここで、
M (1, 2)=
π 4 1 {1 + 2hcos2πυ +
ω~ 1+ u2
W (u)=
π
2ω
が一般化されたのである。
2h cos4πυ + 2h cos6πυ + ・・・}
4
9
T (u)=
春、2 次形式の理論完成する。
1
π
=
2
~
ω µ (1+ µ 2 )
5 月、復活祭の日取りを計算するた
めの公式を発表。
9
4
1
4
｛ 2h sinπυ − 2h sin3πυ
5 月 6 日、超越的な量
25
4
+ 2h sin
5πυ + ・・・}
∫
とおけば、
S(u)=
dx
2
(1− αx )(
1− β x2 )
の理論を極めて一般性のある地点ま
T (u)
W (u)
で押し進めた。
が成立する。ここで、
11 月 30 日、二次形式理論の類数公
式の発見。
ϕ = µ 、 C = 1 M (1,cosϕ )
µ
1801 年
とすれば、
T (u)= C ϑ1 (υ )
、 1 月 1 日、ピアッツィがセレスを発
見。
W (u)= C uϑ3 (υ )
4 月 6 日、円周等分を我々の理論が明
ω~
T ( − u)= C ϑ 2 (υ )
2
ω~
W ( − u)= C uϑ (υ )
2
示しているよりも低い次元の諸方定
式に還元することは不可能であるこ
とを証明した。365 条のガウスの言
葉「そうして我々は、これらの高次
ガウスは T (u),
W (u)を無限積に展開
方程式はどのようにしても回避でき
ω~
2
ないこと、又、より低次の方程式に
し 、又 T (u)、 W (u) 、 T ( − u) 、
帰着させるのも不可能であることを
ω~
W ( − u) の 平 方 及 び T (u) 、
2
ω~
W ( − u)の間の関係を出している。
2
~,ω
~′ は
そして、 ω
π
ω~ = ∫
0
π
ω~′ = ∫
0
完全に厳密に証明することができ
る」。この還元が不可能であることが
証明されて『ガウス整数論 D.A.』の
第 7 章の円周等の理論が完成された。
5 月中旬、ガウス和の符号決定を通
じて平方剰余相互法則の証明が得ら
dϕ
れるということを発見した。
2
1+ u2 sin
ϕ
9 月 29 日 、『 ガ ウ ス 整 数 論
(Disquisitiones arithmeticae), ガウス全
dϕ
集第Ⅰ巻』を発行。この中で、平方
u2 + sin2 ϕ
剰余相互法則を初めて証明した第 1
である。これは
証明と二次形式論による平方剰余相
互法則の第 2 証明を発表した。しか
185
し、この本は、あまりにも時代をぬ
の円周等分の理論が成立する。つま
きんでた難解な著作であり、その上
り、原始根を使用して円周等分方程
出版社の問題から発行部数が相当低
式の解を示す。
かったこともあって、実際には当時
（フェルマーの小定理）
理解できるものは誰もいなかったと
p は素数、 a は p で割り切れない整
数とすると次の合同式が成り立つ。
考えられる。結局それがようやく理
解されるようになるのは、それを詳
a p−1 ≡ 1 (mod. p )
しく解読し講義したディリクレの時
(原始根)
代になってからである。
12 月、最小二乗法を駆使して小惑星
a が p 乗してはじめて 1 と合同にな
ケレスの楕円軌道計算を初めて行っ
るとき、 a を p を法としての原始根
た。最小二乗法は現在の科学ではほ
という。略して p の原始根ともいう。
ぼすべての分野でデータを取る際に、
誤差修正法として用いられている。
第 4 章
例えば、人工衛星を追跡する際に使
「二次合同式」
われている。
(Congruentiis Secundi Gradus)
平方剰余相互法則の第 1 証明及びそ
のために必要な基本事項。数学的に
（ガウス整数論の各章の内容）
はそれ程重要ではない。
第 1 章
「数の合同に関する一般的な事柄」
2
2
二 次 合 同 式 x − ay = 1 は
(Numerorum Cngruentia In Genere)
a を連
分数に展開すれば解けることを発見
整数論の最重要事項である素元分解
する。
の一意性を証明した。又、数の合同
の記号 ≡ を初めて導入し合同算術の
第 5 章
明確な表現を与える。
「二次形式と二次不定方程式」
(Formis Aequationibusque
第 2 章
Indeterminatis Secundi Gradus)
「一次合同式」
ここで扱われる二次形式は
(Congruentiis Primi Gradus)
2
一次合同式の解を連分数で解く方法
を発見した。つまり、
は
2
ax + 2bxy+ cy (a,b,c∈ Ζ)
の形 であ る。 これ を簡 単に (a,b,c)
ax+ by = c
で表す。 D = b2 − ac をその判別式
b
を連分数に展開したら解ける。
a
という。2 つの二次形式
2
2
Fi(x,y)= aixi + 2bixiyi + ciyi
(i= 1,2)において、
第 3 章
x1 = αx2 + β y2 , y1 = γx2 + δy2
「羃剰余」
(α ,β ,γ ,δ ∈ Ζ) という変数の変換に
(Residuis Potestatum)
よって、 F1 (x1 ,y1 )= F2 (x2 ,y2 )にな
フェルマーの小定理の証明及び原始
るとする。このとき、もしも
根の存在を初めて証明した。原始根
αδ − βγ = ±1 であれば、 F1 と F2 は
が存在することを元にして、第 7 章
186
同値 (aequivalent) であるという。この
「円の分割を定める方程式」
とき、 F1 と F2 の判別式は等しい。
(Aquationibus
さらに、 αδ − βγ = 1 の場合は F1 と
Definientibus)
F2 は固有に同値であるという。
Circuli
Sectiones
円周等分方程式の既約性、つまり「有
二次形式論の種の概念を駆使した平
理数の範囲で F (x)は因数分解できな
方剰余相互法則の第 2 証明（261 条）
。
い」ことの証明。ここで、 F (x)とは
二次形式の合成により、当時、一般
p を素数とし、方程式 xp − 1= 0 を
考える。このとき、
的には知られていなかった群演算の
p
概念の実例を構築する。
x − 1 = (x − 1)F (x)
より、 F (x)は次のようになる。
主イデアルの考え方も示した。
第 182 条のⅠでは、
「 4n + 1型の素数
2
F (x)= x
2
p−1
+ xp−2 + L x + 1
は x + y という形に一意的に書き
又、円周の１７等分が定規とコンパ
表される」という直角三角形の基本
スでできることを示した。一般にフ
定理が証明され、Ⅱでは「 8n + 1 型
ェルマー素数( p = 2
2r
+ 1型の素数)
もしくは 8n + 3 型の素数は x + 2y
に対しては、円周の p 等分は作図可
という形に一意的に書き表される」
能であるが、その他の素数に対して
こ と 、 Ⅲ で は 「 3n + 1 型 の 素 数 は
は作図不可能であることが述べられ
2
2
2
2
ている。
x + 3y という形に一意的に書き表
される」ことが確立される。このよ
1802 年
うな諸例から分かるように、一般に
ax+ b という一次式の形で提示され 夏、パラスの観測。
9 月 5 日、ペテルブルク天文台の台
た素数の線形的形状を表現する二次
長のポストを提供される。
形式を見つけることが試みられてい
る。つまり、ここには素数の形状理
1803 年
論の基本構想が見られる。
1 月 20 日、ブラウンシュヴァイクに
留まる決心をする。
第 6 章
「これまでの研究の様々な応用」 夏、ブレーメンに親友のオルバース
(Variae
Disquisitionum
(Heinrich Wilhelm Matthias Olbers ,
Praecedentium
1758-1840) を訪 問 。オ ルバ ー スは 、
Applicationes)
ブレーメンで開業医をしながら、天
第 5 章の様々な応用を取り上げてい
文学を研究し、ガウスの小惑星セレ
る。例えば、不定方程式
2
2
mx + ny = A
スに関する軌道計算が正しいことを
というディオファントス方程式の解
実証した。オルバース自身は、小惑
法について詳しく論じられている。
星パラスとヴェスタ、その他 4 つの
又、分数の単純分数への分解、分数
彗星を発見した。
の小数への変換、合同式 x2 ≡ ± A の
解法を示す。
1804 年
天文台の仕事続ける。
第 7 章
187
1805 年
この年、3 次及び 4 次剰余の理論の
1 月、「アリトメティカの一定理の新
し い 証 明 (Theorematis
arithmetici
研究を始める。（「4 次剰余の理論・
demonstratio nova)」(ガウス全集、第
第 1 論文より」
）
2 巻、pp.1-8)で、ガウスの補題によ
8 月 30 日、ガウス和により平方剰余
るガウス記号の計算に終始する初等
相互法則に関する第 4 証明を完成。
的な証明方法で平方剰余相互法則に
10 月 9 日、 ヨハ ンナ・ オスト ホフ
関する第 3 証明を証明し発表した。
（Johanna Osthoff）と結婚。
2 月 29 日 、 娘 ヴ ィ ル ヘ ル ミ ー ナ
（Wilhelmina、愛称：ミンナ）誕生。
1806 年
4 月 14 日、父亡くなる。
8 月 21 日、息子ヨゼフ(Joseph)誕生。 秋、シューマッハがガウスのもとで
11 月 10 日、ブラウンシュヴァイク
学ぶためにゲッチンゲンに来る。
公国のフェルディナンド公が対ナポ 5 月 10 日、円周等分方程式における
レオン戦争で受けた重傷がもとで亡
3 つの周期に分ける理論(D.A の 358
くなる。
条)が、格段に簡単な土台に帰着する
ことを導く。
1807 年
8 月 、「 あ る 種 の 特 異 級 数 の 和
2 月 15 日、3 次及び 4 次剰余に関す
(Summatio
quarumdam
serienum
る理論の研究を始める。（「ガウスの
singularium)」(ガウス全集、第 2 巻、
数学日記」より）特に、ガウスによ
pp.9-45)で、ガウス和の符号決定の様
るとこのとき既に 3 次と 4 次に関す
式により、平方剰余相互法則に関す
る何らかの相互法則を発見している。
る第 4 証明を発表。
証明はこの時点では未完である。
12 月 23 日、三次形式の理論と、方
程式
5 月 6 日、平方剰余相互法則に関す
x3 + ny3 + nnz3 − 3nxyz= 1
る第 3 証明を完成。
の解法に着手する。
7 月 25 日、ケレス (小惑星)の軌道決
定の功績が認められてゲッチンゲン
1809 年
大学から公式に天文学教授兼新しい
天文台の台長に招聘され、これを受 天文学上の主要業績「太陽の周りの
諾。その後も、測定用機材の開発（ガ
円錐曲線に沿う天体運動論」 (Theoria
ウス式レンズの設計）、楕円関数の惑
motus corporum coelestium in sectionibus
星の摂動運動への応用など、数々の
unicis solem ambientium、Hamburug,『ガ
発見を行った。以後 40 年同職につく。
ウス全集』7 巻、pp.3~280)上梓。こ
11 月 21 日、家族と共にゲッチンゲ
の中でガウス分布の応用発表。又、
最小 2 乗法についても述べられてい
ンに到着。
る。
『 ガ ウ ス 整 数 論 (Disquisitiones
arithmeticae) 』の Poullet-Delisley 訳
9 月 10 日、息子ルイス(Louis)誕生。
のフランス語訳が出版される。
10 月 11 日、妻亡くなる。
1808 年
1810 年
188
3 月 1 日、息子ルイス亡くなる。
1
1 1

= F  , ,1;x2 
M (1+ x,1− x)
2 2

8 月 4 日、フリーデリカ・ヴィルヘ
ルミーネ・ヴァルトエック（Friederica
Wilhelmine
Waldec
1 1 3

−1
sin
x = xF , , ;x2 
2 2 2

log(
1+ x)= xF(1,1,2;− x)
愛 称 ミ ン
ナ:Minna）と結婚。
となる。
秋、ガウスのもとで学ぶためにゲル
リンク、ニコライ、メビウス、エン
1813 年
ケ来る。ベルリン大学教授のポスト
をガウスに受けさせるための運動起 10 月 23 日 、 息 子 ヴ ィ ル ヘ ル ム
こる。光学に興味を示す。
(Wilhelm)誕生。この日、ガウスによ
ると 4 次剰余相互法則が完成した。
1811 年
1814 年
夏、彗星についての研究。
7 月 29 日、息子オイゲネス(Eugene) 7 月 9 日、ガウスは帰納的に行われ
誕生。
る極めて重要な観察を通じて、4 次
ガウス平面の概念できあがる。
剰余の理論はレムニスケート関数と
今日「コーシーの積分定理」といわ
極めて優美に結びついていることを
れている定理の概念を発見する。
発見した。すなわち、
a + b ⋅ i は 素 数 と し 、 a −1+ b ⋅ i は
1812 年
2+ 2iで割り切れるとする。このと
1 月 30 日、
「無限級数
き、合同式
2
2
2 2
α ⋅β
α (α + 1)⋅ β (β + 1) 2 1 ≡ x + y + x y (mod. a + b ⋅ i)
1+
x+
x +
のあらゆる解の個数は
1⋅ γ
1⋅ 2 ⋅ γ (γ + 1)
(a − 1) + b2
α (α + 1)(
α + 2)β (β + 1)(β + 2) 3
x +L
に等しい。ただし、
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ γ (γ + 1)(
γ + 2)
x = ∞ , y = ±i ; x = ±i, y = ∞
2
の一般研究(Disquisitiones generales circa
も解に含める。
この年、外積分の新しい方法の論文
seriem infinitam
1+
「ガウス積分法」発表。
α ⋅β
α (α + 1)⋅ β (β + 1) 2
x+
x +L)
1⋅ γ
1⋅ 2⋅ γ (γ + 1)
1815 年
」(ガウス全集、第 3 巻、pp.123-162)
という超越幾何級数に関する論文を 代数学の基本定理に関する第 2 証明
を発表。
(ガウス全集、
第 3 巻、
pp.32-57)
発表。この級数は
F (α ,β ,γ ;x)
と表され、
1816 年
1+ x + x2 + x3 + L = F (1,β ,β ;x)
3 月 21 日、オルバースへフェルマー
になる。つまり、幾何級数（等比級
の最終定理に関する手紙を書く。内
数）を含むことが分かる。又、
容は「貴方のパリ賞金についてのお
知らせありがとうございます。実を
189
言えば、私はフェルマーの最終定理 2 月、論文「平方剰余の理論におけ
には、孤立した命題として余り興味
る基本定理の新しい証明と拡張
がありません。それは、証明もでき
(Theorematis fandamentalis m doctrina de
なければ、否定もできないような、
residuis
この種の多くの命題を容易に挙げる
ampliationes novae )」(ガウス全集、第 2
ことができるからです。ただ私は、
巻、pp.47-64)において平方剰余相互
それによって、昔の考えに高等数論
法則に関する第 5 証明と第 6 証明を
の大きい拡張を行わせることを期待
発表。第 5 証明はガウスの補題に基
させます。勿論、この理論が、この
づき、第 6 証明はガウス和による証
はっきりしない目標に到達するため
明である。
に、どこまで成功するのかどうかを、
（ガウスの補題）
予見できない種類のものです。幸運
quadraticis
demonstrationes
et
p を素数、 ξ p を 1 の原始 p 乗根、
の星が支配することに違い在りませ
例えば
ん。私の現状や、多くの仕事は、勿
2π
i
p
論、かつて『ガウス整数論』の主要
ξp = e
部分を成し遂げた、あの幸運な
とする。このとき、次の(1)、(2)、(3)
1796-1798 の年々のように、瞑想に耽
の補題が成立する。
ることを許しません。もしも、運命
(1) a ≡ 0 (mod. p )のとき
が私が期待する以上に助けてくれる
p−1
ならば、この理論への大きい一歩を
∑ξ
t= 0
進め、フェルマーの最終定理が、そ
の最も興味の少ない応用と思われる
at
p
=p
(2) a ≡/ 0 (mod. p )のとき
ようになることを確信したいと思い
p−1
ます。（ガウス全集、第 10 巻の第 1
∑ξ
t= 0
分冊,pp.75-76）」この手紙の中でガウ
at
p
=0
スはフェルマーの最終定理を解決す
(3)
るには新しい理論の構築が必要不可
p−1
欠ということを述べている。平方剰
∑  p  = 0
t= 0
余相互法則が 2 次の合同式の解の判
定公式にもなっていること、既にガ
 t


ただし、 t≡ 0 (mod. p )のときは
ウスが 4 次剰余相互法則を発見して



いることを考え併せると、ここで示
唆されている新しい理論とは n 次羃
t
=0
p 
とする。
剰余理論のことだといえる。
6 月 9 日、娘テレーゼ(Therese)誕生。
（ガウス和の定義）
9 月 17 日、新しいゲッチンゲン天文
p−1
 t  at
ga = ∑   ξ
p
t= 0  p 
台に移る。
をガウス和という。
1817 年
母を引き取る。
190
を発表。
（ガウス和の基本性質）
(1)
「非ユークリッド幾何学」の概念を完
成させる。
 a
ga =   g1
 p
1825 年
4 月 5 日、
「4 次剰余の理論・第 1 論
(2)
1
(p−1)
g 2 = (−1)2
文」の完成及びその要約
p
「4 次剰余の理論・要約Ⅰ」
(Theoria. residuorum.biquadraticorum
.
Comm. Ⅰ ,Werke, volume : bd. 2
(3)
p−1
ga = ∑ ξ
s= 0
pp.165-168)を発表。
s2a
p
ただし、 p /|a
1827 年
10 月、論文「曲面に関する一般的考
察
1818 年
(Disquisitiones
generales
circa
ハノーバー領の測量を委任される。
superficies curvas)」(ガウス全集、第
そのために、後に大きな影響を与え
4 巻、pp.217-258)の発表。この論文
た正規分布についての研究を始めた。
は、測量と微分幾何学への興味から、
これは測量結果の誤差に関する興味
曲面論を創始し、ガウス曲率が等長
からであった。
写像に対する不変量であることを発
楕円関数に関する研究成果を発表。
見したものである。この発見は、曲
代数学の基本定理に関する第 3 証明
面が持つ内在的性質の研究の道を開
を発表。
(ガウス全集、
第 3 巻、
pp.57-70)
き、リーマン幾何学へと発展した。
1828 年
1819 年
最小二乗法に関する論文を発表。
ベルリンにおける学術会議に出席。
アレクサンダー・フォン・フンボル
ト家の客となる。正教授に任ぜられ
1820 年
ゲッチンゲン天文台の新しい子午環
る。
この年、
「4 次剰余の理論・第 1 論文
に関する論文を発表。
(Theoria. residuorum.biquadraticorum
1821 年
.
Commentatio prima , Werke , volume : bd.
回光機の発明。
2
pp.67-91) 」を発表。この論文の中
でガウスは自らが発見した 4 次剰余
1822 年
の補充法則の証明を行った。
ハノーバー領の測地学的調査を始め、
1826 年まで続ける。
（ガウスの 4 次剰余の第 1 補充法
則）
A は 1 と p − 1の間にある 4 k ＋1 型
の素数 p の全ての 4 次剰余の集まり
1823 年
とし、その上 e は無作為に抽出され
「誤差を最小限に抑える観測の理論」
191
た p の平方非剰余とする。つまり、
1
(N π −1)
 − 1
  = (−1)4
 π 4
e は 1 と p − 1の間にある p の平方非
剰余ならば何でも良い。さらに、B
は法 p に関して積 epから生じる正の
最小剰余のあつまりとする。そして、
（ガウスの 4 次剰余の第 2 補充法則
C、D も同様にそれぞれ法 p に関し
Ⅰ）
3
p は 4 k ＋ 1 型 の 有 理 素 数 で
て積 eep、 e p から生じる正の最小
あつまり A に所属する。つまり − 1
p = a2 + b2 と分解され、a が奇数で、
b が偶数のとき、次が成立する。
a が 8m+1 型又は 8m+7 型になるた
は 4 次剰余になり、 p が 8n+5 型の
びに、数 2 はあつまり A に含まれ、
素数ならば常に − 1はあつまり C に
反対に、 aが 8m+3 型 又は 8m+5 型
所属する。
になるたびに、数 2 はあつまり C に
剰余のあつまりとする。このとき、
p が 8n+1 型の素数ならば常に − 1は
含まれる。
これを、4 次剰余記号を用いて表す
と次のようにいいかえることができ
これを、4 次剰余記号を用いて表す
る。
と次のようにいいかえることができ
（ガウスの 4 次剰余の第 1 補充法則）
る。
ガウス整数 π = a + b ⋅ iが、 a が奇数
（ガウスの 4 次剰余の第 2 補充法則
で b が偶数になる素元のとき、つま
Ⅰ）
りπ が
ガウス整数π = a + b ⋅ iが、 a が奇数
で b が偶数になる素元のとき、つま
(1+ i)
以外の素元のとき、π のノルム
りπ が
(1+ i)
N π = a2 + b2 は
N π = 4k + 1型の素数
以外の素元のとき、π のノルム
になり、以下が成立する。
N π = a2 + b2 は
N π = 4k + 1型の素数
(ⅰ)
N π が 8n+1 型の素数のとき、
になり、以下が成立する。
(ⅰ)
 − 1
  =1
 π 4
aが 8m+1 型又は 8m+7 型のとき、
 2
  =1
 π 4
(ⅱ)
N π が 8n+5 型の素数のとき、
(ⅱ)
 − 1
  = −1
 π 4
aが 8m+3 型 又は 8m+5 型のとき
 2
  = −1
 π 4
したがって、(ⅰ)、(ⅱ)より次のよう
に定式化できる。
192
したがって、(ⅰ)、(ⅱ)より次のよう
(ⅲ)
に定式化できる。
数
1
(a2 −1)
 2
8
  = (−1)
 π 4
1
b が 4m + 2 型のとき、
2
 2
  = −1
 π 4
(ⅳ)
（ガウスの 4 次剰余の第 2 補充法則
数
Ⅱ）
p は 4 k ＋ 1 型 の 有 理 素 数 で
p = a2 + b2 と分解され、a が奇数で、
b が偶数のとき、次が成立する。
1
b が 4m + 3 型のとき、
2
 2
  = −i
 π 4
したがって、(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)、(ⅳ)
1
b が 4m 型、 4m + 1 型、 4m + 2
2
型または 4m + 3 型になるのかに応じ
数
より次のように定式化できる。
1
b
 2
2
i
=


 π 4
て、数 2 はそれぞれあつまり A 、B 、
C または D に所属する。
因みに 4 次剰余の補充法則を現代風
に書くと次の 2 式である。
これを、4 次剰余記号を用いて表す
（現代的な 4 次剰余の補充法則）
と次のようにいいかえることができ
π = a + b ⋅ iは primary prime とする。
る。
（ガウスの 4 次剰余の第 2 補充法則
1
− (a−1)
 i
2
=
i


 π 4
Ⅱ）
ガウス整数 π = a + b ⋅ iが、 a が奇数
(第 1 補充法則)
で b が偶数になる素元のとき、つま
りπ が
(1+ i)
1
以外の素元のとき、π のノルム
Nπ = a + b は
N π = 4k + 1型の素数
2
2
{(a+ b)−(1+b)2 }
 1+ i
4

 =i
 π 4
(第 2 補充法則)
になり、以下が成立する。
(ⅰ)
1
数
(a−1)
 − 1
2
=
(
−
1
)


 π 4
1
b が 4m 型のとき、
2
 2
  =1
 π 4
(第 1 補充法則の系)
(ⅱ)
数
1829 年
1
b が 4m + 1型のとき、
2
 2
  =i
 π 4
力学および平衡状態にある液体の研
究。
こ の 年 、 ヤ コ ビ (Carl Gustav Jacob
193
Jacobi,1804∼1851)が楕円関数の研究
論 文 (Fundamenta
nova
（ガウスの 4 次剰余相互法則）
theoriae
functionum ellipticarum 1829 , Jacovi[1]
1
1
(N α −1)• (N β −1) β 
α 
4
  = (−1)4
 
 α 4
 β 4
全集Ⅰ , pp49-239)を発表し、一躍名
声を上げた。
こ こ で 、 複 素 素 数 α、 β は primary
prime とし N はノルムとする。
1830 年
息子オイゲネス、米国に渡る。
磁気および電気についての研究。
毛細管現象についての研究。
1833 年
1831 年
復活祭、ヴェーバーと協力して電磁
4 月 15 日、
「4 次剰余の理論・第 2 論
気的通信の実験を行う。
文」完成及びその要約である
「4 次剰余の理論・要約Ⅱ」
(Theoria. residuorum.biquadraticorum
7 月、哲学部部長となり、一年間務
める。
.
1834 年
Comm. Ⅱ ,Werke, volume : bd. 2
8 月 31 日、ゲッチンゲン天文台のハ
pp.169-178)を発表。
ルディンク死す。
ヴィルヘルム・ヴェーバー、ゲッチ
12 月 19 日、ゴルトシュミットがゲ
ンゲン大学物理学教授に任命される。
ッチンゲン天文台のポストを受ける。
この年、ヴェーバーとの共著を行い、
磁気学について多くの回答を与えた。
1835 年
ガウスの定理・ガウスの法則・ガウ
ス（磁束密度の単位）・ガウス単位系
磁気学的観察に関する論文の発表。
は彼の名にちなむ。電気でのキルヒ
ホッフの法則にあたるものを発見し、
1836 年
磁力協会の設立。
電信装置を作り上げた。
ニ本吊り磁力計の発明。
結晶学についての研究。
9 月 12 日、2 番目の妻亡くなる。
1837 年
9 月、ゲッチンゲン大学創立 100 周
1832 年
年祭。フンボルト、ガウス家の客と
この年、
「4 次剰余の理論・第 2 論文
(Theoria. residuorum.biquadraticorum
なる。
.
Commentatio secunda,Werke, volume : bd. 10 月 29 日、息子ヴィルヘルム、米
国に渡る。
2 pp.95-148) 」 を発 表。こ の論 文の
12 月、女婿エヴァルト亡命。
中でガウスは 4 次剰余相互法則を帰
ヤコビが 3 次剰余相互法則を発表。
納的に定式化したが、証明は与えな
・・
(Uber die Kreisteilung und ihre
かった。又、この論文でガウス整数
は理論的にも完成された。4 次剰余
Anwendung auf die
相互法則を現代風に書くと次のよう
Zahlentheoria,Berlin.Monatsber .
になる。
194
この年、親友のオルバース亡くなる。
pp.166―174
(Werke Ⅵ , pp.254―274))
1841 年
又、ヤコビはヤコビの平方剰余記号
を使い、平方剰余相互法則及びその
7 月、哲学部部長となり、１年間務
補充法則を次のように互いに素な数
める。
に 拡 張 し た 。 (Monatsberichte der
球面三角法に関するルジャンドルの
Berliner.Akademie,Crelles.Journal
定理の証明を発表。
Bd.30)
1842 年
5 月、息子ヨゼフがハンブルクの大
(ヤコビ記号の平方剰余相互法則)
互いに素な奇数 P,Q に対して以下
火消防に活躍。
の相互法則及び補充法則が成立する。
1
1843 年
1
(P −1)⋅ (Q −1) Q 
P
2
  = (−1)2
 
P
Q 
測地学の第一論文発表。
1
1844 年
(P −1)
 − 1

 = (−1)2
 P 
1 2
(P −1)
 2
  = (−1)8
P
こ の 年 、 ア イ ゼ ン シ ュ タ イ ン (F.
gotthold M. Eisenstein, 1823-1852)が 4
次剰余相互法則の「ガウス和の拡張」
による証明と「楕円関数」を使った
証明を発表。又、3 次剰余相互法則
1838 年
をヤコビとは独立に発見し証明も発
ロンドンの王立協会からコプリー勲
章を受ける。
表した。この年アイゼンシュタイン
娘ミンナ、チュービンゲンに移る。
は『クレレ誌』に 25 編もの論文を掲
5 月 30 日、ミズーリ州セントチャー
載。
ルス近郊で最初の孫生まれる。
(Beweis des Reciprocitatssatzes fur die
ロシア語を学ぶ。
cubischen Reste in der Theorie der aus
dritten Wurzelen der Einheit
1839 年
zuasammengesetzten complexen Zahlen ,
4 月 18 日、母亡くなる。
J .Reine Anbew.
12 月 6 日、ゲッチンゲン王立協会の
Math. ,27 ,pp.289 ― 310 (Werke 1,
書記に就任。
pp.59_80) )
(EinfacherBeweis.und.Verallgem
1840 年
einerung.des.Fundamental-theorems
サンスクリット語を学ぶ。
fur
die biquadratischen Reste , J . Reine
『地磁気の地図(Erklärung der Karten und
Anbew. Math. ,28 ,pp.223―245 (Werke
Zahlentafeln)』(ガウス全集、第 12 巻、
1, pp.141_163))
フェイエの彗星の軌道の楕円要素を
pp.335-408)を出版。
8 月 12 日、娘ミンナ亡くなる。
発表。
ポテンシャル論について研究。
195
とがガウスのもとで学ぶ。
1845 年
1 月、ゴルトシュミットが天文台の クンマー(Ernst Edward Kummer , 1810
―1893)が次のような r 次剰余記号の
助教授に任命される。
相 互 法 則 を 発 表 。 (Allegemeine
7 月、哲学部部長となり、一年間努
める。
Reciprocitatsgesetze
ガウスとヴェーバー共作の電線が雷
fur
beliebig
hote
Potenzreste , Berlin . Monatsber . pp.145―
のため破壊される。
165, 全集Ⅰ, pp345―357)
(クンマーのr 次剰余記号の相互法則)
1846 年
r を正則な素数とし、円分体 Q(r )の
r と素な理想的素因子 λ1 , λ 2 を取れ
測地学に関する第 2 論文発表。
リーマンがガウスのもとで学ぶ。
ば次が成立する。
デ ィ リ ク レ (Peter Gustav Lejeune
Dirichlet , 1805―1859)が単数定理を
 λ1   λ 2 
 λ  =  λ 
 2  1

発 表 す る 。 (Zur Theorie der complexen
Einheiten , Bericht uber Verhandl
. d.
Konigel . Preuss . Akad . Wiss . (Berliner
1851 年
Monatsberichte) 103―107(Werke Ⅰ , 639―
643))
2 月 15 日、ゴルトシュミットが死亡。
(ディリクレの単数定理)
規則的な天文観測おわる。
クリンカーフェスがガウスのもとで
基本単数形(Fundamentaleinheriten)と
呼ばれるある k 個の単数 ε 1 ,⋅ ⋅ ⋅,ε k が
学ぶ。
存在して、任意の単数 ε は
a
1
ε = ρε 1 ε 2
a2
⋅⋅⋅εk
1852 年
ak
エルンスト、シュリンクとアルフレ
の形に一意に表される。ここで、 ρ
ット、エンネパーがガウスの学生と
は あ る １ の 羃根 、 a1 ,a2 ,⋅ ⋅ ⋅,ak は あ
なる。
る整数。
1853 年
サイキの観測。
1848 年
海王星とイリスの観測。
「テーブル叩き」という降霊術の不
思議を調べる。
ドイツ革命でガウスは保守派に味方。
1854 年
1849 年
7 月 16 日、博士号授与 50 周年を祝
6 月 16 日、ゲッチンゲンとカッセル
う。この式典に際して、代数学の基
間の鉄道建設を視察。
7 月 31 日、ゲッチンゲンで鉄道開通
本定理に関する最後の証明を発表す
式に出席。
る。
8 月 7 日、兄ゲオルク・ハインリッ
ヒ亡くなる。
1850 年
デデキントとモリッツ・カントール
196
アル(ideal)論 を導入するこ とにより
1855 年 ガ
ガウス逝
言 い 換 え た 。 (Anzeige der zweiten
く
2 月 23 日、ガウス逝く。享年 78 歳。
Auflage von Dirichlets Vorlesungen uber
2 月 26 日、Albanifriedhof の墓所に埋
Zahlentheorie , Gottingische gelehrte
葬される。
Anzeigen , Jahrang 1871 , pp14811491)(Werke Ⅲ, pp399-407)
1857 年
1873 年
クンマーがパリの学士院から「フェ
ルマーの最終定理」に関する研究で
シェリング編纂の『ガウス全集、第
賞金をもらう。
4 巻：確立論と幾何学』が出版され
る 。 (Wahrscheinlichkeitsrechnung und
1863 年
Geometrie)
シェリング編纂の『ガウス全集、第
1874 年
1 巻 ： ガ ウ ス 整 数 論 (Disquisitiones
arithmeticae)』と『ガウス全集、第 2
シェリング編纂の『ガウス全集、第
巻 ： 高 等数 論 (Hoehere Arithmetik) 』
6 巻 ： 天 文 学 論 文 集 (Astronomische
が出版される。
Abhandlungen)』が出版される。
1876 年
1866 年
シェリング編纂の『ガウス全集、第
シェリング編纂の『ガウス全集、第
3 巻：解析学(Analysis)』が出版され
2 巻：高等数論(Hoehere Arithmetik)』
る。
の「第 2 版」が出版される。その中
で、
「第 2 巻の初版への補遺(Nachtrag
1867 年
シェリング編纂の『ガウス全集、第
zum
5 巻 ： 数 理 物 理 学 (Astronomische
Bandes)」が付け加えられた。
ersten
Abdruck
des
zweiten
Abhandlungen)』が出版される。
1889 年
1870 年
『 ガ ウ ス 整 数 論 (Disquisitiones
シェリング編纂の『ガウス全集、第
arithmeticae)』の M.Maser 訳のドイツ
1 巻 ： ガ ウ ス 整 数 論 (Disquisitiones
語訳が出版される。
arithmeticae)』の「第 2 版」が出版さ
れる。
1897 年
1871 年
4 月 、 ヒ ル ベ ル ト (David Hilbert ,
1861-1943)が「代数体の理論
シェリング編纂の『ガウス全集、第
(Die Theorie der algebraischen
7 巻 ： 理 論 天 文 学 (Theoretische
Zahlkorper,Jber,Deutsch.Math.Verin.
Astronomie)』が出版される。
4,pp.175-546. (Werke Bd. 1 , 63-482))」
この年、クンマーの理想数に相当す
を発表。
る概念を、デデキント(Julius Wilhelm
この中でヒルベルトのノルム剰余記
Richard Dedekind , 1831-1916)がイデ
号及び積定理、ノルム定理を述べた。
197
又、これはこれまでの「高次羃剰余
る。この日記はガウスの孫のカール・
相互法則に関する総合報告」になっ
ガウス(1847-1927)が保管していたも
ている。
のを、パウル・シュテッケル(1862-
1919)が発見した。現在『ガウス全集』
（ヒルベルトのノルム剰余記号）
の第 10 巻の第 1 分冊の pp.483-574 に
m ,n は 0 でない任意の有理整数で m
その解説と共に収録されている。又、
は平方数ではなく、 w は有理素数と
原文そのものを写した写真が PDF フ
する。このとき、
ァイルの形でも収録されている。
 n,m 

 w 
という記号は、 n が w の任意の羃を
法として 2 次体 Q ( m )のある整数

1900 年
クライン(Felix Klein , 1849-1925)とシ
ュ レ ジ ン ガ ー (Lutwig Schlesinger ,
のノルムと合同であるとき、＋１の
値を取り、その他の場合には − 1の値
を取るものとする。この記号をヒル
ベルトのノルム剰余記号という。
1864-1933)編纂の『ガウス全集、第 8
巻：数論と代数学:全集 1∼4 の補遺
(Arithmetik und Algebra : Nachtrage zu
このノルム剰余記号から、ガウスの
Band 1 - 4)』が出版される。
2 元 2 次形式の指標系の理論が直ち
1903 年
に導かれる。
クラインとシュレジンガー編纂の『ガ
（ヒルベルトの積定理）
ウス全集、第 9 巻：測地学（第 4 巻
m ,n は 0 でない任意の有理整数で m
の 続 き ） (Geodasie. Fortsetzung von
は平方数ではなく、 w は全ての有理
Band 4)』が出版される。
素数を動くとすると次が成立する。
1904 年
 n,m 
 =1
w 
(w )
∏ 
1899 年ゲッチンゲン王立科学協会は
「相互法則を 2 以外の素数の羃に対
この積定理より、平方剰余相互法則
して詳細に考察する」懸賞課題を出
が導かれる。
し、この賞はフルトヴェングラー
（ヒルベルトのノルム定理）
(Furtwa&& ngler)の研究
『U&& ber die Reziprozita&& tsgesetze zwischen
m ,n は有理整数で m は平方数ではな
いものとする。もし、全ての有理素
l-ten Potenzresten in algebraischen
Zahlko&& rpern 』(,Math.Ann.,58,1-50)に
数 w に対して
 n,m 
 ＝1
 w 
ならば、 n は体 Q ( m )のある数の
対して与えられた。

1906 年
ノルムになる。
クラインとシュレジンガー編纂の『ガ
ウス全集、第 7 巻：理論天文学
1898 年
(Theoretische Astronomie) 』 が 出 版 さ
「ガウスの数学日記(Nachbildung des
れる。
Tagebuchs) 」が 発 見さ れ、 公 表さ れ
198
1917 年
Geodaesie, Physik und Astronomie)』が
クラインとシュレジンガー編纂の『ガ
出版される。
ウス全集、第 10 巻の第 1 分冊：純粋
数 学 に 寄 せ る 補 遺 (Nachtraege zur
1927 年
reinen Mathematik)』が出版される。
クラインとシュレジンガー編纂の『ガ
「Lehre von den Reste」の中の論文「剰
ウス全集、第 11 巻の第 1 分冊：物理
余の解析(Analysis residuorum)」（これ
学、歴学、天文学への補遺(Nachtraege zur
は現在『ガウス 全集』の第 2 巻の
Physik, Chronologie und Astronomie)』が出版
pp.199-242 に収録）で平方剰余相互
される。
法則に関する第 7 証明が発表される。
ア ル テ ィ ン (Emile Artin,1898-1962) が
「 一 般 相 互 法 則 」 (Bewis des
1922 年
「任意の代数体における相互法則に
allgemenenReziprozita&& tsgesetzes
ついて」
Hamburg,5 ,pp.353-363,全集、pp.131-141)
(U&& ber das Reciprocit a
&& tsgesetz in einem
の中で次の一般相互法則を発表する。
,Abh.
beliebigen algebraischen
&& rper,J.Coll.Sci.Imp.Univ.Tokyo,
Zahlk o
（アルティンの一般相互法則）
k の H f によるイデアル類群と K /k
のガロア群との間の同型は、 H f の
同手 f と素な各素イデアル p に対し、
K の各整数 A に対して
4,pp.1-50『全集,pp179-216』)におい
て高木貞治は、任意のアーベル拡大
体に対する相互法則に「これまでに
発見された」一般の相互法則を包括
Aσ ≡ A N (p) (mod. p )
させた。
となるようなガロア群の元（置換）
σ を対応させることによって表され
る。置換 σ は p の属する H による
クラインとシュレジンガー編纂の『ガ
ウス全集、第 10 巻の第 2 分冊：純粋
類にのみ依存し、かつ類の積と置換
数学と力学の領域に寄せるガウス
の積とが対応する。
科学上の業績に関する諸論文
(Abhandlungen ueber Gauss'
（ ア ル テ ィ ン の 羃 剰 余 記 号 相 互 法 則
wissenschaftliche Taetigkeit auf den
Ⅰ）
Gebieten der reinen Mathematik und
m 次剰余記号
Mechanik)』が出版される。
α 

B

1924 年
は k(m α )に対するイデアル類 H に
よる類別のイデアル B の属する類に
のみ依存する。
クラインとシュレジンガー編纂の『ガ
ウス全集、第 11 巻の第 2 分冊：測地
学、物理学及び天文学の領域に寄せ
（アルティンの羃剰余記号相互法則Ⅱ）
るガウスの科学上の業績に関する諸
m
k(m α ) の導手と k( β )の導手が互
論文
いに素であるとき、次が成立する。
(Abhandlungen ueber Gauss' wissenschaftliche
Taetigkeit auf den Gebieten der
199
相対アーベル体 K /k及び k の素イデ
α   β 
 =  
 β  α 

アル p とに対して、 K /k のガロア
群の元を値として取るノルム剰余記
高木貞治が次の高木の公式を発見す
号
る。
 β ,K
 p
（高木の公式）

p は奇素数、 ξ を 1 の原始 p 乗根、
が定義される。
K = Q( ξ ), A は K の整数環、そして
即ち、 K /k の導手 f の p 成分を fp
λ = 1− ξ と す る 。 こ こ で 、
α ,β ∈ A 、 gcd(
Aα ,Aβ )= A で あ
とし、 β に対して補助の数 β 0 を
り
か
,
つ
β 0 ≡ β (mod.fp ) ,
、
β 0 ≡ 1(mod.f / fp )
α ≡ 1(mod.Aλ ), β ≡ 1(mod.Aλ )
(乗法合同)
とすれば、
 α  β 
 
 β  α 
にとる。 β 0 を、 β 0 ≡ pb B ( B は p
に素)と分解し、
−1
= ξ −µ

 β ,K
 p

となる。ここで、
µ =
∑ jt(α )t
j
 K 
 =  
 B
(アルティン記号)
p−1
と定義する。このとき、 p が k のす
(β )
p− j
j=1
べての素イデアル（無限遠点も含む）
とする。
を動くとき以下の積公式が成立する。
1929 年
クラインとシュレジンガー編纂の『ガ
(Varia. Atlas des Erdmagnetismus)』が出
 β ,K
 p
∏ 
ウス全集、第 12 巻：雑、地磁気地図

 = 1

（ハッセのノルム定理）
版される。
巡回拡大体 K /kにおいて
 α ,K
 p

 = 1（すべての p ）

c

1930 年



『Neue Begru&& ndung und Verallgemeinerung
der Theorie des Normenrestsymbols ,
α は K /kのノルムである
J.Reine Angew . Math. , 162 ,pp.134-
144 , 全集Ⅰ,pp.266-279』においてハ
この定理によりヒルベルトのノルム
ッセ(Helmute Hasse , 1898-1979)はヒ
剰余記号に関する諸性質は直ちに導
ルベルトのノルム剰余記号の積定理
くことができる。
を任意の基礎体と、その上の任意の
アーベル拡大体とに対して、一般に
1955 年
次の定理が成り立つことを示した。
ダニングトン(Guy Waldo Dunnington)に
よるガウスの伝記『科学の王者・ガ
（ハッセのノルム剰余記号の積とし
ウスの生涯(Carl Friedrich Gauss: Titan
ての相互法則）
of Science)』が出版される。
k の任意の元 β と、 k の上の任意の
200
19 世紀の数学-整数論』が共立出版社
1965 年
から出版される。
『 ガ ウ ス 整 数 論 (Disquisitiones
10 月 10 日、ガウスの平方剰余相互
arithmeticae)』の Arthur A. Clark , S.J.
法則の 7 つの証明の概容をまとめた
訳の英語訳が出版される。
倉田令二郎の『平方剰余の相互法則-
トード・ハッル(Tord Hall)の『数学の
ガウスの全証明』が日本評論社より
アイディア-甦るガウスの夢』
出版される。
(Gauss,Matematikernas konung) が 出 版
される。
1995 年
6 月 30 日 、『 ガ ウ ス 整 数 論
1976 年
(Disquisitiones arithmeticae)』の高瀬正
4 月 15 日、
銀林浩日本語訳のトード・
仁訳の日本語訳が朝倉書店より出版
ハッル(Tord Hall)の『数学のアイディ
される。
ア - 甦 る ガ ウ ス の 夢 』
(Gauss,Matematikernas konung) が 東 京
図書から出版される。
1978 年
9 月 6 日、トード・ハッル(Tord Hall)
の山下純一日本語訳『数学のアイデ
（補記）
ィ ア - 甦 る ガ ウ ス の 夢 』
尚、『ガウス全集 』はウェッブ上で
(Gauss,Matematikernas konung) が 東 京
PDF ファイルの形式でゲッチンゲン
図書から出版される。
大学から公開されている。以下を検
索すると簡単にそのアドレスにたど
1988 年
り着く。
Niedersaechisische
9 月 20 日、『ガウス整数論』の前半
Staats-und
部分をまとめた倉田令二郎の『ガウ
Universitaetsbibliothek
ス初等整数論』が進学研究社から出
Digitalisierungszentrum
版される。
37070 Goettingen, Germany
1990 年
6 月 8 日、ガウスに始まるドイツ数
学史に関する高瀬正仁の『ガウスの
遺産と継承者たち-ドイツ数学史の構
想』が海鳴社より出版される。
1992 年
3 月 10 日、羃剰余相互法則及び一般
の相互法則の歴史と基本事項の概容
をまとめた河田敬義の『数学の歴史201
Goettingen
-