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「数」ってなんだろう
伊澤 達夫
8 December 2003
我々は、小学校に入学してから中学校を卒業するまでに、自然数（即
ち、1,2,3,4,5,· · · のように個数や順序を表す数）に始まって、有理整数、
有理数、次に実数を学び、理解する「数」の範囲を拡げてきました。中
学校では、実数全体が直線上の点の全体と１対１に対応しており、各点
が実数と１対１に対応されている直線を数直線とよぶこと等を学びまし
た。我々は、ここまでを前提として、高校で学ぶ複素数の概念を復習す
ることから出発することにしましょう。
最初に、今日の話しの中でよく使われる数学的対象を表す記号を纏めて
おきます。
Z= 有理整数全体の集合= {0, ±1, ±2, ±3, · · · }
Q = 有理数全体の集合 = { ab | a, b ∈ Z, b 6= 0, ただし、ab = dc ⇔ ad − bc =
0}
R = 実数全体の集合 C = 複素数全体の集合 Rn = {(x1 , x2 , · · · , xn ) | 各 xi は実数 }
M2 (R) = 実数を成分とする２次の正方行列全体の集合
定義 1 [複素数の定義] a + bi, ここで a, b は実数で、i は i2 = −1 を満
たす記号、の形の記号の集まりを考え、以下のように約束と算法（演算）
を定める。
1. a + bi = c + di となるのは、a = c かつ b = d のとき、かつそのとき
に限る。
2. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (複素数の加法)
3. (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i (複素数の乗法)
このとき、一つ一つの記号 a + bi を複素数とよび、i は虚数単位とよば
1
れる。
定義２ (複素数平面の定義) 平面に直交座標軸を考えて、平面上の点
を２つの実数の組 (a, b) で表すとき、複素数 a + bi にこの点を対応させれ
ば、複素数全体の集合と平面上の点全体とが１対１に対応する。このよ
うに、複素数と１対１に対応付けられた平面を複素数平面またはガウス
平面とよぶ。
問１
つぎの計算をせよ。
√
√
(1) (2 + 3i)(3 − 2i)
(2) i3 + i4 + i5 + i6
「数」の体系である Z, Q, R, C 等がその算法に関して共通に持って
いる構造を調べてみよう。そこから、我々は近代代数学において最も基
本的な概念である「群」と「環」とを導入することができるのである。
定義３ (群の定義) 算法・が定められている集合 G が、この算法・に関
して群であるとは、以下の３つの条件が成り立つことである。
(1) (a・b)・c = a・(b・c)
(a, b, c ∈ G)
(2) a・e = e・a = a (∀a ∈ G) を満たす元 e が存在する。
(3) G の任意の元 a に対して、a・b = b・a = e を満たす元 b が存在する。
(2) の条件を満たす元 e を群 G の単位元、(3) の条件を満たす元 b を a の
逆元とよんで普通 a−1 とかく。群 G は、さらにつぎの条件 (4) を満たすと
き、可換群（アーベル群）とよばれる。
(4) G の任意の２元 a, b に対して、等式 a・b = b・a が成り立つ。
群の例
(1) Z, Q, R, C 等は加法 + という算法の下で可換群である。
(2) M2 (R) は行列の加法の下で可換群である。
(3) 集合 G = {(a, b)|a, b は実数で a 6= 0} において、算法を (a, b)・(c, d) =
(ac, bc + d) と定めると群となる。これは可換群ではない。
(4)
Q∗ = {0 以外のすべての有理数 }, R∗ = {0 以外のすべての実
数 }, C∗ = {0 以外のすべての複素数 } 等は乗法の下で群となる。
2
問２ 上の群の例 (3) を確かめよ。この群の単位元は何か。また、G の
元 (a, b) の逆元を求めよ。
定義４ (環の定義) 加法と乗法の２つの算法が集合 R に定められていて、
即ち、R の任意の２元 a, b に対して a + b および ab が R の元として定め
られていて、以下の条件を満たすとき、R は環 (ring) であるとよばれる。
(1) (a + b) + c = a + (b + c)
(2) a + 0 = 0 + a = a
(a, b, c ∈ R)
(∀a ∈ R) を満たす R の元 0 がある。
(3) R の任意の元 a に対して、a + b = b + a = 0 を満たす元 b がある。
この元 b を −a とかく。
(4) R の任意の２元 a, b に対して、等式 a + b = b + a が成り立つ。
(5) R の任意の３元 a, b, c に対して、等式 (ab)c = a(bc) が成り立つ。
(6) R の任意の元 a に対して、a1 = 1a = a を満たす R の元 1 が存在す
る。この元 1 を R の単位元とよぶ。
(7) R の元 a, b, c に対して、等式
a(b + c) = ab + ac
(a + b)c = ac + bc
が成り立つ。これを分配律という。
さらに、環 R が次の条件 (8) を満たすとき、可換環であると云われる。
(8) R の任意の２元 a, b に対して、等式 ab = ba が成り立つ。
環の例 Z, Q, R, C, M2 (R) 等は通常の加法と乗法に関してすべて環
であり、M2 (R) 以外はすべて可換環である。
問３
Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} は可換環であることを示せ。
Z, Q, R, C 等においては、a 6= 0, b 6= 0 なる a, b に対しては常に ab 6= 0
であるが、M2 (R) ではこれが成り立たない。
定義５
環 R の２元 a, b に対して、a 6= 0 かつ b 6= 0 であるが、ab = 0
3
になるとき、a, b をそれぞれ左零因子、右零因子とよぶ。可換環が零因子
を持たないとき、即ち、ab = 0 ならば、a = 0 または b = 0 であるとき、
整域とよばれる。
整域の例
を持つ。
Z, Q, R, C, Z[i] 等はすべて整域であるが、M2 (R) は零因子
定義６ (体の定義) 環において、0 以外の任意の元 a が逆元を持つとき、
その環は斜体であると云われる。可換な斜体は単に体とよばれる。
体の例 Q, R, C, Q[i] = {a + bi | a, b ∈ Q} はすべて体である。斜体
の例は後で挙げる。
問４
C と Q[i] が体であることを示せ。
定義７ (環の同型) ２つの環 R と S に対して、全単射写像 f : R −→ S
で
f (x + y) = f (x) + f (y) (x, y ∈ R)
f (xy) = f (x)f (y) (x, y ∈ R)
f (1R ) = 1S
を満たすものを環同型写像とよび、R から S への同型写像が存在すると
き、R と S は同型な環であると云われる。
同型な環は、同じ環の別の表現と考えられる。つぎに、ハミルトンによ
る複素数体の表現 (1833 年) を紹介します。
集合 R2 = {(a, b) | a, b ∈ R} に算法を以下のように定める。
(a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c, b = d
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc)
このとき、R2 は環となり、(1, 0) が単位元である。また、(0, 1)2 = (0, 1)(0, 1) =
(−1, 0), (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) が成り立つことに
4
注意すると、写像 f : R2 −→ C, f ((a, b)) = a + bi は R2 から C への同
型写像となる。特に、f ((a, 0)) = a, f ((0, 1)) = i となる。
問５
上に与えた算法により、R2 は体になることを確かめよ。
C のもう１つの表現
M2 (R) の部分集合
Ã
F={
a b
−b a
!
| a, b ∈ R}
Ã
は、行列の加法と乗法の下で環となり、さらに写像 g :
a b
−b a
!
−→
a + bi は F から C への同型写像となる。
問６
上に与えた算法により、F は体となることを直接確かめよ。
以上のように、R2 と行列の集合 F に適当に算法を定めると複素数体と
同型な体となることが分かった。よって、R2 の各元 (a, b) を、または行
Ã
!
a b
列
を複素数とよんでも差し支えない。
−b a
そこで、R3 , R4 , R5 , · · · 等に適当に算法を定義して「数」の体系とよべ
るものが作れないだろうか、という問題が生ずる。
「数」の体系としては
どんな条件が求められるだろうか。最低、環であることが要求されるだ
ろう。そして、零因子を持たないことも要求されるだろう。さらに、斜
体、できれば体であることが望ましい。このような体系が R3 , R4 , · · · 等
につくれないか、という研究が１９世紀になされました。
Rn における環構造 (1) Rn に算法を
(x1 , x2 , · · · , xn ) + (y1 , y2 , · · · , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , · · · , xn + yn )
(x1 , x2 , · · · , xn )(y1 , y2 , · · · , yn ) = (x1 y1 , x2 y2 , · · · , xn yn )
と定めると、Rn は環となるが、零因子を持ち、整域にもならない。
(2) R7 に加法は (1) と同じように定義し、乗法を
(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 )(y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6 , y7 ) =
(x1 y1 , x2 y2 , x3 y3 , x1 y4 + x4 y2 , x3 y5 + x5 y3 , x2 y6 + x6 y1 , x1 y7 + x7 y1 )
5
と定めると、R7 は (1, 1, 1, 0, 0, 0, 0) を単位元とする環となるが、これ
も零因子を持つ。
問７
上のことを確かめよ。
しかし、１８４３年ハミルトンはある大発見をしました。
定義８
(ハミルトンの４元数体) R4 において、基本ベクトル e1 =
(1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1) をとると、
R4 の任意の元 x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) は x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 + x4 e4 と一意
的に表される。よって、積 ei ej が確定すれば、y = y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 + y4 e4
との積を
xy =
4
X
xi yj ei ej
i,j=1
によって定めることができる。先ず、e1 は単位元として
e1 ej = ej e1 = ej (2 ≤ j ≤ 4)
と定め、e2 , e3 , e4 は虚数単位として
e2j = −e1 (2 ≤ j ≤ 4)
とする。さらに、
e2 e3 = −e3 e2 = e4 , e3 e4 = −e4 e3 = e2 , e4 e2 = −e2 e4 = e3
P
と定める。加法は、x + y = 4i=1 (xi + yi )ei で定めると、R4 は斜体とな
る。これを普通 H とかき、ハミルトンの４元数体とよぶ。また、H の元
をハミルトンの４元数とよぶ。H の部分集合 {xi e1 + x2 e2 | x1 , x2 ∈ R} は
C と同型な体となる。複素数 a + bi と ae1 + be2 とを同一視すれば、H は
C を含むとみてよい。
問８ ハミルトンの４元数 x = ae1 + be2 + ce3 + de4 の逆元 (逆数）を求
めよ。
「数」の概念の拡張については、以下のような結果が証明されています。
定理１ (フロベニウス)
Rn に斜体の構造が定義できるのは、n が 1 か 2
6
か 4 のいずれかのときに限る。
定義９ (ケイリーの８元数)
対して、算法を
R8 において基本ベクトル e1 , e2 , · · · , e8 に
e1 ej = ej e1 = ej (1 ≤ j ≤ 8), e2j = −e1 (2 ≤ j ≤ 8)
ei ej = −ej ei (2 ≤ i, j ≤ 8, i 6= j), e2 e3 = e4 , e2 e5 = e6 , e2 e7 = e8
e3 e5 = e8 , e3 e6 = e7 , e4 e5 = e7
P
P
P
と定め、２つの元 x = 8i=1 xi ei と y = 8j=1 yj ej の積を xy = 8i, j=1 xi yj ei ej
と定義する。このとき、R8 を O とかき、O の元をケイリーの８元数とよ
ぶ。O は乗法の結合律と可換性を満たさないが、分配律を満たす。また、
零因子を持たない。
問９ O において、e2 e4 = −e3 , e2 e8 = −e7 が成り立つことを示せ。
定理２ (ボット-ミルノア、１９５８年) Rn に零因子を持たず、分配律を
満たすように乗法が定義できるのは、n が 1, 2, 4 または 8 のいずれかに
限る。
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