微分積分学 (1) 講義メモ(pdf file)

微分積分学（１）講義メモ
2014 年
iii
目次
第 1 章 数列と極限
1.1 数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 収束，発散の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 数列の収束条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
9
第 2 章 連続関数
21
2.1 連続性の定義と例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 中間値の定理，最大最少の定理 . . . . . . . . . . . . . . . 29
第3章
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
微分法
導関数，逆関数 . . . . . . . . . . . . .
逆三角関数 . . . . . . . . . . . . . . .
双曲線関数，逆双曲線関数 . . . . . . .
導関数の計算 . . . . . . . . . . . . . .
平均値の定理 . . . . . . . . . . . . . .
不定形の極限 . . . . . . . . . . . . . .
テーラーの定理，マクローリンの定理
漸近展開 . . . . . . . . . . . . . . . . .
第4章
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
積分法
定積分 . . . . . . . . . . . . . .
定積分の性質 . . . . . . . . . .
定積分と不定積分 . . . . . . . .
不定積分の計算法 . . . . . . . .
有理関数の不定積分 . . . . . .
4.5.1 有理関数の部分分数分解
4.5.2 部分分数分解の計算例 .
4.5.3 部分分数の不定積分 . .
三角関数，無理関数の不定積分
4.6
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35
35
40
42
48
50
59
65
77
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85
85
95
99
103
109
110
115
118
120
iv
4.7
広義積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
第 5 章 レポート問題とその略解
139
1
第1章
数列と極限
数列
1.1
1.1.1
収束，発散の定義
いくつかの実数 a1 , a2 , · · · , an があるとき，そのうちの最大値 (maximum) と，最小値 (minimum) をそれぞれ次の記号
max{a1 , a2 , · · · , an }, min{a1 , a2 , · · · , an }
で表す． たとえば
max{3, −2, 1, 0, 3} = 3, min{3, −2, 1, 0, 3} = −2.
次が成り立つ．
x ≥ max{a1 , a2 , a3 } ⇐⇒ x ≥ a1 かつ x ≥ a2 かつ x ≥ a3
y ≤ max{a1 , a2 , a3 } ⇐⇒ y ≤ a1 かつ y ≤ a2 かつ y ≤ a3
実数 α の絶対値 |α| は次のように定義される．
{
α
α ≥ 0 のとき
|α| =
−α α ≤ 0 のとき
数直線上，原点を O とし，数 α に対応する点を P とすると，線分 OP
の長さが |α| である．また，数 β に対応する点を Q とすると，線分 P Q
の長さが |β − α| である．
補題 1.1.1 数の絶対値について次が成り立つ．
|α| ≥ 0, |α| = 0 ⇐⇒ α = 0
(1.1)
|αβ| = |α||β|
(1.2)
第1章
2
|α + β| ≤ |α| + |β|
数列と極限
(三角不等式)
(1.3)
|α| < ϵ ⇐⇒ −ϵ < α < ϵ
(1.4)
|x − α| < ϵ ⇐⇒ α − ϵ < x < α + ϵ
(1.5)
||α| − |β|| ≤ |α − β|
(1.6)
証明 (1.1),(1.2), (1.3),(1.4) は α, β の符号に応じて場合分けして証明さ
れる．(1.5) は, (1.4) よりすぐに分かる．(1.6) を示す．三角不等式により
|α| = |(α − β) + β| ≤ |α − β| + |β|
であるから，|α| − |β| ≤ |α − β|. 同様に |β| − |α| ≤ |β − α| であるから，
−|β − α| ≤ |α| − |β|.
ところで
|β − α| = | − (α − β)| = | − 1||α − β| = |α − β|.
ゆえに
−|α − β| ≤ |α| − |β| ≤ |α − β|
が成り立つ．ゆえに (1.4) により (1.6) がなりたつ．
2
次によく使われる２項定理の復習をしておこう．(a+b)n , n = 0, 1, 2, 3, · · ·
を展開すると
(a + b)0 = 1, (a + b)1 = a + b,
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = (a + b)2 (a + b) = (a2 + 2ab + b2 )(a + b)
= a3 + 2a2 b + ab2
+a2 b + 2ab2 + b3
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = (a + b)3 (a + b) = (a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 )(a + b)
= a4 + 3a3 b + 3a2 b2 + ab3
+a3 b + 3a2 b2 + 3ab3 + b4
= a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
1.1. 数列
3
のように計算される．一般の n に対しては２項係数
n Ck
=
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
k!
を用いて
n
(a + b)
=
n
∑
n−k k
b
n Ck a
k=0
n(n − 1) n−2 2 n(n − 1)(n − 2) n−3 3
a b +
a b
1×2
1×2×3
n(n − 1) 2 n−2
+··· +
ab
+ nabn−1 + bn
1×2
( )
のようになる．2 項係数 n Ck は nk と表すこともある．また次の記号も
よく使われる．
= an + nan−1 b +
k! = 1 × 2 × · · · k, (k = 1, 2, · · · , ) 0! = 1
(n)k = n(n−1)(n−2) · · · (n−k +1) =
n!
(1 ≥ k ≥ n), (n)0 = 1.
(n − k)!
k! は k の階乗と読む．これらの記号により，
( )
n
(n)k
n!
=
=
n Ck =
k
k!
k!(n − k)!
この表し方から，次のことを簡単に確かめられる．
( ) (
) (
) ( ) (
)
n
n
n+1
n
n
+
=
,
=
k
k−1
k
k
n−k
(0 ≤ k ≤ n)
この最初の関係式を用いて，次の２項定理が，n に関する数学的帰納法
により証明される：
n ( )
∑
n n−k k
(a + b) =
a b
k
k=0
n
(n = 0, 1, 2, · · · )
２項定理により
n ( )
n ( )
∑
n n−k k ∑ n k
(1 + h) =
1 h =
h
k
k
k=0
k=0
n
第1章
4
数列と極限
が成り立つ．
n ( )
∑
n k
n(n − 1) 2
h = 1 + nh +
h + · · · + hn
k
2
k=0
において， h > 0 のとき，右辺の各項は正であるから，
(1 + h)n > 1, (1 + h)n > nh, (1 + h)n >
n(n − 1) 2
h
2
が成り立つ．したがって h > 0 のとき，
1
1
11
1
2
1
< 1,
<
,
<
n
n
n
(1 + h)
(1 + h)
n h (1 + h)
n(n − 1) h2
が成り立つ．一般的に
補題 1.1.2 h > 0 のとき
(1 + h)n >
1
<
(1+h)n
(n)k k
h
k!
k! 1
(n)k hk
(k = 0, 1, 2, · · · , n).
この補題をもちいて，次の定理を証明できる．
定理 1.1.3 次の極限公式がなりたつ．


|r| < 1 のとき
 0
n
lim r =
1
r = 1 のとき
n→∞

 発散
その他の場合
これらの事実を説明するためには，数列の極限の意味をはっきりさせ
る必要がある．数列 {an } が数 α に収束するとは次のことである．n が
どんどん大きくなるとき an が α にどんどん近づく．また n がどんどん
大きくなるとは，どのような数 N よりも n がいつか大きくなることで
ある．an が α にどんどん近づくとは，|an − α| がどんどん小さくなるこ
とである．|an − α| がどんどん小さくなることは， どのような正の数 ϵ
より |an − α| がいつかは小さくなることである．以上を踏まえて次のよ
うに定義する．
1.1. 数列
5
定義 1.1.4 数列 {an } が α に収束するとは，次の条件がなりたつことで
ある．
(A) 任意の正数 ϵ に対して，
n>N
を満たすすべての n に対して |an − α| < ϵ (1.7)
が成り立つような正整数 N が存在する.
このとき
lim an = α
n→∞
とかき， α を極限値という．
なお条件 (1.7) を次のように表す.
n > N =⇒ |an − α| < ϵ
(1.8)
定義 1.1.5 limn→∞ an = α であるような α が存在しないとき，{an } は
発散するという．
そのうち，とくに任意の正数 R > 0 に対して，次の条件
n>N
を満たすすべての n に対して an > R (an < −R) (1.9)
が成り立つような正整数 N が存在するとき
lim an = ∞ (−∞)
n→∞
とかき， {an } は無限大（負の無限大）に発散するするという．
補題 1.1.6
lim an = α ⇐⇒ lim |an − α| = 0,
(1.10)
lim an = 0 ⇐⇒ lim |an | = 0.
(1.11)
lim an = α =⇒ lim |an | = |α|.
(1.12)
lim |an | = ∞ =⇒ lim
1
= 0.
n→∞ an
(1.13)
1
lim an = 0, an =
̸ 0 (n = 1, 2, · · · ) =⇒ lim = ∞.
n→∞
n→∞ an
(1.14)
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
第1章
6
数列と極限
証明 定義 1.1.4, 1.1.5 より，ほぼ自明である．
2
補題 1.1.7 (極限の挟み撃ちの原理)
1. an ≤ cn ≤ bn (n = 1, 2, · · · )
であり，limn→∞ an = limn→∞ bn = α であるならば，{cn } も収束
し limn→∞ cn = α.
2. an ≤ bn (n = 1, 2, · · · ) であり，limn→∞ an = α, limn→∞ bn = β
ならば，α ≤ β.
証明 1. ϵ > 0 とする．limn→∞ an = α であるから，次のような N1 が
存在する：
n > N1 =⇒ |an − α| < ϵ ⇐⇒ α − ϵ < an < α + ϵ.
limn→∞ bn = α であるから，この ϵ に対して，次のような N2 が存在する：
n > N2 =⇒ |bn − α| < ϵ ⇐⇒ α − ϵ < bn < α + ϵ.
an ≤ cn ≤ bn (n = 1, 2, · · · ) であるから，N = max{N1 , N2 } とおくと，
n > N =⇒ α − ϵ < an ≤ cn ≤ bn < α + ϵ =⇒ |cn − α| < ϵ.
ゆえに limn→∞ cn = α.
2. α > β とする．ϵ =
α−β
2
とすると，ϵ > 0 であり，
β + ϵ = α − ϵ.
(1.15)
limn→∞ an = α であるから，この ϵ に対して，次のような N1 が存在
する：
n > N1 =⇒ |an − α| < ϵ ⇐⇒ α − ϵ < an < α + ϵ.
(1.16)
limn→∞ bn = β であるから，この ϵ に対して，次のような N2 が存在する：
n > N2 =⇒ |bn − β| < ϵ ⇐⇒ β − ϵ < bn < β + ϵ.
(1.17)
N = max{N1 , N2 } とおくと，(1.15),(1.16), (1.17) より，
n > N =⇒ bn < β + ϵ = α − ϵ < an =⇒ bn < an
となり，仮定 an ≤ bn (n = 1, 2, · · · ) に反する．ゆえに α ≤ β.
2
1.1. 数列
7
注意 1.1.8 背理法について
定理あるいは補題はいくつかの条件 A1 , A2 , · · · , An と結論 B から成
り立ち，全ての条件 A1 , A2 , · · · , An が正しいとすると，結論 B も正し
いことを主張する．これを証明するために，A1 , A2 , · · · , An が正しく，か
つ B の否定（それを記号 ¬B で表す）が正しいことはあり得ないことを
示す方法が背理法による定理の証明である．
上の補題 1.1.7 の 2. の場合には条件は
A1 : an ≤ bn (n = 1, 2, · · · );
A2 : limn→∞ an = α;
A3 : limn→∞ bn = β
であり結論は
B:α≤β
である．B の否定は
¬B : α > β
である．上の証明では ¬B, A2 , A3 を用いて A1 の否定
¬A1 : n > N =⇒ an > bn
が成り立つことが示された．いま A1 も正しいと仮定しているから，A1 , ¬A1
がともに正しいことになり，このようなことはあり得ない．したがって
A1 , A2 , A3 , ¬B がともに正しいことはあり得ず，A1 , A2 , A3 がすべて正し
いならば，B が正しいことが証明された．
注意 1.1.9 定義 1.1.4 の収束条件 (A) は次の条件と同値である．
(B) 任意の ϵ > 0 に対して，存在する．
n > M =⇒ |an − α| < 2ϵ.
(1.18)
が成り立つような番号 M が存在する．
また (1.18) の右辺の 2 は 3 で置き換えてもよい．あるいは任意の正定数
k で置き換えてもよい．
第1章
8
数列と極限
実際 (A) が成り立つとする．
n > N =⇒ |an − α| < ϵ =⇒ |an − α| < 2ϵ
であるから，M = N に対して (B) が成り立つ．
逆に (B) が成り立つとする．ϵ > 0 ならば ϵ/2 > 0 であるから，この
ϵ/2 > 0 に対して，(B) より，
(ϵ)
=ϵ
n > N =⇒ |an − α| < 2
2
である N が存在し， (A) が成り立つ．
定理 1.1.10
lim an = α,
n→∞
lim bn = β
(1.19)
n→∞
ならば，次が成り立つ．
1. limn→∞ (an + bn ) = α + β
2. limn→∞ (can ) = cα
3. limn→∞ (an bn ) = αβ
4. bn ̸= 0 (n = 1, 2, · · · ), β ̸= 0 のとき limn→∞
an
bn
=
α
β
証明 1. |(an + bn ) − (α + β)| を評価する．三角不等式により，
|(an + bn ) − (α + β)| = |(an − α) + (bn − β)|
≤ |an − α| + |bn − β|
(1.20)
ϵ > 0 とする．仮定 (1.19) により，次のような N1 , N2 が存在する：
n > N1 =⇒ |an − α| < ϵ,
(1.21)
n > N2 =⇒ |bn − β| < ϵ
(1.22)
N = max{N1 , N2 } とおく，n > N ならば，n > N1 かつ n > N2 である
から，|an − α| < ϵ, |bn − α| < ϵ がともに成り立つ．(1.20) を用いて
n > N =⇒ |(an + bn ) − (α + β)| < 2ϵ
ゆえに 1. が証明された．
2. |can − cα| = |c||an − α| であるから，(1.21) により，
n > N1 =⇒ |can − cα| < |c|ϵ.
注意 1.1.9 により，2. が成り立つ．
3.4. の証明は次節の準備の後で与える．
2
1.1. 数列
1.1.2
9
数列の収束条件
数列 {an } の極限値 α が予想できる場合は，|an − α| の値を調べるこ
とにより，収束性の証明が可能である．しかし α の値が予測できない場
合には，このような方法はとれない．極限値がはっきり予測できない場
合に，収束するかそうでないかはどのように判定できるだろうか．
まず収束する場合の必要条件を調べよう．数列 {an } が収束するなら
ば，各項は一定の範囲内に収まっている．すなわち
|an | ≤ M (n = 1, 2, · · · )
(1.23)
であるような定数 M がある．このような M があるとき，{an } は有界
（bounded）であるという．
実際 limn→∞ an = α とする．任意の正数 ϵ に対して (1.9) が成り立つ
N があるから，たとえば ϵ = 1 に対して
n > N =⇒ |an − α| < 1
であるような N がある．
|an | = |an − α + α| ≤ |an − α| + |α|
であるから，
n > N =⇒ |an | < 1 + |α|.
したがって
M = max{|a1 |, · · · , |aN |, 1 + |α|}
とおくと (1.23) が成り立つ．以上により，次が成り立つ．
定理 1.1.11 収束する数列は有界である．
この定理と類似の次の補題も有用である．
補題 1.1.12 limn→∞ an = α ̸= 0 とする．このとき
1. α > 0 ならば，次のような N+ と δ+ > 0 がある．
n > N+ =⇒ an > δ+ > 0
第1章
10
数列と極限
2. α < 0 ならば，次のような N− と δ− > 0 がある．
n > N− =⇒ an < −δ− < 0
3. α が正でも負でもいずれにしろ
n > N =⇒ |an | > δ > 0
であるような N と δ > 0 がある．
証明 1. α > 0 であるから，ϵ = α/2 とおくと，ϵ > 0 である．
limn→∞ an = α であるから，この ϵ = α/2 に対して次のような N が
ある：
n > N =⇒ |an − α| <
α
α
α
⇐⇒ α − < an < α +
2
2
2
ゆえに N+ = N, δ = α/2 > 0 とおくと 1. が成り立つ．
2. limn→∞ (−an ) = −α であるから，1. により，
n > N− =⇒ −an > δ− =⇒ an < −δ−
であるような N− と δ− > 0 があり，2. が成り立つ．
3. は 1.,2. をまとめたものである．
定理 1.1.10,3,4. の証明
3. |an bn − αβ| を評価する．三角不等式により，
2
|an bn − αβ| = |an bn − αbn + αbn − αβ|
= |(an − α)bn + α(bn − β)|
≤ |an − α||bn | + |α||bn − β|
(1.24)
{bn } は収束するから，有界であり，|bn | ≤ M (n = 1, 2, · · · ) である M
がある．ゆえに
|an bn − αβ| ≤ |an − α|M + |α||bn − β|
(1.21),(1.21) により，
n > max{N1 , N2 } =⇒ |an −α|M +|α||bn −β| ≤ ϵM +|α|ϵ = (M +|α|)ϵ
ゆえに
n > max{N1 , N2 } =⇒ |an bn − αβ| < (M + |α|)ϵ
1.1. 数列
11
であるから，3. が成り立つ．
4. まず limn→∞ 1/bn = 1/β を示す．通分して
1
β − bn |β − bn |
1
− =
bn β bn β = |bn ||β|
limn→∞ bn ̸= 0 であるから，補題 1.1.12 により，
n > N3 =⇒ |bn | > δ =⇒
1
1
<
|bn |
δ
であるような N3 と δ > 0 がある．N2 を (1.22) における値とし，N =
max{N2 , N3 } とおく．このとき
n > N =⇒
|β − bn |
1
<
ϵ
|bn β|
δ|β|
であるから，limn→∞ b1n = β1 である．
ゆえに
)
(
an
1
1
α
1
lim
= lim an ×
= lim an lim
=α =
n→∞ bn
n→∞
n→∞
n→∞ bn
bn
β
β
2
定理 1.1.11 の逆は成り立たない．つまり有界数列であっても収束しな
い数列がある．たとえば an = (−1)n−1 , n = 1, 2, · · · で定義される数列は
1, −1, 1, −1, · · ·
であるから |an | ≤ 1(n = 1, 2, · · · )．この数列は有界であるが，1 に収束
する訳でなく，−1 に収束する訳でなく，また他のどのような数に収束す
る訳でもない．
有界性に他の条件を加えた収束条件として基本的なものを次に述べる．
an の値が次第に増えていく数列 {an } は増加数列であるという．bn の値
が次第に減っていく数列 {bn } は減少数列であるという．増加数列と減少
数列をまとめて単調数列という．
定理 1.1.13 (i)
a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ an ≤ an+1 ≤ · · ·
第1章
12
数列と極限
であり，かつ
an ≤ A (n = 1, 2, · · · )
である一定数 A が存在すれば（このとき {an } は上に有界 (upper bounded)
であるという），{an } はある実数 α に収束し，limn→∞ an = α ≤ A.
(ii)
b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn ≥ bn+1 ≥ · · ·
であり，かつ
bn ≥ B (n = 1, 2, · · · )
である一定数 B が存在すれば（このとき {bn } は下に有界 (lower bounded)
であるという），{bn } はある実数 β に収束し，limn→∞ bn = β ≥ B.
この定理で大切な点は，極限値 α, β が有理数と無理数を併せた実数の
範囲内で見つかることである（このことを実数の集合の完備（complete)
性という）．有理数の範囲では極限値が見つからない場合がある．たと
えば
√
2 = 1.41421356 · · ·
の右辺の少数第 n 位までとった数を an とし，bn = an +
1
10n
とする：
a1 = 1.4, a2 = 1.41, a3 = 1.414, a4 = 1.4142, · · ·
b1 = 1.5, b2 = 1.42, b3 = 1.415, b4 = 1.4143, · · ·
このとき {an } は有理数の増加列，{bn } は有理数の減少列である．極限値
√
lim an = lim bn = 2
n→∞
n→∞
は無理数である．
自明でない例として，演習教科書の 3 ページ，5 ページの例がある．こ
こでは演習書と異なる証明法を紹介しておく．高校でも習う因数分解公
式を用いる方法である．
因数分解の公式
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
1.1. 数列
13
は高校でもならう．この公式は次のように一般化される．n = 2, 3, 4, · · ·
のとき
an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + bn−1 )
(1.25)
たとえば
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
である．
(1.25) 式の右辺を実際に展開して見ると左辺になり，(1.25) が正しい
ことがわかるが，等比級数の和の公式から導きだすこともできる．実際
等比級数の和の公式
1 + r + r2 + · · · + rn−1 =
1 − rn
1−r
(r ̸= 1)
を変形すると，
1 − rn = (1 − r)(1 + r + r2 + · · · + rn−1 )
となる．r =
b
a
bn
1− n =
a
とおくと，
(
b
1−
a
)(
b
b2
bn−1
1 + + 2 + · · · + n−1
a a
a
)
両辺に an = aan−1 をかけると
(
)
(
)
b
b
b2
bn−1
n
n
n−1
a −b =a 1−
a
1 + + 2 + · · · + n−1
a
a a
a
右辺を計算して (1.25) 式のような因数分解の公式となる．この因数分解
の公式を少し変形して次の不等式が成り立つ．
補題 1.1.14 0 < b < a, n = 2, 3, · · · のとき次の不等式が成り立つ．
(a − b)nbn−1 < an − bn < (a − b)nan−1
証明 0 < b < a のとき
an−2 b < an−2 a = an−1 , an−3 b2 < an−3 a2 = an−1 , · · · , bn−1 < an−1
第1章
14
数列と極限
であるから，(1.25) 式の右辺の２番目の括弧のなかは
an−1 + an−1 + an−1 + · · · an−1 = nan−1
より小さい．a − b > 0 であるから，
an − bn < (a − b)nan−1
である．
同様に (1.25) 式の右辺の２番目の括弧のなかは nbn−1 より大きいから，
(a − b)nbn−1 < an − bn
2
である．
定理 1.1.15
(
)n
(
)n+1
1
1
an = 1 +
, bn = 1 +
,
n
n
n = 1, 2, · · ·
とおくと，{an } は増加数列，{bn } は減少数列で，同じ値に収束する．
証明
(
an =
n+1
n
)n
(
, bn =
n+1
n
)n+1
であるから，{an }, {bn } の項を２，３具体的に計算して定理に当てはめ
ると
( )2 ( )3
( )4 ( )3
3
4
4
3
2<
<
< ··· <
<
< 22 = 4
2
3
3
2
が成り立つということである．
1
まず {an } が増加列であることを示そう．a = 1 + n−1
, b = 1 + n1 とお
くと，0 < b < a であるから，補題 1.1.14 の右側の不等式により
(
(
)n (
)n
) (
)n−1
1
1
1
1
1
− 1+
<
−
1+
n 1+
n−1
n
n−1 n
n−1
(
)n−1
1
1
n 1+
=
n(n − 1)
n−1
(
)n−1
1
1
=
1+
n−1
n−1
1.1. 数列
移項して
(
1+
15
1
n−1
)n−1 (
1+
1
1
−
n−1 n−1
)
(
)n
1
< 1+
n
であるから，
(
)n−1 (
)n
1
1
1+
< 1+
n−1
n
となり，an−1 < an .
次に {bn } が減少列であることを示そう．
)n+1
(
)n+1 (
n+1
1
1
1
bn =
=
=(
)n+1 = (
)n+1
n
n+1−1
1
n
1
−
n+1
n+1
n+1
であるから，n + 1 = m とおくと，
(
)−m
1
1
)m = 1 −
bn = (
m
1 − m1
1
とおくと，0 < b < a であるから補
と表される．a = 1 − n1 , b = 1 − n−1
題 1.1.14 の左側の不等式により
(
)m (
)m
1
1
1−
− 1−
m
m−1
(
(
)) (
)m−1
1
1
1
>
1−
− 1−
m 1−
m
m−1
m−1
(
)m−1
1
1
=
1−
m−1
m−1
移項して
(
)m (
)m−1 (
)
1
1
1
1
1−
> 1−
1−
+
m
m−1
m−1 m−1
であるから
(
)m (
)m−1
1
1
1−
> 1−
m
m−1
が成り立つ．したがって
(
)−m (
)−(m−1)
1
1
< 1−
1−
m
m−1
第1章
16
数列と極限
であるから，bn < bn−1 .
あるいは bn > bn+1 を次のように示すこともできる．
(
)n+1 (
)n
(
)
(
)n
1
1
1
1
1
1+
− 1+
>
−
(n + 1) 1 +
n−1
n
n−1 n
n
)n
(
1
1
=
(n + 1) 1 +
n(n − 1)
n
(
)n
1 n+1
1
=
1+
n−1 n
n
(
)n+1
1
1
=
1+
.
n−1
n
移項して
(
1+
ゆえに
(
1+
1
n−1
1
n−1
)n+1
)n
(
> 1+
1
n−1
)(
1
1+
n
)n+1
.
(
)n+1
1
> 1+
.
n
{an } は増加数列で，an < bn ≤ b1 = 4 であるから，定理 1.1.13 (i) に
より収束する．{bn } は減少数列で，bn > an ≥ a1 = 2 であるから，定理
1.1.13 (ii) により収束する．さらに
(
)
1
an = 1 +
bn
n
であるから，
(
)
1
lim an = lim 1 +
lim bn = 1 × lim bn = lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n n→∞
2
上の {an }, {bn } の極限値を文字 e により表し，ネピアの定数という．
(
(
(
)n
)n+1
)−m
1
1
1
= lim 1 +
= lim 1 +
e = lim 1 +
n→∞
m→∞
n→∞
n
n
−m
つまり
(
(
)n
)n
1
1
= lim 1 +
e = lim 1 +
n→−∞
n→∞
n
n
1.1. 数列
17
e は無理数で，その近似値は
e = 2.718281828...
単調でない数列の収束条件を考える．収束数列は有界数列であるが，逆
に {an } が有界であるとき，{an } 全体が収束するとは限らないが，収束
する部分列はある．ここで {an } の部分列とは，項 a1 , a2 , · · · , an , · · · の
なかから飛び飛びに
an(1) , an(2) , · · · , an(k) , · · ·
のように項を選んでできる数列 {an(k) }∞
k=1 である．ただし飛び飛びに選
ぶとは，
n(1) < n(2) < · · · < n(k) < · · ·
が成り立つように選ぶことである．ごく当たり前のことであるが，収束
数列の部分列は収束する．すなわち
補題 1.1.16
lim an = α =⇒ lim an(k) = α
n→∞
k→∞
証明 limn→∞ an = α であるから，任意の ϵ > 0 に対して
n > N =⇒ |an − α| < ϵ
が成り立つ N がある．limk→∞ n(k) = ∞ であるから，この N に対して
k > K =⇒ n(k) > N
であるような K がある．ゆえに
k > K =⇒ |an(k) − α| < ϵ
がなりたち，limk→∞ an(k) = α.
定理 1.1.17 有界数列は，収束する部分列を持つ．
2
第1章
18
数列と極限
証明 {an } が有界であるから，
A ≤ an ≤ B, (n = 1, 2, · · · )
であるような定数 A, B の間に項がある．つまり数列が区間 I = [A, B]
に入っている．このとき次の条件を満たす区間の列 Ik = [Ak , Bk ] (k =
0, 1, 2, · · · ) をとることができる．
(i) I0 = I, であり， Ik は Ik−1 に含まれ，
1
Bk − Ak = (Bk−1 − Ak−1 ).
2
(ii) Ik には {an } の無限個の項が入っている．すなわち an ∈ Ik である
番号 n が無限にある．
実際 I0 = I として，I0 を２等分してできる二つの区間の内，少なくと
も一方の区間には k = 1 のときの条件 (ii) をみたす区間 I1 がある．I1 を
２等分してできる二つの区間の内，少なくとも一方の区間には k = 2 の
ときの条件 (ii) をみたす区間 I2 がある．この操作を続けて (i),(ii) を
満たす区間，I0 = I, I1 , I2 , · · · を選べる．
条件 (ii) より， an(k) ∈ Ik である番号 n(1) < n(2) < · · · < n(k) < · · ·
があり，
Ak ≤ an(k) ≤ Bk
(1.26)
が成り立つ．条件 (i) より，
A = A0 ≤ A1 ≤ A2 ≤ Ak < Bk ≤ · · · B2 ≤ B1 ≤ B1 = B
であるから，{Ak } は上に有界な増加列，{Bk } は下に有界な減少列であ
る．ゆえに両数列は収束するが，条件 (i) より limk→∞ (Bk − Ak ) = 0
であるから同じ値に収束する．その極限値を α とおくと (1.26) により，
limk→∞ an(k) = α である．
2
数列の極限値を予測できないとき，有界単調性が収束するための一つ
の十分条件であることを知っている．これに対して収束するための必要
十分条件として Cauchy の条件が知られている．
まず limn→∞ an = α であるとは，任意の ϵ > 0 に対して次のような
N = N (ϵ) が存在することであった：n > N ⇒ |an − α| < ϵ. したがって
m, n > N ⇒ |am − α|, |an − α| < ϵ
⇒ |am − an | ≤ |am − α| + |an − α| < 2ϵ
1.1. 数列
19
すなわち m, n > N ⇒ |am − an | < 2ϵ となり，これは極限値 α を含まな
い条件である．ここで M = N (ϵ/2) とおくとつぎの条件がなりたつ：
(C) 任意の正数 ϵ に対して，つぎの条件を満たす M が存在する：
m, n > M ⇒ |am − an | < ϵ.
これをコーシー（Cauchy）の収束条件といい，この条件を満たす数列を
コーシー列または基本列とよぶ．条件 (C) を次のような省略形で表す．
∀ϵ > 0 ∃M
: m, n > M ⇒ |am − an | < ϵ.
∀ は全ての，あるいは任意のという意味を表す記号（全称記号），∃ は
存在するという意味を表す記号（存在記号）である．
定理 1.1.18 ．数列が収束列であることと，コーシー列であることは同
等である．
証明収束列は Cauchy 列であることはすでに調べた．逆を調べよう．数
列 {an } が Cauchy 列であるとする．このときこの列は有界列である．実際
Cauchy の収束条件で ϵ = 1 に対応して決まる M (1) をとり，m = M (1)+1
とおくと，
n > M (1) ⇒ |aM (1)+1 − an | < 1 ⇒ |an | < |aM (1)+1 | + 1.
従って
A = max{|a1 |, |a2 |, . . . , |aM (1) |, |aM (1)+1 | + 1}
とおくと |an | ≤ A (n = 1, 2, · · · ).
次に有界数列は収束部分列を持つから，limk→∞ an(k) = α である部分
列 {an(k) } と極限値 α がある．limk→∞ n(k) = ∞ であるから，コーシーの
収束条件 (C) の中の M に対して k > K =⇒ n(k) > M であるような K
が存在する．このとき (C) において m = n(k) ととると
k > K, n > M ⇒ |an(k) − an | < ϵ.
この条件で n を固定して k → ∞ のときの極限をとれば
n > M ⇒ |α − an | ≤ ϵ.
したがって limn→∞ an = α.
注意 1.1.19 limn→∞ an = α, an < ϵ (n = 1, 2, · · · ) のとき，
α = lim an ≤ ϵ
n→∞
極限移行すると，一般に不等号になる．
2
21
第2章
2.1
連続関数
連続性の定義と例
関数 f (x) において，変数 x が a でない値をとりながら a に限りなく
近づくとき，f (x) がある値 α に限りなく近づく場合に
lim f (x) = α
x→a
(2.1)
とかき，x が a に近づくとき， f (x) が α に収束するといい，α を極限
値という．正確な定義は次の通りである．
定義 2.1.1 任意の正数 ϵ に対して，条件
0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − α| < ϵ
が成り立つような δ が存在するとき，x → a のとき f (x) は α に収束す
るといい，(2.1) のように書く．
またこのような極限値 α が存在しないときは，x → a のとき， f (x)
は発散するという．特に，任意の R > 0 に対して
0 < |x − a| < δ =⇒ f (x) > R (f (x) < −R)
であるような δ > 0 が存在するときは，x → a のとき f (x) は正の無限
大（負の無限大）に発散するといい，
lim f (x) = ∞ (−∞)
x→a
と書く．
定義 2.1.2 任意の正数 ϵ に対して，条件
x > r(x < −r) =⇒ |f (x) − α| < ϵ
第2章
22
連続関数
が成り立つような r が存在するとき，x → ∞ (x → −∞) のとき f (x)
は α に収束するといい，limx→∞ f (x) = α (limx→−∞ f (x) = α) のよう
に書く．
またこのような極限値 α が存在しないときは，x → ∞ のとき f (x) は
発散するという．特に，任意の R > 0 に対して
x > r =⇒ f (x) > R (f (x) < −R)
であるような r > 0 が存在するときは，x → ∞ のとき f (x) は正の無限
大（負の無限大）に発散するといい，
lim f (x) = ∞ ( lim f (x) = −∞)
x→∞
x→∞
と書く．
同様に任意の R > 0 に対して
x < −r =⇒ f (x) > R (f (x) < −R)
であるような r > 0 が存在するときは，x → −∞ のとき f (x) は正の無
限大（負の無限大）に発散するといい，
lim f (x) = ∞ ( lim f (x) = −∞)
x→−∞
x→−∞
と書く．
また x が a より大きい値をとりながら a に近づくとき f (x) が α に収束
するときは，
lim f (x) = α
x→a+
とかき，このときの極限値を右極限値という．また x が a より小さい値
をとりながら a に近づくとき f (x) が α に収束するときは，
lim f (x) = α
x→a−
とかき，このときの極限値を左極限値という．明らかに
lim f (a) = α ⇐⇒ lim f (x) = lim f (x) = α.
x→a
x→a+
x→a−
2.1. 連続性の定義と例
23
例 2.1.3
lim sin θ = 0, lim cos θ = 1, lim
θ→0
θ→0
θ→0
sin θ
= 1.
θ
(2.2)
証明 xy 平面に原点 O を中心とする半径 1 の円を描き，x 軸の正の部分
との交点を A(1, 0) とする．円上に点 B をとり，∠AOB = θ とする．た
だし 0 < θ < π/2 とする．角度はラジアンではかる．B から x 軸に垂線
BH をひく．また A において x 軸と直交する直線が OB の延長線と交
わる点を C とする．このとき
△AOB の面積 < 扇形 AOB の面積 < △AOC の面積
であるから，
1
1
1
1 sin θ
sin θ < θ < tan θ =
2
2
2
2 cos θ
が成り立つ．この式より
cos θ <
sin θ
<1
θ
(2.3)
が導きだされる．また cos θ > 0 であるから，特に
0<
sin θ
<1
θ
(2.4)
が成り立ち，0 < sin θ < θ である．ゆえに limθ→0+ sin
√ θ = 0. 次に
0 < θ < π/2 のとき 1 > cos θ > 0 であるから，cos θ = 1 − sin2 θ であ
る．ゆえに
√
1 − (1 − sin2 θ)
√
0 < 1 − cos θ = 1 − 1 − sin2 θ =
1 + 1 − sin2 θ
sin2 θ
sin2 θ
√
=
≤
≤ θ2 .
2
1
1 + 1 − sin θ
したがって limθ→0+ cos θ = 1 であり，(2.3) より，
sin θ
≤1
θ→0+ θ
1 = lim cos θ ≤ lim
θ→0+
であるから，
sin θ
= 1.
θ→0+ θ
lim
第2章
24
連続関数
また θ < 0 のとき，
sin θ = − sin(−θ), cos θ = cos(−θ),
sin θ
sin(−θ)
=
θ
−θ
であるから，
lim sin θ = 0,
θ→0−
lim cos θ = 1,
θ→0−
sin θ
= 1.
θ→0− θ
lim
も成り立つ．ゆえに (2.2) が成り立つ
注意 2.1.4
| sin θ| < |θ|
(θ ̸= 0)
(2.5)
が成り立つ．一般的に | sin θ| ≤ 1 であるから，|θ| ≥ π/2 > 1 の時は
(2.5) が成り立つことは自明である．0 < θ < π/2 のときは (2.4) によ
り，0 < sin θ < θ であるから，(2.5) が成り立つ．π/2 < θ < 0 のときは
0 < −θ < π/2 であるから，
| sin θ| = | − sin(−θ)| = | sin(−θ)| ≤ | − θ| = |θ|
補題 1.1.7 と同様に次の補題が成り立つ．
補題 2.1.5 (極限の挟み撃ちの原理)
1. 0 < |x − a| < r =⇒ f (x) ≤
h(x) ≤ g(x) であるような r > 0 があり，limx→a f (x) = limx→a g(x) =
α であるならば，limx→a h(x) = α.
2. 0 < |x − a| < r =⇒ f (x) ≤ g(x) であるような r > 0 があり，
limx→a f (x) = α, limx→a g(x) = β ならば，α ≤ β.
次のことが成り立つ．
定理 2.1.6 limx→a f (x) = α, limx→a g(x) = β であるとき，次のことが
成り立つ．
(i) limx→a (f (x) ± g(x)) = α ± β.
(ii) 定数 c に対して，limx→a (cf (x)) = cα.
(iii) limx→a (f (x)g(x)) = αβ.
2.1. 連続性の定義と例
25
(iv) g(x) ̸= 0, β ̸= 0 のとき limx→a (f (x)/g(x)) = α/β.
limx→a f (x) = f (a) であるとき， f (x) は点 x = a で連続であるとい
う．この場合，f (x) は x = a でも定義されていることが前提であるから，
連続条件を正確に書くと次のようになる．
定義 2.1.7 任意の正数 ϵ に対して，条件
|x − a| < δ =⇒ |f (x) − f (a)| < ϵ
が成り立つような δ が存在するとき，f (x) は x = a において連続であ
るという．
ある区間 I のすべての点で連続であるときは I において連続であると
いう．また f (x) の定義されているすべての点で連続であるとき，f (x) は
連続である，あるいは連続関数であるという．
たとえば多項式で定義される関数は連続関数である．また 多項式 で定
多項式
義される有理関数は分母の多項式が零でない点で連続である．
例 2.1.8 f (x) = sin x, g(x) = cos x は連続関数である．
証明三角関数の差を積になおす公式により，
)
(
)
(
x+a
x−a
cos
.
sin x − sin a = 2 sin
2
2
両辺の絶対値をとる. | sin θ| ≤ |θ|, | cos θ| ≤ 1 であるから，
x − a
= |x − a|.
| sin x − sin a| ≤ 2 2 ゆえに limx→a f (x) = f (a). 同様に limx→a g(x) = g(a).
例 2.1.9 a > 0 のとき，limx→0 ax = 1.
証明 x = 1/n, n = 1, 2, · · · のとき，limn→∞ a1/n = 1 をまず示す．
a > 1 のときは a1/n > 1 であるから，a1/n − 1 = hn とおくと， hn > 0
である．a1/n = 1 + hn の両辺を n 乗して，２項定理を使うと
a = (1 + hn )n = 1 + nhn +
n(n − 1) 2
hn + · · · + hnn > 1 + nhn .
2
ゆえに 0 < hn < (a − 1)/n であるから，limn→∞ hn = 0 が成り立ち，
limn→∞ a1/n = 1.
第2章
26
連続関数
a = 1 のときは a1/n = 1 であるから，limn→∞ a1/n = 1.
0 < a < 1 のときは 1/a = r とおくと，r > 1. ゆえに
( )1/n
1
1
1
1/n
lim a = lim
= lim 1/n = = 1.
n→∞
n→∞
n→∞ r
r
1
次に 0 < x ≤ 1 のとき
1
n+1
<x≤
1
n
である n をとると，
a1/(n+1) < ax ≤ a1/n
が成り立つ．x → 0+ のとき，n → ∞ であるから，
1 = lim a1/(n+1) ≤ lim ax ≤ lim a1/n = 1.
n→∞
x→0+
n→∞
ゆえに limx→0+ ax = 1. また a−x =
上により，limx→0 ax = 1.
1
ax
であるから， limx→0− ax = 1. 以
例 2.1.10 a > 0 のとき f (x) = ax は連続関数である．
証明 limh→0 (f (x + h) − f (x)) = 0 を示せばよい．指数公式により，
f (x + h) − f (x) = ax+h − ax = ax ah − ax = ax (ah − 1).
ゆえに
lim (f (x + h) − f (x)) = lim ax lim (ah − 1) = ax × 0 = 0.
h→0
h→0
h→0
注意 2.1.11 無理数 x に対して ax は次のように定義する．
1. a > 1 とする．
(a) n, m, p, q が正整数で
m
n
>
p
q
ならば，
am/n > ap/q
である．
n, m が正整数のとき am/n > 1 である．実際 a1/n > 1 である
から，am/n = (a1/n )m > 1. 次に n, m, p, q が正整数で m
> pq
n
のとき，
m p
mq − np
− =
>0
n
q
nq
であるから，
am/n
= am/n−p/q > 1.
ap/q
ゆえに am/n > ap/q .
2.1. 連続性の定義と例
27
(b) x が正の無理数であるとき．limn→∞ rn = x であるような上に
有界で単調増加な正の有理数列 {rn } がある．このとき
ax = lim arn
n→∞
と定義する．
例を挙げて説明する．たとえば無理数 x =
√
表される： 2 = 1.41421356... のとき，
√
2 は無限小数で
r1 = 1.4, r2 = 1.41, r3 = 1.412, r4 = 1.4121, · · ·
ととる．明らかに rn < 1.5, n = 1, 2, · · · であるから {rn } は上
に有界な増加列である．したがって arn < a1.5 であり，{arn }
も上に有界な単調増加列である．ゆえに limn→∞ arn が存在
する．
√
なおこの場合の極限値は 2 に収束する単調増加列の選び方
√
に依存しない．実際 {sn } が 2 に収束する単調増加な有理数
列とし，limn→∞ arn = α, limn→∞ asn = β とおく．番号 m を
√
任意に一つとり，固定してかんがえる．このとき 2 − rm = ϵ
√
とおくと，ϵ > 0 である，limn→∞ sn = 2 であるから，ある
番号 N が存在して
√
√
n > N =⇒ rm = 2 − ϵ < sn < 2
が成り立つ．したがって
arm < asN +1 ≤ β.
であるから，α = limm→∞ arm ≤ β. 同様にして，β ≤ α もな
りたつから，α = β.
(c) x が正の無理数で，u, v が正の有理数で u < x < v ならば，
au < ax < av である．
実際，上に limn→∞ rn = x である増加有理数列 {rn } をとると，
rn < v であり，また n が十分大きければ u < rn であるから，
au < arn < av である．ゆえに ar < ax < av である．
関数 y = f (u) と関数 u = g(x) があるとき，最初の u の値に g(x) を代
入してできる関数 h(x) = f (g(x)) を f と g の合成関数といい，h = f ◦ g
と書く．すなわち
(f ◦ g)(x) = f (g(x)).
第2章
28
連続関数
ただし，g(x) の値を代入できる x の範囲で合成関数は定義される．
√
√
例 2.1.12 y = x2 − 1 は y = f (u) = u と u = g(x) = x2 − 1 の合成
√
関数である． u は u ≥ 0 のとき定義されるから，代入できる x の範囲
は x2 − 1 ≥ 0 を満たす範囲である．すなわち，x ≥ 1 または x ≤ −1 の
√
とき，合成関数 y = x2 − 1 が定義される．
定理 2.1.13 g(a) = b とし，f (u) が u = b で連続, g(x) が x = a で連続
ならば，合成関数 (f ◦ g)(x) は x = a で連続である．すなわち
lim f (g(x)) = f (g(a)).
x→a
すなわち
(
)
lim f (g(x)) = f lim g(x)
x→a
x→a
としてよい．
証明 limu→b f (u) = f (b) であるから，任意の正数 ϵ に対して，
|u − b| < δ ⇒ |f (u) − f (b)| < ϵ
であるような正数 δ が存在する．limx→a g(x) = g(a) であるから，この
正数 δ に対して
|x − a| < δ ′ ⇒ |g(x) − g(a)| = |g(x) − b| < δ
であるような正数 δ ′ が存在する．したがって
|x − a| < δ ′ ⇒ |g(x) − b| < δ ⇒ |f (g(x)) − f (b)| < ϵ.
すなわち
lim f (g(x)) = f (b) = f (g(a)).
x→a
2
2.2. 中間値の定理，最大最少の定理
2.2
29
中間値の定理，最大最少の定理
次の定理は区間縮小法の定理といい，用途の広い定理である．
定理 2.2.1 区間の列 In = [an , bn ], n = 0, 1, 2, · · · , が
I0 ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ · · ·
であり，limn→∞ (bn − an ) = 0 であれば，この区間の列は１点 c に収縮す
る．すなわち
lim an = lim bn = c.
n→∞
n→∞
(2.6)
証明 [an , bn ] ⊃ [an+1 , bn+1 ] は an ≤ an+1 , bn+1 ≤ bn と同じことである．
ゆえに
a0 ≤ a1 ≤ · · · ≤ an ≤ bn ≤ · · · ≤ b1 ≤ b0
(2.7)
であるから，{an }, {bn } は共に収束する．limn→∞ (bn − an ) = 0 であるか
ら，極限値は一致する．すなわち (2.6) が成り立つ．
2
注意 2.2.2 定理 2.2.1 において，さらに全ての In に属する点は１点 c の
みである．すなわち
∩
In = {c}
n≥0
定理 2.2.3 (中間値の定理) f (x) が区間 [a, b] で連続で，α = f (a) ̸=
f (b) = β であるとする．このとき α と β の間にある任意の値 γ, （す
なわち α < γ < β または β < γ < α）に対して
f (c) = γ
であるような c が区間 (a, b) において少なくとも一つ存在する．
証明 α < γ < β の場合を証明する．区間 I = [a, b] を次々に２等分して，
次のように区間 In = [an , bn ], n = 0, 1, 2, · · · を作る．まず I0 = I = [a, b]
とする．次に c0 = (a0 + b0 )/2（即ち，c0 は a0 , b0 の中点）とし，a1 , b1 を
次のようにとる．
f (c0 ) ≥ γ ⇒ a1 = a0 , b1 = c0 ,
第2章
30
連続関数
f (c0 ) < γ ⇒ a1 = c0 , b1 = b0 .
このときいずれにせよ，f (a1 ) ≤ γ ≤ f (b1 ) である．次に c1 = (a1 + b1 )/2
とし，a2 , b2 を次のようにとる．
f (c1 ) ≥ γ ⇒ a2 = a1 , b2 = c1 ,
f (c1 ) < γ ⇒ a2 = c1 , b2 = b1 .
このときいずれにせよ，f (a2 ) ≤ γ ≤ f (b2 ) である．以下同様にしてでき
る数列は，次の条件をみたす．
(i)
a0 ≤ a1 ≤ · · · ≤ an ≤ bn ≤ · · · ≤ b1 ≤ b0 .
(2.8)
(ii)
bn − a n =
b−a
, n = 0, 1, 2, · · · .
2n
(2.9)
(iii)
f (an ) ≤ γ ≤ f (bn ), n = 0, 1, 2, · · · .
条件 (i),(ii) から，定理 2.2.1 により，(2.6) であるような c がある．f (x)
は連続であるから，
f (c) = lim f (an ) = lim f (bn )
n→∞
n→∞
であるが，一方 (iii) により，
lim f (an ) ≤ γ ≤ lim f (bn )
n→∞
n→∞
であるから，f (c) ≤ γ ≤ f (c) となり，結局 f (c) = γ.
2
定義 2.2.4 実数の部分集合 X に対して
• α ∈ X であり，そして x ∈ X =⇒ α ≤ x が成り立つとき，α は
X の最小値であるといい，α = min X と表す．
• β ∈ X であり，そして x ∈ X =⇒ β ≥ x が成り立つとき，β は
X の最大値であるといい，β = max X と表す．
例 2.2.5
2.2. 中間値の定理，最大最少の定理
31
•
min{x2 : −1 ≤ x ≤ 2} = 0, max{x2 : −1 ≤ x ≤ 2} = 4.
min{sin x : −π ≤ x ≤ π} = −1, max{sin x : −π ≤ x ≤ π} = 1,
• X = {1, 1/2, 2/3, · · · , } のとき max X = 1 であるが，min X は存在
しない．実際 1 ∈ X であり，全ての n = 1, 2, · · · に対して 1 ≥ 1/n
であるから，1 = max X . 次に，X の元 1/n は min X ではあり
えない．実際 m > n ならば 1/n > 1/m となり，1/n より小さい
値 1/m が X の中にあるから，1/n ̸= min X. したがって min X は
X の中には存在しない．
定理 2.2.6 (最大値ー最小値の定理) f (x) が有界閉区間 I = [a, b] で連続
ならば，f (x) の I における値の集合 f (I) = {f (x) : x ∈ I} には最大値
と最小値がある．即ち，すべての x ∈ [a, b] にたいして
f (ξ) ≤ f (x) ≤ f (η)
であるような ξ, η ∈ [a, b] が少なくとも一つずつある．
証明 番号 n = 1, 2, · · · に対して，区間 [a, b] の点 an , bn を次のように
選ぶ．区間 [a, b] を n 等分してできる点列を
∆n : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b
とおく．すなわち xi = a+i(b−a)/n, i = 1, 2, · · · , n である．x0 , x1 , · · · , xn
のうちから，f (xk ), k = 0, 1, 2, · · · , n が一番小さい値をとる点（複数あれ
ばそのうちのどれか一つ，たとえば一番右端の点）を an とし，一番大き
い値をとる点を bn とする．
{an } は有界列であるから，収束部分列 {an(j) }∞
j=1 がある．
lim an(j) = ξ
j→∞
∞
とおく．{bn(j) }∞
j=1 は有界列であるから，収束部分列 {bn(j(k)) }k=1 がある．
lim bn(j(k)) = η
k→∞
∞
とおく．{an(j(k)) }∞
k=1 は収束部分列 {an(j) }j=1 の部分列であるから，
lim an(j(k)) = lim an(j) = ξ
k→∞
j→∞
第2章
32
連続関数
も成り立つ．このとき f (x) の連続性により，
lim f (an(j(k)) ) = f (ξ),
k→∞
lim f (bn(j(k)) ) = f (η).
k→∞
(2.10)
さて区間 [a, b] から任意に点 x をとる．最初にとった分点 x0 , x1 , · · · , xn
のうちで x に一番近い点を cn とすると
|x − cn | ≤
1
n
であり，
f (an ) ≤ f (cn ) ≤ f (bn )
(2.11)
である．ゆえに f (x) の連続性により，
f (x) = lim f (cn )
n→∞
(2.12)
である．limj→∞ n(j) = ∞, limk→∞ j(k) = ∞ であるから，
lim n(j(k)) = ∞.
k→∞
ゆえに
lim f (cn(j(k)) ) = lim f (cn ) = f (x).
k→∞
n→∞
(2.13)
(2.11) より，
f (an(j(k)) ) ≤ f (cn(j(k)) ) ≤ f (bn(j(k)) )
ゆえに (2.10),(2.13) により，{f (an(j(k)) }, {f (cn(j(k)) }, {f (bn(j(k)) } の極限
値をとれば，f (ξ) ≤ f (x) ≤ f (η) が成り立つ．x は [a, b] の任意の点であ
るから，f (ξ) は最小値，f (η) は最大値である．
2
注意 2.2.7 部分列の表し方
ある数列に a という名前をつけたとき，その第１項を a1 , その第２項を
a2 , その第３項を a3 ,．
．
．
， その第 n 項を an , ．
．
．と表し，a = {an }∞
n=1 とい
う表し方をする．数列 a の第 n 項を an と表すことは古くからの習慣であ
り， a(n) と表してもよい．数列 a は自然数の集合 N = {1, 2, · · · , n, · · · }
の各要素 1, 2, · · · , n, · · · に一つずつ数 a1 , a2 , · · · , an , · · · を対応させる規
2.2. 中間値の定理，最大最少の定理
33
則であるから，N から R への写像の１種である．１つの数列 a は，写
像として定義域と値域を添えて：
a:N→R
のように表すこともできる．このように考えると an = a(n) と書くこと
ももっともである．
次に数列 b が数列 a の部分列であるというのは，1 ≤ n(1) < n(2) <
· · · < n(k) < · · · であるような番号の列により
b1 = an(1) , b2 = an(2) , · · · , bk = an(k) , · · ·
のように表されることである．したがって，数列 a = {an }∞
n=1 の部分列
∞
b = {bk }k=1 は
∞
b = {bk }∞
k=1 = {an(k) }k=1
のように表される．これを写像の記号を用いてあらわすと，k = 1, 2, · · · ,
を n(k) に移す N から N への写像 n : N → N により， b(k) = a(n(k)), k =
1, 2, · · · と表される．したがって b は a : N → N と n : N → N の合成写
像と見なせる：
b = a ◦ n : N → R.
同様に b の部分列 c は, ある写像 k : N → N により，
c=b◦k :N→R
と表される．すなわち
cj = (b ◦ k)(j) = b(k(j)) = a(n(k(j)) = an(k(j)) , j = 1, 2, · · · ,
と表される．a の部分列 b の部分列 c は，c = a ◦ n ◦ k のように三つの
写像 a, n, k の合成写像である．写像 n : N → N と写像 k : N → N の合
成写像を m = n ◦ k : N → N と表せば，
cj = a(n(k(j)) = a((n◦k)(j)) = a(m(j)) = (a◦m)(j) = am(j) , j = 1, 2, · · ·
であるから，a の部分列 b の部分列 c は，また a の部分列である．合成
写像の記号を用いて表せば，次のことが成り立つということである．
c = b ◦ k = (a ◦ n) ◦ k = a ◦ (n ◦ k) = a ◦ m.
35
第3章
3.1
微分法
導関数，逆関数
ある区間 I のすべての値に対して定義された関数 f (x) の値がある区
間 J の中に入っているとき，
f :I→J
とかく．
区間 I で定義された関数 f (x) は，
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) < f (x2 ) であるとき単調増加
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) > f (x2 ) であるとき単調減少
であるという．単調増加，単調減少を総称して 単調 という．
f (x) は I = [a, b] で連続，単調であるとする．f (a) = α, f (b) = β と
おく．
1. f (x) が単調増加であるとする．このとき
α = min{f (x) : a ≤ x ≤ b} β = max{f (x) : a ≤ x ≤ b}.
さらに，中間値の定理により，任意の y ∈ [α, β] に対して f (x) = y
であるような x ∈ [a, b] がただ一つ定まる．このとき x = f −1 (y) と
表し，関数 f −1 : [α, β] → [a, b] が定まる．f −1 も J = [α, β] で単調
増加である．
2. もし f (x) が単調減少であるとする．このとき
α = max{f (x) : a ≤ x ≤ b} β = min{f (x) : a ≤ x ≤ b}.
さらに，中間値の定理により，任意の y ∈ [α, β] に対して f (x) = y
であるような x ∈ [a, b] がただ一つ定まる．このとき x = f −1 (y) と
表し，関数 f −1 : [α, β] → [a, b] が定まる．f −1 も J = [α, β] で単調
減少である．
第 3 章 微分法
36
このようにして決まる f −1 : J → I を f の逆関数という．次の定理は中
間値の定理を使って証明できる．
定理 3.1.1 f が単調増加（単調減少）な連続関数ならば，逆関数 f −1 も
単調増加（単調減少）な連続関数である，
証明 省略
関数 f (x) に対して
lim
x→a
f (x) − f (a)
f (a + h) − f (a)
= A ⇐⇒ lim
=A
h→0
x−a
h
が存在するとき，f (x) は x = a で微分可能であるといい，f ′ (a) = A と
あらわし，この値を x = a における微分係数という．また
lim
x→a+
f (a + h) − f (a)
f (x) − f (a)
= A+ ⇐⇒ lim
= A+ ;
h→0+
x−a
h
が存在するとき， f (x) は x = a で右微分可能であるといい，この値を a
における f (x) の右微分係数といい，D+ f (a) = A+ と表す．また
f (a + h) − f (a)
f (x) − f (a)
= A− ⇐⇒ lim
= A−
x→a−
h→0−
x−a
h
lim
が存在するとき， f (x) は x = a で左微分可能であるといい，この値を a
における f (x) の左微分係数といい，D− f (a) = A− と表す．
f (x) の x = a における左右の微分係数が存在して等しいとき，f (x) は
x = a で微分可能である．また逆も成り立つ．
f (x) の定義区間のすべての点で f (x) が微分可能（ただし，定義区間の
左端点では右微分可能，右端点では左微分可能）であるとき，f (x) は微
分可能な関数であるという．このときできる関数 f ′ (x) を f (x) の導関数
df
という．f ′ (x) の代わりに dx
(x) と書くこともある．また関数を y = f (x)
と表したときには，導関数を
y ′ (x),
dy
(x)
dx
df
dy
と表すこともある．あるいは省略して f ′ , dx
, y ′ , dx
等と書く場合もある．
定理 3.1.2 f (x) が微分可能な関数ならば，f (x) は連続である．
3.1. 導関数，逆関数
37
証明 x ̸= a のとき
f (x) − f (a) =
f (x) − f (a)
(x − a)
x−a
と表される．x → a のときの極限を考えると
(
)
f (x) − f (a)
lim (f (x) − f (a)) = lim
(x − a)
x→a
x→a
x−a
f (x) − f (a)
= lim
lim (x − a) = f ′ (a) × 0 = 0.
x→a
x→a
x−a
ゆえに limx→a f (x) = f (a).
2
f (x) が微分可能で，導関数 f ′ (x) も連続関数であるとき，f (x) は（１
回）連続微分可能であるという．f ′ (x) がさらに微分可能であるとき，f ′ (x)
の導関数を f ′′ (x) または f (2) (x) のようにあらわし，f (x) の２次導関数
という．f ′′ (x) も連続ならば，f (x) は２回連続微分可能であるという．
同様にして f (x) が n 回微分可能であるとき，n 回微分してできる導
関数を f (n) (x) のように表し， f (x) の n 次導関数という．f (n) (x) =
d (n−1)
f
(x) であるから，f (n) (x) が存在するならば，定理 3.1.2 により，
dx
f (n−1) (x) は連続である．繰り返して f (n−2) , · · · , f ′ (x), f (x) はすべて連続
である．f (n) (x) が存在して連続であるとき，f (x) は n 回連続微分可能
であるとか，C n 級の関数であるという．f (n) (x) は次のように表す場合
もある．
dn f
dn y
(n)
(x),
y
(x),
(x).
dxn
dxn
何回でも微分可能な関数は無限回微分可能な関数, あるいは C ∞ 級の関
数であるという．なお連続関数を C 0 級の関数ということもある．高校
の数学で扱ったほとんどの関数は C ∞ 級の関数である．
たとえば，多項式関数，三角関数，指数関数，対数関数は C ∞ 級の関
数である．また分数関数は分母が零でない点で C ∞ 級の関数である．
例 3.1.3
• f (x) = |x| とおく．x > 0 のときは f (x) = x であるから，
′
f (x) = 1. x < 0 のときは f (x) = −x であるから，f ′ (x) = −1.
x = 0 においては
D+ f (0) = 1, D− f (0) = −1
であるから，f (x) は x = 0 では右微分，左微分可能であるが，異
なる値であるから，微分可能ではない．
第 3 章 微分法
38
•
{
f (x) =
x sin
(1)
x
(x ̸= 0 のとき)
0 (x ̸= 0 のとき)
とおく．x ̸= 0 のとき，f (x) は連続である．全ての θ に対して
| sin θ| ≤ 1 であるから，x ̸= 0 のとき | sin(1/x)| ≤ 1 である．ゆ
えに
0 ≤ |x sin(1/x)| ≤ |x|| sin(1/x)| ≤ |x|
が成り立つ．したがって挟み撃ちの原理により limx→0 f (x) = 0 =
f (0) である．したがって f (x) は全区間 (−∞, ∞) で連続である．
x ̸= 0 のとき f (x) は微分可能で
(
)
( )
( )
d
1
1
d
f (x) =
x sin
+ x sin
dx
x
dx
x
( )
(
( )) (
)
1
1
1
= sin
+ x − cos
− 2
x
x
x
( )
( )
1
1
1
= sin
+ cos
x
x
x
′
しかし x = 0 で f (x) は微分可能ではない．実際 x ̸= 0 のとき
f (x) − f (0)
x sin(1/x)
=
= sin(1/x)
x−0
x
である．x = 0 の近くで y = sin(1/x) のグラフは，y = 1 と y = −1
の間を無限回振動し，limx→0 sin(1/x) は存在しない．したがって
limx→0 (f (x) − f (0))/(x − 0) は存在せず，f (x) は x = 0 で微分可
能ではない．
定理 3.1.4 y = f (x) が単調で微分可能な関数で,
関数 x = g(y) も単調で微分可能であり．
dx
1
= dy .
dy
dx
dy
dx
̸= 0 ならば，その逆
3.1. 導関数，逆関数
39
証明
dy
f (x + h) − f (x)
= lim
dx h→0
h
である．f (x) = y, f (x + h) − f (x) = k とおくと，f (x + h) = y + k と表
される．逆関数 x = g(y) の定義から，x + h = g(y + k) である．ゆえに
g(y + k) − g(y) = x + h − x = h.
逆関数も単調であるから，k ̸= 0 のとき，h ̸= 0 であり，逆関数の連続性
から，k → 0 のとき，h → 0 である．したがって
g(y + k) − g(y)
h
1
= = k =
k
k
h
1
f (x+h)−f (x)
h
であるから，
g(y + k) − g(y)
dx
= lim
= lim
h→0
dy k→0
k
1
f (x+h)−f (x)
h
=
1
dy
dx
2
例 3.1.5 (累乗解) y = x2 は I = [0, ∞) を I に写す単調増加関数であ
√
る．その逆関数を x = y 1/2 = y で表す．
y = x3 は R = (−∞, ∞) を R に写す単調増加関数である．その逆関数
√
を x = y 1/3 = 3 y であらわす．
√
y = xn の逆関数を x = y 1/n = n y で表し，y の n 乗解という．全て
の n 乗解を累乗解と総称する． n が偶数のときは，y 1/n は y ≥ 0 の
とき，定義される単調増加関数である．n が奇数のときは，y 1/n は正負
すべての y に対して，定義される単調増加関数である．
y = xn は連続であるから，その逆関数 x = y 1/n も連続である．
また dy/dx = nxn−1 は x ̸= 0 のとき，零でないから，逆関数 x = y 1/n
は y ̸= 0 のとき，微分可能である．
n−1
1
dy
= nxn−1 = n(y n )n−1 = ny n
dx
であるから，
dx
1 1
d 1
1
1
1 − n−1
yn =
= dy =
y n = y n −1 .
n−1 =
dy
dy
n
n
ny n
dx
第 3 章 微分法
40
3.2
逆三角関数
1. 逆三角関数の定義
• y = sin θ を区間 I = [−π/2, π/2] に制限して考える．この
関数は I において単調増加で，[−1, 1] に写す．その逆関数を
θ = arcsin y と表す．arcsin y は [−1, 1] で連続，単調増加であ
る．sin(−π/2) = −1, sin 0 = 0, sin(π/2) = 1 であるから，
arcsin(−1) = −π/2, arcsin(0) = 0, arcsin(1) = π/2.
• x = cos θ を区間 I = [0, π] に制限して考える．この関数は I に
おいて単調減少で，[−1, 1] に写す．その逆関数を θ = arccos x
と表す．arccos x は [−1, 1] で連続，単調減少である．cos(0) =
1, cos(π/2) = 0, cos(π) = −1 であるから，
arccos(−1) = π, arccos(0) = π/2, arccos(1) = 0.
• z = tan θ を区間 I = (−π/2, π/2) に制限して考える．この
関数は I において単調増加で，R 全体に写す．その逆関数を
θ = arctan z と表す．arctan z は R で連続，単調減増加である．
tan 0 = 0,
lim tan θ = −∞,
lim tan θ = ∞
θ→ π2 −
θ→− π2 +
であるから，
arctan(0) = 0,
lim arctan(z) = π/2,
z→+∞
lim arctan(z) = −π/2.
z→−∞
2. 逆三角関数の記号はいろいろある．
arcsin y = Arcsiny = sin−1 y = Sin−1 y
arccos x = Arccosx = cos−1 x = Cos−1 x
arctan z = Arctanz = tan−1 z = Tan−1 z
3. 逆三角関数の導関数
3.2. 逆三角関数
41
• y = sin θ のとき，
dy
= cos θ,
dθ
であるが，−π/2 ≤ θ ≤ π/2 の範囲で cos θ ≥ 0 であるから，
√
√
cos θ = 1 − sin2 θ = 1 − y 2 .
√
ゆえに dy/dθ =
1 − y 2 と表される．したがって dθ/dy =
√
1/ 1 − y 2 , すなわち
d
1
arcsin y = √
.
dy
1 − y2
• x = cos θ のとき，
dx
= − sin θ,
dθ
であるが，0 ≤ θ ≤ π の範囲で sin θ ≥ 0 であるから，
sin θ =
√
√
1 − cos2 θ = 1 − x2 .
√
ゆえに dx/dθ = − 1 − x2 と表される．したがって dθ/dx =
√
−1/ 1 − x2 , すなわち
d
1
arccos x = − √
.
dx
1 − x2
• z = tan θ =
sin θ
cos θ
のとき，
cos2 θ + sin2 θ
dz
=
=
dθ
cos2 θ
{
1 + tan2 θ または
1
cos2 θ
ゆえに dz/dθ = 1 + z 2 と表される．したがって dθ/dz = 1/(1 +
z 2 ) すなわち，
1
d
arctan z =
.
dz
1 + z2
第 3 章 微分法
42
• 以上から（変数 x, y, z を改めて x に統一して）次のような逆
三角関数の微分公式が成り立つ．
d
1
d
1
arcsin x = √
,
arccos x = − √
dx
1 − x2 dx
1 − x2
3.3
1
d
arctan x =
dx
1 + x2
双曲線関数，逆双曲線関数
1. 双曲線関数
x = cosh s =
es + e−s
es − e−s
, y = sinh s =
,
2
2
sinh s
es − e−s
z = tanh s =
= s
cosh s
e + e−s
とおき，これらを双曲線関数という．それぞれ，双曲的余弦（hyperbolic cosine），双曲的正弦（hyperbolic sine），双曲的正接
（hyperbolic tangent) という．
x2 − y 2 =
e2s + 2 + e−2s e2s − 2 + e−2s
−
=1
4
4
であるから， s が変化するとき，点 (x, y) は双曲線 x2 − y 2 = 1 上
を移動する．簡単な計算により， dx
= y, dy
= x すなわち
ds
ds
d
d
cosh s = sinh s,
sinh s = cosh s
ds
ds
> 0 であり，
が成り立つ．明らかに x = cosh s > 0 であるから， dy
ds
lim sinh s = −∞,
s→−∞
lim sinh s = +∞.
s→∞
ゆえに s が −∞ から ∞ まで変化するとき，点 (x, y) は双曲線
x2 − y 2 = 1 の右半分の曲線上を下から上に移動する．s = 0 のとき
3.3. 双曲線関数，逆双曲線関数
43
(x, y) = (1, 0) であるから，点 (x, y) は s = 0 のとき双曲線の頂点
に一致する．
2. 逆双曲線関数
(a) y = sinh s の逆関数
y = sinh s は単調増加で R = (−∞, ∞) を R に写す．その逆
関数を s = sinh−1 y のように表す．すなわち
s = sinh−1 y ⇐⇒ sinh s = y.
sinh s = y を s に関してとく．
es − e−s
1
= y ⇐⇒ es − s = 2y ⇐⇒ e2s − 1 = 2yes
2
e
es = X とおくと，X の２次方程式 X 2 −2yX −1 = 0 を得る．こ
√
√
れを解くと，X = X1 := y + y 2 + 1, X = X2 := y − y 2 + 1.
X1 > 0 となり，X2 < 0 となる．今 X = es > 0 であるから，
√
結局 es = X1 = y + y 2 + 1 である．ゆえに
√
s = sinh−1 y = log(y + y 2 + 1).
(b) x = cosh s の逆関数
s = 0 のとき，(x, y) = (0, 1) であり， s > 0 が増加するとき，
x = cosh s は増加し，
lim cosh x = ∞
s→∞
である．ゆえに x = cosh s を区間 I = [0, ∞) に制限したとき，
I から I への単調増加関数である．その逆関数を s = cosh−1 x
であらわす．すなわち，
s = cosh−1 x ⇐⇒ cosh s = x (s ≥ 0, x ≥ 0).
cosh s = x を s に関してとく．
1
es + e−s
= x ⇐⇒ es + s = 2x ⇐⇒ e2s + 1 = 2xes
2
e
es = X とおくと，X の２次方程式 X 2 −2xX+1 = 0 を得る．こ
√
√
れを解くと，X = X1 := x + x2 − 1, X = X2 := x − x2 − 1.
第 3 章 微分法
44
解と係数の関係から，X1 X2 = 1 であり，明らかに X1 ≥ X2 で
あるから，X1 ≥ 1 ≥ X2 . いま s ≥ 0 であるから，X = es ≥ 1
√
である．したがって es = X1 となる. 結局 es = x + x2 − 1
である．ゆえに
√
s = cosh−1 x = log(x + x2 − 1) (x ≥ 1)
(c) z = tanh s の逆関数
tanh s =
sinh s
y
=
cosh s
x
であるから，tanh s は，点 (x, y) と原点を結ぶ直線の傾きを
あらわす．ゆえに s が −∞ から ∞ まで変化するとき，tanh s
の値は増加し，
lim tanh s = −1,
s→−∞
lim tanh s = 1
s→∞
である．tanh s = z は区間 R を区間 (−1, 1) に写し，単調増
加である．その逆関数 s = tanh−1 z は，(−1, 1) から R への
単調増加関数である．
tanh s = z を s に関してとく．
es − e−s
= z ⇐⇒ es −e−s = z(es +e−s ) ⇐⇒ e2s −1 = z(e2s +1)
es + e−s
したがって (1−z)e2s = 1+z であるから，e2s = (1+z)/(1−z),
すなわち
(
)
1+z
1
−1
s = tanh z = log
.
2
1−z
3. 逆双曲線関数の導関数
x = cosh s =
es + e−s
es − e−s
, y = sinh s =
,
2
2
より，
dx
es − e−s
dy
es + e−s
=
= y,
=
= x,
ds
2
ds
2
である．関係式 x2 − y 2 = 1 が成り立つから，x を y を用いて表す
ことができ，また y を x を用いて表すことができる．
3.3. 双曲線関数，逆双曲線関数
45
x = cosh s の値は x ≥ 1 であるから，
√
x = 1 + y2
である．ゆえに
ds
1
1
1
= dy = = √
,
2
dy
x
1
+
y
ds
すなわち
d
1
(−∞ < y < ∞).
sinh−1 y = √
dy
1 + y2
x = cosh s の逆関数は s ≥ 0 のとき，定義される．このとき y ≥ 0
であるから，
y=
√
x2 − 1
である．ゆえに
ds
1
1
1
,
= dx = = √
dx
y
x2 − 1
ds
すなわち
d
1
(x ≥ 1).
cosh−1 x = √
2
dx
x −1
また
z = tanh s =
es − e−s
y
=
s
−s
e +e
x
より，
dz
(dy/ds)x − y(dx/ds)
xx − yy
y2
=
=
=
1
−
= 1 − z2.
ds
x2
x2
x2
ゆえに
1
ds
=
,
dz
1 − z2
第 3 章 微分法
46
すなわち
d
1
tanh−1 z =
(|z| < 1).
dz
1 − z2
以上から（変数 x, y, z を改めて x に統一して）
d
1
sinh−1 x = √
(−∞ < x < ∞)
dx
1 + x2
d
1
cosh−1 x = √
(x > 1)
dx
x2 − 1
d
1
tanh−1 x =
(|x| < 1).
dx
1 − x2
逆双曲線関数を log を用いて表す式を左辺に代入して
√
d
1
log(x + x2 + 1) = √
(−∞ < x < ∞)
dx
1 + x2
√
d
1
(x > 1)
log(x + x2 − 1) = √
dx
x2 − 1
(
)
d 1
1+x
1
log
=
(|x| < 1).
dx 2
1−x
1 − x2
4. 左半平面における双曲線関数
x = − cosh s = −
es + e−s
es − e−s
, y = sinh s =
,
2
2
で表される点 (x, y) は，双曲線 x2 − y 2 = 1 の左半分上を移動する．
s が増加するとき y は単調増加である．s ≤ 0 の範囲で s が増加す
るとき x は (−∞, −1] の範囲で増加し，s ≥ 0 の範囲で s が増加す
るとき x は (−∞, −1] の範囲で減少する．したがって s が増加す
るとき，点 (x, y) は双曲線 x2 − y 2 = 1 の左半分を下から上へと移
動する．s = 0 のとき，(x, y) = (−1, 0) である．
3.3. 双曲線関数，逆双曲線関数
47
s ≤ 0 のとき，
x = − cosh s = −
es + e−s
2
の逆関数を求める．x = − cosh s ⇔ −x = cosh s を s に関してと
く. e2s + 1 = −2xes より，X = es とおくと，
X = X1 = −x +
√
√
x2 − 1, または X = X2 = −x − x2 − 1.
この場合も X1 X2 = 1 であり，0 < X2 ≤ 1 ≤ X1 である．いま
s ≤ 0 であるから， X = es ≤ 1 である．したがって
es = X2 = −x −
√
√
x2 − 1 = −(x + x2 − 1).
(3.1)
√
√
x ≤ −1 のとき，0 ≤ x2 − 1 ≤ x2 であるから， x2 − 1 ≤ x2 =
√
√
|x| = −x，すなわち x2 − 1 ≤ −x となり，x + x2 − 1 ≤ 0 で
√
ある．したがって (3.1) は es = |x + x2 − 1| と書き換えられて
s = log |x +
√
x2 − 1| (x ≤ −1).
(3.2)
次に導関数を計算する．
dx
es − e−s
=−
= −y,
ds
2
である．
次に x2 − y 2 = 1 より，y を x を用いてあらわす. s ≤ 0 において
√
は,y ≤ 0 であるから，y = − x2 − 1. ゆえに
√
√
dx
= −(− x2 − 1) = x2 − 1.
ds
したがって
1
ds
=√
.
dx
x2 − 1
左辺の逆関数 s = s(x) を対数で表す式 (3.2) を用いると
√
1
d
log |x + x2 − 1| = √
.
2
dx
x −1
第 3 章 微分法
48
以上から（変数 x, y を改めて x に統一して）
√
d
1
log(x + x2 + 1) = √
, (−∞ < x < ∞)
dx
x2 + 1
√
1
d
log |x + x2 − 1| = √
, (x < −1).
dx
x2 − 1
なお，３．で求めた公式
√
d
1
log(x + x2 − 1) = √
, (x > 1).
dx
x2 − 1
√
において，x > 1 ならば x + x2 − 1 > 0 であるから，
√
√
x + x2 − 1 = |x + x2 − 1|
と表される．したがって x > 1 の場合と x < −1 の場合をまとめ
て，次の公式が成り立つ．
3.4
√
d
1
, (|x| > 1).
log |x + x2 − 1| = √
dx
x2 − 1
導関数の計算
次の最初の二つの定理は高校数 III で学習済みである．
定理 3.4.1 (微分の四則演算) 関数 f (x), g(x) が微分可能ならば，つぎの
公式がなりたつ．
d
d
d
(f (x) ± g(x)) =
f (x) ± g(x)
dx
dx
dx
d
d
(2)
(cf (x)) = c f (x)
dx
dx(
)
d
d
d
(3)
(f (x)g(x)) =
f (x) g(x) + f (x) g(x)
dx
dx
dx
(d
)
d
f (x) g(x) − f (x) dx
g(x)
d f (x)
(4)
= dx
(g(x) ̸= 0)
2
dx g(x)
g(x)
(1)
3.4. 導関数の計算
49
定理 3.4.2 (合成関数の微分法) 関数 y = f (u) と関数 u = g(x) が微分
可能ならば，合成関数 y = f (g(x)) も微分可能であり，次の公式がなり
たつ．
dy
dy du
=
dx
du dx
あるいは次のように表すこともできる．h = f ◦ g のとき
h′ (x) = f ′ (g(x))g ′ (x)
基本的な導関数をまとめておく．
= nxn−1 , n = 0, ±1, ±2, · · ·
1.
d n
x
dx
2.
1
d n
x
dx
3.
d m
xn
dx
4.
d x
e
dx
5.
d
dx
6.
d a
x
dx
= axa−1 (x > 0, a は任意の実数)
7.
d x
a
dx
= ax log a (a > 0)
8.
d
dx
sin x = cos x,
9.
d
dx
tan x =
10.
d
dx
cosh x = sinh x,
11.
d
dx
tanh x =
12.
d
dx
arcsin x =
13.
d
dx
1
arccos x = − √1−x
2 . (−1 < x < 1)
14.
d
dx
arctan x =
= n1 x n −1 , n = ±1, ±2, · · ·
1
=
m m
x n −1 .
n
= ex .
log |x| = x1 .
1
cos2 x
d
dx
cos x = − sin x
または
1
cosh2 x
√ 1
1−x2
d
dx
d
dx
tan x = 1 + tan2 x
sinh x = cosh x
または
d
dx
tanh x = 1 − tanh2 x
(−1 < x < 1)
1
1+x2
cosh−1 x = √x12 −1 (x > 1)
√
d
16. dx
log |x + x2 − 1| = √x12 −1 (|x| > 1)
15.
d
dx
第 3 章 微分法
50
17.
d
dx
sinh−1 x =
d
dx
log(x +
√
x2 + 1) =
√ 1
x2 +1
1
tanh−1 x = 1−x
(|x| < 1)
2
d 1
= 1 2 (x ̸= ±1)
19. dx
log 1+x
2
1−x
1−x
18.
d
dx
公式 1 から公式９は数 III で学習済みである．公式１０から公式１９が
新たに学習した公式である．
3.5
平均値の定理
実数 a, b(a < b) の間にある数の集合を区間という．そのうち
a≤x≤b
を満たす数 x の集合を [a, b] という記号で表す. また
a<x<b
を満たす数 x の集合を (a, b) という記号で表す. 集合論の記号を使う
と1
[a, b] = {x : a ≤ x ≤ b},
(a, b) = {x : a < x < b}.
また同様に
(a, b] = {x : a < x ≤ b}, [a, b) = {x : a ≤ x < b}
という記号を使う．これらを有限区間という．これに対して，次の 5 種類
の集合を無限区間という．
[a, ∞) = {x : x ≥ a}, (a, ∞) = {x : x > a}
(−∞, b] = {x : x ≤ b}, (−∞, b) = {x : x < b}
(−∞, ∞) = すべての実数 x の集合
a, b をこれらの区間の境界点または端点という．すべての境界点（があれ
ばそれ全部）を含む区間を閉区間といい，境界点をまったく含まない区
間を開区間という．
x を含む条件式 P1 (x), P2 (x), · · · , Pn (x) があるとき，その条件をすべてみたす x 全
体の集合を，{x : P1 (x), P2 (x), · · · , Pn (x)} と表し, 条件 P1 (x), P2 (x), · · · , Pn (x) をみ
たす x の集合と読む.
1
3.5. 平均値の定理
51
問 3.1 上に上げた区間のうち，閉区間はどれか，また開区間はどれか．
数が数直線上の点を表すとすると，有限区間は線分を表し, 無限区間は
半直線または数直線全体を表す.
関数 f (x) が区間 I で定義されているとする．区間 I のある点 a があ
り，I の全ての点 x に対して
f (x) ≤ f (a) ならば f (x) は x = a で最大値 f (a) をとるといい，
f (x) ≥ f (a) ならば f (x) は x = a で最小値 f (a) をとるという．
これに対して，I のすべての x ではなく，x = a の近くのすべての
x(̸= a) に対して
f (x) < f (a) ならば，f (x) は x = a で極大値 f (a) をとるといい，2
f (x) > f (a) ならば，f (x) は x = a で極小値 f (a) をとるという．3
極大値，極小値をあわせて極値という．
最大値あるいは最小値を取る点は極値を取る点であるが，逆は必ずしも
正しくない. 4
定理 3.5.1 微分可能な f (x) が区間の（端点でない）内部の点 x = c で
極値をとるならば，f ′ (c) = 0.
証明 x = c で極小値を取るとすると
|x − c| < r, x ̸= c ならば f (x) > f (c)
であるような r がある．c < x < c + r ならば，x − c > 0, f (x) − f (c) > 0
であるから，
f (x) − f (c)
f (x) − f (c)
> 0 ⇒ f ′ (c) = lim
≥ 0.
x→c+
x−c
x−c
c − r < x < c ならば，x − c < 0, f (x) − f (c) > 0 であるから，
f (x) − f (c)
f (x) − f (c)
< 0 ⇒ f ′ (c) = lim
≤ 0.
x→c−
x−c
x−c
正確にいうと，次のような r > 0 がある：|x − a| < r, x ̸= a ならば f (x) < f (a)
正確にいうと，次のような r > 0 がある：|x − a| < r, x ̸= a ならば f (x) > f (a)
4
英語では，最大，最小 はそれぞれ maximum, minimum といい，これに対して極大，
極小はそれぞれ local maximam( または maximal), local minimum（または minimal)
という．
2
3
第 3 章 微分法
52
この両式がなりたつから，f ′ (c) = 0.
x = c で極大値を取る場合も同様に証明できる．
2
f ′ (c) = 0 ならば，x = c における y = f (x) の接線の方程式は
y = f (c) + f ′ (c)(x − c) = f (c) + 0 × (x − c) = f (c).
従って接線は x 軸に平行である．
例 3.5.2 (1) f (x) = x2 は x = 0 で最小値 f (0) = 0 をとる．f ′ (x) = 2x
であるから，f ′ (0) = 0.
(2) f (x) = −x2 は x = 0 で最大値 f (0) = 0 をとる．f ′ (x) = −2x で
あるから，f ′ (0) = 0.
(3) １次関数 f (x) = ax + b, (a ̸= 0), は，f ′ (x) = a であるから，
f ′ (x) = 0 となる点は存在しない．したがって極値をとらない．a > 0 な
らば f (x) は増加関数で，a < 0 ならば f (x) は減少関数である．いずれ
にしろ最大値も最小値も存在しない．
(4) しかし f ′ (c) = 0 であるからといって、極値をとるとはかぎらない。
たとえば f (x) = x3 のとき f ′ (x) = 3x2 であるから、f ′ (0) = 0 である。
しかし f (x) = x3 は増加関数であり，x = 0 で極値をとらない．
定理 3.5.3 (ロルの定理) f (x) が [a, b] で連続，(a, b) で微分可能で，f (a) =
f (b) ならば，
f ′ (c) = 0
をみたす c が a と b の間（a < c < b ）に少なくとも一つ存在する．
証明 f (x) が最大値をとる点が区間の内部 (a, b) にあれば，定理 3.5.1
により，その点 c において f ′ (c) = 0 である．同様に，f (x) が最小値を
とる点が区間の内部 (a, b) にあれば，定理 3.5.1 により，その点 c におい
て f ′ (c) = 0 である．f (x) が最大値をとる点も最小値をとる点も区間の
端点ならば，f (a) = f (b) により，最大値と最小値は両端でのこの等しい
値であり，したがってすべての a ≤ x ≤ b に対して f (x) = f (a) = f (b)
であり， f ′ (x) = 0 である．すなわち, c として (a, b) の任意の点 c で
f ′ (c) = 0 である． 2
定理 3.5.3 において，f (x) に対する条件には過剰な部分がある．f (x)
が (a, b) で微分可能ならば，(a, b) で連続であるから，端点 a と b で連
続であると仮定すればよい．このとき [a, b] 全体で連続である．
3.5. 平均値の定理
53
ロルの定理とは，f (a) = f (b) ならば，a と b の間のどこかで y = f (x)
の接線が x 軸に平行だということである．ロルの定理における条件 f (a) =
f (b) をはずすと次のようになる．
定理 3.5.4 (平均値の定理) f (x) が [a, b] において連続，(a, b) において
微分可能な関数ならば，
f (b) − f (a)
= f ′ (c)
b−a
をみたす c が a と b の間（a < c < b ）に少なくとも一つ存在する．
証明 f (x) の代わりに
{
}
f (b) − f (a)
F (x) = f (x) − f (a) +
(x − a)
b−a
という関数を考える．F (a) = F (b) = 0 であるから，ロルの定理により，
F ′ (c) = 0 である c がある．ゆえに
f ′ (c) −
f (b) − f (a)
= F ′ (c) = 0
b−a
平均値の定理とは，a と b の間のどこかで y = f (x) のグラフの接線が，
グラフ上の２点 A(a, f (a)), B(b, f (b)) を通る直線に平行だということで
ある．
平均値の定理により，関数の増減がわかる．
定理 3.5.5 (i) 区間 I （の内部）において，つねに f ′ (x) = 0 ならば，
f (x) は I において定数関数である．
(ii) 区間 I （の内部）において，つねに f ′ (x) > 0 ならば，f (x) は I
において増加関数である．
(i) 区間 I （の内部）において，つねに f ′ (x) < 0 ならば，f (x) は I
において減少関数である．
関数の増減を導関数の符号を調べ，増減表を作って調べる方法は高校
数 III で学習済みであるから，ここでは省略する．平均値の定理 3.5.4
を拡張して，次のコーシー（ Cauchy ）の平均値の定理がなりたつ．
第 3 章 微分法
54
定理 3.5.6 (コーシーの平均値定理) f (t), g(t) が [a, b] で連続，(a, b) で微
分可能で (f ′ (t), g ′ (t)) ̸= (0, 0) とする．このとき，ある c ∈ (a, b) とある λ
に対して，
(f (b) − f (a), g(b) − g(a)) = λ(f ′ (c), g ′ (c)).
(3.3)
従って g(a) ̸= g(b) ならば，
f (b) − f (a)
f ′ (c)
= ′
g(b) − g(a)
g (c)
(3.4)
であり，f (a) ̸= f (b) ならば，
g(b) − g(a)
g ′ (c)
= ′ .
f (b) − f (a)
f (c)
証明
(3.5)
次のような関数 F (t) を考える：
F (t) = (f (t) − f (a))(g(b) − g(a)) − (f (b) − f (a))(g(t) − g(a)).
このとき
F (a) = F (b) = 0
であるから，ロルの定理により，F ′ (c) = 0 である c ∈ (a, b) がある.
f ′ (c)(g(b) − g(a)) = (f (b) − f (a))g ′ (c).
(3.6)
g ′ (c) ̸= 0 ならば，(g(b) − g(a))/g ′ (c) = λ とおけば，g(b) − g(a) = λg ′ (c)
であり，(3.6) より，f (b) − f (a) = λf ′ (c). ゆえに (3.3) が成り立つ．同
様に f ′ (c) ̸= 0 ならば，(f (b) − f (a))/f ′ (c) = λ とおけば，(3.3) が成り
立つ．
g(b) − g(a) ̸= 0 ならば，λg ′ (c) ̸= 0 であるから，(3.4) が成り立つ．
f (b) − f (a) ̸= 0 ならば，λf ′ (c) ̸= 0 であるから，(3.5) が成り立つ． 2
注意 3.5.7 平均値の定理により
f (b) − f (a)
g(b) − g(a)
= f ′ (c1 ),
= g ′ (c1 )
b−a
b−a
であるような c1 , c2 ∈ (a, b) がある．ゆえに g(a) ̸= g(b) ならば，
f ′ (c1 )
f (b) − f (a)
= ′
g(b) − g(a)
g (c2 )
が成り立つ．(3.4) は， c1 = c2 ととれることを示している．
3.5. 平均値の定理
55
f (t), g(t) が t の区間 I で微分可能であるとして，xy 平面のパラメタ
曲線
C : x = f (t),
y = g(t), t ∈ I
(3.7)
を考える．
このとき，limn→∞ tn = a, tn ̸= a, である数列 {tn } とある実数列 {λn }
により，
lim λn (f (tn ) − f (a), g(tn ) − g(a)) = (X, Y )
n→∞
(3.8)
のように表されるベクトル (X, Y ) は，点 P (f (a), g(b)) における C の接
ベクトルであるという．
定理 3.5.8 (f ′ (a), g ′ (a)) ̸= (0, 0) （このとき C は t = a において非特異
であるという）ならば，点 P (f (a), g(b)) における C の接ベクトル (X, Y )
は，ある λ により，
(X, Y ) = λ(f ′ (a), g ′ (a))
(3.9)
と表される．
証明 (X, Y ) が接ベクトルであるとし，(3.8) が成り立つとする．この
とき limn→∞ λn (tn − a) が存在する．実際たとえば f ′ (a) ̸= 0 とする．
0 < |t − a| < δ ならば，
f (t) − f (a)
|f ′ (a)|
′
<
−
f
(a)
t−a
2
であるような δ > 0 がある．このとき
f (t) − f (a) ′
f (t) − f (a) |f ′ (a)|
f
(t)
−
f
(a)
′
+ f (a) −
<
+
|f (a)| ≤ t−a t−a t−a 2
より，
|f ′ (a)| f (t) − f (a) <
.
2
t−a とくに
0 < |t − a| < δ =⇒
f (t) − f (a)
̸= 0 =⇒ f (t) − f (a) ̸= 0.
t−a
第 3 章 微分法
56
したがって 0 < |tn − a| < δ であるように n を十分大きくとると，
λn (tn − a) =
λn (f (tn ) − f (a))
f (tn )−f (a)
tn −a
→
X
(n → ∞).
f ′ (a)
X/f ′ (a) = λ とおくと，limn→∞ λn (tn − a) = λ であり，X = λf ′ (a) であ
る．さらに
Y
=
=
lim λn (g(tn ) − g(a)) = lim λn (tn − a)
n→∞
n→∞
g(tn ) − g(a)
tn − a
g(tn ) − g(a)
= λg ′ (a).
n→∞
tn − a
lim λn (tn − a) lim
n→∞
ゆえに (3.9) が成り立つ．g ′ (a) ̸= 0 の場合も同様に (3.9) が成り立つ．
逆に (X, Y ) = λ(f ′ (a), g ′ (a)) であるならば，limn→∞ tn = a + 1/n とお
き，λn = nλ とおくと，
λn (f (tn )−f (a)) = nλ(f (a+1/n)−f (a)) = λ
f (a + 1/n) − f (a)
→ λf ′ (a).
1/n
λn (g(tn )−g(a)) = nλ(g(a+1/n)−g(a)) = λ
g(a + 1/n) − g(a)
→ λg ′ (a).
1/n
ゆえに (X, Y ) は接ベクトルである．
2
いままで，関数 f により，独立変数 x が従属変数 y に写るとき，y =
f (x) のように表した．しかし文字の節約のために，関数を表す記号 f を
従属変数の記号 y で代用して y = y(x) のように表すことがある．たとえ
ば x, y 平面のパラメタ曲線 C を (3.7) の代わりに
C : x = x(t), y = y(t), t ∈ I
(3.10)
のように表す．区間 I において連続な導関数 x′ (t), y ′ (t) があるとき，C
は I において滑らかであるという．もし (x′ (t), y ′ (t)) ̸= (0, 0), t ∈ I なら
ば，正則曲線という．また I = [a, b] が，点列 a = a0 < a1 < · · · < an = b
により，部分区間 Ik = [ak−1 , ak ], k = 1, · · · , n の和集合に分かれ，各部
分区間 Ik で C が滑らかなとき C は区分的に滑らかであるという．
例 3.5.9
• C : x(θ) = cos θ, y(θ) = sin θ, θ ∈ [0, 2π]
は原点を中心とする半径 1 の円であり，滑らかな正則曲線である．
3.5. 平均値の定理
57
• C : x(s) = cosh s, y(s) = sinh s, s ∈ (−∞, ∞) は双曲線 x2 −y 2 =
1 の右半分からなる曲線を表し，滑らかな正則曲線である．
• x(t) = t3 , y(t) = t2 , t ∈ [−1, 1]
は滑らかな曲線であるが， (x′ (0), y ′ (0)) = (0, 0) であるから正則曲
線ではない．x(−t) = −x(t), y(−t) = y(t) であるから，この曲線は
y 軸に関して対称である．
補題 3.5.10 曲線 (3.10) が I = [a, b] で滑らかな正則曲線とする．
1. x′ (t) ̸= 0, t ∈ I とする．このとき x = x(t) の逆関数が定まり，そ
れを t = t(x) で表すと
dt
1
1
= dx = ′
dx
x (t)
dt
2. y ′ (t) ̸= 0, t ∈ I とする．このとき y = y(t) の逆関数が定まり，そ
れを t = t(y) で表すと
1
dt
1
= dy = ′
dy
y (t)
dt
証明 x′ (t) ̸= 0. t ∈ I とすると，x′ (t) は I で定符号である．実際
x′ (a) > 0 とすると，もし x′ (t1 ) < 0 であるとなる点 t1 があるとすると，
x′ (t) が連続であることと中間値の定理により a と t1 の間のある点 t2 に
おいて x′ (t2 ) = 0 となり，矛盾を生ずる．したがって x′ (a) > 0 ならば，
x′ (t) > 0, t ∈ I であり，x(t) は単調増加である．また x′ (a) < 0 ならば，
x′ (t) < 0, t ∈ I であり，x(t) は単調減少である．したがって x = x(t)
の逆関数がある．その逆関数を t = t(x) で表と，
1
dt
= ′
dx
x (t)
である．
y ′ (t) ̸= 0, t ∈ I の場合も同様に証明される．
2
曲線 (3.10) が I = [a, b] で滑らかな正則曲線で t が x の関数として
t = t(x) と表される場合には，この値を y = y(t) に代入して合成関数
第 3 章 微分法
58
y = y(t(x)) ができる．この関数を y = f (x) = y(t(x)) と表すと，合成関
数の微分法により，
1
y ′ (t(x))
f ′ (x) = y ′ (t(x))t′ (x) = y ′ (t(x)) ′
=
x (t)
x′ (t)
が成り立つ．このことを
dy
=
dx
dy
dt
dx
dt
のように略記し，関数 y = f (x) の媒介変数表示 (3.10) による微分法と
いう．
例 3.5.11
• C : x(θ) = cos θ, y(θ) = sin θ, θ ∈ [0, 2π]
の場合．x′ (θ) = − sin θ ̸= 0, θ ̸= 0, π, 2π である．θ ∈ (0, π) のと
き，C は原点を中心とする半径 1 の円の上半分である．θ ∈ (π, 2π)
のときは，C は原点を中心とする半径 1 の円の下半分である．い
ずれにしても
dy
cos θ
x
=
=−
dx
− sin θ
y
• C : x(s) = cosh s, y(s) = sinh s, s ∈ (−∞, ∞)
の場合，y ′ (s) = cosh(s) ̸= 0, s ∈ (−∞, ∞) である. C は双曲線の
右半分で
dx
x′ (s)
sinh(s)
y
= ′
=
=
dy
y (s)
cosh s
x
• C : x(t) = t3 , y(t) = t2 , t ∈ [−1, 1]
の場合．x′ (t) = 3t2 ̸= 0, t ̸= 0 である．点 (x(t), y(t)) は t ∈ (0, 1]
のとき C の右半分上にあり，t ∈ [−1, 0) のとき C の曲線の左半分
上にある．
2t
2
dy
= 2 = .
dx
3t
3t
したがって
dy
dy
lim
= ∞, lim
= −∞
t→0+ dx
t→0− dx
C は原点に尖点をもつ曲線である．
3.6. 不定形の極限
3.6
59
不定形の極限
limx→a f (x) = α, limx→a g(x) = β の場合，β ̸= 0 ならば，
f (x)
α
=
x→a g(x)
β
lim
であった．
β = 0 の場合はこの公式は直ちには適用できない．たとえば次のこと
は成り立つ．
• g(x) が正の値をとりながら 0 に近づくとき
f (x)
= +∞
x→a g(x)
α > 0 =⇒ lim
f (x)
= −∞
x→a g(x)
α < 0 =⇒ lim
• g(x) が負の値をとりながら 0 に近づくとき
f (x)
= −∞
x→a g(x)
α > 0 =⇒ lim
α < 0 =⇒ lim
x→a
f (x)
= +∞
g(x)
(x)
α = β = 0 の場合の極限 limx→a fg(x)
を調べるためにはさまざまな工夫
を要する．次の定理はこのような場合の極限 (不定形の極限）計算する便
利な公式を与える．
定理 3.6.1 (ロピタル（L’Hospital）の定理 (1)) f (x), g(x) が a < x ≤
b のとき連続，微分可能，g(x) ̸= 0, (g ′ (x), f ′ (x)) ̸= (0, 0) とする．
(i) limx→a f (x) = limx→a g(x) = 0 であるとき，
f ′ (x)
f (x)
f ′ (x)
が存在するならば
lim
=
lim
.
x→a g ′ (x)
x→a g(x)
x→a g ′ (x)
lim
(ii) limx→a g(x) = ∞ であるとき，
f ′ (x)
f (x)
f ′ (x)
が存在するならば
lim
=
lim
.
x→a g ′ (x)
x→a g(x)
x→a g ′ (x)
lim
第 3 章 微分法
60
証明 (i)
f ′ (x)
=A
x→a g ′ (x)
(3.11)
lim
であるから，任意の ϵ > 0 に対して，次のような δ > 0 が存在する：
′
f (t)
(3.12)
a < t < a + δ =⇒ ′
− A < ϵ.
g (t)
a < y < a + δ とする．g(y) ̸= 0, limx→a g(x) = 0 であるから，a < x < y
である x を a の十分近くにとると，g(x) ̸= g(y). ゆえにコーシーの平均
値の定理より
f (y) − f (x)
f ′ (t)
= ′
g(y) − g(x)
g (t)
(3.13)
であるような t (x < t < y) が存在する．(3.12), (3.13) により
f (y) − f (x)
g(y) − g(x) − A < ϵ.
ここで x → a とすると，
f (y)
− A ≤ ϵ.
a < y < a + δ =⇒ g(y)
ゆえに (i) が証明された．
(ii) (i) と同じく (3.12) が成り立つような δ > 0 がある．a < y < a + δ
とする．limx→a g(x) = ∞ であるから，a < x < a + δ1 < y ならば，
g(x) ̸= g(y) であるような δ1 が存在する．このときコーシーの平均値の
定理により，
f (x) − f (y)
f ′ (t)
= ′
g(x) − g(y)
g (t)
(3.14)
が成り立つような t (x < t < y) が存在する．左辺の分母をはらって
f (x) − f (y) =
f ′ (t)
(g(x) − g(y)).
g ′ (t)
g(x) で割ると
f ′ (t)
f (x) f (y)
−
= ′
g(x) g(x)
g (t)
(
)
g(y)
1−
,
g(x)
3.6. 不定形の極限
61
すなわち
f (x)
f ′ (t) f ′ (t) g(y) f (y)
= ′
− ′
+
.
g(x)
g (t)
g (t) g(x) g(x)
(3.15)
a < y < a + δ である y を固定して，x → a のときの極限をとる，(3.15)
より
′
′ f (x)
f (t)
f (t) g(y) f (y) g(x) − A ≤ g ′ (t) − A + g ′ (t) g(x) + g(x) (3.12) より，
′ ′
f (t) f (t)
g ′ (t) ≤ g ′ (t) − A + |A| < ϵ + |A|
であるから，a < x < a + δ1 < y ≤ a + δ ならば
f (x)
g(y) f (y) g(x) − A ≤ ϵ + (ϵ + |A|) g(x) + g(x) ここで x をさらに a に近くとる．g(x) → ∞ (x → a) であるから，次の
ような δ2 , (0 < δ2 < δ1 ) がある：
g(y) f (y) < ϵ, a < x < a + δ2 =⇒ g(x) < ϵ.
g(x) 以上により
f (x)
a < x < a + δ2 =⇒ − A ≤ ϵ + (ϵ + |A|)ϵ + ϵ.
g(x)
ゆえに (ii) が証明された．
2
limx→a f (x) = limx→a g(x) = 0 であり，さらに limx→a f ′ (x) = limx→a g ′ (x) =
0 の場合に，もう一度微分して
f ′′ (x)
=A
x→a g ′′ (x)
lim
が存在するとする．ロピタルの定理を f ′ (x), g ′ (x) に適用して
f ′′ (x)
f ′ (x)
=
lim
.
x→a g ′′ (x)
x→a g ′ (x)
lim
第 3 章 微分法
62
再びロピタルの定理により，
f (x)
f ′ (x)
= lim ′
.
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
結局
f (x)
f ′ (x)
f ′′ (x)
= lim ′
= lim ′′
= A.
x→a g(x)
x→a g (x)
x→a g (x)
lim
例 3.6.2
1 − cos x
sin x
1
sin x
1
1
= lim
= lim
= ×1=
2
x→0
x→0 2x
x
2 x→0 x
2
2
(1) lim
ax − bx
ax log a − bx log b
= lim
= log a − log b (a > 0, b > 0)
x→0
x→0
x
1
√
2 arcsin x
2/ 1 − x2
2
(3) lim
= lim
=
x→0
x→0
3x
3
3
(
)
1
1
1 − cos x
sin x
(4) lim
−
= lim
= lim
=0
x→0
x→0
x→0 cos x
sin x tan x
sin x
(2) lim
定理 3.6.3 (ロピタルの定理 (2)) f (x), g(x) が a < x ≤ b のとき連続，
微分可能 g(x) ̸= 0 とする．
(i) limx→a f (x) = limx→a g(x) = 0 であるとき，
f ′ (x)
f (x)
f ′ (x)
=
∞
ならば
lim
=
lim
=∞
x→a g ′ (x)
x→a g(x)
x→a g ′ (x)
lim
(ii) limx→a g(x) = ∞ であるとき，
f ′ (x)
f (x)
f ′ (x)
=
∞
ならば
lim
=
lim
=∞
x→a g ′ (x)
x→a g(x)
x→a g ′ (x)
lim
証明 (i)
f ′ (x)
=∞
lim
x→a g ′ (x)
(3.16)
であるから，任意の R > 0 に対して，次のような δ > 0 が存在する：
a < t < a + δ =⇒
f ′ (t)
> R.
g ′ (t)
(3.17)
3.6. 不定形の極限
63
a < y < a + δ とする．g(y) ̸= 0, limx→a g(x) = 0 であるから，a < x < y
である x を a の十分近くにとると，g(x) ̸= g(y). ゆえにコーシーの平均
値の定理より
f (y) − f (x)
f ′ (t)
= ′
g(y) − g(x)
g (t)
(3.18)
であるような t (x < t < y) が存在する．(3.17), (3.18) により
f (y) − f (x)
> R.
g(y) − g(x)
ここで x → a とすると，
a < y < a + δ =⇒
f (y)
> R.
g(y)
ゆえに (i) が証明された．
(ii) (i) と同じく (3.17) が成り立つような δ > 0 がある．a < y < a + δ
とする．limx→a g(x) = ∞ であるから，a < x < a + δ1 < y ならば，
g(x) ̸= g(y) であるような δ1 が存在する．このときコーシーの平均値の
定理により，
f (x) − f (y)
f ′ (t)
= ′
g(x) − g(y)
g (t)
(3.19)
が成り立つような t (x < t < y) が存在する．左辺の分母をはらって
f (x) − f (y) =
f ′ (t)
(g(x) − g(y)).
g ′ (t)
g(x) で割ると
f (x) f (y)
f ′ (t)
−
= ′
g(x) g(x)
g (t)
すなわち
f ′ (t)
f (x)
= ′
g(x)
g (t)
(
)
g(y)
1−
,
g(x)
(
)
g(y)
f (y)
.
1−
+
g(x)
g(x)
(3.20)
a < y < a + δ である y を固定して，x → a のときの極限をとる．g(x) →
∞ (x → a) であるから，次のような δ2 , (0 < δ2 < δ1 ) がある：
1
g(y) f (y)
1
a < x < a + δ2 =⇒ − <
,
< .
2
g(x) g(x)
2
第 3 章 微分法
64
ゆえに (3.20) より，a < x < a + δ2 ならば，
(
)
f (x)
f ′ (t)
1
1
1 1
> ′
1−
− >R× − .
g(x)
g (t)
2
2
2 2
すなわち limx→a
f (x)
g(x)
= ∞.
2
注意 3.6.4 ロピタルの定理は limx→a を limx→∞ または limx→−∞ で置き
換えても成り立つ．証明は上記とほぼ同様である．
例 3.6.5
e2x
2e2x
4e2x
=
lim
=
lim
= ∞.
x→∞ x2
x→∞ 2x
x→∞ 2
(1)
lim
x3
3x2
6x
6
=
lim
= lim 2x = lim 2x = 0
2x
2x
x→∞ e
x→∞ 2e
x→∞ 4e
x→∞ 8e
sin x
cos x
(3) lim
= lim
= ∞.
x→0+ 1 − cos x
x→0+ sin x
sin x
cos x
lim
= lim
= −∞.
x→0− 1 − cos x
x→0− sin x
(2)
lim
lim (x − π/2) tan x
(4)
x→π/2
=
lim
x→π/2
tan x
1
x−π/2
1/ cos2 x
(x − π/2)2
= lim
= − lim
1
x→π/2 −
x→π/2
cos2 x
(x−π/2)2
2(x − π/2)
2(x − π/2)
2
2
= lim
= lim
=
= −1
x→π/2 −2 cos x sin x
x→π/2
x→π/2 2 cos 2x
sin 2x
−2
= − lim
別解
lim (x − π/2) tan x
x→π/2
sin x
(x − π/2)
= lim
sin x
x→π/2
cos x x→π/2 cos x
(x − π/2)
1
= lim
lim sin x = lim
× 1 = (−1) × 1 = −1
x→π/2
x→π/2 − sin x
cos x x→π/2
=
lim (x − π/2)
3.7. テーラーの定理，マクローリンの定理
3.7
65
テーラーの定理，マクローリンの定理
関数を多項式で近似することを考える．
f (x) が x = a で連続であれば，
R0 (x) = f (x) − f (a)
とおくと，limx→0 R0 (x) = 0 である．この場合 x が a の近くにあれば，
f (x) は，f (a) に近い値である．
f (x) が x = a において微分可能であるとき，
f1 (x) = f (a) + f ′ (a)(x − a)
とおくと， y = f1 (x) は y = f (x) のグラフの x = a における接線の方程
式である．
R1 (x) = f (x) − f1 (x) = f (x) − [f (a) + f ′ (a)(x − a)]
とおくと，R1 (x) は x = a の近くで十分小さくなる．すなわち limx→a R1 (x) =
0 であるがさらに
R1 (x)
=0
x→a x − a
lim
(3.21)
も成り立つ．実際
R1 (x)
f (x) − f (a)
=
− f ′ (a)
x−a
x−a
であるから，f ′ (a) の定義により，x → a のとき右辺は 0 に収束する．
一般的に x = a の近くで定義された関数 ϕ(x) が limx→a ϕ(x) = 0 で
あるとき，ϕ(x) は x = a において無限小 であるという．また他の関数
ψ(x) も x = a において無限小 であるとする．このとき
lim
x→a
ψ(x)
=A
ϕ(x)
が存在し，A = 0 ならば ψ(x) は x = a において ϕ(x) よりも高位の無限
小であるといって，
ψ(x) = o(ϕ(x)) (x → a)
第 3 章 微分法
66
と書く（Landau の記号). また A ̸= 0 で A が有限値であるならば ψ(x)
は x = a において ϕ(x) と同位の無限小であるといって，
ψ(x) = O(ϕ(x)) (x → a)
と書く．たとえば
x2 = o(x) (x → 0), sin x = O(x) (x → 0),
sin 2x = O(x) (x → 0), sin x2 = o(x) (x → 0),
log(1 + x) = O(x) (x → 0), log(1 − 2x) = O(x) (x → 0).
テーラーの定理を導きだす準備として，次の関数の高階の微分を計算
しておこう．そのために n = 1, 2, · · · , k = 0, 1, 2, · · · に対して (n)k を次
のように定義しておく．
{
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) (k ≥ 1)
(n)k =
1
(k = 0)
補題 3.7.1 n = 1, 2, · · · , k = 0, 1, 2, · · · のとき
dk
(x − a)n = (n)k (x − a)n−k
dxk
dk
(a − x)n = (−1)k (n)k (a − x)n−k
k
dx
(
)
dk
kπ
sin x = sin x +
dxk
2
(
)
dk
kπ
cos x = cos x +
dxk
2
(3.22)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
証明
d2 n
d3 n
d n
n−2
x = nxn−1 ,
x
=
n(n
−
1)x
,
x = n(n − 1)(n − 2)xn−3
dx
dx2
dx3
とつづけて，0 ≤ k ≤ n のとき
dk n
x = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)xn−k ,
dxk
dn n
x = n(n − 1)(n − 2) · · · 1x0 = n!.
dxn
3.7. テーラーの定理，マクローリンの定理
67
また k > n のときは
dk n
x = 0.
dxk
ゆえに
dk n
x = (n)k xn−k .
dxk
次に y = (x − a)n の微分を計算する．y = (x − a)n は y = un と
u = x − a の合成関数の微分であるから，
d
d n d
(x − a)n =
u
(x − a) = nun−1 × 1 = n(x − a)n−1 .
dx
du dx
d2
d
(x − a)n =
n(x − a)n−1 = n(n − 1)(x − a)n−2 .
2
dx
dx
以下同様に計算して (3.22) を得る．
次に y = (a − x)n は y = un と u = a − x の合成関数であるから，
d
d2
(a−x)n = n(a−x)n−1 (−1),
(a−x)n = (n)2 (a−x)n−2 (−1)2 , · · ·
dx
dx2
すなわち (3.23) が成り立つ．
(
)
d
sin x = cos x であるが，加法定理により，cos x = sin x + π2 と表
dx
される．ゆえに
(
d
π)
sin x = sin x +
dx
2
(
)
y = sin x + π2 は y = sin u と u = x + π2 の合成関数であるから，
(
(
(
d
π)
π ) du
π π)
sin x +
= sin u +
= sin x + +
.
dx
2
2 dx
2
2
ゆえに
(
)
(
d2
π π)
2π
sin x = sin x + +
= sin x +
.
dx2
2
2
2
同様に
(
)
(
)
d3
2π π
3π
sin x = sin x +
+
= sin x +
.
dx3
2
2
2
これを続けて (3.24) を得る．
同様にして (3.25) を得る．
2
第 3 章 微分法
68
注意 3.7.2 (n)k の定義により
( )
n
(n)k
0 ≤ k ≤ n =⇒
=
,
k!
k
k > n =⇒ (n)k = 0.
ここで高階の導関数の計算公式を追加しておこう．
定理 3.7.3 (Leibniz の公式) f (x), g(x) が n 回微分可能ならば
(f (x)g(x))(n)
n ( )
∑
n (n−k)
=
f
(x)g (k) (x)
k
k=0
= f (n) (x)g(x) + nf (n−1) (x)g ′ (x) +
+··· +
n(n − 1) (n−2)
f
(x)g ′′ (x)
1×2
n(n − 1) ′′
f (x)g (n−2) (x) + nf ′ (x)g (n−1) (x) + f (x)g (n) (x)
1×2
証明 n = 1, 2, · · · に関する数学的帰納法により証明できる．委細省略
2
注意 3.7.4 合成関数 f (g(x)) の高階の導関数の計算公式は，Fáa di Bruno
の公式として存在するが複雑であるから省略する．
f (x) が無限回微分可能であるとする．f (x) が次のような無限級数で表
されるとする．
f (x) = A0 +A1 (x−a)+A2 (x−a)2 +A3 (x−a)3 +· · ·+Ak (x−a)k +· · · (3.26)
ただし,a, A0 , A1 , A2 , · · · は定数で，x は a の近くにあるとする．この等
式が成り立つような A0 , A1 , A2 , · · · を探してみる．
(3.26) が成り立つとする．(3.26) において x = a とおくと，
f (a) = A0
を得る．(3.26) の両辺を微分する．右辺は形式的に各項を微分してよい
とすると
f ′ (x) = A1 + A2 2(x − a) + A3 3(x − a)2 + · · · + Ak k(x − a)k−1 + · · · (3.27)
3.7. テーラーの定理，マクローリンの定理
69
(3.27) において x = a とおくと，
f ′ (a) = A1
を得る．(3.27) の両辺を微分すると
f ′′ (x) = A2 2+A3 3·2(x−a)+A4 4·3(x−a)2 +· · ·+Ak k(k−1)(x−a)k−2 +· · ·
(3.28)
(3.28) において x = a とおくと，
f ′′ (a) = A2 2
を得る．このようにして k 回微分すると
f (k) (x) = Ak k(k − 1) · · · 2 · 1
+Ak+1 (k + 1)k (x − a)k+1−k + Ak+2 (k + 2)k (x − a)k+2−k + · · ·
を得る．x = a とおくと，f (k) (a) = Ak k! が成り立つ．ゆえに (3.26) が
成り立つならば，
Ak =
f (k) (a)
.
k!
定義 3.7.5 無限回微分可能な関数 f (x) に対して無限級数
∞
∑
f (k) (a)
k=0
k!
(x−a)k = f (a)+f ′ (a)(x−a)+
f ′′ (a)
f ′′′ (a)
(x−a)2 +
(x−a)3 +· · ·
2
6
を f (x) の x = a の周りの（あるいは x = a を中心とする) テーラー
（Taylor）級数という．
a = 0 のときはこの級数は
∞
∑
f (k) (0)
k=0
k!
xk = f (0) + f ′ (0)x +
f ′′ (0) 2 f ′′′ (0) 3
x +
x + ···
2
6
となり，これを f (x) のマクローリン（Maclaurin）級数という．
例 3.7.6 f (x) =
f (k) (x) =
1
1−x
= (1 − x)−1 の k 次導関数は
k!
(k ≥ 0)
(1 − x)k+1
第 3 章 微分法
70
f (k) (0)
k!
である．したがって
∞
∑
1
= 1 であるから， 1−x
のマクローリン級数は
xk = 1 + x + x2 + x3 + · · ·
k=0
である．これは無限等比級数で，|x| < 1 のとき 1/(1 − x) に収束するが，
|x| ≥ 1 のときは発散し 1/(1 − x) を表していない．
∑∞
定義 3.7.7 無限級数
とき，
∞
∑
f (x) ≃
Ak (x − a)k が f (x) のテーラー級数である
k=0
Ak (x − a)k
k=0
と書くことにする．
代表的なマクローリン級数を挙げよう．
補題 3.7.8
1
≃ 1 + x + x2 + · · · + xk + · · ·
1−x
ex ≃
∞
∑
1
1
1 k
x = 1 + x + x2 + x3 + · · ·
k!
2
3!
k=0
∞
∑
sin(kπ/2)
sin x ≃
k=0
cos x ≃
k!
∞
∑
cos(kπ/2)
k!
k=0
=x−
1 3 1 5 1 7
x + x − x + ···
3!
5!
7!
=1−
1 2 1 4 1 6
x + x − x + ···
2!
4!
6!
定理 3.7.9 (テーラーの定理) n = 1, 2, · · · とし，f (x) が閉区間 [a, b] で
C n−1 級の関数であり，f (n) (x) が開区間 (a, b) で存在するならば，
f (b) =
n−1 (k)
∑
f (a)
k=0
k!
(b − a)k +
f (n) (c)
(b − a)n
n!
が成り立つような c が (a, b) において少なくとも一つある．
(3.29)
3.7. テーラーの定理，マクローリンの定理
71
注意 3.7.10 n = 1 の場合，(3.31) は
(
)
f (b) − f (a)
′
′
f (b) = f (a) + f (c)(b − a)
⇐⇒
= f (c) .
b−a
したがって n = 1 の場合にはテーラーの定理は平均値の定理と一致する．
定理 3.7.9 の証明定数 A を
A=
f (b) −
∑n−1
f (k) (a)
(b
k!
− a)n
k=0
(b
− a)k
とおく．このとき
[ n−1
]
∑ f (k) (a)
f (b) −
(b − a)k + A(b − a)n = 0
k!
(3.30)
k=0
が成り立つ．いま左辺の a を x で置き換えて
]
[ n−1
∑ f (k) (x)
(b − x)k + A(b − x)n
F (x) = f (b) −
k!
k=0
とおく．明らかに F (a) = 0 が成り立ち，また直接代入して F (b) = f (b) −
f (b) = 0 も成り立つ．仮定より，f, f ′ , f ′′ , · · · f (n−1) は [a, b] で連続であ
るから，F (x) も [a, b] で連続である．また (a, b) において f (n−1) (x) の微
分 f (n) (x) が存在するから，F (x) は (a, b) で微分可能である．したがっ
てロールの定理により， F ′ (c) = 0 であるような c ∈ (a, b) が存在する．
ところで F ′ (x) を計算すると次のようになる．見やすいように n = 4 の
場合で計算する．この場合
[
f ′′ (x)
f ′′′ (x)
F (x) = f (b) − f (x) + f ′ (x)(b − x) +
(b − x)2 +
(b − x)3
2!
3!
]
4
+A(b − x)
である．y = (b − x)k は y = uk と u = b − x の合成関数であるから，
第 3 章 微分法
72
d
(b
dx
− x)k = kuk−1 (−1) = −k(b − x)k−1 である．ゆえに
−F ′ (x) = f ′ (x) + [f ′′ (x)(b − x) − f ′ (x)]
[ ′′′
]
f (x)
f ′′ (x)
2
+
(b − x) +
(−2(b − x))
2!
2!
[ (4)
]
f (x)
f ′′′ (x)
3
2
+
(b − x) +
(−3(b − x) ) + A(−4(b − x)3 )
3!
3!
′
′′
= f (x) + [f (x)(b − x) − f ′ (x)]
[ ′′′
]
f (x)
2
′′
+
(b − x) − f (x)(b − x))
2!
[ (4)
]
f (x)
f ′′′ (x)
3
2
+
(b − x) −
(b − x) ) − 4A(b − x)3
3!
2!
f (4) (x)
(b − x)3 − 4A(b − x)3 .
=
3!
したがって F ′ (c) = 0 より，
f (4) (c)
(b − c)3 − 4A(b − c)3 = 0.
3!
いま c ∈ (a, b) であるから，b − c ̸= 0 である．ゆえに
f (4) (c)
− 4A = 0
3!
が成り立ち，
A=
f (4) (c)
4!
と表される．この値を (3.30) に代入して (3.31) が成り立つ．
2
定理 3.7.9 においては a < b であるが．b < a の場合も同様の定理が成
り立つ．
定理 3.7.11 n = 1, 2, · · · とし，f (x) が閉区間 [b, a] で C n−1 級の関数で
あり，f (n) (x) が開区間 (b, a) で存在するならば，
f (b) =
n−1 (k)
∑
f (a)
k=0
k!
(b − a)k +
f (n) (c)
(b − a)n
n!
が成り立つような c が (b, a) において少なくとも一つある．
(3.31)
3.7. テーラーの定理，マクローリンの定理
73
定理 3.7.9, 3.7.11 により b が a より大きくても小さくても，f (b) は同
じ公式であらわされる．a と b の間に数 c があることは
θ=
c−a
b−a
とおくと，0 < θ < 1 が成り立つことと同じことである．このとき θ を
用いて
c = a + θ(b − a)
と表示され，公式 (3.31), (3.31) は次のように直すことができる．
f (b) =
n−1 (k)
∑
f (a)
k=0
k!
(b − a)k +
f (n) (a + θ(b − a))
(b − a)n .
n!
(3.32)
さらに b を変数 x に置き換えることにより，次の定理がなりたつ．
定理 3.7.12 n = 1, 2, · · · とし，a を内部に含む区間 I で f (x) が C n 級
であるとする．このとき I の各点 x に対して，ある θ ∈ (0, 1) が存在し
て次の式が成り立つ．
f (x) =
n−1 (k)
∑
f (a)
k=0
k!
(x − a)k +
f (n) (a + θ(x − a))
(x − a)n
n!
(3.33)
特に a = 0 の場合には
f (x) =
n−1 (k)
∑
f (0)
k=0
k!
f (n) (θx) n
x +
x
n!
k
(3.34)
(3.33) を x = a の周りの（あるいは x = a を中心とする）f (x) の n 次
の有限テーラー展開という．
fn (x) =
n−1 (k)
∑
f (a)
k=0
k!
(x − a)k
(n = 1, 2, · · · )
とおき，この有限テーラー展開の主要部という．これは x の n − 1 次多
項式である．また
Rn (x, a) = f (x) − fn (x)
第 3 章 微分法
74
を n 次の剰余項という．この剰余項が
f (n) (a + θ(x − a))
(x − a)n
n!
Rn (x, a) =
と表されるのである．
また (3.34) を f (x) の n 次の有限マクローリン展開という．この場合
の剰余項を Rn (x) で表すと，
Rn (x) =
f (n) (θx) n
x .
n!
1. f (x) = ex の場合，a の周りの有限テーラー展開は
例 3.7.13
x
e =
n−1 a
∑
e
k=0
k!
(x − a)k +
ea+θ(x−a)
(x − a)n ,
n!
また有限マクローリン展開は
ex =
n−1
∑
1 k eθx n
x +
x .
k!
n!
k=0
(3.35)
ところで，
eθx n
x =0
n→∞ n!
lim
(3.36)
である．実際 |x| ≤ r すなわち −r ≤ x ≤ r とする．0 < θ < 1 な
らば
−r ≤ −θr ≤ θx ≤ θr ≤ r
であるから，|eθx | ≤ er である．ゆえに
θx n
n
e n
x ≤ er |x| ≤ er r
n! n!
n!
であり，
rn
=0
lim
n→∞ n!
(3.37)
を示せばよい．r に対して，n > k > 2r/ ならば，r/n < r/k < 1/2
であるから，
( )n−k
rr
r r
r
rk 1
rn
=
···
··· <
→ 0 (n → ∞).
n!
12
kk+1
n
k! 2
3.7. テーラーの定理，マクローリンの定理
75
ゆえに (3.37)，そして (3.36) が成り立つ．したがって (3.35) にお
いて，n → ∞ とすれば，
∞
∑
1 k
1
1
e =
x = 1 + x + x2 + x3 + · · ·
k!
2!
3!
k=0
x
がすべての x に対して成り立つ．特に x = 1 と代入して
e=
∞
∑
1
1
1
= 1 + 1 + + + ··· .
k!
2! 3!
k=0
2. f (x) = sin x の場合，マクローリン展開は
( )
(
)
n−1
∑
sin θx + nπ
sin kπ
k
2
2
sin x =
x +
xn .
k!
n!
k=0
この場合も，すべての x に対して
(
sin θx + nπ ) 1
2
xn ≤ |x|n → 0
n!
n!
であるから，
sin x =
∞
∑
sin
k=0
( kπ )
2
k!
xk = x −
(n → ∞)
x3 x5 x7
+
−
+ ···
3!
5!
7!
が成り立つ．
3. f (x) = cos x の場合，マクローリン展開は
( )
(
)
n−1
∑
cos kπ
cos θx + nπ
k
2
2
cos x =
x +
xn .
k!
n!
k=0
この場合も，すべての x に対して
cos (θx + nπ ) 1
2
xn ≤ |x|n → 0
n!
n!
であるから，
cos x =
∞
∑
cos
k=0
が成り立つ．
( kπ )
k!
2
xk = 1 −
(n → ∞)
x2 x4 x6
+
−
+ ···
2!
4!
6!
第 3 章 微分法
76
例 3.7.14 x > 0 のとき，すべての n = 0, 1, 2, · · · に対して
ex > 1 + x +
x2
xn
+ ··· +
2!
n!
(x > 0)
(3.38)
xn
(x > 0)
n!
< n!xn
(x > 0)
ex >
(3.39)
e− x
(3.40)
1
証明 (3.35) 式において，x > 0 のとき eθx > 0 であるから，x > 0 なら
ば Rn (x) = eθx xn /n! > 0 である．ゆえに
x2
xn−1
e >1+x+
+ ···
2!
(n − 1)!
x
が成り立つ．n − 1 を n と書き換えると (3.38) になる．また x > 0 のと
き，x, x2 , · · · , xn は全て正であるから，
xn
xn
x2
+ ···
>
2!
n!
n!
ゆえに (3.38) と合わせて，(3.39) が成り立つ．x を
( 1 )n
1
1
ex > x =
n!
n!xn
したがって逆数をとって (3.40) が成り立つ．
1+x+
1
x
に置き換えると
2
例 3.7.15 全ての n = 1, 2, · · · に対して
ex
lim
=∞
x→∞ xn
e− x = o(xn )
1
(x → 0+)
実際 (3.39) において n を n+1 に置き換えると，x > 0 のとき ex >
であるから，
x
ex
>
.
n
x
(n + 1)!
x
xn+1
(n+1)!
ゆえに limx→∞ xen = ∞.
同様に (3.40) において n を n + 1 に置き換えると，x > 0 のとき
− x1
e < (n + 1)!xn+1 であるから，
e− x
0 < n < (n + 1)!x.
x
1
1
ゆえに limx→0+
e− x
xn
= 0.
3.8. 漸近展開
3.8
77
漸近展開
f (x) の x = a を中心とする有限テーラー展開の主要部は x = a の近く
では，f (x) にほぼ等しく，x が a に近づくほど，近似の精度が高まる．
この様子は以下に述べる漸近展開の考え方で表される．
f (x) が a を含む区間で C n 級とする．このとき f (n) (a) が存在するか
ら，f (x) の n 次のテーラー展開の式は次のように書き換えられる．
f (x) = fn (x) + Rn (x, a)
f (n) (a)
= fn (x) +
(x − a)n
n!
(
)
f (n) (a)
n
+ Rn (x, a) −
(x − a)
n!
)
(
f (n) (a)
n
(x − a)
= fn+1 (x) + Rn (x, a) −
n!
ゆえに n + 1 次の剰余項 Rn+1 (x) = f (x) − fn+1 (x) は次のように表すこ
ともできる．
f (n) (a)
(x − a)n
n!
f (n) (a + θ(x − a)) − f (n) (a)
(x − a)n .
=
n!
Rn+1 (x, a) = Rn (x, a) −
f (n) (x) が x = a で連続であるから，
lim (f (n) (a + θ(x − a)) − f (n) (a)) = 0
x→a
である．すなわち Rn+1 (x) は x → a のとき (x − a)n より高位の無限小
である．つまり
f (x) = fn+1 (x)+Rn+1 (x), と表され Rn+1 (x) = o((x−a)n ) (x → a).
(3.41)
f (x) が x = a の近くで (3.41) のように fn+1 (x) と Rn+1 (x) の和に分解
されることを次の省略形式で表す．
f (x) =
n
∑
f (k) (a)
k=0
k!
(x − a)k + o((x − a)n )
(x → a).
(3.42)
第 3 章 微分法
78
特に a = 0 の場合には
f (x) =
n
∑
f (k) (0)
k=0
k!
xk + o(xn )
(x → 0).
(3.43)
以上をまとめると次の定理になる．
定理 3.8.1 f (x) が x = a を含む区間で C n 級ならば，(3.42) が成り立
つ．特に a = 0 の場合には (3.43) が成り立つ．
より一般的に次のように定義する．
定義 3.8.2 f (x) が x = a の近くで定義されていて，
f (x) =
n
∑
Ak (x − a)k + o((x − a)n )
(x → a)
(3.44)
k=0
∑n
が成り立つような多項式 k=0 Ak (x − a)k があるとき，f (x) は x = a に
おいて n 次漸近展開可能といい，(3.44) を x = a における f (x) の n 次
の漸近展開という．
たとえば，等比級数の和の公式より，
1 + x + x2 + · · · + xn =
1 − xn+1
1−x
(x ̸= 1)
であるから，
1
xn+1
= 1 + x + x2 + · · · + xn +
1−x
1−x
(x ̸= 1)
が成り立つ．
xn+1 /(1 − x)
x
=
lim
=0
x→0
x→0 1 − x
xn
lim
であるから，次の漸近展開が成り立つ．
1
= 1 + x + x2 + · · · + xn + o(xn ) (x → 0)
1−x
定理 3.8.3 f (x) が x = a を含む区間で C n 級ならば，f (x) は x = a に
おいて n 次漸近展開可能で，(3.42) 式は x = a における f (x) の n 次漸
近展開である．
3.8. 漸近展開
79
定理 3.8.4 (漸近展開の一意性) f (x) が x = a を含む区間で C n 級なら
ば，f (x) は x = a において n 次漸近展開可能で，(3.44) が成り立つと
すると，
Ak =
f (k) (a)
(0 ≤ k ≤ n)
k!
である．
証明 Bk =
f (x) =
f (k) (a)
k!
n
∑
とおくと，定理 3.8.3 により，
Bk (x − a)k + o((x − a)n )
(x → a)
(3.45)
k=0
が成り立つ．つまり，
ϕ1 (x) = f (x) −
n
∑
Ak (x − a) , ϕ2 (x) = f (x) −
k
n
∑
Bk (x − a)k
k=0
k=0
とおくと，ϕ1 (x), ϕ2 (x) は x → a のとき (x − a)n より高位の無限小であ
る．差をとると，Ck = Ak − Bk とおくとき
ϕ2 (x) − ϕ1 (x) =
n
∑
Ck (x − a)k
(3.46)
k=0
となる ϕ(x) = ϕ2 (x) − ϕ1 (x) とおくと，
ϕ(x)
ϕ2 (x)
ϕ1 (x)
=
lim
−
lim
=0−0=0
x→a (x − a)n
x→a (x − a)n
x→a (x − a)n
lim
であるから，ϕ(x) = o((x − a)n ) (x → a) である．したがって k =
0, 1, 2, · · · , n に対して
ϕ(x)
ϕ(x)
=
lim
(x − a)n−k = 0
x→a (x − a)n
x→a (x − a)k
lim
も成り立つ．(3.46) を具体的に書くと
C0 + C1 (x − a) + C2 (x − a)2 + · · · + Cn (x − a)n = ϕ(x)
x → a のときの極限をとると．C0 = 0 を得る．したがって
C1 (x − a) + C2 (x − a)2 + · · · + Cn (x − a)n = ϕ(x)
第 3 章 微分法
80
がなり立ち，x − a でわると
C1 + C2 (x − a) + · · · + Cn (x − a)n−1 =
ϕ(x)
x−a
である．再び x → a のときの極限をとると，C2 = 0 を得る．この操作
を繰り返して，C3 = C4 = · · · = Cn = 0 を得る．ゆえに
Ak = Bk =
f (k) (a)
k!
(0 ≤ k ≤ n)
2
が成り立つ．
例 3.8.5 ex , sin x, cos x は何れも何回でも微分可能であるから，全ての n
に対して次の漸近展開が成り立つ．
x
e =
n
∑
xk
k=0
sin x =
+ o(xn )
k!
n
∑
sin
(x → 0)
( kπ )
(x → 0)
xk + o(xn )
2
k!
( )
n
∑
cos kπ
2
cos x =
xk + o(xn )
k!
k=0
k=0
(x → 0)
• たとえば x を −x で置き換えて
−x
e
=
n
∑
(−x)k
k=0
k!
n
+ o((−x) ) =
n
∑
(−1)k
k=0
k!
xk + o(xn )
(x → 0)
念のため ϕ(x) = o(xn ) (x → 0) ならば
ϕ(−x) (−x)n
ϕ(−x)
=
lim
=0
x→0 (−x)n
x→0
xn
xn
lim
であるから，ϕ(−x) = o(xn ) (x → 0) である．
•
sin(−x) =
n
∑
sin
k=0
( kπ )
2
k!
n
∑
sin
(−x) +o((−x) ) =
(−1)k
k
( kπ )
n
k=0
であるから，ϕ(−x) = o(xn ) (x → 0) である．
2
k!
xk +o(xn ) (x → 0)
3.8. 漸近展開
81
•
cos(−x) =
n
∑
cos
k=0
( kπ )
k
2
n
(−x) +o((−x) ) =
k!
2
x sin x = x
n
∑
sin
k=0
=
n
∑
sin
(−1)
n+2
∑
(x → 0)
xk+2 + x2 o(xn )
(x → 0)
(j−2)π
2
)
(j − 2)!
j=2
xk +o(xn ) (x → 0)
2
k!
xk + x2 o(xn )
2
2
sin
( kπ )
( kπ )
k!
( kπ )
k!
(
k=0
=
k cos
k=0
•
2
n
∑
(x → 0)
xj + x2 o(xn )
ϕ(x) = o(xn ) (x → 0) ならば，
ϕ(x)
x2 ϕ(x)
=
lim
=0
x→0 xn
x→0 xn+2
lim
であるから，x2 ϕ(x) = o(xn+2 ) (x → 0) である．ゆえに n + 2 = m
とおき，
(
)
sin (j−2)π
2
A0 = A1 = 0, Aj =
(j ≥ 2)
(j − 2)!
とおくと，m ≥ 2 のとき
x2 sin x =
m
∑
Aj xj + o(xm )
(x → 0)
j=0
(
= x2 −
ゆえに
[
)
dj ( 2
x sin x
j
dx
1 5 1 7
x + x − ··· +
3!
5!
sin
(m−2)π
2
(m − 2)!
)
xm + o(xm ) (x → 0)
]
= Aj
(j ≥ 0).
x=0
注意 3.8.6
• 定理 3.8.3, 3.8.4 により，f (x) が x = a を含む区間
で何回でも微分可能ならば，全ての n = 1, 2, · · · に対して f (x) は
第 3 章 微分法
82
x = a において n 次漸近展開可能で係数 Ak は Ak = f (k) (a)/k! と
して決まる．逆に A0 , A1 , · · · , Ak , · · · を勝手に先に与えたとき，
f (k) (a)
= Ak , k = 0, 1, 2, · · ·
k!
であるような C ∞ 級の関数 f (x) が存在する（Borel-Ritt の定理，
J.F. Ritt, On the derivative of a function at a point, Ann. Math.,
18(1916-1917), 18-23）．
たとえば，Ak = k! としたとき， f (k) (0) = (k!)2 , k = 0, 1, 2, · · · で
あるような f (x) が存在する．このとき，つぎのマクローリン展開
式が成り立つ．
f (x) ≃
∞
∑
k!xk = 1 + x + 2!x2 + 3!x3 + · · ·
k=0
∑n
したがって， n ≥ 0 のとき f (x) = k=0 k!xk + o(xn ) (x → 0) で
∑∞
ある．しかし，無限級数 k=0 k!xk は x ̸= 0 のとき，発散する．実
∑∞
際， k=0 k!xk が収束するならば，limk→∞ |k!xk | = 0 が成り立つ
はずである. しかし x ̸= 0 のとき |x| = 1/r とおくと，(3.37) を用
いて
|k!xk | = k!|x|k =
ゆえに
∑∞
k=0
k!
1
= k
→ ∞ (k → ∞).
k
r
r /k!
k!xk は x ̸= 0 のとき発散する．
• 全ての k = 0, 1, 2, · · · に対して f (k) (0) = 0 である零でない C ∞ 級
の関数 ψ(x) が存在する．たとえば
{
x ≤ 0 のとき 0
ψ(x) =
x > 0 のとき e−1/x
で定義される関数 ψ(x) はこのような性質を持つ．したがって ψ(x)
のマクローリン展開は
ψ(x) ≃ 0 + 0x +
0 2 0 3
x + x + ···
2!
3!
となり，右辺は恒等的に零であり，x > 0 のとき，ψ(x) を表さない．
3.8. 漸近展開
83
また f (x) が C ∞ 級であるとき，g(x) = f (x) + ψ(x) とおくと，g(x)
も C ∞ 級であり，g(x) ̸= f (x) であるが，
g (k) (0) = f (k) (0) + ψ (k) (0) = f (k) (0), k = 0, 1, 2, · · · .
したがって f (x) と g(x) の x = 0 における漸近展開は同じである．
• このように C ∞ 級の関数 f (x) のマクローリン級数が f (x) に収束
するか否かは微妙な問題で，f (x) に応じて limn→∞ Rn (x) = 0 がな
りたつかどうか確かめる必要がある．しかし関数の範囲をすこし狭
めて，複素変数 z の関数 f (z) が複素微分可能な場合には，f (z) と
そのマクローリン級数の収束範囲に関する一般的な定理がある（複
素関数論）．
極値の判定にテーラーの定理を適用できる．
定理 3.8.7 f (x) がある区間で C 2 級で，区間の内部の点 x = a において
f ′ (a) = 0
であるとする．このとき
1. f ′′ (a) > 0 ならば f (x) は x = a で極小値をとる．
2. f ′′ (a) < 0 ならば f (x) は x = a で極大値をとる．
証明 (3.33) を n = 2 の場合に用いて．f ′ (a) = 0 であるから，
f (x) − f (a) =
f ′′ (a + θ(x − a))
(x − a)2
2!
が成り立つ．f ′′ (x) が連続であるから，x が a の近くにあれば，f ′′ (a +
θ(x − a)) の符号は f ′′ (a) の符号と同じになり定理が成り立つ．以下詳し
く証明する．
1. f ′′ (a) > 0 とする．f (x) は C 2 級であるから，f ′′ (x) は連続である．
したがって ϵ = f ′′ (a)/2 > 0 に対して，次のような δ > 0 が存在す
′′
る：|t − a| < δ ⇒ |f ′′ (t) − f ′′ (a)| < ϵ = f 2(a) . ところで
|f ′′ (t) − f ′′ (a)| < ϵ ⇐⇒ f ′′ (a) − ϵ < f ′′ (t) < f ′′ (a) + ϵ
第 3 章 微分法
84
であり，f ′′ (a) − ϵ = f ′′ (a)/2 であるから，
|t − a| < δ =⇒ f ′′ (t) >
f ′′ (a)
.
2
t = a + θ(x − a) のとき，|t − a| < |x − a| であるから，
|x − a| < δ =⇒ f ′′ (x) − f (a) =
f ′′ (t)
f ′′ (a)/2
(x − a)2 >
(x − a)2 .
2
2
ゆえに 0 < |x − a| < δ ならば，f (x) − f (a) > 0 であるから，f (x)
は x = a で極小値をとる．
2. f ′′ (a) < 0 の場合の証明も同様である．
2
上の証明は多変数関数の極値問題を扱う場合に拡張される．
85
第4章
4.1
積分法
定積分
関数 y = f (x) のグラフと，x 軸，および y 軸に平行な直線 x = a, x =
b(a < b) で囲まれる図形の面積 S を計算する方法を考える．ここで考え
る関数 f (x) は, 区間 I = [a, b] で有界であるとする．
一般的にすべての x ∈ I に対して m ≤ f (x) が成り立つような定数 m
が存在するとき，f (x) は I において下に有界であるといい，m を f (x) の
I における一つの下界 という．またすべての x ∈ I に対して f (x) ≤ M
が成り立つような定数 M が存在するとき，f (x) は I において上に有界
であるといい．M を f (x) の I における一つの上界 という．そして上に
も下にも有界な場合に単に有界 であるという．
次の定理は実数の集合の基本的性質より成り立ち，ここでは証明を省
略する．
定理 4.1.1 f (x) が I で下に有界ならば，下界のうちで最大な下界が存
在する．f (x) が I で上に有界ならば，上界のうちで最小な上界が存在
する．
定義 4.1.2 f (x) が区間 I において下に有界であるとき，下界の最大値
α を最大下界，または下限といい，α = inf{f (x) : x ∈ I} と書く．
f (x) が区間 I において上に有界であるとき，上界の最少値 β を最少
上界，または上限といい，β = sup{f (x) : x ∈ I} と書く．
補題 4.1.3 上界，下界の定義から次のことが成り立つ．
1. α = inf{f (x) : x ∈ I} であることは次の二つが成り立つことである．
(1) 全ての x ∈ I に対して α ≤ f (x). (2) α′ > α ならば f (x) < α′
であるような x ∈ I がある．
第 4 章 積分法
86
2. β = sup{f (x) : x ∈ I} であることは次の二つが成り立つことで
ある．(1) 全ての x ∈ I に対して f (x) ≤ β. (2) β ′ < β ならば
β ′ < f (x) であるような x ∈ I がある．
証明 1. 条件 (1) は α が一つの下界であることである．条件 (2) は α
より大きい α′ は下界でないことである．したがって (1),(2) が成り立つ
ことは α が最大の下界であることである．
２．同様に示される．
2
例 4.1.4
1. f (x) が有界閉区間 I で連続ならば，f (x) は最少値 m と
最大値 M をとる．この場合には m は下限であり，M は上限である．
1
2. f (x) = x/(x + 1) = 1 − x+1
は I = (−1, ∞) において，増加関数で
あり，
lim f (x) = −∞,
lim f (x) = 1
x→−1+0
x→∞
である．f (x) は I においていくらでも小さくなるので下に有界で
はないが，上に有界であり，上限は 1 である．ただし，I において
最大値はとらない．
3. f (x) = x/(x + 1) は J = (−∞, −1) において，増加関数であり，
lim f (x) = 1,
x→−∞
lim f (x) = ∞
x→−1−0
である．f (x) は J においていくらでも大きくなるので上に有界で
はないが，下に有界であり，下限は 1 である．ただし，J において
最少値はとらない．
下限，上限は最初は理解しにくいので，最小値，最大値と思って以下
を読んでも差支えない．
改めて，区間 I において f (x) は有界であるとし，下限を m, 上限を
M とおく．いま f (x) ≥ 0 とする．区間 I = [a, b] 内の点列 {xi }ni=0 を次
のようにとる．
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b.
このような点列を ∆ で表し，I の一つの分割という．このときできる小
区間 Ii = [xi−1 , xi ] における f (x) の下限を mi , 上限を Mi とし，
s(f, ∆) =
n
∑
i=1
mi (xi − xi−1 ),
S(f, ∆) =
n
∑
i=1
Mi (xi − xi−1 )
4.1. 定積分
87
とおく．m ≤ mi ≤ Mi ≤ M であるから，
n
∑
m(xi −xi−1 ) ≤
i=1
∑n
n
∑
mi (xi −xi−1 ) ≤
i=1
i=1 (xi
n
∑
Mi (xi −xi−1 ) ≤
i=1
n
∑
M (xi −xi−1 ).
i=1
− xi−1 ) は全区間 I = [a, b] の長さに等しいから，
m(b − a) ≤ s(f, ∆) ≤ S(f, ∆) ≤ M (b − a)
である．
図形を用いてこの不等式の意味を説明する．f (x) ≥ 0 の場合，y = f (x)
のグラフと x 軸，直線 x = a, x = b で囲まれる図形を D とおく. Ii =
[xi−1 , xi ] を底辺とし，高さ mi の矩形を Ei , Ii = [xi−1 , xi ] を底辺とし，
高さ mi の矩形を Fi とおく．Ei , Fi を集めてできる図形を E, F とおく:
E = E1 ∪ E2 ∪ · · · ∪ En , F = F1 ∪ F2 ∪ · · · ∪ Fn
このとき E ⊂ D ⊂ F である．E を ∆ からできる D の 内部矩形塊，F
を ∆ からできる D の 外部矩形塊 といおう．s(f, ∆) は E の面積を表し，
S(f, ∆) は F の面積を表す．ゆえに s(f, ∆) ≤ S(f, ∆) は明らかである．
同様に I の異なる分割 Γ, ∆ に対しても s(f, Γ) ≤ S(f, ∆) である．す
なわち I の任意の分割 Γ, ∆ に対して
m(b − a) ≤ s(f, Γ) ≤ S(f, ∆) ≤ M (b − a)
である
分割 ∆ を細かくしていくと，s(f, ∆), S(f, ∆) が S に収束すると思わ
れるが，特殊な f (x) についてはこのことは成り立たない．その代り次の
ことがいえる．∆ に対して，その幅 |∆| を次のように定義する．
|∆| = max{xi − xi−1 : i = 1, 2, · · · , n}
定理 4.1.5 (ダルブー（Darboux) の定理) f (x) が I = [a, b] で有界な
関数ならば，|∆| → 0 のとき，s(f, ∆), S(f, ∆) はそれぞれある値 s(f ), S(f )
に収束する:
lim s(f, ∆) = s(f ),
|∆|→0
lim S(f, ∆) = S(f ).
|∆|→0
(4.1)
第 4 章 積分法
88
証明 f (x) の下限を m とおき，g(x) = f (x) − m とおくと，g(x) ≥ 0 (x ∈ I)
で g(x) の上限は M − m, 下限は 0 であり，
s(g, ∆) = s(f, ∆) − m(b − a), S(g, ∆) = S(f, ∆) − m(b − a)
である．したがって g に対して定理が成り立つならば，f に対して定理が成り
立つ. ゆえに f (x) ≥ 0 (x ∈ I) の場合に定理を証明すればよい．
改めて f (x) ≥ 0 (x ∈ I) とする．
色々な分割 ∆ からできる D の内部矩形塊の面積 s(f, ∆) の値の全体と，外
部矩形塊の面積 S(f, ∆) の値の全体は有界である．s(f, ∆) の値の全体 A の上
限を α, S(f, ∆) の値の全体 B の下限を β とおくと，
lim s(f, ∆) = α,
|∆|→0
lim S(f, ∆) = β
|∆|→0
が成り立つことを証明する．どちらでも同様に示されるので第２の式のみを示す．
ϵ > 0 を一つとり，固定して考える．β + ϵ は B の値の最少上界ではないから，
β ≤ S(f, ∆ϵ ) < β + ϵ
であるような分割 ∆ϵ : a = u0 < u1 < · · · < uN = b が存在する．
次に I の一般的な分割 ∆ を考える．∆ からできる I の各小区間 Ii = [xi−1 , xi ], i =
1, 2, · · · , n は ∆ϵ の分点を全く含まないか，少なくとも一つ含むかである．これ
∑
に応じて S(f, ∆) = ni=1 Mi (xi − xi−1 ) の右辺を二つに分割する．すなわち Ii
が ∆ϵ の分点を含まない項の和と，Ii が ∆ϵ の分点を含む項の和に分割する．前
者を SI (f, ∆), 後者を SII (f, ∆) とおくと，S(f, ∆) = SI (f, ∆) + SII (f, ∆).
Ii が ∆ϵ の分点を含まない場合は，Ii は ∆ϵ からできる小区間のどれか一つ
Jj = [uj−1 , uj ] に含まれる．Mj = sup{f (x) : x ∈ Jj } とおくと，Ii ⊂ Jj であ
るから， Mi ≤ Mj である．したがって矩形 Fi は ∆ϵ からできる外部矩形塊 Fϵ
に含まれ，
SI (f, ∆) ≤ S(f, ∆ϵ ) < β + ϵ.
∆ϵ の分点を含むような小区間 Ii の個数は ∆ϵ の分点の個数 N + 1 を超え
ない．そのような Ii に対しても Mi ≤ M はいつも成り立つから，Fi の面積は
M × (xi − xi−1 ) 以下である．さらに xi − xi−1 ≤ |∆| であるから，Fi の面積は
M |∆| 以下である．ゆえに
SII (f, ∆) ≤ M |∆| × (∆ϵ の分点の個数) = M |∆|(N + 1)
が成り立つ．ゆえに
β ≤ S(f, ∆) = SI (f, ∆) + SII (f, ∆) < β + ϵ + M |∆|(N + 1).
ここで，改めて ∆ の幅が |∆| <
ϵ
M (N +1)
β ≤ S(f, ∆) < β + ϵ + ϵ = β + 2ϵ.
であるとすると
4.1. 定積分
89
2.
ゆえに lim|∆|→0 S(f, ∆) = β である．
s(f ) を f (x) の I における下方積分（あるいは内部積分）といい，S(f )
を f (x) の I における上方積分（あるいは外部積分）という：
s(f ) = lim s(f, ∆), S(f ) = lim S(f, ∆).
|∆|→0
|∆|→0
s(t, ∆) ≤ S(f, ∆) であるから，
s(f ) ≤ S(f ).
定義 4.1.6 s(f ) = S(f ) のとき，f (x) は I において（リーマン（Riemann) 積分可能であるといい，s(f ) = S(f ) の値を S とおくとき，
∫
b
f (x)dx = S
a
と書き，f (x) の I における定積分という．
系 4.1.7
lim (S(f, ∆) − s(f, ∆)) = 0
(4.2)
|∆|→0
が成り立つことは，積分可能の必要十分条件である．
証明ダルブーの定理より，(4.1) がなりたつから，
lim (S(f, ∆) − s(f, ∆)) = S(f ) − s(f )
|∆|→0
である．したがって 条件 (4.2) は S(f ) = s(f ) の必要十分条件である．2
ほとんどの関数は積分可能であが，例外もある．
定理 4.1.8 単調な関数は積分可能である．
証明 f (x) が単調増加であるとする．I = [a, b] の分割 ∆ : a = x0 < x1 <
· · · < xn = b からできる小区間 Ii = [xi−1 , xi ] において，f (xi−1 ) ≤ f (x) ≤
f (xi ) であるから，mi = f (xi−1 ), Mi = f (xi ) である．ゆえに
s(f, ∆) =
n
∑
i=1
f (xi−1 )(xi − xi−1 ), S(f, ∆) =
n
∑
i=1
f (xi )(xi − xi−1 ).
第 4 章 積分法
90
xi − xi−1 ≤ |∆| を用いて
0 ≤ S(f, ∆) − s(f, ∆) =
≤
=
n
∑
i=1
n
∑
(f (xi ) − f (xi−1 ))(xi − xi−1 )
(f (xi ) − f (xi−1 ))|∆|
i=1
(
n
∑
)
(f (xi ) − f (xi−1 )) |∆|
i=1
= (f (b) − f (a))|∆|.
結局
0 ≤ S(f, ∆) − s(f, ∆) ≤ (f (b) − f (a))|∆|
であり，|∆| → 0 のときの極限値をとると 0 ≤ S(f ) − s(f ) ≤ 0 となり，
S(f ) − s(f ) = 0 である．ゆえに f (x) は積分可能である．
f (x) が単調減少の場合も同様に証明される．
2
例 4.1.9 x が有理数であるときは f (x) = 1 と定義し，無理数である
ときは f (x) = 0 と定義してできる関数 f (x) を考える．どのような小区
間 Ii においても，有理数も無理数も存在するから， mi = 0, Mi = 1 で
ある．したがって，すべての ∆ に対して
s(f, ∆) = 0,
S(f, ∆) = b − a
であるから，
s(f ) = 0, S(f ) = b − a.
f (x) は積分可能ではない．
しかしすべての連続関数は積分可能である．これには連続関数の有界
閉区間における一様連続性がかかわっている．一様連続性について説明
する．
補題 4.1.10 f ′ (x) が I = [a, b] で存在して連続ならば，
L = max{|f ′ (t)| : a ≤ t ≤ b}
とおくと，任意の x, y ∈ I にたいして
|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|
が成り立つ．
(x, y ∈ I)
(4.3)
4.1. 定積分
91
証明 実際平均値の定理により，x ̸= y のとき (f (x) − f (y))/(x − y) =
f (t) となる t が x と y の間にあるから，
′
|f (x) − f (y)| = |f ′ (t)(x − y)| = |f ′ (t)||x − y| ≤ L|x − y|.
x = y のときは，明らかに |f (x) − f (y)| = 0 = L|x − y|.
2
(4.3) が成り立つとき，f (x) は I においてリプシッツ連続であるとい
い，L を（一つの）リプシッツ定数という．リプシッツ連続ならば，任意
の ϵ > 0 に対して，x, y が I 内のどこにあっても，|x − y| < Lϵ が成り立
ちさえすれば
|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y| ≤ L
すなわち δ =
ϵ
L
ϵ
= ϵ.
L
とおくと，I の任意の 2 点 x, y に対して
|x − y| < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < ϵ.
定義 4.1.11 ある区間 I において，任意の ϵ > 0 に対し，I の任意の 2
点 x, y に対して
|x − y| < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < ϵ.
であるような δ > 0 が存在するとき，f (x) は I で一様連続であるという．
上記により，有界閉区間で f ′ (x) が存在して連続ならば，その区間で
f (x) は一様連続である．しかし実はより強力な定理が成り立つ．
定理 4.1.12 有界閉区間で連続な関数は，その区間で一様連続である．
証明は難しいので省略する．その代わり連続であるが，一様連続ではな
い例を挙げる．
例 4.1.13 f (x) = sin πx は, 区間 I = (0, 1] で連続である．しかし n =
1, 2, · · · , に対して
( )
(
)
(
)
1
1
1
f
= sin nπ = 0, f
= sin n +
π = ±1
n
n + 1/2
2
したがって xn = 1/n, yn = 1/(n + 1/2) とおくと，limn→0 |xn − yn | = 0
であるが，|f (xn ) − f (yn )| = 1, (n = 1, 2, · · · ) であるから，f (x) は I に
おいて一様連続ではない．
第 4 章 積分法
92
定理 4.1.14 f (x) が I = [a, b] で連続ならば，積分可能である．
証明 f (x) が連続ならば，有界閉区間で最小値，最大値をとるから，mi
は f (x) の Ii における最小値であり， Mi は Ii における f (x) の最大値
である．すなわち Ii においてある点 ci と di が存在し
mi = f (ci ),
Mi = f (di )
となる．
f (x) の I における一様連続性から，ϵ > 0 に対してさだまる δ に対し
て |∆| < δ であるとする．xi − xi−1 ≤ |∆| < δ であるから，
|di − ci | ≤ xi − xi−1 ≤ δ
である．ゆえに
Mi − mi = |Mi − mi | = |f (di ) − f (ci )| < ϵ
がすべての i = 1, 2, · · · , n に対して成り立つ．したがって
0 ≤ S(f, ∆) − s(f, ∆) =
<
n
∑
ϵ(xi − xi−1 ) = ϵ
i=1
n
∑
(Mi − mi )(xi − xi−1 )
i=1
n
∑
(xi − xi−1 ) = ϵ(b − a).
i=1
|∆| → 0 のときの極限をとると，
0 ≤ S(f ) − s(f ) = lim (S(f, ∆) − s(f, ∆)) ≤ ϵ(b − a).
|∆|→0
ϵ はいくらでも小さい数としてよいから，S(f ) − s(f ) = 0 でなければな
らない．ゆえに S(f ) = s(f ) であるから，f (x) は積分可能である． 2
積分可能とは
∫ b
f (x)dx = lim s(f, ∆) = lim S(f, ∆)
a
|∆|→0
|∆|→0
(4.4)
が成り立つことであるから，定積分はこの極限値として求めらる．しか
し実際にはそのようにする必要はなくて，以下に述べる方法で計算でき
4.1. 定積分
93
る．まず s(f, ∆), S(f, ∆) の代わりに次のような和 R(f, ∆) をとる．∆ か
ら決まる小区間 Ii = [xi−1 , xi ] から点 ti を任意に選びだし
R(f, ∆) =
n
∑
f (ti )(xi − xi−1 )
i=1
とおく．R(f, ∆) は分割 ∆ の取り方に依存するだけでなく，Ii の点 ti の
選び方にも依存する．この和を ∆ に対応する f (x) のリーマン和という．
mi ≤ f (ti ) ≤ Mi であるから，
s(f, ∆) ≤ R(f, ∆) ≤ S(f, ∆)
が成り立つ．したがって (4.4) が成り立てば
∫ b
∫ b
f (x)dx = lim s(f, ∆) ≤ lim R(f, ∆) ≤ lim S(f, ∆) =
f (x)dx.
|∆|→0
a
|∆|→0
|∆|→0
が成り立ち，
∫ b
f (x)dx = lim R(f, ∆)
a
|∆|→0
a
(4.5)
である．重要なことは |∆| が 0 に収束するならば，ti の選び方によらず
R(f, ∆) が定積分に収束することである．このことは微分と積分を結びつ
ける微積分の基本定理 4.3.1 の証明において用いられる．実はその逆も成
り立つ．逆の証明は難しいので省略する．
定理 4.1.15 有界閉区間 I = [a, b] で有界な関数が積分可能である必要
十分条件は lim|∆|→0 R(f, ∆) が存在することであり，このとき定積分は
(4.5) で与えられる．
系 4.1.16 f (x) が I = [a, b] で連続ならば，
∫ b
n
∑
f (x)dx = lim
f (xi )(xi − xi−1 )
|∆|→0
a
=
lim
|∆|→0
i=1
n
∑
f (xi−1 )(xi − xi−1 )
i=1
連続関数の場合，定理 4.1.15 に関連して定理 4.1.14 の別証明を掲載しておく．関数 f (x)
が有界閉区間 I = [a, b] で連続であるとき，δ > 0 に対して
ω(f, δ) = sup{|f (s) − f (t)| : s, t ∈ I, |s − t| ≤ δ}
とおき、f の I における δ 振動量という。
第 4 章 積分法
94
補題 4.1.17 f (x) が有界閉区間 I で連続ならば limδ→0 ω(f, δ) = 0.
証明この補題は, 定理 4.1.12 を振動量を用いて表現したものにすぎない．
2
次の定理およびその証明においては分割を表す文字として，∆, Γ の代わりに P, Q, S
を用いてある．
定理 4.1.18 f (x) が連続関数ならば積分可能で
∫
b
f (x)dx = lim R(f, P ).
|P |→0
a
であり，
∫
b
f (x)dx − R(f, P ) ≤ ω(f, |P |)(b − a).
a
証明 最小値を m、最大値を M とおくと、m ≤ f (x) ≤ M であるから、m(b − a) ≤
R(f, P ) ≤ M (b − a) である。I の n 等分による分割を Pn とし、An = R(f, Pn ) とお
くと、数列 {An } は有界数列であるから、収束部分列 {An(ν) } がある。その極限値を A
とおく。Qν = Pn(ν) とおくと、ν → ∞ のとき、|Qν | → 0, R(f, Qν ) → A である。
任意の分割 P, Q に対して
|R(f, P ) − R(f, Q)| ≤ (ω(f, |P |) + ω(f, |Q|))(b − a)
がなりたつことを示す。まず P は最初に記した分点をもつとし、Q は P に分点を追加
してできる P の細分とし、その分点を a = y0 < y1 < · · · < ym = b とする。このとき
P の各分点 xi は、ある m(i) により xi = ym(i) となっている。したがって
R(f, P ) − R(f, Q) =

n 
∑
f (ti )(xi − xi−1 ) −

i=1
=
n
∑
∑
∑
m(i)
f (sj )(yj − yj−1 )
j=m(i−1)+1



m(i)
(f (ti ) − f (sj ))(yj − yj−1 )
i=1 j=m(i−1)+1
と変形できる。ただし ti ∈ [xi−1 , xi ], sj ∈ [yj−1 , yj ]. m(i − 1) + 1 ≤ j ≤ m(i) のとき
|ti − sj | ≤ xi − xi−1 ≤ |P | であるから、
m(i)
∑
(f
(t
)
−
f
(s
))(y
−
y
)
i
j
j
j−1 j=m(i−1)+1
∑
m(i)
≤
ω(f, |P |)(yj − yj−1 ) = ω(f, |P |)(xi − xi−1 ).
j=m(i−1)+1
したがって
|R(f, P ) − R(f, Q)| ≤
n
∑
i=1
ω(f, |P |)(xi − xi−1 ) = ω(f, |P |)(b − a).
4.2. 定積分の性質
95
さて P, Q を任意の分割とするとき、両方の分点を併せてできる分割を S とすると、
S は P, Q 双方の分割、共通細分、である。したがって
|R(f, P ) − R(f, Q)|
≤ |R(f, P ) − R(f, S)| + |R(f, S) − R(f, Q)|
≤ (ω(f, |P |) + ω(f, |Q|)(b − a).
この不等式において Q = Qν とおくと
|R(f, P ) − R(f, Qν )| ≤ (ω(f, |P |) + ω(f, |Qν |)(b − a).
ν → ∞ のときの極限値をとると、|Qν | → 0 であるから、補題により
|R(f, P ) − A| ≤ ω(f, |P |)(b − a).
したがって、lim|P |→0 R(f, P ) = A, すなわち
∫
b
f (x)dx = A.
a
2
4.2
定積分の性質
よく用いられる定積分のいくつかの性質をあげる．
定理 4.2.1 f (x), g(x) が [a, b] で積分可能とする．このとき次が成り立つ．
1. 任意の定数 α, β に対して，αf (x) + βg(x) も積分可能で
∫
∫
b
(αf (x) + βg(x))dx = α
a
∫
b
f (x)dx + β
a
b
g(x)dx.
a
2. f (x) ≥ 0(a ≤ x ≤ b) ならば，
∫
b
f (x)dx ≥ 0.
a
また f (x) ≥ g(x)(a ≤ x ≤ b) ならば，
∫
∫
b
f (x)dx ≥
a
b
g(x)dx.
a
証明 定積分がリーマン和の極限値として計算されることを用いて，容
易に証明される．
2
第 4 章 積分法
96
補題 4.2.2 f (x) が [a, b] で積分可能ならば，|f (x)| も積分可能で，
∫ b
∫ b
≤
f
(x)dx
|f (x)|dx
(4.6)
a
a
証明 f (x) が連続ならば，|f (x)| も連続であり，積分可能である．連続
でない場合の |f (x)| の積分可能性は次のようにして示される．f (x) に対
して，mi , Mi を定義したが，|f (x)| に対して同様に Ii = [xi−1 , xi ] におけ
る下限，上限を
mi = inf{|f (y)| : y ∈ Ii }, M i = sup{|f (x)| : x ∈ Ii }
とおく．x, y ∈ Ii ならば，|f (x) − f (y)| ≤ Mi − mi であるから，
|f (x)| = |f (x)−f (y)+|f (y)| ≤ |f (x)−f (y)|+|f (y)| ≤ Mi −mi +|f (y)|.
すなわち Mi − mi + |f (y)| は |f (x)|, x ∈ Ii の値の上界である．ゆえに
M i ≤ Mi − mi + |f (y)| =⇒ M i − (Mi − mi ) ≤ |f (y)|
y ∈ Ii はどのような値でもよいから，この不等式は M i − (Mi − mi ) が
|f (y)|, y ∈ Ii の値の下界であることを示している．ゆえに
M i − (Mi − mi ) ≤ mi
がなりたち，
M i − mi ≤ Mi − mi
である．ゆえに
0 ≤ S(|f |, ∆) − s(|f |, ∆) =
n
∑
(M i − mi )(xi − xi−1 )
i=1
≤
n
∑
(Mi − mi )(xi − xi−1 ) = S(f, ∆) − s(f, ∆).
i=1
f (x) が積分可能ならば，lim|∆|→0 (S(f, ∆) − s(f, ∆)) = 0 であるから，
lim (S(|f |, ∆) − s(|f |, ∆)) = 0
|∆|→0
であり，|f (x)| も積分可能である．
4.2. 定積分の性質
97
しかし，f (x) が連続ならば，|f (x)| も連続であり，積分可能である．絶
対値の性質により
−|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)| (a ≤ x ≤ b)
であるから，定理 4.2.1 により，
∫ b
∫ b
∫ b
∫ b
|f (x)|dx
f (x)dx ≤
(−|f (x)|)dx ≤
|f (x)|dx =
−
a
a
a
が成り立つ．ゆえに (4.9) が成り立つ．
a
2
定理 4.2.3 a < c < b であるとき，有界な関数 f (x) が [a, b] で積分可能
ならば，[a, c], [c, b] でも積分可能であり，逆もなりたつ．またこのとき
∫ b
∫ c
∫ b
f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx
(4.7)
a
a
c
証明定積分がリーマン和の極限値として計算されることを用いて，容易
に証明される．詳細は省略する．
2
∫b
今までは a < b の場合の定積分 a f (x)dx を定義したが，さらに b < a
の場合に
∫ b
∫ a
f (x)dx = −
f (x)dx
a
b
と定義し，また
∫ a
f (x)dx = 0
a
と定義する．このように定義すると，次が成り立つ．
定理 4.2.4 f (x) が 3 点 a, b, c を含む区間で積分可能ならば，a, b, c の大
小関係を問わず，(4.7) が成り立つ．
次の補題は簡単なことであるが，よく用いられるので，証明を与えて
おく．
補題 4.2.5
1. f (x) が [a, b] で連続で，f (x) ≥ 0 (a ≤ x ≤ b) であり，
f (c) > 0 である c が存在すれば，
∫ b
f (x)dx > 0
a
第 4 章 積分法
98
2. f (x), g(x) が [a, b] で連続で，f (x) ≥ g(x) (a ≤ x ≤ b) であり，
f (c) > g(c) である c が存在すれば，
∫
∫
b
f (x)dx >
a
b
g(x)dx
a
証明 1. のみ証明すればよい．f (c) > 0 であるから，連続性により，
ϵ = f (c)/2 > 0 に対して |x − c| < δ =⇒ |f (x) − f (c)| < ϵ であるような
δ > 0 が存在する．
|f (x) − f (c)| < ϵ =⇒ f (x) > f (c) − ϵ =
x1 = c − δ, x2 = c + δ とおくと
∫ b
∫ x1
∫
f (x)dx =
f (x)dx +
a
a
f (c)
2
∫
x2
b
f (x)dx +
x1
f (x)dx.
x2
a ≤ x ≤ x1 のとき，f (x) ≥ 0 であるから，
∫ x1
f (x)dx ≥ 0.
a
∫b
同様に x2 f (x)dx ≥ 0.
次に x1 ≤ x ≤ x2 のとき，f (x) ≥ f (c)/2 であるから，
∫ x2
f (c)
(x2 − x1 ).
f (x)dx ≥
2
x1
ゆえに
∫
b
f (x)dx ≥ 0 +
a
f (c)
f (c)
(x2 − x1 ) + 0 =
(x2 − x1 ) > 0
2
2
2
系 4.2.6 連続関数 f (x) に対して，
∫
∫
b
|f (x)|dx = 0
a
b
f (x)2 dx = 0
あるいは
a
ならば，全ての x ∈ [a, b] において f (x) = 0.
4.3. 定積分と不定積分
99
定積分と不定積分
4.3
定積分はいちいちリーマン和の極限値として計算しなくてもよい．次
の定理は微分と積分を結びつける微積分の基本定理である．
定理 4.3.1 (微積分の基本定理 I) F (x) が [a, b] で微分可能で，F ′ (x) が
有界で積分可能ならば
∫ b
F ′ (x)dx = F (b) − F (a)
(4.8)
a
証明 [a, b] の分割 ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn = b に対して，各小区間
Ii = [xi−1 , xi ] において，平均値の定理により，
F (xi ) − F (xi−1 ) = F ′ (ci )(xi − xi−1 )
が成り立つような ci ∈ (xi−1 , xi ) が存在する．i = 1, 2, · · · , n について和
をとると，
n
∑
i=1
(F (xi ) − F (xi−1 )) =
n
∑
F ′ (ci )(xi − xi−1 ).
i=1
左辺は F (xn ) − F (x0 ) = F (b) − F (a) に等しく，右辺は導関数 F ′ (x) の
リーマン和 R(F ′ , ∆) である．
F (b) − F (a) = R(F ′ , ∆).
F ′ が積分可能ならば，|∆| → 0 のとき R(F ′ , ∆) は F ′ (x) の積分に収束
するから，(4.8) が成り立つ．
2
定義 4.3.2 関数 f (x) に対して F ′ (x) = f (x) であるような関数 F (x) が
存在するとき．F (x) を f (x) の原始関数といい, 次のように表す．
∫
F (x) = f (x)dx
区間 I において F ′ (x) = G′ (x) = f (x) ならば，G′ (x) − F ′ (x) = 0
であるから，G(x) − F (x) = C （定数）であり，G(x) = F (x) + C と表
される．逆にこのような G(x) は G′ (x) = f (x) をみたす．ゆえに I にお
ける f (x) の原始関数 F (x) があるとき，他の原始関数は任意の定数 C
を用いて F (x) + C と表される．このように任意定数を用いて表示する
一般の原始関数を不定積分という．しかし原始関数と不定積分の区別は，
書籍によってまちまちである．
定理 4.3.1 により，次が成り立つことがわかる．
第 4 章 積分法
100
定理 4.3.3 (微積分の基本定理 II) [a, b] で連続な関数 f (x) が原始関数
F (x) をもてば
∫ b
f (x)dx = F (b) − F (a).
a
それでは，連続な関数は原始関数を持つかといえば，答えは yes で
ある．それを示すために一つ定理を用意する．
補題 4.3.4 (積分の平均値の定理) f (x) が [a, b] で連続ならば，
∫ b
1
f (x)dx = f (c)
b−a a
(4.9)
であるような c(a < c < b) が存在する．
証明 f (x) が定数関数ならば，f (x) ≡ f (a) であるから，
∫ b
1
1
f (x)dx =
(f (a)(b − a)) = f (a).
b−a a
b−a
a < c < b である任意の c に対して f (c) = f (a) であるから，定理が成り
立つ．
f (x) が定数関数でないとする．[a, b] において f (x) が最小値をとる
点を x1 , 最大値をとる点を x2 とし，f (x1 ) = m, f (x2 ) = M とおく．
m ≤ f (x) ≤ M であるから，
∫ b
∫ b
∫ b
mdx ≤
f (x)dx ≤
M dx
a
a
a
であるが，f (x) が一定でないから，m < f (x) となる点があり，f (x) < M
となる点もある．ゆえに補題 4.2.5 により
∫ b
∫ b
∫ b
m(b − a) =
mdx <
f (x)dx <
M dx = M (b − a).
a
a
a
したがって
1
f (x1 ) = m <
b−a
∫
b
f (x)dx < M = f (x2 ).
a
連続関数の中間値の定理により，
∫ b
1
f (x)dx
f (c) =
b−a a
4.3. 定積分と不定積分
101
となる点 c が x1 と x2 の間にある．今 f (x1 ) < f (c) < f (x2 ) であるか
ら，x1 < x2 とすると x1 < c < x2 , x1 > x2 とすると x1 > c > x2 , いずれ
にしても，c ̸= a, c ̸= b である．
2
定理 4.3.5 f (x) が I = [a, b] で連続であるとし，c ∈ I とする．このと
き，I の各点 x に対して
∫ x
F (x) =
f (t)dt
c
とおくと，
F ′ (x) = f (x)
である．すなわち F (x) は f (x) の原始関数である．
証明 x0 , x0 + h ∈ I とする．このとき
∫
∫
x0 +h
f (t)dt =
c
∫
x0
x0 +h
f (t)dt +
c
f (t)dt
x0
であるから，
∫
F (x0 + h) − F (x0 ) =
x0 +h
f (t)dt
x0
と表される．f (x) が連続であるから，積分に関する平均値の定理により，
1
h
∫
x0 +h
f (t)dt = f (s)
x0
であるような s (x0 < s < x0 + h) が存在する．h → 0+ のとき，s → x0
であるから，
∫
F (x0 + h) − F (x0 )
1 x0 +h
lim
= lim
f (t)dt = lim f (s) = f (x0 ).
s→x0 +
h→0+
h→0+ h x
h
0
同様に
F (x0 + h) − F (x0 )
= f (x0 )
h→0−
h
lim
であるから，F ′ (x0 ) = f (x0 ).
第 4 章 積分法
102
別証明
∫ x0 +h
f (x0 )dt = f (x0 )(x0 + h − x0 ) = f (x0 )h
x0
であるから，
∫
∫
x0 +h
F (x0 +h)−F (x0 )−f (x0 )h =
f (t)dt−
x0
ゆえに
F (x0 + h) − F (x0 )
1
− f (c) =
h
h
∫
x0 +h
x0
∫
x0 +h
x0 +h
f (x0 )dt =
(f (t)−f (x0 ))dt.
x0
(f (t) − f (x0 ))dt.
x0
f (x) は連続であるから，任意の ϵ > 0 に対して |t − x0 | < δ =⇒ |f (t) −
f (x0 )| < ϵ であるような δ が存在する．ゆえに 0 < h < δ ならば
∫ x0 +h
∫
∫ x0 +h
1
1 x0 +h
1
1
(f (t) − f (x0 ))dt ≤
|f (t)−f (x0 )|dt =
ϵdt = ϵh = ϵ
h
h x0
h x0
h
x0
が成り立ち，
(
)
F (x0 + h) − F (x0 )
lim
− f (x0 ) = 0.
h→0+
h
同様に
(
lim
h→0−
)
F (x0 + h) − F (x0 )
− f (x0 ) = 0.
h
も成り立ち，ゆえに F ′ (x0 ) = f (x0 ).
定理 4.3.5 により，次の存在定理が成り立つ．
2
定理 4.3.6 f (x) が区間 I で連続ならば，f (x) の不定積分が I におい
て存在する．
定理 4.3.7 (i)[部分積分] f (x), g(x) が微分可能で f ′ (x), g ′ (x) が連続なら
ば，
∫ b
∫ b
′
f (x)g(x)dx = f (b)g(b) − f (a)g(a) −
f (x)g ′ (x)dx.
a
a
(ii) [置換積分]f (x) は連続関数とし，x(t) は微分可能で x′ (t) が連続，t ∈
[α, β] のとき f (x(t)) が定義され，x(α) = a, x(β) = b とする．このとき
∫ b
∫ β
f (x)dx =
f (x(t))x′ (t)dt
a
α
4.4. 不定積分の計算法
103
証明 (i)
(f (x)g(x))′ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)
であるから，
∫
b
(f ′ (x)g(x)dx + f (x)g ′ (x))dx
a
∫ b
∫ b
′
=
(f (x)g(x)dx +
f (x)g ′ (x))dx.
f (b)g(b) − f (a)g(a) =
a
a
右辺第２項を左辺に移行して部分積分の公式を得る．
(ii) F ′ (x) = f (x) とすると， dtd F (x(t)) = F ′ (x(t))x′ (t) = f (x(t))x′ (t)
である．ゆえに
∫ β
f (x(t))x′ (t)dt = F (x(β)) − F (x(α))
α
∫ b
= F (b) − f (a) =
f (x)dx
a
4.4
不定積分の計算法
定理 4.3.6 は連続関数の不定積分の存在を保障するのみで，具体的にど
のような関数であるかは別問題である．個々の関数の不定積分は，基本
的な関数の不定積分をもとにして，部分積分，置換積分などの手法を用
いて計算される．
第 4 章 積分法
104
今までの微分法においてわかっている基本的な不定積分を列挙する．積
分定数は省略する．
∫
1
1. xa dx = a+1
xa+1 (a ̸= −1)
∫
2. x1 dx = log |x| (x ̸= −1)
∫
3. ex dx = ex
∫
4. sin xdx = − cos x
∫
5. cos xdx = sin x
∫ 1
6. 1+x
2 dx = arctan x
∫ 1
7. √1−x
2 dx = arcsin x (|x| < 1)
8.
9.
∫
∫
√ 1
dx
x2 +1
= log(x +
√ 1
dx
x2 −1
= log |x +
√
x2 + 1) = log |x +
√
√
x2 + 1| = sinh−1 x
x2 − 1| (|x| > 1)
複雑な関数の不定積分は，不定積分の重ね合わせの原理，部分積分，置
換積分，有理関数の部分分数分解等の手法を用いて，以上の基本的な不
定積分になおす．
定理 4.4.1 (不定積分の重ね合わせの原理)
∫
∫
∫
(f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx,
∫
∫
kf (x)dx = k
f (x)dx
(k は定数)
証明 省略
定理 4.4.2 (部分積分)
∫
∫
′
f (x)g(x)dx = f (x)g(x) − f (x)g ′ (x)dx
4.4. 不定積分の計算法
105
証明
(f (x)g(x))′ = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)
であるから，
∫
(f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x))dx
∫
∫
′
=
f (x)g(x)dx + f (x)g ′ (x)dx
f (x)g(x) =
右辺第 2 項を左辺に移項して定理を得る．
2
定理 4.4.3 (置換積分)
∫
F (x) = f (x)dx
ならば，
∫
F (x(t)) =
f (x(t))x′ (t)dt.
このことを次のように表す．
∫
∫
f (x)dx = f (x(t))x′ (t)dt
(形式的に x = x(t) ，dx = x′ (t)dt と代入すると考える．)
証明 F ′ (x) = f (x) ならば，合成関数の微分法により，(F (x(t))′ =
F ′ (x(t))x′ (t) = f (x(t))x′ (t) であるから，定理が成り立つ．
2
例 4.4.4
1.
∫
ax dx =
1 x
a (a > 0, a ̸= 1)
log a
解 ax = ex log a であるから，x log a = t とおくと，
∫
∫
∫
1
x
x log a
a dx =
e
dx = e(t/ log a) log a
dt
log a
∫
1
1 t
1 x log a
1 x
=
et dt =
e =
e
=
a
log a
log a
log a
log a
第 4 章 積分法
106
このように丁寧に書く必要はない．x log a = t とおくと，ax =
ex log a = et , dx = dt/ log a とあらわされ，
∫
∫
et
ax
x
t dt
a dx = e
=
=
log a
log a
log a
でよい．
2.
∫
(x)
1
1
dx
=
arctan
(a ̸= 0)
a2 + x2
a
a
解 x = at とおくと，
∫
∫
∫
1
a
1
1
dx
=
adt
=
dt
a2 + x2
a2 (1 + t2 )
a2
1 + t2
(x)
1
1
=
arctan t = arctan
a
a
a
3.
∫
1
√
dx = arcsin
a2 − x2
(
x
|a|
)
(a ̸= 0)
解 x = |a|t とおくと
∫
∫
∫
1
1
1
√
√
√
|a|dt =
dx =
|a|dt
a2 − x2
|a| 1 − t2
|a|2 − |a|2 t2
( )
∫
x
1
√
.
=
dt = arcsin t = arcsin
|a|
1 − t2
4.
∫
√
1
√
dx = log |x + x2 + a| (a ̸= 0)
x2 + a
√
解 a > 0 の場合． a = α とおくと，a = α2 . x = αt とおくと，
∫
∫
∫
1
1
1
√
√
√
dx =
αdt =
dt
2
2
2
2
x +a
t +1
α (t + 1)
α(t + √t2 + 1) √
√
= log(t + t2 + 1) = log |t + t2 + 1| = log α
√
= log |αt + (αt)2 + α2 | − log |α|
√
= log |x + x2 + a| − log |α|
4.4. 不定積分の計算法
107
log |α| は定数であるから，不定積分として省略してよい，
√
a < 0 の場合． −a = α とおくと，a = −α2 . x = αt とおくと，
∫
∫
∫
1
1
1
√
√
√
αdt =
dx =
dt
2
2
2
2
t −1
x +a
α (t − 1)
√
√
α(t + t2 − 1) = log |t + t2 − 1| = log α
√
= log |αt + (αt)2 − α2 | − log |α|
√
= log |x + x2 + a| − log |α|
log |α| は定数であるから，不定積分として省略してよい，
5.
∫ √
解1 =
a2
d
x
dx
−
x2 dx
1
=
2
(
( ))
√
x
2
2
2
x a − x + a arcsin
|a|
と考えて部分積分により
)
∫ √
∫
∫ (
√
√
d
2
2
2
2
a − x dx =
1 × a − x dx =
a2 − x2 dx
x
dx
∫
√
√
2
2
= x a − x − x( a2 − x2 )′ dx
∫
√
−2x
2
2
= x a −x − x √
dx
2 a2 − x2
∫
√
−x2
2
2
= x a −x − √
dx
a2 − x2
∫ 2
√
a − x2 − a2
2
2
√
= x a −x −
dx
2 − x2
a
∫ √
∫
√
1
2
2
2
2
2
√
= x a −x −
dx
a − x dx + a
2
a − x2
( )
∫ √
√
x
2
2
2
2
2
= x a −x −
a − x dx + a arcsin
|a|
ゆえに
( )
∫ √
√
x
2
2
2
2
2
2
a − x dx = x a − x + a arcsin
|a|
より，5．が成り立つ．
第 4 章 積分法
108
6.
∫ √
)
√
1( √ 2
2
2
x + adx =
x x + a + a log |x + x + a|
2
解 4. の結果をもちいて，5. の解と同様の方法で証明できる．
7.
∫
log xdx = x log x − x
解
∫
∫
log xdx =
∫
′
(x) log xdx = x log x −
1
x dx = x log x − x
x
定理 4.4.5 xy 平面の双曲線 x2 − y 2 = 1 の上の点を P (x, y) とする（た
だし，x > 0 とする）．原点 O(0, 0) と頂点 A(1, 0) と双曲線で囲まれた
図形 OAP の面積を S とし，
1
S= s
2
とおくと，x, y は次のように表される．
x = cosh s,
証明
∫
S=
0
y
y = sinh s
xy
=
xdy −
2
∫
0
y
√
1 √
y 2 + 1dy − y y 2 + 1
2
部分積分により
∫ y√
∫
√
2
2
y + 1dy = y y + 1 −
y
y2
√
dy
y2 + 1
0
∫ y 2
√
y +1−1
2
√
= y y +1−
dy
y2 + 1
0
∫ y√
∫
√
2
2
= y y +1−
y + 1dy +
0
0
ゆえに
∫
0
y
∫
√
1
1 √ 2
1 y
2
√
y + 1dy = y y + 1 +
dy
2
2
2 0
y +1
0
y
1
√
dy.
2
y +1
4.5. 有理関数の不定積分
109
であるから，
∫
1 y
1
1
√
S=
dy = sinh−1 y
2
2 0
2
y +1
したがって 2S = s，すなわち S = 12 s とおくと
y = sinh s.
また x2 − y 2 = 1 より，
x2 = 1 + sinh2 s = cosh2 s.
x > 0 であるから
x = cosh s.
2
4.5
有理関数の不定積分
多項式
P (x) =
M
∑
pj xj , Q(x) =
j=0
N
∑
qk xk
(pM ̸= 0, qN ̸= 0)
k=0
P (x)
を用いて f (x) = Q(x)
のように表される関数を有理関数という．分母，分
子を qN でわることにより，qN = 1 と仮定して差支えない．
定理 4.5.1 係数が実数の有理関数の不定積分は有理関数と arctan, log を
用いて表される．
以下において，この定理を計算法とともに証明する．
pM ̸= 0 のとき，P (x) の次数は M であるといい deg P (x) = M と書
く．qN ̸= 0 のとき，deg Q(x) = N である．M ≥ N ならば，P (x) を
Q(x) で割った商を G(x) あまりを R(x) とおけば，deg R(x) < deg Q(x)
であり，
f (x) = G(x) +
R(x)
Q(x)
第 4 章 積分法
110
と表される．したがって
∫
∫
∫
R(x)
f (x)dx = G(x)dx +
dx.
Q(x)
G(x) は多項式であるから，右辺第１項の不定積分は多項式である．右辺
第２項の不定積分を計算しよう．
すなわち deg P (x) < deg Q(x) の場合の不定積分を計算する．ここで
P (x), Q(x) の係数 p0 , p1 , · · · , pM ; q0 , q1 , · · · , qN は全て実数と仮定する．
4.5.1
有理関数の部分分数分解
x = a が多項式 Q(x) = 0 の m 重解のとき，Q(x) を (x − a)m で割っ
た商を ϕ(x) とおくと，
Q(x) = (x − a)m ϕ(x), ϕ(a) ̸= 0
(4.10)
が成り立つ．a が実数で，Q(x) の係数も実数ならば，ϕ(x) も実数係数の
多項式である．
定理 4.5.2 P (x), Q(x) は実数係数の多項式で
degP (x) < degQ(x)
を満たし，(4.10) のように因数分解されているとする．このとき
P (x)
A
R(x)
=
+
,
(x − a)m ϕ(x)
(x − a)m (x − a)m−1 ϕ(x)
(4.11)
degR(x) < deg(x − a)m−1 ϕ(x)
(4.12)
であるような実数 A と実数係数多項式 R(x) が唯一組存在する．
証明 (4.11) が成り立つとする．両辺に Q(x) を掛けると
P (x) = Aϕ(x) + (x − a)R(x).
(4.13)
x = a を代入すると，P (a) = Aϕ(a) を得る．ϕ(a) ̸= 0 であるから，
A=
P (a)
ϕ(a)
4.5. 有理関数の不定積分
111
となり，A が決まる．右辺は実数であるから，A は実数である．このと
き P (x) − Aϕ(x) は実係数多項式で x = a とおくと零であるから，この
多項式は x − a で割り切れる．R(x) は P (x) − Aϕ(x) を x − a で割った
商として決まる．ゆえに (4.11) が成り立つような A, R(x) はあるとすれ
ば唯一組である．
逆に A = P (a)/ϕ(a) とし，P (x) − Aϕ(x) を x − a で割った商を R(x)
とすると，(4.13) であるから，(4.11) が成り立つ．(4.13) を用いて次数を
調べると
1+degR(x) = deg(x−a)R(x) = deg(P (x)−Aϕ(x)) ≤ max{degP (x), degϕ(x)}
deg P (x) < deg Q(x) = m + deg ϕ(x) であるから，
max{degP (x), degϕ(x)} < m + deg ϕ(x)
ゆえに 1 + degR(x) < m + deg ϕ(x) であるから，
degR(x) < m − 1 + deg ϕ(x) = deg((x − a)m−1 ϕ(x))
となり，(4.12) が成り立つ．
2
この定理をさらに使って (4.11) の右辺は
A
B
Rm−2 (x)
+
+
m
m−1
(x − a)
(x − a)
(x − a)m−2 ϕ(x)
のように変形でき，繰り返し使って
P (x)
Am
Am−1
A1
R0 (x)
=
+
+
·
·
·
+
+
Q(x)
(x − a)m (x − a)m−1
(x − a)
ϕ(x)
degR0 (x) < degϕ(x)
のように変形できる（Am = A, Am−1 = B, · · · ）．Q(x) = 0 が他の実数
解 x = b をもてば，それは ϕ(x) = 0 の解である．x = b の多重度を n と
すると，
Bn
Bn−1
B1
S0 (x)
R0 (x)
=
+
+
·
·
·
+
+
ϕ(x)
(x − b)n (x − b)n−1
(x − b)
ψ(x)
degS0 (x) < degψ(x)
第 4 章 積分法
112
と変形できる．この変形を Q(x) = 0 のすべての実数解について行うと，
次のような関係式を得る．Q(x) = 0 の実数解が x = a1 , a2 , · · · , ap であ
るとし，ai の多重度を mi とすると，
Q(x) = (x − a1 )m1 (x − a2 )m2 · · · (x − ap )mp Q1 (x)
と因数分解される．Q1 (x) は実多項式で，Q1 (x) = 0 の解は Q(x) = 0
の複素数解である．このときある実数 Aij と実多項式 P1 (x), deg P1 (x) <
deg Q1 (x), を用いて
i
P (x) ∑ ∑
Aij
P1 (x)
=
+
j
Q(x)
(x − ai )
Q1 (x)
i=1 j=1
p
m
と表される．
√
P1 (x), Q1 (x) をあらためて，P (x), Q(x) と書く．β = b+ic, i = −1, c ̸=
0, が Q(x) = 0 の虚数の n 重解とする．Q(x) が実数係数の多項式である
から，共役複素数 β = b − ic も Q(x) = 0 の虚数の n 重解である．ゆえに
q(x) = (x − β)(x − β) = (x − b − ic)(x − b + ic) = (x − b)2 + c2
とおくと，Q(x) は q(x)n で割り切れる．そのときの商 ψ(x) は実係数の
多項式で，
Q(x) = ((x − b)2 + c2 )n ψ(x), ψ(b + ic) ̸= 0, ψ(b − ic) ̸= 0, c ̸= 0 (4.14)
が成り立つ．
定理 4.5.3 P (x), Q(x) は実数係数の多項式で
degP (x) < degQ(x)
を満たし，(4.14) が成り立つとする．このとき
Bx + C
S(x)
P (x)
=
+
, (4.15)
2
2
n
2
2
n
2
((x − b) + c ) ψ(x)
((x − b) + c ) ((x − b) + c2 )n−1 ψ(x)
degS(x) < 2(n − 1) + degψ(x)
であるような実数 B, C と実係数多項式 S(x) が唯一組存在する．
(4.16)
4.5. 有理関数の不定積分
113
証明 q(x) = (x − b)2 + c2 とおき，
P (x)
Bx + C
S(x)
=
+
n
Q(x)
q(x)
q(x)n−1 ψ(x)
が成り立つとする．このとき
P (x) = (Bx + C)ψ(x) + S(x)q(x).
(4.17)
x = β, x = β と代入して
P (β) = (Bβ + C)ψ(β), P (β) = (Bβ + C)ψ(β).
ψ(β) ̸= 0, ψ(β) ̸= 0 であるから、
{
βB + C = P (β)/ψ(β)
βB + C = P (β)/ψ(β)
(4.18)
B, C について解く。左辺の係数行列の行列式は β − β = 2c ̸= 0 であるか
ら、解 B, C はただ一組ある。この連立方程式の両辺の共役複素数を考え
ると、
{
β B + C = P (β)/ψ(β)
β B + C = P (β)/ψ(β)
P (x), ψ(x) の係数は実数であるから、P (β) = P (β), ψ(β) = ψ(β)
り立ち、したがって順序を入れ替えて書くと
{
β B + C = P (β)/ψ(β)
β B + C = P (β)/ψ(β)
1
が成
(4.18) 式と比較して、解の一意性より
B = B, C = C
を得る。したがって、B, C は実数である2 .
1
∑n
P (x) =
i
∑n
i=0
ai xi ,
(ai は実数) とすると、P (β) =
ai β = P (β)
問 実際に B, C を求めて，B = B, C = C を示せ．
i=0
2
∑n
i=0
ai β i =
∑n
i=0
i
ai β =
第 4 章 積分法
114
逆に (4.18) の解 B, C をとると、P (x)−(Bx+C)ψ(x) は (x−β)(x−β) =
q(x) で割り切れる。そのときの商を S(x) とおくと、(4.17) が成り立ち、
(4.15) を得る。
(4.17) を用いて、次数を調べる. deg(P (x)) < deg(q(x)n ψ(x)) = 2n +
degψ(x) に注意して
2 + degS(x) = deg(q(x)S(x)) = deg(P (x) − (Bx + C)q(x))
≤ max{degP (x), deg(Bx + c)ψ(x)}
< 2n + degψ(x).
2
したがって (4.16) がなりたつ。
この定理をさらに使って (4.11) の右辺は
Bn x + cn Bn−1 x + Cn−1
Sn−2 (x)
+
+
, (Bn = B, Cn = C)
q(x)n
q(x)n−1
q(x)n−2 ψ(x)
のように変形でき，さらに繰り返し使って
P (x)
Bn x + cn Bn−1 x + Cn−1
B1 x + C1 S0 (x)
=
+
+ ··· +
+
n
n−1
Q(x)
q(x)
q(x)
q(x)
ψ(x)
まで変形できる。
degS0 (x) < degψ(x) であるから、ψ(x) = 0 の解について再び同じ操作
を続けることができる。
以上により最終的に次のような部分分数展開に到達する。
定理 4.5.4 P (x), Q(x) は実数係数の多項式で degP (x) < degQ(x) であ
るとする。Q(x) = 0 の相異なる実数解を a1 , a2 , · · · , ap とし、相異なる
√
虚数解を βk = bk + −1ck , k = 1, 2, · · · , q とし、ai の多重度を mi と
し, βk の多重度を nk する。このとき、ある実数 Aij , Bkℓ , Ckℓ を用いて
P (x)/Q(x) は次のように展開される：
k
i
∑∑
P (x) ∑ ∑
Bkℓ x + Ckℓ
Aij
=
+
Q(x)
(x − ai )j k=1 ℓ=1 ((x − bk )2 + c2k )ℓ
i=1 j=1
p
m
q
n
(4.19)
Aij , , Bkℓ , Ckℓ は定数で，P (x), Q(x) の係数がすべて実数ならば，Aij , Bkℓ , Ckℓ
は実数である．有理式を (4.19) のように表すことを，部分分数展開また
は部分分数分解という．
4.5. 有理関数の不定積分
4.5.2
115
部分分数分解の計算例
部分分数分解のいくつかの計算例をあげる．
例題 4.5.5 次の有理関数を部分分数展開せよ．
x−8
5x2 + 3x + 1
2x5 + x4 − 12x3 + 30x2 − 20x + 8
(1) 2
(2) 3
(3)
x −x−2
x − 3x − 2
x2 (x2 − 2x + 2)2
解 (1) x2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1) と因数分解され，
x−8
A
B
=
+
(x − 2)(x + 1)
x−2 x+1
であるような実数 A, B がある．両辺に (x − 2)(x + 1) をかけると
x − 8 = A(x + 1) + B(x − 2).
(4.20)
この等式がすべての x に対して成り立つ．この先二つの方法がある．
• (4.20) において，x = 2 と代入すると −6 = 3A, また x = −1 と代
入すると，−9 = −3B. ゆえに A = −2, B = 3.
• (4.20) の右辺を展開することにより，
x − 8 = (A + B)x + (A − 2B).
この等式がすべての x に対して成り立つから，
A + B = 1, A − 2B = −8
この連立方程式をとくと，A = −2, B = 3.
いずれにせよ次の結果を得る．
2
3
x−8
=−
+
(x − 2)(x + 1)
x−2 x+1
(2) x3 − 3x − 2 = (x − 2)(x + 1)2 と因数分解され
5x2 + 3x + 1
A
B
C
=
+
+
2
(x − 2)(x + 1)
x − 2 x + 1 (x + 1)2
であるような実数 A, B, C がある．両辺に (x − 2)(x + 1)2 をかけると
5x2 + 3x + 1 = A(x + 1)2 + B(x − 2)(x + 1) + C(x − 2).
(4.21)
第 4 章 積分法
116
• (4.21) において，x = 2 と代入すると，27 = 9A. ゆえに A = 3.
3(x + 1)2 = 3x2 + 6x + 3 であるから，(4.21) より，
B(x − 2)(x + 1) + C(x − 2) = 5x2 + 3x + 1 − (3x2 + 6x + 3)
= 2x2 − 3x − 2
両辺を x − 2 でわると，
B(x + 1) + C = 2x + 1 =⇒ Bx + B + C = 2x + 1
両辺の係数を比較して B = 2, B + C = 1. ゆえに B = 2, C = −1
• (4.21) において，x = 0, x = 1, x = −1 とおくと，A, B, C に関する
次の連立方程式を得る．
A − 2B − 2C = 1, 4A − 2B − C = 9, −3C = 3
これを解き，A = 3, B = 2, C = −1
• (4.21) の右辺を展開して
5x2 + 3x + 1 = (A + B)x2 + (2A − B + C)x + A − 2B − 2C
両辺の係数を比較して
A + B = 5, 2A − B + C = 3, A − 2B − 2C = 1
これを解き，A = 3, B = 2, C = −1
いずれにせよ，次の結果を得る．
5x2 + 3x + 1
3
2
1
=
+
−
3
x − 3x − 2
x − 2 x + 1 (x + 1)2
(3) 分子の次数は 5, 分母の次数は 6 である．分母が 0 となる点は x (x2 − 2x + 2)2 = 0 より，x = 0, x = 1 ± i でいずれも２重解である．ゆ
えに次のように部分分数展開される．
2
2x5 + x4 − 12x3 + 30x2 − 20x + 8
x2 (x2 − 2x + 2)2
Bx + C
Dx + E
A2 A1
+
+ 2
+ 2
=
2
2
x
x
(x − 2x + 2)
x − 2x + 2
4.5. 有理関数の不定積分
117
両辺に x2 (x2 − 2x + 2)2 をかけると
2x5 + x4 − 12x3 + 30x2 − 20x + 8
= A2 (x2 − 2x + 2)2 + A1 x(x2 − 2x + 2)2
+(Bx + C)x2 + (Dx + E)x2 (x2 − 2x + 2)
x = 0 と代入して 8 = 4A2 であるから，A2 = 2. したがって
2x5 + x4 − 12x3 + 30x2 − 20x + 8 − 2(x2 − 2x + 2)2
= A1 x(x2 − 2x + 2)2 + (Bx + C)x2 + (Dx + E)x2 (x2 − 2x + 2)
左辺を計算して
2x5 − x4 − 4x3 + 14x2 − 4x
= A1 x(x2 − 2x + 2)2
+(Bx + C)x2 + (Dx + E)x2 (x2 − 2x + 2)
両辺を x で割ると
2x4 − x3 − 4x3 + 14x − 4
= A1 (x2 − 2x + 2)2
+(Bx + C)x + (Dx + E)x(x2 − 2x + 2)
x = 0 とおくと，−4 = 4A1 であるから，A1 = −1. したがって
2x4 − x3 − 4x3 + 14x − 4 + (x2 − 2x + 2)2
= +(Bx + C)x + (Dx + E)x(x2 − 2x + 2)
左辺を計算して
3x4 − 5x3 + 4x2 + 6x = (Bx + C)x + (Dx + E)x(x2 − 2x + 2)
x で割ると
3x3 − 5x2 + 4x + 6 = (Bx + C) + (Dx + E)(x2 − 2x + 2x)
x = 0, x = 1, x = −1, x = 2 と代入して，次の連立方程式を得る．


C + 2E
= 6


 B+C +D+E
= 8
 −B + C − 5D + 5E = −6



2B + C + 4D + 2E = 18
第 4 章 積分法
118
これを解くと
B = 0, C = 4, D = 3, E = 1
ゆえに
2x5 + x4 − 12x3 + 30x2 − 20x + 8
x2 (x2 − 2x + 2)2
2
1
4
3x + 1
= 2− + 2
+
x
x (x − 2x + 2)2 x2 − 2x + 2
4.5.3
部分分数の不定積分
部分分数展開の右辺の分数の不定積分計算は次のような不定積分計算
に帰着される．最初に
{
∫
∫
1
(j ̸= 1)
A (−j+1)(x−a)
A
1
j−1
dx = A
dx =
j
j
(x − a)
(x − a)
A log |x − a|
(j = 1)
次に
∫
Bx + C
dx (c ̸= 0)
((x − b)2 + c2 )j
を計算する．x − b = ct とおくと
∫
∫
Bx + C
B(b + ct) + C
dx
=
cdt
((x − b)2 + c2 )j
(c2 t2 + c2 )j
∫
Bb + C + Bct
=
cdt
(c2 t2 + c2 )j
∫
∫
Bb + C
1
B
t
=
dt + 2j−2
dt
2j−1
2
j
2
c
(t + 1)
c
(t + 1)j
したがって次の不定積分を計算すればよい．
∫
∫
1
t
dt,
dt
2
j
2
(t + 1)
(t + 1)j
第１の不定積分は t =
∫
t
dt =
(t2 + 1)j
∫
d (t2 +1)
dt
2
と考えると u = t2 + 1 とおくとき，
1
1 1 du
dt
=
uj 2 dt
2
∫
1
du =
uj
{
1
1
2 (−j+1)uj−1
1
log |u|
2
(j =
̸ 1)
(j = 1)
4.5. 有理関数の不定積分
119
第２の不定積分を
∫
1
Ij =
dt (j ≥ 1)
2
(t + 1)j
とおく．j = 1 のときは
∫
1
I1 =
dt = arctan t
2
t +1
j ≥ 2 とする．このとき Ij は次のように Ij−1 を用いて表される．
∫
∫ 2
1
t + 1 − t2
Ij =
dt
=
dt
(t2 + 1)j
(t2 + 1)j
∫
∫
∫
1
t2
t2
dt −
dt = Ij−1 −
dt
=
(t2 + 1)j−1
(t2 + 1)j
(t2 + 1)j
さらに最後の不定積分は，分子の t2 を t2 = 2t (2t) と考える．
2t
d
1
=
j
+ 1)
dt (−j + 1)(t2 + 1)j−1
(t2
であるから，部分積分により
∫
∫
1
t2
t d
dt
=
dt
(t2 + 1)j
2 dt (−j + 1)(t2 + 1)j−1
∫
t
1
1
1
=
−
dt
2
j−1
2 (−j + 1)(t + 1)
2 (−j + 1)(t2 + 1)j−1
t
1
1
= −
+
Ij−1
2
j−1
2j − 2 (t + 1)
2j − 2
ゆえに
(
Ij = Ij−1 − −
t
1
1
+
Ij−1
2
j−1
2j − 2 (t + 1)
2j − 2
)
右辺を計算して
Ij =
2j − 3
1
t
Ij−1 +
(j ≥ 2)
2
2j − 2
2j − 2 (t + 1)j−1
たとえば
∫
1
1
1 t
dt
=
arctan
t
+
(t2 + 1)2
2
2 t2 + 1
以上により，定理 4.5.1 が証明された．
(4.22)
第 4 章 積分法
120
4.6
三角関数，無理関数の不定積分
• R(X, Y, Z) が X, Y, Z の有理関数であるときに，不定積分
∫
I = R(sin x, cos x, tan x)dx
を計算する．
tan
x
x
x
t
1
, cos = √
= t =⇒ sin = √
2
2
2
2
1+t
1 + t2
であるから，
x
x
2t
cos =
,
2
2
1 + t2
x
1 − t2
x
,
cos x = cos2 − sin2 =
2
2
1 + t2
2t
tan x =
1 − t2
sin x = 2 sin
また x = 2 arctan t であるから，
dx
1
=2
dt
1 + t2
ゆえに
(
)
∫
∫
2t 1 − t2 2t
2
R(sin x, cos x, tan x)dx = R
,
,
dt
1 + t2 1 + t2 1 − t2 1 + t2
であり，右辺は t の有理関数の不定積分である．
例 4.6.1
1.
∫
1
dx =
1 + cos x
∫
1
2
dt =
1−t2 1 + t2
1 + 1+t2
∫
x
=
dt = t = tan
2
∫
1+
t2
2
dt
+ 1 − t2
∫
1
2
2
dt
=
dt
2t
1 + t2 + 2t
1 + 1+t2 1 + t2
∫
1
2
2
=
dt = −2
=−
x
2
(t + 1)
t+1
tan 2 + 1
1
dx =
1 + sin x
∫
∫
4.6. 三角関数，無理関数の不定積分
121
∫
=
=
=
=
=
=
1
dx
1 + tan x
∫
∫
1
2
2(1 − t2 )
dt
=
dt
2t
2
(1 − t2 + 2t)(1 + t2 )
1 + 1−t
2 1 + t
)
∫ (
1
1
1
1−t
1
√ +
√ +
dt
2 t − 1 + 2 2 t − 1 − 2 1 + t2
√ )
√
1(
1
log |t − 1 + 2| + log |t − 1 − 2| + arctan t − log(1 + t2 )
2
2
1
1
log |t2 − 2t − 1| + arctan t − log(1 + t2 )
2
2
2
t − 1 − 2t x
1
x
1
log + arctan tan = log | − cos x − sin x| +
2
2
1+t
2
2
2
1
x
log | cos x + sin x| +
2
2
その他の変換でもできる場合もある．
例 4.6.2
1.
∫
∫
1 + t2 2
dt =
2t 1 + t2
x = log |t| = log tan 2
1
dx =
sin x
あるいは
∫
1
dx =
sin x
∫
sin x
dx =
sin2 x
∫
∫
1
dt
t
sin x
dx
1 − cos2 x
cos x = u とおくと
∫
∫
∫
− du
sin x
1
dx
dx
=
dx
=
−
du
1 − cos2 x
1 − u2
1 − u2
)
∫ (
u − 1 1
cos x − 1 1
1
1
1
= log −
=
du = log cos x + 1 2
u−1 u+1
2
u + 1 2
2.
∫
cos x
dx =
7 sin x + 2 cos 2x
∫
cos x
dx
7 sin x + 2(1 − 2 sin2 x)
∫
(sin x)′
dx
=
2 + 7 sin x − 4 sin2 x
第 4 章 積分法
122
sin x = u とおくと，
∫
(sin x)′
dx
2 + 7 sin x − 4 sin2 x
)
∫
∫ (
4
1
1
=
du =
−
+
du
2 + 7u − 4u2
9(u − 2) 9(4u + 1)
1
1
= − log |u − 2| + log |4u + 1|
9
9
1
1
= − log | sin x − 2| + log |4 sin x + 1|
9
9
• 無理関数の不定積分
(i)
R(x, Y ) が x, Y の有理関数の場合, 不定積分
( √
)
∫
ax
+
b
n
I = R x,
dx (ad − bc ̸= 0)
cx + d
は
√
n
ax + b
=t
cx + d
とおくと，t の有理関数の不定積分になる．実際
x=
dtn − b
dx
n(ad − bc)tn−1
,
=
−ctn + a dt
(−ctn + a)2
であるから，I は t の有理関数の不定積分になる．
例 4.6.3
1.
∫
√
x 1 − xdx =
∫
∫
(1 − t )t(−2t)dt =
2
(−2t2 + 2t4 )dt
2
(−10 + 6t2 )t3
2
= − t3 + t5 =
3
5
√ 15
(−4 − 6x)(1 − x) 1 − x
=
15
4.6. 三角関数，無理関数の不定積分
∫
2.
123
∫
1
(1 − t ) (−2t)dt = (−2 + 2t2 )dt
t
(
)
2 3
2 2
= −2t + t = −2 + t t
3
3
(
)
√
√
2
2
=
−2 + (1 − x)
1 − x = − (2 + x) 1 − x
3
3
x
√
dx =
1−x
∫ √
∫
1+x
dx =
1−x
2
∫
t
(t2
4t
dt
+ 1)2
右辺の積分記号の中の有理関数は次のように部分分数に分解さ
れる．
t2
At + B
Ct + D
= 2
+ 2
2
2
2
(t + 1)
(t + 1)
t +1
両辺に (t2 + 1)2 をかけると
t2 = At + B + (Ct + D)(t2 + 1)
= Ct3 + Dt2 + (A + C)t + B + D
係数を比較して
C = 0, D = 1, A + C = 0, B + D = 0
ゆえに A = 0, B = −1, C = 0, D = 1 を得る．これより
)
∫ (
∫
4
4t
4
dt =
+
dt
t 2
−
(t + 1)2
(1 + t2 )2 1 + t2
ここで (4.22) により，
∫
1
1 t
1
dt = arctan t +
2
2
(1 + t )
2
2 1 + t2
であるから，
)
∫
∫ (
4
x
4
√
+
dt
dx =
−
(1 + t2 )2 1 + t2
1−x
2t
= −
+ 2 arctan t
1 + t2√
√
4
1+x
1+x
= −
+ 2 arctan
1−x 1−x
1−x
第 4 章 積分法
124
(ii) R(X, Y ) が X, Y の有理式であるとき，
∫
√
I = R(x, ax2 + bx + c)dx
を計算する．
1. a > 0 のときは
√
√
ax2 + bx + c = t + ax
とおく．このとき
√
ax2 + bx + c = t2 + 2t ax + ax2
√
=⇒ bx + c = t2 + 2t ax
√
=⇒ (2 at − b)x = −t2 + c
−t2 + c
=⇒ x = √
2 at − b
であるから，
√
√
√ −t2 + c
ax2 + bx + c = t + ax = t + a √
2 at − b
1
1 b
1 4ac − b2
√
=
t− √ +
2
4 a 4 2at − ab
√
√
dx
2( at2 − bt + ac)
√
=
dt
(2 at − b)2
b2 − 4ac
1
1
√
√
= − √ +
2 a 2 (2 at − b)2 a
2. a < 0 のときは，ax2 + bx + c が正になる x の範囲で考える．
したがって ax2 + bx + c = 0 が実解 α, β を持つとき考える．
α < β とすると
ax2 + bx + c = a(x − α)(x − β) = (−a)(x − α)(β − x)
と因数分解され，−a > 0 であり，α ≤ x ≤ β の範囲で ax2 +
bx + c ≥ 0 である．
4.6. 三角関数，無理関数の不定積分
125
ゆえに α < x ≤ β のとき
√
√
ax2 + bx + c =
a(x − α)(x − β) =
√
= (x − α)
√
a(x − β)
(x − α)2
(x − α)
a(x − β)
x−α
したがって
√
a(x − β)
=t
x−α
とおけば，I は t の有理関数の積分になる．
α ≤ x < β のときは
√
√
ax2 + bx + c =
a(x − α)(x − β) =
√
= (β − x)
√
a(x − α)
(x − β)2
(x − β)
a(x − α)
x−β
したがって
√
a(x − α)
=t
x−β
とおけば，I は t の有理関数の積分になる．
√
∫
例 4.6.4 I = √x12 −1 dx を計算する． x2 − 1 = x + t とおく
と，x2 − 1 = x2 + 2xt + t2 であるから，2xt = −1 − t2 ，すな
2
わち x = − 1+t
.
2t
dx
t2 − 1 √ 2
1 + t2
t2 − 1
=−
,
x
−
1
=
−
+
t
=
dt
2t2
2t
2t
ゆえに
)
( 2
∫
2t
t −1
1
I =
dt = −
dt = − log |t|
−
2
2
t −1
2t
t
√
1
2
= − log | x − 1 − x| = log √
2
x − 1 − x
√
= log |x + x2 − 1|
∫
第 4 章 積分法
126
広義積分
4.7
有界でない関数の有界区間での積分，あるいは無限区間での積分をど
のように計算するかを解説する．
有界閉区間 [a, b] で有界，積分可能な関数 f (x) に関して，a < c < b
である c を一つとり，
∫ x
f (t)dt (a ≤ x ≤ b)
F (x) =
c
とおくと．F (x) は連続関数である．実際 |f (t)| ≤ M (a ≤ t ≤ b) ならば，
x2 ≤ x1 のとき
∫ x1
∫ x1
|F (x1 ) − F (x2 )| = f (t)dt ≤
|f (t)|dt
x2
x2
∫ x1
≤
M dt = M (x1 − x2 ).
x2
ゆえに F (x) はリプシッツ連続である．とくに limx→b− F (x) = F (b) であ
るから
∫ x
∫ b
f (t)dt =
f (t)dt.
lim
x→b−
c
c
同様に，次も成り立つ．
∫ c
∫ c
lim
f (t)dt =
f (t)dt.
x→a+
x
a
定義 4.7.1 関数 f (x) を区間 [c, b) (b = ∞ でもよい) で連続な関数とす
る．もし
∫ x
f (t)dt
lim
x→b−
c
が存在するならば，f (x) は [c, b) で 広義積分可能である，あるいは [c, b)
における f (x) の広義積分は収束するといい，
∫ b
∫ x
f (t)dt = lim
f (t)dt
c
x→b−
c
とおく．同様に (a, c](a = −∞ でもよい）で連続な f (x) に対して
∫ c
∫ c
f (t)dt
f (t)dt = lim
a
x→a+
x
4.7. 広義積分
127
とおく．(a, b) で連続な場合には (a, b) 内に１点 c をとり，
∫ b
∫ c
∫ b
f (t)dt =
f (t)dt +
f (t)dt
a
a
c
∫ c
∫ x2
= lim
f (t)dt + lim
f (t)dt
x1 →a+
と定義する．あるいは
∫ b
∫
f (t)dt = lim
x1 →a+
x2 →b−
a
x2 →b−
x1
c
x2
f (t)dt
x1
と書いてもよい．
例 4.7.2
∫
(1)
∫
∫
1
1
log tdt = lim
x→0+
0
log tdt
x
log tdt = t(log t − 1) であるから，
∫ 1
log tdt = 1(log 1 − 1) − x(log x − 1) = −1 − x(log x − 1)
x
ロピタルの定理により，
lim x(log x − 1) = lim
x→0+
ゆえに
∫
x→0+
log x − 1
1/x
= lim
= lim (−x) = 0
x→0+
1/x
−1/x2 x→0+
1
log tdt = −1
0
∫
∞
(2)
0
∫
1
dt =
1 + t2
∞
(3)
−∞
∫
1
(4)
−1
∫
x
1
dt = lim (arctan x − arctan 0)
x→∞ 0 1 + t2
x→∞
π
π
=
−0=
2
2
∫ b
1
1
dt = lim
dt = lim (arctan b − arctan a)
2
2
b→∞
b→∞
1+t
a 1+t
a→−∞
a→−∞
(
)
π
π
= − −
=π
2
2
lim
1
√
dt = lim arcsin(x2 ) − lim arcsin x1 = π
x2 →1−
x1 →−1+
1 − t2
第 4 章 積分法
128
次の例は基本的な広義積分である．
補題 4.7.3
∫
(1)
0
1
1
dx =
xα
{
1
1−α
∞
(0 < α < 1)
(α ≥ 1)
{
1
1
(α > 1)
α−1
(2)
dx
=
α
x
∞ (0 < α ≤ 1)
1
∫
証明 α = 1 のとき x1 dx = log |x| である．ゆえに
∫
∫
1
0
∞
1
dx = 0 − lim log x = ∞,
x→0
x
∫
1
∞
1
dx = lim log x − 0 = ∞.
x→∞
x
α ̸= 1 のとき，
∫
1
1
1
1
dx =
x1−α = −
α
α−1
x
1−α
α−1x
ゆえに
∫
∫ ∞
1
1
1
0 < α < 1 =⇒
dx =
,
dx = ∞
α
1−α
xα
0 x
1
∫ 1
∫ ∞
1
1
1
α > 1 =⇒
dx
=
∞,
dx
=
α
xα
α−1
0 x
1
例 4.7.4
∫ 1
0
1
√
dx =
1−x
1
∫
0
1
2
1
√ dx = 2
x
広義積分は，その値を計算できないとしても，収束するか発散するかを
次の定理により判定できる場合がある．
定理 4.7.5 f (x) が [a, b) で連続であるとする．
(1) |f (x)| が広義積分可能ならば，f (x) も広義積分可能で
∫ b
∫ b
|f (x)|dx
f (x)dx ≤
a
a
(4.23)
4.7. 広義積分
129
(2) 次の条件 (i), (ii) を満たす連続関数 g(x) が存在すれば，f (x) の
講義積分は収束する．
∫ b
(i) |f (x)| ≤ g(x), (ii)
g(x)dx は存在する
a
そして
∫ b
∫ b
∫ b
|f (x)|dx ≤
g(x)dx
f (x)dx ≤
a
a
a
∫b
(3) 次の条件を満たす関数 h(x) が存在すれば， a f (x)dx は発散する．
∫
(i) 0 ≤ h(x) ≤ f (x), (ii)
b
h(x)dx は発散する
a
証明 (1) f (x) の正の部分 f+ (x) と，負の部分 f− (x) を次のように定義
する：
{
f (x) (f (x) ≥ 0 のとき)
f+ (x) =
0
(f (x) < 0 のとき)
{
0
−f (x)
f− (x) =
(f (x) ≥ 0 のとき)
(f (x) < 0 のとき)
なお，次のように定義しても同じである．
1
1
f+ (x) = (|f (x)| + f (x)), f− (x) = (|f (x)| − f (x)).
2
2
f+ (x), f− (x) は連続関数で
0 ≤ f+ (x) ≤ |f (x)|, 0 ≤ f− (x) ≤ |f (x)|.
したがって a < x < b のとき
∫ x
∫
F+ (x) =
f+ (t)dt ≤
a
∫
∫
x
a
|f (t)|dt,
a
∫
x
|f (t)|dt ≤
a
b
|f (t)|dt ≤
a
f− (t)dt ≤
F− (x) =
∫
x
b
|f (t)|dt
a
第 4 章 積分法
130
がなりたつ. f+ (t), f− (t) ≥ 0 であるから，F+ (x), F− (x) は増加関数で一
∫b
定の値 a |f (t)|dt 以下である．ゆえに limx→b− F± (x) が存在し，
∫
∫
b
∫
x→b−
a
∫
b
x→b−
|f (t)|dt,
a
∫
x
f− (t)dt ≤
f− (t)dt = lim
a
b
f+ (t)dt ≤
f+ (t)dt = lim
a
∫
x
a
b
|f (t)|dt.
a
そして
f (x) = f+ (x) − f− (x),
であるから，
∫ b
∫ b
∫ b
f (t)dt =
f+ (t)dt −
f− (t)dt
a
a
a
また
|f (x)| = f+ (x) + f− (x)
であるから，
∫ b
∫ b
∫ b
f (t)dt ≤ f+ (t)dt + f− (t)dt
a
a
a
∫ b
∫ b
∫ b
=
f+ (t)dt +
f− (t)dt =
(f+ (t) + f− (t))dt
a
a
a
∫ b
=
|f (t)|dt
a
(２) |f (x)| ≤ g(x) であるから，
∫ b
∫ b
|f (x)|dx ≤
g(x)dx
a
a
である．ゆえに（１）の結果と合わせて，
（２）が成り立つ．
（３）も同様に証明される．
2
定義 4.7.6 f (x) は連続関数とする．|f (x)| の広義積分が収束するとき．
f (x) の広義積分は絶対収束するという．定理 4.7.5 により，絶対収束な
らば，もとの広義積分は収束する．しかし，この逆は成り立たず，収束
するが絶対収束しない広義積分は条件収束するという．
4.7. 広義積分
131
言い換えると，収束する広義積分は，非積分関数の絶対値関数も収束
するならば絶対収束であり，そうでない場合を条件収束という．条件収
束は f (x) が定符号関数でない場合に起こり得る．
例 4.7.7 条件収束する広義積分の例
∫ ∞
∫ ∞
sin x sin x
π
dx = ,
x dx = ∞.
x
2
0
0
証明の概略 部分積分により，
(
)
∫
∫
∫
sin x
− cos x
1
cos x
cos x
dx =
− (− cos x) − 2 dx = −
−
dx
x
x
x
x
x2
無限区間 [π/2, ∞) での sin x/x の広義積分は
( cos x ) ( cos π/2 )
lim −
− −
= 0,
x→∞
x
π/2
∫ ∞
∫ ∞ 1
cos x dx = 1 = 2
2 dx ≤
2
x
π/2
π
π/2
π/2 x
により，収束する．また (0, π/2] において 0 < sin x/x < 1 であるから，
(0, π] における sin x/x の広義積分も収束する．ゆえに (0, ∞) のおける
sin x/x の広義積分は収束する．
あるいは次のように考えてもよい．
∫ nπ
sin x
In =
dx, n = 1, 2, · · ·
x
(n−1)π
∫∞
∑∞
とおくと 0 sinx x dx =
n=1 In である．In において，変数変換 x =
u + (n − 1)π を行うと
∫ π
∫ π
sin u cos((n − 1)π)
sin u
In =
du = cos((n − 1)π)
du
u + (n − 1)π
0
0 u + (n − 1)π
∫ π
sin u
du.
= (−1)n−1
0 u + (n − 1)π
∫ π sin u
Jn = 0 u+(n−1)π
du とおくと，
I=
∞
∑
n=1
(−1)n−1 Jn = J1 − J2 + J3 − J4 + · · ·
(4.24)
第 4 章 積分法
132
と表される．このように項の符号が交互にかわる級数を交代級数という．
{Jn } は条件 (i) J1 > J2 > J3 > · · · . を満たし，さらに
∫ π
1
1
0 < Jn <
du =
(n ≥ 2)
n−1
0 (n − 1)π
であるから，条件 (ii) limn→∞ Jn = 0 を満たす．数列 {Jn } がこの２条
件 (i),(ii) を満たすとき，(4.24) は収束することが分かっている（証明省
∫∞
略）．以上により， 0 sinx x dx は収束する．その値が π/2 であることを
示すのは難しい．
同様に考えて
∫ ∞
∞ ∫ π
∑
sin x sin u
du
x dx =
u
+
(n
−
1)π
0
0
n=1
π/6 ≤ u ≤ 5π/6 のとき sin u ≥ 1/2 であるから，
∫ π
∫ 5π/6
sin u
sin u
du >
du
u + (n − 1)π
0 u + (n − 1)π
π/6
∫
1 5π/6
1
>
du
2 π/6 u + (n − 1)π
(
)
∫
1 5π/6
1
1 1 5π π
>
du =
−
2 π/6 π + (n − 1)π
2 nπ 6
6
1
=
3n
∫∞
∑∞ 1
ところで n=1 n = ∞ であるから， 0 | sinx x| dx = ∞ が成り立つ．
注意 4.7.8 無限級数 1 + 12 + 13 + · · · を調和級数といい，発散する．なお
∑n
その第 n 部分和 Sn = k=1 k1 はおよそ log n であり，limn→∞ (Sn − log n)
はある定数 C に収束する．
( n
)
∑1
C = lim
− log n
n→∞
k
k=1
C はオイラーの定数といわれ，C = 0.57721... であるが，無理数である
かどうかさえ分かっていない．
Sn −log n = Cn とおく．y = x1 は x > 0 のとき単調減少で k ≤ x ≤ k+1
のとき，
1
1
< log x ≤
k+1
k
4.7. 広義積分
133
であるから，
1
<
k+1
∫
k+1
k
1
1
dx <
x
k
が成りたつ．したがって
∫ k+1
1
1
1
1
Ak := −
dx < −
k
x
k k+1
k
k ≤ x ≤ k + 1 における y = x1 のグラフと y = k1 の間の部分の面積が Ak
∑n
である．したがって k=1 Ak は n が増加するとき増加し，
n
∑
Ak <
k=1
k=1
1
−
k k+1
k=1
ゆえに limn→∞
n
∑
n (
∑
1
Ak =
∑n
k=1
n
∑
1
k=1
k
)
=1−
1
<1
n+1
Ak が存在する．その値を C とおく：C =
∫
n+1
−
1
∑∞
k=1
Ak .
1
dx = Sn − log(n + 1)
x
であるから，limn→∞ (Sn − log(n + 1)) = C. ところで
Sn − log n = Sn − log(n + 1) + log
n+1
→ C + log 1 = C
n
(n → ∞)
であるから，limn→∞ (Sn − log n) = C.
例 4.7.9 p > 0, q > 0 のとき
∫ 1
B(p, q) =
xp−1 (1 − x)q−1 dx
0
は絶対収束する．ゆえに B(p, q) は p > 0, q > 0 の関数である．これをオ
イラー (Eular) のベータ関数 という．
p ≥ 1, q ≥ 1 のときは被積分関数 xp−1 (1 − x)q−1 は連続関数であるか
ら，この積分は普通の積分である．
∫ 1
∫ 1/2
∫ 1
p−1
q−1
p−1
q−1
x (1 − x) dx =
x (1 − x) dx +
xp−1 (1 − x)q−1 dx
0
0
1/2
と分割する．0 < p < 1 のときは，limx→0+ xp−1 (1 − x)q−1 = ∞ であ
∫ 1/2
るから， 0 xp−1 (1 − x)q−1 dx は広義積分であり，0 < q < 1 のときは，
第 4 章 積分法
134
∫1
limx→１− xp−1 (1 − x)q−1 = ∞ であるから， 1/2 xp−1 (1 − x)q−1 dx は広義
積分である．
0 < p < 1 とする．0 ≤ x ≤ 1/2 のとき 1/2 ≤ 1 − x ≤ 1 であるから，
q ≥ 1 =⇒ (1 − x)q−1 ≤ 1,
0 < q < 1 =⇒ (1 − x)q−1 ≤ (1/2)q−1 = 21−q ≤ 2
であるから，いずれにせよ (1 − x)q−1 ≤ 2 (0 ≤ x ≤ 1/2). したがって
|xp−1 (1 − x)q−1 | = xp−1 (1 − x)q−1 ≤ 2xp−1
(0 ≤ x ≤ 1/2)
が成り立つ． p > 0 のとき
∫
1
2xp−1 dx =
0
2
p
∫ 1/2
であるから，定理 4.7.5(2) により， 0 xp−1 (1−x)q−1 dx は絶対収束する．
∫1
同様に 0 < q < 1 のとき， 1/2 xp−1 (1 − x)q−1 dx は絶対収束する．
たとえば，p = q = 1/2 のとき，変数変換 x = sin2 θ により，
∫ π/2
∫ 1
2 sin θ cos θ
1
√
√ 2
dx =
dθ
B(1/2, 1/2) =
x(1 − x)
sin θ(1 − sin2 θ)
0
0
π
= 2 × = π.
2
一般の場合には, 次の例にあげるガンマ関数をもちいて, 次のように表さ
れる（証明略）．
B(p, q) =
Γ(p)Γ(q)
Γ(p + q)
(4.25)
例 4.7.10 s > 0 のとき
∫ ∞
Γ(s) =
e−x xs−1 dx
0
は絶対収束し， s > 0 の関数である．これをオイラーのガンマ関数とい
う．たとえば
∫ ∞
Γ(1) =
e−x dx = lim (−e−x − (−e0 )) = 1.
0
x→∞
4.7. 広義積分
135
f (x) = e−x xs−1 とおく．f ′ (x) = e−x xs−2 (s − 1 − x) である.
0 < s < 1 のとき，x > 0 において f (x) は単調減少で，
lim f (x) = ∞,
x→0+
lim f (x) = 0.
x→∞
s = 1 のときは f (x) = e−x .
s > 1 のときは 0 < x < s − 1 において f (x) は増加，x > s − 1 にお
いて減少，f (s − 1) = e−s+1 (s − 1)s−1 は最大値で
lim f (x) = 0,
x→0+
lim f (x) = 0.
x→∞
したがって
∫ ∞
∫
−x s−1
e x dx =
0
1
−x s−1
e x
∫
dx +
0
∞
e−x xs−1 dx
1
と分割する．
0 < x ≤ 1 のとき，e−1 < e−x ≤ 1 であるから，e−1 xs−1 < f (x) ≤ xs−1
である．ゆえに
∫ 1
∫ 1
∫ 1
e−1
1
−1 s−1
−x s−1
=
e x dx <
e x dx <
xs−1 dx =
s
s
0
0
0
次に ex のマクローリン展開より，任意の x に対して
ex = 1 + x +
x2
xk
+ ··· +
+ ···
2!
k!
が成り立つ．x ≥ 0 ならば，右辺の第２項以降は正または零であるから，
k
k
任意の k = 1, 2, · · · に対して ex ≥ 1 + xk! > xk! である．ゆえに
e−x <
k!
xk
(0 < x < ∞)
であるから，
e−x xs−1 < k!xs−k−1
(0 < x < ∞)
s − k < 0 すなわち k > s ととれば
∫ ∞
∫ ∞
1
−x s−1
e x dx <
k!x−(k−s)−1 dx = k!
.
k−s
1
1
第 4 章 積分法
136
以上により，
1
1
e−1
< Γ(s) < + k!
. (0 < s < k, k = 1, 2, · · · のとき) (4.26)
s
s
k−s
したがって，特に
lim Γ(s) = ∞.
s→0+
また
∫
∞
−x s−1
e x
∫
2
dx >
0
−x s−1
e x
∫
2
dx >
1
1
e−2 xs−1 dx =
e−2 s−1
(2 − 1)
s
であり，lims→∞ 2s /s = ∞ であるから，
lim Γ(s) = ∞
s→∞
である．
また，
Γ(s) = (s − 1)Γ(s − 1),
(s > 1)
(4.27)
実際，部分積分により
∫
∫
−x s−1
−x s−1
e x dx = −e x − (−e−x (s − 1)xs−1−1 )dx
∫
−x s−1
= −e x + (s − 1) (e−x xs−1−1 )dx
s > 1 のとき
lim e−x xs−1 = 0,
x→0+
lim e−x xs−1 = 0
x→∞
であるから，(4.27) が成り立つ．たとえば
Γ(2) = Γ(1) = 1, Γ(3) = 2Γ(2) = 2 × 1, Γ(4) = 3Γ(3) = 3 × 2 × 1, · · ·
であり，一般的に
Γ(n) = (n − 1)!
(n = 1, 2, · · · )
4.7. 広義積分
137
である．ただし 0! = 1 とおく．
ここでは証明できないが，Γ(s) は何回でも微分可能で，
∫ 1
∫ 1
′
−x d s−1
Γ (s) =
e
x dx =
e−x xs−1 log xdx,
ds
0
0
∫ 1
∫ 1
−x d s−1
′′
e
e−x xs−1 (log x)2 dx,
Γ (s) =
x log xdx =
ds
0
0
のように，微分と積分の順序交換をして計算してよい．とくに Γ′′ (s) > 0
であるから，Γ(s) のグラフは下に凸である．s0 = 1.4616... において最小
値 Γ(s0 ) = 0.88856... をとる．
なお (4.25) において，p = q = 1/2 とおくと，
Γ(1/2)2 = B(1/2, 1/2) = π
であるから，
√
π.
Γ(1/2) =
また
∫
Γ(1/2) =
∞
−x −1/2
e x
∫
∞
dx =
0
0
√
x = t を行うと, x = t2 , dx/dt = 2t であるから，
∫ ∞ −t2
∫ ∞
e−x
e
2
√ dx =
2tdt = 2
e−t dt.
t
x
0
0
において，変数変換
∫
∞
0
したがって
∫
∞
−t2
e
0
あるいは
∫ ∞
e−x
√ dx
x
−t2
e
√
π
dt =
2
∫
∞
dt = 2
−∞
0
例 4.7.11
B(p, q) =
Γ(p)Γ(q)
Γ(p + q)
e−t dt =
2
√
π
第 4 章 積分法
138
の証明のアイデア
=
=
=
=
Γ(p)Γ(q)
∫ ∞
∫ ∞
−x p−1
e x dx
e−y y q−1 dy
0
∫0 ∞ ∫ ∞
e−(x+y) xp−1 y q−1 dxdy
∫0 ∞ ∫0 ∞
p−1 q−1
y
−(x+y)
p+q−1 x
e
(x + y)
dxdy
(x + y)p+q−1
0
0
∫ ∞∫ ∞
y q−1
1
xp−1
e−(x+y) (x + y)p+q−1
dxdy
p−1
q−1
(x + y)
(x + y) x + y
0
0
と変形できる．
x + y = u,
x
=v
x+y
y
とおく．このとき x+y
= 1 − v と表される．x > 0, y > 0 の領域は, 直
線 x + y = u(0 < u < ∞) の上で 0 < x < u の範囲を x が変化する領域
に変換される．したがって,x > 0, y > 0 の領域は， 0 < u < ∞ であり，
0 < v = x/u < 1 の (u, v) の領域に写る．
1
1
∂(u, v)
y
x
= y
−
=−
x
2
(x+y)2 − (x+y)2 ∂(x, y)
(x + y)
(x + y)2
= −
x+y
1
=−
2
(x + y)
u
したがって
∂(x, y)
= −u
∂(u, v)
であるから，
∫ ∞∫
∞
y q−1
1
xp−1
dxdy
p−1
q−1
(x + y)
(x + y) x + y
0
0
∫ ∞∫ 1
1
e−u up+q−1 v p−1 (1 − v)q−1 | − u|dudv
=
u
∫0 ∞ 0
∫ 1
=
e−u up+q−1 du
v p−1 (1 − v)q−1 dudv
e−(x+y) (x + y)p+q−1
0
0
= Γ(p + q)B(p, q)
ゆえに Γ(p)Γ(q) = Γ(p + q)B(p, q) が成り立つ．
139
第5章
レポート問題とその略解
微分積分学（１）レポート問題 (2014/5/20)
提出日時：5 月 27 日（火）講義終了時，
提出用紙：配布の都市大解答用紙１枚，裏面も使用してよい．
(１) 次の値を求めよ．
√
√
arcsin(−1), arcsin(−1/ 2), arcsin(0), arcsin( 3/2), arcsin(1)
√
√
arccos(−1), arccos(−1/ 2), arccos(0), arccos( 3/2), arccos(1)
√
√
arctan(−1), arctan(−1/ 3), arctan(0), arctan(1), arctan( 3)
（２）次の逆三角関数のグラフの概形を, −1 ≤ x ≤ 1 の範囲で, 一つの座
標平面に重ねてかけ．
θ = arcsin(x), θ = arccos(x), θ = arctan(x)
ただし，横軸は x の値とし，縦軸は θ の値とする．
(３) 次の双曲線関数のグラフの概形を −2 ≤ s ≤ 2 の範囲で, 一つの座標
平面に重ねてかけ．
x = cosh(s), x = sinh(s), x = tanh(s)
ただし，横軸は s の値とし，縦軸は x の値とする．必要ならば次の近似
値を用いよ．
.
.
.
.
e−2 = 0.14, e−1 = 0.37, e = 2.72, e2 = 7.39
（４）x = sinh(s) の逆関数 s = sinh−1 (x) を対数関数を用いて表せ．また
d
導関数 dx
sinh−1 (x) を求めよ．
（５）x = cosh(s), (s ≥ 0) の逆関数 s = cosh−1 (x) を対数関数を用いて
d
cosh−1 (x) を求めよ．
表せ．また導関数 dx
微分積分学（１）レポート問題 (2014/5/20)
略解
第5章
140
レポート問題とその略解
3
2
1
K1.0
K0.5
0
0.5
1.0
x
K1
図 5.1: arcsin(x), arccos(x), arctan(x), −1 ≤ x ≤ 1
(１) 次の値を求めよ．
√
π
π
arcsin(−1) = − , arcsin(−1/ 2) = − , arcsin(0) = 0,
2
4
√
π
π
arcsin( 3/2) = , arcsin(1) =
3
2
√
3π
π
arccos(−1) = π, arccos(−1/ 2) =
, arccos(0) = ,
4
2
√
π
arccos( 3/2) = , arccos(1) = 0
6
√
π
π
arctan(−1) = − , arctan(−1/ 3) = − , arctan(0) = 0,
4
6
√
π
π
arctan(1) = , arctan( 3) =
4
3
（２）次の逆三角関数のグラフの概形を, −1 ≤ x ≤ 1 の範囲で, 一つの座
標平面に重ねてかけ．
θ = arcsin(x), θ = arccos(x), θ = arctan(x)
ただし，横軸は x の値とし，縦軸は θ の値とする．
解 図 (5.1) 赤線＝ arcsin(x), 緑線＝ arccos(x), 茶線＝ arctan(x)
(３) 次の双曲線関数のグラフの概形を −2 ≤ s ≤ 2 の範囲で, 一つの座標
平面に重ねてかけ．
x = cosh(s), x = sinh(s), x = tanh(s)
141
3
2
1
K2
0
K1
1
s
2
K1
K2
K3
図 5.2: cosh(s), sinh(s), tanh(s), −2 ≤ s ≤ 2
ただし，横軸は s の値とし，縦軸は x の値とする．必要ならば次の近似
値を用いよ．
.
.
.
.
e−2 = 0.14, e−1 = 0.37, e = 2.72, e2 = 7.39
解 図 (5.2)，赤線＝ cosh(s), 緑線＝ sinh(s), 茶線＝ tanh(s)
（４）x = sinh(s) の逆関数 s = sinh−1 (x) を対数関数を用いて表せ．また
d
導関数 dx
sinh−1 (x) を求めよ．
sinh−1 x = log(x +
√
x2 + 1),
d
1
sinh−1 x = √
dx
1 + x2
（５）x = cosh(s), (s ≥ 0) の逆関数 s = cosh−1 (x) を対数関数を用いて
d
cosh−1 (x) を求めよ．
表せ．また導関数 dx
cosh−1 (x) = log(x +
√
x2 − 1),
d
1
cosh−1 (x) = √
2
dx
x −1
微分積分学（１）レポート問題 (2014/6/3)
提出日時：６月 10 日（火）講義終了時，提出用紙：配布の都市大解答用
紙１枚
（１） ロピタルの定理を用いて次の極限を調べよ．
(
)
sin x
1
1
x − sin x
(2) lim
(3) lim
−
(1) lim
x→0 sinh x
x→0
x→0
x3
sin x x
第5章
142
(
(4) lim
x→0
1
1
− x
x e −1
)
レポート問題とその略解
ex − cos x
cos x − cos 2x
(5) lim
(6) lim
2
x→0
x→0
x
x2
2
x
cosh x
(8) lim
(9)
x→0 arcsin x
x→∞
x2
(10) lim x log(sin x)
(7) lim
log(1 + 2x )
x→∞
x
lim
x→0+
微分積分学（１）レポート問題 (2014/6/3)
提出日時：６月 10 日（火）講義終了時，提出用紙：配布の都市大解答用
紙１枚
（１） ロピタルの定理を用いて次の極限を調べよ．
x − sin x
1
1 − cos x
sin x
= lim
= lim
=
3
2
x→0
x→0
x→0 6x
x
3x
6
(1) lim
sin x
cos x
1
= lim
= =1
x→0 sinh x
x→0 cosh x
1
(2) lim
(
(3) lim
x→0
(
(4) lim
x→0
1
1
−
sin x x
)
1
1
− x
x e −1
x − sin x
1 − cos x
= lim
x→0 x sin x
x→0 sin x + x cos x
sin x
= lim
= 0.
x→0 2 cos x − x sin x
= lim
)
ex − 1 − x
ex − 1
=
lim
x→0 x(ex − 1)
x→0 (ex − 1) + xex
ex
1
= lim x
=
x→0 2e + xex
2
= lim
ex − cos x
2xex + sin x
sin x
1
1
3
2
(5) lim
= lim
= lim ex + lim
= 1+ =
2
x→0
x→0
x→0
x→0
x
2x
2
x
2
2
2
2
− sin x + 2 sin 2x
− cos x + 4 cos 2x
3
cos x − cos 2x
= lim
= lim
=
2
x→0
x→0
x→0
x
2x
2
2
(6) lim
√
arcsin x
1/ 1 − x2
(7) lim
= lim
=1
x→0
x→0
x
1
ex + e−x
ex − e−x
ex + e−x
cosh x
=
lim
=
lim
=
lim
=∞
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
x2
2x2
4x
4
(8) lim
143
(9)
(10)
log(1 + 2x )
2x log 2
log 2
= lim
= lim −x
= log 2
x
x→∞
x→∞ 1 + 2
x→∞ 2
x
+1
lim
lim x log(sin x) =
x→0+
lim
log sin x
x→0+
1
x
=
cos x
lim sin x
x→0+ − 12
x
= − lim
x→0+
x
(x cos x)
sin x
x
lim (x cos x) = −1 × 0 = 0
x→0+ sin x x→0+
= − lim
微分積分学（１）レポート問題 (2014/6/17)
提出日時：6 月 24 日（火）講義終了時，
提出用紙：配布の都市大解答用紙１枚, この用紙以外で提出の場合は零点
とする．
１
無限回微分可能な関数 f (x) に対して，そのマクローリン級数
の第 n 部分和を
fn (x) =
n−1 (k)
∑
f (0)
k=0
k!
xk
(n ≥ 1)
とおく．f (x) が次の (a),(b),(c) それぞれの場合に，下記の問 (i),(ii),(iii),(iv)
に答えよ
(a) f (x) = e−x
(b) f (x) = xe−x
(b) f (x) = (1 + x) cos x
(i) f4 (x), f4′ (x), f4′′ (x) を求めよ．
(ii) f4 (−3), f4 (−2), f4 (−1), f4 (0), f4 (1), f4 (2), f4 (3) の値を求めよ．
(iii) f4 (x) の増減，凹凸を調べよ
(iv) −3 ≤ x ≤ 3 の範囲において y = f4 (x) のグラフの概形を描け．
微分積分学（１）レポート問題 (2012/6/25)
略解
１
無限回微分可能な関数 f (x) に対して，そのマクローリン級数
の第 n 部分和を
fn (x) =
n−1 (k)
∑
f (0)
k=0
とおく．
k!
xk
(n ≥ 1)
第5章
144
レポート問題とその略解
f (x) が次の (a),(b),(c) それぞれの場合に，下記の問 (i),(ii),(iii),(iv) に答えよ
(a) f (x) = e−x の場合．
(i)
f4 (x) = 1 − x +
x2 x3
x2
− , f4′ (x) = −1 + x − , f4′′ (x) = 1 − x
2
6
2
(ii)
f4 (−3) = 13, f4 (−2) =
19
8
, f4 (−1) = , f4 (0) = 1,
3
3
1
1
f4 (1) = , f4 (2) = − , f4 (3) = −2
3
3
(iii) 全ての x に対して，f4′ (x) < 0 であるから，f4 (x) は単調減少で
ある．x < 1 で f4′′ (x) < 0, x > 1 で f4′′ (x) < 0 である．x < 1 の区間で
f4 (x) は下に凸．x > 1 の区間で f4 (x) は上に凸である．
(iv) −2 ≤ x ≤ 2 の範囲において y = f4 (x) のグラフの概形を同じ xy
平面に描け．
(b) f (x) = xe−x の場合．
(i)
)
(
x3
3
x2
= x−x2 + , f4′ (x) = 1−2x+ x2 , f4′′ (x) = −2+3x
f4 (x) = x 1 − x +
2
2
2
(ii)
f4 (−3) =
51
5
, f4 (−2) = −10, f4 (−1) = − , f4 (0) = 0,
2
2
1
15
f4 (1) = , f4 (2) = 2, f4 (3) =
2
2
′
(iii) 全ての x に対して，f4 (x) > 0 であるから，f4 (x) は単調増加で
ある．x < 2/3 で f4′′ (x) < 0, x > 2/3 で f4′′ (x) > 0 である．x < 2/3 の
区間で f4 (x) は上に凸．x > 2/3 の区間で f4 (x) は下に凸である．
(c) f (x) = (1 + x) cos x の場合．
(
)
x2
1 4
x2
1 4
4
4
f (x) = cos x + x cos x = 1 −
+ x + o(x ) + x 1 −
+ x + o(x )
2
4!
2
4!
2
3
x
x
= 1+x−
−
+ o(x3 )
2
2
145
であるから，
f4 (x) = 1 + x −
x2 x3
−
2
2
3
3
f4′ (x) = 1 − x + x2 , f4′′ (x) = −1 + x
3
2
(ii)
f4 (−3) = 7, f4 (−2) = 1, f4 (−1) = 0, f4 (0) = 1,
f4 (1) = 1, f4 (2) = −3, f4 (3) = −14
√
√
(iii) f4′ (x) = 0 より，x = −1 + ± 3. x < −1 − 3 のとき，f4 (x) < 0
√
√
であるから，f4 (x) は減少，−1 − 3 < x < −1 + 3 で f4 (x) > 0 である
√
から，f4 (x) は増加，x > −1 + 3 のとき f4 (x) < 0 であるから， f4 (x)
は減少である． f4′′ (x) = 0 より，x = −1/3. x < −1/3 で f4′′ (x) > 0 であ
るから，y = f4 (x) のグラフは下に凸，x > −1/3 で f4′′ (x) < 0 であるか
ら，y = f4 (x) のグラフは上に凸である．
微分積分学（１）レポート問題 (2014/7/22)
提出日時：7 月 23 日（火）講義終了時，
提出用紙：配布の都市大解答用紙１枚, この用紙以外で提出の場合は零点
とする．
次の不定積分を求めよ．
∫
(1)
xe−2x dx
∫
(2)
x sin 2xdx
∫
x log(1 + x2 )dx
(3)
∫
1
dx
1 + ex
∫
1 − ex
(5)
dx
1 + ex
∫
4x2 − 9x − 4
(6)
dx
x(x − 1)(x + 2)
(4)
第5章
146
∫
(7)
∫
レポート問題とその略解
x4 − 4x3 + 5x2 − x − 4
dx
x(x − 2)2
x2 + x + 3
dx
x2 + x + 1
∫
1
√
(9)
dx
x x−1
∫
1
√
(10)
dx
x + x2 − 1
(8)
微分積分学（１）レポート問題 (2014/7/22)
略解
次の不定積分を求めよ．
∫
∫ −2x
e−2x
e
xe−2x e−2x
(2x + 1)e−2x
−2x
(1)
xe dx = x
−
dx = −
−
=−
−2
−2
2
4
4
(
) ∫ (
)
cos 2x
cos 2x
(2)
x sin 2xdx = x −
−
dx
−
2
2
∫
cos 2x
cos 2x
cos 2x sin 2x
= −x
+
dx = −x
+
2
2
2
4
∫
∫
1 d
2
(3)
x log(1 + x )dx = log(1 + x2 )
(1 + x2 )dx
2 dx
∫
1 + x2 = t とおくと
∫
∫
∫
1
2 d
2
log(1 + x ) (1 + x )dx = log tdt = t log t − t dt = t(log t − 1)
dx
t
ゆえに
∫
1
x log(1 + x2 )dx = (1 + x2 )(log(1 + x2 ) − 1)
2
(4) ex = t とおくと x = log t, dx
= 1t ,
dt
)
∫
∫
∫ (
1
1
1
1 1
dx =
dt =
−
dt
1 + ex
1+tt
t 1+t
= log t − log(1 + t) = x − log(1 + ex )
147
= 1t ,
(5) ex = t とおくと x = log t, dx
dt
)
∫
∫ (
∫
1 − ex
1
2
1−t1
dx =
dt =
−
dt
1 + ex
1+tt
t 1+t
= log t − 2 log(1 + t) = x − 2 log(1 + ex )
∫
(6)
∫
(7)
)
∫ (
4x2 − 9x − 4
2
3
5
dx =
−
+
dx
x(x − 1)(x + 2)
x x−1 x+2
= 2 log |x| − 3 log |x − 1| + 5 log |x + 2|
)
∫ (
1
1
2
x− −
+
dx
x (x − 2)2 x − 2
x2
1
=
− log |x| +
+ 2 log |x − 2|
2
x−2
x4 − 4x3 + 5x2 − x − 4
dx =
x(x − 2)2
∫
(8)
)
3
2x
−
dx
x + 1 x2 + x + 1
∫
x
dx
= 3 log |x + 1| − 2
x2 + x + 1
x2 + x + 3
dx =
(x + 1)(x2 + x + 1)
(
)2
ここで x2 + x + 1 = x + 12 +
3
4
∫ (
1
2
= t とおくと
∫
∫
∫
∫
t − 21
x
1
2t
1
1
(
) dt
dx
=
dt
=
dt
−
(
)2
3
3
x2 + x + 1
2
2
t2 + 4
t2 + 4
2
3
√ t
+1
4
3
(
)
∫
1
3
2
1
2
=
dt
log t +
−
( )2
2
4
3
2
√ t
+1
3
∫
1
2
1
=
dt
log(x2 + x + 1) −
( )2
2
3
√2 t
+1
3
√2 t
3
であるから，x +
= s とおくと
∫
1
dt =
( )2
√2 t
+
1
3
∫
√
√
3
3
1
ds =
arctan s
2
s +1 2
2
√
√
3
2
3
2x + 1
=
arctan √ t =
arctan √
2
2
3
3
第5章
148
レポート問題とその略解
以上により
∫ 4
x − 4x3 + 5x2 − x − 4
2x + 1
2
dx = 3 log |x+1|−log(x2 +x+1)+ √ arctan √
2
x(x − 2)
3
3
∫
(9)
1
√
dx
x x−1
√
x − 1 = t とおくと x = 1 + t2 ,dx = 2tdt である．ゆえに
∫
∫
∫
√
1
1
1
√
dx =
2tdt
=
2
dt
=
2
arctan
t
=
2
arctan(
x − 1)
(1 + t2 )t
1 + t2
x x−1
∫
1
√
dx
(10)
x + x2 − 1
√
x2 − 1 = t − x とおく．x2 − 1 = t2 − 2tx + x2 であるから，
x=
t2 + 1
t2 − 1
, dx =
2t
2t2
ゆえに
∫
)
∫ (
1 t2 − 1
1
1
1
dt =
−
dt
t 2t2
2
t t3
√
1
11
1
1
√
=
log |t| + 2 = log |x + x2 − 1| +
2
4t
2
4(x + x2 − 1)
1
√
dx =
x + x2 − 1
∫
∫
(3)
∫
2
x tan xdx (4)
1
√
dx
x x+1