ライフサイクル/恒常所得仮説と予備的貯蓄: 理論的合意と実証上の問題点

ESRI Discussion Paper Series No.2
ライフサイクル/恒常所得仮説と予備的貯蓄:
理論的合意と実証上の問題点
by
石原
秀彦∗
専修大学・内閣府経済社会総合研究所
March 2001
Economic and Social Research Institute
Cabinet Office
Tokyo, Japan
∗
専修大学経済学部講師、内閣府経済社会総合研究所客員研究員
e-mail:[email protected]
ESRI ディスカッション・ペーパー・シリーズは、内閣府経済社会総合研究所の研究者お
よび外部研究者によって行われた研究成果の一部をとりまとめたものです。学界、研究機
関等の関係する方々から幅広くコメントを頂き、今後の研究に役立てることを意図して発
行しております。
論文の内容・意見は、執筆者個人に属するもので、内閣府や経済社会総合研究所の公式
の見解を示すものではありません。
Abstract
How do people determine their levels of consumption? This question has attracted much attention; not
only is it important in its own right, but it is also related to economic trends and macroeconomic policies.
The life cycle/permanent income hypothesis has been regarded as the most important theory on
consumption decisions. In this paper, the recent development of the theoretical studies on the life
cycle/permanent income hypothesis is surveyed since the well-known article of Hall (1978). The survey
focuses on the study about precautionary savings. The structure of this paper is as follows.
In Section 1, the outline and background of the permanent income hypothesis by Friedman (1956)
are presented. Briefly explained is the difference between the studies before Hall (1978) and these after
his.
In Section 2, the proper definition of the permanent income hypothesis, introduced by Flavin (1981),
is presented. This definition is derived from the intertemporal budget constraint of an infinitely lived
household. Some discussions are shown over that the definition is the mathematical formulation of Hicks
(1946)’s definition of income, and that there are some difficulties to extend it to the case when future
wages and interest rates are not certain. If a household determines his current level of consumption
according to the permanent income hypothesis, consumption follows a random walk.
In Section 3, so-called “certainty equivalence model” is presented, where a rational household
decides his current consumption equal to his permanent income . Some arguments about this model are
shown over why the government debt become neutral, that the marginal propensity to consume is less
than unity in case of the temporal income hike, and why people have precautionary motives for savings.
In Section 4, two empirical findings—“excess sensitivity” and “excess smoothness”—are discussed,
both of which contradict the certainty equivalence model. In the framework of this model, since
consumption follows a random walk, the following two conclusion can be reached: (1) no information
available at period t except the current level of consumption, ct , helps predict the future consumption, ct+1 ;
1
and (2) the variance of consumption is equal to that of the permanent income. Flavin (1981) tested the
former conclusion and found the fact that current income, xt , is positively correlated with future
consumption. This phenomenon is referred to as “excess sensitivity of consumption.” On the other hand,
Deaton (1987) tested the latter conclusion and found another fact that the variance of consumption is
strictly less than that of the permanent income. This phenomenon is known as “excess smoothness of
consumption.”
In Section 5, some extensions of the certainty equivalence model are reviewed. These extensions are
intended in order to relax the specific assumptions of the certainty equivalence model and to solve the two
problems of excess sensitivity and excess smoothness. By introducing the extensions, such as (1)
preference shock, (2) durables, (3) habit formation, (4) liquidity constraint, and (5) income fluctuation
generated by multivariate process, significant changes are made in the stochastic process of consumption.
Some extensions can explain either excess sensitivity or excess smoothness, but none can explain both.
Section 6 focuses on precautionary savings. In Section 6.1, the intuition of precautionary motives for
saving is presented. A household has a precautionary motive of saving if the third derivative of his
instantaneous utility function, u′′′(c), is positive. In Section 6.2, the work of Kimball (1990) on
“prudence” is reviewed, which measures the strength of the precautionary saving motive. His theory of
precautionary savings is mathematically analogous to the Arrow-Pratt theory of risk aversion. Kimball
measures the absolute prudence by u′′′(c)/u′′(c), and shows that precautionary saving is larger as the value
of absolute prudence is larger.
Sections 6.3 and 6.4 review Caballero (1990), which studies the optimal consumption-saving
decision of an infinitely living household with constant absolute risk aversion (CARA) utility. In case of
homoscedastic labor income, the stochastic process of consumption follows a martingale with drift. On
the other hand, in case of the certainty equivalence model, the process of consumption follows a pure
martingale process (without drift). The drift term is a result of precautionary motive for saving. If labor
income is heteroscedastic, the current increase in uncertainty of the future labor income causes the
2
increase in future consumption. Thus, precautionary savings might explain either excess sensitivity or
excess smoothness, if there is the correlation between labor income itself and its uncertainty.
In Section 6.5, the “incomplete adjustment” of consumption is introduced to Caballero (1990)’s
model in order to approximate the behavior of households with non-separable preference such as durables
and habits. The “incomplete adjustment” means that the actual consumption differs from the optimal one.
Even if the consumption plan is adjusted incompletely, a positive correlation exists between the
uncertainty of income and the difference between current and future consumption.
Section 6.6 reviews the “buffer stock” theory of saving, propounded by Carroll (1992, 1997). For
simplicity, the constant relative risk aversion utility function is assumed. In this case, current consumption,
ct , becomes strict positive and concave function of the current non-human wealth, Wt. (it includes current
labor income). As Wt converges to zero, ct converges to zero. These properties of the consumption
function is interpreted as follows; a household regards its non-human wealth as a “buffer” for labor
income fluctuation and chooses consumption so as to keep his non-human wealth to an appropriate level.
A linear approximation of this “buffer stock” model explains both excess sensitivity and excess
smoothness at the same time, if the marginal propensity to consume toward the increase of human wealth
is very small.
Section 6.7 surveys some empirical studies of precautionary savings and shows that many of them
suffer serious misspecifications. In particular, Dynan (1993) derived her regression equation from a
second-order approximation of the Euler equation, but this regression equation neglects the possibility
that the variance of consumption is endogenous and correlated with non-human wealth. Such a
misspecification creates a serious bias in the estimation.
Keywords: life cycle/permanent income hypothesis, precautionary saving, excess sensitivity, excess
smoothness, buffer stock theory of saving.
3
１． ライフサイクル／恒常所得仮説の基本的な考え方
１．１．ケインズ型消費関数の問題点
消費がどのような要因によって決定されるのか，という問題は，消費が国民所得を構成
する総需要の大きな部分を占めることから，マクロ経済の動向や経済政策との関連におい
ても，大きな関心を集めている．消費と所得との関係である消費関数（消費性向）は，ケ
インズのいわゆる乗数理論において非常に重要な位置を占めることから，理論的・実証的
に多くの研究がなされてきた．ケインズ自身は「消費性向がかなり安定的な関数であり，」
「社会の実質所得が増加した場合，社会はその消費をそれと等しい絶対額だけは増加させ
．．
ず，」「通常，実質所得が増加するにつれて，所得のより大きな割合が貯蓄される」 1と述べ
ている．しかし消費に関する多くの実証研究は，必ずしも以上のケインズの主張を肯定す
るものではなかった．
確かに１時点における家計のクロスセクションデータでは，ケインズの主張する，限界
消費性向が１および平均消費性向より小さく，それゆえ貯蓄される所得の割合は所得とと
もに増加する傾向がみられた．ところが長期の時系列データでは，総消費は基本的に総所
得と比例的であり，計測される限界消費性向は，クロスセクションのそれと比べて明らか
に大きかった．その他さまざまな実証結果より，フリードマンは「これらの経験が，消費
ないし貯蓄をただ単に現在所得とだけ関係づける消費関数では不十分だということをドラ
マチックに強調したのである」2として，恒常所得仮説を提唱することとなった．
１．２．家計行動の動学的な側面
現時点の消費量を決定する際，人々は将来時点での消費との代替関係を考慮する．その
ため，ある時点における個人（家計）の消費は，将来の消費可能額に影響を与えるすべて
の要因に依存して決定されることになる．通常の用語法では，ある一定期間における所得
とは，その期に実現した，保有資産のキャピタルゲインを含むすべての収入から費用をの
ぞいたものを指すが，そのような定義に従った場合，今期の消費は今期の所得のみによっ
て決定されるのではなく，将来の所得の大きさにも依存することになる．すなわち，ある
時点の所得が同じ場合でも，その時点における将来所得の見通しが異なる場合には，その
時点の消費量も当然異なる．より正確に言うと，各期における消費財の相対価格を表す実
質利子率を与件としたとき，ある個人の今期以降の全期間における各消費量は，今期以降
の生涯にわたる所得全体の大きさに応じて，同時に決定されることとなる．よって，その
個人の生涯にわたる所得全体の大きさを表すような指標が存在すれば，ある特定期間，た
とえば今期の消費量がその指標の関数として表現できる可能性がある．
１．３．恒常所得仮説
フリードマンは，ある時点に保有する全ての非人的資産と，その個人の能力に基づく将
来所得の（適当な割引因子による）割引現在価値の和として表される人的資産との合計を，
その時点における個人の総資産 W と考え，その総資産 W を減少させることのない最大消費
額，すなわちその総資産の年価値(annual value) iW（ただし i は実質利子率）を「恒常所
得」y p と定義した（すなわち y p = iW） 3．そして，限界代替率の同次性4の仮定の下で，消
Keynes (1936), pp.96~97.（邦訳 96∼97 ページ）
Friedman (1956), p.4.（邦訳５ページ）
3 この「恒常所得」の定義は，Hicks (1946)における「所得第一号」の定義に対応する．ヒ
ックスが述べているように，この定義は，利子率の変動が予想されている場合には問題が
あるが，その議論は後の第２節で行う．
4 限界代替率とは，１つの財の消費の一部をもう１つの財の消費に置き換えたときに，その
消費者にとって望ましさが変化しないような２財の交換比率のことであり，図上では無差
別曲線の傾きで表される．限界代替率の同次性とは，すべての財の消費量が同じ倍率で増
1
2
5
費量 c が（他の条件を一定にすると）恒常所得の一定割合 ky p になることを示した．これが
いわゆるフリードマンの「恒常所得仮説」である．その議論の要旨は，以下の通りである．
現実に観察される所得 y が，理論上の恒常所得に対応する恒常成分 y p と変動成分 y t の和
になっており（y = y p + y t ），および y p と y t が互いに無相関である（Cov(y p, y t) = 0）こと
を仮定する．ここで，消費 c の所得 y への単回帰 c = α + βy を考えると，αおよびβの最小
二乗推定値 a および b は，それぞれ
Cov(c, y)
b=
，
(1)
Var(y)
a = c – by
(2)
と表される（ただし c および y はそれぞれ変数 c および y の平均値とする）．
この(1)(2)式に，恒常所得仮説 c = ky p および y = y p + y t を代入すると，a および b は，
Cov(c, y)
Cov(ky p, y p + y t)
kVar(y p)
b=
=
=
Var(y)
Var(y p + y t)
Var(y p) + Var(y t )
= kPy
a = c – by = ky p – b(y p + y t )
= k(1 – Py)y p+ kPyy t
となる．ここで Py は，所得 y の全分散 Var(y)のうち，恒常成分の分散 Var(y p)の占める割
合である．この計算結果から，
(1) Py が大きい，すなわち，所得の変動 Var(y)のうち，恒常所得の変動 Var(y p)の占める
割合が多いほど，（見かけ上の）限界消費性向 b が大きくなる，
c
ky p
(2) 所得 y に占める恒常所得 y p の割合が大きいほど，平均消費性向 = p
は大きく
y
y + yt
なる，
という次の二つの結論が得られる．この二つの理論的仮説は，フリードマン自身のものを
含む，それまでの多くの実証研究と整合的であった．
まず家計のクロスセクションデータに比べて，時系列データの方が推計された限界消費
性向が大きくなる傾向が存在するが，これは１時点における家計間の所得のばらつきの多
くが，年齢の相違や短期的な失業など，一時的な要因によっているのに対して，時系列デ
ータにおける所得変動のほとんどすべてが技術進歩などその影響が恒久的に持続するショ
ックを反映していると解釈できる．次に，農家の限界消費性向が非農家のそれに比べて小
さいことについては，農家の所得変動に占める変動成分の寄与が非農家のそれに比べて大
きいことで説明される．また同じ所得階層に属する白人家計と黒人家計を比較した場合，
白人家計の平均消費性向が黒人家計のそれよりも大きくなることは，（恒常所得水準の違
いを示す）両者の平均所得の違い（白人家計の方が多い）によって説明できる．
このように，ライフサイクル／恒常所得仮説はきわめて魅力的な仮説であるが，その初
期の実証研究では，ケインズ型の消費関数における現在所得を恒常所得に置き換えただけ
の，１時点での消費と恒常所得との相関関係を調べようとしたために，「今期の貯蓄が増え
る（＝今期の消費が減る）と，保有資産の増加を通じて，来期以降の資産所得が増える」
という所得の内生性の問題をうまく解決することができなかった．Hall (1978)は，消費に
関する意思決定の動学的な側面に注目し，ライフサイクル／恒常所得仮説を１時点での（恒
常）所得と消費との関係ではなく，「ライフサイクル／恒常所得仮説の下では，消費の時系
列はランダム・ウォークする」という，消費の時系列データ上の特徴としてとらえ直すこ
とで，全く新しい実証研究の方法を提示した．以下では，Hall (1978)の枠組みの中で発展
した，ライフサイクル／恒常所得仮説に関するその後の理論研究で示された重要な論点に
ついて，特に「予備的貯蓄」との関連で解説する．
減しても，それぞれの財の間の限界代替率が変化しないことを意味し，図上では，すべて
の無差別曲線について，原点を通る同一直線との交点における傾きが同じになる．
6
２． 恒常所得の定義
恒常所得仮説を数学モデルで分析する準備として，まず恒常所得の内容を適当な形で定
義しなければならない．恒常所得仮説において，所得の一時的な変動と恒久的な変動の違
いが強調されたことから，恒常所得に対して，「実現した所得から短期的な変動の影響を除
いたもの」あるいは「将来所得の時間を通じた平均値」といった誤った理解がなされてい
る場合もある．しかし，そのような定義では，財産所得の変動が保有資産の増減を通じて
内生的に生み出される影響を無視することになり問題が生じる．以下で示す恒常所得の「正
しい」定式化は，Flavin (1981)によって一般的に認知されることになった5．
２．１．完全予見の場合
動学的な最適化を行う家計の，時間を通じた予算制約式は次の
∞
s
1
wt + ∑s = 0Πj = 01 + r  x t+s ≥

t+j

∑s = 0Πj = 0 1 + rt+j ct+s
∞
1
s
(3)
で与えられる．ただし，各変数はそれぞれ
x t : (期末に支払われる)t 期の労働(可処分)所得
ct : t 期の消費
wt : t 期初(実質)資産
rt+j : t + j 期の実質利子率(割引率)
である．(3)の左辺は，家計が時点 t において保有する人的資産と非人的資産（＝物的資産
＋金融資産）の合計，すなわち総資産を表し，右辺は，今期以降の全消費支出の割引現在
価値を表している．将来の労働所得および消費支出の割引現在価値を求める際の割引因子
としては，実質利子率が用いられている．
フリードマンの元々の定義である「総資産を減少させない最大の消費額」に従えば，恒
常所得は(3)式の左辺に実質利子率をかけたものに等しくなる．しかし，各時点での実質利
子率が異なると，同一の生涯消費計画に対応する全消費支出の割引現在価値額も実質利子
率の違いによって変化するため，同額の総資産の下でも，ある時点ではその消費計画が予
算制約内であるのに対して，別の時点では予算をオーバーしてしまう可能性がある．先の
注３で述べたように，この問題は Hicks (1946)における「所得第一号」の問題点であり，
彼はこの問題を解決するために，「所得第二号」の定義を提案している．それによれば，恒
常所得とは「個人が今週に費消し得て，しかもなおこれに続く各週に同じ額を費消しうる
ことを期待できるような最高額」，すなわち，毎期一定額の消費を続けたとして，その消費
の系列が通時的予算制約式(3)を満たすような，消費の最大値となる．この定義において，
恒常所得は，将来消費を犠牲にすることなく現在消費可能な最大限度，「持続可能な最大消
費額」を表している6．
以上の定義に従えば，t 期の恒常所得 y t p は，t 期以降の労働所得 x t+s，利子率 rt+s および
t 期初の資産保有額 wt を用いて
∞
s
1
∞
s
1
wt + ∑s = 0Πj = 01 + r  x t+s = ∑ s = 0Πj = 0 1 + r  y t p

⇒

∞
s
1
wt + ∑s = 0Πj = 01 + r x t+s

t+j 
ytp ≡
∞
s
1
∑s = 0Πj = 01 + rt+j 

t+j

t+j
(4)
Flavin (1981)では，Sargent (1979)における恒常所得の定義が，保有資産を考慮しない点
で問題のあることを指摘している．
6 「国民所得」あるいは「国民純生産」の概念は，所得に関する以上の議論を一国経済に拡
張する形で定義されている．また，開発経済学や環境経済学で議論される「持続可能な発
展」の問題も，所得をめぐる以上の議論がその基本となっている．
5
7
と表される．利子率が時間を通じて一定（rt = r for all t ）の場合，(4)は
∞
1 s+1
y t p = r wt + ∑s = 01 + r  x t+s 



(4′)

と書き換えられる．ここで(4′)の右辺かっこ内は，この家計が t 期に保有する総資産である
ことから，(4′)がフリードマンの元々の恒常所得の定義と同じものであり，よって(4)式がフ
リードマンの定義の自然な拡張になっていることがわかる．
(3)に「消費＝恒常所得」ct = yt p および資産蓄積の遷移式
wt+1 = (1 + rt )wt + x t – ct
(5)
を代入すると，
y t+1p = y t p
という関係が得られる．恒常所得に等しいだけの消費を行うと，来期の恒常所得が今期の
それと等しくなることは，恒常所得 yt p が動学的な経済における「所得」として正しく定義
されていることを表している7．
２．２．不確実性が存在する場合
労働所得 x t+s や利子率 rt+s に不確実性がある場合，完全予見の場合の(4)式に対応するもの
は，次の
∞
s
1
wt + ∑s = 0Et Πj = 0 1 + r  x t+s =

⇒
ytp ≡


t+j

∞
s
1
∑s = 0Et Πj = 01 + rt+j  ytp
s  1 

j = 0 1 + rt+j  x t+s
Π

∞
s
1
∑s = 0Et Πj = 01 + rt+j  
∞
s = 0Et
wt + ∑
(6)
である．資産の収益率が時間を通じて一定（rt = r for all t ）な場合，(6)は
y t p = rwt + r ∑s = 0 1 + r 
∞

1
s+1

Et [x t+s]
(6′)
ct = y t p とおいた場合，資産蓄積の遷移式(5)より，yt p は wt+1 を用いて，
となる．
ytp =
∞
s
1
wt+1 + ∑ s = 0Et  Πj = 01 + r
x t+s+1 


t+j+ 1 

∞
s
1
∑s = 0Et Πj = 01 + rt+j+ 1
と書き換えられる．他方 Et yt+1p は，
Et y t+1p = Et
w


t+1



 t+j+ 1 x t+s+1 

∞
s
1
∑s = 0Et+1  Πj = 01 + rt+j+ 1 

∞
s
1
+ ∑ s = 0Et+1  Πj = 01 + r
となる．rt+s（s = 1, 2, …）がすべての s について t 期の時点で既知の場合には，
1
1
Et 1 + r  = 1 + r
for all s = 1, 2, …

t+s 
t+s
となることから，
Et y t+1p = y t p
(7)
が成り立つ．つまり，利子率 rt が時間を通じて一定である場合の恒常所得 y t p は，
「期待値の意味で持続可能な最大消費額」
という意味を持つことになる．
また ct = y t p の仮定と(7)より，観察される所得および消費の時系列データに関して，
y t+1p = y t p + εt
ct+1 = ct + εt
ct = y t p とおくことは，恒常所得に対する消費の比率を１と特定化した恒常所得仮説を仮
定することと同義である．
7
8
が成り立つ．これは恒常所得と消費が共にランダム・ウォークすることを示している8．
rt+1 に t 期の時点で不確実性が存在する場合には，
1
1
Et 1 + r  ≠

t+1 
1 + Et [rt+1]
より，一般に Et y t+1p = y t p は成立しない．よって，物的資産の収益率に不確実性がある場合
の恒常所得の概念は，不確実性がない場合の単純な延長として考えることはできない．
３． 恒常所得仮説の標準的定式化
３．１．家計の効用最大化と恒常所得
家計の生涯効用関数 Vt を，時間加法性を仮定して
Vt = u(ct) + δu(ct+1) + δ 2u(ct+2) + …, u′ > 0, u′′ < 0
とおくと，家計の期待効用最大化問題は
maxEt [Vt ]
∞
s
1
s.t. wt + ∑ s = 0Πj = 0 1 + r  x t+s ≥



t+j

∑s = 0Πj = 0 1 + rt+j ct+s
∞
s
1
と定式化される．簡単化のために，資産の収益率 rt+s が時間を通じて一定（rt+s = r for
all s ）であると仮定すれば，予算制約式の両辺の期待値をとって(6′)を代入すると，
∞
1 s+1
yp
∑s = 0 1 + r Et[ct+s] ≤ rt
(8)
という関係が得られる．よって，将来消費の確率分布の違いを無視するならば，最大化問
題の予算制約式は(8)に置き換えることができる．
予算制約式が(8)である場合には，今期の消費−貯蓄行動（＝ct の決定）は，たとえ今期
の労働所得 x t が変化したとしても，恒常所得 yt p が変化しない限り影響を受けないことがわ
かる．同様に，将来の労働所得 x t+s の予期された変化，すなわち Et x t+s の変化も恒常所得
y t p の変化を通じてのみ今期の消費 ct に影響を与えることがわかる．つまり，将来の不確実
性の程度が変化しない限り，恒常所得を同じ大きさだけ変化させる２つの異なる時点の所
得の変化は，今期の消費に対して全く同じ影響を持つのである 9．これは，静学的最大化に
おいて，労働所得や資産所得といった所得の発生源に関する違いが消費計画に何の影響も
及ぼさないことと同じである10．
予算制約式(8)に関する以上の議論より，
「今期の公債発行は，公債償還に必要な増税が必ず課せられることで，将来時点における，
今期の所得増加額と割引現在価値で同額の可処分所得の減少を伴うため，恒常所得の大き
さおよび将来所得の不確実性を変化させないことから，公債発行でまかなわれた今期の所
得増加は，今期の消費量を変化させない（全額貯蓄に回される）」
という，リカードの中立命題が導かれる11．人々は，将来の税負担に備えて今期の所得増加
分のすべてを貯蓄 st ≡ yt – ct の増加に充てることで，将来所得の減少による将来の消費機会
の縮小を防ぐのである．このことは同時に，現在の貯蓄 st が資産蓄積（wt+1 の増加）を通
じて将来の恒常所得 y t+1p を変化させ，将来の消費 ct+1 に影響を及ぼすことを表している．
つまり，人々は今期の貯蓄額を変化させることで，将来の恒常所得水準を調整しているの
ここまでの議論では，「恒常所得仮説の下で消費がランダム・ウォークする」ことを示し
ただけであることに注意されたい．いくつかの仮定の下で，動学的な効用最大化を行う消
費者の現在消費水準が恒常所得水準に一致することは，次節の議論で示される．
9 現在所得 x t と将来所得 x t+s とでは，恒常所得 y t p の期待値にとっては同じ影響をおよぼす
変化であっても，その不確実性の程度には異なる影響をおよぼす可能性があるため，消費
に対する影響は異なる可能性がある．
10 利子率 rt+s は各期の消費財の
「価格」であるから，恒常所得 y t p とは独立に影響を及ぼす．
11 この命題は，個人レベルで将来の税負担にばらつきや不確実性がある場合には成り立た
ない．
8
9
である．この恒常所得の内生性は，消費関数の推計にとって非常に大きな問題となる．
上記の最大化問題の１階の条件として，異時点間の消費の代替に関するオイラー方程式
u′(ct ) = δ Et[(1 + rt+1)u′(ct+1)]
(9)
が導かれる．この(9)の左辺は，今期（t 期）の所得１単位を今期の消費に充てた場合の限界
効用，すなわち今期の「消費の価値」を表し，右辺は，所得を貯蓄して来期（t + 1 期）の
消費に充てた場合の期待限界効用（の割引現在価値），すなわち今期の「貯蓄の価値」を表
す．つまりオイラー方程式とは，消費から得られる限界効用と貯蓄から得られる限界効用
が等しいという条件である．瞬時効用関数 u(⋅)について，消費の限界効用が消費量の厳密な
減少関数である場合（u′′ < 0），今期の所得 x t が増加したことで今期の消費 ct が増加するな
らば，オイラー方程式(9)が成り立つよう来期の消費 ct+1（およびそれ以降の期の消費 ct+s）
も同様に増加する必要がある．これが「消費の平滑化」であり，この性質のために，一時
的な所得増加に対する限界消費性向は必ず１を下回ることになる．今期の一時的な所得増
加によって今期の消費 ct が増加するためには，来期以降の各時点における消費 ct+s も増加し
なければならないが，来期以降の労働所得は増加していないため，今期の所得増加の一部
を貯蓄して，将来の消費増加に充てなければならないのである．恒常的な所得増加の場合
には，将来消費の増加に必ずしも今期の貯蓄を充てる必要がないので，限界消費性向は１
以上になる場合もある．
資産の収益率 rt+s が時間を通じて一定（rt+s = r for all s ）のケースでは，(9)は
Et [u′(ct+1)] = β u′(ct)
(9′)
と書き換えられる（ただしβ ≡ 1/δ(1 + r )である）．これは，来期の消費の限界効用 Et[u′(ct+1)]
を予測するのに有用なすべての情報が，今期の消費の限界効用 u′(ct )，ひいては今期の消費
の実現値 ct に集約されることを示している．(9′)より，来期の限界効用の実現値 u′(ct+1)は，
ζt+1 をホワイトノイズとして
u′(ct+1) = β u′(ct ) + ζt+1
(10)
という確率過程に従う．つまり消費の限界効用 u′はランダム・ウォークすることになる．
さらに r = 1/δ – 1 および限界効用 u′が消費 ct の線形関数
u′(ct+1) = a – bct
となることを仮定すれば，(10)は，
ct+1 = ct + ζt+1
(10′)
と書き換えられ，消費 ct そのものがランダム・ウォークすることになる．これが Hall (1978)
の見出した有名な結論である．
限界効用 u′が消費 ct に関して非線形である場合，消費 ct の振る舞いは(10′)から微妙に乖
離することになる12．特に限界効用 u′の逆関数を v とし，(10)より来期（t + 1 期）の消費
を今期（t 期）の消費の関数として
ct+1 = v (u′(ct ) + εt+1)
(10′′)
と解くと，v が厳密な凸関数の場合，来期の消費の期待値 Et [ct+1]は
Et [ct+1] = Et [v (u′(ct ) + εt+1)] > v (u′(ct )) = ct
となり，今期の消費の実現値 ct を上回る．これは，来期の消費 ct+1 に不確実性が付け加わ
ると，今期から来期にかけての消費の増分 ct+1 – ct が期待値の意味で増加しなければならな
いことを意味する．所得に変化がない場合，今期の消費 ct をそのままに来期の消費 ct+1 だ
けを増加させることはできないから，結果として今期の消費 ct が減少する，すなわち貯蓄
が増加することになる．これがいわゆる「予備的貯蓄」の効果である．しかしながら，(10′′)
の時系列としての振る舞いは，将来値 ct+1 の予測に有用なすべての情報を直前の実現値 ct
が持つため，他の情報は何ら追加的な説明力を持たないという性質が同一であることから，
(10′)式から大きく変化することはないと考えられてきた．
12
以下の議論では r = 1/δ – 1 を仮定する．
10
３．２．確実性等価(certainty equivalence)モデル（Hall (1978)，Flavin (1981)）
瞬時効用関数 u(⋅)が ct の２次関数
bct
u(ct ) = cta –

2
で与えられ，資産の収益率 r が時間を通じて常に一定で r = 1/δ – 1 である場合には，(9′)式
より
Et [ct+1] = ct
(9′′)
が成り立つ．この(9′′)式および恒常所得の定義式(6′)，非人的資産 wt の遷移式(5)を予算制約
式(3)に代入すると，以下の２式
ct = y t p,
(11)
p
p
ct+1 – ct = y t+1 – y t = ξt+1
(10′′′)
が得られる．ただしξt+1 は恒常所得の変化のうち，労働所得の期待割引和で表される人的資
産価値に関する予測の修正で生じた部分を表し，
s
∞
1
ξt+1 ≡ r ∑s = 1 1 + r  (Et+1 – Et )x t+s


(12)
と定義される．上の(10′′′)式は，消費の系列が係数１の AR(1)過程に従う，すなわちランダ
ム・ウォークすることを示している．
以上の結果，特に(9′′)および(11)式は労働所得 x t に不確実性が存在しない場合にも成立す
る．つまり，瞬時効用関数 u(⋅)が消費の２次関数の場合には，個人の消費は恒常所得の大き
さのみに依存し，不確実性の程度には全く影響されない．すなわち，このモデルに従う個
人は，恒常所得が同じ限り，将来所得が確実であっても不確実であっても，現在の消費が
全く同じになる．不確実性下の行動が確実な場合と全く同じになることから，このモデル
は確実性等価モデルと呼ばれる．
(10′′′)式の検定にはいくつかの方法が考えられる．Hall (1978)では，合理的期待による誤
差ξt+1 は，t 期までのすべての変数と相関を持たないことから，zit を t 期までの任意の変数
として，以下のモデル
ct+1 – ct = β0 + β1z1t + β2z2t + … + βkzkt + ξt+1
(13)
を最小二乗法によって推定し，β0 = β1 = β2 = … = βk = 0 が成立するか否かを検定する方法
が用いられた．
４．確実性等価モデルに対する実証上の問題点
４．１．過剰感応(excess sensitivity)
確実性等価モデルに対して，Flavin (1981)では以下の構造型に基づいた検定が行われた13．
まず，労働（可処分）所得 x t が AR(p)モデルに従うと考え，(10′′′)式と合わせて，労働所得
と消費の構造型が
x t+1 = µ1 + ρ1x t + ρ2x t–1 + … + ρpx t–p+1 +ε1t +1
(14)
ct+1 – ct = µ2 + rΘ(x t+1 – µ1 – ρ1x t – ρ2xt–1 – … – ρpx t–p+1)
+ β0∆x t + β1∆x t–1 + β2∆xt–2 + … + βp–1∆x t–p+1 +ε2t +1
(15)
で与えられるとする．このとき，消費関数(15)の右辺第２項の括弧内は，(14)式の攪乱項ε1t+1
と等しい．確実性等価モデル（(10′′′)式）が正しければ，β0 = β1 = β2 = … = βp–1 = 0 が成立
するが，そうでない（βk ≠ 0）場合，βk は所得の予期せざる変動の影響 rΘε1t +1 を超えた，
所得の予期された変動 Et [∆xt ]( ≡ Et [x t+1 – xt ])が消費の変動∆ct (≡ ct+1 – ct )に及ぼす影響を示
しており，所得に対する消費の「過剰感応」を表している．Flavin (1981)の実証研究では，
βk の推定値はβ0 = β1 = β2 = … = βp– 1 = 0 の仮説が棄却できるほど有意に正であり，所得に
対する消費の過剰感応の存在が示された．
後の理論モデルとの関係を明らかにするために，問題を所得のイノヴェーションとの関
係で考えると，消費の過剰感応とは今期の消費と過去の所得のイノヴェーションとの間に
13
以下の叙述は山本(1988)による．
11
負の相関があることと解釈できる．この性質は，労働所得の時系列を特定化すると，次の
ように説明することができる．
∞
まず労働所得{x t +s}s = 0 が定常な ARMA 過程
x t+1 = ρ1x t + ρ2x t–1 + . . . + ρpxt–p+1 + εt+1 +φ1 εt + φ2εt–1 + . . . + φqεt–q+1
(16)
に従うとする．このとき，確実性等価モデルにおける恒常所得および消費のイノヴェーシ
ョンξt+1 は t+1 期に起こった労働所得 x t +1 のイノヴェーションεt+1 の定数倍
ξt+1 = r ∑ s = 0 1 + r 
∞

1
s+1

ψsεt+1 = rΦεt+1
になる14．ただしΦは，(16)式で表される ARMA 過程を MA(∞)過程
x t+1 = εt+1 +ψ1εt + ψ2εt–1 + ψ3εt–2 + . . .
で表現したときの係数ψs ≡ φs + ∑sj=1 ρjψs–j の割引和
Φ = ∑ s = 0 1 + r 
∞

1
s+1

ψs
(17)
(16′)
(18)
である．
t 期および t – 1 期に関する(16′)式，および t 期以前のすべての期に関する(17)式を用いる
と，労働所得の変化∆x t は，恒常所得の過去のイノヴェーションξt–s を用いて
∆x t = εt+1 + (ψ1 – 1)εt + (ψ2 – ψ1)εt–1 + (ψ3 – ψ2)εt–2 + (ψ4 – ψ3)εt–3 + . . .
= ξt+1/rΦ – τ1ξt – τ2ξt–1 – τ3ξt–2 – τ4ξt–3 + . . .
(19)
とあらわすことができる．ただしτi（i = 0, 1, 2, ...）は，
τi = (ψi – ψi+1)/rΦ （ψ0 = 1）
と定義されるパラメーターである．特に，労働所得 x t が定常的な１階の自己回帰（AR(1)）
過程
x t = µ + λx t–1 + εt ( |λ|<1)
に従うとき，その MA 表現の攪乱項の係数ψi はψi = λi となることから，λ > 0 ならば
τi = λi – 1(1 – λ)/rΦ > 0
となる．この場合，労働所得の予期された変化 Et ∆x t は，恒常所得の過去のイノヴェーショ
ンξt–s と負の相関を持つ（共分散は – τsVar(ξt–s)）．
消費の過剰感応が発生する典型的な例は，(15)式におけるβ0 が厳密に正である，すなわち
消費 ct が同じ期の所得の予期された変動の増加関数である場合である．このとき，(19)式の
関係を用いると，過剰感応とは，
∆ct = rΦεt+1 + β0∆x t
= (1 – β0/rΦ)ξt+1 – β0τ1ξt – β0τ2ξt–1 – β0τ3ξt–2 – β0τ4ξt–3 + . . .
すなわち今期の消費と恒常所得（すなわち労働所得）の過去のイノヴェーションとの間に
負の相関が存在することを意味する．
４．２．過剰平滑(excess smoothness)
確実性等価モデルの下では，(10′′′)式より，消費の変化∆ct は恒常所得 y t p の（予期されな
い）変化ξt+1 に等しくなることから，分散で測った両者の変動の大きさも
var(∆ct) = var(ξt+1)
と等しくなる．労働所得 x t がランダム・ウォークする場合（x t+1 = x t + εt+1），(16′)式におい
てψs = 1 がすべての s ∈ {0, 1, 2, ... }について成り立つことから，(17)式の右辺の係数ΦはΦ
= 1/r となり，恒常所得のイノヴェーションξt+1 と労働所得のイノヴェーションεt +1 は一致す
ることになる．つまり，労働所得 x t がランダム・ウォークする確実性等価モデルの下では，
Var(∆ct ) = Var(ξt+1) = Var(εt+1)
すなわち消費の分散 Var(∆ct )と労働所得のイノヴェーションの分散 Var(εt+1)が等しくなる．
一般に労働所得が単位根を持つ場合，Var(ξt+1) = Var(εt+1)が成り立つため，確実性等価モ
デルにおいては Var(∆ct ) = Var(εt+1)が満たされる．また単位根を持たない場合でも，労働所
14
証明は補論を参照のこと．
12
得に対するショックの持続性が大きくなるにつれて，rΦの値は１に近づいていくことから，
確実性等価モデルでは，消費の分散 Var(∆ct )の大きさは，労働所得に対するショックの持続
性が高まるにつれて，労働所得のイノヴェーションの分散 Var(εt+1)の大きさに近づくこと
になる．
∞
ところが Deaton (1987)の推計では，労働所得{x t+s}s = 0 が単位根を持つにもかかわらず
「var(∆ct) < var( εt+1)」という関係が見いだされ15，その結果確実性等価モデルが統計的に
否定されることとなった．これを過剰平滑または「ディートンの逆説」(Deaton’s Paradox)
と呼ぶ．消費の変動が所得の変動よりも小さいことは，昔からよく知られた事実であった
が，かつては，恒常所得の変動が短期的な所得の変動よりも小さいと考えられていたこと
から，消費の変動が小さいことは恒常所得仮説が成り立っている証拠だとされてきた．と
ころが上でみたように，所得に対するショックが充分に持続的である場合には，恒常所得
の変動は所得の変動に十分近づくことから，過剰平滑の問題が改めてクローズアップされ
ることになった．
消費が純粋な確実性等価モデルに従わない場合には，消費の変化∆ct とそのうちの予期さ
れない部分（イノヴェーション）ζt+1，および恒常所得の変化∆y t p とそのうちの予期されな
い部分ξt+1 はそれぞれ異なる可能性がある．そのため「過剰平滑」を定義する場合，消費の
変動と恒常所得の変動の指標として，どの変数を用いるのかという選択の問題が生じる．
Flavin (1993)では，消費と恒常所得それぞれの予期されない変化同士を比較して
Var(ζt+1) < Var(ξt+1)
(20)
のとき，消費が「過剰平滑」であると定義している．
５．理論モデルの拡張
Hall(1978)が提唱した確実性等価モデルは，①効用関数が各時点の消費に関して加法的で
ある，②瞬時効用関数が２次関数である，③労働所得に対する不確実性のみが考慮されて
いるなど，特定の仮定に依存したものであった．そのような確実性等価モデルに対して，
実証研究より過剰感応と過剰平滑という２つの問題が指摘されたこともあり，より一般的
な仮定の下で，モデルがどのように変化するのか，様々な拡張が試みられてきた．本節で
は，そのような試みのうち，
５．１．選好ショックが存在する場合（新たな不確実性の導入１）
５．２．持続的な消費（耐久財消費：効用関数の非加法性１）
５．３．消費の習慣性（効用関数の非加法性２）
５．４．流動性制約の存在
５．５．労働所得における複数の異なる変動要因（新たな不確実性の導入２）
の５つを取り上げる16．先に全体の結論を述べると，以上の５つの拡張は，消費の時系列の
性質に，無視できない変化をもたらし，過剰感応と過剰平滑のうちのいずれか１つを説明
できる場合があるが，両者を同時に説明することはできない．
５．１．選好ショックが存在する場合（Hayashi(1985)）17
確実性等価モデルでは，労働所得に対するショックだけが消費の変動を引き起こす原因
であった．そこで，家計の選好に対して，労働所得へのショックとは独立の選好ショック
が加わる場合にモデルを拡張する．瞬時効用関数 u(ct)を u(ct ) = act – (ct – ηt )2/2 とし，ηt
を家計の選好に対する（平均ゼロの）確率的ショックとする．消費の限界効用 u′(ct )が u′(ct)
具体的には，1972 年の物価を基準とした 1954 年第１四半期から 1984 年第４四半期ま
での期間で，所得のイノヴェーションの標準偏差が$25.27 だったのに対して，消費の標準
偏差は$12.08 と，所得のイノヴェーションの約半分であった．
16 本節の議論では，特に言及しない限り r = 1/δ – 1 を仮定する．
17 一部の計算は筆者による．
15
13
= a – ct + ηt と求められることから，ηt は消費の限界効用に対する正のショックを意味する
ことがわかる．
このとき，消費に関するオイラー方程式
Et [a – ct+1 + ηt+1] = a – ct + ηt
より，来期（t + 1 期）の消費の期待値 Et [ct+1]は
Et [ct+1] = ct – ηt
(9′′′)
となる．この(9′′′)式および恒常所得の定義式(6′)，非人的資産 wt の遷移式(5)を予算制約式(3)
に代入すると，
1
ct p = y t p +
η
1+r t
となることから，恒常所得 y t p および消費 ct の時系列は，
r
y t+1p – y t p = ξt+1 –
η
(21)
1+r t
1
ct+1 – ct = ξt+1 +
η – ηt
(22)
1 + r t+1
となる18．(21)および(22)式の右辺には過去の選好ショックηt が含まれ，誤差項が系列相関
を持つことから，恒常所得 y t p と消費 ct はともに純粋なランダム・ウォークには従わない．
選好ショックηt が，労働所得の現在および過去のすべてのイノヴェーションεt–s（s = 0, 1,
2, ...）と無相関であれば，ηt およびηt+1 は労働所得の予期された変化 Et ∆x t と無相関となる
ため，消費の階差∆ct も Et ∆x t と無相関になる．よって，選好ショックが存在する場合でも，
過剰感応は生じない．また，消費のイノヴェーションζt +1 は，他の変数より過去の選好ショ
ックηt が推定できる場合には
1
ζt+1 = ξt+1 +
η
(23)
1 + r t+1
となり，
1
Var(ζt+1) = Var(ξt+1) +
Var(ηt+1) > Var(ξt+1)
1+r
となることから，消費の変動は恒常所得の変動よりも大きくなる19．以上より，単純な選好
ショックの導入では，過剰感応や過剰平滑を説明できないことが明らかとなった．
５．２．持続的な消費（耐久財消費）（Mankiw (1982)，Hayashi(1985)）
自動車や家電製品などの耐久財は，購入した時点だけでなく，将来の一定期間にわたっ
て所有者に便益を与えて続ける．この場合，今期の消費支出は今期の消費だけでなく，将
来の消費にも影響をおよぼす，すなわち持続性を持つことになる．このような消費の持続
性が存在する場合，恒常所得の過去のイノヴェーションが今期の消費支出水準と相関を持
つことになる．
今期の消費 c t と今期および過去の支出 ct–k との関係が
∞
c t = ∑k = 0ρkct–k = ρ(L )ct
と表され，消費に関する瞬時効用関数 u(ct )は，確実性等価モデルと同じ２次関数であると
する．このとき，支出 ct および恒常所得 yt p の時系列はそれぞれ
ξt+1 は前述の将来労働所得（の割引現在価値）の改定分である．
ηt が推定できない場合にも，
Var(ηt+1)
Var(∆ct ) = Var(ξt+1) +
+ Var(ηt )
1+r
r Var(ηt )
> Var(ξt+1) +
= Var(∆y t p)
1+r
となって消費の変動は恒常所得の変動よりも大きくなる．
18
19
14
ρr
ξ
1+r–ρ t
1+r
ρ(1 + r)
ct+1 – ct =
ξ
–
ξ
1 + r – ρ t +1 1 + r – ρ t
y t+1p – y t p = ξt+1 –
(24)
(25)
1+r
ξ
1 + r – ρ t +1
となり，その１階の階差∆ct ，∆yt p は共に自己相関を持つことになる20．また，(25)式の右辺
には１期前の恒常所得のイノヴェーションξt が含まれ，ρが正，すなわちその財が耐久財で
ある場合にはその係数が負となるが，前節で議論したように，労働所得の予期された変化
Et ∆xt は，恒常所得の過去のイノヴェーションξt–s と負の相関を持つことから，自己相関の
存在を考慮せずに推計した場合，消費の増分∆ct と労働所得の予期された変化 Et ∆xt との間
に正の相関が観察されることになる21．
消費のイノヴェーションζt+1 は，消費の変動に対する過去の恒常所得のイノヴェーション
ξt の影響を「予測可能な変動」として除去した場合
1+r
ζt+1 =
ξ
(26)
1 + r – ρ t+1
1+r
となる．(26)式の右辺の係数1 + r – ρは，ρが正の場合１より大きくなるため，
=
∞
∑ k = 1(–ρ)k(ct–k+1 – ct–k) +
1+r
Var(ξt+1) > Var(ξt+1)
1+r–ρ
となって，消費の変動は恒常所得の変動よりも大きくなる22．
以上より，消費に持続性がある場合には，∆ct の自己相関を考慮しない誤った推計の下で，
過剰感応が導かれる可能性がある．他方，過剰平滑については，消費の持続性はむしろ消
費の変動を大きくする方向に働くため説明できない．
Var(ζt+1) =
５．３．消費の習慣性（Habit formation）
消費に持続性がある場合と同様に，過去の消費水準が今期の消費から得られる効用に影
響を及ぼす場合にも，恒常所得の過去のイノヴェーションが今期の消費に影響を及ぼすこ
とになる．過去の消費水準が，今期の消費からの効用に影響を及ぼすことは，一般に「消
費の習慣性」と呼ばれている．習慣性のある消費財の最も典型的なものは，たばこや麻薬
などの依存性のある嗜好品・薬物である．たとえばたばこの場合，今までたばこを１本も
吸ったことのない人物が，新たにたばこを１本吸うことから得られる限界効用はきわめて
小さく，咳込んだり気分が悪くなるなどして，不効用をもたらすことすらある．ところが，
１日に２箱以上も吸うようなヘビースモーカーにとって，その日最初の１本から得られる
限界効用はきわめて大きいため，禁煙のメリットがどれほど大きいとしても，吸わずにい
ることはきわめて難しい．つまり，たばこ１本の限界効用は，過去の喫煙量に応じて変化
するのである．このような依存性のある薬物に限らず，携帯電話や電子メールなど，使わ
ずにいる間はそれほど必要とも思えないのに，一度使い始めると二度と手放せなくなる
財・サービスは数多い．また，全般的な生活水準についても，「一度贅沢をすると，貧乏に
耐えられない」といったことがいわれている．以下では，このような消費の習慣性の最も
単純なケースとして，今期（t 期）の消費から得られる効用が，１期前（t – 1 期）の消費水
導出は補論を参照のこと．
逆にρが負である場合には，∆ct と Et∆x t との間には負の相関が観察されることになる．
ただ「ρが負である」とは，前期の支出額の増加が，今期の実際の消費水準をかえって押し
下げてしまう状況を意味するため，そのような財の具体例は想像しにくい．「支出と消費の
乖離」という想定を離れると，「消費に習慣性があり，前期の購入額が多いと，その分今期
の購入額を増加させるように選好が変化する」場合と解釈できる．
22 ξt の影響を除去しない場合にも，同様の計算により Var(∆ct ) > Var(∆y t p)が示される．
20
21
15
準に依存する家計を考える．
瞬時効用関数 u(ct ; ct–1)が
u(ct ; ct–1) = ct – a(ct – µct–1)2, 0 < a < 1, 0 < µ ≤ 1
で与えられるとする．消費の限界効用 u′(ct )が u′(ct ) = 1 – 2act + 2µact–1 と求められること
から，過去の消費量 ct–1 が増加すると，今期の消費の限界効用が増加することがわかる．こ
のとき，消費 ct および恒常所得 yt p の時系列は
µ
y t+1p – y t p = µ(y t p – y t–1p) + ξt+1 –
ξ
(27)
1+r t
1+r–µ
ct+1 – ct = µ(ct – ct–1) +
ξ
1 + r t+1
1+r–µ ∞
=
∑s = 0 µξt–s+1
(28)
1+r
となり，その１階の階差∆ct ，∆yt p は共に正の自己相関を持つことになる23．また，(28)式の
右辺に過去の恒常所得のイノヴェーションξt–s（s = 0, 1, 2, ...）が含まれ，その係数は正と
なることから，自己相関の存在を考慮せずに推計をおこなった場合，消費の変化∆ct と労働
所得の予期された変化 Et [∆x t]との間には負の相関が観察されると考えられる．
消費のイノヴェーションζt+1 は，１階の自己相関を考慮した場合
1+r–µ
ζt+1 =
ξ
(29)
1 + r t+1
1+r–µ
となる．(29)式の右辺の係数 1 + r は，µ > 1 より明らかに１より小さくなる．よって，恒
常所得のイノヴェーションξt+1 が消費の変化∆ct に与える影響は，確実性等価モデルの場合
よりも小さくなる．
以上より，消費の習慣性は過剰平滑を説明する可能性がある．他方，過剰感応について
は，予想される結論はデータが示す方向と逆である．
５．４．流動性制約の存在（Hayashi(1985)ほか）
確実性等価モデルでは，資金の貸借市場が完全であり，家計は，長期的な予算制約を守
る限り，同じ安全利子率でいくらでも自由に貸し出し，借り入れができると仮定されてい
る．現実には，将来の労働所得を返済原資とする借り入れは，貸し倒れのリスクを調整し
たあとでも，銀行預金などの貸出よりも高い利子率を要求されるのが普通であり，また一
定の借り入れ限度が存在する場合がほとんどである．このような「流動性制約」の存在は，
明らかに家計の消費＝貯蓄行動に影響をおよぼすはずである．
しかし，「借り入れと預け入れの金利が，家計の資産ポジションによって変化する」とい
うもっとも自然な流動性制約は，分析するのが非常に困難である．よって多くの分析では，
流動性制約として今期の可処分所得 x t に対する限界消費性向が１であるという制約，すな
わち，
ct = x t
あるいはその変形として
ct+1 – ct = x t+1 – x t
(30)
を課すことが多い24．
(30)式は
∆ct = Et ∆xt + εt+1
と変形できることから，流動性制約の下で過剰感応が成立するのは明らかである．逆に消
導出は補論を参照のこと．
「消費が期初の保有資産と当期所得の合計を超えない」という流動性制約が課されてい
るが，必ずしもその制約が常に有効(binding)でないようなモデルも考えることができる．
そのようなモデルについては，次節の「緩衝在庫モデル」の部分で簡単に触れる．
23
24
16
費の変動の大きさについては，
Var(∆ct ) = Var(εt+1) + Var(Et [∆x t]) > Var(εt+1) ≥ Var(ξt+1)
となって確実性等価モデルに比べて大きくなるため，過剰平滑については，流動性制約の
存在によっては説明できない．
５．５．労働所得における複数の異なる変動要因
一般に，家計は自らの将来所得に関係する非常に多くの情報を持っているのに対して，
計量経済学者は，所得の実現値以外はほとんど何の情報も持たずに，将来所得を予測して
いる．このように家計と計量経済学者との間に情報の格差が存在する場合，計量経済学者
による恒常所得のボラティリティーの推計値が過大になる可能性がある．このことを分析
するため，労働所得の変動が，恒久的な部分と一時的な部分の２つから構成されており，
家計は両者の違いを区別できるが，計量経済学者はできない状況を考える．
簡単化のために労働所得 x t が二つの時系列 x Pt および x Tt の和であり，それぞれが
x Pt+1 = x Pt + εPt+1
x Tt+1 = εTt+1
に従うとする．ここで，εPt+1 およびε Tt+1 は分散が１の i.i.d に従うホワイトノイズとする．
また家計は，εPt+1 とεTt+1 を区別しながら，確実性等価モデルにしたがって行動するものと
する．このとき恒常所得 y t+1p のイノヴェーションξt+1 は
s
∞
1
ξt+1 ≡ r ∑s = 1 1 + r  (Et+1 – Et )x t+s


s(Et+1 – Et ){ax Pt+s + (1 – a)x Tt+s}
= r∑

∞  1 s
∞
1 s
= ar ∑ s=1 1 + r (Et+1 – Et )x Pt+s + (1 – a)r ∑ s=11 + r  (Et+1 – Et )x Tt+s




∞
 1
s = 1 1 + r
= aεPt+1 + (1 – a)rεTt+1
となることから，観察される消費の分散 Var(∆ct)は，確実性等価モデルの下で
Var(∆ct ) = Var(ξt+1) = a2Var(εPt+1) + (1 – a)2r2Var(εTt+1) = a2 + (1 – a)2r2
となる．
計量経済学者は，以上の，労働所得の誤差項が，２つの独立した撹乱項の和で構成され
ているという構造を観察できないため，労働所得を単一の撹乱項から生成される階差定常
な確率過程として定式化してしまう可能性がある．例えば，労働所得が以下の階差定常な
１階の自己回帰（AR(1)）過程
x t+1 = x t + et+1
に従うと「誤って」定式化した場合，「観察された」労働所得の「イノヴェーション」et+1
が実際には
et+1 = εPt+1 + εTt +1 – εTt
となることから，その分散 Var(et+1)は
Var(et+1) = a2Var(εPt+1) + (1 – a)2{Var(εTt+1) + Var(εTt )}
= a2 + 2(1 – a)2 > Var(∆ct )
となって，消費の分散 var( ∆ct )を上回ることになる．このため，データ上は過剰平滑が生じ
ているような結果が得られることとなる．
以上の定式化では，「観察された」撹乱項 et+1 は，
et+1 = aεPt+1 + (1 – a)(εTt+1 – εTt )
と１次の系列相関ρ1 = –(1 – a)2/{a2 + 2(1 – a)2}を持つことから，以上の定式化に問題がある
ことは撹乱項の時系列を調べることですぐにわかる．しかしながら，労働所得に加わる２
つの変動要素が，共に一般的な ARMA 過程にしたがっているような場合には，２つの変動
要素を単一の時系列の観察によって分離することは非常に困難であると考えられる．一般
的なケースについてのより厳密な分析は Quah (1990)を参照されたい．
17
６．予備的貯蓄
将来所得が不確実な人は，そうでない人に比べてより多くの貯蓄を行うのではないか，
という「予備的貯蓄」の問題は，Leland (1968)，Sandmo (1970)，Dreze and Modigliani
(1972)らによって初めて理論的に考察された．彼らはすべて，２期間の計画期間を持ち，第
２期の所得 x 2 に不確実性ε2 が存在するような個人の動学的効用最大化問題を考察した．そ
して，瞬時効用関数 u(ct )の３次の導関数 u′′′が予備的貯蓄の存在を左右すること，特に「絶
対的危険回避度」(absolute risk aversion measure)u′/u が消費量の変化に対してどのよう
に振る舞うのかが，「予備的貯蓄」の大きさに大きな影響を及ぼすことを示した．これらの
性質を，危険回避度に関するアロー＝プラットの議論との数学的な等質性に基づいて，予
備的貯蓄の大きさに関する「慎重度」(prudence measure)の理論としてまとめたのが，
Kimball (1990)の業績である25．
６．１．予備的貯蓄の直観的な意味
オイラー方程式の上に予備的貯蓄の性質が示されることは，すでに第２節で簡単に触れ
たが，ここでは予備的貯蓄が発生する直感的な理由について，より詳しい説明を行う．問
題となるのは
「オイラー方程式
Et [u′(ct+1)] = β u′(ct)
(9′)
の左辺に含まれる時点 t + 1 での消費 ct+1 は，時点 t において不確実な確率変数であるが，
この ct+1 に関する不確実性の変化は，時点 t における消費−貯蓄行動にどのような影響を及
ぼすか？」
ということである．
簡単な例として，ct+1 のとり得る値が c h と cl の２つしかない場合を考える．ただし c h > cl
であるとする．両者の実現する確率が共に 1/2 である場合，来期（時点 t + 1）の消費の限
界効用の期待値 Et [u′(ct+1)]は，
u′(ch) + u′(cl)
Et [u′(ct+1)] =
2
となる．これに対して ct+1 に不確実性が存在せず，確率１で(ch + cl)/2 となる場合には，来
期の消費の限界効用の期待値 Et [u′(ct+1)]は，
ch + cl 
Et [u′(ct+1)] = u′
 2 
となる．ch と cl の差 c h – cl が十分小さいとき，将来消費に不確実性が発生した場合の限界
効用の変化は，

u′(ch) + u′(cl)
ch + cl 
1
 ch + cl   ch + cl


– u′
2
 2  = 2u′(cl) – u′ 2  – u′ 2  – u′(ch)
となって，
ch + cl 
ch + cl 
u′(cl) – u′
(31)
 2  > u′  2  – u′(ch)
の時，不確実性によって将来消費の限界効用は増加する．ここで(31)式の左辺は，消費が平
均値より小さくなったことによる限界効用の上昇幅を示し，右辺は，消費が平均値より大
きくなったことによる限界効用の低下幅を示す．(31)式が成り立つのは，消費の減少にとも
なう限界効用の上昇，すなわち消費が少なくなったことによる「消費１単位の価値」の上
昇が，消費の増加にともなう限界効用の低下を上回る場合である．個人が危険回避的な行
動をとるのは，消費の限界効用が逓減する場合であるが，その限界効用の減少幅が，消費
の増加にともなって逓減するとき，すなわち，図１のように限界効用曲線が凸関数である
とき，(31)式が成り立つことになる．来期の消費の期待限界効用が不確実性によって上昇す
25
本節の議論では，前節と異なり，特に言及しない限り r < 1/δ – 1 を仮定する．
18
ると，それにともなってオイラー方程式(9)の右辺で示される今期の貯蓄の限界効用も上昇
する．そのため，個人はより価値の高まった貯蓄を増加させ，その分消費を減らすことと
なる．この将来消費の不確実性によって生じた貯蓄の増加が，予備的貯蓄である．
さらに，不確実性の程度が変化した場合を考察するために，ct+1 に関する不確実性が，c h
が ch + ∆c に，cl が cl – ∆c にそれぞれ変化し，ch と cl の差 ch – cl が 2∆c 拡大するという意味
で増大した場合を考える．このとき Et [u′(ct+1)]は，次の計算
u′(ch + ∆c) + u′(cl – ∆c)
u′(ch) + u′(cl)
–
2
2
{u′(ch + ∆c) – u′(ch)} + {u′(cl – ∆c) – u′(cl)}
=
2
{u′′(ch) – u′′(cl)}∆c
≅
2
より，– u′′(ch) < – u′′(cl)の場合に増加することがわかる．
ここで– u′′(ch)は，消費量が多い状況（ ct+1 = ch ）で，消費が限界的に１単位増加したとき
の限界効用 u′(ch)の下落幅を示し，– u′′(cl)は，消費量が少ない状況（ct+1 = cl）で，消費が
限界的に１単位減少したときの限界効用 u′(cl)の上昇幅を示す．不確実性の増加は，元々消
費量が多いときの消費がより増加し，少ないときの消費がより減少することである．その
とき，消費量の多いときの限界効用の下落よりも，少ないときの限界効用の上昇の方が大
きい場合（– u′′(ch) < – u′′(cl)）には，期待値でみた将来消費の限界効用が上昇する．その結
果，貯蓄の期待限界効用 Et [u′(ct+1)]/βが大きくなり，今期の消費から貯蓄への代替の誘因が
強まることになる（図２）．効用関数 u′の３階の導関数 u′′′が定義域において常に u′′′ > 0 と
なる場合，２階の導関数 u′′が単調増加関数となることから，任意の ch，cl に対して– u′′(ch)
< – u′′(cl)が成り立つことになる．よって u′′′ > 0 の場合，将来消費の不確実性が増加すると，
今期の貯蓄が増加する，すなわち予備的貯蓄が増加することになる．
一般に F(x,ρ)を ct+1 の従う分布関数とし，そのリスクに関するパラメーターρがρ0 からρ1
に変化し，不確実性が mean- preserving- spread の意味で増加したとする26．ここである
関数 g を考えたとき，g が厳密な凹関数ならば
∞
∞
∫– ∞g(x)dF(x, ρ0) > ∫– ∞g(x)dF(x, ρ1)
g が厳密な凸関数ならば
∞
∞
∫– ∞g(x)dF(x, ρ0) < ∫– ∞g(x)dF(x, ρ1)
が成り立つ．よって効用関数 u が厳密な凹関数の場合，消費の不確実性が mean- preservingspread の意味で増加すると，事前の期待効用は減少し，危険回避的な選好を表すことにな
る．また限界効用 u′が厳密な凸関数の場合，消費 ct +1 の不確実性が mean- preservingspread の意味で増加すると，期待限界効用 Et [u′(ct+1)]は増加し，予備的貯蓄が増加するこ
ととなる．
６．２．「慎重度」(prudence measure)の理論
オイラー方程式のみを用いた議論では，将来消費の不確実性そのものを仮定しなければ
ならないが，本来将来消費の不確実性は家計の貯蓄＝消費行動の結果としてもたらされる
ものであり，期待効用最大化問題を解くことで，モデルから導出されなければならない．
26
このとき F (x, ρ1)は，
「F (x, ρ0)と同じ平均を保ちつつ，F (x, ρ0)の分布の中心から両端へウエイトを移す」
ような変換の繰り返しによって得られた分布である．
F (x, ρ0)および F (x, ρ1)がともに単位閉区間[0, 1]上の確率変数の分布関数である場合，
y
∫ 0[F (x, ρ1) – F (x, ρ0)]dx ≥ 0 for all y ∈ [0, 1]
を満たす．これは２階の確率的支配(second-order stochastic dominance)に対応する．
19
以下では計画期間が２期である家計の問題を考察し，予備的貯蓄と家計の瞬時効用関数 u(⋅)
との関係を Kimball (1990)によって考察する．
単純化のために，家計の割引ファクターδおよび安全利子率 r を共にゼロとおくと，家計
の期待効用最大化問題は，
max E1[u(c1) + u(c2)] u′ > 0, u′′ < 0
s.t. x 1 + x 2 = c1 + c2
となり，１階の条件は
u′(c1) = E1[u′(x 1 + x 2 - c1)]
(32)
D
となる．来期(第２期)の労働所得 x 2 が確実，すなわち x 2 = x 2 となる場合の今期（第１期）
の消費および貯蓄をそれぞれ cD1，sD 1 とおくと，(32)式は
u′(cD1) = u′(x 1 + x D2 - cD1)
(32′)
となることから，cD1 について解くと，
x 1 + x D2
cD1 =
2
x 1 – x D2
→
sD1 ≡ x 1 – cD1 =
,
(33)
2
x 1 + x D2
cD2 = cD 1 =
2
となって，今期の貯蓄 sD1 は今期の労働所得から来期の労働所得を差し引いた差の半分に等
しくなる．来期の労働所得が不確実，すなわちε2 を平均ゼロ，分散σεの確率変数として x 2
が x 2 = x D2 + ε2 となる場合の今期の消費および貯蓄をそれぞれ cR1，s R1 とおくと，u′が厳密
な凸関数の場合，(32)式より
u′(cR1) = E1[u′(x 1 + x D2 + ε2 - cR1)] > u′(x 1 + x D2 - cR1)
(32′′)
となることから，cR 1 について解くと cR1 < cD 1 が得られる．
以上のモデルで，「等価予備的プレミアム」(Equivalent Precautinary Premium, EPP)
ψ(sR1, ε2)および「補償予備的プレミアム」(Compensating Precautinary Premium, CPP)
ψ* (sD1, ε2)をそれぞれ
Et [u′(sR1 + x D2 + ε2)] = u′(sR1 + x D2 - ψ(s R1, x D2, ε2))
(34)
Et [u′(sD1 + x D2 + ε2 + ψ* (sD1, x D2, ε2))] = u′(sD1 + x D2)
と定義する．このとき，EPP は，来期の労働所得の不確実性ε2 を取り去っても，貯蓄が変
化しないよう来期の所得から差し引かなければならない固定額であり，CPP は，来期の労
働所得に不確実性が加わっても，貯蓄が変化しないよう来期の所得に付け加えなければな
らない額を表す．(33)式と EPP を用いれば，不確実性下の貯蓄額 sR1 は
sR1 = s R(x 1, x D2, ε2)
= sD(x 1, x D2 - ψ(sR, x D2, ε2))
x 1 + ψ(sR1, x D2, ε2) - x D2
=
(35)
2
となり，EPP が大きいほど貯蓄も大きくなることがわかる27．
この EPP と CPP について，消費の限界効用にマイナスをかけた- u′(c2)を Pratt (1964)
の議論における効用関数とみなすことで，その「等価リスクプレミアム」および「補償リ
スクプレミアム」に関する結果がそのまま適用できる．まず，不確実性ε2 が非常に小さい場
合，「絶対的慎重度」(absolute prudence measure) η(c2)を
厳密には，ψが sR1 の関数となっていることから，∂ψ/∂s R1 の大きさによっては必ずしも
EPP の大きさと貯蓄の大きさは正の相関を持たないが，(34)式の両辺を全微分すれば，
∂ψ/∂sR1 < 1 であることが確かめられ，(35)式より EPP の大きさと貯蓄の大きさは正の相関
を持つことがわかる．
27
20
u′′′(c2)
u′′(c2)
とおけば，EPP と CPP は任意の s および x D に対して
1
ψ(s, x D, ε2) = η(s + x D)σε + o(σε) = ψ* (s, x D, ε2)
(36)
2
となる．ただし，o(σε)はσ εがゼロに収束するとき，σε よりも速くゼロに収束するようなσε
の関数である．さらに，不確実性ε2 が十分大きく，(36)式の近似が不適当な場合にも，２つ
の瞬時的効用関数 u A と u B について，それぞれの「絶対的慎重度」η A とη B との間に，すべ
ての c について
u A′′′(c )
u B′′′(c )
ηA(c ) = – A
> – B
= ηB(c )
u ′′(c )
u ′′(c )
が成り立つならば，任意の c および不確実性εに対して，
ψA(c, ε ) > ψB(c, ε )
および
ψ*A(c, ε ) > ψ*B(c, ε )
が成り立つことが示される．つまり，「絶対的慎重度」が大きいほど，「予備的プレミアム」
が大きくなるのである28．
以上の「慎重度」の議論より，瞬時効用関数の３階微分と２階微分の比である「絶対的
慎重度」が，「予備的貯蓄」の大きさを示す指標となることが明らかになった．
η(c2) = –
６．３．無限期間の効用最大化と予備的貯蓄(Caballero (1990))
計画期間が無限の場合，予備的貯蓄の生じるような瞬時効用関数を持つ家計の，動学的
最大化問題の解を解析的に求めることは困難である．ところが，瞬時効用関数 u(ct )が絶対
的危険回避度一定(CARA)型
u(ct ) = – exp(– αct )，α > 0
の場合29，３階微分が
u′′′ (ct ) = α3exp(– αct ) > 0
と正であることから，家計には予備的貯蓄の誘因が存在し，しかも解析的に解が得られる
ことがわかる．
∞
資産の収益率 r を時間を通じて一定とし，労働所得{x t }t = 0が定常な ARMA 過程に従うと
すると，消費関数および時系列について，以下の２式
ct = y t p – Γ/r
ct+1 = ct + Γ + ξt+1
が得られる（Caballero (1990) , Proposition 1）．ただしΓ は，
Γ = (1/α)lnEt [exp(– αξt )] + (1/α)lnδ (1 + r)
∞
で定義される定数である．証明は，消費過程{ct }t = 0の従う関数形を
(37)
(38)
(39)
ct+1 = φt ct + Γt + υt +1
と予想(guess)し（ただしφt ，Γt は確定的な変数，υt+1 はホワイトノイズ），オイラー方程式
および予算制約に逐次代入し整理して具体的に確認(verify)する方法で行われる．また(38)
式における消費の１階階差∆ct ≡ ct+1 – ct に関する性質（∆ct が定常分布に従う）は，恒常所
得過程の誤差項ξt+1 の定常性と，オイラー方程式
α⋅exp(– αct ) = δ (1 + r)α⋅ Et [exp(– αct+1)]
→
1 = δ (1 + r)Et [exp(– α(ct+1 – ct ))]
が階差∆ct だけの方程式として表せることに由来する30．
28
29
30
証明は Pratt (1964)および Kimball (1990)を参照のこと．
ここでパラメーターα（= u′(ct)/u(ct )）は，家計の絶対的危険回避度を表す．
導出の詳細は補論を参照のこと．
21
(37)式より，消費は恒常所得のみに依存して，予期された今期の所得変化には影響を受け
ないこともわかる．さらに(38)式より，消費の確率過程はドリフト付きのマーティンゲール
に従うことがわかる．特に利子率 r が充分小さく，
(1/α)lnEt[exp(– αξt+1)] = – (1/α)lnδ (1 + r)
が成り立つ場合にはΓ = 0 となることから，消費は純粋なランダム・ウォークとなる．予備
的貯蓄の大きさを示すパラメーターΓ は，(39)式での定義より，ξt+1 が mean- preservingspread の意味でよりリスキーになる場合に増加することがわかる．
以上より，CARA 型効用関数の下での予備的貯蓄の存在は，消費の時系列に関しては，
確実性等価モデルで得られた性質に対して影響をおよぼさず，そのため，過剰感応や過剰
平滑を説明する要因にはならないことが明らかになった．これに対して，利子率 r と消費の
成長率∆ct /ct との関係については，期待成長率 Et [∆ct /ct ]がゼロとなる利子率 r の水準が，確
実性等価モデルに比べて小さくなることが示された．
６．４．不確実性の変化と予備的貯蓄(Caballero (1990))
今までは労働所得のイノヴェーションεt が常に同一の分布に従う，すなわち所得の不確実
性の程度が時間を通じて一定の場合を考察してきたが，ここでは，εt を生み出す分布が，時
間を通じて変化する場合を考える．具体的には，(37)式で予備的貯蓄を表していた項Γ が時
∞
間を通じて一定ではなく，その確率過程{Γt }t = 0 が，
Et [Γt+s] – Et–1[Γt+s] = ϕszt
1
∑j = 0 1 + r ϕj < ∞
∞
with
j
(40)
で表される場合を考える．このとき消費関数およびその時系列について
ct = y t p – Γt /r – r∑s = 1 1 + r
∞

1
s+1

s
t
∑j = 1∑h = 0(ϕh+j–1 – ϕh)zt–h
ct+1 = ct + Γt + ξt+1 – ϑzt+1
が得られる（Caballero (1990), Proposition 2）．ただしΓt は
Γt = (1/α)lnEt [exp(– α(ξt+1 – ϑzt+1))] + (1/α)lnδ (1 + r)
で与えられ，ϑは
ϑ = ∑s=0 1 + r
∞

1
(42)
(43)
s+1

(41)
ϕs
(44)
で定義される定数である1．ϑ > 0 の場合，(42)式より，予備的貯蓄Γt のイノヴェーション
zt は当期の消費 ct と負の相関を持つ．
予備的貯蓄Γt と労働所得 x t+1 あるいは恒常所得 y pt+1 の不確実性との関係については，消費
ct+1 のイノヴェーションυt+1 の条件付き分布が正規分布で近似でき，恒常所得 y pt+1 のイノヴ
ェーションξt+1 の分散σ2 ξt+1 が，次の確率過程
Et [σ2ξt+s+1] – Et–1[σ2ξt +s+1] = ϕ sλt
with
∑j = 01 + r  ϕj < ∞
∞
1
j
(45)
に従い（λt は i.i.d に従うホワイトノイズ），かつ Cov(ξt +s, λt+1)が（ほぼ）定数と見なせる
との仮定の下で，

1ασ2υt+1 1
ct = y t p – 
+ lnδ (1 + r)
r 2
α

s+1
αr ∞  1 
s
t
–
∑
∑j = 1∑h = 0(ϕh+j–1 – ϕh)λt–h
(46)
2 s = 11 + r 
ασ2υt+1
1
ct+1 = ct +
+ lnδ (1 + r) + υt+1
(47)
2
α
αϑλt+1
υt+1 = ξt+1 –
(48)
2
31
導出は補論を参照のこと．
22
が得られる（Caballero (1990), Corollary 2）32．
ここで予備的貯蓄に関するσ2υt+1 の大きさは，恒常所得のイノヴェーションの分散σ2 ξt+1
プラス定数となることから（補論(a11)式を参照のこと）
，(47)式は，将来所得 wt+1 の不確実
性σ2ξt +1 の増大が，今期（t 期）から来期（t + 1 期）にかけての消費の増分∆ct を増加させる
こと，すなわち消費の成長をもたらすことを示している．また(47)式および(48)式より，t +
1 期に生じた不確実性のイノヴェーションλt+1 は，今期の消費の増分∆ct ≡ ct+1 – ct と負の相
関を持つことがわかる．さらに(45)式より，
σ2ξt +1 = C + λt + ϕ 1λt–1 + ϕ2λt–2 + …
(49)
となることから（ただし C は定数項），過去（t – s 期）に生じた不確実性のイノヴェーショ
ンλt–s は，∆ct と正の相関を持つことがわかる．
労働所得のイノヴェーションεt+1 （および恒常所得のイノヴェーションξt+1）と，その分
散のイノヴェーションλt+1 とは，互いに相関する可能性がある．(47)式の不確実性に(49)式
を代入すると，消費の変化∆ct は，
α
∆ct = ξt +1 + (C – ϑλt+1+ λt + ϕ1λt–1 + ϕ2λt–2 + …)
(50)
2
となる．よってξt–i（すなわちεt–i）とλt–i が負の相関を持つとき，消費が所得の予期された
変化 Et [∆x t]と正の相関を持つ，すなわち過剰感応が発生する可能性がある．またξt+1 とλt+1
が正の相関を持つ場合には，消費の予期されない変化ζt+1 = ξt +1 – αϑλt+1/2 の分散が
Var(ζt+1) = Var(ξt+1) + α2ϑ2Var(λt+1)/4 – αϑCov(ξt+1, λt+1)
< Var(ξt+1)
となる可能性，すなわち過剰平滑の起こる可能性もある．
以上より，CARA 型効用関数の下で予備的貯蓄の誘因が存在する場合，所得の不確実性
のレベルσ2ξt +1 と消費の階差∆ct との間に正の相関が生じることがわかった．また，労働所得
に対するショックとその不確実性に対するショックの間の相関関係を考慮すると，CARA
型効用関数による予備的貯蓄の存在によって過剰感応や過剰平滑を説明できることが分か
った．ただしそれらはそれぞれ異なる想定に基づいているため，両者が同時に生じている
状況を説明することはできないことも明らかとなった．
６．５．「調整のずれ」と予備的貯蓄
現実の家計は，予備的貯蓄の誘因のほか，消費の持続性や習慣性の問題にも同時に直面
している可能性がある．ところが，予備的貯蓄と消費の非加法性を同時に考慮した上で，
合理的な個人の最大化問題を解いて，解析的に厳密な解を求めることはきわめて困難であ
る．直感的には，消費に持続性がある場合，各時点での消費支出は，実際の消費の一部に
すぎないことから，恒常所得の予期せぬ減少に応じて実際の消費を減らす際に，直前の，
現在から見ると過大であった消費支出の過剰分を差し引くため，今期の消費支出は将来の
期待支出額よりもさらに少なくなる必要がある．これは，一種の過剰反応，あるいは「調
整の行きすぎ」として近似することが可能である．消費に習慣性がある場合には，持続性
とは逆に，前期の大きな消費に引きずられて，今期の消費は将来の期待消費ほどには減少
しないため，一種の過小反応，あるいは「調整の遅れ」として近似することが可能である．
そこで本節では，近似的な方法として，家計の行動が，過去の行動に引きずられて，本来
の最適な消費計画を完全には実現できない，あるいは，調整を「やりすぎてしまう」とい
う仮定を導入して，そのような「調整のずれ」がある場合の恒常所得および消費の時系列
的な振る舞いを分析する．
具体的には，(46)式で得られる最適な消費計画の下での消費量を ct * とおき，
ασ2υt+1
ct * = y t p –
+ (1/α)lnδ (1 + r)
2r
32
導出は補論を参照のこと．
23
αr ∞  1 s+1 s
t
∑
∑j = 1∑h = 0(ϕh+j–1 – ϕh)λt–h
(46′)
2 s = 11 + r 
これに対して実際の消費量 ct が，
ct – ct–1 = k(ct * – ct–1)
k>0
(51)
を満たすように決定されるとする．ここで k は調整速度のパラメーターで，k < 1 の場合は
「過小調整」，k > 1 の場合は「過剰調整」ということになる．t – 1 期における最適消費量
c* t–1 を用いると，(51)式は
ct – ct–1 = k(ct * – c* t–1) + k(c* t–1 – ct–1)
(51′)
と変形できる．
これに対して，(51)式を ct *と ct との関係で考えると
1–k
ct * – ct- =
(ct – ct–1)
(52)
k
という式が得られる．さらに，t – 1 期に ct–1 = c* t–1 が成り立っていた場合に実現したであ
ろう t 期の恒常所得を y * t p とおいて，恒常所得が y * t p である場合の t 期の最適消費計画を ct **
とおけば，資産蓄積の遷移式(5)および恒常所得の定義式(6′)より，
y t p – y* t p = r( – ct–1 + c* t–1) = r(c* t–1 – ct–1)
→
ct * – ct ** = y t p – y *t p = r(c* t–1 – ct–1)
(53)
**
となることから，(51′)式を ct を用いてさらに変形した
ct – ct–1 = k(ct ** – c*t–1) + k(c* t – c** t) + k(c* t–1 – ct–1)
に(52)(53)両式を代入すると，
ct – ct–1 = k(ct ** – c*t–1) + k(1+ r)(c* t–1 – ct–1)
= k(ct ** – c* t–1) + (1 – k)(1+ r)(ct–1 – ct–2)
(51′′)
2 t
ασ
υ

= k
(51′′′)
 2 + (1/α)lnδ (1 + r) + υt + (1 – k)(1+ r)(ct–1 – ct–2)
となり，消費の１階階差∆ct は，不確実性ασ2υt / 2 に対して正の相関を持つと同時に，k < 1
の場合には正の自己相関を，k > 1 の場合には負の自己相関を持つことがわかる．
前節で議論したように，消費の増分∆ct が正（負）の自己相関を持つ場合，∆ct と所得のイ
ノヴェーションξt+1 との間には正（負）の相関がある．また所得が定常な確率過程に従って
いると所得の予期された変化 Et [∆x t ]と過去の所得のイノヴェーションξt–s との間には負の
相関が成り立つ．よって，消費の増分∆ct が正（負）の自己相関を持つ場合，消費の増分∆ct
と所得の予期された変化 Et [∆xt ]との間には負（正）の相関が生じることになる．よって，
過剰感応が観察されるためには，消費に持続性が存在するなどの要因によって，一種の「過
剰調整」が行われている必要がある．また，自己相関の存在と所得の不確実性の影響を正
しく考慮した上で計測された，消費のイノヴェーションの分散 Var(ζt+1)は，
Var(ζt+1) = k2Var(υt+1) = k2[Var(ξt+1) + α2ϑ2Var(λt+1)/4 – αϑCov(ξt+1, λt+1)]
となることから，k が十分に小さい，すなわち消費の習慣性が強く，「過小調整」の度合い
がはなはだしい場合，ξt+1 とλt+1 が互いに無相関であっても，所得のイノヴェーションの分
散 Var(εt+1)より小さくなる，すなわち過剰平滑が生じることになる．以上の結果は前節の
議論と全く同じであり，CARA 型効用関数による予備的貯蓄の導入は，既存の議論を覆す
ようなものではないことが明らかになった．
(51′′′)式を AR 表現から MA 表現に書き換えると，
∞
ασ2υt–s

ct – ct–1 = k ∑ s = 0{(1 – k)(1+ r)}s
 2 + (1/α)lnδ (1 + r) + υt–s
∞
k lnδ (1 + r)
= k ∑ s = 0{(1 – k)(1+ r)}sξt–s +
α(k – r + kr)
αϑλt
αk ∞
s
–
+
∑ {(1 – k)(1+ r)}s∑j = 1(1 – k)(1+ r)j–2ϕs–j – ϑλt–s
2
2 s=1
となることから，十分小さな k と s について
–
()
24
s
∑j = 1(1 – k)(1+ r)j–2ϕs–j < ϑ
が成り立って，過去（t – s 期）に生じた不確実性σ 2ξt–s+1 のイノヴェーションλt–s が今期（t
期）の消費の増分∆ct–1 = ct – ct–1 と負の相関を持つ可能性が生じる．
以上より，消費の調整に遅れがあったとしても，消費の増分∆ct と所得の不確実性のレベ
ルσ2ξt +1 との間の正の相関関係は保持されるが，消費の増分∆ct と過去の不確実性のイノヴェ
ーションλt–s との間には負の相関が生じる可能性のあることが明らかになった．
６．６．相対的危険回避度一定(CRRA)型効用関数と「緩衝在庫」(buffer stock)モデル
瞬時効用関数が２次関数や絶対的危険回避度一定(CARA)型でない場合，動学的な最大化
問題の解を解析的に解くことはできないが，そのような効用関数の下では，家計の貯蓄＝
消費行動が確実性等価モデルや CARA 型のモデルと著しく異なる可能性がある．本節では，
Zeldes (1989)，Carroll (1992, 1997)，Carroll and Kimball (1996)の議論を元に，絶対的危
険回避度(absolute risk aversion)が消費の増大と共に逓減するような効用関数の下で，最適
消費水準が非人的資産，人的資産，将来所得の不確実性の変化に応じてどのように変化す
るのかを考察する．
議論の単純化のために，効用関数については，相対的危険回避度一定(CRRA)型効用関数
u(ct ) =
1
c 1–α,
1–α t
α > 0, α ≠ 1
ln(ct ),
α=1
を仮定する33．この仮定の下では，限界効用 u′(ct )に関して，一般に稲田条件と呼ばれる次
の２つの性質 limct→0u′(ct ) = ∞および limct→ ∞u′(ct ) = 0 が成り立つ．このうち特に重要なの
は，前者の，消費量が限りなくゼロに近づくとき，その限界効用が無限大に近づく，とい
う性質である．この性質のために，この個人は消費が非正となる確率をゼロにしようとす
る強い誘因を持つ．この結果，後に見るようにこの個人は実質的に流動性制約を課されて
いるのと同じように振る舞うことになる．
労働所得の不確実性については，労働所得 x t が
x t = x pt + xt t
と，２つの成分恒常成分 x pt と変動成分 x t t の和になっていると仮定し，恒常成分について
x pt+1 = ept+1x pt
変動成分については
x t t = (et t – 1)x pt
という関係を満たしているものとする．ここで ept+1 および et t はそれぞれ恒常成分および変
動成分の確率的変動を表し，それぞれ非負の領域で定義された平均１の i.i.d.過程に従う．
さらに ept+1 および et t それぞれの従う確率分布Ｆp(x)およびＦt(x)は，任意の x > 0 に対して
Ｆp(x) > 0，Ｆt(x) > 0 を満たす，すなわち，各期の所得は限りなくゼロに近づく可能性を常
に持っていることを仮定する．現実には，失業保険や生活保護など，最悪の状況でもいく
らかの所得が得られる場合が多いと考えられるが，本節での所得 x t はそのような「最低保
障分」を除いた労働（人的）所得の変動分と解釈しなければならない．また，「最低保障分」
については，これを担保にした借り入れが可能であると仮定し，その割引和が非人的資産
に含まれると解釈するべきである．このとき労働所得 x t の時系列は
x t+1 = x pt+1 + x t t+1 = et t+1x pt+1 = ept+1et t+1x pt
ept+1et t+1x t
=
εe t
という過程に従う．
家計の計画期間は，今までのように無限期間を仮定するのではなく，長期ではあるが有
限の期間（T + 1 期）を仮定する．よって安全利子率一定（rt = r for all t）の仮定の下で，
33
ここでパラメーターα（= ct ⋅u′(ct)/u(ct )）は，家計の相対的危険回避度を表す．
25
家計の効用最大化問題は，
T
Vt = max ∑ s = 0δ sEt [u(ct+s)]
s.t.
∑s = 0 1 + r
T
1
Et [ct+s] ≤ wt + ∑s = 01 + r 
s+1
T

1
s+1

Et [xt+s]
となる．ここで来期以降の将来所得の確率分布を所与とすると，今期の最適消費量 c* t はそ
の時点で保有する非人的資産の合計 Wt ≡ (1 + r)wt + x t の関数 c*t (Wt )となる．この最適消費
関数 c* t (Wt )はどのような形状をしているのだろうか？
はじめに非人的資産がきわめて少ないときの最適消費量を考える．
t = T – 1，すなわち最終期の１期前の時点で，手持ちの非人的資産 WT–1 がきわめて少な
い状況を仮定する．家計の消費量 c* T–1 が手持ちの非人的資産の量 WT–1 を超えた場合，次期
（T 期）の期初における非人的資産の保有量 wT は必ず負の値をとること，そしてその時点
での労働所得 x T は，小さな確率とはいえ，非常に小さな値をとる可能性があることから，
次期の消費時点における非人的資産の保有量 WT は厳密に正の確率で負の値を可能性があ
る．T 期における予算制約式は，単純に cT ≤ WT となるが，対数効用関数は正の消費につい
てのみ定義されるので，WT が負となるため cT も負にならざるを得ない状況では，効用水準
を決定することができない．そこで WT が負の場合，消費量 cT はゼロ，そして消費の限界
効用は無限大になると仮定する．
T – 1 期におけるオイラー方程式
u′(c* T–1) = δ ET–1[(1 + r)u′(cT)]
を考えると，T – 1 期における消費 c* T–1 が WT–1（> 0）より大きく WT が負となる確率が正
である場合，同じ確率で cT がゼロとなることから，その時の限界効用が無限大となり，結
局オイラー方程式の右辺である T 期の消費の期待限界効用が無限大となってしまう．これ
は c* T–1 が正，すなわちオイラー方程式の左辺が有限であることと矛盾する．よって，T – 1
期における最適消費量 c* T–1(WT–1)は
c* T–1(WT–1) < WT–1
(52)
すなわちその時点で保有する非人的資産 WT–1 より小さくなることがわかる．
T – 1 期における最適消費関数 c* T–1(WT–1)について(52)式が成り立つことを前提として，
T – 2 期における最適消費関数 c* T–2(WT–2)を考えれば，T – 1 期の議論がそのまま成り立つ
ため，c* T–2(WT–2)についても
c* T–2(WT–2) < WT–2
(52′)
が成り立つ．この作業を繰り返して時間をさかのぼっていくことで，T 期以前のすべての時
点 t において，最適消費関数 c* t(Wt)が
c* t (Wt) < Wt
(52′′)
を満たすことがわかる．また Wt > 0 であるすべての Wt について c*t (Wt ) > 0 であることか
ら，結局
limWt→0 c* t (Wt ) = 0
であることがわかる．
(52′′)式は，t 期の最適消費量 c* t が手持ちの非人的資産額 Wt を上回らないことを意味す
るが，この場合，Wt は消費のための購入資金として用いることのできる最大額，つまりこ
の家計の流動性保有額を意味することになり，(52′′)式は，家計が自発的に設定した流動性
制約と考えることができる．よって，消費量がゼロに漸近するにしたがって限界効用もま
た無限大に漸近するような瞬時効用関数を仮定することは，家計が流動性制約に直面する
ことを，暗黙に仮定することになっている．
次に非人的資産が非常に多いときの最適消費量を考える．
来期（t + 1 期）の期待限界効用を，点 ct+1 = Et [ct+1]でテーラー展開して
1
Et [u′(ct+1)] = u′(Et[ct+1]) + u′′′(Et [ct+1])σc + o(σc)
2
と近似する．ただしσc ≡ Var(ct+1)は来期の消費 ct+1 の分散であり，o(σc)はσc がゼロに収束す
26
と近似する．ただしσc ≡ Var(ct+1)は来期の消費 ct+1 の分散であり，o(σc)はσc がゼロに収束す
るとき，σc より早くゼロに収束する値であるとする．このとき u(ct ) =
1
c 1–αまたは u(c)
1–α t
= ln(c)であることから，u′′′/u′ = α(α + 1)2c–2 は消費量 c が無限大に発散するとともにゼロ
に収束する．よって，来期の期待限界効用 Et [u′(ct+1)]は，Et [ct+1]が無限大に発散するにつ
れて，それ自体ゼロに収束していく値である u′(Et[ct+1])に，u′(Et [ct+1])自体の収束よりも早
く収束していく．よって，オイラー方程式(9′)は，非人的資産の増加にともなって ct および
Et [ct+1]が無限大に発散するにつれて，将来消費が確実な場合のそれに限りなく近づいてい
くことになる．
今期（t 期）の非人的資産 Wt が無限大に発散するとき，予算制約式より少なくともある
１時点での期待消費量が無限大に発散する必要がある．ところが，今期以降最終期までの
すべての連続する２期間の消費量(ct+s, ct+s+1)について，オイラー方程式(9′)が今期の期待値
の意味で成り立つためには，ある１時点 t + s′における消費量 ct+s′の期待値が無限大に発散
していくとき，他のすべての時点における消費量の期待値も無限大に発散する必要がある．
そのため，今期（t 期）の非人的資産 Wt が無限大に発散するとき，今期以降最終期までの
すべての時点 t + s の消費の期待値 Et [ct+s]も互いに同じスピードで無限大に発散していくこ
とになる．よって今期の非人的資産 Wt がきわめて大きくなると，オイラー方程式は
u′(ct) = δ (1 + r)u′(Et [ct+1])
に近づき，労働所得の不確実性が存在しない場合の貯蓄＝消費行動である「確実性等価」
行動に近づくことになる．
以上の「非人的資産 Wt が無限大に発散するとき，最適消費関数 c*t (Wt )が『確実性等価』
行動のそれに収束する」という命題を，より扱いやすい形にするために，ここで，「確実性
等価」行動をより厳密に定義する．上記の家計モデルに対応する「確実性等価」行動は，
以下の最大化問題
T
Vt = max ∑ s = 0δ su(Et ct+s)
s.t.
∑s = 0 1 + r
T
1
Et [ct+s] ≤ wt + ∑s = 0 1 + r
s+1
T

1
s+1

Et [xt+s]
の解であると定義する．ここで u′(c) = 1/c および Et[xt+s] = x pt for all s ≥1 を用いると，オ
イラー方程式より
Et [ct+s] = δs (1 + r)sct
となることから，結局「確実性等価」行動の下での消費量 ct CEQ は，

1  T+1 

1 – 
 x pt

1
+ r

1
–
δ


W +

ct CEQ =

1 – δT+1  t
r
T+1


1
となる．ここで右辺かっこ内の第２項 1 – 1 + r  x pt /r は，人的資産（以下では Ht とす

 

る）の割引現在価値をあらわすため，かっこ内はこの家計の（人的資産 Ht と非人的資産
1–δ
Wt との合計としての）総資産となる．またかっこにかかる係数
は，この家計の総
1 – δT+1
資産に対する（一定の）限界消費性向をあらわす．
ヒックス＝フリードマン的に，「保有資産額を（期待値の意味で）減少させない最大の消費
額」として恒常所得を定義すれば，この家計の恒常所得 y t p は
rWt
1 
1 T
r(Wt + Ht)
1 + r – 
 p
ytp =
+
1+r
1+r
1 + r  x t =
1+r
となり，「確実性等価」行動における恒常所得に対する限界消費性向γ CEQ は
34 本節での恒常所得の定義は，計画期間
T を無限大に発散させると，２節での恒常所得の
27
の極限をとったものを考察の対象とする．この場合，人的資産 Ht ，恒常所得 y t p，「確実性
等価」行動における人的資産と非人的資産に共通の限界消費性向γ CEQ は，それぞれ
Ht = x pt /r
rWt + x pt
r(Wt + Ht)
ytp =
=
1+r
1+r
(1 – δ)(1 + r)
1
γ CEQ =
>(<) 1
i f r <(>)
–1
r
δ
と表される．「確実性等価」行動を以上のように定義すれば，「非人的資産 Wt が無限大に発
散するとき，最適消費関数 c* t(Wt)が『確実性等価』行動のそれに収束する」という命題は，
limWt→ ∞c* t (Wt ) = ct CEQ(Wt ) = (1 – δ)(Wt + Ht )
とあらわすことができる．
以上の分析より，最適消費関数 c* t(Wt)について，その両端，すなわち Wt → 0 と Wt → ∞
における形状はわかった．それでは，Wt が中間の領域にある場合には，c* t (Wt)はどのよう
な形状をしているのだろうか？
中間の形状については，Carroll and Kimball (1996)において詳しい議論がなされている．
彼らは，次の定理（Carroll and Kimball (1996), Theorem 1）
「HARA（Hyperbolic Absolute Risk Aversion, 双曲型絶対的危険回避）型の効用関数と，
許容可能なすべての所得過程について，もし u′ > 0，u′′ < 0 および u′′′ ≥ 0 が成り立つなら，
最適消費関数は凹関数，すなわち c* t ′′(Wt ) ≤ 0 となる」
および，HARA 型効用関数のパラメーターを k として，その補題(ibid., Corollary 1)
「HARA（Hyperbolic Absolute Risk Aversion, 双曲型絶対的危険回避）型の効用関数と，
許容可能なすべての所得過程について，k > 0，k ≠ 1 および将来の労働所得が不確実かつ将
来の利子率と完全には相関していないなら，最適消費関数は厳密な凹関数，すなわち
c* t ′′(Wt ) < 0 となる」
を，将来の利子率 rt+s に不確実性が存在する場合も含めて証明している 35．我々が考察の対
象としている CRRA 型効用関数は，k = 1 + αの HARA 型効用関数なので，Carroll-Kimball
の補題より，最適消費関数 c* t (Wt )は厳密な凹関数となることがわかる．
以上の議論より，人的資産 Ht および将来所得の不確実性を所与とおいた場合の最適消費
関数 c* t (Wt )が，利子率 r が時間選好率 1/δ – 1 より小さいとの仮定の下で，図３のように図
示できる．
図３の直線 cC E Q は「確実性等価」行動における非人的資産 Wt と消費 ct CEQ(Wt )との関係
をあらわし，限界消費性向をあらわすその傾きは 1 – δ，非人的資産がゼロのときの消費量
をあらわす縦軸の切片の大きさは(1 – δ)Ht となる．直線 y pt は非人的資産 Wt と，総資産を
減少させない最大消費量としての恒常所得 y t p(Wt )との関係をあらわし，その傾きは r/ (1 +
r)，縦軸の切片の大きさは rH t / (1 + r)となる．直線 y pt 上では「消費 ct ＝恒常所得 yt p」が成
り立っているため，直線 y pt は，利子率 r と時間選好率 1/δ – 1 が等しい，一般的な確実性
等価モデルにおける家計の行動を表していると解釈できる36．
図３の前提として将来の人的資産 Ht を所与の定数とおいているため，直線 y t p 上にある
非人的資産 Wt と消費 ct の組み合わせの下では，次期の非人的資産額の期待値 Et[Wt+1]は今
期の非人的資産額 Wt と等しくなる．また，図上で直線 y t p の下に位置する非人的資産 Wt
と消費 ct の組み合わせの下では，次期の非人的資産額の期待値 Et [Wt+1]は今期の非人的資
産額 Wt より大きくなり，上に位置する組み合わせの下では，Et [Wt+1] < Wt となる．r < 1/δ
– 1 の仮定の下では，「確実性等価」行動に従う家計の消費量 ct CEQ(Wt)は恒常所得水準
定義と一致する．
35 証明は原論文（Carroll and Kimball (1996)）を参照のこと．
36 上述(41)(46)式より，CARA 型効用関数の下での消費関数を図３上に描くと，直線 y pt に
平行な直線となり，利子率 r が上昇するにつれて下方にシフトすることがわかる．
28
y t p(Wt)を上回ることから，次期の非人的資産額の期待値 Et Wt+1 は今期の非人的資産額 Wt
より少なくなる，すなわち非人的資産を「食いつぶしていく」ことになる．
以上を踏まえて，最適消費関数 c* t (Wt )およびその下での非人的資産の時系列の性質を見
ていくと，Wt < W* t の領域では，c* t(Wt) < y t p(Wt )となって消費水準は恒常所得水準を下回
るため，非人的資産は期待値の意味で増加していくことになるのに対して，Wt > W* t の領
域では，c* t (Wt) > y t p(Wt )となって消費水準は恒常所得水準を上回るため，非人的資産は期
待値の意味で減少していくことになる．つまり非人的資産の時系列は，常にその「適正水
準」W* t に向かって収束していく傾向を持つことになる．ただし W* t は，
c* t (W*t ) = yt p(W*t )
(53)
*
*
を満たす値と定義される．そして Wt = W t における限界消費性向 c t ′(Wt )は，図３より明ら
かに「確実性等価」行動下の限界消費性向 1 – δ，あるいは確実性等価モデルの下の限界消
費性向 r/ (1 + r)よりも厳密に大きくなる．個人が非人的資産を労働所得の不確実性の「緩
衝材」として，その「適正在庫水準」を維持するように消費＝貯蓄行動を決定することか
ら，以上のモデルは「緩衝在庫」モデルと呼ばれる．
このような，非人的資産の大きさによって，消費＝貯蓄行動が変化するというのは，「確
実性等価」モデルや CARA 型効用関数の下では決して生じない性質であるが，その直感的
メカニズムはどうなっているのであろうか？ 予備的貯蓄が生じる理由は，不確実性の結
果貯蓄の期待収益率がかさ上げされることで生じるが，その不確実性による増加の割合は，
直面する不確実性の大きさと，人々の「絶対的慎重度」に応じて変化することになる．既
存の確実性等価モデルや CARA 型効用関数のモデルでは，この「絶対的慎重度」が消費量
の大きさに関わらず一定であるため，所得や期待消費の水準に関わらず貯蓄の誘因が一定
となり，非人的資産の大きさは消費＝貯蓄行動に影響を及ぼさない．これに対して CRRA
型の効用関数では，消費量が増加するにつれて「絶対的慎重度」が低下していく．つまり，
経済的に豊かになるにつれて，人々はリスクを恐れないようになる．そのため貯蓄の期待
収益に含まれる「予備的貯蓄」要因が縮小し，貯蓄の誘因が低下する．安全な非人的資産
の蓄積によって，総資産額が労働所得の不確実性に対して相対的に大きくなると，期待消
費の水準が大きくなり，「絶対的慎重度」が低下して，予備的貯蓄の大きさが減少するので
ある．オイラー方程式が，今期と来期の消費の相対的な大きさだけでなく，労働所得の不
確実性を一定として，来期の消費の絶対的なレベルにも依存していることが，「緩衝在庫」
的行動を生み出す最大の要因である．
今までは非人的資産 Wt の消費＝貯蓄行動に与える影響を見てきたが，人的資産 Ht の変
化や所得の不確実性の変化は最適消費関数 c* t (Wt )および「適正」資産水準 W*t にどのよう
な影響をおよぼすだろうか？ 以下では，「確実性等価」行動あるいは確実性等価モデルに
おいてそれぞれの変化が最適消費量におよぼす影響との比較で考えてみる．
まず，人的資産 Ht の変化が「確実性等価」行動および確実性等価モデル下の行動に与え
る影響を考えると，両行動の下では，人的資産に対する限界消費性向と非人的資産に対す
る限界消費性向が常に一致することから，∂ct CEQ(Wt )/∂Ht = 1 – δおよび∂y t p(Wt )/∂Ht = r/ (1
+ r)が成り立つ．これに対して，Ht の変化が「緩衝在庫」モデルの下での最適消費関数 c* t (Wt )
に与える影響については，それほどはっきりとしたことはいえない．まず limWt→0c* t (Wt ) =
0 であることから明らかに limWt→0(∂c* t (Wt )/∂Ht ) = 0 である，すなわち，非人的資産の保有
額 Wt がゼロの場合には，人的資産の増加 Ht は消費 c* t に何の影響も与えないことがわかる．
よって，非人的資産 Wt が非常に小さい場合には，人的資産 Ht が増加したとしても消費 c* t
はほとんど増加しないと予想される．しかし，Wt がより大きい場合については，厳密な議
論抜きに明言できることはない．強いて挙げれば，限界消費性向が「確実性等価」行動下
のそれを超えて大きくなる必然性がないため，∂c* t (Wt)/∂Ht < 1 – δ が成り立つ，すなわち人
的資産 Ht の限界消費性向は，「確実性等価」行動の限界消費性向に比べて常に小さいと予
想できる．しかしながら，代表的な確実性等価モデルの下での限界消費性向である１と比
べて小さいかどうかについては，以上の分析からは判断できない．
29
Ht の変化が「適正」資産水準 W* t に対して与える影響は以下の通りである．(52)式を W*t
および Ht に関して微分すると，
∂c* t
∂c* t
∂y t p
∂y t p
*t +
*t +
dW
dH
=
dW
dHt
t
∂W* t
∂Ht
∂W* t
∂Ht
r
=
(dW*t + dHt )
1+r
r
∂c* t
–
*
dW t
1+r
∂Ht
r
∂c* t
→
=
>(<) 0 if
>(<)
*
dHt
∂c t
r
1+r
∂Ht
–
∂W* t
1+r
となる．よって，最適消費 c* t の人的資産 Ht に関する限界消費性向∂c* t /∂Ht が，確実性等価
モデルの下での資産に対する限界消費性向 r/ (1 + r)よりも小さいとき，人的資産 Ht の増加
は，非人的資産の「適正在庫」水準 W* t を増加させる．
次に，将来の労働所得の，現時点 t における不確実性をあらわすパラメーターをσ2 ξt+1 と
おき，σ2ξt +1 の変化が最適消費関数 c* t (Wt )および「適正」資産水準 W*t におよぼす影響を，
σ2ξt +1 の変化が確実性等価モデルの下での行動におよぼす影響との比較で考察する 37．
確実性等価モデルでは，不確実性の程度σ2ξt +1 が貯蓄＝消費行動に全く影響をおよぼさな
いため，σ2ξt +1 の変化もまた消費行動に何の影響もおよぼさない，すなわち∂y t p(Wt )/∂σ2ξt+1 =
0 が成り立つ．これに対して，「絶対的慎重度」が正であるような瞬時効用関数の下での最
適消費量は，他の条件を一定とすれば，労働所得の不確実性σ2ξt +1 が高まると減少する，す
なわち∂c* t (Wt )/∂σ2ξt+1 < 0 となる．ただしその大きさについては，limWt→0 c* t (Wt ) = 0 である
ことから lim Wt→0(∂c* t (Wt)/∂σ2ξt+1) = 0 となること以外，はっきり言えることはない．(53)
式を W* t およびσ2ξt に関して微分すると，∂y t p(Wt )/∂σ2ξt+1 = 0 および∂c* t (Wt )/∂σ2ξt+1 < 0 であ
ることから，労働所得の不確実性σ2ξt +1 の増加は非人的資産の「適正在庫」水準 W* t を増加
させる，すなわち dWt /dσ2ξt+1 > 0 となることがわかる．
∞
このような最適消費関数 c* t (Wt )の性質は，消費の時系列{ct}t = 0に対してどのような影響
をおよぼすだろうか？38 以下では，モデルの動学的な体系を表す次の６本の方程式
ct = c* t (Wt ; Ht , σ2ξt+1)
(54)
Wt+1 = (1 + r)(Wt – ct) + x t+1
(55)
x t = x pt + xt t
(56)
p
p
p
x t+1 = e t+1x t
(57)
x t t = (et t – 1)x pt
(58)
x pt
Ht =
(59)
r
を39，それぞれ xt = x pt = x p* ，x t t = 0，ept = et t = 1，Ht = H* = x p* /r，σ2ξt+1 = σ*2，Wt = W* ，
および ct = c* の近傍で線形近似し40，新しい変数 ct ≡ ct – c* ，Wt ≡ Wt – W* ，Ht ≡ Ht – H* ，
σ^2 ξt+1 ≡ σ2 ξt+1 – σ*2，x ^pt ≡ x pt – x p* ，εpt+1 ≡ (ept+1 – 1)x p* ，εt t ≡ (ett – 1)x p* (= x t t)，およびβxp
37
以下では，労働所得 x t 自体と，その将来の不確実性の程度を決める変数σ^2ξt+1 および
σ^2 ξt+2 とが互いに無相関であることを仮定する．
以下の線形近似による議論は筆者自身のものであるため，前述の諸文献では扱われてい
ない．
39 本来は，(54)-(59)式に将来所得の不確実性σ2 t+1 の遷移式を加えた７本の方程式で，完全
ξ
な動学体系が構成されるが，ここでは，不確実性の定義そのものを厳密に行っておらず，
よってその遷移式も明示せずに議論を進める．
40 ただし W* ，c* はそれぞれ
c* t (W*; H* , σ*2) = y t p(W* ; H* ) = c*
で定義される値とする．
38
30
≡ βH/r を用いて，ct ，Wt ，および x ^pt の３変数の体系に書き換えた，
ct = βWWt + βxpx ^pt + βσσ ^2ξt +1
(60)
Wt+1 = (1 + r)(Wt – ct) + x ^pt + εpt+1 + εt t+1
(61)
x ^pt+1 – x ^pt = ε pt+1
に基づいて分析を進める4142．(60)式がいわゆる消費関数であり，βW およびβH が非人的資産
Wt および人的資産 Ht の限界消費性向，βσは不確実性の程度を示す変数σ2ξt+1 の係数である．
それぞれの符号条件は
∂c* t (W*; H* , σ*2)
r
βW =
> 1–δ>
∂Wt
1+r
∂c* t (W*; H* , σ*2)
βH =
>0
∂Ht
∂c* t (W*; H* , σ*2)
βσ =
<0
∂σ2ξt
となる．
(60)，(61)式より，消費の１階の階差∆ct ≡ ct+1 – ct = ct+1 – ct は
∆ct = βW[{r – (1 + r)βW}Wt + {1 – (1 + r)βxp}x ^pt] + (βW + βxp)εpt+1 + βWεt t+1
+ βσ[σ^2ξt +2 – {1 + βW(1 + r)}σ^2ξt+1]
(62)
となる．(62)式の右辺第１項に Wt が含まれ，その係数 r – (1 + r)βW が負であることから，
消費の増分∆ct は１期前の非人的資産保有額 Wt と負の相関を持つことがわかる．ここで非
人的資産にその期に実現した実際の労働所得が含まれることから(Wt = (1 + r)wt + x t )，非人
的資産は労働所得の一時的変動 x t t と正の相関を持つ．これに対して労働所得の予期された
変化は前期の労働所得の一時的変動と負の相関を持つ（ Et [x t+1] – x t = x pt – xt = – x tt ）．よっ
て，労働所得に一時的な変動が生じる場合，消費の増分∆ct と労働所得の予期された変化
Et [x t+1] – x t は正の相関を持つ．
消費の増分∆ct と１期前の実際の労働所得 x t = Wt – (1 + r)wt = x pt + xt t との相関関係は，
(62)式右辺第１項の中かっこ内が
 r – βWWt +  1 – βxpx ^pt = (1 – βW – βxp)x ^pt
1 + r

1 + r

r

t
+ 
1 + r – βW{(1 + r)wt + ε t }
と変形できることから，
r
 t ^p
t
Cov(∆ct , x t) = Cov((1 – βW – βxp)x ^pt + 
1 + r – βW ε t , x t + ε t )
r

t
= (1 – βW – βxp)Var(x ^pt ) + 
1 + r – βWVar(ε t )
r
で表される．労働所得の変動のほとんどが一時的要因による場合（ Var(x ^pt ) ≅ 0），βW > 1 + r
であることから Cov(∆ct , xt ) < 0，すなわち消費の増分∆ct と過去の労働所得 x t とは負の相関
を持つことになる．これは，非人的資産の限界消費性向が「確実性等価」行動のそれより
も大きく，短期的なショックに過剰に反応することから，「平均への回帰」が起こることで
生じる．これに対して，労働所得の変動のほとんどが恒久的要因による場合（ Var(εtt ) ≅ 0），
消費の増分∆ct と過去の労働所得 x t とはβW + βxp < 1 のとき正の相関を持つ，すなわち過剰
感応の生じることがわかる．確実性等価モデルではβW + βxp = 1 であり，「緩衝在庫」モデ
導出の詳細は補論を参照のこと．
以上の近似においては，暗黙のうちに最適消費関数 c* t (Wt ; Ht , σ2ξt+1 )の定常性（c* t (Wt ; Ht ,
σ2ξt +1 ) = c* (Wt ; Ht, σ2ξt+1 )と時間に関する添え字 t を省けること）を仮定している．この仮
定が正当化されるのは，不確実性に関する変数σ2ξt の最適予測値が１期前の実現値にのみ依
存していること，すなわちσ2ξt が１階の自己相関(AR)モデルに従う場合だけである．
41
42
31
ルではβW がより大きいことから，βW + βxp < 1 が生じるのは，人的資産の限界消費性向βxp
が確実性等価モデルに比べて非常に小さい場合に限られる．このとき，消費は人的資産（＝
将来の労働所得）の増加に比べて少ししか増加しないため，将来の非人的資産が期待値の
意味で大きく増加し，将来消費も大きく増加することになる．
消費のイノヴェーションの分散 Var(∆ct – Et (∆ct ))と所得のイノヴェーションの分散
Var(εpt+1 + εt t+1)との大小関係は，労働所得が純粋なランダム・ウォークに従い（εt t = 0 for all
t），かつ労働所得の不確実性が時間を通じて一定（σ ^2 ξt+1 = σ^2ξ for all t）の場合，
Var(∆ct – Et (∆ct )) = (βW + βxp)2Var(εpt+1)
>(<) Var(εpt+1) i f βW + βxp >(<) 1
(63)
となる．(63)式はβW + βxp < 1 のときいわゆる過剰平滑が発生することを示している．
労働所得の不確実性σ^2 ξt+1 との関係は，σ ^2 ξt+1 の時系列が１階の自己相関(AR)過程
σ^2 ξt+2 = ρσ^2ξt +1 + λt+1
ρ ∈ [0,1]
(64)
に従う（λt+1 は平均ゼロのホワイトノイズである）と仮定すると，(62)式の右辺第４項が
βσ[σ^2 ξt+2 – {1 + βW(1 + r)}σ^2 ξt+1] = – βσ{1 + βW(1 + r) – ρ}σ^2ξt+1 + βσλt+1
となることから，時点 t における不確実性の水準σ^2ξt +1 と正の相関を持ち，不確実性の予期
せぬ変化λt+1 と負の相関を持つことがわかる．
以上より，絶対的危険回避度が消費量とともに逓減するような瞬時効用関数を仮定した，
いわゆる「緩衝在庫」モデルの下では，過剰感応と過剰平滑が同時におこる状況を説明で
きる可能性のあることがわかった．また，不確実性に対する性質は，CARA 型の効用関数
を仮定した場合と基本的に変わらず，消費の増分∆ct と所得の不確実性のレベルσ2ξt +1 との間
には正の相関関係の成立することが明らかになった4344．
６．７．予備的貯蓄に関する実証研究
本稿は，ライフサイクル／恒常所得仮説の下で成り立つ消費関数について，予備的貯蓄
を中心とした理論研究のサーヴェイを主な目的としているため，実証研究については，予
備的貯蓄に限ってごく簡単に，上記の理論と整合的，あるいは非整合的な結果を示してい
る２，３の研究を紹介するにとどめたい．
はじめに，マクロの集計データを用いて，理論的には例えば(59)式のように与えられる，
ある時点での消費関数そのものを推計した例として Boskin (1979)がある．彼の研究は，貯
蓄の利子弾力性をめぐる議論に触発されたものであり，考察の中心は消費＝貯蓄行動と利
子率との関係である．しかし，その推計式（Boskin (1979), equation (2)）は，前節までの
以上の「緩衝在庫」モデルに，６．５節と同様の形式で消費の調整の遅れを導入した
場合，(53′′)式までは全く同じ議論が成り立つ．そこで，(53′′)式の ct ** – c* t–1 の代わりに(62)
式の右辺を代入してやれば，(53′′′)式に対応する式が得られ，その結果６．５節と同様の議
論が成り立つことがわかる．すなわち，消費の調整に遅れがあったとしても，消費の増分
∆ct と所得の不確実性のレベルσ2ξt+1 との間の正の相関関係は保持されるが，消費の増分∆ct
と過去の不確実性のイノヴェーションλt–s との間には，∆ct の自己相関を無視すると，負の
相関が生じる可能性がある．また，過剰感応や過剰平滑に関しては，調整が瞬時におこな
われる場合の結論がそのまま成立する，すなわち，∆ct の自己相関を考慮しても，過剰感応
と過剰平滑を同時に説明できる可能性がある．
44 「緩衝在庫」モデルには，このほかに，集計量に関する「消費と所得の平行」
(consumption/income parallel)と，個別データに関する「消費と所得の乖離」
(consumption/income divergence)という，２つの異なる現象を同時に説明できる特徴を持
つ．「消費と所得の平行」とは，消費の成長率と所得の成長率とが中長期的にほぼ一致する
傾向のことで，所得の時系列に正のトレンドがあっても，最適消費関数 c* t (Wt ; Ht , σ2ξt+1)
が１次同次ならば，消費・所得比率がある一定値に確率収束する性質から生じる．詳しく
は Carroll (1997)を参照のこと．
43
32
表記法に従えば
Log(ct ) = – 3.8 + 0.56Log(x t + rt wt ) + 0.18Log(xt–1 + rt–1wt–1)
+ 0.28Log(wt) – 0.003Log(UNEMt ) – 1.07rt+1
と表され，説明変数の中に失業率(UNEMt )の対数値が含まれていることから，これを将来
所得の不確実性を表す変数と解釈すれば，予備的貯蓄に関する実証研究としてとらえられ
る．彼の推計では，失業率の係数は負となり，予備的貯蓄の存在が示されている．ただし，
彼の研究はライフサイクル／恒常所得仮説に基づいておらず，説明変数として用いられて
いるのは労働所得 x t と資産からの所得 rt wt を合わせた民間可処分所得，およびその１期ラ
グであって，「恒常所得の予期せぬ変化」と予期された変化の違いなどは考えられていない．
また，同時点での所得と消費の間に存在しうる撹乱項の相関の可能性も考慮されていない．
マクロの集計データを用いたより新しい研究に Carroll (1992)がある．彼はミシガン大学
の Surveys of Consumers でのアンケート調査より，次の３つの変数を作成した．１つは，
「あなたが欲しいと思っている大きな買い物があったとして，今が，貯蓄の一部を使って
も良い時期だと思いますか，それとも，今は貯蓄を使うのは控えるべき時期だと思います
か？」という問いに，「控えるべきだ」と答えた人の割合（SAV）であり，もう１つは，失
業率が上昇すると予想している人の割合（MU），そして最後の１つは所得が増加すると予
想している人の割合（ MY）である．これらの３変数について，次の推計式（ Carroll (1992),
Equation 9）
SAV t = α 0 + α 1MYt + α 2MUt + νt
を推定した結果，失業率の予想に関する係数α 2 は有意に正となった（Carroll (1993) Table
5）．この推定結果は，失業率に関する予想が，将来所得の不確実性に関する予想を示して
いるとの想定に立つならば，予備的貯蓄の存在を示したことになる．
ところが，Carroll (1992)で同時に行われたもう１つの推計は，予備的貯蓄に関する理論
的な予想に反する結果であった．彼は，可処分所得の対数値の１階階差∆lnY と前の推計で
も用いた失業率に関する予想 MU を説明変数，近似的に消費の増加率と考えられる，消費
の対数値の１階階差∆lnC を非説明変数とする推計式を，いくつかの異なる消費のデータを
用いて推定したが，いずれのデータにおいても，失業率に関する予想 MU の係数は負，す
なわち，失業率が上昇すると消費成長率が低下するという結果になった．この結果は，一
見予備的貯蓄と整合的にみえるかもしれないが，実際には，不確実性の増加がその期の予
備的貯蓄を増加させた場合，貯蓄の増加は次の期の資産保有額，すなわち次の期の恒常所
得額を増加させ，その結果消費を増加させることになるため，(47)式や(62)式に関する議論
より明らかに，将来所得の不確実性のレベルσ2ξt+1 は，消費の増加∆ct と正の相関を持つこと
になる．
実証結果が理論と逆になった原因について，Carroll (1992)では消費の調整に時間のかか
る可能性を指摘しているが，６．５節で見たように，消費の調整に遅れがある場合，不確
実性に対する直近のイノヴェーションと消費の増加との間には負の相関の生じる可能性が
あるが，不確実性のレベルそのものと消費の増加との正の相関は，(51′′′)式より消費の調整
が瞬時に調整されない場合でも維持されることがわかっているため，消費の調整は Carroll
(1992)の結果を説明できない45．前節の議論によれば，消費成長率を非説明変数とするオイ
ラー方程式の推計は，家計が「緩衝在庫」モデルに従って行動している場合，非人的資産
を説明変数に加えない限り正しい結果を得られないため，このような逆の結果が観察され
MU 作成の下になったアンケートで，人々が失業率の大小を，時間を通じた平均値とで
はなく，過去の実現値との比較で考えていたとすれば，失業率が定常的な確率過程に従っ
ている場合，現在の失業率が高いほど将来の失業率は現在のそれに比べて小さくなる，す
なわち，MU と現在の失業率の実現値 U とが負の相関を持つことになる．この場合，MU
と消費の増加とが負の相関を持つことは，仮説と整合的でなる．しかし，Carroll (1992)で
は，MU と U との関係については分析されていない．
45
33
たと考えられる．
近年の予備的貯蓄に関する実証研究の多くは，マイクロ・データを使ったクロス・セク
ションで行われている．この場合，失業率などマクロの変数を不確実性の指標として用い
ることができないため，各家計の所得や消費のデータより，その家計が直面する不確実性
を推定することになる．Dynan (1993)では，家計 i のオイラー方程式について，２階のテ
ーラー展開による近似を行うことで，消費の増加率 GC に関して
1 ri – δ 
ρ
avg(GC)i = 
+ avg(GC2)i + εi
ξ 1 + ri
2
という推計式を導いている（Dynan (1993), Equation 6，ただし avg(x)i は，家計 i の x の
平均値を表す）．ここで，ξは相対的危険回避度に，ρは Kinball (1990)で定義された「相対
的慎重度」(relative prudence measure)になっている．この推計式が，1985 年の Consumer
Expenditure Survey (CEX)のデータを用い，avg(GC2)i とεi との間の相関の存在を考慮して，
職種，産業，教育，就労者数，そして配当および利子所得を操作変数とする２段階最小２
乗法で推計されている．その結果，相対的慎重度にあたるρの推定値は，最も大きなケース
で 0.314 と，危険回避に関する多くの研究から予想される値に比べて非常に小さく，またρ
= 0 という期無仮説，つまり確実性等価モデルを，５％の有意水準で棄却できないことがわ
かった46．
このような Dynan (1993)の結果について，Carroll (1992)では理論上と実証上の要因を１
つずつ挙げている．理論上の要因としては，各家計が「緩衝在庫」モデルに従って行動し
ている場合，中長期的な消費の増加率は所得の増加率に等しくなり，不確実性の違いは消
費の増加率の違いにではなく，保有資産と恒常所得との比率の違いに現れることから，消
費の不確実性を表す消費成長率の分散は，消費成長率の期待値と必ずしも相関を持たない
ことが挙げられている．実証上の要因としては，４半期データにおける消費の変動が，必
ずしも消費の不確実性を反映せず，むしろ家計の選好などに起因する予期された変化を反
映するため，職種などの操作変数が，消費の不確実性ではなく，消費の予期された変動を
生み出す選好ショックと相関を持つことで選ばれた場合，それらが消費の成長率と無相関
になる可能性が高くなることが挙げられている．
以上の２要因のうち，理論上の問題について，予備的貯蓄に関する既存の実証研究を「緩
衝在庫」モデルに従って解釈する場合の問題点という形で，もう少し細かく議論してみよ
う．既存の実証研究では，Hall 流の「確実性等価」モデルや Caballero (1990)の CARA 型
効用関数のケースを念頭においているため，非人的資産保有額 Wt や恒常所得 x pt の水準が
消費の増分∆ct におよぼす影響を無視して，不確実性σ2ξt +1 に対応する変数のみを説明変数と
する推計を行っているものが多い．この場合，推計結果にどのようなゆがみが生じるかは，
以下の議論によって示される．
簡単化のためにσ^2 ξt+1 の時系列について(64)式を仮定し，また消費関数(60)式の Wt およ
び x ^pt の係数βW，βxp が，βW + βxp < 1 を満たすとする．ここで，所与の恒常所得 x ^pt ，不
確実性の水準σ^2 ξt+1 に対して，(62)式の左辺∆ct の時点 t におけるすべての情報の下での期
待値 Et [∆ct ]がゼロとなるような，非人的資産の水準を W** t とすると，
{1 – βxp(1 + r)}x ^pt – βσ{1 + r + (1 – ρ)/βW}σ^2ξt +1
W** t =
≡ W**(x ^pt ,σ^2ξt +1)
βW(1 + r) – r
と表される47．さらに，時点 t における労働所得の恒常成分 x ^pt について，σ^2 ξt+1 = σ^2 だ
イギリスのデータを用いて同様の推計を行った Merrigan and Normandin (1996)では，
他の研究と整合的な，２前後の相対的慎重度が得られている．
47 前述の「適正水準」W* t （=W* t – W* ）は，(60)(61)式より，
{1 – βxp(1 + r)}x ^pt – βσ(1 + r)σ^2ξt+1
W* t =
βW(1 + r) – r
となり，σ^2 ξt+1 >(<) 0 のとき W*t <(>) W**t である．
46
34
けを唯一の条件としたときの条件付期待値を
Ex ^p(σ^2) ≡ E[x ^pt |σ^2 ξt+1 = σ ^2]，
時点 t における非人的資産 Wt について，x ^pt = x ^p およびσ ^2 ξt+1 = σ ^2 の２つだけを条件と
したときの条件付期待値を
EW(x ^p, σ^2) ≡ E[Wt |x ^pt = x ^p, σ ^2 ξt+1 = σ^2]
とする．
以上の W**(x ^pt ,σ^2ξt +1)，Ex ^p(σ^2)，および EW(x ^p, σ^2)を用いると，σ^2 ξt+1 = σ ^2 だけを
唯一の条件としたときの消費の増分∆ct の条件付期待値 E∆c(σ^2) ≡ E[∆ct |σ^2 ξt+1 = σ^2]が，
(62)式より，
E∆c(σ^2) = βW{r – (1 + r)βW}(EW(Ex ^p(σ^2), σ ^2) – W** (x ^p,σ^2))
= βW{r – (1 + r)βW}∆W(σ^2)
(65)
となる．ただし∆W(σ^2)は，
∆W(σ^2) ≡ EW(Ex ^p(σ^2), σ^2) – W** (x ^p,σ^2)
と定義される関数である．(65)式より，消費の増分∆ct の不確実性σ^2ξt +1 に関する単回帰で，
∆ct とσ^2 ξt+1 との間に正の相関が観察されるのは，関数∆W(σ^2)の１階微分∆W′(σ^2)が負の場
合であることがわかる．∆W′(σ^2)の符号は，定義より(Wt , x ^pt , σ^2ξt+1)の同時分布に依存し，
正しい定式化の下でのσ^2 ξt+1 の係数– βσ{1 + βW(1 + r) – ρ}の符号とは必ずしも一致しない48．
これは，推計上は考慮されていないが実際には消費に影響を与える非人的資産 Wt が，推
計式の誤差項に含まれると同時に，不確実性の変数σ^2ξt +1 と相関を持つことで生じる推計の
ゆがみの問題である．「緩衝在庫」モデルでは，人々の保有する非人的資産はその「適正水
準」の近傍に分布することになるため，消費の長期的な平均成長率は非人的資産の「適正
水準」の平均成長率にほぼ等しくなる．この「適正水準」の成長率は，労働所得およびそ
の不確実性の大きさの成長率に応じて変化すると考えられるので，後の２つの長期的な平
均成長率がほぼ等しい場合，「適正水準」の長期平均成長率は，労働所得の長期平均成長率
にほぼ等しく，よって，消費の長期平均成長率もまた労働所得のそれに等しくなる．よっ
て，人々が「緩衝在庫」モデルに従って行動している限り，労働所得の成長率と無相関で
ある不確実性の大きさは，消費の成長率とも無相関になる．
だからといって，人々は所得の不確実性に無反応な訳でも，「予備的貯蓄」を行っていな
い訳でもない．同じ額の非人的資産の持つ人々の間では，（他の条件を一定として）労働所
得の不確実性の大きな人ほど，貯蓄額は大きくなる．所得の不確実性の大きな人にとって，
不確実性の小さな人と同じ額の非人的資産では，リスクに耐えることができないため，予
備的貯蓄をより多く行う誘因が働き，その結果消費の期待成長率が大きくなる．ところが，
予備的貯蓄をより多く行った結果，不確実性の小さな人よりも多くの非人的資産を保有す
るようになると，期待消費額の増加によって「絶対的慎重度」が低下し，予備的貯蓄の誘
因は小さくなる．多額の非人的資産の保有で「豊か」になると，リスクに対してより「寛
容」になり，予備的貯蓄の欲求が小さくなるのである．長期的な平均値，あるいは多くの
人々の平均値をとれば，各個人の保有する非人的資産額は，ほぼその「適正水準」にある
と考えられるので，不確実性の大きな人はより多くの資産を，小さな人はより少ない資産
を持ち，消費の成長率は不確実性の大きさとは無関係に，所得の成長率によって決定され
仮に EW(x ^p, σ^2) = W* t が成り立つとすれば，∆W(σ^2)は
βσ(1 – ρ)σ^2ξt+1
∆W(σ^2) =
≤ 0, = if ρ = 1
βW{βW(1 + r) – r}
と，不確実性が定常分布σ^2 ξt+1 に従う(ρ < 1)限り負となるが，(65)式をσ^2 について解いた
σ^2 ξt+1 の係数は，– βσ(1 – ρ) < – βσ{1 + βW(1 + r) – ρ}となることから，推計値は真の値より
も小さくなる．ただし，「EW(x ^p, σ^2) = W* t 」という仮定はあまり適切なものではなく，た
とえばσ^2 ξt+1 が定常分布に従う(ρ = 0)ケースでは，EW(x ^p, σ^2)はσ ^2 には依存しないと予
想することが尤もらしい．
48
35
る．その結果，本当は「同じ非人的資産保有の下での，不確実性の違いが貯蓄に与える効
果」を調べようとしても，不確実性の違いのほとんどが，考慮されていない非人的資産の
保有額の違いに吸収されてしまって，推計上不確実性の効果がほとんど検出できないので
ある．
以上の推論より，非人的資産を考慮しない誤った定式化の下では，たとえ所得の不確実
性に関する適切な変数を説明変数に用いたとしても，予備的貯蓄をオイラー方程式の推計
によって検証することはできないことが明らかになった．よって，オイラー方程式に関す
る既存の実証研究で有意な予備的貯蓄が観察されなかったとしても，実際に予備的貯蓄が
行われていなかったと結論づけることはできない．
Carroll and Samwick (1997)では，「緩衝在庫」モデルにおける目標資産額 W* が，不確
実性の程度σ2ξt +1 の増加関数になることを，様々な特定化の下でより厳密な
「 目 標 資 産 額 は 相 対 的 等 価 予 備 的 プ レ ミ ア ム (relative equivalent precautionary
premium: REPP)の線形関数となる」
という形で定式化し，平均および実際の消費の代わりに，恒常所得および実際の所得に置
き換えて計算した REPP や，推計上ほぼ同様の結果を示した所得の対数値の分散 Var(ln(Y))
を不確実性の指標として，保有資産額との関係を推計した．そして，予備的貯蓄の重要性
を示す結果を得た．
７．おわりに
本稿では，ライフサイクル／恒常所得仮説について，主に Hall (1978)以降の理論研究を
中心にその概略を紹介した．Hall (1978)で提唱された「消費のランダム・ウォーク仮説」
すなわち「確実性等価」モデルに対しては，「過剰感応」と「過剰平滑」という，実証上の
２つの問題点が指摘された．これに対して，理論モデルに対する様々な拡張が試みられた
が，将来の不確実性の増大が現在の貯蓄を増加させる「予備的貯蓄」をモデルに導入する
と，相対的危険回避度一定(CRRA)型の瞬時効用関数の下での「緩衝在庫」モデルの場合，
「過剰感応」と「過剰平滑」の両方を同時に説明できる可能性が示された．「予備的貯蓄」
の理論から得られる，「不確実性のレベルと消費の増加が正の相関を持つ」という仮説につ
いては，これに反する実証研究がいくつか存在するため，「緩衝在庫」モデルが消費＝貯蓄
に関する問題をすべて解決したと結論づけるのは時期尚早である．ただし，「予備的貯蓄」
仮説に否定的な実証研究の多くには，「緩衝在庫」モデルの立場から見ると重大な定式化の
誤りが存在するため，さらなる実証研究の積み重ねが必要である．
補論
１．「４．１．過剰感応」における(17)式の導出
定常な ARMA 過程
x t = ρ1xt–1 + ρ2x t–2 + . . . + ρpx t–p + εt +φ1εt–1 + φ2εt–2 + . . . + φqεt–q
(16)
⇔
x t = [1 + M(L)]/[1 – A(L)]εt
を考える（ただし L はラグオペレーター，
A(L) = ρ1L + ρ2L2 + . . . + ρpL p ，M(L) = φ1 L + φ 2L2 + . . . + φ qLq
である）．
定常な ARMA(p,q)過程は MA(∞)表現ができるので，(16)式で表される ARMA 過程の
MA(∞)表現を
x t = εt +ψ1εt–1 + ψ2εt–2 + ψ3εt–3 + . . .
(16)
とする．ただしψs ≡ φs + ∑sj=1 ρjψs–j である．
s 期前に実現した誤差項が今期の所得に与える影響は，
dx t+s
dx t
=
= ψs
dεt
dεt–s
となることから，将来所得の予測値の改定分は，今期の実現した誤差εt の定数倍となる．
36
Et x t+s – Et–1x t+s = ψsεt
よって明らかに
∑s = 0 1 + r  (Etxt+s – Et–1xt+s) =∑s = 0 1 + r  ψs εt
1
∞
s
1
∞
s
であり，また，
∞
 1 s
s = 0 1 + r  ψ s
∑
1+
=
∑s = 01 + r  φs
s
1
q
1 +∑ j = 0 1 + r ρj
p

1
j

が得られる．
以上より，恒常所得の予測の修正分ξt は，
ξt = r ∑s = 0 1 + r 
∞

1
s+1

ψsεt = rΦεt
(17)
と今期の所得のイノベーションの定数倍となり，消費の系列は，
ct = ct–1 + rΦεt
となる．
２．「５．２．持続的な消費」における(24)(25)式の導出
このとき，支出 ct に関する１階の条件
∞
[QED]
∞
Et [∑ k = 0δkρku′(c t+k)] = Et [(1 + r ) δ ∑k = 0δkρku′(c t+k+1)]
より，消費に関して通常のオイラー方程式
u′(c t) = Et [(1 + r )δu′(c t+1)]
(9′′′′)
が成り立つ．
効用関数が２次であり(1 + r )δ = 1 が成り立っているとき，上式は
c t+1 – ct = ρ(L )(ct+1 – ct ) = et+1
と変形でき，さらに
ct+1 – ct = et+1 – ρet
が得られる．
ここから，
Et [ct+s] = ct – ρet for all s = 1, 2, 3, ...
が得られ，これを予算制約式に代入すると，恒常所得に関する消費関数が
ρ
ct = y t p +
e
1+r t
ρ
ρ
∞
= ytp +
(c – ct–1) = y t p +
{c – (1 – ρ)∑ k = 1ρk–1ct–k }
1+r t
1+r t
1+r
ρ(1 – ρ) ∞
→
ct =
yp–
∑ ρk–1ct–k
(a1)
1+r–ρ t
1+ r– ρ k=1
となる．(a1)式を資産蓄積の遷移式(5)に代入し，さらに恒常所得の定義式(6′)に代入する
と，恒常所得 y t p および支出 ct の時系列に関して
r
y t+1p = y t p + ξt+1 –
ρe
1+r t
ρ
r
ρ
→
ct+1 = y t+1p +
e = y t p + ξt+1 –
ρe +
e
1 + r t+1
1 + r t 1 + r t+1
ρ
= ct + ξt+1 – ρet +
e
1 + r t+1
が得られる．
よって，消費のイノヴェーション et と人的資産のイノヴェーションξt との間には
1+r
et =
ξ
1+r–ρ t
という関係が成り立つ．
37
以上より，恒常所得 y t p および支出 ct の時系列は
ρr
y t+1p – y t p = ξt+1 –
ξ
(24)
1+r–ρ t
1+r
ρ(1 + r)
ct+1 – ct =
ξt +1 –
ξ
(25)
1+r–ρ
1+r–ρ t
となる．
[QED]
１．
「５．３．消費の習慣性」における(27)(28)式の導出
このとき，消費 ct+s（s = 0, 1, 2, …）に関する１階の条件
Et [1 – 2a(ct+s – µct+s–1) + δ(1 + r )2a(ct+s+1 – µct+s)]]
= Et [δ(1 + r ){1 – 2a(ct+s+1 – µct+s)} + δ 2(1 + r )22a(ct+s+2 – µct+s+1)]]
より，次の条件
→
Et ct+1 – (1 + µ )ct + µct–1 = Et ct+2 – (1 + µ )Et ct+1 + µct
= Et {ct+3 – (1 + µ )ct+2 + µct+1}
= ... = Et {ct+s+1 – (1 + µ )ct+s + µct +s–1} = ...
が得られる．
ここで，
Et ct+1 – (1 + µ )ct + µct–1 = c
と置くと，
Et ct+1 – ct = µ(ct – ct–1) + c
Et [ct+s – ct+s–1] = µEt [ct+s– 1 – ct+s–2] + c = µs(ct – ct–1) +
s
∑k = 1µk–1c
となることから，これを，期待値をとった予算制約式
y t p = r ∑s = 0 1 + r 
∞

1
s+1
Et [ct+s]

を１期ずらして引いた
(1 + r )yt p – yt p = rct + r ∑ s = 1  1 + r Et [ct+s – ct+s–1]
∞

1
s

に代入すると，
∞
1 s
s
y t p = ct + ∑s = 1 1 + r  µs(ct – ct–1) + ∑k = 1µk–1c 


µ(ct – ct–1)
(1 + r )c
+
1+r–µ
r(1 + r – µ)
(1 + r)ct
µct–1
(1 + r )c
→
ytp =
–
+
1+r–µ
1+r–µ
r(1 + r – µ)
となることから，今期の消費 ct が今期の恒常所得 yt p および前期の消費 ct–1 の関数
(1 + r – µ)yt p
µct–1
c
ct =
+
–
(a2)
1+r
1+r
r
として表される．
他方資産蓄積の遷移式(5)を恒常所得の定義式(6′)に用いると，
y t+1p = (1 + r )y t p – rct + ξt+1
y t+1p
(1 + r )yt p
ξt+1
→
ct = –
+
+
(a3)
r
r
r
となることから，(a2)(a3)の両式を，恒常所得 y t p および消費 ct について解くと
µ
y t+1p – (1 + µ )yt p + µy t–1p – c – ξt+1 +
ξ =0
1+r t
µ
∴
y t+1p – y t p = µ(y t p – y t–1p) + c + ξt+1 –
ξ
(26′)
1+r t
1+r–µ
ct+1 – (1 + µ )ct + µct–1 – c –
ξ =0
1 + r t+1
= ct +
38
∴
1+r–µ
ξ
1 + r t+1
ct+1 – ct = µ(ct – ct–1) + c +
(27′)
が得られる．
ここで t 期における家計の期待生涯効用 Et[Vt ]を計算すると，
Et [Vt ] = Et∑s = 0δsu(ct+s) = Et ∑s = 0δs[ct+s – a(ct+s – µct+s–1)2] 
ytp
∞
=
– Et∑ s = 0δsa(ct+s – µct+s–1)2 
（∵r = 1/δ – 1 より）
r
となることから，Et [(ct+s – µct+s–1)2]が最小となるときに最大となる．ここで(27′)式より，
1+r–µ
ct+1 – µct = ct – µct–1 + c +
ξ
1 + r t+1
1+r–µ
ct+s – µct+s–1 = ct+s–1 – µct+s–2 + c +
ξ
1 + r t+s
1+r–µ s
= ct – µct–1 + sc +
∑k = 1ξt+k
1+r
となることから，Et [(ct+s – µct+s–1)2]は
Et [(ct+s – µct+s–1)2] = (ct – µct–1)2 + 2sc(ct – µct–1) + s2c2
1+r–µ s
+
∑k = 1var(ξt+k)
1+r
となって c = 0 の時最小となる．
[QED]
４．「６．３．無限期間の効用最大化と予備的貯蓄」における(37)-(39)式の導出
瞬時効用関数 u(ct)が絶対的危険回避度一定(CARA)型であるとき，オイラー方程式は
α⋅exp(– αct ) = δ (1 + r)α⋅ Et [exp(– αct+1)]
(a4)
∞
となる．ここで，消費過程{ct+s}s = 0 の従う関数形を
∞
∞
ct+s = φt +s–1 ct+s– 1 + Γt +s–1 + υt+s
(a5)
と予想(guess)し（ただしφt+s–1，Γt+s–1 は定数，υt+s– 1 はホワイトノイズ），(a4)式に代入す
ると，
exp(– αct) = δ (1 + r)Et[exp(– α{φt ct + Γt + υt+1})]
→
exp(– α(1 – φt)ct + αΓt – lnδ (1 + r)) = Et [exp(– αυt+1)]
(a4′)
となる．
ここで，φt ≠ 1 の場合には，(a5′)式より ct が一意に決まってしまうが，そのように決まっ
た ct は必ずしも予算制約式(3)を満たすとは限らないため，明らかにφt = 1 であり，Γt は
Γt = (1/α)lnEt [exp(– αυt+1)] + (1/α)lnδ (1 + r)
(a6)
となる．この場合δ (1 + r) = 1 が成り立つなら，Jensen の不等式より
αΓt = lnEt [exp(– αυt+1)] > Et [– αυt+1] = 0
∞
となるため，数列{ ct+s }s = 0は単調増加列となる．
(a5)式にφ t+s–1 = 1 for all s = 1, 2, 3, ...を代入すると
ct+s = ct +s–1 + Γt+s–1 + υt +s
が得られ，この(a5′)式を代入すると，予算制約式(3)は，
(a5′)
∑s = 0 1 + r  ct + ∑ s = 1  1 + r ∑j = 1Γt+j–1 – ∑s = 0 1 + r  Et[xt+s]
1
∞
+
s
1
∞
s
∞
s
1
∑ s = 1  1 + r {∑j = 1υt+j – (xt+s – Et[xt+s])} = (1 + r)wt
∞
1
s
s
s
(a7)
と変形できる．(a7)式の両辺の期待値をとると，
ct = y t p – r∑ s = 1  1 + r
∞

1
s+1

s
∑j = 1Et[Γt+j–1]
(a8)
となる．さらにこの(a8)式を元の(a7)式に戻し，すべての j ≥ 0 についてΓt+j = Et [Γt+j]を仮
定すると，
39
s
s
∞
1
s
∞
1
∑s = 1 1 + r  (∑j = 1υt+j) = ∑ s = 1  1 + r  (xt+s – Et[xt+s])
(a9)
s
∞
1
υt+1 = r ∑ s = 1 1 + r  (Et+1[x t+s] – Et [x t+s]) = ξt+1
(a10)
という条件が得られるが，この(a9)式を t+1 期で期待値をとれば，


を得る．
仮定よりξt+1 はホワイトノイズだから，
Γt+s–1 = Γ = (1/α)lnEt [exp(– αξt +s)] + (1/α)lnδ (1 + r)
(39)
となるため，この(39)式を(a8)式に代入すると，消費関数が
ct = y t p – Γ/r
(37)
と求まり，さらに資産の遷移式(5)を用いると，消費の時系列について
ct+s = ct +s–1 + Γ + ξt +s
(38)
が得られる．
[QED]
５．「６．４．不確実性の変化と予備的貯蓄」における(41)-(43)式の導出
(a8)式までは，所得の不確実性が一定の場合と同様の議論が成立する．さらに(39)式より，
s
t
Γt+s = Γt + ∑ j = 1ϕs–jzt+j + ∑ h = 0(ϕh+s – ϕ h)zt–h
(a11)
が成立する．これを(a8)式に代入すれば，
s+1 s
∞
1
t
ct = y t p – Γt /r – r∑s = 1 1 + r  ∑j = 1∑h = 0(ϕh+j–1 – ϕh)zt–h


(41)
が得られる．さらに(a7)(a8)(a11)の各式より，
∑s=1 1 + r {∑j=1υt+j – (xt+s – Et[xt+s]) + [s > 1]∑j=2∑i=1ϕj–1–izt+i } = 0
∞
1
s
s
s
j–1
(a9′)
が成り立つが，この(a9′)式を t+1 期で期待値をとれば，
υt+1 = r ∑ s=1 1 + r {Et+1[x t+s] – Et [x t+s] – [s > 1]∑j=2ϕj–2zt+1 }
∞

1
s
s

= ξt+1 – ϑzt+1
(a10′)
を得る．よって(42)式が得られる．また(a10′)式を(a6)式に代入することで(43)式が得られ
る．
[QED]
６．「６．４．不確実性の変化と予備的貯蓄」における(46)-(48)式の導出
(43)式のΓt において，Et [exp(– αυt +1)]は，消費のイノヴェーションυt+1（≡ ξt+1 – ϑzt+1）
の分布の積率母関数となっていることから，υt+1 の分布が平均 0，分散σ2υt+1 の正規分布
で近似できるとき，その値は
Et [exp(– αυt +1)] = exp(α2σ2υt+1/2)
(a12)
となる49．(a12)式より，Γt は
ασ2υt+1
Γt =
+ (1/α)lnδ (1 + r)
(a13)
2
となる．ここでυt+1 を
αϑλt+1
υt+1 = ξt +s –
(48)
2
とおけば，その分散σ2υt+1 は
α2ϑ2σ2λt+1
αϑλt+1
σ2υt+1 = σ2 ξt+1 +
+ Cov ξt +s，–
(a14)
4

2 
となることから，(a14)式の右辺第２項および第３項がほぼ定数とみなせるとき，消費 ct+1
のイノヴェーションυt+1 の分散σ 2υt+1 が従う確率過程は，恒常所得 y pt+1 のイノヴェーショ
ンξt+1 の分散σ2 ξt+1 が従う確率過程(44)に（定数部分を除いて）等しくなる．よって予備的
貯蓄の項Γt の従う確率過程は，
49
積率母関数については，例えば竹村(1991)p.31 を参照のこと
40
α(Et [σ2ξt+s] – Et–1[σ2ξt +s])
2
αϕsλt
∞  1 j
=
with
∑
(a15)
j = 01 + r  ϕj < ∞
2
となる．これを(40)式と置き換えて同様の計算を行えば，(46)-(48)式が得られる．[QED]
７．「６．６．絶対的危険回避度逓減型効用関数と「緩衝在庫」モデル」における(60)(61)
式の導出
(54)-(59)式を，それぞれ xt = x pt = x p* ，xt t = 0，ept = et t = 1，Ht = H* = x p* /r，σ2ξt+1 = σ*2，
Wt = W* ，および ct = c* の近傍で線形近似すれば，次の６本の方程式体系
ct – c* = βW(Wt – W* ) + βH(Ht – H*) + βσ(σ2ξt+1 – σ*2)
Wt+1 – W* = (1 + r){(Wt – W*) – (ct – c* )} + (xt+1 – x p* )
x t – x p* = x pt – x p* + x tt
(x pt+1 – x p* ) – (x pt – x p*) = (ept+1 – 1)x p*
（∵ (1 – 1)(x pt – x p*) = 0）
x t t = (et t – 1)x p*
（∵ (1 – 1)x pt = 0）
p
p*
x t–x
Ht – H* =
r
が得られる．この６式に新しい変数 ct ≡ ct – c* ，Wt ≡ Wt – W* ，Ht ≡ Ht – H* ，σ^2 ξt+1 ≡ σ2 ξt+1
– σ*2，x ^pt ≡ x pt – x p* ，εpt+1 ≡ (ept+1 – 1)x p* ，εtt ≡ (et t – 1)x p* (= x tt )，およびβxp ≡ βH/r を代
入し整理すれば，(60)(61)式が得られる．
Et [Γt+s] – Et–1[Γt+s] =
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42
図１：予備的貯蓄の誘因
u’(ct+1)
u’(cl)
Et[u’(ct+1 )]
u’(E t[ct+1])
u’(ch)
cl
E t[ct+1 ]
ch
ct+1
図２：不確実性の拡大と予備的貯蓄の誘因
u’(ct+1)
u’(cl−∆ c)
u’(cl)
u’(ch)
u’(ch +∆c)
cl−∆ c cl
E t[c t+1]
43
ch
ch +∆ c
ct+1
図３：最適消費関数 c* t (Wt )
*
ct
c CEQ
*
c t( Wt )
EtWt+1
p
yt
(1 - δ) H t
EtWt+1
- Ht
*
0
Wt
44
Wt