和圏代りに積分を用いれば, 離散変数の場合と同じ垂 うに周辺分布

問
題
4フ
和 の代 りに積分 を用 いれ ば ,離 散変数 の場 合 と同 じよ うに周辺分 布 お よび条
件つ き分布 を導 くこ とが で きる そ の導 き方 は この段 階 の理論 では やや 複雑 で
ある し,ま た これ らの分 布 は 当分 は必 要 が な いか ら,後 の章 にゆず る ことにす
る
問
題
5節
1 2面 ずつ赤,黒 ,黄 のペ ンキを塗 ったサ イコロがあ る このサ イコロを 2回 転が
すとき, この実験 に対す る 2次 元 の標本空間を記述せ よ 各標本点 に どんな確率を割 り
当てれば よいか
2 4個 の自球 と 2個 の黒球 の入 った箱か ら 1個 の球を取 り出す (a)球 l― 番号をつ
け同色 のTlで も区別できるとして,(b)同 色 の球 は区別 で きない として,そ れぞれ ごと
に標本空間を記述し,各 tr本 点 に確率を割 り当てよ
3 3個 の自球 と 2個 の黒球の入 った箱か ら 2個 の球を取 り出す (a)球 に番 号をつ
け同色 の球 でも区別 で きるとして,(b)同 色の球 は区別 で きない として,そ れぞれ ごと
に標本空間を記述 し,各 標本点 に確率を害1り 当てよ
4 3つ の事象 И,B,σ の うち, 少な くとも 1つ が起 るとい う事象の174率 は P(■ }+
P椰 }+P{σ }― P{五 ∩B}― P{■ ∩の 一P{B∩ C〕 +P{■ ∩B∩ σ)で 与えられ ることを示
せ
6節
5 問題 1の サ イ コロを 赤 が 出 るまで転 がす とき, この実験 に対す る標本空 間 を記 述
せ よ 各標 本点 に どんな確 率 を害1り 当 てれ ば よいか
7節
6
白l11個 と 1球 3個 と緑球 4個 を含む 壷 か ら 2個 のTTを 取 り出す とき,(a)最 初
「
で
が自球 ,次 が 黒 TINで あ る確 率 を求 め よ (b)2球 目を取 り出す 11に ,最 初 に取 り出 し
た球 を もとへ 戻 してお くとすれ ば, この確 率 は い くらに な るか
7
第 1の 壺 には 2個 の 自球 と 2個 の黒球 が入 ってお り, 第 2の 壷 には 2個 の 自球 と
(a)各 壼 か ら 1個 のTlを 選 ぶ とき,同 じ色 の球 が 得 られ る確
率を求 め よ (b)無 作為 に 1つ の壼 を選 び,そ れ か ら 11日 の球 を取 り出す とき,そ れ が
3個 の黒球 が入 ってい る
自球 であ る確 率 を求め よ (c)無 作為 に 1つ の壷 を選 び,そ れか ら 2個 の球 をl・ り出す
とき,そ れ らが 同 じ色 で あ る確 率 を求 め よ
8 1つ のサ イ コロを転 が して 5の 日が 出 る確 率 と, 2つ のサ イ コ ロを 転 が して 出た
日の和 が 10に な る確率 を比較せ よ
9 男 の子 が生 まれ る確 率 を 1/2と して, 5人 の子 供 を もつ 家族 の性 別構成 が 次 の よ
うにな る確 率 を求 め よ (a)5人 とも全部 同 じ性 で あ る (b)上 3人 が 男 で下 2人 が 女
(c)5人 の うち , 3人 が 男 で 2人 が 女 で あ る
そ のつ と も と へ 戻 す とい う取 り方 で, 1組 の トランプ札 か ら 1枚 ず つ 沐Lを 17り
出す もの とす る スペ ー ドが 少 な くとも 1回 得 られ る確 率 を 09以 上 に す るには , 何枚
であ る
10
第 2章
確
率
の札を取 り出さねばならないか
11 ふつ うの硬貨 2個 と, 両面 とも表になっているインチキ硬貨 1個 が入 った箱が
あ る この箱か ら 1個 の硬貨 を無作為に選 んで,そ れを 2回 投げ るとき,(9 2回 とも
表 が現れ る確率を求め よ (b)選 ばれた硬貨を 3回 投げ て 3回 とも表が出たとして,そ
れが インチキ硬貨 であった とい う確率を求めよ
12 2つ の箱にはそれぞれ, 1個 のpl球 と2個 の自lt,お よび, 2個 の黒球 と2個
の 自 lが 入 っている 第 1の 箱か ら第 2の 箱へ 1球 を移 したのち, 第 2の 箱か ら 1球 を
T・
取 り出す とき,そ れが自球 であ る確 率を求めよ
13 硬貨を 1「 投げ る 表が出たらサ イコロを 1個 転がし,出 た 日の数だけの ドルを
支払 い,裏 が出たらサ イコロを 2個 転 がし, 出た 日の合計 の数 だけの ドルを支払 うもの
とす る そ の とき,た かだか 5ド ルを支払 えばすむ ことになる確率を求 めよ
14 A,B,Cの 3人 がこの順 に 硬貨を投げて, 最初に表を Цした ものを勝ち と定め
る A,B,Cそ れぞれが勝つ確率 を求めよ このゲームは無限に続 くか もしれない こ と
に 注意せ よ
ン ト銀貨 14個 と 5ド ル金貨 1個 の入 った財布 と, 25セ ン ト銀貨 15イ 回の入
った則布 がある 第 1の 財布か ら 5個 の硬貨をとり第 2の 財布 へ移 し, そ の後,第 2の
財布 から 5個 の 貨を とり第 1の 財布へ移す このよ うな移し換 えのあとで,金 貨が第
1の 財布に入 っている確率 はい くらか
16 1組 の トランプ札か ら l1/の 札を取 り出す とき, 出た札が絵札であった として
15 25セ
ll■
,
それ が「 キ ング」 であ る確率 を求め よ
17 2個 のサ イコロを転がす とき,少 な くとも一方の 目が 6で あった として,出 た 日
の和 が 8を 超 える確率を求め よ
18 箱 の中に 1,2の 数を記入した 2枚 の赤札 と, 1,2,3の 数を記入した 3枚 の緑札
が入 っている この箱 から 2枚 の札を取 り出す とき,(alそ の うち の 1枚 が赤札で あっ
た として,(b)そ の うち の l1/が 1の 数 の記入 された赤札 であった として, 2枚 とも赤
札である確率をそれぞれ求 めよ
19 2個 の黒球 と2個 の自球 の入 った袋か ら 1個 の球を取 り出し, 黒球が出たら自
球 と,自 球が出た ら黒球 と取 り換え る この後, この袋 か ら 1球 を取 り出す とき, 取 り
出した球が自球 であ った として, 最初 に取 った球 が 自球 であ った とい う条件 つ き確率を
求 めよ
8節
20
実業家 のあ るグルー プは 40%が 民主党支持 で, 60%ヵ ヽ共和党 支持 である とい
の 30%と 共和党支持者 の 50%が 喫煙者 であ るとすれ ば, 喫煙者
もし民主党支持者
う
の実業家が共和党支持者 であ る確率はい くらか
21 有望 と思えるガン発見 のある検査法が開発 された 大病院のガン患者 の 97%が
この検査 に陽性反応 を示 し, ガンでない患者 の 5%が 同 じ陽性反応を示 した としよう
病院 の意者 の 2%が ガンにかか っているとす るとき, 無作為に選んだあ る患者 が この検
査に 場性反応を示 した として,そ の患者 が本当にガ ンにかか っている確率を求 めよ
22 3つ の箱にはいずれ も2個 の引出しがついている 第 1の 箱 の各引出しには 1
個 の金貨があ り,第 2の 箱 の各引出 しには 1個 の銀貨があ り, 第 3の 箱 の一方 の引出 し
49
l.5 題
には金貨 が ,他 方 の 引出 しには銀 貨 があ るとす る 1つ の箱 を選 んで, 1つ の引 出 しを
あけた ら金貨 が 出 て きた も う一 方 の 引 出 しに も金貨 が あ る確 率 を求 め よ
9節
23 1組 の トラン プ本しか ら 5枚 の 札を抜 いた ら,
れた
スペ ー ドが 3枚 ,′ ヽ― 卜が 2枚 得 ら
さらに 残 りの トラン プ札 か ら 2枚 を抜 い た とき, この 2枚 が スペ ー ドで あ る確 率
を求め よ
24 ブ リッジで あ る人 がそ の手 に 2枚 の エ ースを持 つ とき,彼 の パ ー トナ ーが (a)1
枚のエ ース,(b)2枚 の エ ース,を 持 つ 確 率 をそれ それ 求 め よ
25 1組 の トラン プ札 か ら 5枚 の 札 を取 り出す とき, そ の うち の 3枚 が エ ース で あ
る確率を求 め よ
26
ブ リッジで 1人 の人 の手 に Fnlじ 種 類 の 13枚 の札 が配 られ る確 率 を求 め よ
27 40個 の 良品 の ヒェ ーズ と 10個
ズを選ぶ とき,
の不 良品 の ヒェーズの人 った締 か ら 7個 の ヒ ュー
7個 とも全部 良品 が 得 られ る確率 を求 め よ
28 40人 の グル ー プか ら 3人 を 選 ぶ とき,
この グル ープの中 の特 別 な 10人 が誰 も選
ばれない確率 を求 め よ
29 売 られ た ■ 枚 の うち 5枚 が 賞 金付 きで あ る よ うな富 くじを 2枚 持 って い ると き
この うち少 な くとも 1枚 に賞 金 があた る確率 は い くらか
30 ブ リッジで南 北 に位 置す る 2人 の 手 に どち ら もち ょうど 2枚 う°つ の エ ースが く
,
る確率 は い くらか
31 ブ リッジで あ る人 とそ の パ ー トナ ーの手 に 9枚 の スペ ー ドがあ る とき,敵 方が持
つ 4枚 の スペ ー ドが 3枚 と 1枚 にわ か れ てい る確 率 は い くらか
32 5枚 の札 を もつ あ るボ ー カーの手 が ,(a)そ
の うち の少 な くとも 4枚 が黒 札 で
あるとして,(b)少 な くとも 4枚 が スペ ー ドで あ る として,黒 札 だけを含む確 率 をそれ
それ求め よ
33 5枚 の札 を もつ あ るボ ー カーの手 に ,10以 上 の札 が少 な くとも 3枚 あ る として
7以 下 の札 が全 くな い確 率 を求 め よ
,
34 2個 の使 貨を 2回 投 げ て 得 られ る表 の数 をそれぞれ 工 yと す る とき,y_Xが
0以 下 にな る確 率 を求 め よ
35 Aは 2個 の硬 貨 を, Bは 3個 の硬 貨 を同時 に 投 げ, 表 の 出た数 の 多 い 方 を勝 ち
と定 め る (a)Aが 勝 つ le率 を求 め よ (b)表 が 同数 出た ときは勝 負を繰 り返す とす る
とき,Aが 勝 つ確 率 は ど うな るか
36
(.11)+(1)=(・ 11)を 証 明せ よ
12節
37
密度 関数 ∫(■ )=θ 1/χ L″ =0,1,2,一 が与 え られ た として,(a)P{X=2〕 を 計
lが この密 度 に 対す る適 切な定 数 で あ る こ と
算せ よ (b)P{Xく 2〕 を計 算せ よ (c)θ
を示せ
38
硬 貨 を表 が 出 る まで投げ る とき, (a)4回 日に初 め て表 が 出 る確 率を 求 め よ
(b)表 が出 る までに ″回 の投 げ を必要 とす る確 率 ∫(χ )を 求 め よ (c)密 度関数 ∫(■ )の
グラフを示せ
解
][:]を
●
答
言
肯
[I[1:[:[![[:[7:書 言
IP馨
: 2o:の
確率をもつ ∝に
(b)そ れぞれ確率が
:と :の 2点
駐
3 6)券 の
つ20個 の
確率をも
点
●
)書 の
つ3点 と+の 確率をも
確率
をも
つ1点
●
９
２
(a):,(b):
一
16:
２
: 21o28
25為
‰
｀ヽ
０
３
3`∫
00/(郵 )｀
11`/2ヒ
;b/7う
[)
161
1456
5
畿
①
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38 6)+,
証
③
八D=;,
③
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J弩
三
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寺,① 器
34
37 o)o184,6)o736,o
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②=÷ ,∫ ③=:,―・
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O)∫ o)=(:)l
0)∫ c)=赫
29
11
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0∫ ③=+,∫ ①=+,∫ ②=会 ,―
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を用 い よ
)=09875,一