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時間領域で解決する 電磁界シミュレーションの基礎知識
時間領域で解決する 電磁界シミュレーションの 基礎知識 今日にいたるまでに多種多様な電子電気機器の設計 開発過程で電磁界シミュレーションが必要とされ、そ 不安定さを招くおそれがあります。FIT は上記の問 題を明快に示し、適切な解を導き出します [12]。 れに応じるようにさまざまな解析法が開発されてきま 直交格子（グリッド）を用いる時間領域解析では した。あらゆる応用のそれぞれに高精度の解を早く導 他の解析法と比較して分散誤差（dispersion error） き出すための研究が今も続けられています。この冊子 が大きな問題になります。分散誤差が生じる要因は、 ではそうした解析法のなかでも特に時間領域の解析法 格子を通過する波の伝搬速度がその方向に依存する に焦点を当てて解説します。まず 3 つの主要な時間領 ことにあります。ただし多くの場合、この誤差は抑 域解析法について特長と概念を述べた後、周波数領域 制することができます。 解析法と、やや特殊な時間領域解析法を簡単に紹介し 以 上、3 つ の 時 間 領 域 解 析 法（FDTD、TLM、 ます。後半は応用例を挙げて、時間領域解析の特長的 FIT）に共通の長所と短所について説明しました。一 な機能と有用性を解説します。 方、これらの解析法には相違点も少なくありません。 以下、この相違点について述べます。 時間領域解析の特長 時 間 領 域 の 解 析 法 は、FDTD（Finite Difference 手法で、メッシュの向きは必ず座標軸方向に一致し Time Domain）の発表（Yee、1966 年）[1] を機に目 ます。通常は直交メッシュを使用しますが、それ以 覚ましい進歩を遂げ、電磁界解析において周波数領域 外のメッシュによるスキームもあります [2]。 解析と並ぶ重要な位置を占めるに至りました [2]。3 次 FIT は、メッシュセルのエッジに沿う電圧とメッ 元時間領域解析についてはこれまでに多くの解析法が シュセル表面を通過する磁束を用いて、格子空間に 発表されましたが、現在入手可能な商用ソフトウェア おける Maxwell Grid 方程式を記述します。この方法 の大半は上記 FDTD、TLM（伝送線路行列、1971 年） は時間領域ばかりでなく周波数領域にも、またどの [3][4]、および FIT（有限積分法、1977 年）[5][6] の ようなメッシュにも使用可能です [7][8][9]。 いずれかに基づきます。以下では、これらの解析法を 中心に説明します。 TLM は、小さい伝送線路を大きいメッシュで模擬 して、波動の伝搬を表現します。FDTD や FIT に比 3 つの解析法は、いずれも陽解法の時間積分アルゴ 較してメッシュセルあたりの未知数が多くなります リズムに基づきます。また、下記の二点で周波数領域 が、 半セルずらした格子（staggered grid）を必要 解析法と大きく異なります： としない [1][6] ため TLM の電磁界モデルは集中定数 • • 線形方程式を解く必要が無い。時間領域解析 回路素子と容易に接続できます。また、構造細部に のアルゴリズムは、疎行列についてタイムス 対しマクロモデルを適用し、微細なメッシュが生成 テップごとにベクトル乗算を行うのみである。 されるのを回避できます。 計算に必要なコンピュータ資源（特にメモリ） と未知数が比例する。 2 FDTD は微分方程式を差分法によって離散化する 陽解法による時間積分は基本的に直方形の直交 メッシュを使用し、曲面形状をいわゆる階段状近似 上記は、特にボリュームベースの周波数領域解析 で表現します。この粗い近似では誤差が大きくなる と対比させた場合に、時間領域解析の際立った長所と 傾向があります。誤差を抑制するには、従来はメッ なります。 シュを非常に細かくするしかありませんでしたが、 短所としては、タイムステップがメッシュに依存 現在では新しい技術が開発され、メモリ効率に優れ する点が挙げられます。陽解法の時間領域解析では、 る FDTD の長所を損なうことなく形状近似が改善さ メッシュサイズが小さいほどタイムステップは小さく れています [10][13]。階段状近似ではひとつのセルは なり、シミュレーションの安定性が増す一方で、計算 単一材質で占められますが、この技術ではひとつの 時間は増加します。タイムステップの上限はシステム セルが2つの材質で占められることが許容されます。 行列の固有スペクトルによって決まります。シンプル また、特別なアルゴリズムを用いてそれらの材質の なケースではこれをクーラン条件で近似することがで 境界を正確に考慮します。その結果、下記の二通り きます [11]。とはいえ、基本的な空間離散アルゴリズ の働きによりシミュレーションの高速化に寄与しま ムを変更する場合、それがどのような変更であっても す： 3D Simulation Guide - Time Domain Analysis • • 階段状メッシュに比較して少ないメッシュセ ますが、ボリュームではなくオブジェクトの表面だけ ル数で目的の精度に達することができる を離散化するため（サーフェスメッシュ）総メッシュ 階段状メッシュに比較してメッシュセルのサ 数を抑えた大規模空間の解析が可能となります。ボ イズが大きくなり、したがってタイムステップ リュームメッシュによる解析法と異なり、サーフェス も大きくなる メッシュによる解析法には分散誤差の問題がありませ 上記技術を使用すると、メッシュを最適化するプロ ん。この解析法について詳しくは『始める前に読む！ セスにおいても収束が向上します。階段状メッシュに 電磁界解析の基礎知識（原題“A practical guide to 3D 比較して収束が早く、安定性の面でも優れます。 simulation” ） 』を参照してください。 周波数領域解析の特長 その他の時間領域解析法 周波数領域解析は上記の解析法（FDTD、TLM、 FIT）と同様に商用ソフトウェアで広く使用されてお 上記以外の、あまり知られていない時間領域解析法 について説明します。 り、なかでも FEM（有限要素法）は最もよく知られ 時間領域有限要素法 [15] と時間領域積分法 [16] は、 た解析法です [24]。FEM は四面体メッシュを使用し、 直交格子より柔軟性に富む四面体や三角形の格子を使 四面体が本来的に柔軟性に富む形状であることから、 用することで曲面形状近似の改善を図る解析法です。 形状近似において優れます。その反面、直交メッシュ どちらも陰解法の時間領域積分を行い、細かいタイム に比較して生成過程が複雑で時間もかかります。 ステップを必要とせず、したがって陽解法に比較して FEM による解析では周波数点ごとに連立方程式を シミュレーションのタイムステップ数が大幅に少なく 解く必要があります。十数年前までは、このことが周 て済みます。陰解法の時間領域解析には直交格子を使 波数領域解析の大きな欠点でした。近年では連立方程 用する有限差分法もあります [17]。ただ、陰解法のア 式の解法が進歩するとともに、計算アルゴリズムの効 ルゴリズムでは、いずれの解析法も線形連立方程式を 率が向上しています。さらに並列計算や分散計算を用 タイムステップごとに解く必要があり、これが大きな いて、相当に規模の大きい問題についても周波数領域 難点となります。概して陰解法は陽解法に比較して、 解析で解を求められるようになりました。それでも、 より多くの時間とメモリを必要とします。 今日の時間領域解析が扱う、未知数が 100 億にも及 近年になって流体力学から導入された解法に ぶような超大規模問題は、周波数領域解析の守備範囲 discontinuous Galerkin 法があります [18]。Galerkin 法は をはるかに超えます。四面体メッシュの周波数領域解 四面体格子を使用することができます。また、FDTD、 析で扱えるのはせいぜい数千万メッシュセル程度で TLM、FIT と同様な陽解法の長所を備えており、大規 あり、時間領域解析で計算可能なメッシュセルの 100 模問題の精度に関して有望な解法です。しかし現在は 分の 1 程度にとどまります。 まだ開発の初期段階にあって、シミュレーション時間 一方、低周波問題や Q の高い問題では立場が逆転 とメモリの必要量の両方に改善の余地を残しています。 し、周波数領域解析に優位性があ ります。Q の高い問題ではすべて の信号が 0 まで減衰するのに時間 がかかり、したがって時間領域解 析に長時間を要します。これとは 別に、周波数領域の計算には任意 の周期的境界の設定が可能で、無 限周期構造のシミュレーションが 行えるメリットがあります。 周波数領域解析にはオブジェク トの表面を離散化する解析法があ ります [25]。積分計算が複雑になり 時間領域の手法 ・陽解法 周波数領域の手法 FEM FDTD FIT TLM モーメント法 FIT ・陰解法 時間領域有限要素法 時間領域積分法 有限差分法 図1 : 主な3次元数値解析法 3D Simulation Guide - Time Domain Analysis 3 以上をまとめると、四面体格子を用いる時間領域 形のシステムでは時間領域解析と周波数領域解析は アルゴリズムは陰解法と陽解法のいずれも、現状で フーリエ変換によって移行可能であるので、このよう はまだ形状近似の精度を向上させる決定打にはなって な適不適は存在しないはずですが、実際には計算効率 いません。時間領域解析は盛んに研究が進められて の面で違いが生じる可能性があり、表の記号はそれを いる分野であり、上記の解析法以外にもこれまでに有 含めた評価を表します。評価の値は解析効率の程度を 限 容 積 時 間 領 域 法（finite-volume time-domain）[26]、 示し、 「++」は良または優、 「+」は可、 「－」は不適を 疑似スペクトル時間領域法（PSTD： pseudo spectral それぞれ表します。 なお、 これは決定的な評価ではなく、 time-domain）[27]、多重解像度時間領域法（MRTD： あくまで解析法を選択する際の目安です。 multiresolution time-domain）[28]、高次 FDTD スキー ム [29] が発表されています。 解析例 時間領域 vs. 周波数領域 以下では時間領域解析の応用について、実際の解析 先述の通り、問題の規模が大きい場合は明らかに時 間領域解析が有利です。これ以外にも時間領域解析は 例を挙げて説明します。なお、解析法は FIT と TLM を使用します [19] [20]。 周波数領域解析に無い下記の特長を備えます： • 任意の時間信号を励起信号にできる • 1 回のシミュレーションのみで広帯域を計算し 広帯域シミュレーション 1：UWB アンテナ 複数の周波数点における結果を求める 界パルスとアンテナに入力した信号の電磁界波形が • 過渡電磁界の解析（トランジェント解析） 一致する必要があります。このため設計精度を高め • 非線形効果の考慮 るには時間領域解析が必須となります。 これとは対照的に周波数領域解析法は低周波問題や 固有モード計算、共振性の高い構造の問題に適します。 この解析例では論文 [21] のアンテナを少し変更し たモデルを用います。モデル形状を図 2 に示します。 下表に電磁界問題に対する時間領域解析と周波数領 このアンテナの広帯域特性は、同軸からコプレーナ 域解析（ボリュームベース）の適合性を、問題の種類 導波路へのトランジションによって大きな影響を受 別に示します。原理的には、荷電粒子が存在しない線 けることが予測されるため、トランジションの最適 化を目的とする解析を行います。具体的には同軸の 時間領域 周波数領域 メッシュ生成の負荷 ＋＋ － 過渡解析 ＋＋ － 広帯域計算 ＋＋ ＋ 遠方界分布を示します。経過時間により遠方界分布 コシミュレーション ＋＋ ＋ が大きく変化しています。他方、従来の周波数軸に － ＋＋ よるモニタリング（ここには示していない）では動 未知数が1010を超える問題 ＋＋ － 作周波数範囲においてダイポール特性を示し、上記 非線形材質 ＋＋ － 非線形コシミュレーション ＋＋ － 電磁界および粒子ビーム シミュレーション ＋＋ － EMC シミュレーション ＋＋ ＋ 固有モード計算 － ＋＋ 共振性の高い構造 － ＋＋ 周期的構造 ＋ ＋＋ 低周波問題 表1：時間領域解析と周波数領域解析 (ボリュームベース)の比較 4 UWB アンテナでは、アンテナから放射された電磁 3D Simulation Guide - Time Domain Analysis 接続面に定義したポート機能で信号を励起し、放射 による近傍界および遠方界分布を計算します。図 3（b） と（c）はそれぞれ励起から 0.93ns 後と 1.23ns 後の の時間領域解析と明らかに異なる結果となっていま す。 電界プローブによる信号波形を図 3（a）に示します。 減衰とともに僅かな変形が遠方界のプローブ信号に 見られます。 現実的な条件下でのアンテナ特性をシミュ レー ションによって求めるには、アンテナだけでなく給 電や整合回路も含めた解析が必要です。アンテナの 3 次元モデルと回路を接続したシミュレーションによ り、現実的な遠方界信号の計算が可能となります。 (a) (b) 図2 : UWBアンテナの解析モデル (a) 形状 (b) 離散化したメッシュ。新しいメッシュ技術を使用し[10]、曲面形 状には材質の境界を考慮しながら直交メッシュを生成する。 V/m 0.7 y Input Nearfield V/m 9 y Farfield × 20 0.4 5 Phi z 0 0.5 1 1.5 t (ns) (a) 2 Phi x Theta 2.5 z x Theta 0 (b) 0 (c) 図3 : UWBアンテナの解析結果 (a) 時間領域電界プローブによる観測結果 入力信号と近傍界、遠方界(アンテナ 上空250mm( 計算領域外 )) 横軸は時間 (ns)。遠方界信号のみ振幅を20倍にして表示。 (b) 信号入力後 0.93ns の 遠方界 (c) 同1.23ns の遠方界 広帯域シミュレーション 2：航空機への落雷 航空機への落雷の解析には、下記の理由で時間領域 解析が適します： 落雷解析が重要な意味を持ちます。解析の手順は、ま ず落雷により発生する電磁界のシミュレーションを行 い、次にその電磁界を励起源とするシミュレーション • 入力信号が時間信号である を実行して、計器類を含む航空機細部の電磁界を計算 • 大型構造を対象とする します。 時間領域で計算した 3 次元電磁界に対しフーリエ シミュレーションの正確さ（accuracy）はメッシュ 変換を適用することで周波数軸の電磁界分布が得られ のステップサイズ（step size）と密接に関係していま ます（次頁図 4（b） ）。また時間領域シミュレーショ す。これら 2 つのパラメータの設定では、下記の二点 ンでは電磁界プローブ機能により、機体の表面電流 を考慮します： データを時間軸で記録することができます（次頁図 第一に、伝搬する波を正確に表現するために、メッ 5） 。落雷によって生じる電磁界を模擬し、航空機の計 シュの分解能を十分に高くする必要があります。原則 器が受ける影響を調べます。計器に複合材料のような として、波長に対するステップサイズの比率を 10 以上 先進の材質が使用されている場合は特に、このような とすることにより、高い精度が得られます。 3D Simulation Guide - Time Domain Analysis 5 第二に、形状を正確に表現する必要があります。 を得るには 1 波長あたりのメッシュステップ数を最 この例は MHz 帯の問題であるため、上記の原則を適 低でも 10 に設定する必要があります。その場合は未 用するとメッシュステップが粗くなる、つまり形状を 知数が 20 億を超える計算規模になりますが、時間領 正確に表すにはメッシュが大きくなり過ぎます。この 域解析であれば 52GB ほどのメモリで実行可能です。 ような場合は、形状の細部を考慮してメッシュステッ それだけでなく、時間領域解析は 1 回のシミュレー プサイズを決めます。 この方法によれば、 この例のメッ ションで任意の周波数範囲の電磁界データを求める シュセルは 30 万となり、波形を十分正確に表現でき ことができ、広帯域計算が必要な応用に適します。 る分解能が得られます。電磁界成分の未知数は合計 この例では 0Hz から 950MHz までの計算を行います。 190 万、パルスの持続時間を比較的長く取る必要があ 時間領域解析で使用される直交メッシュは、この るためタイムステップの合計は 12 万となります。 例のように膨大な数にのぼる場合でもミリ秒のオー メッシュ生成過程は短時間で終了します。実際に ダーで生成されます。前の落雷解析と同様に、シミュ 要した時間は、行列係数の計算に 46 秒、タイムステッ レーションを通して、外部電磁界（図 6（b））が計器 プ の 計 算 に 44 分 で す（Intel Core2Duo 搭 載 の PC におよぼす影響の詳細な解析が可能です。ここでは （3.16GHz）を使用） 。 平面波照射を励起原としていますが、より複雑なモ デルを使用して、たとえば機内のワイヤレス通信が 広帯域シミュレーション 3：航空機の EMC シミュレー ション およぼす影響を解析することもできます。 今回の解析は前述の落雷シミュレーションに比較 前述の落雷シミュレーションは未知数 190 万の比 してかなり波長が短いため、これがメッシュステッ 較的規模の小さい計算例でしたが、同じ航空機でも プの大きさの決定要因となります。すなわち 1 波長 機内の細部と搭乗者を含めて（図 6（a））900MHz あたり 10 メッシュとしたメッシュ生成の設定により の平面波で照射するシミュレーションでは問題の規 メ ッ シ ュ セ ル の 総 数 は 4 億 1400 万 と な り、15,000 模がはるかに大きくなります。そこそこ質の良い解 タイムステップで未知数 25 億の電磁界成分を求める l(t) I(t ) (A) 2e 5 1e 5 0 0 50 t (μs) (a) 100 4 0 –4 –8 –12 –16 (b) 図4 : 落雷シミュレーション (a) 二重指数関数で表した励 起信号 ( 時間関数としての電流 ) (b) 落雷を受けた航空機 モデルの表面電流分布(1.3MHz) 高速フーリエ変換により 抽出。赤い矢印は落雷の入口と出口を表す。 6 3D Simulation Guide - Time Domain Analysis 0 1 t(μs) 2 図5 : 航空機の EMC シミュレーション カラードットで 示した各点における表面電流の時間変化。 PCB と筺体の EMC シミュレーショ ン EMC 解析は、問題が生じる周波 数をあらかじめ特定するのが難し いため、広帯域解析によらざるを 得ません。その意味で時間領域解析 (a) を選択するのは必然です。EMC 解 V/m 4.00 析の代表例としてプリント回路基板 2.74 （PCB）と筺体の問題を考えます。 1.64 機器の放射特性は、放射源となる 0.95 装置（この例では PCB）の電磁特性 0.52 に依存するばかりでなく構造の仕様 0.25 （ベント、継ぎ目、ケーブル、寸法 0.08 (b) など）にも左右され、不要輻射の削 θ 減やイミュニティ強化などの対策に 図6 : 乗客と乗務員を乗せたA320航空機のシミュレーション (a) 外観と内部 (b) 平面波を照射した結果 磁界(絶対値)表面図とその断面表示 (900MHz) よって必ずしも思い通りの効果が得 られるものではありません。電磁界 シミュレーションは、問題を設定し 計算を行います。実際の計算に要した時間は、行列 ソリューションを求める手段として有効ですが、問題が 係数の計算に 330 分、タイムステップの計算におよ 複雑になりがちなEMC解析では、規格への適合性をイ そ 28 時 間 で す（64bit、Xeon X5472（3GHz） を 2 ンタラクティブに改善できるような先進のシミュレー 台搭載の PC）。時間領域解析は並列計算が可能であ ション技術が必要となります。 るため、コンピュータクラスタなどを使用して計算 この例では比較的単純なレイアウトのPCBモデルを 時間を大幅に縮小することができます。 電流で励起し放射シミュレーションを行います。PCB 時間領域解析では時間信号を離散フーリエ変換す モデルは筐体内部に配置されています（図7） 。問題の複 ることによって周波数領域の結果を求めます。この過 雑さを下げ計算時間を短縮するために、段階を分けてシ 程で誤差が生じる可能性があります。つまり、理想的 ミュレーションを実施します。まずPCB専用のシミュ には時間信号が減衰し 0 になるのを待ってフーリエ変 レーションプログラム（[19] のモジュール）でPCBに流 換を実行しますが、それが難しい場合はいくらか現実 れる電流を計算します。次に、PCB を覆う仮想ボック 的な方法として、入力信号の振幅に比較して十分に小 スを想定し、ボックス表面に流れる電流と磁流を、等価 さい値をあらかじめ基準値として指 定しておき、減衰する時間信号がそ の基準値に達した時点でシミュレー ションを停止する、という設定がで 40 20 きます。その場合、膨大な数のメッ シュセルのすべての電磁界成分につ 0 –20 いて上記の停止基準をチェックする –40 –60 のでは時間が余計にかかるため、代 替手段として、計算領域全体の電磁 界エネルギーをチェックします。減 衰したエネルギーが設定した基準値 に達した時点でシミュレーションを 停止します。 –80 (a) Without Shielding Gasket With Shielding Gasket 0 0.2 0.4 0.6 f (GHz) 0.8 1.0 (b) 図7 : PCB と筺体のシミュレーション (a) PCB を収めた金属製筺体外観 (b) 最大 電界強度 (dB μV/m）距離3m、周波数軸、シールディングガスケット無し（赤） と有り（緑） 3D Simulation Guide - Time Domain Analysis 7 原理に従って広帯域で計算します。最後に仮想ボック 結合シミュレーション : 電磁界と非線形素子 スを筺体内部に配置し、これを放射源として広帯域シ 3次元構造を持つ電子部品を線形素子や非線形素子 ミュレーションを行います。この手順を踏むことによ を含む回路に接続したシミュレーションでは、強い りシミュレーションモデルの複雑度を低減することが 非線形を示すのであれば時間領域の回路シミュレー できます。 ションが最も信頼できる手法であることが知られて 筺体にはベントや継ぎ目などの構造細部がありま います。その理由は、ハーモニックバランス解析の す。ボリュームベースの解析法では細部の孔のひとつ ような周波数領域解析では、十分な数の高調波を考 ひとつまでメッシュで表現する必要があり、そのため 慮しないと結果が不正確になるおそれがあるためで 無駄に多くのメッシュセルを要しますが、コンパクト す。 モデル [20] を導入するとそれを大幅に低減できます。 解析を実際に実行する方法はいくつか考えられま コンパクトモデルは細部形状の伝送インピーダンス特 す。例えば、まず部品のシミュレーションを実行し 性をマクロモデルで表現する機能です。この機能によ て3次元構造の電磁特性を S パラメータマトリクスと り、精度の劣化を許容範囲内に留めながら、メッシュ して取得し、次にこれをタッチストーン形式で回路 ノード数とシミュレーション時間を劇的に削減するこ に接続して非線形トランジェントシミュレーション とができます。この例では、数回の FCC コンプライ を行うことができます。 アンスシミュレーションのみで、シールディングガス 3次元モデルが多ポート構造である場合は、上記の ケットの導入により全体構造の EMC が大幅に改善す タッチストーン形式を経由する方法ではなく、モデ ること（前頁図7）が示されました（図8） 。 ルと回路を直接接続してトランジェントシミュレー ションを行うのが解析効率が良い方法です。この方 法には非線形効果による電磁界を考慮できる利点も あります。 直接接続による例が、ステップリカバリダイオー ド（SRD）パルスジェネレータのシミュレーション 210 60 です。このパルスジェネレータは、図9に示すよう 240 30 に、2本のコイルを含むコプレーナ導波路構造です。 0 270 330 300 Frequency: 713 MHz Polarization: Vertical (Axial) この3次元構造に、キャパシタやインダクタ、測定用 ケーブルモデル、および SRD を含む回路に接続しま R.M.S Magnitude/uV/m す。SRD に は、SMD パ ッ ケ ー ジ の 寄 生 成 分 を 含 む 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 SPICE モデルを使用します。パルスジェネレータの 図8 : PCBと筺体のシミュレーション 3m 電界スキャン でFCCコンプライアンスをテストしたもの (713MHz) 励起は、サイン波形の時間調和信号を低域通過フィ ルタに通したもので行います。SRD の非線形性によ り鋭いスパイク波形を作ります（図10（b））。3次元 モデルは現実の構造と厳密に一致させることができ ないにもかかわらず、測定結果と一致する結果がシ ミュレーションで得られます。 進行波管の PIC シミュレーション 進行波管（TWT）は高周波信号を高出力に増幅す る目的で使用されます。増幅には複数の構成要素が 関わります。まず、電子銃が連続的な電子ビームを 図9 : SRD の3次元解析モデル ( 下 ) とテストサンプル （上）(Czech Technical University の承認を受けて掲載 ) 発生させます。熱したカソードから出た電子は静電 界により加速され、アノードから放出されて遅波構 造に入ります。遅波構造の内部で、電子の運動エネ 8 3D Simulation Guide - Time Domain Analysis 1 15 p 4 2 1 1ʹ 1 4ʹ 5 2 1 2ʹ 6 6ʹ 2 11 2 3 1 0 SMMD840 –1 0.05 n 0.6 n 0.1 p 0.02 p Input InputVoltage Voltage 2 Cv p 3 3ʹ5 5ʹ 10 p OutputVoltage Voltage Output (Measured) (Measured) 4 2 0.2 p 0.02 p 0.11 p (a) Output Voltage (Simulated) –2 –3 9 10 11 t (ns) (b) 12 13 14 図10 : SRD のシミュレーション (a) SRD パルスジェネレータの回路モデル。伝送線路、ケーブルモデル、SRD、 集中回路定数素子を含む。 (b) シミュレーションの結果。入力電圧と出力電圧の時間軸プロット ルギーの一部が高周波に変換されます。この波が電 磁界が必ず同期します。電磁波によって粒子が加速 子ビームと相互作用し、システム外部と結合します。 （減速）される場合は、粒子は構造全体にわたって加 電子ビームはビームコレクタで確実に減衰させます。 速（減速）します。つまり、縦構造はビームに従う この例の TWT は、微小な導波路を折り曲げた構 ことになります。この構造（ビーム構造）は同一構 造をしており [22]、220GHz で動作します。これを時 造の波形を励起し、これにより信号が増幅されます。 間領域で解析します。 この増幅を有効なものとするためには、TWT を特定 静電界によって加速された電子は光速の1/4程度に の長さとする必要があります。 達し、遅波構造に入るときには既にいくらか相対論 このようなマイクロ波管は過渡的な動作をする 的電子になっています。空間電荷によるビームの発 ので、シミュレーションは時間領域でのみ可能とな 散を防ぐためにソレノイド磁界を印加しているので、 ります。DC ビームからパルスビームへの変換によ 電子はらせん軌道を描きながら遅波構造内を進みま る高周波信号の増幅をシミュレーションするには、 す。 過渡電磁界だけでなく相対論的な電子の運動や電子 図11に TWT の構造モデルを示します。図左側の によって励起されるタイムステップごとの電磁界を ポートに低電力の信号を入力します。ミアンダ状線 考慮しなければなりません。このようなシミュレー 路の長さは、内部を進行する波の位相速度と粒子の ションは、[19] に含まれる Particle-in-Cell（PIC）コー 速度が一致する長さに決められており、その結果、 ドによってのみ行う ことができます。そのシミュ ビーム管と導波路が交差する点において、粒子と電 レーションの結果を図12（次頁）に示します。 (a) (b) RF-In Particle Beam Particle Beam Beam Collector RF-Out (c) 図11 : TWT のシミュレーション (a) TWT 構造モデル ( 全体 ) (b) TWT 構造モデルの詳細 (c) 粒子ビーム。 エネルギー偏差に従ってビームを色分け表示。ビームバンチが増加している。 3D Simulation Guide - Time Domain Analysis 9 0.6 i1(0.05,0,signal1) Reflection 01 pica Input 0.4 02 pica Output 0.2 0 –0.2 –0.4 0 100 200 300 t (ps) 400 500 600 図12 : TWT のシミュレーション 進行波管内の信号の時間軸プロット。赤は入力信号、緑は入力ポートにおける反 射信号、青は増幅された出力信号を示す。プレカーサーの発生と減衰という非線形な過渡特性が明瞭に現れている。 まとめ 時間領域解析法は成熟期に入り、電子機器関連の シミュレーションに適した解析法として日常的に使用 されています。時間領域解析には数々の利点がありま す：まず、シミュレーションが高速でメモリ効率に優 れるため、規模の大きい構造の解析が可能である点。 第二に、シミュレーションを1回行うだけで広帯域の結 果が得られる点。第三に、先進のメッシュ生成技術に より、曲面を含むさまざまな形状に対して高精度の形 状近似が可能な点。時間領域の電磁界シミュレーショ ンは他の物理領域のシミュレーションとの連成を最も 自然な形で行うことができます。これにより包括的な システムシミュレーションの応用の幅が広がり、また 多様な物理効果を考慮に入れた設計が可能となります。 この文書では時間領域解析に焦点を当てて説明しま した。ほとんど触れませんでしたが、周波数領域解析 にも独自の特長があり、得意とする応用分野がありま す。問題の内容によっては、周波数領域解析が適当あ るいは唯一可能な解析法となる場合もあります。とは いえ、私たちは時間が支配する世界に生きています。 最後に、EMC コンサルタントとして活躍されている E. Bogatin氏の言葉を借りて結びの言葉とします： ”The most important quality of the frequency domain is that it is not real. It is a mathematical construct. The only reality is the time domain.” [23] 参考文献 [1] K.S. Yee,“Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’ s equations in isotropic media,”IEEE Antennas and Propagation, vol. 14, pp.302-307, 1966. [2] A.Taflove and Susan C. Hagness, Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method. 3rd edition. Boston: Artech House, 2005. [3] P.B. Johns, R.L. Beurle,“Numerical solutions of 2-dimensional scattering problems using a transmission-line matrix,”in Proceedings of the IEE, vol. 118, no. 9, pp. 1203-1208, 1971. [4] Christos Christopoulos, The Transmission-Line Modeling Method: TLM. Wiley-IEEE Press, 1995. [5] T. Weiland,“A discretization method for the solution of Maxwell's equations for six-component fields,”Electronics and Communication (AEÜ), vol. 31, p. 116, 1977. [6] T. 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[23] Eric Bogatin, Signal integrity: simplified, New Jersey: Prentice Hall Professional Technical Reference, 2004. 3D Simulation Guide - Time Domain Analysis 11 時間領域で解決する電磁界シミュレーションの基礎知識 2010 年 9 月 初版第 1 刷発行 2012 年 9 月 第 2 版第 1 刷発行 2014 年 9 月 第 2 版第 2 刷発行 株式会社 エーイーティー www.aetjapan.com 〒215-0033 神奈川県川崎市麻生区栗木 2-7-6 CST - Computer Simulation Technology AG www.cst.com 本冊子記事の無断転載を禁じます ©2014 AET, Inc. All rights reserved. C-SO109-003