テイラー展開 - OGIFEST

テイラー展開（Taylor expansion）
例．(1.0007)15 を考える。
馬鹿正直に 1.0007 を 15 回かける
→具体的な値(=1.01055)
そんなもん大体 1 だろ！
→テイラー展開 0 次近似
大体「1+15×0.0007=1.0105」くらい？
→テイラー展開 1 次近似
x が 0.0007 みたいにすごく小さいとき
(1+x)15 の代わりに
1+15x を計算
sin(x)の代わりに
x を計算
cos(x)の代わりに
1－0.5x2 を計算
log(x)の代わりに
x－1 を計算
これがテイラー展開！
最初の例で 1 と 0.0007 を分離していることに注目する！
これはすごく小さな部分を分離して、まずは「大体 1」と考えている
これが「x=a の周りでテイラー展開をしなさい」ということ（今回は a=1）
x が a に近いんだったら f(x)は f(a)に近いはず
つまり f(x)~f(a)となる。
a が定数なので f(a)も定数、つまり f(x)を定数で近似していることになる
x=a の周りで考える、ってことは x が a に近いんだったら x-a は微小な量である
今回の場合だったら(x-a)=0.0007 となっている
もちろん微小な量である(x-a)を 2 乗 3 乗したものはもっと微小な数値となる
テイラー展開のポイント
微小な量である(x-a)の多項式 の形にするところ
仮の係数 c を用いて式にすると
f(x)~c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+c3(x-a)3+c4(x-a)4+…
c の求め方は最後に記述するが、
c0=f(a)
…f(0)とは限らないことに注意
c1=f ’(a)/1!
…f ’(0)とは限らないことに注意
c2=f ’’(a)/2!
…f ’’(0)
〃
c3=f ’’’(a)/3!
…f ’’’(0)
〃
c4=f ’’’’(a)/4! …f ’’’’(0)
〃
…
cn=f(n)(a)/n! となる。
そして c が上記であることを踏まえた上で、
テイラー展開の完成型は以下のようになる
f(x)~c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+c3(x-a)3+c4(x-a)4+…+cn(x-a)n+…
項が進むごとにどんどん微小な値を用いることになり、それは無限に続くので
どこで打ち切るかを決めてよい
0 次近似
f(x)~c0
微小な値(x-a)を無視すれば f(x)~f(a)となる
最初に説明した通り定数で近似したこととなり、今回の例で言うと 1 と近似される
1 次近似（線形近似）
f(x)~c0+c1(x-a)
ここで co=f(a)と c1=f ’(a)を代入すれば
f(x)~f(a)+f ’(a)(x-a) となる
これが 1 次近似、直線で近似しているので線形近似とも言う
今回の例の場合、a=1,x-a=0.0007 としているので
f(x)=x15
→ f ’(x)=15x14
→
f ’(a)=15a14=15
より
f(x)~f(a)+f ’(a)(x-a) =115+15×0.0007=1+15×0.0007 となり、最初の説明と一致する
2 次近似
cos(x)のような場合、x=0 の周りでテイラー展開すると 1 次近似しても結果が 1 となる
よって詳しく近似するなら 2 次の項まで取って近似すると cos(x)~1－0.5x2 となる
※c の求め方
f(x)~c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+c3(x-a)3+c4(x-a)4+…
x に a を代入すると
f(x)~c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+c3(x-a)3+c4(x-a)4+…
f(a)~ c0+c1(a-a)+c2(a-a)2+c3(a-a)3+c4(a-a)4+…
当然(a-a)は 0 となるので
c0=f(a) となる
一度 f(x)を微分してから a を代入する
f(x)~c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+c3(x-a)3+c4(x-a)4+…
f ’(x)~0+c1+2 c2(x-a)+3 c3(x-a)2+4 c4(x-a)3+…
f ’(a)~c1+2 c2(a-a)+3 c3(a-a)2+4 c4(a-a)3+…
となって c1= f ’(a) となる
この展開を繰り返してゆくと
c0=f(a)
= f(a)
c1=f ’(a)
= f ’(a)
c2=f ’’(a)/2
= f ’’(a)/2!
c3=f ’’’(a)/(3･2)
= f ’’’(a)/3!
c4=f ’’’’(a)/(4･3･2)
= f ’’’’(a)/4!
よって
cn=f(n)(a)/n!
と書くことができる！
※ついでに f ’(a)などの求め方を一応
f(x)を微分したのが f ’(x)
それに x=a を代入したのが f ’(a)
f(x)を 2 回微分したのが f ’’(x)
それに x=a を代入したのが f ’’(a)
f(x)を 3 回微分したのが f ’’’(x)
それに x=a を代入したのが f ’’’(a)
f(x)を n 回微分したのが f(n)(x)
それに x=a を代入したのが f(n)(a)
これを n の階乗で割ると cn=f(n)(a)/n! を求めることができる