配付資料

10/5/11 11時14分
誤差伝播の法則―非線形・1変数(1)
• ④非線形で1変数の場合
– 真値が X である量を直接測定し，真値が Y である量を 間
接的に推定したい．真値 X と真値 Y との間に，常に理論
的に Y  f (X ) なる 関係式が成立するものとする．このと
き，真値 X の n 回の観測値の精度xに基づいて，真値 Y
の推定値の精度yを 推定したい．
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誤差伝播の法則―非線形・1変数(2)
103
誤差伝播の法則―非線形・1変数(3)
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1
10/5/11 11時14分
近似式の図解
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誤差伝播の法則―非線形・1変数(4)
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誤差伝播の法則―非線形・2変数(1)
• ⑤非線形で2変数の場合
– 真値が X1 および X2である量 x 1および x2を直接測定し，真
値が Y である 量 yを 間接的に推定したい．真値 X1 および
X2 と真値 Y との間に，常に Y  f ( X 1, X 2 ) なる関係式が
成立する ものとする．このとき，変量 x 1 および x 2 の n 回の
観測値の精度x1 および x2 に基づいて，変量 y の推定値
の精度yを 推定したい．
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2
10/5/11 11時14分
誤差伝播の法則―非線形・2変数(2)
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誤差伝播の法則―非線形・2変数(3)
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近似式の図解
③≒①＋②
と考える
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3
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誤差伝播の法則―非線形・2変数(4)
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誤差伝播の法則―非線形・2変数(5)
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線形な関数の誤差伝播則の例(1)
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4
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線形な関数の誤差伝播則の例(2)
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非線形関数の誤差伝播則の例(1)
• 縦
x1，横 x2の長方形の面積 S
S  S ( x1 , x2 )  x1 x2
– 縦の長さ x1 ，横の長さ x2の分散をそれぞれ， x2，
および  2x とするときの，面積 Sの分散
 S2 を知りたい．
1
2
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非線形関数の誤差伝播則の例(2)
x2
x1
S
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5
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誤差伝播の法則(まとめ)
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偏微分の例
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非線形関数の誤差伝播則の例(3)
• 縦断勾配のある道路や斜面を想定した例
L
q
A
S
B
S  L cos 
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6
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非線形関数の誤差伝播則の例(4)
S  f ( L,  )
1 rad = 3,437'
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最小自乗法(1)
• 誤差の調整
– 誤差理論に基づいて測定値を合理的に調整して，
推定値として最確値を求めること．
2
– 基本形: 残差平方和 S   v i  最小化
i
– 測定の性質により異なる．
性格
独立測定
条件測定
直接測定
①
③
間接測定
②
④
方法
等精度
異精度
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最小自乗法―独立・直接・等精度(1)
• ①独立な直接測定に対する最小自乗法(等精度)
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10/5/11 11時14分
最小自乗法―独立・直接・等精度(2)
S
X0
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最小自乗法―独立・直接・等精度(3)
124
最小自乗法―独立・直接・等精度(4)
125
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最小自乗法―独立・直接・等精度(5)
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最小自乗法―独立・直接・等精度(6)
標本
母集団
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最小自乗法―独立・直接・等精度(7)
• 測定値の母分散の推定値
– 毎回の測定精度が一定で，その分散が 02 であ
るとき，n 回観測した観測値に基づいて計算した
残差平方和 S を用いて02 は下式で推定できる:
• 最確値 X0 の分散の推定値
– 最確値の精度を表すX 02 は下式で推定できる:
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