V416 BN

第１章
1
数列
数列の極限と ε-δ 論法
実数列 {an }∞
n=1 に対し，n を大きくするとき an が実数 α に限りなく近づくとき，{an }
は α に収束するという．このとき，
an → α (n → ∞)
または
lim an = α
n→∞
と書く．
例 1.1 n → ∞ のとき，次が成り立つ．ただし，a > 1 とする．
(−1)n
→0
n
n2
(5) n → 0
a
1
→0
n
√
√
(4) n + 1 − n → 0
(2)
(1)
2n2
2
(3)
→
2
3n + 8
3
(1)-(3) については省略する．
(4) については，次のように有理化を行えばよい：
√
n+1−
√
1
n= √
√ → 0.
n+1+ n
(5) については，a = 1 + h (h > 0) とおいて，二項定理より次に注意する：
an = (1 + h)n = 1 + nh + n C2 h2 + n C3 h3 + · · · +
> n C3 h3 =
n(n − 1)(n − 2) 3
h.
3!
これから，
0<
n2
<
an
n2
n(n−1)(n−2) 3
h
3!
=
3!
1
→ 0 (n → 0)
1
3
h (1 − n )(n − 2)
n2
= 0 となる．■
n→∞ an
となるから，はさみこみの原理より lim
数列の収束は，はじめの方の幾つかの項は極限値から離れているかもしれないが，ある
番号から先は極限値の近くにいる，というイメージである．
問 1.1 a > 1 とする．はさみこみの原理より，次を示せ：
n!
an
=0
(2) lim n = 0.
(1) lim
n→∞ n
n→∞ n!
an n!
,
より大きくて，0 に収束する数列を探すのだが，n のべき n−p (p > 0) か 0 < r < 1
n! nn
をみたす r をとって rn の定数倍を考えれば十分である．考えている数列を書き直して考
えることが必要であろう．
1
ここで，次の定理を考える．
定理 1.1 実数列 {an } に対して an → α (n → ∞) が成り立つならば，
a1 + a2 + · · · + an
→ α (n → ∞)
n
が成り立つ．■
イメージとしては，ある番号からは an は大体 α だから，はじめの k 個を別にして
a1 + a2 + · · · + an
a1 + a2 + · · · + ak ak + a2 + · · · + an
=
+
n
n
n
a1 + a2 + · · · + ak n − k
≒
+
α→α
n
n
ということである．しかし，
「大体」ってどういうこと？
k 個を別にするとは？ ≒ なんて記号を使って良いのか？
のような疑問が出て，当然である．
これを数学的に厳密に議論できるようにしよう，というのが ε-δ 論法である．
数列の収束は，次のように定義される．
定義 1.1 任意の (小さい)ε > 0 に対して，ある自然数 N が存在して (ε に応じてとれて)
n ≧ N ならば |an − α| < ε が成り立つとき，数列 {an } は α に収束するという．■
上に述べた「数列の収束は，はじめの方の幾つかの項は極限値から離れているかもしれ
ないが，ある番号から先は極限値の近くにいる」ということを，
i) N − 1 までの数列の値には何も触れず，
ii) N 番目以降の数列は α ± ε の範囲に入っているという
ことで，数学的に言い表している．
関数の連続性の定義が典型的で，その際 ε と δ という文字を通常用いるので，これらを
用いた議論を ε-δ 論法という．
1
1
1
< ε は，n > で成り立つ．よって，N としては 以上の整数であればよい．
n
ε
ε
1
1
1
「誤差」ε が
のときは n ≧ 11 であれば <
となるし (N = 10 + 1)，
10
n
10
1
1
1
ε=
のときは n ≧ 1001 ならば <
となる (N = 1001)．■
1000
n
1001
例 1.2
「任意の ε > 0 に対して，ある自然数 N が存在して |an −α| < ε
(n = N, N +1, N +2, ...)
が成り立つ」というのを，簡単に，
「∀ε > 0, ∃N s.t. |an − α| < ε (n = N, N + 1, N + 2, ...)」と書く．
2
これは，
「for any ε > 0, there exists N such that |an − α| < ε (n = N, N + 1, N + 2, ...)」
を簡単に書いたものである．ここで，∀ は any の a(A) をひっくり返した記号であり，∃
は exists の e(E) をひっくり返した記号である．
定理の証明．仮定から，任意の ε > 0 に対して，自然数 N が存在して n ≧ N ならば
α−
ε
ε
< an < α +
2
2
(*)
が成り立つ．a1 + · · · + an を N 以前の和と N 以降の和に分けて
a1 + · · · + an
a1 + · · · + aN
aN +1 + · · · + an
=
+
n
n
n
と表して，(*) を用いると
a1 + · · · + aN (n − N )(α − 2ε )
a1 + · · · + an
a1 + · · · + aN (n − N )(α + 2ε )
+
<
<
+
n
n
n
n
n
が分かる．最左辺，最右辺は，n → ∞ のとき，
(n − N )(α − 2ε )
a1 + · · · + aN
ε
+
→α− ,
n
n
2
ε
(n − N )(α + 2 )
a1 + · · · + aN
ε
+
→α+
n
n
2
である．このことから，自然数 N ′ が存在して，n ≧ N ′ ならば次が成り立つ：
a1 + · · · + aN
(n − N )(α − ε) (
ε) ε
− = α − ε,
+
> α−
n
n
2
2
a1 + · · · + aN
(n − N )(α + ε) (
ε) ε
+ = α + ε.
+
< α+
n
n
2
2
以上を合わせると，n > max{N, N ′ } であれば
a1 + · · · + an
<α+ε
n
a1 + · · · + an
→ α を意味する． □
が成り立つ．これは，
n
ε
注意：最後に ε が出てくるように，はじめに を用いて仮定の言い換えをした．当面はこ
2
の方が良い．演習ではこれを正解としている．
α−ε<
慣れてくると，必ずしも，このようにすることはなく，次でも良い．
「仮定から，任意の ε > 0 に対して，自然数 N が存在して n ≧ N ならば
α − ε < an < α + ε
(*)
が成り立つ．
a1 + · · · + aN
aN +1 + · · · + an
a1 + · · · + an
=
+
n
n
n
3
と表して，(*) を用いると
a1 + · · · + an
a1 + · · · + aN (n − N )(α + ε)
a1 + · · · + aN (n − N )(α − ε)
+
<
<
+
n
n
n
n
n
が分かる．n → ∞ のとき，
a1 + · · · + aN (n − N )(α − ε)
+
→ α − ε,
n
n
a1 + · · · + aN (n − N )(α + ε/2)
+
→ α+ε
n
n
である．このことから，自然数 N ′ が存在して，n ≧ N ′ ならば
a1 + · · · + aN (n − N )(α − ε)
+
> α − 2ε,
n
n
a1 + · · · + aN (n − N )(α + ε)
+
< α + 2ε
n
n
が成り立つ．
以上を合わせると，n > max{N, N ′ } であれば
α − 2ε <
a1 + · · · + an
< α + 2ε
n
が成り立つ．ε は任意に小さくとれるので，2ε も任意に小さくとれる．よって，これは
a1 + · · · + an
→ α を意味する．
」
n
4
命題 1.2 実数列 {an }, {bn } がそれぞれ α, β に収束しているならば，{an + bn }, {an bn } も
それぞれ α + β, αβ に収束する．■
当たり前のことだという感覚が大切だが，ε-δ 論法に慣れるために証明する．(講義では
省略する)
証明．仮定から，任意の ε > 0 に対して，自然数 N1 , N2 が存在して
ε
n ≧ N1 ならば |an − α| < ,
2
c ≧ N2 ならば |bn − β| <
ε
2
が成り立つ．とくに，N = max{N1 , N2 } とすると
n ≧ N ならば |an − α| <
ε
ε
かつ |bn − β| <
2
2
(n ≧ N )
が成り立つ．よって，n ≧ N ならば
|(an + bn ) − (α + β)| = |(an − α) + (bn − β)|
≦ |an − α| + |bn − β| <
ε ε
+ =ε
2 2
が成り立つ．これは，{an + bn } が α + β に収束することを示す．□
または，次でもよい．(というか，こちらの方が易しい)
「仮定から，任意の ε > 0 に対して，自然数 N1 , N2 が存在して
n ≧ N1 ならば |an − α| < ε,
n ≧ N2 ならば |bn − β| < ε
が成り立つ．とくに，N = max{N1 , N2 } とすると
n ≧ N ならば |an − α| < ε かつ |bn − β| < ε
が成り立つ．よって，n ≧ N ならば
|(an + bn ) − (α + β)| = |(an − α) + (bn − β)|
≦ |an − α| + |bn − β| < 2ε
が成り立つ．ε は任意に小さくとれるので 2ε も任意に小さくできるので，これは {an + bn }
が α + β に収束することを示す．
」
積の方も次のように証明できる．後者の方法のみ示す．
まず次に注意する．
|an bn − αβ| = |(an − α)bn + α(bn − β)|
≦ |an − α| · |bn | + |α| · |bn − β|.
5
n ≧ N とすると，ε は小さい数だから 1 より小として良いので
|an bn − αβ| ≦
ε(
ε)
ε
|α| + |β| + 1
β+
+ |α| ≦
ε
2
2
2
2
|α| + |β| + 1
ε は任意に小さくできるので，これは {an bn } が αβ に収束すること
2
を意味する．□
となる．
無限大に発散する数列は次のように定義される．
定義 1.2 (1) 任意の (大きい数)K > 0 に対して自然数 N が存在して n ≧ N ならば an > K
となるとき，実数列 {an } は ∞ に発散するという．
(2) 任意の (大きい数)K > 0 に対して自然数 N が存在して n ≧ N ならば an < −K とな
るとき，実数列 {an } は −∞ に発散するという．
6
2
集合の上限，下限
定義 2.1 S を実数全体 R の部分集合とする．
(1) M が S の最大値 (最大数) であるとは，
M ∈S
かつ，すべての x ∈ S に対して
x≦M
が成り立つことをいう．このとき，M = max S と書く．
(2) m が S の最小値 (最小数) 最小数であるとは，
m∈S
かつ，すべての x ∈ S に対して
x≧m
が成り立つことをいう．このとき，M = min S と書く．
一般に，R の部分集合は，最大数，最小数をもつとは限らない．
例 2.1 (1) 開区間 I = (0, 1) を考えると，0, 1 は I の要素 (元) ではないのでそれぞれ最小
数，最大数ではない．
}
{1
; n = 1, 2, ... とすると，この集合には最大数 1 が存在するが，最小数は存在
(2) J =
n
しない．
この２つの例，どちらにおいても
すべての x に対して，x ≦ 1 かつ x ≧ 0
である．これを念頭に置いて，集合の上界，上限，下界，下限という概念を定義する．
定義 2.2 S を R の部分集合とする．
(1) M が集合 S の上界であるとは，
すべての x ∈ S に対して x ≦ M が成り立つこと
である．そして，S の上界の中で最小の数を上限と呼び，sup S と表す．
(2) m が集合 S の下界であるとは，
すべての x ∈ S に対して x ≧ m が成り立つこと
である．そして，S の下界の中で最大の数を下限と呼び，inf S と表す．
例 2.2 (1) I = (0, 1) のとき，1 以上の実数はすべて I の上界であり，sup I = 1 である．
同様に，0 以下の数はすべて I の下界であり，inf I = 0 である．
}
{1
; n = 1, 2, ... に対しても，sup J = 1, inf J = 0 である．
(2) J =
n
7
重要な注意
±∞ を許せば，部分集合の上限 (下限) は必ず存在する．もし，最大数 (最
小数) が存在するならば，上限と最大数 (下限と最小数) は一致する．
}
{
1
例 2.3 S = 1 − ; n = 1, 2, ... とすると，
n
sup S = 1,
inf S = min S = 1,
max S は存在しない．
S を数直線上に書いて確認すれば，簡単な話であることが分かる．
命題 2.1 S を R の部分集合とするとき，M = sup S であることの必要十分条件は
(i) すべての x ∈ S に対して x ≦ M であり，
(ii) 任意の ε > 0 に対して，M − ε < x をみたす x ∈ S が存在する
ことである．
上限が S の元を越える最小の数であることを考えれば，命題は理解できる．(ii) が重要
である．実際，(ii) を否定すると，ある ε > 0 が存在して，M − ε ≧ x がすべての x ∈ S
に対して成り立つということになり，M の上界の中での最小性に反する．
下限についても，同様に次が成り立つ．
命題 2.2 S を R の部分集合とするとき，m = inf S であることの必要十分条件は
(i) すべての x ∈ S に対して x ≧ m であり，
(ii) 任意の ε > 0 に対して，m + ε < x をみたす x ∈ S が存在する
ことである．
8
上極限，下極限
{an }∞
n=1 を実数列とするとき，
sk = sup an ≡ sup{ak , ak+1 , ak+2 , ...} は k について単調減少であり，
n≧k
uk = inf an ≡ inf{ak , ak+1 , ak+2 , ...} は k について単調増加である．
n≧k
∞
したがって，{sk }∞
k=1 , {uk }k=1 は収束するか，±∞ に発散するかのいずれかである．すべ
ての k について，∞ または −∞ という場合もあり得る．
この極限を上極限，下極限といい，lim supn→∞ an , lim inf n→∞ an と書く：
lim sup an = lim sk = lim sup an ,
n→∞
k→∞
k→∞ n≧k
lim inf an = lim uk = lim inf an .
n→∞
k→∞
例 2.4 an = (−1)n +
a2n = 1 +
1
,
2n
k→∞ n≧k
1
とすると，
n
a2n+1 = −1 +
1
2n + 1
であり (supn≧k an ，inf n≧k ak を考えるまでもなく)
lim sup an = 1,
n→∞
lim inf an = −1.
n→∞
9
3
実数の連続性
実数の全体が数直線であり，連続的につながっていると考える．これを数列のことばで
表すと次のようになり，便利なことがある．
少し準備をする．
定義 3.1 実数列 {an } に対して，an ≦ M がすべての n に対して成り立つような定数 M
が存在するとき，言いかえると sup{an ; n = 1, 2, ...} が有限のとき，{an } は上に有界であ
るという．
同様に，an ≧ m がすべての n に対して成り立つような定数 m が存在するとき，言いか
えると inf{an ; n = 1, 2, ...} が有限のとき，{an } は下に有界であるという．■
次を実数の連続性という．
定理 3.1 単調増加で上に有界な実数列 {an } は，n → ∞ のときある実数に収束する．
また，単調現象で下に有界な実数列 {an } は，n → ∞ のときある実数に収束する．■
注意：有理数の範囲では，この定理は成り立たない．
例 3.1 an =
n
∑
1
とおく．An は正の数を n 個加えているので，単調増加である．
k!
k=0
また，k! ≧ 2k−1 (k = 2, 3, ...) だから，
∞
n
∑
∑
1
1
<1+1+
=3
an ≦ 1 + 1 +
k−1
k−1
2
2
k=2
k=2
となる．つまり，すべての n に対して an < 3 が成り立つ．
n
(
∑
1
したがって，実数の連続性より an =
はある実数に存在する．この数が lim 1 +
n→∞
k!
k=0
)
1
= e と一致することを学んでいるハズである．
n
n
∑
1
例 3.2 an =
とおくと，an は n → ∞ のとき収束する．
2
k
k=1
an は，正数を n 個加えるのだから，明らかに単調増加である．
an ≦ M (n = 1, 2, ...) をみたす定数 M が存在することを示せば，実数の連続性から an
π2
の収束が分かる (極限値が幾つかは別の話！実は， である！)．
6
1
1
(1) 2 ≦
(k ≧ 2) より
k
k(k − 1)
an ≦ 1 +
n
∑
k=2
n (
∑
1
1)
1
1
=1+
−
=2− <2
k(k − 1)
k−1 k
n
k=2
10
となり，すべての n に対して an < 2 が成り立つ．
次のようにしても，an < 2 (n ≧ 1) が分かる．
1
1
,...,[n − 1, n] 上に高さ 2 の長方形
2
2
n
を書くと，その面積の総和が an である．図を書くと
∫ n
1
1
an ≦ 1 +
<2
dx
=
2
−
2
n
1 x
(2) 区間 [0, 1] 上に高さ 1 の正方形，[1, 2] 上に高さ
が分かるから，すべての n に対して an < 2 である．■
例 3.3 {an } を，
a1 =
√
2,
an+1 =
√
2 + an (n = 1, 2, ...)
によって定める．
(1) 0 < an < 2 (n = 1, 2, ...) が成り立つ．
(2) {an } は単調増加である．
(3) an の極限を求める．
(1) an > 0 は定義から明らか．an < 2 は帰納法による．
(2) a2n+1 − a2n = −(an + 2) − a2n = −(an − 2)(an + 1) だから，(1) を用いると a2n+1 > a2n
が分かる．an > 0 より，an+1 > an が成り立つ．
(3) 実数の連続性より an は収束するから，極限値を λ とする．漸化式で n → ∞ とする
√
と，λ = 2 + λ となる．λ2 − (2 + λ) = (λ − 2)(λ + 1) だからこの方程式の 0 ≦ λ ≦ 2 を
みたす根は 2 だけであり，λ = 2 となる．つまり，an は 2 に収束する．■
問 3.1 0 < a < b とし，{an }, {bn } を a1 = a, b1 = b，
an+1 =
√
an bn ,
bn =
a n + bn
2
によって定める．
(1) bn > an (n = 1, 2, ...) を数学的帰納法により示せ．
(2) {an } が単調増加，{bn } が単調減少であることを示せ．
(3) 2n 個の実数 a1 , a2 , ..., an , b1 , b2 , ..., bn の大小関係を不等式で表し，{an } が上に有界，
{bn } が下に有界であることを示せ．
(4) n → ∞ のとき，{an }, {bn } が同じ値に収束することを示せ．
11
4
収束する部分列
数列 {an }∞
n=1 の部分集合 {ani } (n1 < n2 < · · · ) を {an } の部分列という．{an } は収束し
ないが，収束する部分列をもつことがある．
例 4.1 an = (−1)n とおくと，{an } は収束しないが，{a2n }，{a2n+1 } は収束する．
1
a′n = (−1)n + についても同様である．
n
定理 4.1 (ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理) 数列 {an }∞
n=1 が有界であれば，つま
りすべての n に対して |an | ≦ M が成り立つような定数 M が存在するならば，{an }∞
n=1 の
収束する部分列が存在する．
証明のために，次を示す．
命題 4.2 R の有界閉区間の列 In = [an , bn ] (n = 1, 2, ...) があり，
I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · ·
をみたすと仮定すると，すべての In に含まれる α ∈ R が存在する．つまり，
∞
∩
In ̸= ∅．
n=1
証明．仮定から，
a1 < a2 < · · · < an < bn < · · · < b2 < b1
となっているので，{an } は単調増加であり an < b1 ，つまり上に有界である．同様に，
{bn } は単調現象であり bn > a1 ，つまり下に有界である．したがって，実数の連続性より
{an }, {bn } はともに収束する．
それぞれの極限値を a, b とすると，an < bn より a ≦ b が成り立つ．よって，a ≦ α ≦ b
なる α はすべての In = [an , bn ] に含まれる．
□
ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理の証明．仮定から，すべての n に対して
m ≦ an ≦ M
が成り立つような定数 m, M が存在する．I = [m, M ] とおく．
]
[ m + M ] [m + M
,
, M の少なくとも一方には無限個の
まず，I を 2 等分すると， m,
2
2
an が含まれる．その一つを I1 = [m1 , M1 ] とする．
次に，I1 を 2 等分すると，少なくとも一方には無限個の an が含まれる．その一つを
I2 = [m2 , M2 ] とする．
12
以下，同様に有界閉区間 Ik = [mk , Mk ] の列を考えると，
I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ Ik ⊃ · · ·
となる．Ik に含まれる最小の {an } の要素を ank とすると，
mk ≦ ank ≦ Mk
である．すると，Mk − mk → 0 だから，これらは同じ値に収束する．
13
□
5
コーシー列
数列の収束を示す際に，コーシー列という概念が役に立つことがある．
例 5.1 a1 = 2, an+1 = 2 +
しても，
1
(n = 1, 2, ...) によって {an } を定める．初めの幾つかを計算
an
1
5
= = 2.5
2
2
5
29
a4 = 2 +
=
= 2.416...
12
12
a2 = 2 +
2
12
=
= 2.4
5
5
12
a5 = 2 +
= 2.413...
29
a3 = 2 +
と単調でない．
なお，この数列は，計算をしないで書くと
a2 = 2 +
1
2
a3 = 2 +
a4 = 2 +
1
2 + 2+1 1
a5 = 2 +
2
1
2+
1
2
1
2+
1
2+
1
2+ 1
2
となり，連分数と呼ばれる．
定義 5.1 {an } を実数列とする．任意の ε > 0 に対してある自然数 N が存在して，n, m ≧ N
ならば
|an − am | < ε
が成り立つとき，{an } をコーシー列という．
定理 5.1 実数列 {an } が収束することとコーシー列であることは同値である．
上の例では，an > 2 だから
(
1 ) (
1 ) |an−1 − an−2 |
1
|an − an−1 | = 2 +
− 2+
< |an−1 − an−2 |
=
an−1
an−2
an−1 an−2
4
となるから，
|an − an−1 | <
( 1 )n−2
4
|a2 − a1 |
となる．したがって，n > m ならば
|an − am | ≦ |an − an−1 | + |an−1 − an−2 | + · · · + |am+1 − am |
(( 1 )n−2 ( 1 )n−3
( 1 )m−1 )
<
+
+ ··· +
|a2 − a1 |
4
4
4
4|a2 − a1 | ( 1 )m−1
<
3
4
14
となる．
4|a2 − a1 | ( 1 )N −1
< ε となるように N を十分大きくとると，m, n ≧ N
3
4
ならば |an − am < ε となり，{an } がコーシー列であることが分かる．
したがって，
{an } がコーシー列であることが分かったので，定理より収束する．極限値を λ とする
と，漸化式で n → ∞ とすると λ は
1
λ=2+ ，
λ
よって， λ2 − 2λ − 1 = 0
をみたす．λ ≧ 2 より λ = 1 +
√
2 となる．
定理 5.1 の証明．
{an } が α ∈ R に収束すると仮定する．このときは，任意の ε > 0 に対し
てある自然数 N0 が存在して n ≧ N0 ならば
|an − α| < ε
が成り立つ．よって，n, m ≧ N0 に対して，
|an − am | ≦ |an − α| + |am − α| < 2ε
となる．よって，{an } はコーシー列である．
逆に，{an } がコーシー列である，つまり任意の ε > 0 に対して自然数 N が存在して，
n, m ≧ N ならば |an − am | < ε となるとする．これから，n ≧ N なら
aN − ε < an < aN + ε (n = N + 1, N + 2, ...)
が成り立つことが分かり，{an } は有界であることが分かる．
したがって，αn = inf{ak ; k ≧ n}, βn = sup{ak ; k ≧ n} は有限である．{αn } は単調増
加，{βn } は単調減少であり，
α1 ≦ α2 ≦ · · · ≦ αn ≦ βn ≦ · · · ≦ β2 ≦ β1
が成り立つ．
ここで，−ε < ap − aq < ε (p, q ≧ N ) より，q を固定すると，
−ε < sup{ap − aq ; p ≧ n} = βn − aq ≦ ε
となる．これから，
−ε ≦ sup{βn − aq ; q ≧ n} = βn − inf{an ; q ≧ n} = βn − αn ≦ ε
となる．よって，n ≧ N ならば α, βn が同じ値に収束することを示し，
(注： lim αn = lim inf an ,
n→∞
n→∞
よって {an } は収束する．
lim βn = lim sup an であった)
n→∞
n→∞
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