修士論文 Gaussian形状の点像分布関数を持つ光学顕微鏡像 における

NAIST-IS-MT0751032
修士論文
Gaussian 形状の点像分布関数を持つ光学顕微鏡像
におけるデコンボリューション
加藤 健郎
2009 年 2 月 5 日
奈良先端科学技術大学院大学
情報科学研究科 情報生命科学専攻
本論文は奈良先端科学技術大学院大学情報科学研究科に
修士 (工学) 授与の要件として提出した修士論文である。
加藤 健郎
審査委員：
湊 小太郎 教授
（主指導教員）
木戸出 正繼 教授
（副指導教員）
杉浦 忠男 准教授
（副指導教員）
Gaussian 形状の点像分布関数を持つ光学顕微鏡像
におけるデコンボリューション∗
加藤 健郎
内容梗概
光学顕微鏡は非接触，非侵襲で試料を観察できるという長所を持っている．し
かしながら，焦点面以外からの光波によって生じる焦点ボケや光子ノイズの影響
によって，観察像が劣化するという問題がある．そこで本研究では，観察像と光
学系のインパルス応答である点像分布関数とから元の原像を推定する手法である
デコンボリューション法の改善に取り組んだ．一般的に，観察像は原像と点像分
布関数の畳み込み積分として示すことができる．点像分布関数はエアリーディス
クと呼ばれる明るい円の周りを，サイドローブと呼ばれる環状の構造が取り巻く
形状を持っている．本研究では，このサイドローブがデコンボリューションに悪
影響を与えているのではないかという点に着目した．そして，サイドローブを持
たない Gaussian 形状の点像分布関数を光学的に実現することによって，サイド
ローブの影響を抑えることを提案し，デコンボリューションによる回復度の向上
を目指した．シミュレーション実験によって Gaussian 形状の点像分布関数を実
現した場合のデコンボリューションを検証し，デコンボリューション結果が向上
することを確認した．
また，点像分布関数が未知である場合に観察像から原像と点像分布関数とを同
時に推定する手法をブラインドデコンボリューション法と呼んでいるが，ブライ
ンドデコンボリューションを行う際に，点像分布関数の形状が Gaussian であると
いう制約を加えることでブラインドデコンボリューション法を改良した．元の点
∗
奈良先端科学技術大学院大学 情報科学研究科 情報生命科学専攻 修士論文, NAIST-ISMT0751032, 2009 年 2 月 5 日.
i
像分布関数が Gaussian 形状である場合には，改良したブラインドデコンボリュー
ション法によって回復度の向上を達成することができた．
キーワード
光学顕微鏡, 蛍光顕微鏡，点像分布関数，Gaussian 分布，デコンボリューション，
ブラインドデコンボリューション
ii
Deconvolution in optical microscope image with
Gaussian shaped point spread function∗
Tatsuro Kato
Abstract
Optical microscope arrows noncontact and noninvasive observation of samples.
In optical microscope, the acquired images are degraded by out of focus blur
and photon noise. To conquer this problem, I’ve been working on improving
a deconvolution methods, which enable to estimate the original object from an
observed image and a PSF(point spread function). PSF is an impulse response of
optical system. Observed image is described mathematically as the convolution of
the PSF with the original object. A PSF has a ring-like structure that surrounds
a bright circle. This ring-like structure is called side lobes. I have an idea that
a deconvolution process is affected by side lobes of a PSF in conventional optics.
This thesis proposes making a Gaussian shaped PSF optically to suppress the
effect by side lobes. By this approach, I tried to improve deconvolution results.
The simulation expriment showed that a deconvolution result is improved by
using the Gaussian shaped PSF.
Blind deconvolution is the process of estimating both the original object and
the PSF from the obserbed image when the PSF is unknown. In this study, a
blind deconvolution method has been revised by adding a constraint that the PSF
has Gaussian shape. I confirmed that in case that an original PSF has Gaussian
shape, results of revised blind deconvolution method are improved.
∗
Master’s Thesis, Department of Bioinformatics and Genomics, Graduate School of Information Science, Nara Institute of Science and Technology, NAIST-IS-MT0751032, February 5,
2009.
iii
Keywords:
Optical microscope, Fluorescence microscope, Point spread function, Gaussian
distribution, Deconvolution, Blind deconvolution
iv
目次
1. はじめに
1
1.1 研究背景と研究目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 論文構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2. 光学顕微鏡
4
2.1 蛍光顕微鏡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2 蛍光顕微鏡の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3 蛍光顕微鏡における問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3.1
分解能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3.2
焦点ボケ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3.3
ノイズ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3. 蛍光顕微鏡の結像モデルとデコンボリューション法
10
3.1 結像モデル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.2 デコンボリューション法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.2.1
RL and TV 法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.2.2
MP 法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4. デコンボリューションに関する提案手法
4.1
4.2
17
Gaussian PSF を光学的に実現することによるデコンボリューション 17
4.1.1
PSF のサイドローブの影響と Gaussian 形状の PSF . . . .
17
4.1.2
Gaussian PSF の実現と分解能の調査 . . . . . . . . . . . .
17
PSF の形状が Gaussian という制約を取り入れたブラインドデコン
ボリューション . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. シミュレーション実験による提案手法の検証
21
24
5.1 シミュレーション実験で使用するデコンボリューション法 . . . .
24
PSF の生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.3 ノイズの大きさ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
5.2
v
5.4 評価関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
5.5 シミュレーション実験の流れ
27
5.6
5.7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gaussian PSF を光学的に実現することによるデコンボリューショ
ンの検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
5.6.1
ノイズ量の変化に対する影響 . . . . . . . . . . . . . . . .
31
5.6.2
原像の変化に対する影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
PSF の形状が Gaussian という制約を取り入れたブラインドデコン
ボリューションの評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
5.8 シミュレーション実験の結果に対する考察 . . . . . . . . . . . . .
36
6. おわりに
38
謝辞
39
vi
図目次
1
ボケ，ノイズによる観察像の劣化と像回復（デコンボリューション）
2
2
蛍光発光過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3
蛍光励起波長と蛍光蛍光波長
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4
蛍光顕微鏡の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
5
開口数と分解能 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
6
焦点ボケ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
7
数種類のデコンボリューション法による推定像 . . . . . . . . . . .
12
8
MP 法のブロック図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
9
Conventional PSF（log plot） (a) xy 方向，(b) xz 方向
. . . . .
18
10
Gaussian PSF（log plot） (a) xy 方向，(b) xz 方向
. . . . . . .
18
11
無限焦点光学系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
12
Gaussian PSF と FWHM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
13
PSF のメインローブに対するサイドローブの比率 . . . . . . . . .
21
14
ノイズの大きさと観察像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
15
シミュレーション実験のフローチャート . . . . . . . . . . . . . .
28
16
MP 法によるデコンボリューションの例 . . . . . . . . . . . . . .
30
17
Conventional PSF の場合のデコンボリューション . . . . . . . . .
32
18
Gaussian PSF の場合のデコンボリューション . . . . . . . . . . .
32
19
原像 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
表目次
1
シミュレーション実験で使用するデコンボリューション法 . . . .
24
2
シミュレーション条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3
シミュレーション条件（Conventional PSF の場合) . . . . . . . .
31
4
シミュレーション条件（Gaussian PSF の場合) . . . . . . . . . . .
31
5
SNR の変化に対する推定像の NMSE . . . . . . . . . . . . . . . .
33
6
シミュレーション条件（Conventional PSF の場合) . . . . . . . .
33
vii
7
シミュレーション条件（Gaussian PSF の場合) . . . . . . . . . . .
33
8
SNR の変化に対する推定像の NMSE （原像 2 の場合） . . . . . .
35
9
元の PSF が Conventional の場合の SNR の変化に対する推定像の
NMSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
35
元の PSF が Gaussian の場合の SNR の変化に対する推定像の NMSE 36
viii
1. はじめに
1.1 研究背景と研究目的
肉眼で見ることのできない微小な物体を観察できる顕微鏡技術は，バイオサイ
エンスの分野で欠かすことができないものになっている．顕微鏡の始まりは，オ
ランダのヤンセン親子が 16 世紀後半に 2 枚の凸レンズを組み合わせて物体が拡
大されることを発見したことからと言われている．現在までに，さまざまな種類
の顕微鏡が提案されてきたが，中でも光学顕微鏡は生きている生物を非接触，非
侵襲で観察できるという利点のために広く利用されている．しかし光学顕微鏡で
は，焦点面からの光波に焦点面以外からの光波が重なることで観察像がボケて劣
化してしまうという問題が生じる．加えて，光量が少ないことが原因となり生じ
るノイズの影響で観察像が劣化してしまう．そこで，このようにボケて劣化した
観察像から原像（元の試料）を推定するという像回復（デコンボリューション）
の研究が従来から行われている [1] [2] [3]．図 1 にボケとノイズによる観察像の劣
化とデコンボリューションについて示している．近年では，急速なコンピュータ
の処理速度の向上とともに，デコンボリューション技術はより実用的になってき
ている．
本研究では，光学顕微鏡の一種である蛍光顕微鏡を対象としてデコンボリュー
ションのテーマに取り組んできた．蛍光顕微鏡では，観察像が元の原像と点像分
布関数（PSF:Point Spread Function）の畳み込み積分で表現できる．このように
観察像が原像と PSF の畳み込み積分で表される場合に，観察像と PSF を知った
上で原像を推定するための手法がデコンボリューション法である．一般に，PSF
の形状はエアリーパターンと呼ばれており，中心の明るい円（エアリーディスク）
の周りに同心円状の環が取り巻く形状を持っている．エアリーディスクの周りの
環状構造はサイドローブと呼ばれている．本研究では，サイドローブが観察像を
複雑し，その結果としてデコンボリューションにも悪影響を与えるのではないか
と考えた．そこで，サイドローブを持たない Gaussian 形状の PSF を光学的に実現
した場合のデコンボリューションを提案した．サイドローブを持つ一般的な PSF
を Conventional PSF，サイドローブを持たない Gaussian 形状の PSF を Gaussian
1
焦点ボケ
原像
ボケ像
光子ノイズ
デコンボリューション
原像
観察像（ボケ + ノイズ）
図 1 ボケ，ノイズによる観察像の劣化と像回復（デコンボリューション）
PSF と呼ぶことにする．この Gaussian PSF を用いることでデコンボリューショ
ンによる回復度向上を図った．
デコンボリューション法は，PSF が既知である場合に観察像と PSF から原像
を推定する手法である．デコンボリューションを行う際の PSF は，点光源を観察
することによって実験的に得るか，または顕微鏡モデルに従った数値計算によっ
てあらかじめ求めておく必要がある．しかし実験条件によっては，PSF を観察す
ることが困難であったり，また数値計算で求める PSF は不正確な場合があると
いった問題がある．そこで，PSF を知ることが困難な場合に，観察像のみから原
像と PSF の両方を同時に推定するというブラインドデコンボリューションの研究
が行われている [4] [5]．代表的なブラインドデコンボリューション法として Ayers
と Dainty により提案された繰り返し型の手法（AD 法）がある [6]．AD 法はある
程度の回復度が得られる手法であるが，収束性がなく不安定であるという問題を
持っている．そこで，AD 法を改良してコスト関数の減少化と拘束条件の適用と
を繰り返し行う収束性のある手法（MP 法）が開発されている [7]．また，ブライ
ンドデコンボリューションを行う際に，PSF が Gaussian 形状という制約を取り
入れた手法が提案されている [8] [9]．本研究では，MP 法において PSF を推定す
る際に，PSF の形状が Gaussian であるという制約を加えることで MP 法を改造
2
し，回復度の向上を目指した．
本研究では上記で述べた
1. Gaussian PSF を光学的に実現することによるデコンボリューショ
ン
2. PSF の形状が Gaussian であるという制約を入れたブラインドデコ
ンボリューション
の 2 手法を提案し，検証を行った．
1.2 論文構成
本研究では，光学顕微鏡の一種である蛍光顕微鏡を対象として研究を行うた
め，まず，第 2 章において蛍光顕微鏡について説明し，蛍光顕微鏡の観察を制限
する要因である分解能，焦点ボケ，ノイズについて述べる．第 3 章では，第 2 章
で述べた焦点ボケ，ノイズを取り除くためのデコンボリューション法について述
べる．まず，蛍光顕微鏡の結像モデルとデコンボリューションについて簡単に述
べ，シミュレーション実験で用いる既存のデコンボリューション法について説明す
る．第 4 章では，デコンボリューションの性能を向上させるための提案手法（（1）
Gaussian PSF を光学的に実現することによるデコンボリューションと（2）PSF
の形状が Gaussian であるという制約を入れたブラインドデコンボリューション）
について述べる．第 5 章では，第 4 章で述べた 2 つの提案法の有効性をそれぞれ
シミュレーション実験によって検証する．最後に第 6 章でまとめを行う．
3
2. 光学顕微鏡
光学顕微鏡は，波長が約 360nm から約 830nm の電磁波である可視光線を用い
て試料を拡大し観察するものである．光学顕微鏡にはさまざまな種類のものがあ
るが，本研究ではインコヒーレントな光学系を対象にしており，インコヒーレン
トな光学系の代表として蛍光顕微鏡を取り扱う．そこで本章では，蛍光顕微鏡の
原理について説明し，蛍光顕微鏡の問題点である分解能，焦点ボケ，ノイズにつ
いて説明する．
2.1 蛍光顕微鏡
ある特定の波長の光を照射すると照射した光とは別の波長の光を発する分子が
ある．この分子のことを発光分子と呼んでいる．発光分子の発光過程を図 2 で説
明している．通常，発光分子はそのエネルギーが最低になるような状態にある．
この状態を基底状態（S0 ）と呼んでいる．発光分子に対して，光を照射する（励
起）と発光分子は基底状態よりも高いエネルギー状態（励起状態）に移行する．
励起状態におかれた分子は，励起状態のエネルギーの大きさによってさまざな状
態が生じる．その中で励起一重項状態（S1 ）にある分子は，無放射遷移または放射
遷移によって基底状態に緩和されるが，この時に放射遷移で放出される光を「蛍
光」と呼んでいる．また，励起一重項状態の分子は無放射遷移を経て励起三重項
状態（T1 ）に緩和される過程が存在する．励起三重項状態（T1 ）に緩和された分
子は同様に無放射遷移または放射遷移によって基底状態に緩和される．この時に
放射遷移によって放出される光を「燐光」と呼ぶ．蛍光顕微鏡では，蛍光，燐光
を観察することを目的としているが，燐光発光は起こりにくい現象であるため，
通常は蛍光を観察する．
2 光子励起などの多光子励起を除くと蛍光は励起光に比べてより長波長（低エ
ネルギー）側にシフトしている（図 3）．蛍光分子の励起光と蛍光の波長が異な
るという特徴を利用して，フィルターにより観察波長を選択することで蛍光のみ
を観察できるようにしたものが蛍光顕微鏡である．蛍光顕微鏡は，例えば観察し
たい構造（細胞骨格など）を蛍光分子で標識すると，その構造のみを強調するこ
4
とができるといった利点を持っている．
無放射
遷移
T1
（蛍光）
無放射遷移
放射遷移
放射遷移
無放射遷移
励起
エネルギー
S1
励起一重
項状態
励起三重
項状態
（燐光）
S0
基底状態
図 2 蛍光発光過程
2.2 蛍光顕微鏡の構成
蛍光顕微鏡の具体的な構成を図 4 に示す．透過照明の光と比較すると蛍光は微
弱であるため，蛍光を励起するための光源としては輝度の高い水銀ランプを使用
する．蛍光顕微鏡では試料に照射する励起光と試料が発する蛍光を分離するため
に分光装置が備えられている．分光装置は，3 種類の異なる光学フィルター（ダイ
クロイックミラー，励起フィルター，蛍光フィルター）から構成されている．一
般的に，この 3 種類のフィルターはフィルターキューブと呼ばれる 1 つのブロッ
クに組まれている．蛍光顕微鏡による観察では，まず励起フィルターによって光
源から特定の波長領域を選択する．次に，45 °の傾きで設置されたダイクロイッ
クミラーによって選択された波長の励起光を，下方向（試料の方向）に反射して
試料に照射する．励起光により試料中の蛍光分子は励起され，励起光よりも長い
波長領域の蛍光を発する．この蛍光をダイクロイックミラーを通して像面の検出
器へ導く．この際，ダイクロイックミラーで取り除くことのできなかった励起光
の一部をカットするために，蛍光フィルターを設けている．
5
蛍光強度
蛍光励起スペクトル
蛍光発光スペクトル
波長
図 3 蛍光励起波長と蛍光蛍光波長
2.3 蛍光顕微鏡における問題
蛍光顕微鏡に限らず，光学顕微鏡における共通の問題であるが，顕微鏡観察を
制限する要因として，分解能，焦点ボケ，ノイズがある．それぞれについて簡単
に示していく．なお本研究では，焦点ボケ，ノイズを克服するための手法を提案
する．
2.3.1 分解能
顕微鏡光学系で無限に小さな点光源を光学系を通して観察すると，観察像は光
の回折現象によって点とはならず，ある程度広がりをもったものとなる．このた
め物体面には 2 つの点が存在するとしても，この 2 点間の距離が近すぎた場合，
観察面では 2 点を見分けることができないといった問題が生じる．Rayleigh によ
り定義された，試料中の隣接した 2 点を区別できる最小の距離を分解能と呼んで
おり，分解能が小さいほど細かい構造を観察できるようになる．このように光学
顕微鏡による観察は分解能によって制限されてしまう．蛍光顕微鏡の分解能は，
分解能 = 0.61
λ
NA
(1)
の形で与えられる．NA はレンズの開口数であり，
NA = n sin θ
6
(2)
像面 ( 検出器）
フィルターキューブ
・励起フィルター
・ダイクロイックミラー
・蛍光フィルター
光源
対物レンズ
試料
図 4 蛍光顕微鏡の構成
で示される．ここで n は試料側媒質の屈折率，θ は図 5 で示すように試料からレ
ンズを見込む角度である．図 5 は，蛍光顕微鏡の開口数と分解能について示して
いる．
現在では，分解能を高めるために多光子励起顕微鏡 [10]，4Pi 共焦点顕微鏡 [11]，
STED [12]，STORM [13] などが開発されている．
2.3.2 焦点ボケ
図 6 は焦点ボケが起こる過程を示している．図 6 から分かるように観察面では，
試料の焦点面からの光波だけではなく，焦点面の上下の非焦点面からの光波が重
なって観察される．このことが原因で，観察像がボケて劣化してしまうというの
が焦点ボケであり，顕微鏡観察において観察像を劣化させる大きな要因である．
7
像側焦点
NA=nsinθ
分解能 = 0.61
λ
NA
θ
試料側焦点
媒 質（ 屈 折 率 n )
図 5 開口数と分解能
2.3.3 ノイズ
光量が少ないことから生じる光子ノイズは一般的にポアソン分布となることが
知られており，蛍光顕微鏡による観察においては光子ノイズが支配的である．光
子ノイズはポアソン分布になるため，ノイズ成分の標準偏差は観察される光強度
の平方根となり，観察される光子の数が少ないほどノイズが顕著になる．焦点ボ
ケによって劣化した観察像にノイズが含まれることによって，デコンボリューショ
ンによる原像の推定が難しくなる．
8
観察面
非焦点面
焦点面
非焦点面
試料
図 6 焦点ボケ
9
3. 蛍光顕微鏡の結像モデルとデコンボリューション法
第 2 章では，蛍光顕微鏡について説明し，蛍光顕微鏡で問題となる分解能，焦
点ボケ，ノイズについて述べた．本研究では焦点ボケ，ノイズを取り除くための
手法（デコンボリューション）についての提案を行う．第 4 章で提案手法につい
て述べる前に，本章ではデコンボリューションについて説明する．まず，顕微鏡
の結像モデルについて説明し，デコンボリューション法について簡単に述べる．
そして，シミュレーション実験において提案手法を検証するために使用した既存
のデコンボリューション法の説明を行う．
3.1 結像モデル
蛍光顕微鏡における観察像は，回復すべき原像と点像分布関数（PSF）の畳み
込み積分として表現できる．つまり，原像を f (x, y, z)，PSF を h(x, y, z) とする
と，観察像 g(x, y, z) は，
g(x, y, z) = f (x, y, z) ⊗ h(x, y, z)
∫∫∫
=
f (x′ , y ′ , z ′ )h(x − x′ , y − y ′ , z − z ′ )dx′ dy ′ dz ′
(3)
と表すことができる．ここで，⊗ は畳み込み積分を表している．畳み込み積分の
性質より観察像のフーリエ変換 G(u, v, w) は，原像のフーリエ変換 F (u, v, w) と
PSF のフーリエ変換 H(u, v, w) を用いて，
G(u, v, w) = F (u, v, w)H(u, v, w)
(4)
と，積により表現できる．本論文では，(x, y, z) は実空間中での座標を表し，(u, v, w)
はフーリエ空間中での空間周波数座標を表す．実空間の関数を小文字で，そのフー
リエ変換を大文字で記述する．ここで，g(x, y, z) のフーリエ変換は，
∫∫∫
G(u, v, w) =
g(x, y, z) exp [−i 2π(ux + vy + wz)] dxdydz
(5)
として得られる．また，光子ノイズを N （・）とすると，光子ノイズを含んだ観
察像は，
g(x, y, z) = N ( f (x, y, z) ⊗ h(x, y, z) )
10
(6)
と表現できる．
3.2 デコンボリューション法
上記の結像モデルで示したように蛍光顕微鏡で得られる観察像は原像と PSF の
畳み込み積分で表すことができる．畳み込みの関係が成り立つ場合に，観察像と
PSF から原像を推定することを，畳み込み（コンボリューション）の逆の操作を
行うという意味でデコンボリューションと呼んでいる．代表的なデコンボリュー
ション法として，ニアレストネイバー法 [14] [15]，ノーネイバー法 [16]，インバー
スフィルター [1]，ウィナーフィルター [17] などがある．これらの手法は，処理
時間が速いという長所があるが，微弱なシグナルを消してしまったり，ノイズを
強調してしまうという問題がある．そこで，処理時間は長くなるが，より良い推
定のできる繰り返し型の手法が開発されている．本研究においては，既存の繰り
返し型の手法である RL and TV 法と MP 法の 2 手法を構築し，デコンボリュー
ション法として使用した．RL and TV 法は，尤度（もっともらしさ）を最大にす
る手法である RL 法に，TV という正則化処理を付加した手法である．この手法
は，光子ノイズの影響（観察像がポアソン仮定に従って生成されること）を考慮
した手法である．また，MP（Minimization and projection）法はコスト関数とし
てフーリエエラーを採用し，フーリエエラーの値が小さくなるように原像を推定
する手法である．
上記に述べた数種類のデコンボリューション法を利用して劣化観察像から原像
を推定した例を図 7 に示している．(a) は原像，(b) は劣化観察像，(c)，(d)，(e)，
(f) はそれぞれニアレストネイバー法，インバースフィルター，ウィナーフィル
ター，MP 法による推定像である．図 7 を見ると繰り返し型の手法である MP 法
による推定像 (f) が，他の手法の結果と比較してよく推定できていることが分か
る．次に RL and TV 法と MP 法について詳しく説明する．
11
(a) 原像
XY
(b) 観察像
(d) インバースフィルター (e) ウィナーフィルター
XZ
(c) ノーネイバー法
(f)MP 法
図 7 数種類のデコンボリューション法による推定像
3.2.1 RL and TV 法
RL(Richardson Lucy) 法を TV(Total Variation) により正則化した手法を RL
and TV 法と呼ぶことにする．RL 法は，ノイズがポアソン分布で表現できる場
合に，その対数尤度を最大化するように原像を推定する繰り返し型の手法であ
る [18] [19]．観察像がポアソン過程で形成されるとすると，尤度は
p(g|f ) =
∏ [(f ⊗ h)(x, y, z)]g(x,y,z) e−(f ⊗h)(x,y,z)
g(x, y, z)!
x,y,z
(7)
として与えることができる [20] [21]．式 (7) は，その対数を取り，マイナスを乗
じることで，
− log p(g|f ) =
∫∫∫
[(f ⊗ h)(x, y, z) − g(x, y, z) log(f ⊗ h)(x, y, z) + log(g(x, y, z)!)]dxdydz
(8)
12
と和の形で表現できるようになる．RL 法では式 (8) を最小（マイナスを乗じた
ため）にするような原像 f (x, y, z) を求める．式 (8) の右辺第 3 項 log(g(x, y, z)!)
は f (x, y, z) の値に依存しないので省略することができる．従って，次に示す関数
∫∫∫
J(f ) =
[(f ⊗ h)(x, y, z) − g(x, y, z) log(f ⊗ h)(x, y, z)]dxdydz
(9)
を最小化するような f (x, y, z) を推定する．f (x, y, z) は繰り返し計算により求め
ることができ，繰り返し回数 m 回目の原像の推定像を fm (x, y, z) とすると，繰り
返し回数 m + 1 回目の原像の推定像 fm+1 (x, y, z) は，
{
}
g(x, y, z)
∗
fm+1 (x, y, z) =
⊗ h (x, y, z) · fm (x, y, z)
(fm ⊗ h)(x, y, z)
(10)
として得ることができる．ここで，記号 ∗ は複素共役を表す．
しかし，以上で説明した RL 法ではノイズを増幅してしまうという問題が生じ
る．そこで，RL 法に正則化項として TV(Total Variation) を加える手法が提案さ
れている [22]．TV で正則化された RL 法を RL and TV 法と呼ぶことにする．正
則化項である TV を Jreg (f ) で表現すると，RL and TV 法は Jreg (f ) と式 (9) で与
えられる J(f ) との和を最小化するように原像 f (x, y, z) を推定する手法である．
J(f ) + Jreg (f ) = J(f ) + λ
∑
|∇f (x, y, z)|
(11)
x,y,z
RL and TV 法では，繰り返し回数 m + 1 回目の原像の推定像 fm+1 (x, y, z) を，
}
{
fm (x, y, z)
g(x, y, z)
∗
(
) (12)
⊗ h (x, y, z) ·
fm+1 (x, y, z) =
∇fm (x,y,z)
(fm ⊗ h)(x, y, z)
1 − λ div |∇fm (x,y,z)|
として得ることができる．
3.2.2 MP 法
デコンボリューション法は観察像に加えて PSF が分かっている場合に観察像と
PSF を利用して原像を推定するという手法である．しかし，PSF を知ることがで
きない場合が少なくない．そこで，前もって PSF を知ることなく，観察像から原
13
end
start
Nonnegativity,
next
Support constraint
iteration
Minimization of the
Minimization of the
Fourier error
Fourier error
Nonnegativity,
Support constraint
図 8 MP 法のブロック図
像と PSF の両方を同時に推定するという手法が提案されており，これをブライン
ドデコンボリューション呼ぶ．
MP 法（Minimization and projection）はブラインドデコンボリューション法
の一つであり，原像と PSF の両方を観察像から推定することができる．MP 法の
ブロック図を図 8 に示す．MP 法ではコスト関数として，
EF2 m =
¯
¯2
¯
¯
G(u,
v,
w)
−
F̂
(u,
v,
w)
Ĥ
(u,
v,
w)
¯
¯
m
m
u,v,w
∑
(13)
で示されるフーリエエラーを採用し，フーリエエラーの減少化と拘束条件の適用
とを繰り返し行う収束性のある手法である．MP 法では原像と PSF の繰り返し回
数 m 回目の推定像をそれぞれ fˆm (x, y, z)，ĥm (x, y, z) とするとき，
（m+1）回目の
推定像を次のようにして求める．まず，原像の候補像 fm (x, y, z) を
∂E 2 (fˆm (x, y, z), ĥm (x, y, z))
fm (x, y, z) = fˆm (x, y, z) − αf m F m
∂ fˆm (x, y, z)
(14)
として得る．すなわち，コスト関数であるフーリエエラーの値を小さくするよう
に像 fˆm (x, y, z) の値を変化させる．この時の変化量を決めるパラメータ αf は
m
フーリエエラーが最も小さくなるように最急降下法的に決めた値であり，式 (20)
14
として与えられる．ただし式 (20) 中の Dfm (u, v, w) は，
(
)

 ∂EF2 m fˆm (x, y, z), ĥm (x, y, z) 
Dfm (u, v, w) = ℑ


∂ fˆm (x, y, z)
(15)
である．∗ は複素共役を，ℑ はフーリエ変換を表している．こうして得られた候
補像 fm (x, y, z) に像領域の拘束条件を適用して，繰り返し回数 m + 1 回目の原像
の推定像 fˆm+1 (x, y, z) は次のように与えられる．

 fm (x, y, z) (x, y, z) ∈
/ γfm
ˆ
fm+1 (x, y, z) =

0
(x, y, z) ∈ γfm .
(16)
ここで，γfm は，原像の候補像 fm (x, y, z) の値が負であるサンプル点またはサポー
ト外のサンプル点の集合である．
一方，PSF の候補像 hm (x, y, z) は ĥm (x, y, z)，fˆm+1 (x, y, z) を用いて，
(
)
∂EF2 m fˆm+1 (x, y), ĥm (x, y)
hm (x, y) = ĥm (x, y) − αhm
∂ ĥm (x, y)
(17)
として求める．ここで αhm は，式 (21) で与えられ，式 (21) 中の Dhm (u, v, w) は，
(
)

 ∂EF2 m fˆm+1 (x, y, z), ĥm (x, y, z) 
Dhm (u, v, w) = ℑ
(18)


∂ ĥm (x, y, z)
である．繰り返し回数 m + 1 回目の PSF の推定像 ĥm+1 (x, y, z) は

 hm (x, y, z) (x, y, z) ∈
/ γhm
ĥm+1 (x, y, z) =

0
(x, y, z) ∈ γhm
(19)
として得られる．ここで，γhm は，PSF の候補像 hm (x, y, z) の値が負であるサン
プル点の集合である．式 (14) と式 (17) におけるフーリエエラー EF2 m の微係数は，
式 (13) の定義より，式 (22)，式 (23) として得られる．ここで，式 (22)，式 (23)
中の ℑ−1 は逆フーリエ変換を表している．以上の手順で繰り返し回数 m + 1 回目
15
の推定像 fˆm+1 (x, y, z)，ĥm+1 (x, y, z) を求めることができる．
αfm =
∑
∑
−
u,v,w
[{
k
Re
}
]
∗
∗
G(u, v, w) − F̂m (u, v, w)Ĥm (u, v, w) Ĥm (u, v, w)Dfm (u, v, w)
．
∑
2
2
u,v,w |Ĥm (u, v, w)| |Dfm (u, v, w)|
(20)
αhm =
∑
−
[{
u,v,w Re
}
]
∗
G(u, v, w) − F̂m+1 (u, v, w)Ĥm (u, v, w) F̂m+1
(u, v, w)Dh∗m (u, v, w)
．
∑
2 |D
2
|
F̂
(u,
v,
w)|
(u,
v,
w)|
m+1
h
m
u,v,w
(21)
∂EF2 m
(
)
ˆ
fm (x, y, z), ĥm (x, y, z)
=
∂ fˆm (x, y, z)
[
{
(
)}]
− 2Re ℑ−1 Ĥm∗ (u, v, w) G(u, v, w) − F̂m (u, v, w)Ĥm (u, v, w)
． (22)
∂EF2 m
(
)
ˆ
fm+1 (x, y, z), ĥm (x, y, z)
=
∂ ĥm (x, y, z)
[
{
(
)}]
−1
∗
− 2Re ℑ
F̂m+1 (u, v, w) G(u, v, w) − F̂m+1 (u, v, w)Ĥm (u, v, w)
． (23)
MP 法では，この一連の処理を繰り返し行うことによって原像を推定する．
16
4. デコンボリューションに関する提案手法
本研究では，デコンボリューションにおける回復度向上を目的として，
1. Gaussian PSF を光学的に実現することによるデコンボリューショ
ン
2. PSF の形状が Gaussian という制約を取り入れたブラインドデコン
ボリューション
の 2 つを提案した．本章では，この 2 つの提案について説明する．
4.1 Gaussian PSF を光学的に実現することによるデコンボリュー
ション
4.1.1 PSF のサイドローブの影響と Gaussian 形状の PSF
PSF h(x, y, z) はボケを表す関数であり，PSF の形状によって観察像のボケの度
合いが決まってくる．一般的な顕微鏡における PSF である Conventional PSF は，
レンズに一様ビームを入射して，集光されたスポットの形状を持つ．Conventional
PSF の例を図 9 に示している．Conventional PSF の形状はエアリーパターンと
呼ばれている．中心の円はエアリーディスクと呼ばれ，その外側のリング状の形
状がサイドローブである．本研究では，サイドローブがデコンボリューションの
性能を低下させるのではないかと考えた．サイドローブの影響をなくすために，
サイドローブのない Gaussian 形状の PSF（Gaussian PSF）を光学的に実現する
ことを提案した．Gaussian PSF の例を図 10 に示している．Gaussian PSF を光
学的に実現した場合に得られる観察像をデコンボリューションすることで，デコ
ンボリューションにおける回復度の向上を図った．
4.1.2 Gaussian PSF の実現と分解能の調査
Gaussian PSF の実現方法と分解能の問題について述べる．顕微鏡の光学系に
は，無限焦点光学系と有限焦点光学系があり，無限焦点光学系は，図 11 のように
17
xy
xz
(a)
(b)
図 9 Conventional PSF（log plot） (a) xy 方向，(b) xz 方向
xy
xz
xy
xz
(a)
(b)
図 10 Gaussian PSF（log plot） (a) xy 方向，(b) xz 方向
18
物体面，瞳面，結像面が配置されている．この無限焦点光学系では，瞳面にフィ
ルターを設けることで瞳面の振幅分布を変化させることができる．Gaussian 形状
の PSF は，瞳面（図 11）の振幅分布を Gaussian 形状にすることで実現できる．
しかし，瞳面の振幅分布を Gaussian 形状にすることによって Gaussian PSF を
実現することができるが分解能が低下してしまう．そこで，分解能の指標として
FWHM (Full width at half maximum) を用いて，FWHM にどの程度の差が出て
くるのかをシミュレーションにより検証した．結果であるが，まず Conventional
PSF の FWHM は 0.425µm であった．一方，Gaussian PSF はその広がり方によっ
て形状が異なってくる．そのため，Gaussian の広がり方を変化させた時の PSF
の FWHM を調査した（図 12）．図 12 は，Gaussian 分布における振幅が最大値
の 1/e になる半径 ω0 の値を変化させて，像側焦点面の分布の FWHM を調査し
た結果である．これより，ω0 が大きくなるほど FWHM が小さくなることが分か
る．また，瞳面の振幅分布を Gaussian 形状にすることで Gaussian PSF が実現
できると述べたが，Gaussian の広がり方が大きくなりすぎると PSF は Gaussian
形状とみなせなくなってしまう．そこで，どの程度の広がり方であれば PSF が
Gaussian 形状とみなせるのかについても同時に調査した（図 13）．図 13 は，瞳
面の Gaussian 分布における振幅が最大値の 1/e になる半径 ω0 の値を変化させた
時の，結像面の分布の最大値（mainlobe）とサイドローブ（sidelobe）の大きさの
比率を示している．図 ω0 において，mainlobe に対する sidelobe の大きさが急激
に小さくなる ω0 の値 1300µm 程度になると，PSF を Gaussian 形状にみなせると
考えた．図 12 と図 13 の結果から，PSF を Gaussian 形状とみなすことができる時
の最小の FWHM は約 0.560µm となる．以上より，Conventional PSF の FWHM
と比較すると，Gaussian 形状の PSF の FWHM は約 1.3 倍大きくなることが分か
る．第 5 章で述べるシミュレーション実験では，ここで示した Conventional PSF
と Gaussian PSF における分解能の違いを考慮している．
19
物体面
瞳面
結像面
z
f2
f1
f1
f2
図 11 無限焦点光学系
FWHM (μm)
3.50
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
0
1000
2000
ω0 (μm)
図 12 Gaussian PSF と FWHM
20
3000
peak(sidelobe)/peak(mainlobe)
2.E-02
1.E-02
1.E-02
1.E-02
8.E-03
6.E-03
4.E-03
2.E-03
1.E-10
0
1000
2000
3000
4000
ω0 (μm)
図 13 PSF のメインローブに対するサイドローブの比率
4.2 PSF の形状が Gaussian という制約を取り入れたブラインド
デコンボリューション
PSF を求めることが困難な場合には，PSF を利用する通常のデコンボリュー
ションを行うことができない．このような場合には，観察像から原像と同時に PSF
も推定する手法であるブラインドデコンボリューションで原像を推定する必要が
ある．顕微鏡分野においてもブラインドデコンボリューションの研究が行われて
いる [4] [5]．しかし，ブラインドデコンボリューションでは原像と PSF のどちら
も未知であるために，デコンボリューションに比べて解を求めることが難しくな
る．本研究では，サイドローブの影響をなくすために， 4.1 節で Gaussian 形状の
PSF を実現することを提案している．そこで Gaussian PSF を実現した場合には，
ブラインドデコンボリューションを行う際に，PSF の拘束条件として PSF の形
状が Gaussian であるという拘束を加えることができる．関連研究として，近年，
Conventional PSF の形状が Gaussian で近似できると仮定した場合に，PSF の形
状が Gaussian という制約を加えるブラインドデコンボリューション法が提案さ
れている [8] [9]．本研究では，これらを参考に，PSF が Gaussian 形状であると
21
いう制約を MP 法に加えることで，MP 法を以下のように改良した．
まず，Gaussian 形状の PSF を
1
h(r, z) =
(
z2
r2
exp
−
−
σr2 σz
2σr2 2σz2
)
(24)
(2π)3/2
√
のように定義する．ここで，r = x2 + y 2 であり，σr ，σz はそれぞれ焦点面方向
（xy 方向），光軸方向（z 方向）のガウシアン関数の広がりを決めるガウシアンパ
ラメータである．Gaussian 形状の PSF を仮定することで，未知のパラメータを
σr ，σz の 2 つのみに制限することができる．σr ，σz は，式 (13) で示したフーリ
エエラーの値が小さくなるように次式により求める．
(
)
∂EF2 m fˆm (x, y, z), ĥm (x, y, z)
(r)
(r)
(r)
σm
= σ̂m
− αm
(r)
∂σm
(
)
∂EF2 m fˆm (x, y, z), ĥm (x, y, z)
(z)
(z)
(z)
σm
= σ̂m
− αm
(z)
∂σm
(25)
(26)
式 (25) と式 (26) におけるフーリエエラー EF2 m の微係数は，式 (13) の定義より，
′
式 (27)，式 (29) として得られる．ここで，式 (27) 中の Ĥσ∗(r)
∗′
中の Ĥσ(z)
m
m
(u, v, w) と式 (29)
(u, v, w) は，それぞれ式 (28)，式 (30) で表される．また，原像は通
常の MP 法と同様にして求める．
(
)
∂EF2 m fˆm (x, y, z), ĥm (x, y, z)
(r)
−2
∑
∂σm
[
′
Re F̂m∗ (u, v, w)Ĥσ∗(r)
=
(
)]
(u,
v,
w)
G(u,
v,
w)
−
F̂
(u,
v,
w)
Ĥ
(u,
v,
w)
m
m
m
u,v,w
(27)
′
Ĥσ∗(r) m (u, v, w)
{(
=ℑ
−
2
(r)
σm
22
+
r2
3 (r)
σm
)
}
ĥm (x, y, z)
(28)
∂EF2 m
(
)
ˆ
fm (x, y, z), ĥm (x, y, z)
(z)
−2
∑
∂σm
[
′
Re F̂m∗ (u, v, w)Ĥσ∗(z)
=
(
)]
(u,
v,
w)
G(u,
v,
w)
−
F̂
(u,
v,
w)
Ĥ
(u,
v,
w)
m
m
m
u,v,w
(29)
′
Ĥσ∗(z) m (u, v, w)
{(
=ℑ
−
1
(z)
σm
+
z2
3 (z)
σm
)
}
ĥm (x, y, z)
(30)
以上の処理を 1 サイクルとして，このサイクルを繰り返し行うことで原像を推定
する．
23
5. シミュレーション実験による提案手法の検証
第 4 章で述べた提案法を検証するために，コンピュータ上でシミュレーション
実験を行った．本章では，まずシミュレーション実験で使用したデコンボリュー
ション法についてまとめ，PSF の生成方法，ノイズ量，推定像の評価関数につ
いて述べる．そして，第 4.1 節で述べた Gaussian PSF の効果を検証した結果を
第 5.4 節で述べ，第 4.2 節で提案した PSF の形状が Gaussian という制約を取り
入れたブラインドデコンボリューション法の検証結果を第 5.5 節で示す．
5.1 シミュレーション実験で使用するデコンボリューション法
ここで，シミュレーション実験で用いたデコンボリューション法についてまと
めておく．デコンボリューション法（観察像と PSF を知った上での推定法）とし
表 1 シミュレーション実験で使用するデコンボリューション法
デコンボリューション法
MP法：（デコンボリューション法としてMP法を使用）
RL and TV法
Blind MP法：（ブラインドデコンボリューション法と
ブラインドデコン
としてMP法を使用）
ボリューション法
Blind Gaussian MP法：（Gaussian PSFを仮定した
ブラインドデコンボリューション法(MP法））
ては，RL and TV 法と MP 法を用いた．MP 法は，ブラインドデコンボリュー
ション法であるが，デコンボリューション法として使用する際には，PSF の値は
推定せずに既知の値を使用した．また，ブラインドデコンボリューション法（観
察像のみからの推定法）としては，ブラインドデコンボリューションとして使用
する MP 法（Blind MP 法）と，今回提案した Gaussian PSF を仮定した MP 法
（Blind Gaussian MP 法）を使用した．MP 法をデコンボリューション法として用
いる場合とブラインドデコンボリューション法として用いる場合などを区別する
ために，表 1 にデコンボリューション法の名前とその用方をまとめている．
24
5.2 PSF の生成
まず，シミュレーション実験では PSF と劣化した観察像を生成する必要がある．
本論文で用いる PSF の生成方法について述べる．Conventional PSF は Debye モ
デルによって生成した [23]．Debye モデルは非近軸イメージング（例えば高開口
数の対物レンズが用いられる場合のイメージング）に適するモデルとして知られ
ている．Debye モデルでは顕微鏡の対物レンズが均一に照射されている状態を考
える．対物レンズを通過した波長 λ の照射光は屈折率 n，波数 n(2π/λ) の物体空
間に集光される．この時，焦点付近の振幅分布は Debye の回折モデルによって次
式で表現することができる．
∫
′
h (x, y, z) = C0
α
√
cos θ J0 (kρ sin θ) e−ikz cos θ sin θdθ．
(31)
0
ここで，式 (31) の Ｃ0 は複素定数，α は見込角，J0 は 0 次の第 1 種ベッセル関数
である．蛍光顕微鏡における Conventional PSF は，振幅分布 h′ (x, y, z) の絶対値
の２乗をとった強度
hc (x, y, z) = |h′ (x, y, z)|2
(32)
で与えられる．
一方 Gaussian PSF は，第 4.2 節で示した式 (24) の形で与えた．
5.3 ノイズの大きさ
観察像に付加するノイズの大きさは次に示す SNR の値で定義した．
∑
2
x,y,z (f (x, y, z) ⊗ h(x, y, z))
SNR = 10 log10 ∑
2
x,y,z (g(x, y, z) − f (x, y, z) ⊗ h(x, y, z))
(33)
図 14 に，ノイズの大きさと対応する観察像の例を示している．図 14 の (a) はノイ
ズなしの場合，(b)，(c)，(d)，(e) はそれぞれ SNR が 40dB，30dB，20dB，10dB
の場合の観察像である．
25
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
図 14 ノイズの大きさと観察像
26
5.4 評価関数
画像の回復度の評価指標として次の式で定義される NMSE（Normalized Mean-
Square Error）を使用することにする [24]．
∑
NMSE =
| fˆ(x, y, z) − f (x, y, z) |2
∑
.
2
x,y,z | f (x, y, z) |
x,y,z
(34)
ここで f (x, y, z) は原像，fˆ(x, y, z) は原像の推定像である．NMSE が 0 に近づく
ほど，回復された像が原像に近いことを表している．なお，NMSE を用いること
ができるのは原像がわかっている場合に限られる．従って，実際の観察像をデコ
ンボリューションする際の評価指標としては，NMSE 以外の指標を用いる必要が
ある．例えば，繰り返し回数 m + 1 回目の推定像と m 回目の推定像の誤差
∑
ˆ
ˆ
x,y,z | fm+1 (x, y, z) − fm (x, y, z) |
Xm =
.
(35)
∑
| fˆm (x, y, z) |
x,y,z
を利用して収束の判定をする必要がある．
5.5 シミュレーション実験の流れ
シミュレーション実験の流れを示すために MP 法をデコンボリューション法と
して用いた場合のシミュレーション実験のフローチャートを図 15 に示している．
図 15 のフローチャートは，前半で観察像の生成を行い，後半ではデコンボリュー
ション法として MP 法を用いた時の処理の流れを記述している．観察像の生成は，
図 15 の前半で示すように，まず第 5.2 節に示す方法で作成した PSF と原像を畳
込みこむ．次に，畳込み積分により得られた像に対して光子ノイズ（ポアソンノ
イズ）を付加することで観察像を得る．後半部分の MP 法の処理は第 3.2.2 節で
説明したものと同じである．なお本論文で示すシミュレーション実験では，蛍光
顕微鏡を対象とした．また，画素数は，128 × 128 × 128 voxels，画素サイズは，
50nm × 50nm × 50nm /voxel，蛍光波長は，λ = 500nm の一定の値を用いてい
る．デコンボリューション法はいずれも繰り返し型の手法であるが，その繰り返
し回数は 500 回とした．500 回の繰り返しの中で，NMSE が最も小さかった場合
27
start
Calculation
Calculation
Poisson noise
Minimization of the
Fourier error
Nonnegativity,
Support constraint
No
Yes
end
図 15 シミュレーション実験のフローチャート
28
に得られる像を推定結果とした．使用したデコンボリューション法の種類，開口
数，SNR については，シミュレーション条件として各シミュレーション毎に示す．
図 15 のフローチャートに従ってシミュレーション実験を行った結果の一例を
図 16 に示す．シミュレーション条件を，表 2 に示している．
表 2 シミュレーション条件
デコンボリューション法
開口数 NA
SNR(dB)
MP 法
1.49
30
シミュレーション実験では 3 次元像を扱っており，図 16 の（a），
（b），
（c），
（d）はそれぞれ左側に焦点面方向（xy 方向）の像を示し，右側に光軸方向（xz
方向）の像を示している．図 16（a）は原像を示している．
（b）は点像分布関数
PSF である．
（c）は原像と PSF を畳み込み，光子ノイズを付加することによって
得られる観察像である．
（d）は MP 法を用いてデコンボリューションを行った際
に，NMSE が最も小さかった時の推定像を示している．
（d）の推定結果を見ると，
観察像からボケとノイズが取り除かれ原像に近い像まで推定できていることが分
かる．また，推定像の NMSE の値は 4.20 × 10−2 となった．
5.6 Gaussian PSF を光学的に実現することによるデコンボリュー
ションの検証
提案手法である「Gaussian PSF を光学的に実現することによるデコンボリュー
ション」を検証するために，Conventional PSF の場合と Gaussian PSF の場合とで
デコンボリューション結果を比較した．Conventional PSF と Gaussian PSF の場
合のデコンボリューション結果の例をそれぞれ図 17 と図 18 に示す．Conventional
PSF の場合のデコンボリューションのシミュレーション条件は，表 3 とした．また，
Gaussian PSF の場合のデコンボリューションのシミュレーション条件は，表 4 と
した．第 4.1.2 節で Gaussian PSF の分解能が Conventional PSF よりも約 1.3 倍
低下すると述べた．そこで，開口数 NA の値を小さくすることで，Gaussian PSF
29
XY
XZ
(a) 原像
XZ
XY
(b)PSF
XZ
XY
(c) 観察像
XY
XZ
(d) 推定像
図 16 MP 法によるデコンボリューションの例
30
の分解能を低下させてシミュレーション実験を行った．具体的には，Conventional
PSF の場合の開口数（1.49）に対して，Gaussian PSF では開口数を 3 分の 2 程度
の 0.98 にすることで，分解能を約 1.5 倍低下させた． シミュレーション実験の結
表 3 シミュレーション条件（Conventional PSF の場合)
デコンボリューション法
開口数 NA
SNR(dB)
RL and TV 法
1.49
30
表 4 シミュレーション条件（Gaussian PSF の場合)
デコンボリューション法
開口数 NA
SNR(dB)
RL and TV 法
0.98
30
果，Conventional PSF の場合と Gaussian PSF の場合のデコンボリューションに
おける推定像の NMSE は，それぞれ，6.62 × 10−2 ，2.07 × 10−2 となり，Gaussian
PSF において良い結果が得られた．推定像である図 17(d) と図 18(d) を比較する
と，図 17(d) の方はボケがまだ少し残っているが，図 18(d) ではほとんど原像に
近い像まで推定できている．
5.6.1 ノイズ量の変化に対する影響
ノイズの大きさを変化させた場合に，Conventional PSF の場合と Gaussian PSF
の場合のデコンボリューション結果を比較した結果を表 5 に示す．観察像の SNR
を 40dB，30dB，20dB，10dB として，ノイズの大きさを調節した．デコンボリュー
ション法として MP 法と RL and TV 法を用いた時の結果をそれぞれ調査した．原
像は図 17(a) の像を用いた．Conventional PSF の場合のデコンボリューションの
シミュレーション条件を，表 6 にまとめている．Gaussian PSF の場合のデコン
ボリューションのシミュレーション条件は，表 7 とした． 結果である表 5 を見る
と，MP 法では Conventional PSF の場合と Gaussian PSF の場合とで大きな差は
31
XY
XZ
XY
(c) 観察像
(a) 原像
XY
XZ
XY
XZ
XZ
(d) 推定像
(b) PSF
図 17 Conventional PSF の場合のデコンボリューション
XY
XZ
XY
(c) 観察像
(a) 原像
XY
XZ
XY
XZ
XZ
(d) 推定像
(b) PSF
図 18 Gaussian PSF の場合のデコンボリューション
32
表 5 SNR の変化に対する推定像の NMSE
Method
MP
PSF type
SNR(dB)
RL and TV
Conventional
Gaussian
Conventional
Gaussian
40
3.81E-02
3.06E-02
6.42E-02
2.13E-02
30
3.54E-02
3.40E-02
6.45E-02
2.17E-02
20
5.23E-02
4.96E-02
6.43E-02
2.39E-02
10
7.57E-02
1.27E-01
6.76E-02
6.17E-02
表 6 シミュレーション条件（Conventional PSF の場合)
デコンボリューション法
開口数 NA
SNR(dB)
MP 法，RL and TV 法
1.49
40,30,20,10
表 7 シミュレーション条件（Gaussian PSF の場合)
デコンボリューション法
開口数 NA
SNR(dB)
MP 法，RL and TV 法
0.98
40,30,20,10
33
ないが，RL and TV 法では Gaussian PSF の場合のデコンボリューション結果が
Conventional PSF の場合に比べて良くなっていることが分かる．また，SNR が
大きくなるほど推定像の NMSE の値が大きくなり，また，Conventional PSF の
場合と Gaussian PSF の場合のデコンボリューション結果に差がなくなっている．
5.6.2 原像の変化に対する影響
ここでは，原像を図 19 とした時の結果を表 8 に示している．シミュレーション
条件は Conventional PSF の場合と Gaussian PSF の場合で，それぞれ表 6，表 7
と同じである．表 8 より，原像として図 19 を用いた時は，MP 法と RL and TV 法
のどちらの手法においても Conventional PSF の場合と比較して，Gaussian PSF
を用いた場合のデコンボリューション結果の NMSE が小さくなっており，良い推
定ができていることが分かる．
XY
XZ
図 19 原像 2
5.7 PSF の形状が Gaussian という制約を取り入れたブラインド
デコンボリューションの評価
ここでは，PSF の形状が Gaussian という制約を取り入れた MP 法である Blind
Gaussian MP 法のシミュレーション実験について述べる．Blind Gaussian MP
法とブラインドデコンボリューション法として使用する Blind MP 法，デコンボ
リューション法として使用する MP 法の 3 手法を比較した．まず，観察像を生成
34
表 8 SNR の変化に対する推定像の NMSE （原像 2 の場合）
Method
MP
PSF type
SNR(dB)
RL and TV
Conventional
Gaussian
Conventional
Gaussian
40
8.61E-02
5.81E-02
1.17E-01
3.97E-02
30
8.89E-02
6.23E-02
1.17E-01
4.00E-02
20
1.08E-01
7.97E-02
1.17E-01
4.25E-02
10
1.41E-01
1.57E-01
1.25E-01
7.90E-02
する元の PSF の形状が Conventional である場合のデコンボリューションを評価し
た．ノイズの大きさを変化させた場合のそれぞれの手法における推定像の NMSE
を表 9 に示す．結果としては，Blind Gaussian MP 法の結果が一番悪く，提案手
法ではうまく推定できないという結果となった．
次に観察像を形成する元の PSF の形状が Gaussian である場合のデコンボリュー
ションを評価した．ノイズの大きさを変化させた場合のそれぞれの手法における
推定像の NMSE を表 10 に示す．表 10 を見ると，Blind Gaussian MP 法は Blind
MP 法よりも推定像の NMSE が小さくなり良い推定ができていることが分かる．
また，この例では Blind Gaussian MP 法と MP 法による推定像の NMSE の差は
少なく，同程度の推定ができている．
表 9 元の PSF が Conventional の場合の SNR の変化に対する推定像の NMSE
Method
SNR(dB)
MP
Blind MP
Blind Gaussian MP
40
8.61E-02
2.88E-01
4.91E-01
30
8.89E-02
2.90E-01
4.92E-01
20
1.08E-01
3.01E-01
4.97E-01
10
1.41E-01
4.07E-01
5.07E-01
35
表 10 元の PSF が Gaussian の場合の SNR の変化に対する推定像の NMSE
Method
SNR(dB)
MP
Blind MP
Blind Gaussian MP
40
5.81E-02
1.63E-01
7.19E-02
30
6.23E-02
1.83E-01
7.21E-02
20
7.97E-02
2.40E-01
7.60E-02
10
1.57E-01
4.39E-01
1.10E-01
5.8 シミュレーション実験の結果に対する考察
まず，Gaussian PSF を光学的に実現することによるデコンボリューションの
検証結果について考察する．Gaussian PSF と Conventional PSF の場合のデコン
ボリューション結果を比較することで，全体的に Gaussian PSF の場合のデコン
ボリューションの方が良い推定が行えるという結果が得られた．これより，光学
的に Gaussian PSF を実現するデコンボリューションが有効であることが分かっ
た．サイドローブのない Gaussian PSF を用いることで推定結果が改善したため，
Conventional PSF におけるサイドローブがデコンボリューションに悪影響を与え
ていると思われる．また，MP 法と RL and TV 法の結果を比較すると，RL and
TV 法において Gaussian PSF を利用することの効果がより大きくなった．RL and
TV 法は，観察像に含まれるノイズである光子ノイズ（ポアソンノイズ）を考慮
した手法である．従って，ノイズを考慮した RL and TV 法において，Gaussian
PSF を利用することの効果が大きくなるということは，サイドローブとノイズが
影響し合うことでデコンボリューションに影響を与えていると考えることができ
る．また，MP 法，RL and TV 法のどちらにおいても，ノイズの量が大きくなる
（SNR が小さい）場合には，Conventional PSF，Gaussian PSF の場合で回復度
はそれほど変わらなくなった．従って，ノイズ量がある一定以上大きくなるとサ
イドローブの影響よりもノイズの影響が支配的になると考えることができる．サ
イドローブがデコンボリューション結果を低下させる原因については，さらに調
査していく必要がある．
次に PSF の形状が Gaussian という制約を取り入れた Blind Gaussian MP 法の
36
結果について考察する．Blind Gaussian MP 法の検証結果であるが，観察像を生
成する PSF が Conventional PSF の場合には Blind MP 法と比較して結果が改善
されなかった．しかし，観察像を生成する PSF が Gaussian PSF である場合には，
Blind MP 法に比べて良い推定が行え，またデコンボリューション法として使用
する MP 法の場合と同程度の推定を行うことができた．観察像を生成する PSF
が Conventional PSF の場合の結果が悪い原因としては，蛍光顕微鏡においては
Conventional PSF の形状が Guassian 形状から離れていたため，PSF をうまく推
定できなかったということが考えられる．従って，Conventional PSF を持つ一
般的な蛍光顕微鏡像に Blind Gaussian MP 法を適用しても，効果を得ることが
できないと思われる．また，元の PSF の形状が Gaussian である場合には，Blind
Gaussian MP 法は有効であるといえる．本研究では，光学的に Gaussian 形状の
PSF を実現した場合のデコンボリューションを提案したが，この場合には，Blind
Gaussian MP 法を使用することの効果を期待することができる．
37
6. おわりに
本研究では，焦点ボケとノイズによって劣化した観察像から元の原像を推定す
るためのデコンボリューション法の改善に取り組んだ．まず一つとして，PSF のサ
イドローブがデコンボリューション結果を低下させるのではないかという点に着
目した．そして，デコンボリューションにおけるサイドローブの影響をなくすため
に，Gaussian 形状の PSF を光学的に実現することで得た観察像に対して，デコン
ボリューションを行うことを提案した．シミュレーション実験により，PSF の形状
が Conventional である場合と Gaussian である場合の観察像をデコンボリューショ
ンすることで検証を行った．その結果，Gaussian PSF の場合のデコンボリュー
ション結果が，Conventional PSF の場合のデコンボリューション結果よりも向上
することを確認した．これより，Gaussian PSF を実現した場合のデコンボリュー
ションが有効であることが分かった．
またもう 1 つとして，ブラインドデコンボリューション法である MP 法に，PSF
の形状が Gaussian であるという制約を取り入れた手法を提案した．シミュレー
ション実験によってこの手法を検証した結果，元の PSF の形状が Conventional
である場合は，制約を加えることの効果が得られなかった．しかし，元の PSF の
形状が Gaussian 形状である場合には，制約を加えることで回復度を向上させる
ことができた．従って，一つ目の提案のように Gaussian 形状の PSF を光学的に
実現した場合には，PSF が Gaussian であるという制約を適用したブラインドデ
コンボリューション法が有効に機能すると思われる．
顕微鏡像のボケ，ノイズを取り除くことによって見えない情報を取り出すデコ
ンボリューション法の開発は，生物の構造や働きを発見する手助けとなることが
期待される．本研究における提案手法をさらに改良することによってデコンボ
リューションの効果が向上することを期待する．
38
謝辞
本研究の機会を与えていただき，また多くのご指導を賜りました情報科学研究
科 湊 小太郎 教授に深く感謝いたします．研究室ゼミでの御助言，御指摘はとて
も参考になりました．
研究発表の際，筆者の発表に耳を傾けていただき，貴重なご指摘を賜りました
情報科学研究科 木戸出 正繼 教授に厚くお礼を申し上げます．
顕微鏡分野にデコンボリューションのテーマがあると，本研究テーマに導いて
頂いた情報科学研究科 杉浦 忠男 准教授に心から感謝いたします．研究を行う中
で，度々の御助言とご指導をいただき厚くお礼申し上げます．
研究室ゼミなどにおいて，貴重な御助言，御指摘をいただいた佐藤 哲大 助教
に厚くお礼を申し上げます．
プログラミングのご指導をはじめ，多くの御助言を頂いた中尾 恵 助教に深く
感謝いたします．
湊研究室の暖かい雰囲気の中で有意義な学生生活を送ることができました．先
輩後輩，友達，湊研究室の皆さんに深く感謝いたします．
最後に，長きに渡る学生生活を支えて頂いた両親に心から感謝いたします．
39
参考文献
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