問題 2 t を実数とする。y = x3 − x のグラフ C へ点 P(1 ,t) から接線を引く

問題 2
t を実数とする。y = x − x のグラフ C へ点 P(1, t) から接線を引く。
3
(1) 接線がちょうど１本だけ引けるような t の範囲を求めよ。
(2) t が (1) で求めた範囲を動くとき、点 P(1, t) から C へ引いた接線と C とで
囲まれた部分の面積を S(t) とする。S(t) の取りうる値の範囲を求めよ。
【2014 京都大学】
解答
y
(1)
C の x = p での接線は、y 0 = 3x2 − 1 より、
(
)
y = 3p2 − 1 (x − p) + p3 − p
これが点 P(1, t) を通るから、
(
)
t = 3p2 − 1 (1 − p) + p3 − p
P
３次関数においては「接線と接点は１対１対応す
る」から、C へ点 P(1, t) から接線がちょうど１本
だけ引けるとは、これを満たす実数 p がただ１つ
存在することである。
(
)
f (p) = 3p2 − 1 (1 − p) + p3 − p − t
x
O
とおくと、
(
)
f 0 (p) = 6p (1 − p) − 3p2 − 1 + 3p2 − 1
= 6p (1 − p)
であるから、f (p) = 0 がただ１つの実数解をもつためには、
f (0) × f (1) > 0
⇔ (−t − 1) (−t) > 0
⇔ t < −1, 0 < t
c
Darumafactory
-1-
RadicalMath
t
(2)
(
)
y = x3 − x, y = 3p2 − 1 (x − p) + p3 − p
1
の共有点の x 座標は、
(
)
x3 − x = 3p2 − 1 (x − p) + p3 − p
1
2
2
⇔ (x − p) (x + 2p) = 0
⇔ x = p, x = −2p
だから、
∫
S (t) = −2p
p
O
−1
(x − p) (x + 2p) dx
1
2
1
27 4
4
=
(3p) =
p
12
4
−1
さて、t と p の関係は
t = −2p3 + 3p2 − 1
であったから、
dt
= −6p2 + 6p = −6p (p − 1)
dp
より、t = −2p3 + 3p2 − 1 のグラフは右図。これより、
1 3
p<− , <p
2 2
であるから、S(t) の値域は、
(
)4
27
1
27
S (t) >
· −
=
4
2
64
c
Darumafactory
-2-
3
2
RadicalMath
p