)( )( )( )( t ftr t ftr о о L о о × ′ + + × ′ = = t tL d )( о = ′ + t tL t tL d

ここで，第２項目の 重心Ｇのまわりでの外力のモーメントの和 を
r
r
r
r
r
′ (t ) = r1′(t ) × f1(ex) (t ) + L + rN′ (t ) × f N( ex) (t )
N tot
r
′ (t )
N tot
とおくと，
r
r
r
r
′ (t )
N tot (t ) = R (t ) × Ftot (t ) + N tot
O
r
R (t )
となる。
r
r
ri′(t ) × f i( ex) (t )
r
f i(ex) (t )
G r
ri′(t ) i
まとめると，
原点 O のまわりでの回転の運動方程式は，
r
r
dLtot (t )
= N tot (t )
dt
⇒
r
r
r
r
′ (t ) r
dLG (t ) dLtot
′ (t )
+
= R (t ) × Ftot (t ) + N tot
dt
dt
となる。ここで，重心の運動方程式から
r
r
r
r
dPtot (t ) r
d{R(t ) × Ptot (t )} r
= Ftot (t ) →
= R(t ) × Ftot (t )
dt
dt
r
r
dLG (t ) r
= R (t ) × Ftot (t ) （重心についての回転の運動方程式）
→
dt
が導かれるので，重心のまわりでの多粒子系の回転運動（自転）については
r
r
′ (t )
dLtot
′ (t )
= N tot
dt
：自転運動の回転の運動方程式
r
r
′ (t ) は重心Ｇのまわりでのもの
′ (t ) ， N tot
Ltot
（重心 G を原点として計算したもの）
が成り立つ。
重心を原点とする座標系は慣性系でない（非慣性系）。それにもかかわらず，
r
′ (t ) の中に，
重心のまわりでの外力のモーメントの和 N tot
r
r
見かけの力 f i′(t ) = −mi a G (t )
（遠心力など）
r
r
d 2 R (t )
が現れないことが重要である。（ a G (t ) =
は重心の加速度）
dt 2
非慣性系･･･本当の力がゼロでも，等速直線運動にならないような座標
重心がどんな複雑な加速度運動をしていようと，それを気にしないで，重心のま
わりでの回転（自転）運動の方程式を立てることができる。
また原点 O のまわりでの重心の回転運動については
r
r
r
N G (t ) = R (t ) × Ftot (t )
とおくと
r
：重心Ｇに外力の和 Ftot (t ) が集中して作用した
ときの原点 O のまわりでのモーメント
29
r
N G (t )
r
r
dLG (t )
= N G (t )
dt
O
r
Ftot (t )
r
R (t )
G
：公転運動（重心の回転運動）の回転の運動方程式
が成り立つ。
結論として
多粒子系（大きさがある物体）の回転運動
＝ 公転運動
＋
自転運動
r
r
dLG (t )
= N G (t )
dt
r
′
Ltot
r
LG
r
r
′ (t )
dLtot
′ (t )
= N tot
dt
r
R
O
r
多粒子系の全角運動量 Ltot
＝
r
公転の角運動量 LG
例：地球の運動
r
′
自転の角運動量 Ltot
＋
＝太陽のまわりの公転
＋
地球の重心のまわりの自転
例：原子内の電子の運動
＝原子核のまわりでの公転
＋
電子の自転（スピンと呼ぶ）
r
r
r
′ は時間変化するが， Ltot は時間変化しない）
（原子内の電子では LG や Ltot
問
質量 m の２個の粒子を長さ 2a の軽い棒
でつないだ物体（２粒子系）が，重心 G の
まわりで水平に回転できるようになってい
2
る。また，その棒は重心 G の位置で長さ R の
O
軽いアームでつながれ O を中心として水平
R
z軸
（紙面裏から表）
に回転できる。 ∠OG1 ＝ 60° で静止してい
r
る。図のようにアームと垂直な力 F を粒子
１に加えた。
図
′ z をそれぞれ求めよ。
① N G z と N tot
N G z ＝ RF
，向き：
′ z ＝ − aF sin 30° = −aF / 2
N tot
，向き：
③ 公転と自転は，それぞれどちら向きに生じるか。
公転は
反時計回り
（O のまわりの回転）
。
自転は
時計回り
（G のまわりの回転）
30
。
r
F
1
a
G
剛体の運動方程式
剛体の運動
多粒子系（大きさがある物体）
伸び縮みしたり，変形したりする物体の運動は難しい
変形しない物体（理想化）→ 剛体
（
物体を構成する粒子同士の相対的な位置関係が変わらない）
あまり強い力を加えなければ，多くの物体は剛体と見なせる。
r
′ (t )
Ltot
剛体の運動方程式
剛体の運動 ＝ 重心の運動
r
d R (t )
＋
重心のまわりの回転運動
r
r
M
=
F
tot (t ) ：重心の運動方程式
R (t )
dt 2
r
O
′ (t ) r
dLtot
′ (t ) ：重心のまわりの回転（自転）の運動方程式
= N tot
dt
z
剛体の自転軸を z 軸とする
2
ω (t )
剛体が回転する場合は，全体が一様に回転するので，ど
の部分の粒子も同じ角速度 ω (t ) で回転している。
mi
hi
剛体がいびつな形をしている場合，取り扱いが複雑になるので，ここで
は自転軸に対して対称性がよい形状の物体のみを考える。
球，ラグビーボール，円柱，円板，ドーナッツ，真直ぐな棒，
・・・
r
′ (t ) の
このようなとき，自転軸（ z 軸）と自転の角運動量 Ltot
向きが同じになる
（形がいびつな場合は同じにならない）
r
′ (t ) の z 成分 Lz′ (t ) は
自転の角運動量 Ltot
Lz′ (t ) = I ′ ⋅ ω (t )
r
z
′ (t )
L tot
z
ω (t )
の関係がある。
I ′ ：自転軸（ z 軸）のまわりでの
慣性モーメント
31
この授業では
扱わない
ω (t )
r
′ (t )
L tot
自転の運動方程式は，慣性モーメント I ′ と角速度 ω (t ) を用いれば，
I′
dω (t ) r
′ (t )
= N tot
dt
慣性モーメント I ′ の計算
z 軸のまわりを角速度 ω (t ) 半径 h の円運動をする１個の粒子の角運動量 l (t ) は
l (t ) = hmv = hm{hω (t )} = mh 2ω (t )
したがって，多粒子系の角運動量を Lz′ (t ) = I ′ ⋅ ω (t ) と書いたとき
z
自転軸（ z 軸）のまわりでの慣性モーメントは，
n
I ′ = ∑ mi hi 2 = m1h12 + L + m N hN 2
ω (t )
mi
hi
i =1
n
= ∑ mi ( xi 2 + yi 2 ) = ∫ dm ⋅ ( x 2 + y 2 ) ［kg･m2］
i =1
例：質量 2 m と m の２個の粒子を，長さ 3a の軽い棒でつないだバトンの，重心
G を通ってバトンに垂直な軸のまわりの慣性モーメント
G
2m
I ′ = 2m ⋅ a 2 + m ⋅ (2a) 2 = 5ma 2
a
m
2a
例：一様な棒の慣性モーメント（重心 G を通って棒に垂直な軸のまわり）
z
質量 M 長さ D とする。
棒の微小長さ dx の質量は dm =
M
dx
D
M
dx ⋅ x 2
−D 2 D
I ′ = ∫ dm ⋅ x 2 = ∫
=
M
D
D2
−
D
2
O
M 1 3 
M  1  D 
1 D
2
x
d
x
=
⋅   − − 
x
=
⋅
∫− D 2


D  3  D 2 D  3  2 
3 2 
D 2
D2
3
dx
D
2
3
1

MD 2
 =
12

代表的な形状について，一様な物体の重心 G のまわりでの慣性モーメント
a）半径 R の球
b）半径 R の円板
c）半径 R の円板
（板に垂直な軸）
（板を通る軸）
I′ =
2
MR 2
5
I′ =
1
MR 2
2
32
I′ =
x
1
MR 2
4