学習プリント2（数学準備教材）

数学準備教材
１
実数の計算
小学校では自然数・小数・分数を 、中学校では負の数を（ これらをまとめて 有理数 と呼びます ）
学びました。また、中学校ではさらに、 ２ などの 根号(ルート)を使って表される 無理数 を学
びました。この有理数と無理数をまとめて 実数 といいます。
ここでは、実数の性質や計算について復習します。
√
§１−１
分数・小数の計算と数の大小
高校数学では、小数よりも分数での計算が中心になります。そこで、分数の計算などについ
て復習しましょう。
〔例１〕(１)分数計算の基本
分母と分子に同じ数をかける→通分
１ １
１×３
１×２
３ ２ ５
−＋−＝
＋
＝−＋−＝−
２ ３
２×３
３×２
６ ６ ６
分母子×３
分母子×２
× 分母と分子に同じ数を足したり
引いたりすることはできません
× 分母が違う分数の足し算・引き
算は通分しないとできません
分母と分子を同じ数で割る→約分
３
３÷３
１
−＝
＝−
６
６÷３
２
分母子÷３
(２)小数は分数に直そう。
１
１
０.１＝
０.０１＝
１０
１００
１つ移動
０は１つ
２つ移動
０ .２５＝
０は２つ
２５１
１
＝
１００４
４
約分
数の表し方をそろえることで、計算や大小の比較ができるようになります！
３
３ １ ２ １
(３)−−０ .２５＝ −−−＝−＝−
４
４ ４ ４ ２
(２)参照
１
(４)− と ０.３ の大小を比較する。
３
３
９
step1 小数(0.3)を分数に直します
０ .３＝
＝
１０
３０
step2 ２つの分数を通分(分母を同じにすること)
１
１０
すると、分子で２数の大小がわかります
−＝
(9 ＜ 10)
３
３０
１
よって、０ .３の方が − よりも小さいので、これを不等号＜を使って
３
１
０ .３＜ −
と表します
３
問１−１
次の計算をしなさい。
１ ２
(１)−＋−
３ ３
１ ２
(２)−＋−
６ ９
３ ４
(３)−−−
２ ５
１ ３
(４)−×−
３ ２
２ ４
(５)−÷−
３ ５
１
(６)２−−×２
６
-1-
問１−２
問１−３
次の計算をしなさい 。（整数でない答は分数で表すこと）
(１)３−４
(２)−２＋９
１ １
(３)−−−−
２ ３
(４)−１ .４＋２ .６−３ .７
４
３
(５)−×(−−)
３
４
(６)７÷３５×(−２５)
(７)(−５)３−５ ３
(８)３×｛−２−(１５−７)｝
次の数の大小を、不等号＜を使って表しなさい。（例：５，２
１
０，−−，−０ .２
２
§１−２
→
２＜５）
→
無理数の計算
〔例２〕
の計算は、２乗すると
(１)
２×
(２)２
２＝
２ ＋３
２
２×
８＝
(４)
８＝
４×２ ＝
１
＝
問１−４
２
２×
２
２ ＝２
２
２
・・・同じ仲間の＋ ,−は係数だけ計算
２
・・・ どうしの×は１つにまとめて計算
（÷も同様にまとめて計算できる）
１６ ＝４
４×
＝
・・・２乗する(同じものを２回かける)と
が消える
２ ＝５
２×８ ＝
１×
２
２２ ＝２
＝
２ ＝ ２＋３
(３)
(５)
２
が消える他は文字式と同じようにできます！
２
・・・(３)の逆の考え方で
を簡単に
・・・分母と分子に同じものをかけて、分母の
を消す 分母の有理化
次の式を簡単にしなさい。(HINT： (５)∼(７)は文字式と同じように展開してみよう！ )
(１) ９ ＋ １６
(２) ２ ３ ＋３ ３
(３)
２×
(５)
３
(７)
１８
(４)
１０ ÷
３ −１
(６ )
３＋
５ ＋１
２
(８)
-2-
６
３
５×
５
２
３−
５
２
文字式
わからない数量を文字(ｘやｙなど)で表すと、人に説明するときや、公式のようにいろいろな
数をあてはめる必要があるときに便利です。また、文字を使うことで、より論理的に、簡潔に物
事を考えることができるようになります。
ここでは、文字を使って「考える 」「計算する」ための基礎事項を復習します。
〔例２〕(１)１個１２０円のリンゴを何個か買うために必要な金額について考えます。
ｎ個買うとして式を立てると、そのときの代金は、１２０×ｎ（円）ですから、この
ｎにいろいろな数を代入することにより、
３個買うとき・・・１２０×３＝３６０円
４個買うとき・・・１２０×４＝４８０円
のようにそれぞれの代金を求めることができます。
（通常、上の式は「×」を省略して１２０ｎと書きます）
(２)２次方程式を因数分解します。
ｘ２＋２ｘ−３＝(ｘ＋３)(ｘ−１)
かけて−３，たして＋２
になる２つの数をさがす
問２−１
＋３と−１
次の数量を文字式で表しなさい。
(１)１個ａ円のりんごを３個買ったときの代金
(２)面積が３０ｃｍ ２の長方形の縦がｘｃｍのときの横の長さ
(３)半径がｒの円の面積(円周率をπとする)
問２−２
問２−３
ｘ＝−３ のとき、次の式の値を求めなさい。
(１)ｘ＋２
(２)−３ｘ＋１
(３)−ｘ ２
(４)ｘ２＋２ｘ−３
次の式を簡単にしなさい。
(１)４ｘ＋２ｘ
(２)８ｘ−２＋１＋３ｘ
(３)５ｘ−(２ｘ−８)
(４)３(３ｘ−１)−２(ｘ＋５)
-3-
問２−４
問２−５
次の式を簡単にしなさい。
(１)３ａ×５ｂ
(２)(２ｘ３)２
(３)１６ｘ３÷８ｘ
(４)(２ａ−５ｂ)×(−３ａ)
(５)(１２ｘ＋８ｙ)÷４
(６)(６ａ２＋４ａ)÷(−２ａ)
次の等式を［
］内の文字について解きなさい。
(１)ｘ＋ｙ＝４
［ｘ］
(３)ａｘ＝ｂ−ｃ
問２−６
(２)３ｘ−ｙ＝５
１
(４)Ｓ＝−ａｈ
２
［ｘ］
［ｙ］
［ａ］
次の式を展開しなさい。
(１)(ｘ＋２)(ｘ＋４)
(２)(ｘ＋３)(ｘ−３)
(３)(ｘ＋６)２
(４)(２ｘ−５)(３ｘ＋１)
(５)(ｘ＋２)(ｘ ２−２ｘ＋４)
問２−７
次の式を因数分解しなさい。
(１)ａｘ＋ａｙ
(２)ｘ ２＋８ｘ＋１６
(４)ｘ２＋５ｘ−６
(５)２ｘ２−８
-4-
(３)ｘ ２−２５
３
一次方程式と二次方程式
文字式の計算の応用として 、方程式があります 。文章題を簡潔な方程式に「 翻訳 」することで 、
より問題の理解が進み、解答への近道にもなります。
ここでは、一次方程式を作ることと解くこと、二次方程式を解くことについて復習します。
〔例３〕(１)次の一次方程式を解きなさい。
５ｘ−１＝３ｘ＋５
５ｘ−３ｘ＝５＋１
←左辺にｘのついた部分、右辺に数だけの部分を集める
２ｘ＝６
←両辺を計算して簡単にする
ｘ＝３
←両辺を２で割って答
(２)次の二次方程式を解きなさい。
ｘ ２＋２ｘ−３＝０
(ｘ＋３)(ｘ−１)＝０
←因数分解
ｘ＝−３，１
←ｘ＋３＝０とｘ−１＝０を解く
問３−１
次の一次方程式を解きなさい。
(１)３ｘ−５＝−ｘ＋７
問３−２
(２)２(３ｘ−１)＝５(１＋２ｘ)
友人数名で、せんべいを同じ枚数ずつ分けます。３枚ずつにすると７枚余り、４枚ずつ
にすると１枚足りません。このとき、次の問いに答えなさい。
(１)人数をｘとして方程式を作りなさい。
(２)(１)の方程式を解き、人数を求めなさい。
(３)せんべいの枚数を求めなさい。
問３−３
次の二次方程式を解きなさい。
(１)(ｘ＋２)(ｘ−５)＝０
(２)ｘ ２−３ｘ＝０
(３)ｘ２＋６ｘ−１６＝０
(４)ｘ ２−４＝０
(５)ｘ２＋２ｘ＋１＝０
(６)ｘ ２−２ｘ＝１５
-5-
４
連立方程式
前項の方程式は未知数(わからない数)が１つの場合の方程式でした。未知数が２つ以上で、方
程式も２つ以上あるものを連立方程式 といいます。
ここでは、連立方程式の解き方について復習します。
〔例４〕連立方程式
５ｘ＋２ｙ＝４０ ・・・①
ｘ＋ｙ＝１４ ・・・・・②
(１)代入法
②より
ｙ＝１４−ｘ ・・・③
③を①に代入すると、
５ｘ＋２(１４−ｘ)＝４０
５ｘ＋２８−２ｘ＝４０
５ｘ−２ｘ＝４０−２８
３ｘ＝１２
ｘ＝４・・・④
④を③に代入すると
ｙ＝１４−４＝１０
ｘ＝４
以上より
ｙ＝１０
問４−１
を２つの方法で解いてみる
(２)加減法
②×２より
２ｘ＋２ｙ＝２８・・・③
①−③より
５ｘ＋２ｙ＝４０
−）２ｘ＋２ｙ＝２８
３ｘ
＝１２
ｘ＝４・・・④
④を②に代入すると、
４＋ｙ＝１４
ｙ＝１４−４＝１０
ｘ＝４
以上より
ｙ＝１０
次の連立方程式を解きなさい。ただし、(１)は「代入法」で、(２)は「加減法」で、そ
の他はどちらの解き方か自分で選んで解くこと。
(１)
ｘ＋２ｙ＝５
ｙ＝ｘ−２
(２)
３ｘ＋２ｙ＝４
２ｘ−ｙ＝３
(３)
２ｘ−ｙ＝３
２ｘ＋ｙ＝１
(４)
ｘ＝３ｙ−２
２ｘ＋ｙ＝３
-6-
５
一次関数と二次関数
前項で復習した「比例」の応用として一次関数があります。この 一次関数(直線のグラフ)と、
二次関数(放物線 ＝物を放り投げたときの曲線)は、いずれも応用範囲の広い関数です。
ここでは、これらの関数の式とグラフについて復習します。
〔例５〕(１)一次関数
３
ｙ＝−ｘ−３
２
y
のグラフは、
３
① 傾き − （横に２進むと縦に３上がる）
２
② ｙ切片−３ (ｙ軸とグラフが−３で交わる)
で、右図のようになる。
2
-3
ｙ切片−３
３
傾き−
２
(２)二次関数 ｙ＝ａｘ ２ のグラフは、
①放物線(上に凸(山型)または下に凸(谷型))
②原点を頂点 とする
③ｙ軸を中心に左右対称
である。
例えば、 ｙ＝ｘ ２ のグラフは、
ｘ
−２ −１ ０
１
２
ｙ(＝ｘ２) ４
１
０
１
４
から、右図のようになる。
問５−１
x
0
y
1
0
x
1
次の関数の式を求めなさい。
(１)傾き−３、ｙ切片２の一次関数
(２)二次関数 ｙ＝ａｘ２ で、点(２,２)を通る
問５−２
次の一次関数について、①傾き、②ｙ切片を求め、③表を完成させ、④グラフをかきな
さい。
(１)ｙ＝−２ｘ＋１
④
①
③
y
②
ｘ
−２
−１
０
ｙ(＝−２ｘ＋１ )
-7-
１
２
0
1
x
(２)ｘ−２ｙ＝４
y
④
①
②
0
③
問５−３
ｘ
−２
ｙ
(ｘ−２ｙ＝４を満たす)
−１
０
１
1
x
２
次の二次関数について、表を完成しグラフをかきなさい。
(１)ｙ＝２ｘ ２
y
0
ｘ
−２
−１
０
１
x
1
２
２
ｙ(＝２ｘ )
(２)ｙ＝−ｘ ２
y
0
ｘ
−２
−１
０
２
ｙ(＝−ｘ )
-8-
１
２
1
x
６ 三平方の定理
ものの形は大きく分けると平面図形と空間図形(立体)に分けることができます。中には、地図
のように実際は立体であるものを平面で表すことで、より使いやすくしてあるものもあります。
ここでは、平面図形の中でも、特に三平方の定理について復習します。
〔例６〕(１)下図の直角三角形ＡＢＣについて考える。
三平方の定理
Ａ
三平方の定理より
ｃ ２＝５ ２＋３２
＝２５＋９
＝３４
ｃ＞０より
ｃ＝ ３４
ｃ
３
Ｂ
Ｃ
５
直角三角形において
ｃ
ｂ
ｃ ２＝ａ ２＋ｂ２
ａ
(２)三角定規は、非常に重要で代表的な直角三角形の例です。
角度や辺の長さの比をきちんと覚えて、問題に活用できるようにしましょう。
45 °
60 °
２
２
１
30 °
45 °
１
３
問６−１
１
次の直角三角形について、ｘ，ｙをそれぞれ求めなさい。
(１)
(２)
x
5cm
7 cm
y
1 2c m
5c m
-9-
問６−２
１辺の長さが２ cm の正三角形の面積を求めなさい。
2 cm
2c m
- 10 -
年
組
番
氏
- 11 -
名