2010/05/06

1
量子物理工学
神戸大学工学部
小川
2010/05/06
I
電気電子工学科
真人
QPE-1
2
前々回のポイント
Einstein
光
E = hω
• 波の性質 （電磁波）
• 粒の性質 （フォトン）
p = hk =
h
λ
Schrödinger
方程式へ
de Broglie • 波の性質 （物質波）
物質
• 粒の性質 （粒子）
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QPE-1
3
1
日付
4月 15日
内容（あくまで予定)
古典力学の限界と量子力学の萌芽
2
4月 22日
続き+波動の基本的性質
3
5月 6日
平面波，シュレディンガー方程式
4
5月13日
波動関数，固有値と固有関数(1)
5
5月20日
固有値と固有関数(2)，期待値(1)
6
5月27日
中間テスト(1)
7
6月 3日
期待値(2)
8
6月10日
演算子，交換関係
9
6月17日
波束，エーレンフェストの定理
10
6月24日
中間テスト(2)
11
7月 1日
確率流，不確定性原理
12
7月 8日
自由粒子，井戸の中の粒子(無限大閉じ込め)
回
13
7月15日
14
7月22日
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15 7月29日/8月5日
備考
有限閉じ込め，量子井戸，量子細線，量子ドット
期末テスト直前ゼミ?
期末試験
QPE-1
4
3
3
量子物理工学Ⅰ
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QPE-1
5
ポイント(1)
• xの正方向に進む波長λ，角周波数ωの正
弦波は
⎞
⎛ 2π
y (x, t ) = A cos⎜
x − ωt + δ ⎟ = A cos(kx − ωt + δ )
⎠
⎝ λ
• (古典的な)波動方程式は
2
∂ 2 y ( x, t )
∂
y ( x, t )
2
=v
2
∂t
∂2x
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QPE-1
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ポイント(2) 位相速度と群速度
なぜ下のような違いが出てくるか。
位相速度＝位相一定の点の移動速度：
一般の波…正弦波の重ね合わせ
群速度＝包絡線の移動速度
vp =
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vp =
vg =
ω
k
dω
dk
ω
k
QPE-1
7
古典的な波の式（波動関数）
B
A
C
ｙA（ｘ，ｔ０） ｙ（ｘ，ｔ）
Ｘ
A点とC点の時間差： t 0 = t −
x
v
C点の変位はｔ０での
A点の変位と同じ：
y ( x, t ) = y A (t0 )
y ( x, t ) = A cos(kx − ωt + δ )
角周波数とは？ 波数とは？ 振幅とは？ 周期とは？
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QPE-1
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（ちょっと待った） 古典的な波動方程式
⎛ ∂2
1 ∂2 ⎞
⎜⎜ 2 − 2 2 ⎟⎟u ( x, t ) = 0
v ∂t ⎠
⎝ ∂x
（例）
（一般解）
（２．１）
∂ 2 E(r, t )
=0
∇ E(r, t ) − ε 0 μ 0
2
∂t
2
u ( x, t ) = f ( x + vt ) + g ( x − vt )
（正弦波の解（の１つ））
（どこかで見た？）
（どこかで見た？）
u ( x, t ) = A cos(kx − ωt )
⎡~
⎤
u ( x, t ) = Re ⎢A exp j (kx − ωt )⎥ = A cos(kx − ωt + δ )
⎣
⎦
（phaser表示→物理量は「実数」）
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QPE-1
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物質波としての粒子の速度はどっち(p.29)
• 位相速度?
• 群速度?
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vp =
ω
k
dω
vg =
dk
QPE-1
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平面波(1)
位相=一定 の面
が平面である波
直線じゃないかって？
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QPE-1
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平面波(2)
位相=一定 の面
が平面である波
Ψ (r, t ) = A exp[− i (ωt − k ⋅ r )]
~
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位相
QPE-1
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古典的物理の破綻は分かった．
では,
新しい現象を支配する式は？
Schrödinger方程式
第2章量子力学の基礎
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QPE-1
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保存力場
ポテンシャルエネルギー
F = −∇V (r )
dV
F =−
dx
（1次元の場合）
粒子の運動方程式
d 2r (t )
m
=F
2
dt
dr
( m&r& = F )
導いてください
F (r ) ⋅ d r
P1
VP2 − V
= − ∫ F(r ) ⋅ dr
P2
P1
1 2
mx& + V ( x ) = E =（一定）かつ（連続量）
2
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P２
F (r )
CP1
エネルギー保存
QPE-1
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解析力学
"力学・解析力学 (岩波基礎物理シリーズ (1))
• ラグランジアン（Lagrangean）～作用
1 2
L = mr& (t ) − V (r )
2
（Lagrangean）
d ⎛ ∂L ⎞ ∂L
=0
⎜ ⎟−
dt ⎝ ∂r& ⎠ ∂r
（Lagrangeの運動方程式） Joseph Louis
Lagrange
• ハミルトニアン（Hamiltonian）～全エネルギー
H = q& ⋅ p − L =
1 2
mr& (t ) + V (r )
2
William Hamilton
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QPE-1
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de Broglie & Einsteinの関係を満た
すにはどうする？
• 波の性質 （電磁波）
• 粒の性質 （フォトン）
光
h
E = hω
p = hk =
de Broglie
• 波の性質 （物質波）
• 粒の性質 （粒子）
物質
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λ
Schrödinger
方程式へ
QPE-1
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Schrödinger方程式
de Broglie
物質
E = hω
• 波の性質 （物質波）
• 粒の性質 （粒子）
p = hk =
h
λ
波の性質をみたすような粒子の方程式
Schrödinger方程式へ
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QPE-1
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Schrödinger方程式
H = T +V
■
古典的なハミルトニアン（全エネルギー）
演算子への置き換え
h ∂
p → pˆ =
i ∂x
Ψ ( x, t )
x → xˆ = x
→
H → Hˆ
：波動関数に作用させて
h ∂
ˆ
HΨ ( x , t ) = −
Ψ ( x, t )
i ∂t
（時間に依存する） Schrödinger方程式
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QPE-1
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Schrödinger方程式の例
（自由粒子→３章）
p2
H =T =
2m
ポテンシャルは働かない
（運動エネルギー）のみ
v
⎯→ pˆ x =
p x ⎯⎯ ⎯
演算子化
h ∂
i ∂x
∂
ˆ
E ⎯⎯ ⎯
⎯→ E = ih
∂t
演算子化
2
2
2
ˆ
h
∂
h
∂
1
p
p
⎛
⎞
→ Hˆ =
=
H=
⎜
⎟ =−
2m 2m ⎝ i ∂x ⎠
2m ∂x 2
2m
2
2
∂
h2 ∂2
−
Ψ ( x, t ) = ih Ψ (x, t )
2
2m ∂x
∂t
自由粒子の（時間に依存する） Schrödinger方程式
QPE-1
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Schrödinger方程式の例
（調和振動子→６章）
どこかでやったことがある
yes
理解して下さい
no
やって下さい
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QPE-1
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まとめを兼ねた問
•
•
•
•
位相速度とは？
群速度とは？
平面波の式は？
粒子の全エネルギーを運動量とポテンシャル
で表すと？
• de BroglieとEinsteinの関係式は？
• 平面波の式が上２式を満たすにはどんな演
算を施さないといけないか？→Schrödinger
方程式
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