金融工学A 資料 3 不確実性下の資産選択

金融工学 A 資料 3
担当：楠美 将彦 e-mail:[email protected]
http://www.takachiho.ac.jp/˜mkusumi/index.html
3
不確実性下の資産選択
3.1
投資家のリスク選好
例題 1.
今、2 つの資産を考える。資産 A は来期に確実に 50 円の価値になる。資産 B は来期に 50 ％の確率
で 70 円の価値になるが 、50 ％の確率で 30 円の価値にしかならない。
このとき、あなたはどのような選択をしますか。
1. 資産 A を選ぶ
2. 資産 B を選ぶ
3. 資産 A と資産 B のど ちらでもよい
それぞれの資産の期待値と標準偏差を考えると、次の表になる。
期待値
分散
標準偏差
資産 A
50
0
0
資産 B
50
400
20
※ 0.5 × 70 + 0.5 × 30 = 50
分散 = 0.5 × (70 − 50)2 + 0.5 × (30 − 50)2 = 202
√
標準偏差 = 202 = 20
1. このような情報の下で、たいていの人は資産 A を選択するだろう。
この理由は、不確実なもの、つまりリスクにたいして何らかの対価を求めるためである。
2. もしど ちらでもいいというのであれば 、この人にとっては 、2 つの資産の違いが影響していない
ことになる。
つまり、リスクに対して影響されないことになる。
3. 資産 B を選ぶ人がいるならば 、リスクを好ましいと感じていることになる。
３つの答えの理由の違いは 、リスクに対する態度からきていると見ることができる。リスクに対価
を求めるもの、リスクを気にしないもの、リスクを好むものという違いである。
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効用最大化原則
個人の選択基準に関して 1 つの基準を儲ける。この個人は、満足度を測る「効用」という絶対的な
ものさしを持っていて、より効用の高いものを選択する。
この効用のものさしを示すものとして u = u(x) という効用関数を導入する。
期待効用
さらに、不確実性下の世界においては、各事象ごとに効用を考え、事象ごとの効用の期待値から計
算した全体としての「効用の期待値」が大きいものを選択すると考える。
このような効用の期待値を「期待効用」という。
例題 1.a.
今、資産の価値が 100 ％で 50 になるとき、その期待効用はどのようになるだろう。
期待効用の表現に従うと次のようになる。
u = u(50)
例題 1.b.
今、資産の価値が 50 ％で 100 、50 ％で 0 になる時、その期待効用はどのようになるだろう。
100 の時の効用は、u(100) となり、0 のときの効用は 、u(0) となる。したがって、期待効用は、次
のようになる。
u = 0.5 × u(100) + 0.5 × u(0)
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例題 1.c.
今、資産 1 の価値が 100 ％で 50 になり、資産 2 の価値が 50 ％で 100 、50 ％で 0 になる時、ど ちら
の期待効用が大きいだろうか。
上記の 2 つの例題の答えである 2 つの期待効用を比較する。答えは 3 通り考えられる。
1. u(50) > 0.5 × u(100) + 0.5 × u(0)
2. u(50) < 0.5 × u(100) + 0.5 × u(0)
3. u(50) = 0.5 × u(100) + 0.5 × u(0)
答えは、効用関数の形状に依存して決まることになる。
if u(x) = x2 ⇒ u(50) < 0.5 × u(100) + 0.5 × u(0)
u(50) = 502 = 2500
u(0) = 02 = 0
u(100) = 1002 = 10000
if u(x) = 2x ⇒ u(50) = 0.5 × u(100) + 0.5 × u(0)
u(50) = 2 × 50 = 100
u(0) = 2 × 0 = 0
u(100) = 2 × 100 = 200
√
x ⇒ u(50) > 0.5 × u(100) + 0.5 × u(0)
√
√
u(50) = 50 = 5 2 ∼
= 5 × 1.4142 = 7.071
√
u(0) = 0 = 0
√
u(100) = 100 = 10
if u(x) =
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ここで、改めて効用関数を考える。
効用が限界効用逓減の法則に従うならば 、効用関数の形状は凹関数になるだろう。
しかし 、これ以外の状態もありえるだろう。例えば 、常に同じように富の増加と効用の増加するケー
スや、富の増加に対して逓増的に効用が増加するケースである。
結局、効用関数の形状については、大きく 3 つにまとめることができるだろう。
U
0
U
w0 2w0
w
0
U
w0
2w0
w 0
w0
2w0 w
このそれぞれに対して、次のような視点で考えてみる。
「 同じ 期待値のときに 、期待値の効用が大
きいか 、効用の期待値が大きいか 」で区分してみる。その区分結果をまとめると以下のように表現で
きる。
下方に凹 ⇐ 期待値の効用が 、効用の期待値よりも高い。
直線 ⇐ 期待値の効用が 、効用の期待値と同じ 。
下方に凸 ⇐ 期待値の効用が 、効用の期待値よりも低い。
また、それぞれに対して、次のような視点でみることもできる。
下方に凹 ⇐ 下落のショックが 、上昇の喜びより大きい
直線 ⇐ 下落のショックが 、上昇の喜びと同じ
下方に凸 ⇐ 下落のショックが 、上昇の喜びより小さい
この 3 種類の効用関数を持つ主体をそれぞれ順に 、
「 危険回避者」
「 危険中立者」
「 危険愛好者」と
呼ぶ。
ここで、先ほどの例題を答えることができる。主体が 、危険回避者であれば 、資産 A を選択し 、危
険中立者であれば 、資産 A と資産 B はど ちらも変わらないことになり、危険愛好者であれば 、資産 B
を選択する。
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3.2
リスク・プレミアム
以下では、特に断らない限り、投資家は「 リスク回避者」と仮定する。
（ リスク回避者的な行動をとらないケース（ 例. ギャンブルと定期預金、ギャンブルと保険、など ）
も多々存在するが 、以下では最も基本的な「限界効用が逓減する」と考える。）
例題 2.
ある人が 、資産 B を持っている。この資産 B から得られる効用と同じ効用は、いくらの収益を確実
に生む資産で得られるだろうか。また、資産 A とその資産の乖離はいくらであろうか。
危険回避者の効用関数を考える。図の uB が資産 B の効用である。そこで、この効用水準と同じ効
用が得られる効用曲線上の点をたど ると C 点になり、その富の水準がわかる。
この富の水準（ WC ）は、資産 B の富の期待値の水準（ W1 ）よりも低くなっている。
この富の水準の WC が答えである。
さて、資産 A と比較すると、この富の水準は低くなっている。もし資産 A の富の水準がこの富の水
準と同じならば 、資産 A と資産 B は同一の効用となる。
そして、WC と W1 の乖離幅を、
「リスク・プレミアム」といい、富の水準（ WC ）を「確実性等価」
と呼ぶ。
リスク・プレミアム 「リスク資産の期待効用と同じ効用が得られる安全資産の期末価値」と「危険資
産の期待期末価値」の差
確実性等価 リスク資産の期待効用と同じ効用が得られる安全資産の期末価値
U
u(w)
uA
uB
C
0 W1 − h
WC
W1
W1 + h
w
また、リスクプレミアムと確実性等価は、効用関数の形状によって異なる。より曲率 (曲がり具合)
が大きいほど 、相対的にリスクプレミアムは大きくなり、確実性等価は低くなる。言い換えると、曲
率が大きいほど 、リスク回避度も大きくなり、投資家がよりリスク回避的であるといえる。
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例題 3.
√
x である。確実に 50 得られる資産 D と 50 ％づつの可能性で 30 か 70 を
得られる資産 E がある。リスクプレミアムはいくらになるだろうか。
効用関数が U = u(x) =
まず、確実に 50 得られる資産 D の効用は、U = u(50) =
√
√
50 = 5 2 ∼
= 7.07 となる。一方、資産 E
の効用は、以下のように計算される。
E[UE ] = 0.5 × u(30) + 0.5 × u(70) = 0.5 ×
√
√
30 + 0.5 × 70
∼
= 0.5 × 5.4772 + 0.5 × 8.3666 = 6.9219
√
そこで、資産 E の効用を得る富の水準を考えると、u(F ) = F = 6.9219 となる F の値を求めれば
よい。したがって、F = 6.92192 = 47.9127 となる。
よって、確実性等価は 47.9127 、リスク・プレミアムは 50 − 47.9127 = 2.0873 となる。
参考）このリスクプレミアムを利用して、投資家の危険回避度を図ることができる。その基準を定
式化したのが 、アローとプラットである。それらは、
「アロー＝プラット測度」といわれる。
（ 詳細は、
本講義では省略）
u2 (w)
U
u1 (w)
0
w1
2w1
26
w
3.3
無差別曲線
一般的な資産の期待値とリスクが与えられたとき、どの資産を選択するのかを考えるために、
「無差
別曲線」を考える。
（ 縦軸は「期待リターン 」、横軸は「 リスク」の平面で考える。）
例題 5
√
x であるとする。このとき、ばらつきが ±1 の資産 G 、ばらつきが ±2
の資産 H 、ばらつきが ±3 の資産 I 、ばらつきが ±4 の資産 J 、を考える。
効用関数が 、U = u(x) =
このそれぞれの資産で、2 の期待効用を達成する期待値はそれぞれいくらになるか。また、3 の期待
効用を達成する期待値のときはど うなるだろうか。
まず、資産 G の期待効用が 2 になるように計算する。
2 = 0.5 ×
√
√
w + 1 + 0.5 × w − 1
w∼
= 4.06
他の資産についても同様な計算をすると、以下の表ができる。
期待効用が 2 のケース
安全資産
資産 G
資産 H
資産 I
資産 J
ばらつき
0
1
2
3
4
期待値
4.00
4.06
4.25
4.56
5.00
安全資産
資産 G
資産 H
資産 I
資産 J
ばらつき
0
1
2
3
4
期待値
9.00
9.03
9.11
9.25
9.44
期待効用が 3 のケース
結果として、同じ効用を得るために資産のばらつきの増加（ 0, 1, 2, 3, 4, . . . ）に比べると、期待収益
率の増加（ 4.00, 4.06, 4.25, 4.56, 5.00, . . .）の伸びは、逓増的である。
27
μ
9
u=3
4
u=2
0
2
1
3
|h|
4
これらのことから、危険回避者の無差別曲線は次のような特徴を持つ。
無差別曲線の特徴 (危険回避者の場合）
1. 無差別曲線は、右上がりで凸形となる。
2. 効用水準を高めると、北西方向（ 左上方向）にシフトする。
3. 無差別曲線の形状は、リスク回避度が高いほど 、その傾斜が急になる。
μ
μ
0
h
危険回避者
μ
0
h
危険中立者
0
h
危険愛好者
ここまでは、ベルヌーイ分布（ ２つの値のみとる分布）の資産のみを扱ってきたが 、より一般的な
扱いができるように、収益率の分布として正規分布を仮定する資産を考える。
（ 以後では、正規分布が
一般的なケースとして想定する。）
つまり、リスクを「標準偏差」で考える。
まず、離散型の事象を考えると、期待効用は、次のような式で表される。
（ただし 、Xi で収益率を
表し 、その生起確率を wi で表す。)
E[u] =
wi × u(Xi )
Xi
また、正規分布を仮定するときは 、次のように記述できる。
（ただし 、Xi で収益率を表し 、その生
起確率関数 (正規分布) を f (Xi ) で表す。)
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E[u] =
∞
−∞
f (Xi ) × u(Xi )dXi
この下で、無差別曲線は次の図のように表される。|h| が σ になっている。
（ 言い換えると 、効用が
期待収益率と標準偏差のみで決定されることを仮定している。）(この部分の詳細な展開は、本講義で
は省略する。)
μ
μ
σ
0
危険回避者
μ
σ
0
σ
0
危険愛好者
危険中立者
参考）効用関数が U = u(μ, σ) で与えられる時、その無差別曲線の標準偏差−期待収益率平面での
傾きは次のように表現される。
∂u
∂u
dμ +
dσ
∂μ
∂σ
dμ
無差別曲線の接線の傾き dσ
=
0
=
∂u
∂σ
−
∂u
∂μ
そこで、U = μ − λ σ 2 の無差別曲線の傾きを計算してみる。
∂u
∂μ
∂u
∂σ
dμ
無差別曲線の接線の傾き dσ
= 1
= −2λ × σ
∂u
= − ∂σ = 2λ × σ
∂u
∂μ
標準偏差の増加に対して一定でないことがわかるだろう。
（傾きは、標準偏差の増加とともに、より
急になっている。）
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3.4
平均分散アプローチ
例題 6.
今、たろう君は U = μ − σ 2 の効用関数を持ち、じろう君は U = μ − 0.5σ 2 の効用関数を持つ時、以
（ (期待収益率, 分散) を示している）
下の 4 つの資産のを効用の高い順に並べてみよう。
A(10,1.52 ) 、B(10,32 ) 、C(15,32 ) 、D(15,1.52 )
資産
期待収益率
標準偏差
たろう君の効用
じろう君の効用
A
10
1.5
7.75
8.875
B
10
3
1
5.5
C
15
3
6
10.5
D
15
1.5
12.75
13.875
結果は、たろう君にとっては、D → A → C → B 、
であるが 、じろう君にとっては、D → C → A → B
となり、順番が変わる。
（これは、それぞれの危険回避度に依存して変わる。）
このようにして、資産の期待収益率と標準偏差がわかり、自分の効用関数が期待収益率と標準偏差
のみで決まるならば 、資産の選択に序列を付けることができる。
このように、平均値 (期待値) と分散 (リスク) に基づいて、最適なポートフォリオを選択する方法を
「平均分散アプローチ」と呼ぶ。
μ
UT
UJ
D
C
A
B
0
σ
30