Comments
Description
Transcript
数学的な活用力を育てる 指導のあり方
数学的な活用力を育てる 指導のあり方 ～ 指導事例集 ～ 独立行政法人日本学術振興会 平成２１年度科学研究（奨励研究）実践報告書 金沢大学附属中学校 戸水 吉信 － 目 次 － 内容 ページ はじめに ２ 本冊子の使い方 ２ 領域【数と式】 事例Ｎｏ 学年 単 元 題 材 名 ページ １ 中１ 正負の数 トンネルの点検の必要性を効率よく判断しよう ３ ２ 中２ 連立方程式 買い物ゲームをしよう ４ ３ 中２ 文字と式 まんじゅうのつめかたを考えよう ６ ４ 中３ ２次方程式 牛乳パックの模型を作ろう ７ 領域【関数】 事例Ｎｏ 学年 ５ 中２ 単 元 １次関数 題 材 名 ダイヤグラムをかいて電車がすれ違う時刻を求めよう ページ ８ 領域【図形】 事例Ｎｏ 学年 単 元 題 材 名 ページ ６ 中１ 平面図形 鉄道にまつわる問題を作図を用いて解決しよう １０ ７ 中２ 平行と合同 合同な三角形を作図する方法を考えよう １２ ８ 中３ 相似な図形 移動にかかる時間を相似な図形の性質を使って計算しよう １４ 領域【資料の活用】 事例Ｎｏ 学年 単 元 題 材 名 ページ ９ 中２ 確率 神経衰弱の最終場面では，先手が有利か考えよう １６ １０ 中１ 資料の活用 ジャガイモの内容量の表示を考えよう １８ はじめに 本冊子は，独立行政法人日本学術振興会から，平成２１年度科学研究費補助金（奨励研究）をうけ て す すめ た 研究 の 成果 を まと め たも の であ る 。研 究 題目 は，「数 学 的な 活 用力 を 育て る 指導 のあり 方 の研究」であり，特に，研究費で購入した電子黒板を授業に導入し，積極的に研究実践を行った。 本研究の目的は，数学的な活用力を育てる授業モデルを作っていくことである。日常生活における 身の周りの事象について，それらを数学的にモデル化し，数学的手法を用いてそれらの問題を解決す る授業を行い，生徒の数学的問題解決の成功体験モデルを増やし，実践記録としてまとめていきたい。 この冊子は，その途中経過までをまとめたものであり，数多くの先生方に見ていただき，ご意見をい ただきながら，さらに生徒の数学的な活用力を育てる授業のあり方について考えていきたい。是非ご 一読いただき，忌憚のないご意見をいただければ幸いである。 本冊子のＰＤＦ版を本校ホームページに掲載しております。 本校ＨＰ トップページ URL http://partner.ed.kanazawa-u.ac.jp/futyu/ 上部メニュー 教科研究－数学－授業実践 からダウンロード下さい。 ご意見は，本校ＨＰ 数学科 戸水 吉信 トップページ下部の「本校へのメール」へお送りいただくか， [email protected] 宛へお送り下さい。 本冊子の使い方 本冊子には１０の指導事例が記載されていますが，どれもそのままの形で使えるとは限りません。 学校，クラスの実情や指導者の得意な指導法に合わせてお使い下さい。これらはあくまでも指導事例 ですので，新たな指導法を生み出すきっかけになれば幸いです。 ◎各事例のねらいについて 各指導事例には，利用する知識・技能，問題解決の場面，身につけたい力・態度という３つの項目 に分けて，その事例を実践するにあたってのねらいを記載しました。学校教育法にある「生涯にわた り学習する基盤が培われるように，基礎的な知識及び技能を習得させるとともに，これらを活用して 課題を解決するために必要な思考力，判断力，表現力その他の能力をはぐくみ，主体的に学習に取り 組む態度を養うことに，特に意を用いなけれならない。」という記述に対応する形をとりました。 ◎各項目について ・題材名 どのような活動を行うのか，その題目をかいたもの。 ・授業の流れ 授業の流れを記載したもの。指導案という形ではなく，実際の指導の流れがダイレクトでわかる ように，写真や図なども交えて記載した。 ・授業を盛り上げるポイント 生徒が問題を解決する必要性を感じ，意欲的に問題解決に取り組むために工夫したポイントを記載 した。 ・留意点 授業を行うにあたっての留意点。 ・生徒の活動例 生徒が実際に活動した例を，授業記録やレポート，ノートのコピーの形で載せた。 ・発展例 学習したことを，さらに発展した問題の解決に役立てられる例を載せた。 -2- 事例Ｎｏ １ 学年 中１ 単元 正負の数 利用する知識・技能 基準となる数を決めると，数を正負の数を用いて相対的に表すことがで きることの理解およびその技能，正負の数の計算技能 問題解決の場面 ５日間の雨量の平均を効率よく求め，トンネルの点検の必要性を判断す る 身につけたい力・態度 仮平均の考え方を用いて平均値を効率よく求める力と，問題解決の場面 に応じた仮平均の設定およびそれを問題解決に利用する態度 題材名 「トンネルの点検の必要性を効率よく判断しよう」 準 備 ・ワークシート ・トンネルの写真など 授業の流れ ①課題の提示 Ａ市のトンネルは，５日間の平均降水雨量が１５０ミリを越えると，トンネルの点検をする ことになっています。梅雨に入り，Ａ市では雨の日が５日間続き，その雨量は次のようになり ました。トンネルの点検をする必要はあるでしょうか。 141ミリ，155ミリ，137ミリ，161ミリ，159ミリ ②個別追求，または班別追求で，効率よく判断する方法を考える。 ③意見を発表する。 ・直接平均を出す方法 ・仮平均を設定する方法（１５０ミリ，１００ミリ，…） ④どの方法がいいか，それぞれの方法のいいところを考え，議論する。 発展例 および 生徒の活動例 ・いろいろな別の題材に発展させられる題材である。生徒に問題作りをさせるのもおもしろい。 生徒が作った問題レポートの例→ 発展課題例１ エレベーターの問題（教科書にもある） 定員６名のエレベーターの積載量は１人６５㎏で 計算されている。次の６人でエレベーターにのるこ とができるか 63 ㎏，71 ㎏，56 ㎏，80 ㎏，59 ㎏，68 ㎏ 発展課題例２ バスケットボールのチームで，次の Ａチームの平均身長とＢチームの平均身長を比較 してみよう。 Ａチーム Ｂチーム 161 ㎝，157 ㎝，167 ㎝，155 ㎝，165 ㎝ 172 ㎝，150 ㎝，166 ㎝，160 ㎝，157 ㎝ 授業を盛り上げるポイント ・トンネルの写真を見せたりして，実際に問題を解決 しようとする雰囲気を盛り上げる。 ・エレベーターの例などでは，教師の体験談を交えながら， 課題に臨場感を持たせる。 -3- 事例Ｎｏ ２ 学年 中２ 単元 連立方程式 利用する知識・技能 条件を式化する技能，連立方程式を解く技能 問題解決の場面 買い物の合計金額から，品物単体の値段を求める 身につけたい力・態度 ２つの未知数を求めるための条件を自ら見いだす力，問題解決に積極的 に連立方程式を利用する態度 題材名 「買い物ゲームをしよう」 準 備 ・計算機 ・果物などの模型 ２種類か３種類 （カードなどでもよい） ・ゲームを盛り上げる工夫 右はその一例で，レジスターの 模型は実際には使わないが， お店の雰囲気を出すために作成した。 授業の流れ ①３～５人程度の班を作り（全体で班の数 が 偶 数 に な る よ う に す る ）， 対 決 す る グ ループのペアを決める。 例えば１班 vs ２班 ３班 vs ４班 ５班 vs ６班 ②ペアグループで，店側と客側に分かれる。（後半で役割の入れ替えをする） 例えば１班は最初店側，２班が最初客側，後半はその逆。 ③ルールの確認をする。 単純に言えば，店側が設定した果物の値段を客側が当てるゲームである。以下は果物が３種類あ る場合の細かいルールである。アンダーライン部分が特に大切な部分。 ＜店側のルール＞ ・それぞれの果物の値段は，１０円単位で，あまり大きくならないように設定する。 ・レジ係は交代で，みんなが経験できるようにする。 ・レジ係以外の店員さんも，間違えてないかチェックする。 ＜客側のルール＞ ・３つある品物のうち，２つを選んでその値段を当てる。 ・果物単体の値段を聞いてはいけない。 （だめな例・・・「リンゴ１個でいくらですか」「みかん１０個でいくらですか」 ・レジ係への質問（買い物）はできるだけ少ない回数で，値段を当てられるようにする。 ④店側がぞれぞれの果物の値段を決める。客側は作戦会議をする。 ⑤客側が実際に複数の果物を買い，値段を聞く。それを必要回くり返す。 ⑥客側は計算で果物の値段を出す。店側に自分たちが出した値段があっているか確かめる。 ⑦時間があまればもう１つの果物の値段を当てる買い物をしたり，発展例にあるように，３つ同時 に果物の値段を当てる買い物の仕方を考える。または，効率的な買い物ができないか考える。 ⑧時間が来たら店側と客側が交代し，上記④～⑦をくり返す。 ⑨各班の買い物リストを全体で発表し，それぞれの班の買い物の工夫を確認しあう。 留意点 ・品物が３種類で混乱しそうなときは２種類に減らしても良いし，逆に種類を増やしてゲーム性を 高めることも考えられる。 ・店側と客側が対面するような机の配置を考えることが必要である。 -4- 発展例 ・２つのものを同時に当てるための最小の質問回数は２回であるが，３つのものを同時に当てる質 問（ 買 い物 ） を考 え させ ， 最小 の 回数 を 議論 す るの も おも し ろい 。（ 教科 書 で， 発 展例 に３元 １ 次連立方程式について言及しているものある。） ・連立方程式の文章問題づくりなどにつなげるのもおもしろい。 授業を盛り上げるポイント ・レジスターを作ったり，お店の看板を設置したりしてお店の臨場感を出す。 ・例えば，ゲームを始める準備を促すために「まもなく開店です」という声かけをしたり，活動時 間の 終 了を 意 識さ せ るた め に，「 あ と５ 分 で閉 店 です 。 お買 い 忘れ は あり ま せん か ～」 などの 声 かけをしたりする。 生徒の活動例 次の図は，生徒が自分たちの班の買い物リストを発表し，作成したワークシートである。 ２回の買い物で，どちらかの果物の個数をそろえたり，もう一方 の果物の個数の差も１個にするなど，値段 を求めやすくする工夫が見られる。７班は ３つのものを同時に当てる買い物リストだ が，３回の買い物ではなく，①ｘ＋ｙ＋ｚ， ②ｘ＋ｙ，③ｘ＋ｚ，④ｙ＋ｚの４回の買 い物をし，①からぞれぞれ②，③，④を引 くというすばらしいやり方をしている。回 数を減らすことだけが求めやすくする工夫 ではないことも議論でき，日常生活の問題 を文字式（方程式）を用いて解決するこ との良さを実感できた。 また，実際に文章問題を作らせて冊子に したが，生徒はこの授業の体験を活かし， 楽しんで問題づくりに取り組んでいた。 -5- 事例Ｎｏ ３ 学年 中２ 単元 文字と式（等式の変形） 利用する知識・技能 等式の性質の理解とそれを文字に拡張して使うことができる技能 問題解決の場面 まんじゅうを６個入りと１０個入りの箱に分けてつめるつめ方を考える 身につけたい力・態度 目的に応じて等式を変形する力とそれを問題解決に利用する態度 題材名 「まんじゅうのつめかたを考えよう」 準 備 ・まんじゅうの模型（カード）・・・碁石などでも代用できる ・６個入りと１０個入りの箱の模型（カード） 授業の流れ ①課題の提示 ６００個のまんじゅうを，６個入りの箱と１０個入りの箱につめる。まんじゅうを余りなく つめるには，それぞれ何箱ずつ作ればよいか。両方の箱はそれぞれ１個以上は使いましょう。 ②班に分かれ，操作しながら課題を自由に考える。 各班には６０個程度のまんじゅうカードと箱のカード を配り，実際に操作させて考えさせる。ちなみに， ６０個の詰め方は，６個箱×５＋１０個箱×３しかない。 ③６００個について考え始める。 ④情報が少なく，箱の数は特定しにくい。そこで，最初は， 「だいたい同じ数ずつ作るには，どうすればよいか。」 という質問をしてみる。 ６個箱×４０＋１０個箱×３６ ６個箱×３５＋１０個箱×３９ あたりが正解ラインとなる。 ⑤「今日は６個入りがすぐに売りきれて１０個入りが なかなか売れなかった。明日は６個入りを増やしたい。」 など，教師がいろいろな詰め方について考えるよう働きかける。 ⑥何か法則はないか，６個入りの箱と１０個入りの箱の関係がすぐにわかる方法はないか考える。 ６個入りｘ個，１０個入りｙ個とすると ６ｘ＋１０ｙ＝６００ ３ ｙ＝－－ｘ＋６０ ５ であるので，ｘが５の倍数でなければならなことや，ｘを決めるとｙが計算できることがわかる。 発展例 ・全体の個数を変えて同じ問題を考えさせるのもおもしろい。 ・次の連立方程式の単元の学習につながる題材である。連立方程式の導入で，それぞれの箱の個数 を決定する条件を考えさせるとよい。また，６個の箱の個数を決めると１０個の箱の個数も決ま ることから，「関数」の導入にも使える題材である。 授業を盛り上げるポイント ・「 今日 は和 菓子 屋さ んに職 場体 験に 行った つも りで 課題 に取り 組み まし ょう。」「手 作り なので ， １日６００個の限定生産です。」発展例の全体の個数を増やすときも「作業の効率化を図り， １日７００個作ることに成功しました。」など，実際にあった話のように課題を提示する。 留意点 ・あえて条件を何も提示せず，班毎に，どんな考え方でどんな箱詰めをしたか発表させる展開も 考えられる。 ・早い段階で⑥を確認し，⑤に応用するなど，⑤と⑥の順序が逆になる展開も考えられる。 -6- 事例Ｎｏ ４ 学年 中３ 単元 ２次方程式 利用する知識・技能 条件を式化する技能，２次方程式を解く技能 問題解決の場面 与えられた大きさの紙を使って，条件に合う直方体(牛乳パック)を作る 身につけたい力・態度 方程式の解を実際の問題にあてはめて検証する力，問題解決に積極的に ２次方程式を利用する態度 題材名 「牛乳パックの模型を作ろう」 準 備 ・画用紙（８つ切をちょうど半分に切ったもの） ・ワークシート ・はさみ，のり，色ペン（生徒各自） 授業の流れ ①課題の提示 牛乳パックの展開図は，実際に牛乳パックを開いてみるとわかりますが，ほぼ長方形をして います。１９㎝×２７㎝の画用紙で（８つ切画用紙をちょうど半分に切るとこの大きさにな る ）， 高 さ １ ０ ㎝ か 高 さ ５ ㎝ ， 容 積 が ２ ０ ０ ml に な る よ う に 牛 乳パ ッ ク の 模 型 を 作 り ま す。 のりしろの部分を１㎝とり，画用紙を横いっぱい使うとすると，牛乳パックの縦と横の大きさ はどうなるでしょうか。 19 ㎝ 27 ㎝ 27 ㎝ 19 ㎝ ②どちらで作るか決め，方程式をたてて縦，横の長さを求める。 ＜高さ１０㎝の場合。１９㎝の辺を画用紙の横にする。＞ 牛乳パックの縦の大きさをｘ㎝とすると，１０ｘ（９－ｘ）＝２００ これを解いて ｘ＝４，ｘ＝５ ＜高さ５㎝の場合。２７㎝の辺を画用紙の横にする。＞ 牛乳パックの縦の大きさをｘ㎝とすると，５ｘ（１３－ｘ）＝２００ これを解いて ｘ＝５，ｘ＝８ ③実際に模型を作り，お互いに鑑賞する。 生徒の活動例 ・右はそれぞれ縦１０㎝，縦５㎝で作った生徒作品 である。 授業を盛り上げるポイント ・コンテスト形式などにすると盛り上がる。 -7- 事例Ｎｏ ５ 学年 中２ 単元 １次関数 利用する知識・技能 等速で動く電車の様子をグラフに表す力 問題解決の場面 ダイヤグラムから電車がすれ違う時刻を求める 身につけたい力・態度 グラフの交点が何を表しているか読みとる力，ダイヤグラムを積極的に 問題解決に利用しようとする態度 題材名 「ダイヤグラムをかいて電車がすれ違う時刻を求めよう」 準 備 ・ワークシート ・実際に電車を動かしながらダイヤグラムをかくソフトなどのシミュレーション教具 ※ワークシートとシミュレーションソフト（フリーソフト）は，本校数学科のページより ダウンロードできます。 トップページ URL http://partner.ed.kanazawa-u.ac.jp/futyu/ 上部メニュー 教科研究－数学－フリーソフトの部屋 －７．１次関数学習（ダイヤグラムシミュレーション） 下記アドレスは直接フリーソフトの部屋へとびます。 http://partner.ed.kanazawa-u.ac.jp/futyu/html/sub.php?mnucode=170102&code=170102&page=1 授業の流れ（上記ソフトウェアを使用した流れ） ①ワークシート配布。課題の提示。 Ｃ駅から 40 ㎞離れたところにＢ駅があり，さらに 60 ㎞離れたところにＡ駅があります。 時速 60 ㎞の電車がＡ駅を 9:00 に出発しＣ駅に向かいました。また，時速 90 ㎞の電車も 9:00 にＣ駅を出発しＡ駅に向かいました。これらの電車が途中どの駅にも止まらないとすると， ２つの電車がすれ違うのは何時何分でしょうか。 ②問題文をよみ，問題把握のため電車を走らせる。スペー ス・キーを押すことによって，グラフはかかずに電車の みが走る。 ③もう一度スペース・キーで電車を走らせ，何時何分に 電車がすれ違うか生徒にきいてみる。 ④このシミュレーションでは，すれ違う地点はわかっても， すれ違う時刻は簡単には分からないことを確認する。 ⑤問題解決に必要なことをみんなで考える。 ⑥電車が動く様子をダイヤグラムで表す。時速６０㎞， 時速９０㎞という条件から簡単に電車のすすむ様子を 表すグラフがかける。→ワークシートに記入 ⑦ソフトをもう一度，今度はエンター・キーを押す ことによって動かし，２つの電車のグラフを確認 する。エンター・キーでは，電車が動きながら， リアルタイムにダイヤグラムを作成してくれる。 ⑧電車のすれ違う時刻をグラフから読み取り，正解 を確認し，ダイヤグラムの有用性やグラフの傾き の意味などを再確認する。 留意点 ・この授業は，ダイヤグラムについて既習で臨むこ とが望ましいが，この題材をダイヤグラムの導入 に用いるためには，授業の流れを再 構築する必要があると思われる。 -8- 発展例 ・生徒に問題を作らせると面白い。フリーソフトに添付のワークシートもその流れになっている。 生徒の活動例 以下は，上記の発展例にあるように，生徒に問題づくりをさせたものである。 授業を盛り上げるポイント ・このシミュレーションソフトを電子黒板とあわせて用いてみた。効果的な課題提示ができた。 -9- 事例Ｎｏ ６ 学年 中１ 単元 平面図形 利用する知識・技能 正確に基本作図ができる技能 問題解決の場面 線路を直線に，駅を点に見立て，具体的な問題を作図を用いて解決する 身につけたい力・態度 作図の方法から読み取れる別の性質を用いて問題を解決する力，作図を 積極的に問題解決に利用する態度 題材名 「鉄道にまつわる問題を作図を用いて解決しよう」 準 備 ・ワークシート ・話を盛り上げるための掲示物など 授業の流れ １．垂線の作図 ２．垂直二等分線の作図 ３．角の二等分線の作図 ４．円の接線の作図 について，それぞれ次の流れで授業を行った。 ①作図の説明 ②練習 ③作図の活用 １．垂線の作図 ①作図の説明は右のたこ形を用いて行った。 ②練習は，適当な△ＡＢＣをかき，それぞれの頂点から 反対側の辺へ垂線を作図し，それが１点で交わるか確認 させた。 ③活用場面１ ＰＨはＰからＡＢへの最短の長さであることが，Ｐ，Ｑ の対称性から説明できる。そのことを用いて次の問題を解決する。 太郎さんの家のそばに線路が走っている。太郎さんの家（点Ｔ）から最も近い場所に 駅を作るには，•上のどこに作ったらよいか。 ・Ｔ • ２．垂直二等分線の作図 ①作図の説明は右のひし形を用いて行った。 ②練習は，適当な△ＡＢＣをかき，それぞれの辺の垂直二等分線 を作図し，それが１点で交わるか確認させた。 ③活用場面２ Ａ，Ｂの対称性からＰＱ上の点はＡ，Ｂから等距離に あることが説明できる。そのことを用いて次の問題を解決する。 太郎さんの家の近くに次郎さんが引っ越して来た。２人の家（２点Ｔ，Ｊ）から等距離に ある場所に駅の建設計画を変更したい。•上のどこに駅をつくったらよいか。 ・Ｔ ・Ｊ • - 10 - ３．角の二等分線の作図 ①作図の説明は右のたこ形を用いて行った。 ②練習は，適当な△ＡＢＣをかき，それぞれの角の二等分線 を作図し，それが１点で交わるか確認させた。 ③活用場面３ ＰＡ，ＱＡの対称性から，ＡＢ上の点はＰＡ，ＰＢまでの 距離が等しいことが説明できる。そのことを用いて次の問題を解決する。 駅の建設に成功した２人に，州知事は鉄道経営を任せる。次のような３路線（•，m，n） から等距離にある場所に鉄道会社を作るには，どこに作ったらよいか。 m n • ４．円の接線の作図 ①作図の説明は，１８０°の二等分線で９０°がかけることを用いて行った。 ②練習は，角の二等分線を用いた角度の作図の練習後，１８０°の二等分線をかくことを 確認して，適当な円の適当な円周上の点での接線を作図させた。 ③活用場面４ 円の接線の作図を利用して，次の問題を解決する。 会社を設立し，事業拡大に乗り出す２人。環状の路線に，ちょうどＡ駅で接する線路を 建設しよう。 Ａ 発展例 次のような発展課題を作ると盛り上がる。生徒は次の話を楽しみにし始めた。 活用場面２では，実はもっと効率のよい方法があったことに気づく２人。 •上に点Ｐをとり，ＴＰ＋ＪＰが最小になるようにしたい。どこに点Ｐをとればよいか。 ・Ｔ ・Ｊ • 授業を盛り上げるポイント ・駅や電車，線路などの模型を黒板に貼り，臨場感を出す。 ・実際はドラマ仕立てで授業を展開した。「建設会社物語」などと題し，第１話「旅立ち」， 第２話「次郎との出会い」…，など，題目をつけると，生徒が次の話を楽しみに待つように なった。 - 11 - 事例Ｎｏ ７ 学年 中２ 単元 平行と合同 利用する知識・技能 与えられた条件にあう三角形を正確に作図する技能 問題解決の場面 合同な三角形を作図するための効率的な情報の集め方を考える （三角形の合同条件の導入部分） 身につけたい力・態度 自ら三角形の合同条件を見いだす力，実際に三角形の合同条件が正しい か作図をしながら確かめる態度 題材名 「合同な三角形を作図する方法を考えよう」 準 備 ・黄金の三角形（模型） ・話を盛り上げるための掲示物など 授業の流れ ①課題の提示 昔々の話です。あるＡ国の王様が旅先で三角形の形をした黄金が洞窟の壁に埋まっているの を見つけました。それを掘り起こすことができなかった王様は，それと同じ形，同じ大きさの 黄金の三角形が欲しくなり，随行の家来に「洞窟の三角形と合同な黄金の三角形」を作るよう 命じました。 さて，昔の話，旅先の話です。メモをすることもできない家来は，１人が１つずつ，責任を 持ってどこかの辺の長さかどこかの角の大きさを覚えて帰ることにしました。さて，家来の数 は最低何人必要でしょうか。また，どのような覚え方をして帰ればよいでしょうか。 ②三角形には辺が３つ，角が３つあることを確認し，合計６カ所のうち，最低何カ所測らなければ ならないか考える。 ③自分が必要だと思うデータを確認する。 授業で使用した三角形のデータは次の通りである。角の大きさは正しいとし，最も長い辺７㎝を 基準とすると，他の２辺の長さは実際の理論値と若干違うが，実測のできるだけ近い値を用いた。 ３つの角は 辺の長さは 45 °，60 °，75 ° 7 ㎝，5.2 ㎝，6.3 ㎝ （45 °をはさむ辺が 7 ㎝と 6.3 ㎝，60 °をはさむ辺が 7 ㎝と 5.2 ㎝） ④自分が選んだデータで実際に 三角形をかいてみる。たいて いの生徒は，３つのデータで 十分かけるという感触を持つ。 ⑤できた生徒は挙手をし，教師が 実際に黄金の三角形の模型を 重ねてみることで，合同になっ ているか確認をする。 ⑥三角形の合同条件を確認する。 → 授業を盛り上げるポイント ・三角形の模型は金紙を貼って黄金にしておくことで，話の臨場感がでる。また，実際に三角形の 模型をノートに書いた三角形と重ね合わせることで，生徒は正解を実感でき，さらに合同の定義 （重ね合わせることができる）を感覚的にも実感できることになる。 ・ 正 解し た 生徒 に は，「 よ くや っ た。 ご 褒美 じ ゃ」 と 王様 の 真似 を しな が らご褒 美シ ール を貼る な ど，さらなる意欲づけをはかる。 留意点 ・分度器を用意できなくても，実際に１年時に発展課題で行った角度の作図を用いて作図できる 角度に設定した。 - 12 - 発展例 ・「 ２辺 と その 間 の 角」 の 合同 条 件に つ いて ， 角が 「 ２辺 の 間の 」 角に な ってい なけ れば ならな い ことを次のように確認した。 となりのＢ国の王様がこの話を聞き，たいそううらやましがりました。そこでＢ国の王様も 家来を３名洞窟に派遣し，必要なデータを覚えさせ，黄金の三角形を作らせることにしました。 ところが，その家来たちは，下の図のような３カ所のデータを覚えて帰りました。さて，こ れで無事洞窟の三角形と合同な三角形が作れるでしょうか。 6.3 ㎝ 60 ° 7㎝ 言うまでもなく，下記のように２通りの三角形が考えられるので，だめである。 6.3 ㎝ 6.3 ㎝ 60 ° 7㎝ ・「１辺とその両端の角」の合同条件について，「２角と１辺」ではだめなことを，次のように 確認した。 Ｃ国の王様もまた，黄金の三角形の話を聞き，家来に命じました。しかしＣ国の家来達は， Ｂ国の家来達の失敗も知っていたのです。そして次のように話をしました。 「私達ならＢ国の家来のような失敗はしない。なぜなら私達は，三角形の内角の和が 180 °で あることも知っている。だから２つの角の大きさを調べれば，残りの角の大きさも分かる。」 そしてＣ国の家来達は，１つの辺が 6.3 ㎝であることと，２つの角が 45 °，60 °であるこ とを調べて帰りました。さて，このデータで大丈夫でしょうか。 この話は，生徒からの「１辺とその両端の角は，２つの角が分かれば残りの角も分かるから， 角の場所は辺の両端でなくてもよいのではないか」という質問に答えた形のものである。言う までもなく，6.3 ㎝がどの２つの角に挟まっている辺かまで分かってないと，形は同じでも， 大きさが違う可能性がある。策士，策に溺れる，ということで話を締めくくった。 さらなる発展例 ・上記の２辺とその間の角の反例は，後の直角三角形 の合同条件を考える際，もう一度話を出した。 つまり，∠Ｃ＝９０°の直角三角形では，ＡＢ， ＢＣ，∠Ｃで三角形が決まるというものである。 （直角三角形の斜辺と他の１辺がそれぞれ等しい） ∠Ｃが鋭角の場合，二等辺三角形 ABA'ができるが， ∠Ｃが９０°の場合，二等辺三角形 ABA'を作ろうと すると，ＢＣの反対側に A'ができてしまう。 （この A と A'の対称性がまた，直角三角形の合同条 件の証明のアイディアにつながっていく。） - 13 - A A' B C A B C 事例Ｎｏ ８ 学年 中３ 単元 相似な図形 利用する知識・技能 三角形の相似条件の理解と比の計算を使いこなす技能 問題解決の場面 具体的な地図や場面で，他の条件から相似な三角形を見いだし，移動に かかる時間を計算する 身につけたい力・態度 相似な三角形を見いだす力，具体的な場面で相似な図形の性質を使って 問題を解決する態度 題材名 「移動にかかる時間を相似な図形の性質を使って計算しよう」 準 備 ・ワークシート ・話を盛り上げるための掲示物など 授業の流れ 次の３つの場面において， ①問題の提示 ②問題の数学的モデル化 の流れで授業を行った。 ③問題解決の手法の確認 場面１ ①問題の提示 次は，学校近くの地図である。三角形の形を した道の途中に，その底辺にほぼ平行に道が 走っている。寺町５丁目の交差点から泉野図 書館までどれだけかかるか。 ②問題の数学的モデル化 ひろし君が移動にかかった時間をまとめ ると次のようになった。ＤＥ//ＢＣとす ると，ひろし君がＤＥ間の移動にかかる 時間は何分か。 Ａ 10 分 Ｄ 5分 寺 町 ５丁 目→ Ｅ Ｂ ← 泉野 図 書館 Ｃ 12 分 ③問題解決の手法の確認 △ＡＤＥ∽△ＡＢＣを用いて， １０：１５＝ＤＥ：１２ これよりＤＥ＝８であるから かかる時間は８分である。 場面２ ①問題の提示 右は，学校近くの公園である。それぞれ の入り口から反対側の道路に抜けるのに かかる時間はどのくらい違うだろうか。 ←ﾏﾝｼｮﾝ口 ス ーパ ー 口→ - 14 - ②問題の数学的モデル化 花子さんはＢ地点から道路ＡＣに最短距離を 通って向かう。良美さんはＣ地点から道路 ＡＢに最短距離を通って向かう。 ＡＢ＝２０ｍ，ＡＣ＝３０ｍとすると， ２人が公園を横切るのにかかる時間はどの くらい違うか。 Ａ Ｅ Ｄ Ｂ Ｃ ③問題解決の手法の確認 一見条件が足りないように見えるが，△ＡＤＣ∽△ＡＥＢからＡＢ：ＡＣ＝ＢＥ：ＣＤで あることが分かる。よって良美さんは花子さんの 1.5 倍の時間がかかる。 場面３ ①問題の提示 右は山手線の路線図である。色々な駅間の所要時間を 考えよう。 ②問題の数学的モデル化 電車がＡ駅からＥ駅へ行くのに３０分，Ｅ駅から Ｂ駅に行くのに５分かかる。電車がＤ駅からＥ駅 まで行くのに１０分かかったとすると，Ｅ駅から Ｃ駅まで何分かかるか。 Ｃ Ｃ Ａ Ｅ Ａ Ｅ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ ③問題解決の手法の確認 補助線ＡＤ，ＣＢをひくと，円周角の定理から△ＡＤＥ∽△ＣＢＥであることが分かる。 ＡＥ：ＣＥ＝ＥＤ：ＥＢ から，３０：ＣＥ＝１０：５ これを解いてＣＥ＝１５ よって，１５分かかる。 一見，ＡＥ：ＥＢ＝ＤＥ：ＥＣであると錯覚しやすいが，実はＡＥ×ＥＢ＝ＤＥ×ＥＣである。 授業を盛り上げるポイント ・実際に学校の近くの地図などを用いると，生徒にも臨場感が出て盛り上がる。 ・答えを出すだけではなく，生徒に法則を考えさせると盛り上がる。中３後期という段階を考え ると，数学的な法則を見つけることで，数学の活用の幅が広がることを生徒も実感する。 また，法則を言葉でいいかえるのも効果的。例えば， 場面１では，ＡＤ：ＡＢ＝ＤＥ：ＢＣ ＤＥ，ＢＣの道の長さは点Ａから道までの距離に比例する 場面２では，ＡＢ：ＡＣ＝ＢＥ：ＣＤ 三角形の公園を垂直に横切る距離はその三角形の辺の長さの比に等しい 場面３では，ＡＥ×ＥＢ＝ＤＥ×ＥＣ ある円において２つの弦の交点から円周までの距離の積は等しい 留意点 ・生徒との会話を重視しながらすすめていくことが大切である。生徒から問題解決の手法，法則を 引き出すよう，考える時間，発表の時間を確保することが大切である。 - 15 - 事例Ｎｏ ９ 学年 中２ 単元 確率 利用する知識・技能 樹形図を用いて確率を求める技能 問題解決の場面 トランプゲーム「神経衰弱」の最終場面の有利・不利を考える 身につけたい力・態度 同じものを区別して正確に樹形図をかく力，間違えやすい確率を数学的 に正確に求めようとする態度 題材名 「神経衰弱の最終場面では，先手が有利か考えよう」 準 備 ・カード ・シミュレーションソフトなど ※シミュレーションソフト（フリーソフト）は，本校数学科のページよりダウンロードできます。 トップページ URL http://partner.ed.kanazawa-u.ac.jp/futyu/ 上部メニュー 教科研究－数学－フリーソフトの部屋 －８．確率シミュレーション 下記アドレスは直接フリーソフトの部屋へとびます。 http://partner.ed.kanazawa-u.ac.jp/futyu/html/sub.php?mnucode=170102&code=170102&page=1 授業の流れ（上記ソフトウェアを利用した流れ） ①課題の提示 ２人でトランプゲーム「神経衰弱」を行っている。最後に４枚の カードが残った時点でもう一度カードをシャッフルするとき，先に カードをめくる方が有利か不利か。 ただし，残った４枚は２枚どうしのペアが残っているとし，先手 がひいた後はシャッフルのし直しはしない。 なお，カードの表記を簡単にするため，以下，授業では， ２枚のカードを○，残り２枚のカードを□で表すことにする。 ②シミュレーションソフトで１，２回実験し， その後実際にどちらが有利だと感じるか， どちらの有利さも変わらない，という意見も 含めて直感で手を挙げてもらう。 実際の授業では，先手有利に約１割， どちらも変わらないに約５割， 後手有利に約４割手を挙げた。 ③シミュレーションソフトで２０００回実験を する。右は電子黒板を用いてシミュレーション を見せた写真。はずれ（２枚のカードが不一致） が，あたり（２枚のカードが一致）の約２倍に なっていることが視覚的に分かる。 ここで，特に有利さが変わらないと答えた生徒 から驚きの声があがる。 確率は直感にだまされやすいことを確認。 - 16 - ④だまされた理由を確認する。 １枚目 ２枚目 ○ ○ □ □ ○ □ □ ○ がすべての組み合わせだと錯覚してしまう。 しかし，○や□は実際には２枚ずつあるので， これですべてを数えたことにはならないことを 確認する。 ⑤すべての場合を数えるためには，同じに見える カードを番号をつけるなどして区別する必要性 があることを確認する。 ⑥カードに番号をつけ，実際に確率を求める。 右は電子黒板でカードを動かしながら樹形図を 作った例。 ⑦次のような課題で，同じものを区別して確率を 求める練習を行う。 赤玉２個，白玉３個入った袋から続けて ２個を取り出すとき，２個が同じ色の玉に なる確率を求めなさい。 授業を盛り上げるポイント ・黒板に実際にカードを貼り，クラス全体が見えるように最初の１，２回の実験を行うと盛り上 がる。生徒を指名し，カードをめくらせてみる。電子黒板とフリーソフトを用いると，最初の 実験も簡単に行える。 留意点 ・実際にトランプを用いて多数回の実験をさせてもよいが，最初の１枚をめくると残りが３枚だ から，先手は３枚のうち１枚を当てなければならないことに気づいてしまう可能性がある。 この授業の流れで大切なのは，実際の確率を最初は錯覚させることにある。最初の１，２回の 実験終了後，４枚のカードをすべてめくると錯覚が起きやすい。実験結果が予想と違うことから 数学的に正しく樹形図を書く必要性を実感させられれば，と思う。 発展課題例 ・有利，不利という観点を生かして，くじ引きの当たる確率は引く順によらないことの学習に つなげられる。 ①４～５名くらいずつの班をつくり，５枚中２枚が当たるくじを班ごとに配る。 ②班で順番を決めてくじを引き，下記のようなワークシートに実験結果を記入させる。 ③引く順は途中でかえてもよいが，何番目に引いた人がどれだけ当たったかを正確に記入させる。 ④各班の実験結果をクラス全体でまとめる。 ⑤不正をしない限り，引く順による有利・不利が明確になる程の実験結果にはならない。 ⑥実験後，樹形図を用いて１番目と２番目に引く人の当たる確率は同じであることを確認する。 ⑦３番目以降は樹形図が複雑になるので，興味のある人の自主追求に任せる。 ＜ワークシート例＞ １回目 ２回目 １番目に引く人 ○ × ２番目に引く人 × ○ ３番目に引く人 × × ４番目に引く人 ○ × ５番目に引く人 × ○ ３回目 ４回目 ５回目 - 17 - ６回目 ７回目 ８回目 ９回目 １０回目 当たった合計 事例Ｎｏ １０ 学年 中１ 単元 資料の活用 利用する知識・技能 ちらばりのある資料を度数分布表にまとめたり，ヒストグラムに表す技 能，いろいろな代表値に関する知識 問題解決の場面 ジャガイモの重さの散らばりを見て，表示するのに最も適した重さを考 える 身につけたい力・態度 度数分布表やヒストグラムから，その場面に応じた代表値を考える力 資料を整理して見やすくし，問題解決に役立てる態度 題材名 「ジャガイモの内容量の表示を考えよう」 準 備 ・ワークシート ・ジャガイモの写真など 授業の流れ ①課題の提示 あるスーパーでは，ジャガイモを，５個入りの袋で販売している。このジャガイモの内容量を 重さで表示することになったため，その中から５０袋を選んで重さを計ったところ，次のように なった。 710 763 779 747 767 760 736 752 729 733 755 758 757 713 732 741 719 720 736 745 767 686 752 726 734 723 754 708 737 785 741 720 739 758 760 756 747 780 740 719 743 769 698 722 721 752 717 763 721 765 ジャガイモの内容量を全部計って個別に表示するのには手間がかかること，５個入りのジャガ イモはすべて同じ値段にしたいことなどから，これらの袋の内容量を１つの値で表示することに した。あなたなら，何ｇ入りと表示しますか。その理由を含め答えなさい。 ②ジャガイモの重さを，度数分布表とヒストグラム（必要に応じて度数折れ線も）にまとめる。 階 以上 級（ｇ） 未満 度 数（袋） 680 ～ 690 １ 690 ～ 700 １ 700 ～ 710 １ 710 ～ 720 ５ 720 ～ 730 ８ 730 ～ 740 ７ 740 ～ 750 ７ 750 ～ 760 ９ 760 ～ 770 ８ 770 ～ 780 １ 780 ～ 790 ２ 計 (袋) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 (ｇ) ５０ ③分布を見て，ジャガイモの重さを１袋何ｇと表示するか（何を代表値にするか）考える。 ④それぞれの意見を発表し，それぞれの代表値のよさを考える。 - 18 - 授業を盛り上げるポイント このスーパーの店長になったつもりで，消費者の立場になって，など，考えるための必然性を 演出する。 生徒の活動例 次は実際の授業で，生徒が発表した意見の記録である。 生徒Ａ：８００ｇ 一番大きい値が７８５，それを切り上げて８００した。たくさん入っているように見えるので， お得感があってたくさん売れるのではないか。 生徒Ｂ：６８０ｇ 表示より少なかったという消費者からのクレームを避けるため，最小の値を考えた。 一番小さい値６８６の一の位を切り捨ててきりのよい数字にした。 生徒Ｃ：７４１ｇ 平均を求めると７４１．１なったので。 生徒Ｄ：７３５ｇ 最大値７８５と最小値６８６のちょうど間くらいだから。 生徒Ｅ：７４０ｇ 分布を見て，５０個の真ん中の値がちょうど７４０くらいである。 生徒Ｆ：７５５ｇ お客さんが買っていく可能性の一番高いのが７５０～７６０の範囲のジャガイモである。 その範囲の真ん中の値。 生徒Ｇ：７００ｇ 消費者からのクレームは避けたいが，７００未満のジャガイモは２袋しかない。その２袋は 目をつぶった。また，７００は，きりのよい数字だから。 ＜生徒のノートより＞ 発展例 この授業では，生徒があげた代表値に対し，その呼び名を教える流れで行った。メジアンや モードを考える必然性を生徒と共感できたと思う。次はそれぞれの生徒の意見に対し，用語の 解説を行った記録である。 生徒Ａ：７８５ → 最大値 生徒Ｂ：６８６ → 最小値 生徒Ｃ：７４１．１ → 平均 生徒Ｄ：７８５－６８６ → 範囲 ＝（最大値）－（最小値） 生徒Ｅ：７４１ → メジアン（中央値，実際２５番目と２６番目の値がともに７４１である。） 生徒Ｆ：７５５ → モード（最頻値） 生徒Ｇ：野菜の重さの表示は３％の誤差まで認められている。７００の３％は２１。 ６８６の袋も誤差の範囲内である。 - 19 - 発展課題例 ＜評価問題＞ 実際に期末テストに出題した問題である。 次は，ある料亭で，１人分の「マグロづくし」料理に使うマグロの仕入れ値を，２ヶ月 （60 日）にわたって記録したものである。 4305 4594 4433 4401 4058 3253 4531 4170 3789 4048 4251 3818 3986 3021 4588 4142 3437 3522 4580 3807 3640 5274 4446 4332 3974 3915 4653 3688 4272 3307 4482 3541 3483 4061 4132 4004 4401 3939 4517 4615 3615 4039 4192 4043 3834 4033 3555 4237 4261 3594 4014 4190 4639 3796 4224 3782 4558 3898 4105 3809 （１）度数分布表とヒストグラムを作りなさい （２）モードとメジアンを求めなさい。 （３）料理は仕入れ値の倍の値段で出すのがこの料亭の基本です。毎日の料理の値段を同じに するとしたら，あなたはこの「マグロづくし」１人分の値段をいくらにしますか。理由も 含めて答えなさい。他の食材の分は考えなくてよい。 （回） 15 10 5 0 3000 3200 3400 3600 3800 4000 4200 4400 4600 4800 5000 5200 5400 （円） ＜レポート課題＞実際に出したレポート課題である。 次は，ある車の燃費（ガソリン１•あたりの走行距離）を知るために燃費実験を行った結果で， ６０回にわたって燃費を計算・記録したデータである。自動車の燃費は，走った距離，天候，道路の コンディション，タイヤの空気圧などによって変わるため，このように一定ではない。あなたがこの 車の販売会社の広報部長だとしたら，この車の燃費を何㎞／•であると表示しますか。理由も含めて 答えなさい。 11.0 9.9 10.0 9.1 8.7 10.1 8.8 11.4 9.2 9.3 9.7 10.2 8.1 8.0 9.2 8.8 7.9 9.9 7.9 10.1 9.3 8.3 11.1 10.7 9.1 10.7 10.0 10.4 8.8 10.2 9.7 9.0 10.3 8.5 9.0 10.2 9.6 10.2 10.1 - 20 - 9.0 10.6 10.2 9.8 10.0 8.5 9.6 10.1 9.0 9.1 10.3 10.2 8.3 8.8 11.1 9.6 11.3 8.7 11.1 8.8 10.2