RS2行列

修士論文
Gravitational Waves from Braneworld Inflation
小林 努
京都大学大学院理学研究科
物理学・宇宙物理学専攻 物理学第二分野
天体核研究室
January 2003
Abstract
われわれのこの 4 次元時空が高次元時空中に埋め込まれた 4 次元の面 –ブレーン– であるとする考
え方は、近年大きな注目を集めてきた。中でも、Randall-Sundrum モデルは一般相対論的な時空
の幾何学、動力学としても大変興味深い側面を持っており、このような時空描像にもとづいた宇
宙論の研究など、ブレーンワールドに関連する話題は豊富だ。
この修士論文では、まず、ブレーンワールドシナリオの基本的なアイデアを紹介し、それにもと
づいて展開されている宇宙論の現状をレビューする。より現実的な宇宙モデルの構築や将来の観
測的検証という観点から、ブレーンワールドにおける宇宙論的摂動論 (cosmological perturbation)
の研究は重要である。しかしながら、その取り扱いは難しく、満足のいく解析は行われていないの
が現状である。そこで、本論文後半ではブレーン宇宙でのテンソル型摂動 (重力波) に注目し、新
しい手法により解析を試みる。
考えている宇宙論的な重力波の起源は、インフレーションによって増幅された場の量子ゆらぎで
ある。このような重力波の進化は、曲がった時空における場の理論を用いて議論される。質量ゼロ
の 4 次元的な graviton(ゼロモード) に加えて、Kaluza-Klein モードとして質量をもった graviton
が存在することが、余剰次元を考える際の特徴である。インフレーション中に一般にハッブルパ
ラメーター H はわずかに時間変化することを踏まえ、今回は、その変化が不連続であるという状
況設定を行う。それにより、解析的なアプローチが可能となる。ハッブルパラメーターの変化の
影響が重力波のパワースペクトラムにどう現れるかを、通常の 4 次元理論における結果と比較し、
違いを調べることがこの研究の目的である。そのために、まず Bogoliubov 係数を求めてゼロモー
ド graviton の生成を議論し、続いて、パワースペクトラムの分析を行った。その結果、以下で述
べることが判明した。
余剰次元の曲率半径から決まるエネルギースケール −1 と比べて低エネルギーでのインフレー
ション (H 1) では、パワースペクトラムは通常の 4 次元理論におけるそれとまったく同一であっ
た。この場合、ゼロモードから生成されるゼロモードだけで 4 次元の結果を再現し、Kaluza-Klein
モードからの寄与はまったくなかった。一方、高エネルギーでのインフレーション (H 1) で
は次のような結果を得た。まず、Kaluza-Klein モードから生成されるゼロモードの粒子数は抑制
されている。また、パワースペクトラムはあるスケーリングのもとで、4 次元のそれときわめて
よく一致する。しかし、graviton の余剰次元方向の運動量の再配分が起こっており、その意味で
の Kaluza-Klein モードの寄与を考え合わせて初めて、そのような一致を見る。これは示唆に富ん
だ結果ではあるが、ハッブルパラメーターの一般の時間変化に対して、パワースペクトラムにス
ケール変換のもとでの対応関係があるのかどうかは明らかではない。
2
Contents
1
Introduction
2
4 次元理論における背景重力波
宇宙膨張による量子論的粒子生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
インフレーション起源の重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
8
12
高次元時空の考え方
Kaluza-Klein 的アプローチ . . . . . . . . . . . . .
ブレーン上に局在した物質場 . . . . . . . . . . . .
大きな余剰次元 –ADD モデル– . . . . . . . . . . .
Randall-Sundrum モデル . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 2 枚のブレーンと新しいコンパクト化の方法:
3.4.2 無限に大きな余剰次元: RS2 . . . . . . . . .
15
15
17
19
20
20
24
2.1
2.2
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
. . .
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RS1
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4
ブレーンワールドにおける重力
28
5
5.1
5.2
ブラックホールとブレーンワールド
AdS 時空中のブラックストリング解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 + 1 次元の厳密解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
34
6.1
6.2
6.3
6.4
ブレーンワールド宇宙論
ブレーン上の Friedmann 方程式 . . . . .
Schwsrzschild-Anti de Sitter 時空と Dark
ブレーン宇宙におけるインフレーション
摂動論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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43
43
48
52
53
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58
58
65
68
68
70
75
82
6
7
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
8
ブレーンワールドにおける重力波
de Sitter ブレーンとテンソル摂動
セットアップ . . . . . . . . . . .
Bogoliubov 係数の計算 . . . . . .
7.3.1 グリーン関数の方法 . . .
7.3.2 結果 . . . . . . . . . . . .
重力波の振幅 . . . . . . . . . . .
まとめ . . . . . . . . . . . . . . .
結論
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Radiation . . .
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84
3
Acknowledgments
85
Appendix
87
A
長く困難な計算
A.1 KK モード関数の空間部分 χκ (ξ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 複雑な積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
変分原理による Israel の接続条件の導出
C
Notation and Conventions
88
88
91
96
100
4
1 Introduction
われわれの住むこの宇宙が、空間 3 次元、時間 1 次元からなるということは、誰の目にも明らかで
あろう。少なくとも現在までのところ、4 次元を越える次元の存在を示唆するような物理現象は、
何一つとして観測されていない。それにもかかわらず、高次元の時空を考える理論はすでに 20 世
紀初頭からあった (Kaluza-Klein 理論 [40])。さらに、重力をふくめた統一理論の有力な候補とし
て超弦理論 [74] が登場した現代では、高次元時空という考え方はより現実味を帯びてきた。弦理
論では、アノマリーが現れないという条件から時空の次元が決まってしまうので、矛盾のない理
論であるためには、高次元時空は必然である。
このような統一理論の試みを背景として、ブレーンワールドというアイデアが注目されている
[4, 5, 75, 76]。これは、Fig. 1.1 に描かれているように、高次元時空の中に埋め込まれた 4 次元の
面 (ブレーン) が「われわれの世界」である、というモデルだ。このモデルでは、標準模型にある
ような場はブレーン上に閉じ込められていなくてはならないが、実験的な制限が比較的弱い重力
に関しては、余剰次元方向へも伝播することが許される。これは相対論的な時空の幾何学、動力
学として大変興味深いシナリオである。高次元時空におけるブラックホールを議論したり、ブレー
ンワールドシナリオにもとづいた宇宙論を考えたりすることは面白い問題である。実際、ここ数
年の間にこれらの問題に関する数多くの研究がなされた。
仮にブレーンワールドの描像が正しければ、観測技術、実験技術の進歩により、そう遠くない
将来、現実に高次元を「見る」ことができる可能性がある。ブレーンワールドシナリオでは、高
次元のプランクスケールが例えば TeV 程度の低いスケールであってもよいので、加速器によるブ
ラックホール生成が起こるかもしれない [20, 82]。また、宇宙背景放射 (CMB) の温度ゆらぎの観
測によって余剰次元を検証できるかもしれない。これは非常に exciting である。あるいは、この
ような観測によって逆にブレーンワールドを否定することができるかもしれない。ブレーンワー
ルドシナリオは、実験、観測による検証可能性をもったモデルなのである。
これまでの研究で、ブレーンワールド宇宙論は、少なくともビッグバン元素合成以降の宇宙の
進化について標準宇宙論をよく再現することがわかっている。このことは、宇宙モデルとして成
功するためにみたすべき条件ではあるが、宇宙論的な観点からブレーンワールドの検証を試みる
のであれば、通常の宇宙モデルとブレーンワールドシナリオにもとづいた宇宙モデルとの明確な
違いを見出す必要がある。そこで、初期宇宙に目を向ける。上でも述べた CMB の温度ゆらぎなど
の一様等方性からのずれは、初期宇宙の物理と密接な関係がある。宇宙論的摂動論 (cosmological
perturbation) の研究から、CMB の温度ゆらぎ (スカラー型摂動) あるいは重力波 (テンソル型摂
動) について、通常の 4 次元理論とは異なる予言がもし得られれば、それがブレーンワールドの検
証につながる。今回は、インフレーションに起源をもつ重力波に注目することにしよう。
重力波の検出に関しては、現在、世界各地で検出装置の開発及び建設が行われている。重力波
は宇宙を見る新しい「目」である。初期宇宙の unique な情報をもった重力波が CMB と同様に背
5
Figure 1.1: ブレーンワールドと重力波
景重力波として宇宙に満ちていると考えられ [62]、重力波検出実験の重要なターゲットになってい
る。そのような背景重力波の起源としてよく考えられるのは、インフレーションである。宇宙初
期のインフレーション的膨張により場の量子ゆらぎが増幅され、それが現在の背景重力波の源と
なる。
本論文で扱う Randall-Sundrum タイプのブレーン宇宙でも、インフレーションを考えることは
自然である。ブレーンワールドにおけるインフレーションを起源とする重力波に、なにか通常の宇
宙論におけるそれとは異なる特徴を見出すことはできるだろうか。ブレーン上に純粋に de Sitter
的な幾何が実現されるような、ハッブルパラメーター H = 一定のインフレーションを考える場合
[54] には、重力波の取り扱いは比較的易しい。しかし、インフレーション中に実際は H がわずか
ながら時間変化するだろう。できる限りの解析的な取り扱いを行うために、本論文ではその変化
が不連続であるという特殊な状況を設定する。本論文の目的は、このような場合にテンソル型摂
動の進化を計算する手法を提示し、重力波のパワースペクトラムに現れる可能性のある 4 次元理
論との違いを明らかにすることである。
本論文は以下のように構成されている。2 章では、4 次元のスタンダードな宇宙論におけるイン
フレーション起源の重力波について解説する。次の章から以後ずっと、高次元の時空を取り扱う
ことになる。3 章でブレーンワールドシナリオの基本的なアイデアを紹介する。この章は、主に素
粒子論的視点からのレビューになっている。4 章では、幾何学的な手法によってブレーン上の有効
アインシュタイン方程式を導く。また、ブレーン上で成り立つ重力理論と通常のアインシュタイ
ン重力理論との違いを述べる。物理学の対象の中で、特に重力が重要な役割を果たしているもの
として、ブラックホールと宇宙全体が挙げられる。そこで、5 章ではブレーンワールドにおけるブ
ラックホールについていくつかの話題を紹介する。ただし、この章は本論文全体の流れからはや
や外れた内容を扱っている。続いて、6 章でブレーンワールドシナリオにもとづいた宇宙モデルを
構築し、その現状をレビューする。7 章ではブレーンワールドのインフレーションを起源とする重
力波について議論する。この章で述べることが、本論文で得られたオリジナルな成果である。8 章
6
1 Introduction
を本論文のまとめとする。付録 A には、7 章で省略した骨の折れる計算過程を収録した。付録 B
には、本文中に幾度となく使われる Israel の接続条件の導出方法を記した。最後に、付録 C に本
文中で登場する記号の定義や用法をまとめた。
7
2 4 次元理論における背景重力波
現在、重力波検出計画は最も注目すべきサイエンス・プロジェクトのひとつである。アメリカの
LIGO、イタリアとフランスの協力による VIRGO、低周波領域をカバーするために宇宙空間で観
測を行う LISA、そしてこの日本では TAMA300 など、様々なプロジェクトが立ち上がり、あるい
はすでに重力波干渉計が稼動している。そして、インフレーションなどの宇宙論的な起源をもつ
背景重力波は、これらのプロジェクトの重要なターゲットとなっている。
背景重力波の観測により、われわれは初期宇宙の姿を探ることができる。理由はこうである。宇
宙の温度が T ∼ Tdec の時代に熱平衡から decouple した粒子は、その時代の宇宙の姿の「スナッ
プショット」を抱えているだろう。その粒子の相互作用が弱ければ弱いほど、高いエネルギース
ケールで熱平衡から decouple するはずである。したがって、重力波は非常に初期の宇宙の情報を
持っていると言えるのである。もっとも、相互作用が弱いということは、検出を異常に難しくす
るという面ももっているのであるが。
少し定量的な議論をしよう。相互作用のタイムスケールを Γ−1 とする。宇宙膨張のタイムス
ケールは ハッブルパラメーターで H −1 と与えられ、Γ H ならば熱平衡を保てるであろう。さ
て、 Γ はその粒子の数密度 n ∼ T 3 、相互作用の散乱断面積 σ 、典型的な速度 v(∼ 1) を用いて
Γ = nσv と書ける。いま、例えばニュートリノを考えると、σ ∼ G2F E 2 ∼ G2F T 2 となる。一方、
宇宙が輻射で満ちているとき H ∼ T 2 /MPl であるから、
Γ
H
neutrino
G2 T 5
∼ 2F
≈
T /MPl
T
1 MeV
3
(2.1)
である。すなわち、ニュートリノでは、大雑把に言って宇宙の温度が 1 MeV 以上の時代を見るこ
とはできない。では、これが graviton の場合はどうであろう。graviton の場合を考えるにはフェ
2 に変えてみればよい。すると、
ルミ定数 GF を重力定数 GN = 1/8πMPl
Γ
H
≈
graviton
T
MPl
3
(2.2)
を得る。graviton はプランクスケール以下程度で decouple することがわかる。
次章以降でブレーンワールドの議論に入る前に、この章では、4 次元のスタンダードな宇宙論に
おける背景重力波 [3, 62] について基本的なことを解説する。それには、曲がった時空の場の量子
論 [11] の手法が利用される。なお、この章で得た結果の一部は後の議論に使われる。
8
2.1
2 4 次元理論における背景重力波
宇宙膨張による量子論的粒子生成
Robertson-Walker 時空における重力波
特にホライズンを越えるような長波長の重力波にとって、宇宙膨張というものは重要である。そ
こで、Robertson-Walker(RW) 計量
ds2 = a2 (η) −dη 2 + δij dxi dxj
(2.3)
から出発する。これに対して、tensor perturbation
gµν = a2 (η) ηµν + hTT
µν
(2.4)
を考よう。ただし、TT(Transverse-Traceless) ゲージをとった。TT ゲージとは
hµ0 = 0, ∂ j hij = 0, hi i = 0,
(2.5)
をみたすようなゲージのことで、真空中ではいつでもとることができる。これでゲージ自由度は
完全に固定されている。このゲージのもとで摂動を
hTT
=
h(A) e(A)
µν
µν
A=+,×
=
A=+,×
√
2
MPl
·
1
(2π)3/2
d3 p φ(A) (η; p)eiÔ·Ü e(A)
µν
(2.6)
とフーリエ分解する。(A) という添字は偏極の自由度を表していて、以下では特に必要がなけれ
ば省略する。規格化をこのように決めた理由についてはすぐに説明する。アインシュタイン方程
式を摂動の 1 次まで書き下すことにより、φ(η; p) の従う方程式が得られ、それは
ȧ
φ̈ + 2 φ̇ + p2 φ = 0
a
(2.7)
である。ここで、 ˙ = d/dη と定義した。この方程式は、バックグラウンドを RW 計量としたとき
の massless scalar 場に対する Klein-Gordon 方程式
√
1
2φ = √ ∂µ
−ggµν ∂ν φ = 0
−g
(2.8)
に他ならない。あるいは、(2.7) を固有時間 τ で微分する形に書き直すと
p 2
∂
∂2
φ
+
φ
+
3H
φ = 0,
∂τ 2
∂τ
a
(2.9)
となる。ここで、ひとつ重要な性質を指摘しておこう。k aH のときには (2.9) の左辺第 3 項は
無視できる。すると、φ = const. という解が得られる。したがって、ホライズンより十分大きな
波長をもつ重力波の振幅は一定である。
さて、(2.6) のように場を規格化した理由を説明しよう。重力場の action は
√
M2
S = Pl d4 x −gR
(2.10)
2
2.1. 宇宙膨張による量子論的粒子生成
9
であった。R を hµν について展開した結果を 2 次まで記すと（hµν の線形の運動方程式を導くた
めには、action を 2 次まで展開する必要があることに注意しよう）、
ä
1
R = 6 3 − ∇λ hµν ∇λ hµν + ∇λ hµν ∇λ hµν + · · ·
a
4
1 ä
∇λ h(A) ∇λ h(A) + · · ·
(2.11)
= 6 3−
a
2
A=+,×
となる。第 1 項はバックグラウンドの曲率を表している。各 h(A) の effective action を考える際
には第 2 項のみが重要である。のちに正準量子化の手続きを踏むので、場は canonical に規格化さ
√
れるべきである。そこで、(2.6) のように 2/MPl をかけて規格化するのが適切である。こうして
得られた φ の effective action はもちろん、free の massless scalar 場の action になっている。
なお、ψ = aφ と定義し、運動方程式 (2.7) を ψ について書き直すと、
ä
2
ψ=0
(2.12)
ψ̈ + p −
a
というように、Schrödinger 方程式タイプになることをここで指摘しておく。
スカラー場の量子化
graviton の場は massless の Klein-Gordon 方程式に従うことがわかった。そこで、スカラー場
の量子化を膨張宇宙のバックグラウンドで行うことを考える。まず、われわれは Minkowsiki 時空
における場の理論をよく知っている。(2.7) で ȧ = 0 の場合が Minkowski 時空の場合に対応してい
て、モード関数は自然に
1
u(±) (η; p) = √ e±ipη
2p
(2.13)
と決めることができる。このモード関数を基底として、(2.8) の解を次のように書くことができる。
d3 p (−)
iÔ·Ü
†
(+)
−iÔ·Ü
φ(η, x) =
(η;
p)e
+
a
(p)u
(η;
p)e
a(p)u
(2π)3/2
d3 p (−)
†
(+)
(η;
p)
+
a
(−p)u
(η;
p)
eiÔ·Ü .
(2.14)
a(p)u
=
(2π)3/2
種々の交換関係は
a(p), a† (q) = iδ(3) (p − q),
(2.15)
[φ(η, x), ∂η φ(η, y)] = iδ(3) (x − y),
(2.16)
......,
などで与えられる。ここで、a† (p), a(p) はそれぞれ生成、消滅演算子であり、真空は
a(p)|0 = 0,
(2.17)
で定義される。このような真空の定義は、モード関数の選び方に依存していることに注意しよう。
いまの場合、(2.13) のような選び方が「自然」であるとするのには根拠がある。それは、Minkowski
10
2 4 次元理論における背景重力波
時空の等長変換群である Poincaré 群の作用に対して、このような真空が不変なことである。ある
いは、モード関数が時間推進の Killing ベクトル ∂η の固有関数になっていることである。いずれ
にせよ、Minkowski 時空のもつ高い対称性が鍵となっている。Minkowski 時空だけで場の理論を
考える場合には、真空の定義ということを特に意識する必要はなかった。しかし、すぐわかるよ
うに、曲がった時空で場の理論を扱う場合にはこのことが重要になってくる。
場 (のフーリエ成分) φ(η; p) = a(p)u(−) (η; p) + a† (−p)u(+) (η; p) の 2 乗の真空期待値は、ゼロ
でない有限の値をもつ:
2
0||φ(η; p)|2 |0 = u(+) (η; p)
1
.
2p
=
(2.18)
調和振動子のゼロ点振動、真空の量子ゆらぎ (vacuum fluctuation) である。
Bogoliubov 変換
いま見たように、自由なスカラー場の正準量子化はたやすい作業であった。これと同じことを膨
張宇宙のバックグラウンドで行うと、量子論的な粒子生成という概念に出会う。一般に曲がった時
空には、Minkowski 時空にはあったような対称性がない。例えば、定常でない（時間的な Killing
ベクトルがない）時空では、時間座標の「自然な」選び方ということについて、指導原理になる
ようなものがない。したがって、曲がった時空では全時空に渡る一意的な真空の定義は存在せず、
真空や粒子数の定義に任意性が残る。
Fig.2.1 のように膨張する一様等方宇宙を考えてみよう。領域 1 と領域 2 では、真空の定義が異
(+)
(−)
なっているであろう。領域 1 でのモード関数を uÔ , uÔ 、消滅、生成演算子を a(p), a† (p) とし
て、この領域での真空を
a(p)|01 = 0,
(2.19)
によって定義しよう。領域 2 ではモード関数を vÔ , vÔ 、消滅、生成演算子を b(p), b† (p) とし、
ここでの真空は
(+)
(−)
b(p)|02 = 0,
(2.20)
で定義する。ホライズンより小さな波長 (p aH) は、時空が曲がっていることを感じないであろ
う。あるいは、膨張を非常にゆっくりとしか感じないと言ってもよい。このような波長にとって時
空は Minkowski のようなものだから、真空や粒子の個数の概念にあいまいさはない。そこで、場の
(+)
(−)
短波長でのふるまいから真空を定義するのが適切である (adiabatic vacuum [11])。 uÔ , uÔ
(+)
(−)
も vÔ , vÔ
も、同じ場の方程式の解に対する 2 つの異なる完全直交系にすぎないから、互い
に線形変換で結ばれている。それを
(−)
vÕ
(+)
vÕ
=
Ô
=
Ô
(−)
(+)
αÕÔ uÔ
+ βÕÔ uÔ
α∗ÕÔ uÔ
∗
+ βÕÔ
uÔ
(+)
(−)
,
(2.21)
,
(2.22)
2.1. 宇宙膨張による量子論的粒子生成
11
Figure 2.1: スケールファクター a(η) で膨張
と書くことにしよう。この変換を Bogolubov 変換といい、係数 α, β 達を Bogoliubov 係数という。
ある時刻でのモード関数を別の時刻のモード関数の線形結合で表したとき、符号が逆の振動数を
もつモードが混入する場合に、係数 β が現れることに注意しよう。消滅、生成演算子に関しては
∗ †
a(p) =
b (q) ,
(2.23)
αÕÔ b(q) + βÕÔ
Õ
(2.24)
α∗ÕÔ b† (q) + βÕÔ b(q) ,
a† (p) =
Õ
となり、逆変換は
b(p) =
Õ
†
b (p) =
Õ
∗ †
a (q) ,
αÔÕ a(q) − βÔÕ
(2.25)
α∗ÔÕ a† (q) − βÔÕ a(q) ,
(2.26)
である。また、Bogoliubov 係数は次の関係をみたすことが容易にわかる。
αÔ1 Õ α∗Ô2 Õ − βÔ1 Õ βÔ∗ 2 Õ = δÔ1 Ô2 ,
Õ
(αÔ1 Õ βÔ2 Õ − βÔ1 Õ αÔ2 Õ ) = 0.
Õ
(2.27)
(2.28)
さて、それぞれの領域での個数演算子は NÔ,1 = a† (p)a(p), NÔ,2 = b† (p)b(p) と書ける。状態が
領域 1 で真空 1 0|NÔ,1 |01 = 0 であったとしても、領域 2 での粒子数の期待値は
|βÔÕ |2 ,
(2.29)
1 0|NÔ,2 |01 =
Õ
となって、一般にこれは 0 でない。この結果は、宇宙膨張により粒子が生成されることを示して
いる1 。なお、この |β|2 という量は、生成粒子の「位相空間における数」である。もし、初期状態
1
graviton の場の方程式が conformal 不変でないことは重要である。例えば、一様等方な膨張宇宙の中では、∇ν Fµν = 0
に従うベクトル場 Aµ をつくることはできない [81]。∇ν Fµν = 0 は (4 次元では)conformal 不変であるから、バック
グラウンドが膨張しても場の方程式の解は conformal factor の何乗かをかけた分の変化しかせず、異なる符合の振動数
モードが混じり合うことが決して起こらないからである。一般に、conformally flat な時空で conformal 不変な場の方
程式に従うような粒子をつくることはできない [73]。
12
2 4 次元理論における背景重力波
として運動量 q をもつ粒子が nÕ 個ずつあるような状態 |s = |{nÔ1 , nÔ2 , · · · } をとったら、
s|NÔ,2 |s =
(|αÔÕ |2 + |βÔÕ |2 )nÕ + |βÔÕ |2 ,
(2.30)
Õ
となる。右辺の第 1 項は元からあった粒子数 nÔ が変化することを表しており、第 2 項は、それに
加えて、真空の量子ゆらぎが増幅され粒子が生成されていることを表している。特に、空間的に
一様等方な宇宙を考えているのならば、重力場が粒子に運動量を受け渡すことはあり得ないので、
αÔÕ = αÔ δÔÕ , βÔÕ = βÔ δÔÕ という形になる。そのときには、(2.30) は (1 + 2|βÔ |2 )nÔ + |βÔ |2 と
なる。
重力場が（急激に）変動することで、このように graviton が生成されたのである。これは、急
激に変動する電磁場により photon が生成される現象に似ている。さて、ここでひとつ述べなけれ
ばいけないことがある。もし重力場が非常にゆっくりと、断熱的に変化したのならば、粒子生成
は起こらないだろう。つまり、宇宙膨張の時間スケール T に対して a/p T をみたすような
大きな p に対して、βÔ ∼ 0 であろう。これはきわめて一般的な性質である [11, 72]。
2.2
インフレーション起源の重力波
ホライズンの外での量子ゆらぎ
ハッブルパラメーターが一定の、de Sitter 的なインフレーションをしている宇宙を考えよう。ス
ケールファクターを conformal time で書くと、
a(η) =
−1
,
Hη
η < 0,
(2.31)
となる。この de Sitter 時空におけるモード関数は次のように選ぶのが適切である。
H ±ipη
i
(±)
.
up (η) = √ e
η±
p
2p
(2.32)
±ipη /√2p とふるまうことから、このモード関数
ホライズンの十分内側 p|η| 1 で a(η)u±
p (η) ∼ e
で真空を定義してよいだろう。de Sitter 時空は、もちろん正の宇宙項をもつ曲がった時空である
が、実のところ、Minkowski 時空と同じく対称性がきわめて高い (4 次元では 10 個の Killing ベク
トルをもつ)。この対称性と関連して、(2.32) で定義される真空は、de Sitter 時空の等長変換群で
ある de Sitter 群 O(4, 1) の作用に対して不変であることを指摘しておく。
vacuum fluctuation について分析しよう。それは次のように計算できる。
2
(+) 2
0| a(p)up(−) + a† (−p)u(+)
|0
=
u
p
p =
1
H2
+
.
2pa2 2p3
(2.33)
第 1 項が Minkowski 時空での量子ゆらぎに対応していることは明らかであるが、この項は宇宙膨
張により急激に小さくなる。ホライズンの十分外に出てしまうと、第 2 項が効くことにより量子
ゆらぎの振幅は一定値 H 2 /2p3 をとることがわかるであろう。したがって、ホライズンの外側で
2.2. インフレーション起源の重力波
13
重力波の (単位 log スケールあたりの) 振幅は、前節で述べた規格化を思い出して
2
4πp3 2
2
H
PGW (p) ≡
hp = 2
,
3
(2π)
MPl 2π
(2.34)
となる。この量は、重力波のパワースペクトラム (power spectrum) と呼ばれる。重力波の振幅は、
インフレーション中にホライズンの外に出ると一旦は凍結される。そのあと宇宙が進化するうち
に、再びホライズンの内側に入ってきた重力波をわれわれは観測するのであるが、そのときに振
幅は時間発展している。
計算テクニック – 2 つの簡単な例 –
例 1) de Sitter インフレーション期から輻射優勢期へ
η = η0 で、インフレーション期から輻射優勢期に突然移り変わることを考えよう [2]。すなわ
ち、スケールファクターは
−1/Hη
− ∞ < η < η0
,
(2.35)
a(η) =
2
(η − 2η0 )/Hη0
η0 < η
という変化の仕方をする。このとき、a(η) は 1 階微分まで連続であるが、2 階微分は不連続であ
る。したがって、η = η0 で時空の曲率は不連続につながっている。
de Sitter 時空のモード関数は (2.32) であった。一方、輻射優勢期のモード関数は次のように選
べばよい。
η02
H
e±ipη .
vp(±) = √
2p 2η0 − η
(2.36)
−1 ±ipη
√
e
であるから、真空を定義するのに適切である。η > η0 であるひとつの
2p
(−)
v
に注目し、これが η < η0 の時期には (2.32) の線形結合で書けているとする。
これは、av (±) =
モード、例えば
この 2 つの波動関数は、η = η0 で 1 階微分まで一致していなくてはならない。したがって、η = η0
で
(+)
vp(−) = αp u(−)
p + βp up ,
∂η vp(−)
=
αp ∂η u(−)
p
+ βp ∂η u(+)
p ,
(2.37)
(2.38)
が成り立っていることを要請する。この連立方程式を解けば、Bogoliubov 係数を計算することが
できる。結果は
αp = 1 −
βp =
i
1
− 2 2,
pη0 2p η0
1
e−2ipη0 ,
2p2 η02
(2.39)
(2.40)
となる。|αp |2 − |βp |2 = 1 が成り立っていることを確かめるのは、計算のチェックによいだろう。
生成された graviton のうち、エネルギー p をもつものの個数は
|βp |2 =
1
,
4p4 η04
(2.41)
14
2 4 次元理論における背景重力波
である。しかしながら、あるカットオフ周波数 pcut があって、p pcut に対してのみこの表式が
正しいことに注意しよう。というのも、いまのような de Sitter インフレーション期から輻射優勢
期へと突然に移り変わる近似のもとでは、すでに述べたとおり ä が不連続につながっている。よ
り現実的には、a はさらに滑らかに変化すると考えてよく、その変化のタイムスケールと比べて短
い波長の graviton は生成されないであろう。そこで、p の大きいところでの生成量は、この表式
よりも実際のほうが小さくなるのである。
例 2) インフレーション中にハッブルパラメーターが変化する
インフレーション中に、一般にはハッブルパラメーターはわずかに変化する。そこで、ハッブ
ルパラメーターが突然変化するという近似のもとで、Bogoliubov 係数を計算してみよう。まず、
ハッブルパラメーターを H = H1 として、計量は
ds2 =
1
−dη 2 + δij dxi dxj ,
2
(H1 η)
η < η0 ,
(2.42)
である。η = η0 にハッブルパラメーターが突然変化し、H2 になったとすると、計量は
ds2 =
=
1
2
i
j
+
δ
dx
dx
−dη̃
ij
(H2 η̃)2
1
−dη 2 + δij dxi dxj ,
2
[H2 η + (H1 − H2 )η0 ]
η > η0 ,
(2.43)
と書ける。ここで新たな座標 η̃ = η + (H1 /H2 − 1)η0 を導入した。いまの場合、スケールファク
ターの連続性は非常に悪い。a は連続であるが、ȧ はすでに不連続である。η < η0 と η > η0 のそ
れぞれの領域で、モード関数は
H1
i
,
(2.44)
φ(±) = √ e±ipη η ±
p
2p
H2 ±ipη̃
i
(±)
,
(2.45)
= √ e
η̃ ±
φ̃
p
2p
である。 先ほどと同様にして、η = η0 で
φ̃(−) = αp φ(−) + βp φ(+) ,
∂η φ̃(−) = αp ∂η φ(−) + βp ∂η φ(+) ,
(2.46)
(2.47)
という要請をして接続する。こうして、次の Bogoliubov 係数を得る。
i δH −2ipη0 −ipη0 δH/H2
e
,
2pη H
0 1
i δH
=
1+
e−ipη0 δH/H2 .
2pη0 H1
β (4D) =
(2.48)
α(4D)
(2.49)
ここで、δH = H1 − H2 と書いた。この結果は、あとでブレーンワールドにおける 5 次元の計算
結果との比較に使われるため、β (4D) などという記法を使った。
15
3 高次元時空の考え方
われわれの住む 4 次元時空が高次元時空の中に埋め込まれている、という考え方は、近年大きな
注目を集めてきた。過去には、Kaluza, Klein らによる「古典的」な高次元時空のモデルがあった。
現代に目を移せば、重力をふくむ統一理論の有力な候補として超弦理論、M 理論があるが、これ
らは高次元の時空でのみ矛盾のない理論である。そのような fundamental thory に触発されて研
究がはじまった高次元時空の「新しい」アイデア– ブレーンワールドシナリオ – は、もはや素粒
子論の分野だけでなく、相対論・宇宙論の分野にまで大きな影響を与えている。そして、ブレーン
ワールドの考え方にもとづいた宇宙モデルや高次元のブラックホールなど、興味深い話題が研究
されている。
この章では、ブレーンワールドシナリオの基礎を解説する。まず、§3.1 で Kaluza-Klein 的な高次
元時空の描像について述べる。§3.2 では、ブレーンに物質場を局在させるということに関して、あ
るモデルを説明する。ADD モデルについてはごく簡単に §3.3 に記す。§3.4 は、Randall-Sundrum
モデルについて述べた節である。特に、RS2 モデルは重力理論的な観点から面白く、この修士論
文の残り全体を通しての議論の土台となるものである。
なお、Kaluza-Klein 理論の相対論的側面からのレビューとして [71] がある。また、ブレーンワー
ルドシナリオについて主に素粒子現象論的な観点から書かれたレビューとしては [78] がある。
3.1
Kaluza-Klein 的アプローチ
空間的な余剰次元をもつモデルは、20 世紀初頭に G. Nordström と T. Kaluza、O. Klein らに
よって野心的に研究された [40]。その「古典的」理論とは次のようなものである。まず、(4 + d)
次元の時空が
E4+d = M 4 × K d ,
(3.1)
のように直積で書ける構造をしていると仮定する。ここで、M 4 は 4 次元の時空、K d は d 次元のコ
ンパクトな空間で、その典型的なスケールを L とする (Fig.3.1)。直積の構造に対応して、計量は
ĜAB (x̂)dx̂A dx̂B = gµν (x)dxµ dxν + γαβ (x, y)dy α dy β ,
(3.2)
と選ぶことにする。x は 4 次元の座標で、µ, ν は 0 から 3 までを走る。また、y は余剰次元の座標
を表しており、α, β は 4 から 3 + d までを走る。以下では、M 4 は Minkowski 時空と思ってよい。
このようなセットアップのもとで、簡単な (4 + d) 次元のスカラー場の action
S=
4+d
d
1
m2 2 g4+d 4
A
φ̂ −
φ̂ ,
x −Ĝ − ∂A φ̂∂ φ̂ −
2
2
4!
(3.3)
16
3 高次元時空の考え方
を考え、4 次元の有効理論としてどのようなものが得られるのか見てみよう。そのためには、φ̂ を
次のように展開する。
φ̂(x, y) =
φ{n} (x)Y{n} (y).
(3.4)
{n}
ここで、Y{n} は、K d 上の Laplace 演算子 K d の固有関数で、規格直交化されているものとする:
K d Y{n} (y) = −
λ{n}
Y (y).
L2 {n}
(3.5)
簡単のために、余剰次元はトーラス状にコンパクト化されているとしよう。すなわち、K d = T d
とし、半径はすべて等しく L としよう。このとき、固有関数 Y{n} とその固有値 λ{n} は
1
i nα y α
,
(3.6)
Y{n4 ,n5 ,...,n3+d} = √ exp
L
Vd
λ{n4 ,n5 ,...,n3+d} = n24 + n25 + · · · + n23+d ,
(3.7)
となる。nα 達は整数値をとり、Vd = (2πL)2 はトーラス T d の体積である。固有値が λ0 = 0 とな
る余剰次元方向に一様なモード（ゼロモード）と、それ以外 λ{n} > 0 のモード（KK モード）が
存在することがわかるだろう。このモード展開を action (3.3) に入れ、K d に渡って先に積分して
しまうと、次のような action を得る。
1
m2
g4+d
4 √
(φ0 )2 −
(φ0 )4
S =
d x −g − (∂µ φ0 )2 −
2
2
Vd 4!
1 2 1
λ
g
{n}
2
2
4+d
2
∂µ φ{n} +
φ{n} − · · · .(3.8)
m2 + 2 φ{n} −
(φ0 )
−
2
2
L
Vd 4!
n=0
n=0
ここから読み取れるのは、KK モードの質量が
m2KK = m2 +
λ{n}
,
L2
(3.9)
と表されることと、4 次元の有効理論として見たときの結合定数 g4 が
g4 =
g4+d
,
Vd
(3.10)
と書けることである。Kaluza-Klein 理論ではすべての場が余剰次元方向にも拡がるとしているの
で、(3.9) のような mass spectrum (Kaluza-Klein タワーと言う) がすべての粒子について現れる。
このような KK モードの兆候は、∼ 1/L 程度のエネルギースケールで現れるはずである。しかしな
がら、標準模型の粒子についてそのような兆候は観測されていないことから、1/L O(100 GeV)
であるべきことが言える。すなわち、余剰次元は
L 10−16 cm
(3.11)
程度にコンパクト化されていなくてはならない。あるいは、L はプランク長 LPl ≈ 8.10× 10−33 cm
程度と通常は考える。いずれにせよ、この「古典的」Kaluza-Klein 理論においては、余剰次元の
サイズは「小さい」。
3.2. ブレーン上に局在した物質場
17
Figure 3.1: Kaluza-Klein 理論。余剰次元は非常に小さくなくてはならない。
なお、もともとの Kaluza-Klein 理論の動機は、4 次元の Einstein 重力と Maxwell の電磁気学を
高次元時空を導入することで統一することにあった。元来のモデルは、S 1 にコンパクト化された
余剰次元を加えた 5 次元時空での Einstein 重力理論は 4 次元の Einstein-Maxwell 理論に等価であ
り、計量の成分 Ĝ0µ が U (1) ゲージ場 Aµ とみなせる、というものである。
3.2
ブレーン上に局在した物質場
前節で説明した「古典的」Kaluza-Klein 理論には、ブレーン上に局在した物質場、という概念
はなかった。高次元的にふるまう場に対し、余剰次元を非常に小さくコンパクト化することによっ
て 4 次元の理論を再現していたのであった。しかしながら、ブレーンワールドシナリオでは、物
質場をブレーン上に局在化させるというアイデアが重要である。そこで、この節では、ひとつの
例として M 4 × R1 のような（余剰次元が無限に大きい）構造をもつ 5 次元時空において、フェル
ミオンをブレーン上に局在化させるモデルを紹介しよう。
まず、action が次のように与えられる実スカラー場の理論を考える。
1
Sϕ = d4 xdz − (∂A ϕ)2 − V (ϕ) .
(3.12)
2
ここで、z は余剰次元を表しており、ポテンシャル V (ϕ) は、ϕ = ±v で極小値をとる Fig. 3.2 の左
の図のような形を仮定する。この理論には、z にのみ依存し、ϕc (z → ∞) = v, ϕc (z → −∞) = −v
をみたす古典解が存在する (kink 解)。その様子は、Fig. 3.2 の右の図に描かれている。この解は、
2 つの真空を分けるドメインウォールが z = 0 にあるような解を表しており、余剰次元方向の並進
対称性を壊しているが、4 次元の Poincaré 対称性は保っている。具体的には、例えば
V =
2
λ 2
ϕ − v2 ,
4
(3.13)
に対して kink 解
ϕc (z) = v tanh
が存在する。
λv 2
z ,
2
(3.14)
18
3 高次元時空の考え方
Figure 3.2: ポテンシャル V (ϕ)（左）と kink 解（右）
このモデルにフェルミオンを導入しよう1 。スカラー場 ϕ との間には Yukawa 相互作用を入れ、
フェルミオンについて次のように 5 次元的な action を書く。
Sψ = d4 xdz −ψ̄ΓA ∂A ψ − gϕψ̄ψ .
(3.15)
ドメインウォールのバックグラウンドで、Dirac 方程式は
ΓA ∂A ψ + gϕc (z)ψ = 0,
(3.16)
となる。このフェルミオンの 4 次元的な質量 m は、γ µ ∂µ ψ = −mψ によって与えられ、m = 0 の
解、すなわちゼロモード ψ0 が存在する。それは
iγ 5 ∂z ψ0 = gϕc (z)ψ0 ,
(3.17)
をみたす。解としては、γ 5 ψ0 = +iψ0 をみたす 4 次元的な見方で left-handed になるものと、
γ 5 ψ0 = −iψ0 をみたす right-handed のものとが存在する。そこで、4 次元の left-handed Weyl ス
ピノール ψL もしくは right-handed Weyl スピノール ψR を用いて、解は
z
ψ0 = exp ∓
dz gϕc (z ) ψL,R ,
(3.18)
0
という形になる (符号は “L” のときマイナス)。|z| の大きいところで ψ0 ∼ exp (−gv|z|) のように
指数関数的に小さくなる解が求めるものであるから、ここでは left-handed のものを採用する。こ
のように、フェルミオンのゼロモードを z = 0 近傍に局在させることができた（もちろん、現実
的なモデルには、局在化されたフェルミオンに小さな質量を与えるメカニズムが必要である）。
しかしながら、KK モードはドメインウォールに束縛されておらず、|z| = ∞ に逃げていくこ
とができる。したがって、高エネルギーで KK モードが励起された場合には、例えば、e+ e− →
nothing のような過程が起こり得る。
1
5 次元時空のフェルミオンは 4 次元と同じく 4 成分である。記法は次のように定めた。4 次元のときの通常の Dirac
行列
−i
−iσ j
i
5
0 1 2 3
γ0 =
, γj =
,
γ
=
γ
γ
γ
γ
=
,
−i
−i
iσ j
に対して、5 次元のガンマ行列は Γµ = γ µ , Γz = −iγ 5 というように、Γz を加えたものを全体のガンマ行列とすれば
よい (D 次元のスピノールについては [74] の 2 巻 Appendix B 参照)。この記法では (γ 5 )2 = −1 だから γ 5 の固有値
は ±i である。4 次元的なスピノールの、固有値 +i をもつほうが left-handed、固有値 −i をもつほうが right-handed
となる。
3.3. 大きな余剰次元 –ADD モデル–
3.3
19
大きな余剰次元 –ADD モデル–
近年、N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G. Dvali (ADD) らによって、新しい現象論的モデル
が提唱された [4, 5]。彼らのモデルは、張力を無視できるようなブレーンを、コンパクトで平坦な
余剰次元をもつ高次元時空2 に埋め込んだものである（張力とは、ブレーンが単位体積あたりにも
つエネルギー密度のことである）。物質場をブレーンに局在させ、重力のみが余剰次元に伝わると
する考えにより、比較的大きなサイズの余剰次元が許される。ここに、Kaluza-Klein 的描像が復
活した。
ADD モデルの動機として、hierarchy 問題を解決するということが挙げられる。すなわち、こ
のモデルは、弱い相互作用のスケール MEM = (GF )−1/2 ≈ 300 GeV とプランクスケール MPl ≈
1018 GeV との間に、これほどまでに膨大な差がある理由を説明できる新たな可能性を開くのであ
る。
少し詳しく見ていくことにしよう。D = 4 + d 次元の重力場の action は
(MD )D−2
dD x −g(D) (D) R,
S=
2
(3.19)
と書ける。4 次元的な長距離の重力は、graviton のゼロモードを介して伝わるとする。ゼロモード
graviton の波動関数は余剰次元に渡って一様である。そこで、計量は余剰次元の座標には依らな
いとして、(3.19) の積分のうち、余剰次元の部分を先に実行してしまうことができる。そして、4
次元の effective action として
(MD )D−2 Vd
d4 x −g(4) (4) R,
Seff =
(3.20)
2
を得る。ここで、Vd は余剰次元の体積であり、簡単のためにすべての余剰次元が同じサイズであ
ると仮定すれば、Vd ≈ Ld である。この effective action から、D 次元の “fundamental mass” MD
とわれわれの 4 次元時空のプランク質量 MPl とが、
MPl = MD (MD L)d/2 ,
(3.21)
のように関係づけられることがわかる ((3.10) と比較してみよう)。この関係から、“fundamental
−1
が余剰次元のサイズより大きければ、プランク質量を MD よりはるかに大きくでき
length” MD
ることが容易にわかる。
いま、MD ≈ 1 TeV ≈ MEW にとってみよう。すると、hierarchy 問題は、実は大きな余剰次元
のために現れたのだという説明ができるであろう。もちろん、これは単なる「言い換え」に過ぎ
ない。なぜなら、余剰次元が大きい理由を説明しなくてはならないからである。
MD ≈ 1 TeV を仮定すると、(3.21) からただちに
L≈
−1
MD
MPl
MD
2/d
≈ 1032/d × 10−17 cm,
(3.22)
という評価を得る。d = 1 のとき、L ≈ 太陽系のサイズとなってしまい、明らかに現実と矛盾す
る。d = 2 は L ≈ 1 mm を与えるが、これは悪くない。Newton の逆 2 乗則が O(mm) 以下で
2
ブレーンが埋め込まれている高次元時空全体のことをバルクと言う。以下ではこの呼び名を使うことがある
20
3 高次元時空の考え方
確かに成り立っているかどうかが、未だ精度良く検証されてはいないからである [36]。あるいは、
MD ≈ 30 TeV ととった場合には L ≈ O(µm) となる。今後、短距離における Newton の逆 2 乗則
からのずれを測定する実験が進歩することで、この程度のサイズの余剰次元を検証できる可能性
はあり、たいへん興味深い。
さらに他の場合はどうであろうか。再び MD ≈ 1 TeV ととることにして、d = 3 では L ≈ 10−6 cm
となる。このスケールでニュートン則の実験を行うことはまず無理であろう。超弦理論が定式化
されている次元 D = 10、つまり d = 6 では L ≈ 10−12 cm となる。
大きな余剰次元が許されるということの鍵になったのは、ブレーンに物質場を局在させるとい
う考え方であった。重力については短距離における実験的制限が弱い、というところに抜け道が
あったわけである。
Brane
Figure 3.3: ADD モデル。余剰次元は大きいことが許される。
3.4
Randall-Sundrum モデル
1999 年に L. Randall, R. Sundrum によって提案された 2 つのモデル [75, 76] は、
• ブレーンの張力 (自己重力) を考慮にいれ、
• 負の宇宙項をもつ曲がったバルク時空を考える、
ということを特徴とする。また、余剰次元の数は 1 とする。ブレーンの厚みを無限に小さいとみ
なすと、それはデルタ関数的な重力源としてはたらき、時空の幾何学として面白い結果が得られ
る。これから、その Randall-Sundrum モデルについて説明しよう。
3.4.1
2 枚のブレーンと新しいコンパクト化の方法: RS1
まずは、余剰次元を S 1 /Z2 にコンパクト化し、その固定点に 2 枚のブレーンを配置したモデル
[75] について述べよう。これは通称で RS1 モデルと呼ばれることがある。余剰次元の座標を y と
して、固定点 y = 0, y = yc にブレーンがあるとする (Fig. 3.4)。S 1 /Z2 コンパクト化というのは、
Hořava-Witten モデルの考え方を踏まえてのものである。6 章で Randall-Sundrum モデルの宇宙
論的な拡張を行う際などにも、このように Z2 対称性を仮定するのであるが、実際問題として、そ
れによりブレーンのところでの境界条件が簡単になる。
3.4. Randall-Sundrum モデル
21
Identify
Figure 3.4: S 1 /Z2 コンパクト化。黒丸が固定点である。
[75] で用いられた action は次のようなものである。
S = Sgrav + Svis + Shid ,
M53 yc
Sgrav =
dy d4 x −g(5) (5) R − 2Λ(5) ,
2 −yc
√
4 √
d x −gvis (Lvis − Vvis ), Shid = d4 x −ghid (Lhid − Vhid ).
Svis =
(3.23)
(3.24)
(3.25)
Shid , Svis は、それぞれ y = 0 にあるブレーンと y = yc にあるブレーンの action であり、ghid , gvis
は各ブレーン上の induced metric の determinant を表している。L はブレーン上の物質のラグラ
ンジアンであるが、いまは定数の “vacuum energy” Vvis , Vhid のみを考えることにする。
上の action を変分して得られるアインシュタイン方程式は
√
(5)
vis µ ν
−g(5) (5) GAB + Λ(5) gAB
δA δB δ(y − yc )+
= −M5−3 Vvis −gvis gµν
√
hid µ ν
δA δB δ(y) ,
(3.26)
+Vhid −ghid gµν
である。計量の形を
(5)
gAB dxA dxB = a2 (y)ηµν dxµ dxν + dy 2 ,
(3.27)
と置いて、(3.26) の解を求める。この計量では、yc はそのまま 2 枚のブレーン間の固有距離になっ
ている。これがコンパクト化のスケールに対応している。また、4 次元の部分は Poincaré 対称性が
明確に保たれているような形に書いた (ブレーン上が Minkowski 時空になっている)。アインシュ
タインテンソルの成分は
a 2 a (5)
(5)
gµν ,
Gµν = 3
+
(3.28)
a
a
2
a
(5)
Gyy = 6
,
(3.29)
a
(5)
Gyµ = 0,
(3.30)
22
3 高次元時空の考え方
であり、これらから解くべき方程式を整理すると、結局
2
a
6
= −Λ(5) (> 0),
a
a
= −M5−3 [Vvis δ(y − yc ) + Vhid δ(y), ]
3
a
(3.31)
(3.32)
ということになる。ここで、 は y で微分したことを表す。(3.32) は、ブレーンの位置で計量の微
分が不連続になっていることを示しており、y = 0 もしくは y = yc の近傍で積分すれば、そこで
の境界条件を与える式になっていることがわかるであろう。(3.31) から Λ(5) は負であるべきで、こ
れを Λ(5) = −6/2 と書くと、これらをみたす解として
Vhid
a(y) = e−|y|/
,
6M53
≡ σ,
= −Vvis =
(3.33)
(3.34)
を得る。‘hid’ で表される正張力ブレーンと ‘vis’ で表される負張力ブレーンがあり、それらの張力
の絶対値は等しくなくてはならないということがわかる。さらに、(3.34) により、バルクの宇宙項
とブレーンの張力は
Λ(5) = −
σ2
,
6M56
(3.35)
の関係で結ばれている。ブレーン上が Minkowski 時空になっているためには、宇宙項と張力の間
にこのような fine-tuning が必要である。2 枚のブレーンの間は、負の宇宙項をもつ時空 (Anti-de
Sitter(AdS) 時空) になっていて、その半径が である。a(y) のことを “ワープファクター” と呼
んでいる。
(3.27) の代わりに、z = ey/
と座標変換することで得られる
ds2 =
2 ηµν dxµ dxν + dz 2 ,
2
z
(3.36)
という計量もよく利用されるので、記しておく。この座標系で見ると、正張力ブレーンは z = に
あることになる。
スケール間の指数関数的な階層性
RS1 モデルが、どのように hierarchy 問題に対する解決策を提示するのかを見てみよう。それに
は、この時空の幾何学が重要な役割を果たしている。重力相互作用の強さを知りたいので、(3.27)
に摂動を加える。
ds2 = a2 (y) ηµν + hµν (xλ , y) dxµ dxν + dy 2 , a(y) = e−|y|/
.
(3.37)
いまは radion にまつわることは考えず、ブレーン間の距離は yc に固定されているとする。また、
∂ν hµ ν = 0, hµ µ = 0 なるゲージを取ることにする3 摂動の従う方程式は、線形化されたアインシュ
3
一般には、バルクでこのようなゲージをとると、ブレーンの位置が y = const. になるとは限らない (Gaussian
normal 座標になっていない) [27]。ブレーン上に (張力以外で) 物質がなければ、このゲージをとることとブレーンの
位置が y = const. になることが両立する。
3.4. Randall-Sundrum モデル
23
タイン方程式より導かれて
m2 2
4 2
h
a
+ 2 a hµν = 0,
(3.38)
µν
2
a
である。ただし、質量 m は η ρσ ∂ρ ∂σ a2 hµν = −m2 a2 hµν によって決まる。一方、ブレーンの
位置 y = 0, yc での境界条件は
a2 hµν
−
2
a hµν + 2−1 a2 hµν = 0,
(3.39)
と書かれる。(3.38),(3.39) をみたす解としてゼロモード m = 0 が存在して、それは
a2 (y)h0µν ∝ e−2|y|/
,
(3.40)
である。すなわち、ゼロモードはワープファクターと同じ y 依存性をもつので、h0µν 自体は y に依
存しないことがわかった。ゼロモードのこのような y 依存性は、負張力ブレーン上の物質同士の
重力相互作用が、正張力ブレーン上のそれと比べて弱いことを示唆している。
ブレーン上での重力結合定数は、Sgrav を y について先に積分したものから読み取ればよい。
y = yB (yB = 0 or yc ) にあるブレーンが「われわれの世界」だとすると、ワープファクターが
y = yB で 1 に規格化されているように、ブレーン上では x µ = a(yB )xµ という座標を用いるべき
である。このことに注意すれば、正しい積分測度を得ることができる。有効理論のゼロモードセ
クターは、
1 ρσ 0
M53 yc
a2 (yB )
0 µν
eff
4 − η ∂ρ hµν ∂σ h
Sgrav =
dy d x −g(5) 2
2 −yc
a (y)
4
yc
3
2
√
a (y)
M5
· d4 x −gB RB ,
dy 2
(3.41)
=
2 −yc a (yB )
と計算できるので、y = yB のブレーン上にいるわれわれにとってのプランク質量は
yc
1
a2 (y)
2
= M53 1 − e−2yc /
2
,
MPl
= M53
dy 2
a (yB )
a (yB )
−yc
で与えられることがわかる。
(3.42) によると、負張力ブレーンが「われわれの世界」だとすれば
2
MPl
= M53 e2yc /
− 1 ,
(3.42)
(3.43)
ということになる。そこで、コンパクト化のスケールを yc / ∼ 35 程度に選べば、M5 ∼ −1 ∼
O(TeV) となって階層性がなくなる。このように、RS1 モデルは、階層性を指数関数型の幾何学
的因子に押し込めるという、斬新なアイデアを提示した。これにより、hierarchy 問題は O(10) 程
度の別の階層性を導入しただけで解決されるわけである。
なお、KK モードの波動関数は Bessel 関数 J2 と N2 の線形結合で
y/
a2 (y)hm
) − J1 (m)N2 (mey/
),
µν ∝ N1 (m)J2 (me
(3.44)
24
3 高次元時空の考え方
と与えられる。係数 (の比) は y = 0 での境界条件をみたすように選んだ。これが同時に y =
yc での境界条件もみたしていなくてはいけないことから、mass spectrum が決まる。すなわち、
J1 (m)N1 (meyc /
) − N1 (m)J1 (meyc /
) = 0 をみたす m しか許されない。これをみたす m は
m ∼ −1 e−yc /
(3.45)
程度の間隔で現れる。ただし、これは正張力ブレーン上で測った質量 (の差) であるから、負張力
ブレーン上の観測者が測った場合には、a−1 ∆m ∼ −1 という値を得ることに注意しよう。
RS1 モデルと、次に説明する RS2 モデルに関して、模式図と因果構造を Fig.3.5 と Fig. 3.6 に
記した。
RS1
RS2
Figure 3.5: RS1 モデル（左）と RS2 モデル（右）。RS1 モデルでは、大きさが同じで符号が反対
の張力をもつブレーンが 2 枚、有限の距離を離れて配置されている。RS2 モデルは、負の張力を
もつブレーンを無限遠にもっていったものである。
3.4.2
無限に大きな余剰次元: RS2
通称 RS2 と呼ばれるモデルは、RS1 におけるコンパクト化のスケール yc を無限大 yc → ∞ にす
ることで得られる [76]。負張力ブレーンは無限遠 (実は Cauchy ホライズン) に飛ばされ、正張力
ブレーン 1 枚のみがあるようなモデルである。コンパクト化していないのだから、モデルからひ
とつスケールが消えたことになっており、hierarchy 問題の解決には何ら役立っていない。実際、
(3.42) から
2
MPl
= M53 1 − e−2yc /
→ M53 ,
(3.46)
という関係がなりたつ。−1 と M5 の間に大きな階層性を導入しない限りは、問題は解決されない。
このモデルの面白さのひとつは、無限に大きな余剰次元を導入したのにもかかわらず、低エネ
ルギーで 4 次元の Newton 重力 (あるいは一般相対論) を再現するというところにある。余剰次元
が無限に大きい場合、素朴には重力ポテンシャルは V ∝ −1/r2 となることが予期される。しかし
ながら、ゼロモードの波動関数 (3.40) は、yc → ∞ の極限をとっても規格化可能である。このこと
3.4. Randall-Sundrum モデル
25
RS1
RS2
Figure 3.6: Randall-Sundrum モデルの大域的構造。ブレーンを境界にもつような灰色の部分がバ
ルクである。y = ∞ は Cauchy ホライズンになっていることがわかる。
は、ゼロモード graviton がブレーンの近傍に局在していることを示唆している。したがって、ゼ
ロモードを介して行われる重力相互作用については 4 次元的なふるまいをすると考えられる。
もうひとつの面白さは、AdS/CFT 対応 [1] に関連した物理にある。これについては、興味深い
研究 [21, 22, 33, 35] が行われているということを指摘するにとどめ、具体的に紹介することはや
めておく。
RS2 モデルの大域的構造は Fig. 3.6 に示した通りである。負張力ブレーンは無限遠方に持って
いかれたわけであるが、それでもなおこれが y = ∞ での境界条件を与えることに変わりはない。
ブレーンから y = ∞ に向かう時間的測地線を考えよう。xi = const. として、測地線方程式の解は
t(τ ) = tan(τ /),
(3.47)
ln 1 + tan2 (τ /) ,
(3.48)
y(τ ) =
2
となる。y = 0 を出発した「粒子」が y = ∞ にたどり着くまでにかかる時間は、座標時間 t で計
ると無限大である。しかし、有限の固有時間 τ = π/2 で y = ∞ にたどり着いていることがわか
る。このように、y = ∞ はホライズンの性質をもっている。ここでの境界条件は、
「過去側にある
ホライズンを越えて進入する進行波がない」ということを課す場合が多い。
KK gravitons と Newton 則への補正
RS2 モデルにおける graviton の波動関数について調べてみよう。計量の摂動が従う方程式は RS1
のときのものがそのまま使える。見通しをよくするために、z = ey/
, ψ = a3/2 (y)hµν で定義さ
れた量を用いて (3.38),(3.39) を書き直すと、
15
∂2ψ
− 2 ψ + m2 ψ = 0,
2
∂z 4z
3
∂ψ
+ ψ
= 0,
∂z
2 z=
(3.49)
(3.50)
26
3 高次元時空の考え方
となる。このふたつをまとめると
15
3
∂2
− δ(z − ) ψ = m2 ψ,
− 2+
∂z
4z 2
(3.51)
と Schrödinger 方程式の形に帰着する。ポテンシャルは Fig. 3.7 に描かれたような「火山」の形
をしている。この方程式の解として、m = 0 の束縛状態を表すゼロモード
ψ0 ∝ z −3/2 ,
(3.52)
と、m > 0 で連続スペクトルをなす KK モードがある。いずれも、規格化因子を除けば前節で求
めてあった。KK モード関数を規格化因子もふくめて書いておくと4
mz N1 (m)J2 (mz) − J1 (m)N2 (mz)
,
(3.53)
ψm =
2
J12 (m) + N12 (m)
となり、遠方では
ψm ∼
2
sin (mz + phase) ,
π
(3.54)
のように振動的なふるまいをすることがわかる。この KK モード関数は、y = ∞ に逃げていく
graviton、もしくは y = ∞ からブレーンに向かってくる graviton を表している5 。
Figure 3.7: 火山型ポテンシャルと無限遠に伸びる KK モードの波動関数
4
∞
規格化は
2
dzψm ψm = δ(m − m )
と決める。
5
Bessel 関数を Hankel 関数に書き直してみれば、この波動関数が内向き進行波と外向き進行波の両方を含んでいる
ことが容易にわかる。したがって、これは先ほど述べた遠方での境界条件 (ホライズンを越えて進入する進行波がない、
という境界条件) をみたすものではない。
3.4. Randall-Sundrum モデル
27
ブレーン上にある 2 個の質点が KK graviton を交換することで発生する静的なポテンシャルは
∞
2 e−mr
VKK (r) = −G(5) m1 m2
dm a2 (0)hm
(0)
µν
r
0
−1
∞
G(5) m1 m2
≈ −
· const ·
dm2 me−mr
r
0
GN m1 m2 2
· 2,
= −const ·
(3.55)
r
r
である。各 KK graviton が Yukawa 型ポテンシャルをつくることに注意しよう。ニュートン重力
部分に関係するゼロモードの寄与を合わせて、重力ポテンシャルは全体で
α2
GN m1 m2
1+ 2 ,
V (r) = −
(3.56)
r
r
となる。r では補正項が小さいことがわかるであろう。この結果は [76] で与えられていたが、
J. Garriga と T. Tanaka によって詳しく調べられ [27]、補正項の係数まで
22
GN m1 m2
1+ 2 ,
V (r) = −
(3.57)
r
3r
と求められた。また、[21] で M. J. Duff たちは、graviton のプロパゲーターの 1-loop 補正が重力
ポテンシャルに対して r −3 の補正を与えることに注目して、その係数を AdS/CFT 対応を用いて
計算したところ、まったく同じ結果を得た。
ニュートン則は O(mm) のスケールまでは実験的に確かめられている [36] から、(3.57) の補正項
はこのスケールでも小さくなくてはならない。このことから、粗い評価で
0.1 mm ≈ 5 × 1011 GeV−1 ,
(3.58)
2 = M 3 の関係から
という制限が課される。これと、MPl
5
M5 1010 GeV,
という制限をつけることもできる。
(3.59)
28
4 ブレーンワールドにおける重力
この短い章では、前章で説明したブレーンワールドにおける重力を、Randall-Sundrum モデルを
念頭に置いて幾何学的に非常に洗練された方法 [64, 79] でとらえ直す。
ブレーン上の Einstein 方程式
負の宇宙項をもつような 5 次元時空 (バルク時空) (M, gAB ) の中に、4 次元超曲面 (3-ブレーン)
Σ が埋め込まれているような状況を考えよう。Σ 上の induced metric を qAB = gAB − nA nB とす
る。ここで、nA は Σ に垂直な単位ベクトルである (Fig.4.1)。
Gauss 方程式:
(4)
Rµ νρσ =(5) RA BCD qA µ qν B qρ C qσ D + K µ ρ Kνσ − K µ σ Kνρ ,
(4.1)
Codacci 方程式:
Dν Kµ ν − Dµ KB B =(5) RBC nC qµ B ,
(4.2)
から出発しよう。ここで、KAB = 12 Ln gAB = qA C qB D ∇C nD は Σ の外的曲率、Dµ は induced
metric qµν からつくった共変微分である。(4.1) で ν と ρ とを縮約すると、
(4)
Rµν =(5) RAB qµ A qν B −(5) RA BCD nA qµ B nC qν D + KA A Kµν − Kµ A KνA ,
(4.3)
となるので、これから
(4)
Gµν
=
GAB qµ A qν B +(5) RAB nA nB qµν + KA A Kµν − Kµ A KνA
1
− qµν (KA A )2 − K AB KAB − Ẽµν ,
2
(5)
(4.4)
を得る。ただし、
Ẽµν =(5) RA BCD nA nC qµ B qν D ,
(4.5)
と定義した。さらに、5 次元の Einstein 方程式
(5)
1
RAB − gAB (5) R = −Λ(5) gAB + κ2(5) TAB ,
2
(4.6)
をつかうと、
(4)
Gµν
Eµν
2κ2(5) 1
1 A
A B
A B
TAB qµ qν + TAB n n − TA
= − Λ(5) qµν +
qµν
2
3
4
1
+KA A Kµν − Kµ A KνB − qµν (KA A )2 − K AB KAB − Eµν ,
2
(5) A
C B D
=
C BCD nA n qµ qν ,
(4.7)
(4.8)
29
Figure 4.1: (M, gAB ) の中の 3-ブレーン (Σ, qµν )
という関係を得る。ここで、Weyl テンソルの定義式
2 2
(n)
(n)
(n)
(n)
g
Rµανβ =
Rβ]α − gα[ν Rβ]µ −
R gµ[ν gβ]α +(n) Cµανβ , (4.9)
n − 2 µ[ν
(n − 1)(n − 2)
を用いた。Eµν はトレースレスであることに注意しよう。(4.2) と (4.6) から
DA Kµ A − Dµ KA A = κ2(5) TAB nB qµ A ,
(4.10)
という関係があることもわかる。
さて、これからは特定の座標系をとることにしよう。すなわち、w という座標を、w = 0 がブ
レーンの位置になり、nA dxA = dw となるようなものとする。このとき、nA ∇A nB = 0 であるか
ら、nA が接する曲線は測地線になっている。したがって、これは Gaussian normal 座標をとった
ことになっていて、計量は ds2 = qµν dxµ dxν + dw2 という形になる。energy-momentum tensor
については次のような形であるとする:
TAB = SAB δ(w),
(4.11)
SAB = −σqAB + τAB .
(4.12)
すなわち、バルクには宇宙項のみが存在し、ブレーン上には、一定の張力 σ と通常の物質 τµν が
あるとする。物質のほうは、τAB nA = 0 をみたす。この energy-momentum tensor は w = 0 で特
異性をもっていて、Israel の接続条件 [39] によって、外的曲率と関係がつけられている。それは
B
KA − KδA B = −κ2(5) SA B ,
(4.13)
である。記号 [ ] は [F ] = F |w=0+ − F |w=0− を表している。つまり、qµν は w = 0 で連続である
が、その 1 階微分は不連続である。w > 0 サイドと w < 0 サイドの間に Z2 対称性を仮定すること
にして、
κ2(5) 1
SAB − SgAB ,
KAB |w=0+ = −KAB |w=0− = −
(4.14)
2
3
30
4 ブレーンワールドにおける重力
を得る。これを (4.7) に入れることにより次の非常に重要な式が導かれる。
(4)
Gµν = −Λ(4) qµν + 8πGN τµν +
48πGN
πµν − Eµν ,
σ
(4.15)
ただし、
Λ(4) =
8πGN
=
Eµν
=
Λ(5) κ4(5) σ 2
+
,
2
12
κ4(5) σ
,
6
(5) A
C BCD nA nC qµ B qν D (4.16)
(4.17)
w=0+
,
1
1
1
1
πµν = − τµα τν α + τ τµν + qµν ταβ τ αβ − qµν τ 2 .
4
12
8
24
(4.18)
(4.19)
である。(4.15) がブレーン上の重力を記述する Einstein 方程式である。(4.16),(4.17) によって定
義された Λ(4) ,GN はそれぞれ、ブレーン上の宇宙項およびニュートン定数とみなしてよいだろう。
通常の 4 次元 Einstein 方程式との違いは、
• τµν の 2 乗からなる項 πµν
• Weyl テンソル Cαβγδ からつくられる項 Eµν
に現れている。
前者は、ブレーンの張力 σ と比べて低エネルギーを考えているときには無視できる量である。
具体的に、τµν が完全流体の形
τµν = ρuµ uν + p(qµν + uµ uν )
(4.20)
に書けている場合を想定するとわかりやすい。uµ は 4 元速度場で、Σ に接していて nA と直交す
る。このとき、
48πGN
ρ
ρ
πµν = ρ 1 +
uµ uν + p +
(ρ + 2p) (qµν + uµ uν )
8πGN τµν +
(4.21)
σ
2σ
2σ
となる。ρ/σ 1 の低エネルギーでは、πµν に起因する項は無視できることがすぐにわかるであ
ろう。πµν の効果はこのように現れるのである。
ブレーンの外の重力場の影響は Eµν を通じて入っている。Weyl テンソルが 0 のとき、この量も
0 であるから、逆に Eµν = 0 ならばバルクは厳密な AdS 時空にはなっていない。(4.10) と (4.14)
とを組み合わせることにより、ブレーン上の物質に関する保存則
D ν τµν = 0,
(4.22)
が導かれる。これと、さらにビアンキ恒等式: D ν (4) Gµν = 0 および (4.15) を組み合わせると、
D µ Eµν
=
=
48πGN µ
D πµν
σ
12πGN αβ ν
1
β
µ
τ (D ταβ − D τνα ) + (τµν − qµν τ )D τ
σ
3
(4.23)
31
という関係があることがわかる。しかしながら、このようにブレーン上の物質による拘束条件がつい
ているのは、Eµν の縦波成分だけであることに注意しよう。重力波に対応する transverse traceless
TT については、5 次元的な伝播の方程式を解く必要があり、取り扱いは非常に複雑である。
成分 Eµν
計算が続いたので、ここでまとめておこう。ブレーン上で成立する方程式は、Einstein 方程式
(4.15)、ブレーン上の物質に関する保存則 (4.22)、および Weyl テンソルの射影に対する拘束条件
(4.23) の 3 つである。重要なことは、これらがブレーン上だけでは閉じていないということであ
る。Eµν は、一般にはバルク全体で解かなければ決まらない。例えば、ブレーン上でそろえた初
期データだけでは決まらない、バルクから降り注ぐ重力波の自由度を想像すればよい。このこと
が、ブレーンワールドの幾何学を非常に面白くする。
重力の局在化の幾何学的解釈
前章では、graviton の波動関数、言い換えれば計量の摂動のふるまいを調べることで、重力が
ブレーン近傍に局在化される様子を見た。このことをとらえ直してみよう。
ブレーン上で 4 元速度 uµ をもつ観測者を考える。4 元速度といっても、ブレーンを離れたところに
まで 5 次元的に拡張して、uA と記す。これは、uA uA = −1, uA nA = 0 をみたすベクトルである。こ
の観測者がブレーンに垂直な nA 方向に感じる潮汐力による加速度は、−nA (5) RA BCD uB nC uD と書
ける [83]。一方、5 次元の Einstein 方程式 (4.6) と Weyl テンソルの定義式 (4.9)、および τµA nA = 0
であることから、容易に
−nA (5) RA BCD uB nC uD =
1
Λ − EAB uA uB ,
6 (5)
(4.24)
という関係が成り立つことがわかる。この式をブレーン上 w → 0+ で評価して、ブレーン上の観
測者が nA の向き (ブレーンから離れる向き) に感じる潮汐力による加速度は
1
Λ − Eµν uµ uν
6 (5)
(4.25)
となる。この結果は次のように解釈できる。宇宙項 Λ(5) は負であったから、これはブレーンに向
かう力として寄与する。つまり、バルクの曲率が重力場をブレーン近傍に局在化させるようにはた
らいている。また、このブレーンに向かう潮汐力は、Eµν uµ uν > 0 ならば増大する。これは、バ
ルクの Weyl テンソルがブレーン上で負のエネルギー密度としてはたらいている場合に対応する。
バルクの Weyl テンソルの効果
ブレーン上の Einstein 方程式 (4.15) の右辺、特に Weyl テンソルの射影 Eµν をさらに詳しく調
べてみよう。
τµν については、簡単のために理想流体の形
τµν = ρuµ uν + phµν , hµν = qµν + uµ uν ,
を仮定する。このとき、すでに計算したように πµν =
Eµν は常に次のように分解することができる。
1 2
12 ρ uµ uν
+
(4.26)
1
12 ρ(ρ
+ 2p)hµν となる。
W
W
Eµν = −8πGN ρW uµ uν + pW hµν + ΠW
µν + qµ uν + qν uµ .
(4.27)
32
4 ブレーンワールドにおける重力
各項の意味は以下のように説明できる。バルクの重力場により生じるブレーン上のエネルギー密
度が
ρW = −
1
Eµν uµ uν ,
8πGN
(4.28)
である。この値は、正でも負でもよい。Eµν はトレースレスであることを思い出せば
1
pW = ρW ,
3
(4.29)
であることがわかる。この部分は見ての通り輻射のようなふるまいをしていて、6 章で登場する
“Dark Radiation” の存在と関係がある。物質がたとえ完全流体であっても、Eµν は非等方ストレ
スとエネルギー流束を供給する。これらはそれぞれ
1
E
,
8πGN µν
1
= −
Eλν hµ λ uν ,
8πGN
= −
ΠW
µν
qµW
(4.30)
(4.31)
と書かれる。ただし、記号 µν は
ρ
Eµν = h(µ hν)
σ
1 ρσ
− h hµν Eρσ ,
3
(4.32)
を表すために用いてあり、テンソルを uµ に垂直な面に射影し、対称かつトレースレスな部分を抜
き出す役割をしている。以上のような 3 つの項で、Eµν を分解して書き表すことができる。(4.15)
の右辺のうち宇宙項を除いた部分を
eff
8πGN τµν
48πGN
πµν − Eµν
σ
W
W
= ρeff uµ uν + peff hµν + ΠW
µν + qµ uν + qν uµ ,
= 8πGN τµν +
ρeff
peff
ρ + ρW ,
= ρ 1+
2σ
ρ
(ρ + 2p) + pW ,
= p+
2σ
(4.33)
(4.34)
(4.35)
と書くと、ブレーン上の重量源として、ブレーン上の物質とバルクの Weyl テンソルの効果とがど
のようにはたらくか明確にわかる。
33
5 ブラックホールとブレーンワールド
重力理論的観点から、ブラックホール解というものは重要な研究対象である。この章では、RandallSundrum モデルとブラックホール解に関連する話題を紹介しよう。
4 次元の一般相対論の範囲内では多くのブラックホール解が知られており、特に Schwarzschild
解が基本的で重要である。これは、球対称静的で漸近的に平坦な時空を記述していて、物質が球
対称に重力崩壊したあとに残されるブラックホールは、この解で表されると考えられる。そこで、
ブレーンワールドシナリオにおいても、ブレーン上で球対称静的、漸近的に平坦なブラックホー
ル解を探し求めることは自然な成り行きである。特に、以下で述べるように、ブレーンに局在し
ているものが物理的に自然なブラックホール解であると考えられるが、そのような厳密解がいま
だ発見されていないのである。
なお、高次元ブラックホールはブレーンワールドの文脈を離れても話題が豊富な分野であり、興
味深い研究がなされている (例えば [15, 24, 25])。
5.1
AdS 時空中のブラックストリング解
宇宙項 Λ(5) = −6/2 をもつ AdS5 時空の計量は
ds2 =
2 ηµν dxµ dxν + dz 2 ,
2
z
(5.1)
と書けることはすでに述べた。RS2 モデルでは、このような計量で記述される時空の z = の場
所にブレーンを配置したのであった (3 章)。ここで、この計量の ηµν を一般の gµν に置き換えて
も、もし gµν からつくった Ricci テンソルが (4) Rµν = 0 をみたしていれば (Ricci flat)、そのよう
な計量は再びアインシュタイン方程式 (5) GAB = −Λ(5) gAB の解になっている。証明は簡単である
から、参考文献 [13] を挙げるにとどめる。この事実を利用すると、ブレーン上では Schwarzschild
計量となるが、ブレーンに局在していないブラックホール (ブラックストリング) 解をただちに構
成することができる [18]。すなわち、ηµν を Schwarzschild 計量に置き換えるだけでよい:
ds2 =
2 2
−1
2
2
2
2
2
2
+
U
(r)dr
+
r
(dθ
+
sin
θdφ
)
+
dz
−U
(r)dt
.
z2
(5.2)
ただし、U (r) = 1 − 2M/r である。ワープファクターのせいで、z = z0 におけるホライズン半径
は r∗ = 2M /z0 となる (Fig. 5.1)。
この解の Ricci スカラー (5) R および Ricci テンソルの 2 乗 (5) RAB (5) RAB はいたるところで有限
である。これは明らかであろう。しかし、Riemann テンソルの 2 乗
1
48M 2 z 4
(5)
RABCD (5) RABCD = 4 40 +
,
(5.3)
r6
34
5 ブラックホールとブレーンワールド
のふるまいには注目すべき病的な点がある。まず、r = 0 ではこの量が発散するため特異であるが、
この特異点が z = から z = ∞ まで伸びていることがわかる。さらに、AdS ホライズン z = ∞
自体も特異である。
Figure 5.1: AdS 時空中のブラックストリング解
この解の安定性はどうであろうか。漸近的に平坦な時空でのブラックストリング解については、
長波長の摂動に対して不安定であることが知られており [31]、さらにいまのような AdS 時空での
ブラックストリング解も不安定であることが示されている [32]。
ブラックストリング解 (5.2) の持つ以上の性質は、ブレーン上に Schwarzschild 時空を実現する
ようなブラックホール解として他に適切な安定解が存在するであろうことを示唆している。[18] の
著者たちは、それはブレーンに局在した解であろうと予想しているが、いまだにそのような厳密
解は発見されていない。
5.2
3 + 1 次元の厳密解
もともとの RS モデルよりも 1 次元低い、AdS4 時空に 2-ブレーンを埋め込んだモデルでは、ブ
レーンに局在しているブラックホールの厳密解が知られている [23]。次元は 1 つ低いものの、この
解が、探し求める 4 + 1 次元のブラックホール解のヒントになっている可能性がある。そこで、こ
の節ではこの 3 + 1 次元の RS モデルにおけるブラックホール解について述べよう。
RS モデルの n + 1 次元の拡張
まずはじめに RS モデルを n + 1 次元に拡張しておこう。n + 1 次元の次のような計量を考える
(ここでは、n + 1 次元的な量は ˆ をつけて表し、n 次元的な量には何もつけないことにする)。
ĝAB dxA dxB =
2 gµν dxµ dxν + dz 2 .
2
z
(5.4)
このとき、ĝAB からつくられる Ricci スカラー R̂ と gµν からつくられる Ricci スカラー R との関
係は
R̂ =
n(n + 1)
z2
R−
,
2
2
(5.5)
5.2. 3 + 1 次元の厳密解
35
で与えられる。このことを使って、(n + 1) 次元重力の action について
1
S =
dn xdz −ĝ R̂ − 2Λ(n+1) + Sbrane
2 · 8πG(n+1)
∞ n+1 2
1
z
n √
=
dz
R + ···
d x −g
8πG(n+1)
z
2
√
/(n − 2)
dxn −gR + · · · ,
=
8πG(n+1)
(5.6)
というように z 積分を先に実行する。これにより、n + 1 次元の重力定数と n 次元の重力定数との
関係が
G(n) =
n−2
G(n+1) ,
2
(5.7)
で与えられることがわかる。Sbrane は (n − 1)-ブレーンの張力 σn−1 で書けているが、ブレーン上
に effective な宇宙項が現れないようにこれを調整すると、
σn−1 =
n−1
,
4πG(n+1) (5.8)
となることがわかる。
厳密解とその分析
とりあえずはブレーンの存在を考えず、負の宇宙項をもった 4 次元のアインシュタイン方程式
の解になっている、次の計量から出発する。
dx2
2
dy 2
2
2
2
+
+ G(x)dϕ .
ds =
H(y)dt −
(5.9)
(x − y)2
H(y) G(x)
ここで、
H(y) = −y 2 − 2µy 3 ,
(5.10)
G(x) = 1 − x2 − 2µx3 ,
(5.11)
である。実際に ĜAB = (3/2 )ĝAB をみたすことは、計算により確認することができる。この解は
“AdS C-metric”[43] と呼ばれる計量の特別な場合であり、等加速度運動するブラックホールを表
している。この解を分析しよう。まず、計量の成分が t と ϕ には依っていないことから、Killing
vector ∂t , ∂ϕ が存在する。いまのところ、x と y はどのような座標なのかわからないが、大雑把
には動径座標ともうひとつの角度座標によって、y −1 ∼ r, x ∼ cos θ のように表される座標だと
思ってよい。
√
0 < µ < 1/3 3 のとき、G(x) = 0 の解は 3 つある。これを x0 , x1 , x2 としよう。x0 < x1 <
−1 < 0 < x2 < 1 である。Lorentz 符号の計量を想定しているから、今後は x1 < x < x2 の範囲で
考えよう。計量全体に (x − y)−2 というファクターがかかっている。このことは、x = y という点
が x = y である点から無限に遠いところにあることを示している。そこで、−∞ < y < x の範囲
で考えることにする。Rµνρσ Rµνρσ = (24/2 )[1 + 2µ2 (x − y)6 ] は y = −∞ で発散するため、
36
5 ブラックホールとブレーンワールド
√
√
Figure 5.2: G(x) のふるまい。0 < µ < 1/3 3 のときは左図、µ < 1/3 3 のときは右図のように
なる。
(i) y = ∞ は特異点 (curvature singularity) である。
この特異点を覆うブラックホールのホライズンが存在する。それは H(y) = 0 となるところで、
(ii) y = −1/2µ ≡ y0 がイベントホライズンになっている
ことがわかる。さらに、
(iii) y = 0 は AdS 時空のコーシーホライズンである
ということも言える。G(x1 ) = G(x2 ) = 0 であることは、この 2 点がちょうど θ = 0, π のよう
な回転軸上の点に対応していることを示している。以上のことを手がかりにして、このブラック
ホール時空の模式図を Fig. 5.3 のように描くことができるだろう。回転軸上の点 x1 , x2 では、角
Inf
ini
ty
rizon
. Ho
B.H
AdS
Hor
izon
√
Figure 5.3: 0 < µ < 1/3 3 の場合のブラックホール時空の模式図。y = 一定面のトポロジーは、
y < x1 ならば S 2 、逆に y > x1 ならば R2 である。特に、イベントホライズンのトポロジーは S 2
である。
度座標 ϕ の周期をうまく決めないと円錐状特異点 (conical singularity) が現れてしまう。しかも、
5.2. 3 + 1 次元の厳密解
37
1 点で conical singularity を解消しても、もう 1 点でのそれを同時に解消できるとは限らない。こ
のことを見てみよう。y = 一定の 2 次元面上で x = x2 の近傍に注目すると、計量は
2
2
dx
2
2
ds2 =
+ G(x)dϕ
(x − y)2 G(x)
dx2
2
2
+ |G (x2 )|(x2 − x)dϕ ,
(5.12)
≈
(x − y)2 |G (x2 )|(x2 − x)
と表すことができる。ここで、わかりやすくするために R = 2 (x2 − x)/|G (x2 )| と座標変換す
ると、これは
2
2
2
2 |G (x2 )|
ds2 ∝ dR + R
dϕ2 ,
(5.13)
2
となる。これを見ると、座標 ϕ の周期 ∆ϕ を
|G (x2 )|
∆ϕ = 2π,
2
(5.14)
をみたすようにとらない限り、x = x2 に conical singularity が発生してしまうことがわかる。一
方で、∆ϕ を (5.14) のように選ぶことにすると、Fig. 5.4 にあるように、x = x1 では自動的に欠
損角 (deficit angle) が生じる。それは
δ=
4π
− ∆ϕ,
G (x1 )
(5.15)
で与えられる。張力 T をもつ宇宙ひも (cosmic string) があると、そこに deficit angle δ = 8πG(4) T
が生じることが知られている [48]。このことから、計量 (5.9) が記述するのは、中心から伸び出た
cosmic string によって引っ張られ加速しているブラックホールである、という解釈ができる。
Figure 5.4: 円錐状特異点 (conical singularity) と欠損角 (deficit angle)
√
√
これまでは、パラメーター µ が 0 < µ < 1/3 3 の場合を分析してきた。µ > 1/3 3 のときに
は、G(x) = 0 の解はただひとつ x = x2 であり、x < x2 に対して必ず G(x) > 0 になる。ただし、
y は相変わらず y < x の範囲で考えているから、ある固定された y について y < x < x2 の範囲し
か動けない。特に、y = y0 (ホライズン) においても x = y = y0 に到達することが可能であるから、
ホライズンは無限遠にまで伸びている。模式図は Fig. 5.5 のようになる。
38
5 ブラックホールとブレーンワールド
rizon
. Ho
B.H
AdS
Hor
izon
nity
Infi
√
Figure 5.5: µ > 1/3 3 の場合のブラックホール時空の模式図。ホライズンもふくめ、y = 一定面
のトポロジーは R2 である。
µ = 0 の場合を見てみることには意義がある。このとき、−1 < x < 1, ∆ϕ = 2π であり、イベ
ントホライズンも y = −∞ の特異点も消えてしまう。実際、
√
x
1 − x2
, r=−
, t̃ = t,
(5.16)
z = 1−
y
y
と座標変換して計量を書き直すと
ds2 =
2 −dt̃2 + dr2 + r 2 dϕ2 + dz 2 ,
2
z
(5.17)
という見慣れた形になる。y = −∞ は z = , r = 0 に対応していて、もはや特異ではない。x = y
は AdS 時空の無限遠の境界 z = 0 に対応し、y = 0 はコーシーホライズン z = ∞ に対応している
こともわかる。そして、z = にブレーンを置き、z > の部分のコピーをブレーンを境界にして
貼り合せることで、RS2 モデルの (3 + 1) 次元版を構築することができる。
それでは、ホライズンがある µ > 0 の場合に 2-ブレーンを導入することを考えよう。張力 σ2 以
外には物質場が乗っていないブレーンを、接続条件をみたすような位置に置きたい。張力以外に物
質場がないということは、ブレーン上の energy-momentum tensor が Sµν = −σ2 gµν と書けるこ
とに他ならないから、この時空中の時間的な 3 次元超曲面で、その外的曲率が Kµν ∝ gµν となる
場所を探せばよいことになる。実際に Kµν を計算してみれば、そのような都合のよい場所は x = 0
以外にはないことがわかる。
以上のような考察により、ブラックホールが 2-ブレーンに局在しているような解を得ることが
できた。すなわち、計量 (5.9) によって表される時空で x = 0 にブレーンを置き、0 < x < x2 の
部分とそのコピーを x = 0 に沿って張り合わせればよい。x < 0 の部分は切り落とされるため、も
はや conical singularity はなく、ホライズンはいたるところで regular である。
5.2. 3 + 1 次元の厳密解
39
rizon
. Ho
B.H
Figure 5.6: ブレーンを置き、x < 0 の部分を切り落とす様子。この操作により conical singularity
は隠れてしまい、いたるところで regular なホライズンが得られる。
再び先ほどの座標 (5.16) を利用して、このブラックホール時空を解析することにしよう。この
座標系では、x = 0 が z = に対応する。また、ホライズン y = y0 = −1/2µ は z = (1 + 2µx) と
いう曲面で表される。
z < zmax = (1 + 2µx2 ) < (1 + 2µ),
(5.18)
から、ホライズンが余剰次元方向にどこまで伸びているかがわかる。また、特異点 y = −∞ は
z = , r = 0 に対応しているので、ブレーン上かつブラックホールの中心にあることもわかる。そ
して、ブレーン上の induced metric は
2µ
2µ −1 2
2
2
dt̃ + 1 −
ds = − 1 −
dr + r 2 dϕ2 ,
(5.19)
r
r
である。この計量から、ブレーン上の重力のふるまいを見ることにしよう。素朴には、重力場が
弱いときには、ブレーン上に (2 + 1) 次元重力が再現されていることが期待される。実のところ、
この induced metric から Ricci テンソルを計算すると、0 でない成分
Rt̃t̃ =
µ
µ
2µ
,
g , Rrr = 3 grr , Rϕϕ = −
r 3 t̃t̃
r
r
(5.20)
があって、(2 + 1) 次元重力の真空解にはなっていない。特に、r ∼ µ では (2 + 1) 次元重力理論
との違いが大きく現れると言える。しかしながら、遠方 r µ では (局所的に) 平坦な時空になっ
ていて、しかも座標 ϕ の周期が 2π ではないために、時空は円錐のような構造になっている。この
性質は、(2 + 1) 次元の重力の性質に一致している1 。なお、(5.19) の gt̃t̃ および grr は、質量が µ
で与えられる Schwarzschild 時空のものとまったく同じ形をしていることは注目に値する。
1
3 次元時空では、Rµν = 0 はただちに Rµνρσ = 0 を意味するので、物質のない場所は必ず局所的に平坦なのであ
40
5 ブラックホールとブレーンワールド
2 つの極限的な場合、すなわち、µ 1 の場合と µ 1 の場合にこのブラックホールの性質を
調べることは興味深い。
まず、µ 1 の場合は x1 ≈ −1 − µ, x2 ≈ 1 − µ と近似できることから
∆ϕ ≈ 2π(1 − 2µ),
(5.21)
となる。ここで、欄外の注釈で述べている (2 + 1) 次元重力における質量と deficit angle の関係を
見直そう。その関係から、パラメーター µ とブラックホールの「3 次元的」質量 m3 とは
G(3) m3 =
µ
,
2
(5.22)
の関係にあることがわかる。したがって、µ 1 のときの µ は質量に比例したようなパラメーター
である。µ 1 であるということは、そのままブラックホールが小さいということを意味してい
る。ホライズンの表面積は
x2
∆ϕ A=2
dx
dϕ ĝxx ĝϕϕ ≈ 4π(2µ)2 ,
(5.23)
0
0
と計算できる。(5.19) によるとブレーン上で測った “Schwarzschild 半径” は 2µ であったことを
思い出そう。
zmax − ≈ 2µ,
(5.24)
であることも言えるが、これは、ホライズンが余剰次元にどの程度突き出しているかを表している
量である (µ 1 ならば実際に固有距離と等しくなる)。それが、ブレーン上で測った Schwarzschild
半径に等しいという結果である。これは、ブラックホールが 4 次元の Schwarzschil 解とほとんど
同じであることを示している。小さなブラックホールは、おおむね 4 次元的 (高次元的) にふるま
うと言える。
それでは、反対に µ 1 の場合はどうであろうか。このときには G(x) = 0 解はただひとつで、
それは x2 ≈ (2µ)−1/3 と近似できる。今度は、ϕ の周期は
∆ϕ ≈
4π
,
3(2µ)1/3
である。先ほどと同様にして、deficit angle から「3 次元的」質量を計算すると
2
1
1−
G(3) m3 =
,
4
3(2µ)1/3
(5.25)
(5.26)
る。いま、(x, y) = (0, 0) に質点 m があるとしよう。このとき、energy-momentum tensor は T00 = mδ (2) (x, y) であ
り、アインシュタイン方程式を解くと解は
ds2 = −dt2 + r −8G(3) m (dr 2 + r 2 dθ2 ),
であることがわかる。ρ = r 1−4g(3) m /(1 − 4G(3) m), ϕ = (1 − 4G(3) m)θ と座標変換すると、
ds2 = −dt2 + dρ2 + ρ2 dϕ2
となるから実際に時空は平坦であるが、θ の周期はもともと 2π であったため、deficit angle が生じる。したがって、時
空は円錐のような構造をしている。新座標 ϕ の周期 ∆ϕ と質量 m との間に
2π − ∆ϕ = 8πG(3) m,
という関係が成り立つこともわかる。すなわち、deficit angle は質量に比例している [6]。
5.2. 3 + 1 次元の厳密解
41
という結果を得る。これは、µ → ∞ の極限でも有限の値にとどまる。このことは、deficit angle
が 2π を越えることができないために、(2 + 1) 次元重力では質量に上限が存在することと関係し
ている。しかし、それにもかかわらず、ホライズンの表面積は無限に大きくなる:
A≈
8π2
(2µ)2/3 .
3
(5.27)
さて、ブレーン上でホライズンの周囲の長さは
C = 2µ∆ϕ ≈
4π
(2µ)2/3 ,
3
(5.28)
なので、A ≈ 2C である。これはあたかも、ブレーン上では大きな半径をもつブラックホールが
余剰次元には ∼ 程度しか突き出していない、ということを物語っているようである。実際に固
有距離 Lz を求めると、余剰次元には Lz ≈ 23 ln(2µ) 程度突き出していることがわかる。これは、
ブレーン上で測ったホライズンの半径よりも十分に大きいから、ブラックホールは平らなパンケー
キの形をしていると言える。
Figure 5.7: µ 1 の小さなブラックホール (左) と µ 1 の大きなブラックホール (右)。小さな
ブラックホールは 4 次元 Schwarzschild ブラックホールのようである。一方、大きなブラックホー
ルはパンケーキのような形状をしている。
3 + 1 次元の厳密解の性質を見たわけであるが、ここから、次元を 1 つ上げた場合の解につい
て何らかの示唆を得られないものだろうか。AdS の曲率半径 ∝ σ −1 と比べてホライズン半径
2G(4) m が非常に小さいブラックホールは、ブレーンの存在を関知しないと考えられるので、や
はり 5 次元 Schwarzschild ブラックホールのようにふるまうことが期待される。一方、大きなブ
ラックホールの場合について、[23] の著者たちは次のような期待をしている。ある定数 α を用い
α
て zmax ∼ G(4) m−1 という次元解析に頼った見積もりが正しいとすれば、バルクにどの程度
突き出しているかを固有距離で測って
Lz ∼ ln G(4) m−1 2G(4) m,
(5.29)
ということが言えるだろう。したがって、4 + 1 次元の解がもし存在するのなら、ホライズン半径
が大きい場合にはやはりパンケーキのような形状であろう。
42
5 ブラックホールとブレーンワールド
C-metric を利用して 3 + 1 次元の厳密解を得られたことの類推から、仮に等加速度運動してい
る 5 次元ブラックホール解が存在すれば、その解に適宜ブレーンを導入し、一部分を切り落とすこ
とによって、ブレーンに局在した 4 + 1 次元のブラックホール解が得られるかもしれない。しかし
ながら、C-metric をそのように 5 次元に拡張した計量は知られていない。なお、数値的にブラッ
クホール解を求める試みもあり [53]、熱力学的諸量や上で述べた高次元ブラックホールの形状に
関して興味深い議論がなされている。
43
6 ブレーンワールド宇宙論
物理学の基礎理論、あるいは現象論的モデルは、現実に確かに観測されている事実と矛盾しては
ならない。できることならば、それらを「うまく、自然に」説明することが望まれる。宇宙モデル
を構築することは、理論に対するテストのひとつである。
この章では、3 章で紹介した Randall-Sundrum モデルの宇宙論的な拡張を行い、その様々な側
面について議論する。Randall-Sundrum のブレーンワールドは toy model 的な要素を含んでおり、
シンプルなモデルではあるが、バルクが曲がった時空になっているため非自明な結果が期待される。
§6.1 および §6.2 では、一様等方宇宙を記述する Friedmann 方程式のブレーンワールドにおける
拡張版を導出する。§6.3 では、宇宙論の重要な要素のひとつであるインフレーションについて議論
する。さらに現実的な宇宙モデルとして、一様等方性からのずれ、cosmological perturbation を
§6.4 で考える。
6.1
ブレーン上の Friedmann 方程式
一様等方な宇宙を考えるので、ブレーンの空間的な切断面は 3 次元の最大対称空間になってい
る。その断面曲率が k = −1, 0, + 1 の場合をまとめて、計量を γij と書くことにする。時間座
標と余剰次元を表す座標については、Fig. 6.1 のように Gaussian normal 座標を使おう。すなわ
ち、ブレーンの軌道に沿って時間座標 τ を取り、その座標軸に直行する測地線に沿って余剰次元
の座標 w を取る（ブレーンの位置を w = 0 とする）。このような座標系は、ブレーンの近傍でい
つでも張ることができる。このとき、5 次元の計量は
gAB dxA dxB = −n2 (τ, w)dτ 2 + a2 (τ, w)γij dxi dxj + dw2 ,
(6.1)
となり、ブレーン上の induced metric は
ds2B = −dτ 2 + a20 (τ )γij dxi dxj ,
(6.2)
となる。ただし、τ がブレーン上の固有時間を表すように n(τ, 0) = 1 と決め、スケールファク
ターを a(τ, 0) = a0 (τ ) と書いた。これは、Friedmann-Robertson-Walker 計量のような形になっ
ている。Gaussian normal 座標は、一般に、D 次元の多様体の中に埋め込まれた (D − 1) 次元の
超曲面の十分近傍を考えるときに有用であるが、その超曲面から離れたところでは測地線が交わっ
てしまうなどして、よい座標系になっていないことがある [83]。つまり、いまの座標系はブレー
ンのごく近傍（あるいは、ブレーン上）の時空を見るのには便利な座標であるが、バルク時空の
構造を記述するのには必ずしも適切な座標とは言えないことに注意しよう。
5 次元のアインシュタイン方程式
1
GAB = RAB − RgAB = −Λ(5) gAB + κ2(5) TAB ,
2
(6.3)
44
6 ブレーンワールド宇宙論
Brane
Figure 6.1: ブレーンの近傍で張った Gaussian normal 座標
の解で、上のような計量の形をもつものを見つけよう [16, 9, 10, 26, 41, 66]。ここで、κ2(5) = 8πG(5)
とし、バルクは AdS5 時空を考えているので、その曲率半径を とすると
Λ(5) = −
6
,
2
(6.4)
である1 。また、energy-momentum tensor に関しては、ブレーンの張力 σ とブレーンに局在した
物質によって次のように書けているとしよう（σ は定数とする）:
T A B = S A B δ(w)
= diag (−σ, −σ, −σ, −σ, 0) δ(w) + diag (−ρ, p, p, p, 0) δ(w).
計量 (6.1) について、Einstein tensor GAB の成分は
2
a
ȧ2
a
n2
+ 2 + 3k 2 ,
Gτ τ = 3 2 − 3n2
a
a
a
a
a n
a n a 2
+ 2 +2
γij
Gij = a2 2 +
a
n
a
an
a2
ȧṅ
ä ȧ2
γij − kγij ,
+ 2 −2 − 2 + 2
n
a a
an
ȧ
ȧn
−
,
G0w = 3
an
a
3 ä ȧ2 ȧṅ
k
a 2 a n
−
+
− 3 2,
+
−
Gww = 3
a2
an
n2 a a2 an
a
(6.5)
(6.6)
(6.7)
(6.8)
(6.9)
となる [10]。˙ は τ による微分を、 は w による微分を、それぞれ表している。これらを Einstein
方程式の右辺に等しいと置けばよいのだが、energy-momentum tensor はデルタ関数 δ(w) を含ん
でいる。そこで、Einstein 方程式を w = 0 で解き、w = 0 での S A B の影響は、境界条件として
1
一般に、AdSn 時空の宇宙項は Λ(n) = − 12 (n − 1)(n − 2) 12 である。
6.1. ブレーン上の Friedmann 方程式
45
考えるのがよいだろう。GAB は計量の 2 階微分を含んでいるから、g = sδ(w) のような方程式
を、g = 0 と、w = 0 の近傍で積分して得られる境界条件 g (0+ ) − g (0− ) = s のように分けて考
えるということである。これらはもちろん等価である。このような境界条件は Israel の接続条件
[39] と呼ばれ、よく用いられる。
では、その接続条件を書き下そう。それは外的曲率 KAB = qA C qB D ∇C nD を用いて
[KAB − KqAB ] = −κ2(5) SAB ,
(6.10)
と書ける。ただし、記号 [ ] は [F ] = F |w=0+ − F |w=0− を表し、nA はブレーンに対して垂直な単位
法ベクトル（w が正の方向を向くように定義する）、qAB = gAB − nA nB はブレーン上の induced
metric である。
ブレーンワールドにおける宇宙モデルを考えるときにも、[KAB ] = KAB |w=0+ − KAB |w=0− =
2KAB |w=0+ という Z2 対称性を Randall-Sundrum モデルから引き継いで課すことが多い。われ
われもいまは簡単のために Z2 対称性を仮定することにするが、[38] ではこの仮定を外した場合の
議論がなされている。Z2 対称性を課すと接続条件は
KAB = −
κ2(5) 2
1
SAB − SqAB ,
3
と書き直せて、具体的に計量等の成分を入れれば
κ2(5)
n (3p + 2ρ − σ),
=
n w=0+
6
κ2(5)
a (ρ + σ),
= −
a w=0+
6
(6.11)
(6.12)
(6.13)
となることがわかる。整理すると、(6.6)-(6.9) で与えられる GAB について、GAB = −Λ(5) gAB を
境界条件 (6.12), (6.13) をみたすように解けばよい、ということになる。
それでは Einstein 方程式を解こう。まず、G0w = 0 から ∂w (ȧ/n) = 0 、すなわち ȧ/n は τ だ
けの関数であることがわかる。そして、n(τ, 0) = 1 であることから、
ȧ
= ȧ0 (τ ),
n
(6.14)
を得る。これを Gτ τ = Λ(5) n2 に入れると、
k
1
ȧ20 a a 2
− 2 + 2 = Λ(5) ,
−
2
a
a
a
a
3
(6.15)
となって、これの両辺に a3 a をかけるとただちに w で積分することができる。その結果、
aa
2
− ȧ20 a2 − ka2 +
Λ(5) 4
a + C = 0,
6
(6.16)
となる。ここで、C は任意の積分定数である。これを w = 0+ で評価して、(6.13) から第 1 項目
の a を消去すると、
H2 =
κ4(5)
Λ(5)
k
ȧ20
C
(ρ + σ)2 +
− 2 + 4,
=
2
36
6
a0
a0 a0
(6.17)
46
6 ブレーンワールド宇宙論
を得る。これがブレーン上の Friedmann 方程式である。この時点では、右辺のエネルギー密度部
分が、ブレーン上のエネルギー密度 ρ + σ の 2 乗の形で入ってきていること（通常の Friedmann
方程式 H 2 = (8πGN /3)ρ を思い出そう）と、方程式には 5 次元の重力定数 G(5) しか現れていない
（GN がない）ことに注意を喚起しておく。なお、Gww = −Λ(5) を τ で積分しても同じ Friedmann
方程式を得る。
続いて、保存則を導出しよう。G0w = 0 を w = 0+ で評価し、(6.12) と (6.13) を入れると、
∂ρ
+ 3H(ρ + p) = 0,
∂τ
(6.18)
が導かれる。これは、4 次元の場合の保存則と完全に同じ形をしている。言い換えれば、ブレーン
上の induced metric からつくった共変微分 Dµ について、D µ Sµν = 0 が成立しているということ
である。
さて、Friedmann 方程式 (6.17) について議論しよう。これを次のように書き直す:
4 2
κ4(5) σ
κ(5) σ
κ4(5)
Λ
C
k
(5)
(6.19)
ρ+
ρ2 +
+
− 2 + 4.
H2 =
18
36
36
6
a0 a0
右辺の括弧の中の部分は宇宙項とみなせるので、これを
Λ(4)
3
κ4(5) σ 2
Λ(5)
36
6
κ4(5) σ 2
1
− 2,
36
=
=
+
(6.20)
と書くことにしよう。また、低エネルギー ρ σ の近似のもとで通常の 4 次元の Friedmann 方
程式を再現するべきであると考え、
κ4(5) σ
18
=
8πGN
,
3
(6.21)
のように同一視する。すると、(6.17) は結局
H2 =
ρ Λ(4)
k
8πGN C
ρ 1+
+
− 2 + 4,
3
2σ
3
a0 a0
(6.22)
となる。こうして見ると、4 次元の Friedmann 方程式との違いが 2 点あることに気づく。
• ρ2 に比例した項
• あたかも輻射であるかのようなふるまいをする項 C/a40
である。
まず、ρ2 に比例した項は、ρ σ のときに効いてくることが読み取れる。したがって、そのよ
うな状況が実現されている可能性のある初期宇宙の進化は、通常の Friedmann 方程式で記述され
る宇宙の進化とは異なっているであろう。簡単のために k = 0, C = 0 と仮定して、状態方程式が
1
p = (q − 3)ρ,
3
(6.23)
6.1. ブレーン上の Friedmann 方程式
47
で与えられる場合に、(6.22) を解いてみよう。この状態方程式と (6.18) からただちに
ρ ∝ a−q
0 ,
(6.24)
とわかる (ブレーン上での保存則は 4 次元の通常のものと同じ形なので、ここまでは 4 次元の場合
とまったく同じである)。したがって、ȧ0 /a0 = q −1 ρ∂τ ρ−1 であるから、(6.22) は等価な式
2 Λ(4) q 2 −2 8πGN q 2 −1 8πGN q 2
ρ +
ρ +
,
∂τ ρ−1 =
3
3
6σ
(6.25)
に書き直すことができる。この ρ−1 についての微分方程式には解析解が存在し、それは、Λ(4) の
正負によって以下のように与えられる。
Λ(4)
Λ(4)
4πGN
4πGN
q
−1
sinh q
τ +
τ −1
(6.26)
a0 ∝ ρ
=
cosh q
Λ(4) σ
3
Λ(4)
3
(Λ(4) > 0),
aq0 ∝ ρ−1 = q
aq0 ∝ ρ−1 =
4πGN
2πGN q 2 2
τ+
τ
(Λ(4) = 0),
3σ
3
−Λ(4)
−Λ(4)
4πGN
4πGN
sin q
τ +
τ −1
cos q
−Λ(4) σ
3
Λ(4)
3
(6.27)
(6.28)
(Λ(4) < 0),
(6.29)
それぞれについて、σ → ∞ の極限で消える右辺第 1 項目が、ρ2 に比例する項によってもたらさ
れた効果である。(6.27) を見ると、輻射優勢期 (q = 4) に右辺第 2 項が効いていれば、いつもの
ように a0 ∝ τ 1/2 となるが、もし右辺第 1 項が大きい場合には、a0 ∝ τ 1/4 のように膨張が遅くな
ることがわかる。
finite
Figure 6.2: Λ(4) > 0 の宇宙の進化の様子。4 次元のスタンダードな宇宙と同じ進化 (σ → ∞、点
線) に比べ、初期に ρ2 の項が効く宇宙 (実線) の方は、膨張が遅くなる。
次に、C/a40 という項についてであるが、この項は見ての通り輻射のようなふるまいをするので、
“Dark Radiation” と呼ばれる [66]。すぐ後に述べることが示唆するように、これはバルクの Weyl
テンソルと関係した量である。この Dark Radiation についての議論は次の節で行うのが適切であ
ろう。
48
6 ブレーンワールド宇宙論
なお、張力を Randall-Sundrum の値 (3.34) に調整すると Λ(4) = 0 であり、真空のブレーン
(ρ = 0)、バルクが厳密に AdS5 (C = 0)、k = 0 ならば、H = 0 になる。このときには、もちろん
RS2 モデルが再現されている。
この節では、Friedmann 方程式は 5 次元のアインシュタイン方程式を書き下し、それを積分す
ることで得られた。もちろん、4 章で導いたブレーン上でのアインシュタイン方程式を利用しても
同じ結果が得られる。Dark Radiaiton を、(4.34) の中で
C
8πGN
ρW = 4 ,
3
a0
(6.30)
k
8πGN eff Λ(4)
ρ +
− 2,
3
3
a0
(6.31)
と置くと、Friedmann 方程式は
H2 =
と書ける。これは、4 次元の Friedmann 方程式のエネルギー密度の項を ρeff に差し替えたものに
過ぎないが、当然そうあるべき結果である。また、(6.20) と (6.21) のような同一視も、(4.16) と
(4.17) を見れば納得がいく。
さて、ブレーンの張力 σ 、あるいは 5 次元のプランク質量 M5 などに対して、宇宙論からの制
限をつけることはできないだろうか。ビッグバン元素合成 (Big bang nucleosynthesis, BBN) [70]
以降の宇宙の進化は、すでに確立されている通常の宇宙の進化と大きく異なっていてはいけない。
したがって、張力のエネルギースケールは元素合成の時代のエネルギースケールより高くなくて
はならない。もし σ のエネルギースケールが小さすぎると、ρ2 の項が BBN に影響を与えてしま
うのである。このことから、
σ 1/4 1 MeV,
(6.32)
という制限をつけることができる。これと、(6.21) から
M5 104 GeV,
(6.33)
が言える。ただし、これは Randall-Sundrum モデルについて、ニュートン則の補正項が小さいと
いう条件からつけた制限 (3.59) よりは弱いことを指摘しておく (こちらの場合は、宇宙項 Λ(4) が
キャンセルして消えるようなパラメーターの値を選んでいるが)。
6.2
Schwsrzschild-Anti de Sitter 時空と Dark Radiation
前節では、Gaussian normal 座標という、ブレーンに「貼り付いた」座標系を用いて Friedmann
方程式を導出した。この節では、前節とは異なるアプローチで得られた宇宙論的な解 [38, 52] に
ついて述べる。それは、Schwarzschild-Anti de Sitter (Sch-AdS) 解で記述され、Einstein 方程式
(6.3) のバルクでの解 (GAB + Λ(5) gAB = κ2(5) TAB = 0) になっている。計量は
gAB dxA dxB = −f (r)dT 2 +
1
dr2 + r 2 γij dxi dxj ,
f (r)
(6.34)
6.2. Schwsrzschild-Anti de Sitter 時空と Dark Radiation
49
Λ(5) 2
µ
r − 2,
6
r
(6.35)
f (r) = k −
で与えられる。ここで、前節と同じように γij は 3 次元定曲率空間の計量で、k = −1, 0, +1 の
それぞれの場合に応じて具体的な形は変わる。計量の成分が時間座標 T に依存していないので、
Sch-AdS 時空は静的である。µ は 5 次元 Schwarzschild ブラックホールの質量という見方ができ
るだろう。r −2 という依存性は、時空の次元が 5 であることに由来する。もちろん、µ = 0 ならば
これは単に AdS5 時空を表しているに過ぎない。
この時空の中にブレーンがあるとし、その軌道を τ でパラメータ付けして (T = T (τ ), r = r(τ ))
と書こう。以下では、イベントホライズンの外側のみを考えることにする。dT = Ṫ dτ, dr = ṙdτ
から、ブレーン上の induced metric は
ds2B = − f Ṫ 2 − f −1 ṙ 2 dτ 2 + r 2 (τ )γij dxi dxj ,
(6.36)
となる。˙ は τ による微分を表す。このとき、ブレーンの速度（軌道の接ベクトル）uA は
uA = Ṫ , ṙ ,
uA = −f Ṫ , f −1 ṙ ,
(6.37)
と書ける。ただし、3 次元の空間成分は自明なので省略した。τ がブレーン上での固有時間に一致
するように、これを
uA uA = −f Ṫ 2 + f −1 ṙ 2 = −1
と規格化することにしよう。uA に垂直な単位ベクトルは
nA = ṙ, −Ṫ ,
nA = −f −1 ṙ, −f Ṫ ,
(6.38)
(6.39)
である。これから、外的曲率の 3 次元空間成分 Kij は簡単に計算することができて、Israel の接
続条件と組み合わせることにより、再び Friedmann 方程式を導出することができる。すなわち、
Kij
= q i A q j B ∇A n B
1 A
n ∂A gij
=
2
= −f Ṫ r −1 gij ,
(6.40)
と、(6.38)、および前節の接続条件 (6.11) （Z2 対称性を仮定している）から
Ki = −
j
κ2(5)
6
(ρ + σ)δi = −
j
f + ṙ 2 j
δi ,
r
(6.41)
を得る。ただし、Ṫ > 0 とした。これに f の表式を入れて変形すると
κ4(5)
Λ(5)
k
µ
ṙ 2
(ρ + σ)2 +
− 2 + 4,
=
2
r
36
6
r
r
(6.42)
となるから、r(τ ) をスケールファクターとみなせば、これは (6.17) と同様の Friedmann 方程式で
ある。ブレーンをはさんで Z2 対称性を仮定したので、時空構造としては、r < r(τ ) の部分を切り
落とし、そこに r > r(τ ) の部分のコピーを貼り合せたものになる。
50
6 ブレーンワールド宇宙論
Brane
Figure 6.3: Sch-AdS 時空の中を動くブレーン
一方、保存則は Kτ τ = KAB uA uB に接続条件を課すことで得られる。(6.11) から、
Kτ τ
= −
κ2(5)
6
(2ρ + 3p − σ)
= uA uB ∇A nB =
1 d f Ṫ .
ṙ dτ
(6.43)
これより、保存則 ρ̇ + 3(ṙ/r)(ρ + p) = 0 が導かれる。
ここまでの結果を整理しよう。Sch-AdS 時空という静的時空の中をブレーンが動いている、と
いう描像にもとづいて、ブレーンの位置 r = r(τ ) が従う方程式を、Israel の接続条件から導出し
た。r(τ ) をスケールファクターとみなすと、その方程式とは Friedmann 方程式であった。さて、
(6.34) に戻って k = 0, µ = 0、すなわち f = −(Λ(5) /6)r2 = (r/)2 の簡単な場合に r = e−y/
と
座標変換すると、計量は
ds2 = e−2y/
ηµν dxµ dxν + dy 2 ,
(6.44)
となることがわかる。したがって、座標 r は大雑把に言って e−y/
のようなものである。こう考
えると、Fig.6.4 に示されたように状況を直観的に理解することができる。AdS 時空は、y の大き
くなるほうにワープファクター e−y/
によって幾何学的に「小さくなっている」。r の大きくなる
向きはこれと逆なので、ブレーンがその向きに動くことによって、ブレーン上で膨張宇宙が実現
されているのである。
Dark Radiation
(6.17) と (6.42) とを見比べると、前者における積分定数 C は後者における Schwarzschild 質量
µ に対応していると言える。以下では、これを C と書くことに統一しよう。Dark Radiation と呼
ばれるこの項は、バルクの重力場のブレーンに対する影響を表していて、§6.1 で触れたように、
Weyl テンソルの射影 Eµν と
8πGN
1
C
ρW = Eτ τ ,
=
4
r
3
3
(6.45)
6.2. Schwsrzschild-Anti de Sitter 時空と Dark Radiation
51
Warp Factor
Figure 6.4: 膨張宇宙を表すブレーンを直観的に解釈した図
という関係にある。宇宙の進化の過程では、Dark Radiation は余分な相対論的物質 (輻射) の自由
度として寄与する。したがって、BBN2 と宇宙背景放射 (CMB) の非等方性3 から、この量に観測的
な制限をつけることが可能だろう [8, 9, 10, 37, 57]。そこで、[10] に沿って BBN から大雑把に制
限を与えてみよう。BBN の時代は輻射優勢であり、また、ρ2 項はすでに効かなくなっている。こ
のときの輻射のエネルギー密度は
ρrad |BBN = g∗
π2 4
T
,
30 BBN
(6.46)
で与えられる。ここで、g∗ は相対論的物質の自由度で、標準模型では g∗ = 10.75 である。g∗ のこ
の値からのずれ ∆g∗ には、軽元素量の観測による制限がついていて、∆g∗ < 2 でなくてはならな
い。したがって、
ρW |BBN <
π2 4
T
,
15 BBN
(6.47)
あるいは
ρW
< 0.16,
ρrad
(6.48)
をみたす必要がある。この比は一定に保たれるが、ρW 自体はもちろんスケールファクターの −4
乗に比例して落ちていくので、現在の宇宙では無視できるはずである。
2
BBN が標準模型を越える物理に対して非常に強い制限を与える仕組みを、簡単に説明しておこう。現在の宇宙の 4 He
の量は、BBN 直前の中性子-陽子の個数の比 n/p で決まる。この n/p 比はある時期に凍結する (“freeze-out”) のである
が、その時期は、弱い相互作用のタイムスケールと宇宙膨張のタイムスケールとの比較で決まる。このとき、もし宇宙の
全エネルギー密度に標準模型の粒子以外の余分なものが寄与していると、宇宙膨張を速くすることになるから、その分だ
け freeze-out の時期が昔になる。すると、n/p 比は大きくなり、4 He がさらにたくさん作られてしまう。これがモデルに
対する強い観測的制限としてはたらく理屈である。n/p 比の freeze-out は、温度で言えば ∼ 800 keV くらいの時代に起
こり、光子、電子-陽電子対、3 つのフレイバーのニュートリノの自由度を順に足すと、g∗ = 2 + 78 · 2 · 2 + 78 · 2 · 3 = 10.75
を得る。
3
CMB の非等方性については、本質的には一様等方性からのずれ、cosmological perturbation の文脈での議論を含
むべきである。しかし、Dark Radiation の存在が一様等方なバックグラウンドの膨張率に影響するのだから、その効
果も CMB の非等方性に現れるであろう。
52
6 ブレーンワールド宇宙論
K. Ichiki たちは [37] で BBN、CMB 双方からの制限について詳細な計算を行い (CMB について
は cosmological perturbation の影響を無視している)、BBN のみから
ρW
−1.23 ≤
≤ 0.11,
(6.49)
ργ
という制限を、さらに CMB の非等方性も考慮に入れた結果、
ρW
−0.41 ≤
≤ 0.105,
ργ
(6.50)
という制限を得ている。ここで、ργ は光子のエネルギー密度である。輻射全体のエネルギー密度
ρrad ではなく光子のエネルギー密度との比なので、負の値も許されることに注意しよう。
6.3
ブレーン宇宙におけるインフレーション
計量 (6.1) について、変数分離可能な解を求めよう (ここでは k = 0 とする)。すなわち、
a(τ, w) = a0 (τ )A(w),
A(0) = 1,
(6.51)
とおく。(6.14) から、n(τ, w) = A(w) である。(6.51) を接続条件 (6.12) および (6.13) に入れるこ
とにより得られる 3p + 2ρ − σ = −(ρ + σ) = const. という関係は、状態方程式が
p = −ρ = const.,
(6.52)
で与えられなくてはならないことを示している。このような状態方程式は、例えば、ポテンシャ
ルが一定で運動項が無視できるようなスカラー場で実現され、インフレーションと密接な関係が
あることが予想される。実際、(6.51) を Einstein 方程式の (τ τ ) 成分 (6.15) に入れることにより
ȧ20
A A 2 Λ(5)
2
2
+ 2 +
,
(6.53)
H = 2 =A
A
A
3
a0
という関係が成り立つ。右辺は w だけの関数であるから、ハッブルパラメーター H は時間に依存
しない定数なのである。よって、a(τ ) = eHτ である。また、(6.53) の解で A(0) = 1 をみたすも
のは
A(w) = cosh(w/) − 1 + (H)2 sinh(w/),
(6.54)
である。H が一定であることと Friedmann 方程式 (6.22) から、このときには C = 0 であることも
言える。したがって、バルクは厳密に AdS 時空になっている。得られた計量の形を書いておくと、
gAB dxA dxB = A2 (w) −dτ 2 + e2Hτ δij dxi dxj + dw2 ,
(6.55)
となる。ブレーン上の induced metric は de Sitter であり、H = const. でインフレーションする
宇宙を表している [42, 54, 69]。ここで、
−1/Hη = eHτ ,
η < 0,
H/ sinh ξ = A(w),
(6.56)
(6.57)
という座標変換を施すと、計量を
gAB dxA dxB =
2
1
2
i
j
2
(−dη
+
δ
dx
dx
)
+
dξ
,
ij
(sinh ξ)2 η 2
のように書き直せることを指摘しておく。このとき η は conformal time になっている。
(6.58)
6.4. 摂動論
53
Slow-roll インフレーション
ブレーン上の slow-roll インフレーションについて、ごく簡単なモデルで考えてみよう [63]。C = 0
とし、ブレーンの張力 σ は、Λ(4) = 0 となるように fine tune されたものとしておく。したがっ
て、次のような Friedmann 方程式を考えることになる:
H2 =
ρ 8πGN ρ 1+
.
3
2σ
(6.59)
インフラトン場として、ブレーン上に束縛されたスカラー場 φ を考え、そのポテンシャルを V (φ)
としよう。ρ = 12 φ̇2 + V, p = 12 φ̇2 − V であり、ブレーン上での保存則から、運動方程式はいつも
のように φ̈ + 3H φ̇ + V (φ) = 0 となる。ここでは、V は φ で微分したことを表す。
インフレーションするためには ä > 0 をみたす必要がある。このためには、条件:
ρ
ρ/σ
p<−
1+
(6.60)
3
1 + ρ/σ
がみたされていなくてはならない。ρ/σ 1 ならば、これは当然ながら 4 次元での条件: p <
− 13 ρ [61] に帰着する。しかし、有限の値の ρ/σ を想定すれば、宇宙を加速膨張させるためにより
絶対値の大きな圧力が要求されることがわかる。
slow-roll パラメーターについてはどうだろうか。ハッブルパラメーターによる通常の定義: ≡
−Ḣ/H 2 [61] をいまの場合にも用いるが、（エネルギーはポテンシャル項が優勢として）H 2 ≈
(8πGN /3)V (1 + V /2σ) なので、これと slow-roll 近似: φ̇ ≈ −V /3H とを合わせて、
1
≈
16πGN
V
V
2
1 + V /σ
,
(1 + V /2σ)2
(6.61)
を得る。V /σ 1 ならば、もちろん 4 次元の場合の slow-roll パラメーターと同じである。しか
し、V /σ 1 のときの様子を調べると、これが 4σ/V というファクターで抑えられることが見て
とれるだろう。したがって、このときには slow-roll インフレーションをたやすく起こすことがで
きる。理由はこうである。ρ2 の項が効く場合には、通常よりハッブルパラメーター H が大きくな
る。H が大きいほど、インフラトン場がポテンシャルの坂を転がるときに受ける摩擦力は大きい。
そのため、坂が急過ぎても slow-roll インフレーションを起こせるのである。
6.4
摂動論
宇宙は第 0 近似では一様等方であるから、まず一様等方な宇宙モデルをつくることは大切であ
る。ところが、宇宙には様々な構造がある。したがって、より現実的な宇宙モデルをつくるために、
宇宙論的摂動論 (cosmological perturbation) の研究が不可欠である。cosmological perturbation
の研究は、理論の観測的なテストという観点からも重要である。例えば、宇宙背景放射 (CMB) の
非一様性について、ブレーンワールドシナリオが通常の 4 次元理論と異なる新たな効果を予言で
きれば、将来の精度よい観測により、モデルの白黒をはっきりさせることができるかもしれない。
ブレーンワールドにおける cosmological perturbation について、すでに多くの研究が行われてい
る [12, 14, 19, 29, 30, 44, 49, 50, 51, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 64, 67, 68, 77]。しかしながら、現状
では満足のいく定量的な評価がなされたとは言い難く、残された研究課題のひとつである。
54
6 ブレーンワールド宇宙論
cosmological perturbation は、scalar perturbation、vector perturbation、tensor perturbation の分類のもとで議論される。CMB の非一様性は主にスカラー型と関係がある。テンソ
ル型はいわゆる背景重力波のことであり、7 章で扱う。この節では、[55, 56] にもとづいて scalar
perturbation を議論しよう。具体的に方程式を解くことはせず、ブレーンワールドにおける摂動の
発展方程式が 4 次元の通常のそれとくらべてどのような変更を受けるか、という点に着目したい。
計量 (6.1) に摂動を与える。
(gAB + hAB ) dxA dxB = −n2 (1 + 2A)dτ 2 + 2n2 ∂i Bdτ dxi +
+a2 [(1 + 2C)δij + 2∂i ∂j E] dxi dxj + dw2 .
(6.62)
A, B, C, E がスカラー型の線形摂動で、t, xi はもちろん、余剰次元の座標 w にも依っている。ここ
では簡単のために、バックグラウンドは k = 0 の平坦な空間を仮定した。いまは Gaussian normal
座標で考えていることに注意しよう。摂動を受けたあとのブレーンの位置も、相変わらず w = 0
なのである。ブレーン上での摂動は、A, B, C, E を w = 0 で評価することで得られる。さて、こ
の計量の 4 次元の部分からつくるアインシュタインテンソルの摂動は、(n があるという以外は) 4
次元のスタンダードなもの [45, 46, 65] と同じで、それを δGst
µν と書くことにしよう:
2
6ȧ
2
=
n
∆C
+
B,
Ė
,
(6.63)
Ċ
−
δGst
ττ
an2
a2
ṅ
ȧ
a2
ȧ
st
Ċ + 2 Ȧ + ∆A+
−2C̈ + −6 + 2
δGij =
2
n
a
n
a
2
ä
ȧṅ
ȧ
+
2
(A
−
C)
δij −
−
2
+∆C +2
a2
an
a
(6.64)
−∂i ∂j (A + C) + B, Ḃ, E, Ė, Ë
ȧ
(6.65)
δGst
τ i = ∂i −2Ċ + 2 A + {B} .
a
ただし、˙ はいつものように τ による微分を表し、∆ ≡ δ ij ∂i ∂j である。ここで、B と E からなる
項を {} に入れて簡略化したのは、通常の 4 次元理論では B = E = 0 というゲージを取ることが
可能だからである (conformal Newtonian gauge、または longitudinal gauge と呼ばれる)。そのと
きには、これら δGst
µν の右辺を energy-momentum tensor の摂動に等しいと置くことで、発展方
程式が得られたのであった。
ところが、ブレーンワールドの場合にはそう簡単にはいかない。アインシュタインテンソルの
摂動には δGAw の 5 つの成分が増えているし、摂動量は座標 w にも依っている。まず、(µν) 成分
はいま求めた δGst
µν を使って、
δ(5) Gµν = δGst
(6.66)
µν + hα , hα , hα ,
という形に書くことができる。hα は A, B, C, E をまとめて表していて、 は w による微分を表す。
B も E も w に依存しているから、たとえ w = 0 で B = E = 0 となるゲージを選んでも、その微
分 B , B , E , E までは消せないことに注意しよう。
摂動をブレーン上の物理量と結びつけるためには、(6.66) を w = 0 で評価する。その際、2 階微
分 a , n は、バックグラウンドのアインシュタイン方程式 (その左辺は (6.6)-(6.9) である) を使っ
6.4. 摂動論
55
て消去することができる。また、1 階微分 a , n は、接続条件を通して (6.12), (6.13) のようにブ
レーン上の物質と関係づけられており、それに置き換えることができる。同様にして、摂動の 1 階
微分 A , B, C , E は、接続条件によってブレーン上の物質の摂動と関係づけられている。
摂動量に関しての接続条件は次のように計算する。まず、(6.11) を摂動について書くと
2
δKµν
κ(5)
1
= ∂w hµν = −
2
2
となる。速度場の摂動が
δuµ = −n−1 A, a−1 v i ,
δSµν
1
1
− δSqµν − Shµν ,
3
3
δuµ = (−nA, avi + n∂i B) ,
vi = δij v j ,
(6.67)
(6.68)
と書けることから、energy-momentum tensor の摂動は
δSτ τ
= n2 δρ + 2(ρ + σ)n2 A,
δSτ i = −(ρ +
δSij
p)naviS
(6.69)
− (ρ + σ)n ∂i B
= a δpδij + (p − σ)hij + a
2
2
2
(6.70)
ΠSij ,
(6.71)
である。ただし、v i も非等方ストレス Πij もスカラーパート (あるスカラー関数の微分で書ける)
viS
ΠSij
= ∂i v,
1
=
∂i ∂j − δij ∆ Π,
3
(6.72)
(6.73)
だけを考えている。これらを (6.67) に入れれば、次の 4 つの関係式を得る。
A w=0+
B
w=0+
1
C + ∆E 3
w=0+
E w=0+
κ2(5)
(2δρ + 3δp),
a0
= κ2(5) (ρ + p) v,
n0
κ2(5)
δρ,
= −
6
=
6
= −
κ2(5)
2
Π.
(6.74)
(6.75)
(6.76)
(6.77)
この結果を (6.66) に入れて、B|w=0 = E|w=0 = 0, n0 = 1 という座標系を選ぶと、最終的に以
下のようなアインシュタイン方程式を得る。
ρ
(ρA + δρ) + 3θC + ∆θE ,
δGst
−
8πG
(2ρA
+
δρ)
=
8πG
(6.78)
N
N
ττ
σ
ρ
×
a−2 δGst
ij − 8πGN [(2pC + δP )δij + Πij ] = 8πGN
σ
p
3p Πij
δρ δij − 1 +
+
× (2p + ρ)Cδij + δp + 1 +
ρ
ρ
2
(6.79)
+∂i ∂j θE − (∆θE + θA + 2θC )δij ,
ρ
3p
(ρ + p) 1 +
a∂i v +
δGst
τ i + 8πGN (ρ + p)a∂i v = 4πGN
σ
ρ
1
(6.80)
+ ∂i θB .
2
56
6 ブレーンワールド宇宙論
ただし、ここで
θA =
1 2 1 1 1 n A , θB = 2 n2 B , θC = 2 a2 C , θE = 2 a2 E ,
2
n
n
a
a
(6.81)
という量を定義して用いた。当然のことながら、θ に添えられている A などは、テンソルの足を表
すものではない。(6.78)-(6.80) の左辺と右辺の分け方には意図がある。右辺はすべて補正項であり、
4 次元の通常の一般相対論の場合には左辺だけで 0 になるのである。右辺に注目すれば、補正項が
2 種類あることに気付くであろう。まず第 1 に、ρ/σ に比例した項がある。これは、Friedmann 方
程式の ρ2 の項に由来していることが明らかであり、ρ σ の高エネルギー領域で効いてくる。
第 2 の補正は、θA , θB , · · · によって表されている項である。定義 (6.81) からわかるように、こ
れらの項は計量が余剰次元の座標 w に依存しているために現れる。θ 達が w 方向に沿った勾配の
形に書けていることは、この量がバルクの重力場の情報のうち、スカラー的なものを運んでいる
ということを物語っている。したがって、バルクの Weyl テンソルに由来するエネルギー密度 ρW
の摂動や、非等方ストレス ΠW
µν のスカラーパートなどに関係していることが予想される。
(5)
δ GAB の中で、まだ使っていない成分がある。このうち、δ(5) Gτ w = δ(5) Rτ w = 0 からはエネ
ルギー保存の式
˙ + 3H(δρ + δp) + (ρ + p) 3Ċ + a−1 ∆v = 0,
(6.82)
δρ
が得られ、δ (5) Giw = δ (5) Riw = 0 からはオイラー方程式
∂τ [(ρ + p)avi ] + 3H(ρ + p)avi + (ρ + p)∂i A + ∂i δp + ∂ j ΠSij = 0,
(6.83)
が得られる。このことから、これら 4 成分はブレーン上での保存則 Dµ S µ ν = 0 の摂動に等価であ
ることがわかる。残る最後の 1 成分は、θ たちが実は互いに独立でないことを言っている:
−δ (5) Gww = θA + 3θC + ∆θE = 0.
(6.84)
さて、(6.78)-(6.80) をよく観察すれば、θ たちを用いて以下のように有効エネルギー密度 etc. を
定義するのが自然であると言えるだろう。
8πGN δρW = 3θC + ∆θE ,
2
8πGN δpW = −θA − 2θC − ∆θE ,
3
8πGN ΠSW = θE ,
θB
8πGN (ρ + p)avW = − .
2
(6.85)
(6.86)
(6.87)
(6.88)
ここではもはや、Weyl テンソルを表す “W ” というラベルを使うことが許される。なぜならば、
(6.84), (6.85), (6.86) から「トレースレスの性質」
1
δpW = δρW ,
3
(6.89)
が成り立つからである。
4 次元的な観点では、δρW , ΠSW , vW はまったく任意の値をとることのできる場である。そのよ
うな場が、ソース項として (6.78)-(6.80) の右辺に現れるのである。これらを正しく評価するため
6.4. 摂動論
57
には、5 次元的にバルクの摂動まで解くことが要求される。これは、3 次元の空間部分をフーリエ
モードに分解したところで、2 変数の偏微分方程式を解く問題である。したがって、時間に関する
常微分方程式の問題であった 4 次元のスタンダードな宇宙論の場合とくらべて、格段と難しい課
題なのである。
58
7 ブレーンワールドにおける重力波
6 章では、RS モデルにもとづいて展開された宇宙論について解説した。一様等方宇宙モデルを構
築する段階では、スタンダードな宇宙モデルとの違いが Friedmann 方程式に Dark Radiation お
よび ρ2 に比例した項の 2 点で現れるのであった。前者はバルクの重力場の自由度であり、少なく
とも観測的には制限がつけられること、後者はごく初期の宇宙進化にのみ影響し、宇宙膨張によ
りただちに効かなくなることなどを見た。さらに、最後の節で cosmological perturbation を考え
た。ブレーン上の摂動量を正しく評価するためには 5 次元的な取り扱いが必要であり、一般には
解析が困難であるということを述べた。
この章では、cosmological perturbation の中でも特にテンソル摂動 (tensor perturbation) に注
目し、ある背景時空のもとでその進化を解くことを試みる。2 章で 4 次元の宇宙モデルにおける通
常の tensor perturbation を扱ったが、ブレーンワールドでそれに対応したものを考えると思って
よい。まず、インフレーション等の具体的な状況設定を説明し、そのセットアップのもとで tensor
perturbation を解く手法を提示する。Bogoliubov 係数を求めて重力波のパワースペクトラムを計
算し、得られた結果を 4 次元の同様の状況下での計算結果と比較しながら議論を行う。
なお、この章にまとめられている内容は、田中貴浩氏、工藤秀明氏との共同研究によって得ら
れたオリジナルな結果にもとづいている。
関連の深い研究として、同様の解析を別のセットアップのもとで行った [29] がある。本研究で
はこれと同じ手法を用いている。
7.1
de Sitter ブレーンとテンソル摂動
AdS5 時空の計量を static coordinate で書くと
ds2 =
2 −dt2 + δij dxi dxj + dz 2 ,
2
z
(7.1)
となる。 は AdS 時空の半径であり、バルクの曲率スケールを表す。z が余剰次元の座標である。
まずここから出発して、座標変換によって de Sitter ブレーン（induced metric が de Sitter であ
るようなブレーン）の座標が一定に見えるような座標系に移りたい。そのような座標変換は
t = η cosh ξ + t0 ,
(7.2)
z = −η sinh ξ,
(7.3)
で与えられる。t0 は任意の定数でよい。(η, ξ) 座標で計量 (7.1) は
2
1
2
i
j
2
ds =
(−dη + δij dx dx ) + dξ ,
(sinh ξ)2 η 2
2
(7.4)
7.1. de Sitter ブレーンとテンソル摂動
59
と書き直すことができる。こうして得た計量は式 (6.58) と同一のものである。ξ = ξB = const. 面
上の induced metric は実際に de Sitter になっている（η は −∞ < η < 0 の範囲にあることに注
意しよう）:
ds2 = a2 (η)(−dη2 + δij dxi dxj ),
a(η) =
.
−η · sinh ξB
(7.5)
したがって、ξ = ξB にブレーンを置いてインフレーションするブレーンを表すことができる。ハッ
ブルパラメーターは
H = −1 sinh ξB ,
(7.6)
と書け、すでに §6.3 で述べたように、η が conformal time になっている。
(t, z) 座標と (η, ξ) 座標の関係を図示すると、Fig. 7.1 のようになる。static coordinate で見る
と、de Sitter ブレーンは速度 tanh ξB で等速運動しているように見えるのである。また、(η, ξ)
座標で覆われる領域をペンローズダイヤグラムに描くと、Fig. 7.2 のようになる。この図を描く
ために必要な座標変換は
T
T +X
+ tan
2
T
T +X
− tan
−η sinh ξ = tan
2
η cosh ξ + t0 = tan
−X
,
2
−X
,
2
(7.7)
(7.8)
であり、この変換により計量 (7.4) は
ds2 =
2
T +X
T −X sec2
−dT 2 + dX 2 ,
· sec2
2
2
η (sinh ξ)
2
2
(7.9)
となる。(η, ξ) 座標が覆う領域は、static coordinate (t, z) が覆う領域の一部にすぎないことに注
意しよう。特に、η = 0, ξ = ∞ の無限遠を表す直線 X + T = 2 tan−1 (t0 /2) よりも下の領域しか
覆っていない。
さて、このバックグラウンドのもとで tensor perturbation
i j
2
1 2
2
TT
2
−dη + δij + hij dx dx + dξ ,
(7.10)
ds =
(sinh ξ)2 η 2
を議論したい。これをフーリエ分解し、
√
1
2
TT
hij (η, x, ξ) =
·
d3 pφ(t, z; p)eiÔ·Ü eij ,
(M5 )3/2 (2π)3/2
(7.11)
とする。eij は偏極テンソルであり、TT ゲージをとった。また、規格化は §2.1 で述べたのとまったく
同じ理由で、canonical な規格化を意識している。アインシュタイン方程式を摂動の 1 次まで書き下す
√
√
ことにより、φ は massless scalar 場に対する Klein-Gordon 方程式 (1/ −g)∂A ( −ggAB ∂B )φ = 0
に従うことがわかる。すなわち、
2
∂
∂2
∂
2 ∂
2 2
+ p η − 2 + 3 coth ξ
φ = 0,
(7.12)
− 2η
η
∂η 2
∂η
∂ξ
∂ξ
である。
60
7 ブレーンワールドにおける重力波
Figure 7.1: static coordinate における de Sitter ブレーンの軌道。等速運動をしているため、軌道
は直線である。
続いて、ブレーンの位置 (ξ = ξB ) での境界条件を与えよう。ブレーンの位置での接続条件によ
り、tensor perturbation のブレーンに対して垂直な方向への微分は、非等方ストレスのテンソル
部分 Πij と ∂ξ hij ∝ Πij のように関連付けられているであろう。しかし、いまはブレーン上に非等
方ストレスはないと仮定し、Neumann 境界条件:
= 0,
(7.13)
∂ξ φ
ξ=ξB
を課す。重力波は横波であるから、ブレーンが鏡のように重力波を反射しているという見方がで
きる。
すでにここまででわかるように、ブレーンが de Sitter 膨張をしている状況下での tensor perturbation はとりわけ扱いやすい。(7.12) は変数分離で解くことのできる偏微分方程式であるし、境
界条件 (7.13) も易しいからである。バックグラウンドの膨張則が一般の場合には、同じ (η, ξ) 座
標を使おうとすれば、(7.13) の条件の替わりに動く境界条件のもとで (7.12) を解かなければなら
ないし、ブレーンの座標が一定になるような座標系をまた新たに導入すれば、今度は場の方程式
が変数分離不可能な形になってしまう。
モード関数
(7.12) の解の基底、言い換えれば graviton の真空を定義するためのモード関数を見つけよう。
通常のような 4 次元的ふるまいをするゼロモード関数に加えて、質量をもった graviton を表す
Kaluza-Klein モードの存在が特徴的である。
7.1. de Sitter ブレーンとテンソル摂動
61
Figure 7.2: de Sitter ブレーンを境界にもつバルク時空の大域的構造。Z2 対称性を仮定している
ので、これと同じ時空のコピーがブレーンをはさんで反対側にもある
• Zero mode
ゼロモードは (7.12) で微分演算子の空間部分の固有値が 0 となる解であり、
H
i
(±)
,
φ0 = −1/2 C(H) √ e±ipη η ±
p
2p
(7.14)
で与えられる。−1/2 がかかっていることと H に依存する規格化因子 C(H) を除けば、§2.2 で議論
したモード関数 (2.32) と同じ形である。C(H) は正準量子化の手続きに基づき、Klein-Gordon 内積
を使って決める。場の方程式 (7.12) と境界条件 (7.13) とを共にみたすような関数 F (η, ξ), G(η, ξ)
について Klein-Gordon 内積を
∞
3 dξ
(F · G) = −2i
(F ∂η G∗ − G∗ ∂η F ) ,
(7.15)
3 η2
(sinh
ξ)
ξB
と定義する。ファクター 2 は Z2 対称性により同じ時空のコピーがブレーンをはさんで反対側に
もあることに由来する。
ここで幾分細かいことを述べよう。一般に、globally hyperbolic な時空において Cauchy surface1
Σ をとり、内積は
√
(f · g) = −i (f ∂a g∗ − g∗ ∂a f ) gΣ na dΣ,
(7.16)
Σ
1
Cauchy surface Σ をもつ時空 (M, gab ) のことを globally hyperbolic な時空という。時空 (M, gab ) の空間的断
面 Σ に対して、点 p ∈ M を通過する時間的もしくはヌル測地線が Σ と交わるような p の全体が M を覆っていると
き、そのような面 Σ を Cauchy surcface という。そのような時空では、Σ にとって未来の点 p の情報が、Σ の上の情
報（初期値）で決まるということを言っている。詳細は [34] [83] を参照のこと。
62
7 ブレーンワールドにおける重力波
で定義される。ここで、na は Σ に垂直な未来向き単位ベクトルで、gΣ は Σ 上の induced metric
の determinant である。このように定義された内積の値は、Σ のとり方によらず一定である。こ
のことは、2 枚の面で囲われた領域（「端」となる空間的無限遠が「点」のようなものである）に
Gauss の定理を適用し、場の方程式と合わせることで証明できる [47]。しかしながら、AdS 時空
は空間的無限遠が時間的な「面」になっており、globally hyperbolic でない。そのため、内積の
値が、空間的断面 Σ の選び方に依ってしまう可能性がある。このことを避けるために、いまは積
分する面を Fig 7.3 のように取る。バルク時空 (影のついた領域) では η = 一定面で積分するよう
にしておき、その外へは適当に面を延長する。Fig 7.3 の左側の小さな三角形の領域は、バルク領
域と因果的なつながりを持ち得ないので、この延長された領域内で場の値は 0 と勝手に決めて問
題はない。定義 (7.15) の積分領域には延長された領域が一見含まれないが、そこでは場の値は 0
なのだから、これでよい。このようにすれば、内積が η の選び方には依らないことを納得できる
だろう。実際、2 つの η = 一定面とそれを延長した面、およびブレーンとで囲われた領域に Gauss
の定理を適用してみればよい (ブレーンの位置で場に対して Neumann 境界条件を課していること
にも注意しよう)。なお、AdS 時空で正準量子化を行うことの一般論は [7] で研究されている。
Figure 7.3: 延長された η = 一定面 (Σ)。延長された左側の三角形の領域では、場の値は 0 である
ように勝手に定義してよい。
さて、規格化であるが、
(±)
φ0
を要請することで
(±)
· φ0
= ∓1,
−1
1
C (H) = 2(sinh ξB )
dξ
(sinh ξ)3
ξB
ξB −1
2
= cosh ξB + (sinh ξB ) ln tanh
2
−1
H
2 2
2
2
√
=
1 + H + H ln
,
1 + 1 + 2 H 2
2
2
(7.17)
∞
(7.18)
7.1. de Sitter ブレーンとテンソル摂動
63
と決まる。これは H の単調増加関数で、H 1 のときは
H
2
2 1
C (H) ≈ 1 − (H)
+ ln
→ 1,
2
2
(7.19)
となる。また、H 1 のときは
9
3
3
∼ H,
C 2 (H) ≈ H +
2
20H
2
(7.20)
のようにふるまう。
• Kaluza-Klein modes
(7.12) はそもそも変数分離で解くことができる形であった。そこで、
φκ = ψκ (η) · χκ (ξ),
と変数分離する。ψκ と χκ はそれぞれ
2
∂
9
2 ∂
2 2
2
+p η +κ +
ψκ (η) = 0,
− 2η
η
∂η 2
∂η
4
2
∂
9
∂
+ κ2 +
χκ (ξ) = 0,
− 3 coth ξ
2
∂ξ
∂ξ
4
(7.21)
(7.22)
(7.23)
をみたし, κ ≥ 0 についてこれらの微分方程式の解が存在する。規格化は、正振動数モードと負振
(+)
(+)
(−)
(−)
動数モード φκ = ψκ · χκ と φκ = ψκ · χ∗κ について、いつものように
(±)
φκ(±) · φκ = ∓δ(κ − κ, ),
(7.24)
を要請することで定める。これから、ψκ と χκ
のそれぞれについて
i3 (+)
(−)
∂
ψ
−
c.c.
= 1,
ψ
η
κ
κ
η2
∞
dξ
χ∗ χ = δ(κ − κ ),
2
3 κ κ
ξB (sinh ξ)
(7.25)
(7.26)
と決めればよいことがわかる。
(7.22) と (7.23) を、物理的示唆が得られる形に書き換えてみよう。de Sitter 時空では conformal
time η と固有時間 τ の関係は a(η) = −1/Hη = eHτ で与えられた。この τ 、および新たに定義
された関数 χ̄κ (ξ) = (sinh ξ)−3/2 χκ (ξ) を用いて
2
p2
∂
∂
2
+
+
3H
+
m
(7.27)
ψκ = 0,
∂τ 2
∂τ
a2
15
9
m2
∂2
+
=
χ̄κ ,
(7.28)
χ̄
− 2+
κ
∂ξ
4 4(sinh ξ)2
H2
のように書ける。ただし、
2
m =
9
κ +
4
2
H2 ≥
9 2
H ,
4
(7.29)
64
7 ブレーンワールドにおける重力波
である。(7.27) を眺めると Kaluza-Klien モードが質量 (7.29) をもった graviton を表しているこ
とがわかるであろう。質量が 0 からではなく、∆m = 3H/2 から始まる連続スペクトルをなしてい
ることに注意すべきである。また、(7.28) は Schrödinger 方程式のようである。
モード関数の具体的な形を求めよう。(7.22) の解は Hankel 関数を用いて次のように書ける:
√
π −3/2 −πκ/2 3/2 (1)
(−)
e
|η| Hiκ (p|η|),
(7.30)
ψκ (η) =
√2
π −3/2 −πκ/2 3/2 (2)
e
|η| H−iκ (p|η|).
(7.31)
ψκ(+) (η) =
2
p|η| 1 （ホライズンの内側）での漸近形は
1
ψκ(−) ∼ −3/2 |η| √ e−ipη−iπ/4 ,
2p
(7.32)
である。一方、空間部分 χκ (ξ) はやや複雑である。計算の詳細は Appendix A.1 に記した。解は
一般の Legendre 関数の線形結合
−2
χκ = C1 (sinh ξ)2 P−1/2+iκ
(cosh ξ) − C2 Q−2
(cosh
ξ)
,
(7.33)
−1/2+iκ
で与えられ、定数 C1 , C2 はそれぞれ規格化条件と境界条件から決められる。のちの計算では境
界での値 χκ (ξB ) が特に重要である。しかも、ある特別な場合には、これは以下のように簡単な形
で書くことができる。
• sinh ξB 1 かつ κ sinh ξB 1 のとき
κ tanh πκ κ2 + 1/4
(sinh ξB )2 .
χκ (ξB ) ≈
(7.34)
2
κ2 + 9/4
• sinh ξB 1 または κ sinh ξB 1 のとき
1
κ
.
χκ (ξB ) ≈ √ (sinh ξB )3/2 2
π
κ + 9/4
(7.35)
KK モード関数についてひとつ注意するべきことは、κ は 0 から始まる連続パラメーターであ
るが κ = 0 でラベルされるモードはゼロモードに対応しているわけではない、ということである。
ゼロモードとの間には ∆m = 3H/2 の mass gap がある。特に、記法の上でもゼロモードを表す
のに添字 0 を使うことにするので、紛らわしいが混乱しないようにする。
ゼロモードの真空ゆらぎ
ゼロモードの真空期待値
(+) 2
(+)
(−) 2
0| a0 (p)φ0 + a†0 (−p)φ0 |0 = φ0 ,
†
(7.36)
について考えよう。ここで、a0 , a0 はゼロモードの消滅演算子、生成演算子である。これは (7.14)
からただちに計算できて
1
H2
−1 2
C (H)
+
,
(7.37)
2pa2 2p3
7.2. セットアップ
65
である（ここでの a はスケールファクターである）。ホライズンの十分内側のゆらぎは時空が曲
がっていることを感じず、そのようなゆらぎにとって時空は平坦な Minkowski のようなものだろ
う。2 章と同様のこのような考察から、括弧の中の第 1 項は平坦な時空での量子ゆらぎに対応して
いることがわかる。時間が経過し（η → 0）、ゆらぎがホライズンの外側に出てしまうと括弧の中
の第 2 項の方が大きくなる。以下では、第 2 項が効くとして議論を進める。
いま計算した scalar 場の真空期待値を重力波の振幅 h2p になおすためには、2/(M5 )3 をかけて
やればよい。特に、単位 log スケールあたりの重力波の振幅について考えたいから、われわれの
興味がある量はパワースペクトラム
4πp3 2
h =
(2π)3 p
2C 2 (H)
(M5 )3
H
2π
2
,
(7.38)
である。さて、C 2 (H) は H 1 のときに C 2 ≈ 1、H 1 のときには C 2 ∼ 3H/2 のように
ふるまうことを思い出そう。H 1 というのは低エネルギーを考えていることに他ならなかっ
た。4 次元のプランク質量 MPl と 5 次元のプランク質量 M5 との間に (MPl )2 = (M5 )3 という関
係があったことを思い出すと、この場合には (2.34) を再現していると言える。一方で、H 1
のときの C のふるまいから、高エネルギー領域では振幅が大きく増幅されることがわかる [54]。
なお、graviton の場の真空期待値としては、ゼロモードの他に KK モードも勘定しなくてはな
らない。したがって、真空ゆらぎ Ψ2 は全体として次のように書ける。
(+) 2 (+) 2
Ψ = φ0 +
φκ .
! "# $
κ
! "# $
zero mode
2
(7.39)
KK modes
7.2
セットアップ
ふつう、インフレーション中にハッブルパラメーターはわずかに変化する: H = H(η)。このよ
うな状況を単純化して、インフレーション中にハッブルパラメーターが突然
H1 = −1 sinh ξB ,
(7.40)
H2 = H1 − δH = −1 sinh ξ̃B ,
(7.41)
から
のように変化するような状況を考えよう (Fig. 7.4)。そのためには、次で定義するもうひとつの座
標系を用意する:
t = η cosh ξ − η0 cosh ξB
= η̃ cosh ξ˜ − η̃0 cosh ξ̃B ,
(7.42)
z = −η sinh ξ
= −η̃ sinh ξ̃.
(7.43)
これらの座標系の間の関係は Fig. 7.5 に示した。ブレーンは最初 ξ = ξB にあるが、ある時刻
66
7 ブレーンワールドにおける重力波
Figure 7.4: ハッブルパラメーターのわずかな変化
η = η0 （あるいは、t = 0, η̃ = η̃0 ）に不連続にハッブルパラメーターの値を変え、ξ̃ = ξ̃B に移
る。このような場合に、Bogoliubov 係数を計算して粒子生成を議論しよう。また、重力波の振幅
がどうなるかも見てみよう。必要なモード関数はすでに得られている。座標系 (η̃, ξ̃) で記述され
ている領域でのモード関数は、§7.1 で求めた表式で η → η̃, ξ → ξ̃, H → H2 と書き換えてやるだ
けでよい。こうして得た、この領域でのモード関数を φ˜0 , φ˜κ というように書くことにする。
˜ の関係についてもう少し考え、のちに利用する表式を
ここで、ふたつの座標系 (η, ξ), (η̃, ξ)
記しておこう。まず、δH H1 < H2 と仮定し、ハッブルパラメーターの変化量を表す小さな量
H を
H
=
=
=
η̃0
cosh ξ̃B − cosh ξB
η0
sinh(ξB − ξ̃B )
sinh ξ̃B
H1 1 + (H2 )2 − H2 1 + (H1 )2
,
H2
で定義しておく。H が実際小さいということは、次のように書き直すとわかる:
1
2 + 3(H1 )2
δH
δH 2
+
+ ··· .
H = 2(1 + (H1 )2 )3/2 H1
1 + (H1 )2 H1
特に、H2 < H1 1 のとき δH/H1 の 2 次までの近似で
δH
δH 2
H ≈
+
,
H1
H1
となり、一方で H1 > H2 1 のときには
1
3 δH 2
δH
H ≈
+
,
H1 H1
2 H1
(7.44)
(7.45)
(7.46)
(7.47)
となる。δH/H1 の 1 次までの近似で、H1 の値によらず常に H cosh ξB ≈ δH/H1 であることに
も注意しておきたい。さて、(7.42) と (7.43) から t と z を消去して
7.2. セットアップ
67
Figure 7.5: インフレーション中にハッブルパラメーターが変化した場合のブレーンの軌道
η̃ = −
tanh ξ˜ =
η 2 + 2H η0 η cosh ξ + 2H η02
(< 0),
η sinh ξ
,
η cosh ξ + H η0
(7.48)
(7.49)
を得る。これらを H で展開すると
η̃ = η + H η0 cosh ξ − 2H η02 (sinh ξ)2 /(2η) + · · · ,
ξ̃ = ξ − H η0 sinh ξ/η +
2H η02 cosh ξ sinh ξ/η2
+ ··· ,
(7.50)
(7.51)
となる。ここで、無限の過去にさかのぼり η → −∞ の極限をとると、
η̃ − η = H η0 cosh ξ,
(7.52)
ξ̃ − ξ = 0,
(7.53)
のような関係があることがわかる。
様々なスケール
重力波の波長 p−1 、インフレーション中のホライズンスケール H −1 に加えて、4 次元の理論を
考えていたときにはなかった新たな長さスケール が存在する。バルク時空の曲率半径である。こ
れらのスケールの大小関係について、ここでまとめておくことにしよう。
• 重力波の波長とホライズンサイズ
p/a ≷ H ⇔ p|η0 | ≷ 1.
(7.54)
68
7 ブレーンワールドにおける重力波
• ホライズンサイズと余剰次元のサイズ (宇宙のエネルギースケールの大小)
H ≷ 1.
(7.55)
p/a ≷ −1 ⇔ p|η0 | · H ≷ 1.
(7.56)
• 重力波の波長と余剰次元のサイズ
Bogoliubov 係数の計算
7.3
グリーン関数の方法
7.3.1
グリーン関数の方法を使って境界条件 (7.13) のもとで (7.12) を解き、Bogoliubov 係数を計算し
よう。ここでは、[29] で使われたものと同じ手法をとることにする。
まず、ハッブルパラメーターの値が変わったあと、すなわち t > 0 で graviton の波動関数が
ϕ = ϕout であったとしよう。このときに時空全体での解を
ϕ = ϕout + δϕ,
(7.57)
のように書くことにする。t > 0 ではもちろん δϕ = 0 であるが、t < 0 でこれは 0 でない値をも
つ。δϕ は先進グリーン関数 Gadv (η, ξ; η , ξ ) を使って求めることができる。先進グリーン関数は
∂
∂2
∂
∂2
2 2
+ p η − 2 + 3 coth ξ
Gadv (η, ξ; η , ξ ) = δ(η − η )δ(ξ − ξ ),
− 2η
η
∂η 2
∂η
∂ξ
∂ξ
2
(7.58)
をみたすものである。まず、(7.57) のように書いたとき、ϕ も ϕout も Klein-Gordon 方程式の解
になっているので、δϕ も Klein-Gordon 方程式の解になっている。一方、ブレーンの位置での境
界条件は ∂ξ ϕ = 0 だから、δϕ にとってこれは ∂ξ δϕ = −∂ξ ϕout となる。したがって、
∂
∂2
∂
∂2
2 2
+ p η − 2 + 3 coth ξ
δϕ = 2∂ξ ϕout δ(ξ − ξB ),
− 2η
η
∂η 2
∂η
∂ξ
∂ξ
2
(7.59)
をみたすような解を構成すればよい。両辺をブレーンの位置 ξ = ξB を含むような微小区間で積分
すればわかるように、これの解は自動的に境界条件をみたすからである。これは、境界での ∂ξ ϕout
がソース項となるような波動方程式であり、解は次のように与えられる。
η0
δϕ = 2
dη Gadv (η, ξ; η , ξB ) ∂ξ ϕout (η , ξ ) ξ =ξ ,
(7.60)
B
−∞
また、先進条件をみたすようなグリーン関数の具体的な形はこうである。
Gadv (η, ξ; η , ξ ) =
κ
i3
θ(η − η) ×
(sinh ξ )3 η 4
(−) (−)
(+) (η,
ξ)φ
(η
,
ξ
)
−
φ
(η,
ξ)φ
(η
,
ξ
)
.
× φ(+)
κ
κ
κ
κ
実際に η > η0 で δϕ = 0 になることは簡単にチェックできるであろう。
(7.61)
7.3. Bogoliubov 係数の計算
69
(−)
いま、ϕout = φ̃0 にとろう。これを (7.60) の公式にしたがって逆向きに時間発展させ、η < η0
(+)
(−)
の領域で φκ , φκ たちの線形結合で表したい。それには、グリーン関数の具体的な表式を入れ
(+)
(−)
て φκ , φκ にかかる係数から読み取るだけでよい。すなわち、係数 v0κ , u0κ を
η0
dη
(−)
3
(−)
v0κ ≡ 2i
φ
(η,
ξ
)
∂
(η,
ξ)
,
(7.62)
φ̃
B
ξ
0
3 4 κ
ξ=ξB
−∞ (sinh ξB ) η
η0
dη
(−)
(+)
φ
(η,
ξ
)
∂
(η,
ξ)
,
(7.63)
φ̃
u0κ ≡ −2i3
B
ξ 0
3 4 κ
ξ=ξB
−∞ (sinh ξB ) η
と定義されるものだとして、η → −∞ で
(−)
δϕ(η, ξ) =
(η,
ξ)
+
u
φ
(η,
ξ)
,
v0κ φ(+)
0κ κ
κ
(7.64)
κ
というように書けていることがわかる。ただし、Σ 記号で KK モードの積分 + ゼロモードをまと
めて表した。
(−)
(+)
(−)
次にするべきことは、ϕout = φ̃0 自身を φκ , φκ たちの線形結合で表すことである:
(−)
U0κ φκ(−) + V0κ φ(+)
.
(7.65)
φ̃0 =
κ
κ
(−)
(−)
(−)
(+)
この U0κ と V0κ は、内積 (7.15) を使って U0κ = φ̃0 · φκ
と V0κ = − φ̃0 · φκ
のように
(−)
与えられる。ただし、φ̃0 は η̃ の関数であるが、形式的に (7.48) の関係からこれを η, ξ の関数
に書き直し、ξ による積分を実行すればよい。この内積は η → −∞ で評価するのが適切であるか
ら、(7.52) および (7.53) の表式を用いて、V00 = V0κ = 0[29] と
2
1
H2 C(H2 ) −iH pη0 cosh ξB
2
2
e
U00 ≈
1 − iH pη0 C (H1 ) − cosh ξB − (H pη0 ) (sinh ξB ) ,(7.66)
H1 C(H1 )
2
U0κ ≈ H pη0
−2ieiπ/4 H2
C(H2 )χκ (ξB ),
κ2 + 1/4 (H1 )2
(7.67)
を得る。この表式は p|η0 |δH/H 1 のときにのみ近似的に正しい。計算の詳細は Appendix A.2
にある。
ここまでに記したことを使って、ゼロモードの真空および KK モードの真空からゼロモード
graviton を生成する、ということを表す Bogoliubov 係数を形式的に書き下すことができる:
(−)
+
(u
+
U
)φ
(v0κ + V0κ )φ(+)
(7.68)
ϕ =
0κ
0κ
κ
κ
κ
(−)
β0κ φ(+)
.
=
κ + α0κ φκ
(7.69)
κ
ふたつの係数を見比べて、
dη
(−)
(−)
φ
(η,
ξ
)
∂
(η,
ξ)
,
φ̃
B
ξ
κ
0
3 4
ξ=ξB
−∞ (sinh ξB ) η
η0
dη
(−)
(+)
= U0κ − 2i3
φ
(η,
ξ
)
∂
(η,
ξ)
,
φ̃
B
ξ 0
3 4 κ
ξ=ξB
−∞ (sinh ξB ) η
3
η0
β0κ = 2i
(7.70)
α0κ
(7.71)
70
7 ブレーンワールドにおける重力波
ということがわかる。これにモード関数の表式を入れさえすれば、Bogoliubov 係数を具体的に
計算することが可能である。今回は、ゼロモードの真空もしくは KK モードの真空からゼロモー
ドを生成する過程にだけ注目する。これらの量と比べて、βκ0 (ゼロモードの真空から KK モード
graviton を生成) を求めるのにはさらに複雑な計算を要するし、ακ0 の計算にも α0κ と同様のテク
ニックを利用しようとすれば、Appendix A.2 で述べているような技術的困難が伴う。βκ κ の計算
はさらに複雑である。
結果
7.3.2
zero mode to zero mode
(−) まず最初に ∂ξ φ̃0 を η と ξ で表すことから始めねばならない。それは、
ξ=ξB
(−) ∂ξ φ̃0 ξ=ξB
H η0 η sinh ξB
(−) ∂η̃ ∂ξ φ̃0 η̃
ξ=ξB
√ 2
C(H2 )
2 2
ip eip η +2H η0 η cosh ξB +H η0 H η0 η sinh ξB , (7.72)
= −−3/2 sinh ξ̃B √
2p
=
である。これと (7.14) を (7.70) に入れ、積分変数 η を x = −pη に変換すると、
β00
sinh ξ̃B
= C(H1 )C(H2 )
H η0
sinh ξB
η0
dη
−∞
i
1
− 3
2
η
pη
−ip η−
e
√
η2 +2H η0 η cosh ξB +2H η02
sinh ξ̃B
= −C(H1 )C(H2 )
H pη0 ×
sinh ξB
p|η0 | √
1
i
i x+ x2 +2xH p|η0 | cosh ξB +2H p2 η02
dx
+
,
e
×
x2 x3
+∞
(7.73)
となるが、小さな量 δH/H1 について 2 次まで計算することを目標としているので、積分の中の
2H は無視することができる（全体に 1 つ H がかかっていることに注意しよう）。このように、H
の 3 次以上の高次の微小量を無視する、という近似だけを行って
p|η0 | sinh ξ˜B
i
1
β00 ≈ C(H1 )C(H2 )
H p|η0 |
dx
+
e2ix−ipη0 H cosh ξB
2
3
sinh ξB
x
x
+∞
˜
sinh ξB
i −2ipη0 −ipη0 H cosh ξB
= C(H1 )C(H2 )
H
e
,
(7.74)
sinh ξB 2pη0
を得る。同様にして α00 を δH/H1 の 2 次まで計算することができて、
α00
sinh ξ̃B
≈ U00 + C(H1 )C(H2 )
H
sinh ξB
i
1+
2pη0
e−ipη0 H cosh ξB ,
(7.75)
となる。U00 を計算する必要があるが、これはすでに一度述べたように、p|η0 |δH/H1 1 の条件
のもとでのみ正しい解析的な形 (7.66) が得られている。したがって、以下で α00 の具体的な表式
があったら、それは p|η0 |δH/H1 1 のときにのみ正しい形であると考えなくてはいけない。
7.3. Bogoliubov 係数の計算
71
さて、興味深いのは低エネルギー領域 H 1 あるいは高エネルギー領域 H 1 の極限的な
場合である。まず、H 1 のときには
i δH −2ipη0 −ipη0 δH/H2
e
,
2pη0 H1
i δH −ipη0 δH/H2
≈ 1+
,
e
2pη0 H1
β00 ≈
(7.76)
α00
(7.77)
となる。注意するべきことは、位相因子をこのように抜き出しておくと、δH/H1 の 2 次までを保
ちつつ計算しても、O(δH/H1 )2 の項は現れないということである。そして、この結果は 4 次元で
同様の計算を行った結果 (2.48), (2.49) と完全に一致している。4 次元の計算では、このような位
相因子を別にすれば δH/H1 の 2 次の項はもともと現れなかった。
一方、H 1 のときには
2
δH
3 i δH −2ipη0 −ipη0 H
−ipη0 23 δH
H1
1
β00 ≈
e
,
(7.78)
2 2pη0 H1
3 δH 2 ipη0 δH
(pη0 )2 δH 2 3 i δH
α00 ≈ 1 +
−
−
+
×
8 H1
2 H1
2
H1
2 2pη0 H1
2
δH
−ipη0 H
−ipη0 23 δH
H1
1
,
(7.79)
×e
を得る。特に、β00 の絶対値の 2 乗は H 1 のときと比べてちょうど 9/4 倍になっている。
ゼロモードの真空から生成されるゼロモード graviton の個数 |β00 |2 を H の関数としてプロッ
トしたのが Fig. 7.6 である。すでにいま述べた通り、低エネルギー領域では 4 次元の結果を再現
し、高エネルギー領域ではその 9/4 倍になっていることが見てとれるであろう。
2
Figure 7.6: |β00 |2 を 4 次元における結果 β (4D) で規格化してプロットしたもの
KK modes to zero mode
α0κ , β0κ は δH/H1 の 1 次まで求めればよいのだが、計算は込み入っている。そのため、詳細は
Appendix A.2 に掲載することにして、ここではその結果のみを議論する。その計算結果とはこう
72
7 ブレーンワールドにおける重力波
である。
β0κ
η0
√
sinh ξ˜B
dη (−)
3/2
∗
ip η2 +2H η0 η cosh ξB +2H η02
=
2p C(H2 )χκ (ξB )
η
ψ
(η)e
H
0
3 κ
(sinh ξB )2
−∞ η
sinh ξ̃B
π
C(H2 )χ∗κ (ξB )
=
H pη0 e−πκ/2 ×
2
(sinh ξB )2
p|η0 |
√ 2
2 2 2
(1)
dxx−3/2 Hiκ (x)ei x +2xH p|η0 | cosh ξB +H p η0
×
∞
1
π
C(H1 )χ∗κ (ξB )
≈
H pη0 ×
2
H1
1
1
p|η0 | iκ
eπκ/2
(p|η0 |)−1/2 fκ (p|η0 |)+
× +
sinh(πκ) iκ − 1/2 Γ(1 + iκ)
2
1
1
p|η0 | iκ
eπκ/2
(p|η0 |)1/2 gκ (p|η0 |) + (κ → −κ) , (7.80)
+i
sinh(πκ) iκ + 1/2 Γ(1 + iκ)
2
α∗0κ
sinh ξ˜B
π
C(H2 )χ∗κ (ξB )
H pη0 e−πκ/2 ×
2
(sinh ξB )2
p|η0 |
√ 2
2 2 2
(1)
dxx−3/2 Hiκ (x)e−i x +2xH p|η0 | cosh ξB +H p η0
×
∞
1
π
C(H1 )χ∗κ (ξB )
≈
H pη0 ×
2
H1
1
1
p|η0 | iκ
eπκ/2
(p|η0 |)−1/2 fκ (p|η0 |)+
× −
sinh(πκ) iκ − 1/2 Γ(1 + iκ)
2
1
1
p|η0 | iκ
eπκ/2
1/2
(p|η0 |) gκ (p|η0 |) + (κ → −κ) .(7.81)
+i
sinh(πκ) iκ + 1/2 Γ(1 + iκ)
2
=
∗
U0κ
−
ただし、fκ (p|η0 |), gκ (p|η0 |) は、一般化された超幾何関数を簡単に表すために
1 iκ 1 iκ 1 1
2 2
fκ (p|η0 |) = 2 F3 − + , + ; , + iκ, 1 + iκ; −p η0 ,
4
2 4
2 2 2
3
1 iκ 3 iκ 3
2 2
+ , + ; , 1 + iκ, + iκ; −p η0 .
gκ (p|η0 |) = 2 F3
4
2 4
2 2
2
(7.82)
(7.83)
というように定義して用いた。近似 ‘≈’ は、H を小さい量としてその 1 次まで計算した、という
意味である。また、α0κ の計算には U0κ の計算が付随し、そのために p|η0 |δH/H1 1 の仮定も
必要である (β0κ の計算にこちらの仮定は必要ない)。以上 2 点が、この計算で用いた近似である。
(7.80), (7.81) からただちに読み取れることとして、まず、α0κ も β0κ も微小量 H の 1 次から始
まる (0 次の項がない) 量であるということが挙げられる。
%
興味のある量として、KK モードの真空から生成されたゼロモード graviton の個数 |β0κ |2 dκ が
ある。これを、再び H 1, H 1 の両極限の場合に順に調べてみよう。(7.80) から graviton
の個数を数値的に積分したものが Fig. 7.7 および Fig. 7.8 であり、それぞれ、H 1 の場合と
H 1 の場合である。
7.3. Bogoliubov 係数の計算
73
H 1 の場合に積分する際、χκ については近似形である (7.34) の表式を用いている。Appendix
A.2 でも述べているが、κ のきわめて大きい領域は積分にほとんど寄与しないと考えられるので、
%
十分小さな H を考えるならば (7.34) を使ってもよい。このとき、 |β0κ |2 dκ の H1 や δH に対す
る依存性は、(7.80) の 1 行目の因子の低エネルギー領域でのふるまいによって決まっている。そ
のふるまいの様子とは
2
2
2 δH
,
(7.84)
|β0κ | dκ = (p に依存する部分) × (H1 )
H1
である。これからわかるのは、低エネルギー極限 H 1 では (H1 )2 という因子のせいで、KK モー
ドの真空からのゼロモード graviton の生成がほとんど起こらない (H1 → 0 の極限で β0κ → 0)、
ということである。β00 が 4 次元の計算を再現していたことは先ほど確認したので、このことと合
わせて、H 1 のときには 4 次元とまったく変わりがないということが言える。
H 1 の場合には、近似形 (7.35) を χκ に入れて κ で積分する。いまの場合も、積分結果の
δH などに対する依存性は (7.80) の 1 行目の因子の高エネルギー領域でのふるまいによって決まっ
ていて、
δH 2
2
,
(7.85)
|β0κ | dκ = (p に依存する部分) ×
H1
となる。H 1 のときにはあったような抑制因子が、この場合にはない。
p 依存性については、以下で議論する。
Figure 7.7: H 1 の場合に KK モードから生成されるゼロモード graviton の個数。
(H1 )2 (δH/H1 )2 で規格化してある。
p|η0 | 1 のときに、(7.80) の絶対値 2 乗のうちもっとも主要な項を取り出すと
π
|β0κ |2 dκ ≈ p|η0 | C 2 (H1 )2H ×
2
∞ 1
1
eπκ
2
dκ |χκ (ξB )|
+ (κ → −κ) , (7.86)
×
sinh2 (πκ) κ2 + 1/4 |Γ(1 + iκ)|2
0
74
7 ブレーンワールドにおける重力波
Figure 7.8: H 1 の場合に KK モードから生成されるゼロモード graviton の個数。(δH/H1 )2
で規格化してある。
となる。極限的な場合に、積分を数値的に行うと

2

∞
 0.52 × p|η0 |(H1 )2 δH
H 1
H1
,
|β0κ |2 dκ ≈
2

0

H
1
0.32 × p|η0 | δH
H1
(7.87)
という評価を得る。いずれにせよ、インフレーション時のホライズンを越える大スケール p|η0 | 1
では
β0κ ≈ −α∗0κ ∼ (p|η0 |)1/2 ,
(7.88)
となって、どちらの係数も 0 に近い。
このようにホライズンの外側では、p が増加するにしたがって KK モードから生成される graviton
の量は増加する傾向にある。しかし、ホライズン程度のスケール p|η0 | ∼ O(1) でピークが訪れ、
ホライズンの内側では生成量は少なくなる。
ホライズンの内側 p|η0 | 1 での α0κ および β0κ のふるまいは、解析的に調べることができる。
それには、Hankel 関数の漸近形
2 i(x−(2ν+1)π/4)
(1)
e
Hν (x) ∼
(x → ∞),
(7.89)
πx
を用いて、(7.80), (7.81) の積分を p|η0 | の大きいところで評価すればよい。まず、p|η0 | → ∞ で
β0κ は
β0κ ∝ p|η0 |
p|η0 |
∞
dxx−2 e2ix ∼
1
→ 0,
p|η0 |
(7.90)
のように 0 に近づく。ただし、積分については部分積分を行い、主要な寄与をする項を取り出してい
る。一方、α0κ に関しては U0κ が主要な寄与をする。なぜなら、(7.67) からわかるように U0κ ∝ p|η0 |
7.4. 重力波の振幅
75
であるが、これに対して Hankel 関数の積分を含む項 u0κ は p|η0 | → ∞ で
u0κ ∝ p|η0 |
p|η0 |
dxx−2 = const.
(7.91)
∞
のように定数にとどまるからである。このことは、次節で重力波の振幅を計算する際に気にとめ
ておくべき事実である。
ここで、2 つの注意を喚起しておく。1 つは、U0κ の計算で用いた近似のため、上記の α0κ の議
論に関して、実際には p|η0 |δH/H1 1 をみたす範囲でしか p を大きく取れないことである。も
う 1 つは、2 章で述べた断熱性の議論に関連している。より現実的にハッブルパラメーターのゆ
るやかな時間変化を考えれば、β0κ はさらにはやく 0 に収束するであろう。このことは、もちろん
β00 に対しても主張できる。
7.4
重力波の振幅
われわれが真に注目すべき量は重力波の振幅 (パワースペクトラム) である。インフレーション
期に純粋に de Sitter 的な宇宙膨張をしていた場合には、重力波の振幅のうち、特にゼロモードが
担う部分はパワースペクトラム (7.38) によって表された。いまのように、ハッブルパラメーター
が途中で変化する場合には、パワースペクトラムは Bogoliubov 係数を使って表すことができる。
いま取り扱っているのは、2 つの de Sitter 時空をつなげたような幾何がブレーン上で実現されて
いる状況であった。最初、スケールファクターは a(η) = 1/(−ηH1 ) であり、後に a(η̃) = 1/(−η̃H2 )
のようにふるまっていたから、η = −∞ は無限の過去に、η̃ = 0 は無限の未来に対応している。
graviton の波動関数 Ψ が、無限の過去 (η → −∞) で初期状態
Ψκ,in = φ(+)
κ ,
(7.92)
であったとしよう。すでに求めた Bogoliubov 変換の逆変換をこれに施すことにより、無限の未来
(η̃ → 0) での終状態は
(+)
(+)
(−)
∗ (−)
Ψκ,out = α0κ φ̃0 − β0κ
(7.93)
φ̃0 +
ακ κ φ̃κ − βκ∗ κ φ̃κ ,
!
"#
$
zero mode
"#
$
!κ
KK modes
というように、ゼロモードと KK モードの和で書くことができる。すべてのモードについて足し
上げると、場の絶対値 2 乗の真空期待値は
2
(+) 2 (+) 2
(+)
∗ (−)
+
=
α
−
β
+
“KK
modes”
φ̃
φ̃
φ
φ
00 0
+
0 κ 00 0
κ
+
2
(+)
∗ (−)
−
β
+
“KK
modes”
φ̃
φ̃
α
,
0κ 0
0κ 0
(7.94)
κ
となる。ここで、“KK modes” と書いた部分は、(7.93) 右辺のシグマ記号の部分に対応している。
いまは特に、ゼロモードの真空ゆらぎを議論したいので
2 2
(+)
(+)
∗ (−) ∗ (−) (7.95)
φ̃0 +
φ̃0 ,
α00 φ̃0 − β00
α0κ φ̃0 − β0κ
κ
76
7 ブレーンワールドにおける重力波
という量に注目する。η̃ → 0 で
(±)
φ̃0
H2 i
,
→ ±−1/2 C(H2 ) √
2p p
であるから、単位ログスケールあたりの重力波の振幅は
2 2
2
4πp3
(+)
(+)
∗ (−) ∗ (−) P5D (p) ≡
·
· α00 φ̃0 − β00 φ̃0 +
α0κ φ̃0 − β0κ φ̃0 M53 (2π)3
κ
∞
2C 2 (H2 ) H2 2
∗ 2
∗ 2
· |α00 + β00 | +
dκ |α0κ + β0κ | ,
=
2π
M53
0
(7.96)
(7.97)
というように Bogoliubov 係数を用いて書き表すことができる。ただし、便宜上 KK モードの総和を
シグマ記号で表していたのを、ここで積分に書き改めた。この量を議論するときには、各 Bogoliubov
係数の位相因子もおろそかにしてはいけないことが読み取れる。また、いまのように、2 つの de
Sitter 時空を接続した状況で重力波の振幅を考えるときには、係数 α00 , α0κ も重要な役割を果た
していることがわかる。このことは、[29] で扱われているような de Sitter 時空から Minkowski 時
空に転移する状況と対比すべき点である。Minkowski ブレーンを配置したときのモード関数は、無
限の未来で振動的なふるまいをする (t → +∞ で ∼ e±ipt のようなふるまい)[29]。このことから、
この場合に (7.95) に相当する量は
|α00 |2 + |β00 |2 + dκ |α0κ |2 + |β0κ |2 ,
(7.98)
と書き表すことができる (激しく振動する干渉項は落として構わない)。ここで、Bogoliubov 係数
についての公式
2
2
|α00 | − |β00 | + dκ |α0κ |2 − |β0κ |2 = 1,
(7.99)
を利用すれば、(7.98) を |β00 |2 および |β0κ |2 だけを用いて書き直すことができる。したがって、
Minkowski ブレーンを接続する状況では、重力波の振幅を議論するのと graviton の生成量を議論
するのとに、実質的な差はなかったのである。de Sitter ブレーンを配置したときのモード関数の
未来でのふるまい (7.96) は、明らかに事情を異なったものにしている。
4 次元の理論において、いまの P5D (7.97) に対応する量を Bogoliubov 係数 (2.48), (2.49) を用
いて表すと、
2
P4D (p) ≡ 2
MPl
H2
2π
2 2
(4D)
∗(4D) · α
+β
,
(7.100)
となる。これに関しては、特に計算過程を示さずとも明らかであろう。P5D と P4D とを比較した
際に認められる式の形の上での相違点は、規格化が異なることと、(7.97) の最後の積分で表され
る KK モードからの寄与が前者には存在することの 2 点である。規格化に関しては、§7.1 の最後
2 という関係があることから、
でも述べたように、H 1 で C(H) = 1 となることと M53 = MPl
H1 1 の極限で両者の規格化因子が一致するということを指摘しておく。
7.4. 重力波の振幅
77
それでは両者を具体的に解析しよう。まず、P4D を H1 のまわりに δH/H1 の 2 次まで展開する。
2
2 2
sin (pη0 )
δH 2
H2
sin(2pη0 ) δH
P4D ≈
+
+ 2 cos(2pη0 )
1+
2
2π
pη0
H1
(pη0 )2
H1
MPl
2 sin(2pη0 )
δH
H1
2
1+
−2
+
≈
2
pη0
H1
MPl 2π
δH 2
2 sin(2pη0 )
sin2 (pη0 )
+ 2 cos(2pη0 ) −
.
(7.101)
+ 1+
(pη0 )2
pη0
H1
この量は、p|η0 | → 0 の極限で
P4D
2
→ 2
MPl
H1
2π
2
,
(7.102)
となる。このことは、ホライズンの十分外側で重力波の振幅が確かに保存されていることを表し
ている。p|η0 | → ∞ では、α(4D) → 1, β (4D) → 0 だから
P4D
2
→ 2
MPl
H2
2π
2
,
である。P4D (p) は、p が大きくなるにつれて振動しながら右に下がって
(7.103)
2
2
MPl
H 2
2
2π
に近づく。H =
一定の純粋な de Sitter インフレーションの場合には p に依らないスケール不変なスペクトラムが
得られたわけだが、ハッブルパラメーターの時間変化 H = H(t) を考慮に入れると、一般に重力
波のパワースペクトラムはスケールに依存 (P4D = P4D (p)) し、傾く (tilted spectrum)。
P5D も同様に展開して調べる。こちらの方は計算が煩雑なので、順を追って計算を示そう。
sin(2pη0 ) C 2 (H1 ) δH
+
pη0
1 + (H1 )2 H1
4 (H )
2 (H )
2C
1
+
C
sin2 (pη0 ) C 4 (H1 )
1
1
−
+
+
+
(pη0 )2
1 + (H1 )2
(pη0 )2 1 + (H1 )2
1 + (H1 )2
C 2 (H1 )
C 4 (H1 )
+
+
(7.104)
+ cos(2pη0 ) 1 + (H1 )2 1 + (H1 )2
2C 2 (H1 )
2 + 3(H1 )2
δH 2
sin(2pη0 ) C 2 (H1 )
−
,
+
2pη0
H1
1 + (H1 )2 1 + (H1 )2
1 + (H1 )2
∗ 2
|α00 + β00
| ≈ 1+
と
C 2 (H2 )H22 ≈ C 2 (H1 )H12
2C 2 (H1 ) δH
+
1− 1 + (H1 )2 H1
3 + 4(H1 )2 C 2 (H1 )
4C 4 (H1 )
−
+
1 + (H1 )2
1 + (H1 )2
1 + (H1 )2
δH
H1
2 ,
(7.105)
78
7 ブレーンワールドにおける重力波
とを合わせれば
P5D (p) =
+
+
+
+
2C 2 (H1 ) H1 2
1+
(M5 )3
2π
C 2 (H1 ) δH
sin(2pη0 )
−2 +
pη0
1 + (H1 )2 H1
−2 (H ) + C 2 (H )
sin2 (pη0 ) C 2 (H1 )
C
1
1
(pη0 )2
−2 +
+
(pη0 )2
1 + (H1 )2
1 + (H1 )2
C 2 (H1 )
sin(2pη0 ) 2 + 3(H1 )2
6C 2 (H1 )
+1 +
−
+
cos(pη0 )
1 + (H1 )2
2pη0
1 + (H1 )2
1 + (H1 )2
C 2 (H1 )
3 + 4(H1 )2
δH 2
4C 2 (H1 )
+
−
1 + (H1 )2
1 + (H1 )2
1 + (H1 )2 H1
+ (KK modes),
(7.106)
を最終的に得る。この式の近似が正しいための条件は、p|η0 |δH/H1 1 である (もちろん、δH/H1 1 も仮定している)。最後の KK modes と書いた部分は、KK モードの真空から生成されるゼロ
%
∗ |2 に対応していて、δH/H の2 次の大きさである。
モード dκ|α0κ + β0κ
1
Figure 7.9: H 1 のときに P5D (p) と P4D (p) とをプロットした図。両者は一致しており、KK
モードからの寄与はない。横軸は |η0 | で規格化してあるので、1 がインフレーション中のホライズ
ンスケールに対応している。なお、パラメーターの値は、H1 = 10−2 , δH/H1 = 10−3 を採用し、
H1 2
2
が 1 になるように適当に定数倍してプロットしてある。
2
2π
M
Pl
まずは、低エネルギー極限 H 1 でのスペクトラム P5D (p) のふるまいを見てみよう。このと
7.4. 重力波の振幅
79
きは、
∗ 2
| ∝ (H1 )2 → 0 (H1 → 0),
dκ|α0κ + β0κ
(7.107)
となって KK モードからつくられたゼロモードの寄与は消えてしまう。その上、残りの部分は規
格化因子も含めて P4D (p)(7.101) に一致する。したがって、H 1 の極限では当然のことながら
4 次元のスタンダードなパワースペクトラムとまったく同じものが得られる。この様子をプロット
したものが Fig. 7.9 である。
次に、H 1 の極限的な場合に限定せず、一般の H に対して P5D (p) のふるまいは P4D (p) と
比較してどうなっているのかを考察しよう。規格化因子 C 2 (H) のせいで両者の大きさがまったく
異なってしまうので、この影響を取り除いて比較するために、P4D を rescale する必要がある。具
体的には、P4D を線形変換によって Pres に rescale し、
 2
 2C (H13) H1 2
(p|η0 | → 0)
2π
(M5 )
P4D −→ AP4D + B = Pres (p) → 2C 2 (H ) 2
,
(7.108)
H2
2

(p|η0 | → ∞)
2π
(M5 )3
をみたすように定数 A, B を選べばよい。これは、H12 を C 2 (H1 )H12 に、H22 を C 2 (H2 )H22 に対応
させるような変換である。こうして得た Pres (p) を δH/H1 で展開すると、次のようになる。
2C 2 (H1 ) H1 2
C 2 (H1 ) δH
sin(2pη0 )
Pres (p) =
−
2
+
1
+
2π
pη0
M53
1 + (H1 )2 H1
sin2 (pη0 )
+
+ 2 cos(pη0 ) +
(pη0 )2
4C 2 (H1 )
(H1 )2
sin(2pη0 )
−
+
+
2pη0
1 + (H1 )2
1 + (H1 )2
3 + 4(H1 )2
δH 2
C 2 (H1 )
4C 2 (H1 )
−
.
(7.109)
+ 1 + (H1 )2
1 + (H1 )2
1 + (H1 )2 H1
P5D (p)(7.106) と Pres (p)(7.109) とを比較すると、δH/H1 の 1 次の項まで両者は完全に一致している
ことがわかる。差異は δH/H1 の 2 次の項から現れるのである。KK モードからの寄与も O(δH/H1 )2
であった。したがって、線形のスケール変換のもとで、2 つのパワースペクトラムの差異は小さい
ことが予想される。
両者の間で違いが現れる O(δH/H1 )2 の部分を分析しよう。KK モードからの寄与以外では、
Pres (p) と比較して認められる最も顕著な差異は、P5D (p) の中の (pη0 )2 に比例した項にある。
(p|η0 |δH/H1 1 をみたす範囲で) p|η0 | が十分大きいとき、この項は他の p に依存した項と比
べて大きいし、p に依らずに H1 だけに依っている項は両者で同一である。H1 は諸量を展開でき
る程度に小さいと仮定して、P5D (p) の中のこの (pη0 )2 に比例した項を H1 で展開すると、結果は
2
4 (H )
2 (H )
2C
1
+
C
δH 2
1
1
2
2
2 δH
(pη0 )
−
≈ −(pη0 ) (H1 )
,
(7.110)
1 + (H1 )2
H1
H1
1 + (H1 )2
80
7 ブレーンワールドにおける重力波
となる。p|η0 |H1 = (p/a) · であり、バルクの曲率スケールと重力波の波長との大小関係に依存
した効果が現れている。H1 を大きくしていくとこの項の絶対値は増加し、H1 1 では
2
4
2C 2 (H1 )
3
δH 2
2 1 + C (H1 )
2 δH
(pη
(pη0 )
−
≈
−
)
,
(7.111)
0
1 + (H1 )2
H1
4
H1
1 + (H1 )2
に近づく。今度は、重力波の波長とホライズンスケールとの大小関係に依存した効果が現れてい
る。整理すると、次のようなことが言えるだろう。ゼロモードからの寄与による O(δH/H1 )2 の差
異のうち主要な部分は、波長の短い重力波の振幅を減少させるようにはたらく。この効果が効き
始める重力波の波長は、バルクの曲率スケール とホライズンスケール H −1 のうち小さい方のス
ケールで決まっている。
5D (including the KK contributions)
4D
5D (NOT including the KK contributions)
Figure 7.10: H 1 のとき、P5D (p) (KK モードからの寄与を含む場合と含まない場合の両方)
と Pres (p) とをプロットした図。パラメーターの値は、H1 = 103 , δH/H1 = 10−3 を採用し、
2C 2 (H1 ) H1 2
が 1 になるように適当に定数倍してプロットしてある。
2π
M 3
5
特に高エネルギー極限 H 1 で P5D (p) と Pres (p) とをプロットしたものが Fig. 7.10 である。
%
∗ |2 を加算しなかった場合、先ほど述べた効果によってホライ
KK モードからの寄与 dκ|α0κ + β0κ
ズンの内側の重力波の振幅が減少している。しかしながら、KK モードから生成されたゼロモー
ドを足し合わせた結果、この両者はきわめてよく一致していることがわかる。
スケール変換のもとでのこのような対応を見せる理由のひとつとして、そもそも差異は (H1 1
の場合に限らず) 現れたとしても δH/H1 の 2 次の微小量であるということが挙げられる。さらに、
その 2 次の微小量に関しては次のようなことが起こっている。ホライズンの外側 p|η0 | 1 では
2 2C 2 (H1 ) H1 2
δH
δH
P5D (p) ≈
+ O (p|η0 |)2 ×
1 + O (p|η0 |)2 ×
+
(M5 )3
2π
H1
H1
+(KK modes),
(7.112)
7.4. 重力波の振幅
81
%
∗ |2
という評価ができる。さらに、(7.88) から、p|η0 | 1 のときの KK モードからの寄与 dκ |α0κ + β0κ
は少なくとも O(p|η0 |) より高次の微小量であることはわかるが、実際、O (p|η0 |)3 である。この
ことから、差は
δH 2
2
|P5D − Pres | O (p|η0 |) ×
,
(7.113)
H1
というように抑えられている。なお、p|η0 | → 0 で
2C 2 (H1 )
P5D (p) →
(M5 )3
H1
2π
2
,
(7.114)
となることは、ホライズンの十分外側でゼロモードの振幅が保存されることを物語っている。p|η0 |
が 1 と比べて大きいホライズンの内側では、β00 , β0κ はすばやく小さくなって、β00 , β0κ ≈ 0 で
ある。これと公式 (7.99) から
2
|α00 | + |α0κ |2 dκ = 1 (p|η0 | 1),
(7.115)
という関係が成り立つ。したがって、p|η0 | 1 で
P5D (p) ≈
2C 2 (H2 )
(M5 )3
=
2C 2 (H2 )
(M5 )3
H2
2π
H2
2π
2 |α00 |2 +
|α0κ |2 dκ
2
,
(7.116)
となる。この中には、あまり自明でない点がふくまれている。H 1 の場合に、|α00 | だけを考え
ていたのでは p|η0 | の大きい領域で振幅は減少傾向にあった。この振幅の減少を補うものとして、
KK モードから
(7.117)
|α0κ |2 dκ = 0,
が寄与していた。α0κ が 0 でないということは、過去 (η = −∞) に余剰次元方向の運動量を
もっていた graviton が、未来 (η̃ = 0) には余剰次元方向の運動量をもっていないことがある、と
いうことを示している。これは、H → 0 の極限においてはなかったことである。
%
H1 が大きい場合の δH/H1 の 2 次の微小な差異が、 |α0κ |2 dκ の存在によって相殺されている
ことは、具体的に以下のように示すことができる。p|η0 | が大きいときに、(7.106) の中でゼロモー
ドからの寄与を減少させている主要な項は
2
4 (H )
2 (H )
2C
3
1
+
C
δH 2
1
1
2
2 δH
(pη0 )
−
≈ − (pη0 )
,
(7.118)
1 + (H1 )2
H1
4
H1
1 + (H1 )2
であった。一方、7.3.2 節の終盤で行った議論によると、p|η0 | が大きければ α0κ ≈ U0κ であった。
H 1 のときの (7.67) を調べると
κ2
6
× (pη0 )2
|α0κ | ≈ |U0κ | ≈
π (κ2 + 1/4)2 (κ2 + 9/4)
2
2
δH
H1
2
,
(7.119)
82
7 ブレーンワールドにおける重力波
となることから、
∞
0
∞
κ2
dκ × (pη0 )2
|α0κ | dκ ≈
2 + 1/4)2 (κ2 + 9/4)
(κ
0
2
3
2 δH
= + (pη0 )
,
4
H1
6
π
2
δH
H1
2
(7.120)
である。ゼロモードからの寄与だけでは減少しているのを、KK モードからの寄与がちょうどキャ
ンセルしていることがわかる。なお、H1 1 の場合には、ゼロモードだけを考えたときの減少
を主に担う項 (7.110) と KK モードからの寄与はともに (H1 )2 により抑制される微小量であるが、
それでもこの両者が互いにキャンセルすることも計算により示すことができる。この場合も再び、
p|η0 | が大きい領域で α0κ ≈ U0κ である。H 1 のときの (7.67) のふるまいを調べることにより、
∞
0
∞
2κ tanh(πκ)
dκ × (pη0 )2 (H1 )2
2 + 1/4)(κ2 + 9/4)
(κ
0
2
2
2 δH
= +(pη0 ) (H1 )
.
H1
|α0κ |2 dκ ≈
δH
H1
2
(7.121)
これは、(7.110) とちょうど打ち消しあう。以上の計算により、いずれの項が主要な働きをしてい
るのかが明確にされた。
7.5
まとめ
この章で行ったことと、得られた結果をまとめよう。インフレーション中にハッブルパラメー
ターが H1 → H2 = H1 − δH とわずかに変化するという状況設定のもとで Bogoliubov 係数を計
算し、重力波のパワースペクトラムがどうなるかについて 4 次元の同様の計算結果と比較しなが
ら議論した。ゼロモードの真空ゆらぎから生成されるゼロモードに加えて、KK モードの真空ゆら
ぎからのゼロモードの生成も考えられる。パワースペクトラムの式の形の上では、この KK モー
ドからの寄与が 5 次元の場合にはあるという違いと、規格化因子による違いとがある。余剰次元
があることにより、AdS5 時空の曲率半径 という長さスケールが出現することに注意する。
• H 1 のとき
ゼロモードからの寄与 α00 , β00 に関しては 2 章で計算した 4 次元の結果を再現した。一方で、KK
モードからの寄与は
2
2 δH
α0κ , β0κ ∝ (H1 )
∼ 0,
H1
のように、無視できるほど小さかった。このため、重力波の振幅に目を移したとき、パワースペ
クトラム P5D は 4 次元のときのもの P4D とまったく同じものが得られるのであった。これは予想
された結果であると言えよう。
• H 1 のとき
P4D を変換 (7.108) で
P4D −→ Pres (p)
7.5. まとめ
83
とスケーリングすることにより、P4D と P5D との間に対応関係があることがわかった。H 1
の場合には、何らかの形で余剰次元の効果を見られることが期待されたのであるが、このスケー
ル変換のもとで得られるスペクトラムに違いは現れなかったと言える。しかし、ゼロモードから
生成されるゼロモードだけを考えてこの対応関係が成り立つわけではない。KK モードからの寄
与がホライズンの内側で
(KK contributions) ∝ (pη0 )2 = 0,
のようにはたらくことで、対応関係が成り立つのである。すなわち、graviton の余剰次元方向の
運動量の再配分は起こっている。
なお、H が小さいとして (H)2 までを考慮に入れた計算でも、このような KK モードからの寄
与による相殺が起こっていることもわかった。
84
8 結論
この修士論文では、ブレーンワールドシナリオの宇宙論的な側面に注目して関連話題を含むレビュー
を行ったのち、Randall-Sundrum 的なブレーン宇宙のインフレーションを起源とする重力波に関
する研究を行った。6 章でブレーン上の一様等方な宇宙モデルを解説した。そこでは、標準宇宙論
との違いが確かに存在するものの、元素合成以降を記述する確立された宇宙モデルに矛盾するよ
うな顕著な差異を与えるということはなく、ブレーン宇宙論は標準宇宙論をよく再現しているこ
とを見た。一方で、一様等方性からのずれということに目を向ければ、ブレーンワールドにおけ
る cosmological perturbation の取り扱いは難しく、いまだに発展途上の研究分野であることを述
べた。このことを踏まえ、7 章で tensor perturbation の解析を試みた。
その 7 章では、インフレーション中にハッブルパラメーター H が時間変化した場合の重力波の
パワースペクトラムに、4 次元理論との違いが現れるか、という点に着目して解析を行っている。
実際に計算を行うために、ハッブルパラメーターの変化がある時刻に H1 → H2 = H1 − δH のよ
うに不連続に起こるという仮定をおいた。このような仮定のもとで場の量子ゆらぎの時間発展を
解き、Bogoliubov 係数を計算した。余剰次元がある場合の特徴として、4 次元的なふるまいをす
る graviton(ゼロモード) に加えて、Kaluza-Klein(KK) モードとして質量をもった graviton が存
在する。したがって、KK モードの真空のゆらぎからゼロモードのゆらぎの生成が起こることも
考えられる。また、バルクの曲率半径として 4 次元理論のときには存在しなかった長さスケール が現れる。このようなことを考慮して、得られた結果について述べる。まず、Bogoliubov 係数の
計算から
• 低エネルギー (H 1) のインフレーションでは、ゼロモードからゼロモードへの寄与を表
す係数 α00 , β00 は 2 章で計算した 4 次元での係数と同一になり、KK モードからの寄与を表
す係数 α0κ , β0κ は、H の因子により抑制されてきわめて 0 に近い。
• 高エネルギー (H 1) のインフレーションでは、KK モードからの寄与を表す係数 α0κ , β0κ
に抑制因子はかからず、0 でない寄与をする。ただし、粒子生成を表す係数 β0κ は、α0κ と
比べて、以下で述べるように振幅に対して非常に小さな寄与しかしない。
ということが判明した。続いて、これらの Bogoliubov 係数をもとに重力波のパワースペクトラム
を計算したところ、
• 低エネルギーのインフレーションでは、KK モードからの寄与はなく、ゼロモードからの寄
与だけで 4 次元のパワースペクトラムとまったく同一のものが得られた。
• 高エネルギーのインフレーションでは、4 次元のパワースペクトラムに対して、H12 を C 2 (H1 )H12
に、H22 を C 2 (H2 )H22 に対応させるようなスケール変換を施しさえすれば、ブレーンワール
ドにおける結果との違いが現れない。自明でないのは、ゼロモードからの寄与だけではホラ
イズンの内側で減少傾向にある重力波の振幅を、KK モードからの寄与が補い、両方の寄与
85
を足し合わせてはじめて、スケール変換のもとでの一致が見られるという点である。β0κ (の
絶対値) は小さいから、0 でない KK モードからの寄与はほとんど係数 α0κ によるものであ
る。このことは、過去に余剰次元方向の運動量をもっていた graviton が、未来には余剰次元
方向の運動量をもたないゼロモードの graviton になっている場合があるということを表し
ている。すなわち、graviton の余剰次元方向の運動量の再配分が起こっている、
ということがわかった。
低エネルギーの場合の結果は予想されたものである。高エネルギーの場合には、余剰次元の何
らかの効果が見られることが期待されたが、結果的には、スケール変換を施しさえすればパワー
スペクトラムに違いが現れないということが明らかになった。しかしながら、このようなスケー
ル変換のもとで存在する対応関係は、以下で述べるように大変示唆的でもある。
上で述べた結果は、ハッブルパラメーターが不連続に変化するという特殊な状況のもとで判明
したことである。今回の結果から、インフレーション中のハッブルパラメーターの一般的な時間変
化 H = H(η) に対して、パワースペクトラムは 4 次元のそれをスケール変換するだけで得られる
ということが予想される。しかし、今回の状況設定が特殊であるということと、余剰次元方向の
運動量の再配分が起こるということを考え合わせれば、予想が果たして正しいのかどうかは自明
でない。ハッブルパラメーターがスムーズに変化する一般的な場合のパワースペクトラムを、数
値的に、あるいは新たな解析的手法を開発することで計算し、今回得られた結果と比較検討する
ことは残された課題である。
また、今回は KK モード graviton の生成を議論することはしなかった。KK モード graviton の
生成は、6 章で述べた Dark Radiation C の生成、時間変化を意味している。Dark Radiation の生
成については、例えば [58, 80] の研究が最近なされているが、本論文で扱ったようなプロセスによ
り生成される Dark Radiation の量を正しく評価し、それが宇宙の進化に影響を与えるのかどうか
を議論することも、今後取り組むべき課題である。
Acknowledgments
修士論文を書くにあたって、丁寧な指導をしていただいた基礎物理学研究所の田中貴浩助教授
に感謝いたします。工藤秀明氏との活発な議論も非常に有益でした。天体核研究室、基礎物理学研
究所の皆様にはコロキウム、宇宙論セミナー等の機会を通じて様々なことを教えていただき、ま
た、日々の研究生活でお世話になりました。特に、中村卓史教授には物理学を楽しむ心も教えてい
ただきました。同期の田代寛之君との議論は、基礎的な事柄を深く理解する上で大変役に立ちま
した。また、本修士論文の研究に関して、研究会等で多くの方々にご意見をいただきました。こ
の場を借りて、皆様に感謝いたします。
Appendix
88
A
長く困難な計算
ここでは、本文中に現れた計算のうち、幾分冗長になり話の本筋からは外れるものを記す。
A.1
KK モード関数の空間部分 χκ (ξ)
KK モード関数の空間部分 χκ (ξ) は
2
∂
9
∂
2
+κ +
χκ (ξ) = 0,
− 3 coth ξ
∂ξ 2
∂ξ
4
(A.1)
を満たすもので、境界条件は
∂ξ χκ (ξB ) = 0,
(A.2)
で与えられた。また、規格化条件は
∞
dξ
2
χ∗ χ = δ(κ − κ ),
3 κ κ
ξB (sinh ξ)
であった。微分方程式 (A.1) は z = cosh ξ と変数変換することにより
2
d
9
2 d
2
− κ +
χκ = 0,
(1 − z ) 2 + 2z
dz
dz
4
と書き換えることができる。さて、微分方程式
2
d
2 d
+ (ν − µ)(ν + µ + 1) w = 0,
(1 − z ) 2 − 2(µ + 1)z
dz
dz
(A.3)
(A.4)
(A.5)
の解は、一般の Legendre 陪関数
w1 = (z 2 − 1)−µ/2 Pν µ (z),
−µ/2
w2 = (z − 1)
2
µ
Qν (z),
(A.6)
(A.7)
で与えられることが知られている（ただし、z > 1 とした）。従って、この微分方程式の解は、
−2
(z 2 − 1)P−1/2+iκ
(z) と (z 2 − 1)Q−2
−1/2+iκ (z) の線形結合で
−2
χκ = C1 (sinh ξ)2 P−1/2+iκ
(cosh ξ) − C2 Q−2
(cosh
ξ)
,
(A.8)
−1/2+iκ
と書くことができる。定数 C1 、C2 は、それぞれ規格化条件と境界条件から決められる。公式
d µ
Pν (z) = (ν − µ + 1)Pν+1 µ (z) − (ν + 1)zPν µ (z),
dz
(ν + µ + 1)zPν µ (z) − (ν − µ + 1)Pν+1 µ (z) + z 2 − 1Pν µ+1 (z) = 0,
(z 2 − 1)
(A.9)
(A.10)
A.1. KK モード関数の空間部分 χκ (ξ)
89
と境界条件 (A.2) とを合わせて
C2 =
−1
P−1/2+iκ
(cosh ξB )
(A.11)
Q−1
(cosh ξB )
−1/2+iκ
と決まる。続いて、規格化条件から C1 を決めるためには、χκ の ξ が大きいところでの漸近形を
見る必要がある。ξ → ∞ で
Γ(iκ)
1
Γ(−iκ)
−2
(−1/2+iκ)ξ
(−1/2−iκ)ξ
e
e
P−1/2+iκ (cosh ξ) ∼ √
+
, (A.12)
π Γ(5/2 + iκ)
Γ(5/2 − iκ)
√ Γ(iκ − 3/2) (−1/2−iκ)ξ
e
π
,
(A.13)
Q−2
−1/2+iκ (cosh ξ) ∼
Γ(1 + iκ)
ということから、 χκ は漸近的に
C1
χκ (ξ) ∼ √
2π
eξ
2
3/2 Γ(iκ)
eiκξ +
Γ(5/2 + iκ)
Γ(−iκ)
Γ(iκ − 3/2)
− πC2
Γ(5/2 − iκ)
Γ(1 + iκ)
−iκξ
e
, (A.14)
のように振舞うことがわかる。ここで、規格化条件 (A.3) を眺めると、ξ の大きいところで χκ は
1 iκξ
ae + be−iκξ , |a|2 + |b|2 = 1,
χκ ∼ (sinh ξ)3/2 √
(A.15)
2π
のように振舞うべきである。このことから
2 −1/2
Γ(iκ) 2 Γ(−iκ)
Γ(iκ
−
3/2)
+
− πC2
C1 = ,
Γ(5/2 + iκ)
Γ(5/2 − iκ)
Γ(1 + iκ) (A.16)
と決まる。解析的な解の形は以上によりわかったわけであるが、さらに、ある特別な場合に境界
での値 χκ (ξB ) を求めておくと便利である。すなわち、「 sinh ξB 1 かつ κ sinh ξB 1 」の場
合と「 sinh ξB 1 または κ sinh ξB 1 」の場合について、境界での値を求める。ただし、C2
を小さい ξB で展開したり大きい ξB での漸近形を求めたりすることは困難な計算を伴うため、よ
り簡単な方法を示す。
まず、「 sinh ξB 1 かつ κ sinh ξB 1 」の場合を考えよう。cosh ξ ≈ 1 のときに
(sinh ξ)2
+ ··· ,
√8
π
Γ(iκ − 3/2）
Q−2
−1/2+iκ (cosh ξ) = 21/2+iκ Γ(3/4 + iκ/2)Γ(5/4 + iκ/2) ×
iκ 3 2
1
− + + · · · ,
×
(sinh ξ)2 2
4
−2
P−1/2+iκ
(cosh ξ) =
と展開できることに注目すると、式 (A.8) は ξ が小さいときに
√
(sinh ξ)4
π
Γ(iκ − 3/2）
− C2 1/2+iκ
×
χκ (ξ) ∝
8
Γ(3/4 + iκ/2)Γ(5/4 + iκ/2)
2
iκ 3 2
2
× 1 − + (sinh ξ) + · · · ,
2
4
(A.17)
(A.18)
(A.19)
90
A
長く困難な計算
と書ける。このような展開が正当であるためには、κξ が小さくなくてはならないことにも注意す
る必要がある。これを微分して、ξ = ξB 1 で
cosh ξB (sinh ξB )3
+
2
√
iκ 3 2
π
Γ(iκ − 3/2）
+ · 2 cosh ξB sinh ξB + · · ·
+C2 1/2+iκ
Γ(3/4 + iκ/2)Γ(5/4 + iκ/2) 2
4
2
= 0,
(A.20)
∂ξ χκ (ξB ) ∝
を満たしていなくてはならない。この式から C2 ≈ O(sinh2 ξB ) であることを読み取れる。なぜな
ら、それより次数が低いと第 2 項が、次数が高いと第 1 項が、それぞれ主要な項として残ってし
まい、これを 0 にすることができなくなってしまうからである。すなわち、これを 0 にするため
には、上に書かれた 2 項が互いにキャンセルしなくてはならない。このような考察により
√
(sinh ξB )2
π
Γ(iκ − 3/2）
≈−
C2 1/2+iκ
,
(A.21)
Γ(3/4 + iκ/2)Γ(5/4 + iκ/2)
4|iκ/2 + 3/4|2
2
と、これを C1 の表式に入れることによりただちに
1 Γ(5/2 + iκ) ,
C1 ≈ √ Γ(iκ) 2
(A.22)
であることがわかる。従って、sinh ξB 1 かつ κ sinh ξB 1 が満たされるとき、χκ (ξB ) の最
も主要な項は Q−2
−1/2+iκ の展開の第 1 項から来る
√
χκ (ξB ) ≈ −C1 C2
π
21/2+iκ
Γ(iκ − 3/2）
,
Γ(3/4 + iκ/2)Γ(5/4 + iκ/2)
(A.23)
である。式を簡単にするために、ガンマ関数に関する公式
Γ(z + 1) = zΓ(z),
π
,
|Γ(iκ)|2 =
κ sinh(πκ)
π
,
|Γ(1/2 + iκ)|2 =
cosh(πκ)
(A.24)
(A.25)
(A.26)
を使うと
χκ (ξB ) ≈
κ tanh πκ
2
κ2 + 1/4
(sinh ξB )2 ,
κ2 + 9/4
(A.27)
を得る。さて、次に「 sinh ξB 1 または κ sinh ξB 1 」の場合を考えよう。ここでは上で
求めた複雑な表式は必要ない。χ̄κ (ξ) = (sinh ξ)−3/2 χκ (ξ) で定義される χ̄κ を用いると (A.1) は
Schrödinger 方程式の形
15
2
χ̄κ = κ2 χ̄κ ,
(A.28)
∂ξ +
4 sinh2 ξ
A.2. 複雑な積分
91
に書けるのであるが、sinh ξB 1 または κ sinh ξB 1 が満たされている場合には、ポテンシャ
ル項は効かない。すなわち、解は
1
χκ (ξ) ≈ √ (sinh ξ)3/2 cos[κ(ξ − ξB ) + ακ ],
π
(A.29)
で与えられ、位相は境界条件から
tan ακ =
3 cosh ξB
,
2κ sinh ξB
(A.30)
のように決まる。従って、
1
κ
,
χκ (ξB ) ≈ √ (sinh ξB )3/2 2
π
κ + 9/4
(A.31)
を得る。
A.2
複雑な積分
§7.3.1 の係数 U
まず、U00 の計算を簡単に示そう。内積の定義 (7.15) にしたがいつつ、積分を η → −∞ で評
価すると
∞
dξ
(−)
(+)
(+)
(−) 3
U00 = −2i
φ̃0 ∂η φ0 − φ0 ∂η φ̃0 2
3
ξB η (sinh ξ)
η→−∞
∞
−i
pη
cosh
ξ
0
H2
e H
=
C(H1 )C(H2 ) · 22 H12
dξ
H1
(sinh ξ)3
ξB
≈
H2 C(H2 ) −iH pη0 cosh ξB
e
· 22 H12 C 2 (H1 ) ×
H1 C(H1 )
∞
1
1
iH pη0 cosh ξB
2
2
dξ
1 − iH pη0 cosh ξ − (H pη0 ) (cosh ξ) .(A.32)
×e
(sinh ξ)3
2
ξB
ここで、被積分関数を H について展開して、2 次まで残した。こうすると、各項ごとに積分する
ことができる。積分の前の eiH pη0 cosh ξB も H について展開し、最終的に
U00 ≈
H2 C(H2 ) −iH pη0 cosh ξB
e
×
H1 C(H1 )
2
1
2
2
× 1 − iH pη0 C (H1 ) − cosh ξB − (H pη0 ) (sinh ξB ) ,
2
(A.33)
を得る。このような展開が正しい近似であるためには、H p|η0 | cosh ξB ≈ p|η0 |δH/H が小さいこ
とが必要である。厳密には、積分区間の端 ξ = ∞ に近づいたときに、指数関数をこのように展開
することが正しいとは言えない。しかしながら、被積分関数を見ればわかるように、ξ = ξB 近傍
がもっとも大きく積分に寄与する。したがって、近似が正しいための条件はこれでよい。
92
A
長く困難な計算
U0κ は H の 1 次まで求めればよいのだが、その計算には込み入ったことを要する。まず、上と
同様に内積を η → −∞ で評価して
∞
dξ
(−)
(−) 3
(+)
(+)
U0κ = −2i
φ̃0 ∂η φκ − φκ ∂η φ̃0 2
3
ξB η (sinh ξ)
η→−∞
∞
−3/2
dξ
H2 = −2i3 · −1/2 C(H2 ) √ · √
χκ (ξ) ×
2p
2p ξB η 2 (sinh ξ)3
i
−ipη̃
ipη+iπ/4
ipη+iπ/4
−ipη̃ e
· (−1 − ipη)e
− (−η̃) e
· (−ipη)e
×
η̃ −
p
η→−∞
∞
−i
pη
cosh
ξ
0
H
B
e
= −2eiπ/4 H2 C(H2 )
dξ
χκ (ξ),
(A.34)
(sinh ξ)3
ξB
を得る。この式変形の途中で、η → −∞ での ψκ の漸近形 (7.32) (使う式はこの式の複素共役で
ある) と、η と η̃ の関係 (7.50) を用いた。これで、問題はこの最後の積分を計算することに帰着し
た。そこで、この積分を I とおき、まず被積分関数を H で展開しよう:
∞
χκ (ξ)
I≈
dξ
(1 − iH pη0 cosh ξ) .
(A.35)
(sinh
ξ)3
ξB
さて、χκ は
1
9
∂
∂
2
χκ = − κ +
χκ ,
(sinh ξ)
∂ξ (sinh ξ)3 ∂ξ
4
3
(A.36)
の解であり、境界条件 ∂ξ χκ (ξB ) = 0 をみたしていたことを思い出そう。さらに、(sinh ξ)−3/2 χκ
は遠方で ∼ eiκξ のように振動的なふるまいをする、すなわち、遠方では (sinh ξ)3/2 程度でしか大
きくならないということに注意しよう。以上のことを踏まえると、(A.35) の右辺の第 1 項目の積
分は消える。第 2 項目は次のように部分積分を繰り返して計算する:
∞
1
9
∂
∂
2
I ≈ iH pη0
χκ (ξ)
dξ cosh ξ
κ +
4
∂ξ (sinh ξ)3 ∂ξ
ξB
∞
1
∂
χ (ξ)
dξ
= −iH pη0
2 ∂ξ κ
(sinh
ξ)
ξB
∞
−2 cosh ξ
χκ (ξB )
+
i
pη
dξ
χκ (ξ)
= iH pη0
H
0
2
(sinh ξB )
(sinh ξ)3
ξB
χκ (ξB )
+ 2I,
(H1 )2
χκ (ξB )
1
.
≈ iH pη0
(H1 )2 κ2 + 1/4
≈ iH pη0
⇐⇒
I
(A.37)
これから、
U0κ ≈ H pη0
−2ieiπ/4 H2
C(H2 )χκ (ξB ),
κ2 + 1/4 (H1 )2
を得る。再び、p|η0 |δH/H 1 のときに正しい近似である。
(A.38)
A.2. 複雑な積分
93
最後に 1 つ指摘しておくべきことがある。それは、Uκ0 , Uκ,κ の計算はさらに困難になる、とい
うことである。例えば、Uκ0 の計算には χ̃κ (ξ̃) をふくむような関数を ξ で積分する必要がある。χ̃κ
のみたす境界条件は ∂ξ̃ χ̃κ (ξ̃B ) = 0 であるが、これは積分の下端 ξ = ξB での条件を与えるもので
はないため、上のようにうまく計算することができないのである ( η → −∞ の極限では ξ = ξ̃ で
あるが、ξB = ξ̃B であることに注意しよう)。このような困難のため、今回は KK モード graviton
の生成を表すような係数は計算しないことにする。
§7.3.2 の ‘KK to zero mode’
最初に、必要な公式を 2 つ記す。まず、
e−πκ/2 Hiκ (x)
(1)
=
eπκ/2
Jiκ (x) + (κ → −κ)
sinh(πκ)
(A.39)
≈
(x/2)iκ
eπκ/2
+ (κ → −κ),
sinh(πκ) Γ(1 + iκ)
(A.40)
x1
という関係式がある。2 行目は Bessel 関数を級数展開して、最初の項をとったということである。
次に、積分公式:
a
a iκ
1
1
2 e∓i(π/4±+κ/2)
−3/2 ±ix
+
dxJiκ (x)x
e
=
a−1/2 fκ (a)
2 + 1/4
π
κ
iκ
−
1/2
Γ(1
+
iκ)
2
∞
a iκ
1
1
a1/2 gκ (a),
(A.41)
±i
iκ + 1/2 Γ(1 + iκ) 2
である。ただし a > 0 とし、fκ (a) と gκ (a) と書いたのは一般化された超幾何関数である:
1 iκ 1 iκ 1 1
2
(A.42)
fκ (a) = 2 F3 − + , + ; , + iκ, 1 + iκ; −a
4
2 4
2 2 2
iκ − 1/2 2 (iκ − 1/2)(iκ + 5/2) 4
a +
a + ··· ,
(A.43)
= 1−
2(iκ + 1)
24(iκ + 1)(iκ + 2)
3
1 iκ 3 iκ 3
2
+ , + ; , 1 + iκ, + iκ; −a
(A.44)
gκ (a) = 2 F3
4
2 4
2 2
2
iκ + 1/2 2 (iκ + 1/2)(iκ + 7/2) 4
a +
a + ··· .
(A.45)
= 1−
6(iκ + 1)
120(iκ + 1)(iκ + 2)
それぞれの 2 行目は、a による級数展開である。
α0κ , β0κ の計算に移ろう。(7.70), (7.71) にモード関数の表式を入れ、積分変数を x = −pη に
94
A
長く困難な計算
取り直して、
β0κ
η0
√
sinh ξ˜B
dη (−)
3/2
∗
ip η2 +2H η0 η cosh ξB +2H η02
=
2p C(H2 )χκ (ξB )
η
ψ
(η)e
H 0
3 κ
(sinh ξB )2
−∞ η
sinh ξ̃B
π
C(H2 )χ∗κ (ξB )
=
H pη0 e−πκ/2 ×
2
(sinh ξB )2
p|η0 |
√ 2
2 2 2
(1)
×
dxx−3/2 Hiκ (x)ei x +2xH p|η0 | cosh ξB +H p η0
∞
1
π
C(H1 )χ∗κ (ξB )
≈
H pη0 ×
2
H1
p|η0 |
eπκ/2
dxJiκ (x)x−3/2 eix + (κ → −κ) ,
(A.46)
×
sinh(πκ) ∞
となる。ここで、δH/H1 の 1 次まで計算することが目的だったので、全体にひとつ H がかかっ
ていることを考慮して、積分の中の H を無視することと、あらゆる部分で H2 を H1 に換えて
しまうことができる。また、最後の行では上の公式によって Hankel 関数を Bessel 関数に書き換え
ている。これと同様にして、
sinh ξ̃B
π
∗
∗
C(H2 )χ∗κ (ξB )
α0κ = U0κ −
H pη0 e−πκ/2 ×
2
(sinh ξB )2
p|η0 |
√ 2
2 2 2
(1)
dxx−3/2 Hiκ (x)e−i x +2xH p|η0 | cosh ξB +H p η0
×
∞
2e−iπ/4 H2
≈ iH pη0 2
C(H2 )χ∗κ (ξB )
κ + 1/4 (H1 )2
p|η0 |
sinh ξ̃B
π
(1)
∗
−πκ/2
C(H2 )χκ (ξB )
H pη0 e
dxx−3/2 Hiκ (x)e−ix , (A.47)
−
2
2
(sinh ξB )
∞
この積分は上の積分公式の助けを借りて実行することができる。結果は、
1
π
C(H1 )χ∗κ (ξB )
β0κ ≈
H pη0 ×
2
H1
1
1
p|η0 | iκ
eπκ/2
(p|η0 |)−1/2 fκ (p|η0 |)
× +
sinh(πκ) iκ − 1/2 Γ(1 + iκ)
2
1
1
p|η0 | iκ
eπκ/2
1/2
(p|η0 |) gκ (p|η0 |) + (κ → −κ) (, A.48)
+i
sinh(πκ) iκ + 1/2 Γ(1 + iκ)
2
α∗0κ
≈
1
π
C(H1 )χ∗κ (ξB )
H pη0 ×
2
H1
1
1
p|η0 | iκ
eπκ/2
(p|η0 |)−1/2 fκ (p|η0 |)
× −
sinh(πκ) iκ − 1/2 Γ(1 + iκ)
2
1
1
p|η0 | iκ
eπκ/2
(p|η0 |)1/2 gκ (p|η0 |) + (κ → −κ) (, A.49)
+i
sinh(πκ) iκ + 1/2 Γ(1 + iκ)
2
A.2. 複雑な積分
95
となる。
超幾何関数を級数展開すると、ホライズンの外側 p|η0 | 1 でのふるまいを見ることができる。
p|η0 | ≈ 0 でもっとも効く項を取り出すと、
β0κ ≈
−α∗0κ
≈
H eπκ/2
1
1
π
C(H1 )χ∗κ (ξB )
2
H1 sinh(πκ) iκ − 1/2 Γ(1 + iκ)
p|η0 |
2
iκ
(p|η0 |)1/2 , (A.50)
となることがわかる。
α0κ , β0κ の H1 や δH に対する依存性は、(A.48), (A.49) で [ ] の外に集められた項が担ってい
る。すなわち、β0κ ∝ C(H1 )χ∗κ (ξB )H /H1 である。具体的には、H 1 かつ κH 1 のとき
に (A.27) の表式が使えて、
|β0κ | ∝ (H1 )
2
2
δH
H1
2
,
(A.51)
H 1 または κH 1 のときには、(A.31) の表式が使えて
|β0κ |2 ∝
δH
H1
2
,
(A.52)
という依存の仕方をする。実際には、|β0κ |2 を κ について積分した量も調べたい。このとき、κ が
きわめて大きい領域は積分にほとんど寄与しないであろう。したがって、H を十分小さく取れば、
「H 1 かつ κH 1」という条件は破られず、近似形である (A.27) をそのまま使って積分し
てもよい。H 1 の場合には、(A.31) の近似形を用いても何ら問題はない。以上のことから、
%
KK モードからの寄与を積分した量 |β0κ |2 dκ についても、(A.51), (A.52) のような依存性は保
たれる。
96
B
変分原理による Israel の接続条件の導出
本文中でたびたび登場する Israel の接続条件を、[17] にしたがって変分原理から正しく導いておこ
う。ここに限っては、κ2(D) = 1 という単位系を使うことにする。
D 次元の多様体 (M, gAB ) があって、それがドメインウォール ((d − 2)-ブレーン) Σ によって 2
つの部分 M+ , M− にわけられているとしよう。Σ の各面をそれぞれ Σ+ , Σ− と書くことにする
(Fig.B.1)。 gAB は連続とし、gAB の微分は Σ の上以外では連続と仮定する。
Einstein 方程式をみたす gAB に対して、変分 δgAB を考える。このとき、全体の action の変分
は 0 になっていなくてはならない。まず、Einstein-Hilbert action
√
1
SEH =
dD x −gR,
(B.1)
2 M
の変分は、
δSEH
1
=
2
M
√
d x −g
D
RAB
1
AB
AB
− RgAB δg
+ g δRAB ,
2
(B.2)
√
√
となる。このとき、公式: δ −g = − 12 −ggAB δgAB を使う。積分の中の ( ) で囲まれた項は、バ
ルクの energy-momentum tensor および宇宙項と合わせて Einstein 方程式を導き出す部分である。
Einstein 方程式をみたすような gAB に対して変分をおこなっているので、この部分は考えなくて
よい。いまは最後の項が重要である。
gAB δRAB を計算するには、ある与えられた点の近傍で Riemann normal 座標をとるのが便利で
ある。Riemann normal 座標とは、与えられた点ですべての ΓC
AB が 0 となる座標のことで、任意
の点の近傍でいつでも張ることができる [83]。この特別な座標で計算したのち、結果を共変な形に
D
書き直せばよい。Riemann normal 座標をとれば、ある与えられた点で RAB の中の ΓC
AD ΓBC の
ような項の変分が 0 になることと、∂C gAB = 0 となることを用いると
gAB δRAB
C
= gAB ∂C δΓC
AB − ∂A δΓBC
AB
δΓC
= ∂A gBC δΓA
BC − g
BC ,
(B.3)
となる。ΓA
BC の変分も、Riemann normal 座標のもとでは容易に計算できて、
1 AD
ΓA
(∂B δgDC + ∂C δgBD − ∂D δgBC ) ,
BC = g
2
(B.4)
となる。これらを共変形に書き直して
gAB δRAB = ∇A gM N ∇M δgAN − gM N ∇A δgM N ,
(B.5)
97
Figure B.1: ドメインウォール Σ によって 2 つにわけられた時空 M
を得る。これから、Einstein-Hilbert action の変分は
√
1
δSEH =
dD x −g∇A gM N ∇M δgAN − gM N ∇A δgM N
2 M
√
1
dD−1 x −qnA gM N (∇M δgAN − ∇A δgM N )
= −
2 Σ±
√
1
dD−1 x −qnA q M N (∇M δgAN − ∇A δgM N ) ,
= −
2 Σ±
(B.6)
となることがわかる。2 行目に移るときには Gauss の定理を利用し、3 行目に移るときには、( )
の中を nM nN nA で縮約すると 0 になることを用いた。ここで、nA は Σ± に垂直な単位ベクトル
で、向きは Fig. B.1 に描かれているように決めた。qAB = gAB − nA nB は Σ 上の induced metric
である。省略して
··· =
··· −
··· ,
(B.7)
Σ±
Σ+
Σ−
という書き方を使うことにする。nA の向きの決め方から、2 つの積分の引き算になっていること
に注意しよう。全体の action として、これに Gibbons-Hawking 項 [28] を付け加えることを忘れ
てはならない。Gibbons-Hawking 項とは
√
SGH = −
dD−1 x −qK,
(B.8)
Σ±
と書かれる項であり、(B.6) の最後の Σ に垂直な微分の項を消すのに必要である。この項なくして
は、Einstein 方程式をみたす gAB が action の極値を与えることはないのである。ここで、K は、
Σ の外的曲率 KAB = qA M qB N ∇M nN のトレース K = q AB KAB である。
Gibbons-Hawking 項の変分を計算しよう。計量を変分したことにより、nA も変わる。なぜな
ら、nA の大きさは常に 1 に規格化されているからである。δ gAB nA nB = 0 から、その変化分は
δnM =
1
nM nA nB δgAB ,
2
(B.9)
98
B
変分原理による Israel の接続条件の導出
であることがわかる。したがって、K の変分は
1
1
MN
MN A
δK = −K
δgM N − q
n
∇M δgN A − ∇A δgM N + KnA nB δgAB ,
2
2
(B.10)
と計算できる。これが、計量の変分の Σ に垂直な微分をふくんでいることに気づくだろう。さら
√
に −q の変分も加えて、Gibbons-Hawking 項の変分は
1
D−1 √
MN
(B.11)
δSGH = −
d
x −q δK + Kh
δgM N ,
2
Σ±
となる。全体の変分としては、結局
δSEH + δSGH = −
√
1
d
x −q − q M N nA ∇M δgN A −
2
Σ±
1
1
−K M N δgM N + KnM nN δgM N + Kq M N δgM N ,
2
2
D−1
(B.12)
を得る。ここで、Σ 上の induced metric からつくった共変微分 DA と Σ 上のベクトル X B につい
て次の式が成り立つことを思い出そう。
DA X B = qA M qN B ∇M X N .
(B.13)
特に、ここでは X M = q M N nA δgN A について上式を縮約したものを適用する。nM X M = 0 であ
ることに注意して、∇M X M = DM X M − X M nN ∇N nM というように変形できるので、このこと
と ∇B nA nA = 2nA ∇B nA = 0 を用いて、多少技巧的な計算を行うことにより
q M N nA ∇M δgN A = ∇M q M N nA δgN A − δgN A ∇M q M N nA
= DM q M N nA δgN A + KnM nN δgM N − K M N δgM N ,
(B.14)
を得る。これを (B.12) に入れる。Σ 上の積分なので、DM による全微分項は落とすことができて、
√ 1
δSEH + δSGH = −
dD−1 x −q −K AB + Kq AB δgAB ,
(B.15)
2 Σ±
である。
Σ で不連続になる可能性のある δgM N の Σ に垂直な方向への微分は、Gibbons-Hawking 項を加
えることで消した。KM N も Σ で不連続になることが許されるので、一般に (B.15) だけでは変分
が 0 にならない。これと相殺するものが、ウォール上の energy-momentum tensor tAB である。ド
メインウォールの action を
√
SDW =
dD−1 x −qLDW
(B.16)
Σ
と書くと、energy-momentum tensor の定義と tAB nA = 0 であることから、変分は
√
1
δSDW =
dD−1 x −q tAB δgAB ,
2 Σ
(B.17)
99
となる。これも加えて、δSEH + δSGH + δSDW = 0 より Israel の接続条件
[KAB − KqAB ] = −κ2(D) tAB ,
(B.18)
が導かれる。ただし、[f ] = f |Σ+ − f |Σ− であり、また、重力定数を復活させた。
最後に tAB の保存則についてコメントしておこう。接続条件の両辺を微分して
κ2(D) DA tAB = − DA K AB − q AB DA K ,
(B.19)
となる。右辺に Codacci 方程式を適用すると
AB
DA tAB = −κ−2
RAC nC = − q AB TAC nC ,
(D) q
(B.20)
を得る。ただし、ここでバルクで成り立つ D 次元の Einstein 方程式: RAB − 12 gAB R = κ2(D) TAB
を使った。いまは TAB に宇宙項も含まれる。(B.20) は、バルク-ウォール間でのエネルギーの流
れを記述する保存則である。本文中ではそうであったように、(B.20) の右辺が 0 になるとき、ブ
レーン上だけで保存則が成り立つ。
100
C
Notation and Conventions
ここでは、本文中によく登場する記号等の定義や使い方について記す。
計量の符号、Riemann テンソル、Ricci テンソル
• ηµν = diag(−1, 1, 1, 1)
• Rabc d = ∂b Γd ac − ∂a Γd bc + Γe ac Γd eb − Γe bc Γd ea
• Rab = Racb c
添字
• µ, ν, λ, ... : 0, 1, 2, 3 の 4 次元を表す添字
• i, j, k, ... : 1, 2, 3 の 3 次元の空間部分を表す添字
• A, B, C, ... : 0, 1, ...,5, ... など、高次元全体を表す添字
関係子
• ∼ : 「漸近的に等しい」または「オーダーが等しい」の意
• ≈ : 「近似的に等しい」の意
fundamental mass
• MPl = (8πGN )−1/2 ≈ 2.436 × 1018 GeV
: 4 次元の (reduced) プランク質量
– tPl ≈ 2.70 × 10−43 sec : プランク時間
– LPl ≈ 8.10 × 10−33 cm : プランク長
−1/3 2 −1/3
• M5 = 8πG(5)
= κ(5)
: 5 次元のプランク質量
• MD : D 次元のプランク質量
101
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