非平衡Thermo Field Dynamicsの レビューと冷却原子系への応用

非平衡Thermo Field Dynamicsの
レビューと冷却原子系への応用
研究会「重イオン衝突と非平衡物理の理論的発展」　2012年2月18日 早稲田大学基幹理工学部　山中　由也
1
初めに
場の量子論系の非平衡現象を記述する理論形式
Closed Time Method（略してCPT、Schwinger-Keldysh）
Thermo Field Dynamics（略してTFD、平衡系Takahashi-Umezawa）
真空中とは異なる粒子描像
準粒子描像
ユニタリー非同値表現（自発的対称性の破れ）
場の量子論系の粒子描像
•  状態空間＝非摂動ハミルトニアンの選択
•  非平衡系でその時間変化をどう取り入れるか　→　相転移
•  密度行列のトレース和　⇔　どの完全系（粒子描像）で和を取るか　2
話しの流れ
これなしには解析不能
1.  CPTとTFDの定式化
–  Wick定理　⇒　Feynman diagram
•  粒子描像　＝　状態空間　＝　非摂動ハミルトニアン
•  Path integralではimplicit →　Canonical formalism
•  真空場の量子論との相違
–  ミクロとマクロの共存
–  粗視化
2.  量子輸送方程式の導出
–  Dyson方程式から自己無撞着に導出
3.  TFDの冷却原子系への応用
共同研究者　中村　祐介
3
CPT
Keldysh経路coincidence time tcoincidence
= ¡ 1
time
0
coincidence time t0 = ¡ 1
oincidence
timet t0== time
coincidence
incidence
time
¡ ¡11 t0 = ¡ 1
0
期待値
h¢¢¢i = T r[½H ¢¢¢] = T r[½(t0) ¢¢¢]
h¢¢¢i = T r[½H ¢¢¢] = T r[½(t0)
h¢¢¢i =
hA H (t)i = h½(¡ 1 )U(¡ 1 ; 1 )U (1 ; t)A
h¢¢¢
i
=
T
r[½
¢¢¢
]
=
Tr[½(t
)
¢¢¢
]
h¢¢¢
i
=
T
r[½
¢¢¢
]
=
Tr[½(t
)
¢¢¢
]
H
0
H
0
h¢¢¢
i = T r[½H ¢¢¢]coincidence
= Tr[½(t
]
0) ¢¢¢
相互作用描像
time
t0 = ¡ 1
¡ 1
hA
h½(¡ 1
H (t)i
= hS
T [S=A (t)]i
=)U(¡
h½(¡
1; ;11)U(¡
11;;;t)A
1;t)A
)U
(1
(t; ]¡ =1 ¡Tr[½(t
)i 1 )i 0)=¢¢¢
AHH(t)i
(t)i
h½(¡
)U(1(1
(t)U
1 )iH)i(t)U(t;
i =(t;;(t;t)A
T¡;¡r[½
¢¢¢
H (t)i
hA =H=hA
(t)i
h½(¡
)U(¡
1h¢¢¢
)U(1
t)A
hT]c [S cA (t)]i
h½(¡
1=1)U(¡
111
)U
(t)U
1(t)U
¡ ¡11
¡ 1
=== hS
A
(t)]i
真空理論　Gell-­‐Mann-­‐Low rela;on
¡ 1 TT [S
hS
[S
A
(t)]i
=
hS
hS T [S A (t)]i T [S A (t)]i
h0jS ¡ 1 = ei ® h0j
= =hT
c [S
cA
= hThT
[S
(t)]i
=(t)]i
hT c [S cA (t)]i
cA
A
(t)]i
c c[S
c
hA H (t)i = h½(¡ 1 )U(¡ 1 ; 1 )U(1 ; t)A (t)U(t; ¡ 1 )i
¡1
¡
1
i
®
¡
1
i
®
=
hS
h0jS¡ 1 == eh0jS
ei ® h0j
h0j = e h0j T [S A (t)]i
積：Keldysh経路（時間の往復路）上の順に並べる演算
h0jS
= hT c [S c A (t)]i
Keldysh経路c
4
¡ 1
= hT c [S cA (t)]i= =hShT
(t)]i
(t)]i
cT[S[S
cAAc
coincidence time t0 = ¡ 1
¡ 1
i®
c
h0jS
=
e
h0j
¡ 1
i®
t0 = ¡ 1
hA H (t)i =
CPT h0jS = e =h0jhT c¡ [S
A
(t)]i
c
hA H (t)i h¢¢¢
= h½(¡
)UH(¡¢¢¢
1]
t = ¡ 1i¯ˉ
i = 1T r[½
h0jS ¡ 1c = ei ® h0j h0jS 10= ei¡® h0j
H. Umezawa, Advanced F ield T heory
¡ i¯ˉ| cMicro, Macro, and T hermal P hysics (A IP, New Y ork, 1993).
H. Umezawa, Advanced
T heory
Macro, and T hermal P hysics (A IP, New Y ork, 1993).= hS ¡ 1
¡ 1 | iMicro,
®a
t0 = ¡ 1F ield
c
e h0j
J . R ammer, Quantu F ield h0jS
T heory cof=
States (C ambridge Univ, C ambridge, 2007).
a Non-­‐equilibrium
hA H (t)i
1 )U(¡= 1hT; 1
J . Rt0ammer,
Univ,
C ambridge,
2007).
¡ i¯ˉ F ield T heory of Non-­‐equilibrium States (C½ambridge
¡=¯ˉ Hh½(¡
= ¡ 1Quantu
=
½(¡
1
)
/
e
c
北　孝文
, 物性研究 90, 1 (2008); P rog. T heor. P hys. 123, 581 H(2010).
¡ ¯ˉ H
c
½H¡ 581
= ½(¡ 1 ) / e
¡ i¯ˉ , 物性研究 90,1 (2008); P rog. T heor. P hys. 123,
¡ 1
北　孝文
¯ˉ H (2010).
=
hS
T [
½H = ½(¡ 1 ) = e
t　で熱平衡状態
=
¡
1
R t 0 ¡ i ¯ˉ
0
¡ 1
ca
H in t ( s)ds
¡ ¯ˉ H 0 R t ¡ i ¯ˉ¡ t非平衡状態の実現
h0jS
0
¡
¯ˉ
H
= e
T c0 e
time-dependent external disturbanceを加える
= hT c [S c
½H = ½(¡ 1 ) / e
¡ ¯ˉ HR t 0=¡ i ¯ˉe¡ ¯ˉ H 0 T e¡ t 0a H in t ( s)ds
¡
¯ˉ
H
c
½ = ½(¡ 1¡1¯ˉ)H) =0/ ee ¡ t
a
½H = ½(¡ 1 ) /R t½HeH¡ ¡i ¯ˉ¯ˉ=H ½(¡
= e
T ca e 0 H in t ( s)ds
c Keldyh経路c
¡ 1
¡ t0
H in t ( s)ds R
¡ ¯ˉ H 0
h0jS
=
R
0
t
=
¡
1
t
¡
i
¯ˉ
= e
T虚軸に延長、Matsubara法
e
t
¡
i
¯ˉ
h
i
h
i
0
00
caR
¡
H
(
s)ds
¡
H
(
s)ds
¡
¯ˉ
H
in
t
in t
t 0t 0
t0 ¡ i e
0T
h =Tr e¡ ¯ˉ H Ti c [S c ]
e¡ ¯ˉ H T c [S ciA (t)]
= ¯ˉ eH¡ in¯ˉ tH(0s)ds
Tccaaee hA
¡ t=
H (t)i =h ¡ Tr
¡ ¯ˉ H 0
¡
i¯ˉ
¯ˉ
H
¡ ¯ˉ H
= e
T ca e 0
hT
i T c [S
h c]
hA
e
h H (t)i = T r ie
h c [S c A (t)] c=Tr
i
¡
¯ˉ
H
¡ ¯ˉ H
¡
¯ˉ
H
0
h =T
icAa(t)]h =Tr e¡ ¯ˉ H T c+ c [S
i c+
=
Tr
e
[S
hA
(t)i
=
Tr
e
T
[S
A
(t)]
r
e
T
[S
]
H
c
c
c
c
c+
c
a
a
¡
¯ˉ
H
¡
¯ˉ
H
h
i
h
i
0
t0 ==Tr
¡ 1External = T r e i T [S
ei Tdc+
h ¡ ¯ˉ H
h c+ ca A (t)]
ca [S c+ca ]
isturbance
¡ ¯ˉ H 0Tici [S c ] hh
¡
¯ˉ
H
Tr e¡ ¯ˉH T c [S c Ahh(t)]
=Tr
e
i
Th [S
T c+¡cai¯ˉ[S c+ ca ]
¡=
¯ˉHH Tr ei
¡ ¯ˉ(t)]
¯ˉHH =T r ii e
c+rcaeA
¡
¯ˉ
¡
h
½H = ½(¡
hA
(t)i
=
T
r
e
T
[S
A
(t)]
=T
T
[S
]
h
i
h
i
H
c
c
c
c
hATrH¡ ¯ˉ(t)i
T
[S
A
(t)]
=T
T
[S
]
¡ ¯ˉH 0= T r he
¡ ¯ˉ Hr ei
c
c
c
c
H
¡
¯ˉ
H
T r e e T c [STcc+A c(t)]
=T
rA0 e(t)] =Tr
T c [Sec ] i T c+ hca [Shc+¡ c¯ˉa H] 0 T r [½0 T i[S cAi (t)]]
a [S
h c+
¡ ¯ˉ¯ˉcHaH
¡
¡ir¯ˉh He
= TTrr ee i 0hTT c+
=T
[S c+ ca ]
h
h ca [S A
TTr c+
[½c0aT[S
c+(t)]
ca A (t)]
c+[S
caciA
i
=
[S
=T
r
e
½H = ½(¡ 1
c+
c
c+
ca ](t)]]
¡ ¯ˉ H 0
¡0 ¯ˉ aH
¡
¯ˉ
H
¡
¯ˉ
H
Tr e
T [S c+ ca A (t)]T r=Ter e T [S
T c+
[S
]
A
(t)]
=T
r
e
T
[S
]
c
c+
c
a
c a
= he¡ ¯ˉ H 0 Ti ca e
hc c
i
¡ ¯ˉ Hh0
¡ ¯ˉ H 0 i
¡ ¯ˉ Hh0
T r [½0 T c [S cA (t)]]
i ¡ ¯ˉ H 0
R
½
=
e
=T
r
e
T
[S
]
=
e
=T
r
e
0
c
c
h
i
h
i
¡
¯ˉ
H
¡
¯ˉ
H
¡
¯ˉ
H
¡
¯ˉ
H
0
0
0
0
T
r
[½
T
[S
A
(t)]]
¡
T c [S c ] = e
=T r e= e¡ ¯ˉ H 0 T e
c ½0ci= e ¡ ¯ˉ H =T r e
i ¡ ¯ˉ H 0 hT [S A0(t)]
Tr
e
=Tr
e
T
[S
]
ca
c
c
c
¡ ¯ˉ H 0
¡
¯ˉ
H
0
i
h
i
e¡ ¯ˉ H 0 T [ShcA¡ ¯ˉ(t)]
=T
r
e
T
[S
]
c
c
h
h
i
e
=T r e H¡ 0¯ˉ TH c0 [S c ] h =¡ ¯ˉeH¡ 0¯ˉ H 0 =T ri e¡ ¯ˉ ¡H ¯ˉ0 H 0
¡
¯ˉ
H
0
虚軸は寄与しない
= T r e¡ ¯ˉ H　のみ
T c [S c
½H hA
/ H½(t)i
½0 = e
=T r e
T c [S c ] = e
=T r e 結局　、contour c
0
½
/
½
H
0
初期相関の消失＝Gaussianからの初期のずれ
h h ¡ ¯ˉ H 0
→　Wick定理
はthermal fluctuationでwipe outされる
hA H (t)i = =T rTer¡ ¯ˉeH T c 5[ST c[S
A (c
½H / ½0
h
½H / ½0
Wick展開（１）
a½0 = p½=0 ae
T ca e
t0
ay ½0 = p¡ 1½0 ay
CPT
hA (t)i =
Wick展開（２）
p=
h
H
=
i
h
i
¡ ¯ˉ H
¡ ¯ˉ H
Tr e
T c [S c A (t)] =T r e
T c [S c ]
¡ ¯ˉ (!h¡ ¹ )
i
h
e
¡ ¯ˉ H 0
Tr e
T [S c+ ca A (t)] =T r e¡ ¯ˉ H T c+ ca
i
[S c+ ca ]
Wick定理　（Bloch-de Dominicis定理）
0 T [S2N
cA]](t)]]
hT c [A 1A 2 ¢¢¢A 2N ]i 0 ´ T r [½0 T c [A 1TAr2[½
¢¢¢A
h
i
X
=
hT c [A ¾1hA ¾2 ]i 0 ¢¢¢hT ci A ¾2N ¡ 1 A ¾2N ih0
¡ ¯ˉ H 0
½0 = eP
=T r e¡ ¯ˉ H 0 T c [S c ] = e¡ ¯ˉ H 0 =T r e¡
¯ˉ H 0
i
本当は　ではなく
次の関係式が必要
a½0 = p½0 a
ay½0 = p¡ 1½0 ay
p = e¡
¯ˉ (! ¡ ¹ )
½H / ½0
a½0 = p½0 a
½0 = (1 ¡ p)
X
m= 0
y
¡ 1
y
m½0 = p ½0 a
a
p jmi hmj
平衡系なら p = e¡ ¯ˉ (! ¡ ¹ )
ただし平衡分布に限る必要なし
Green関数の計算にFeynman diagram法
diagram　－　connected, proper, one particle-irreducible
Schwinger-Dyson方程式
Dyson方程式（self-energy） etc
6
L = K + V ¡ ¹ + =2gj³Xj 2hT [A A ]i ¢¢¢hT hA
c
¾1 ¾2 0
c
¾2N ¡ 1 A
CPT
c
P
Keldysh Green関数
M = g³ 2
Keldysh経路
½0
x = (x ; t)
Green関数とDyson方程式
時間がKeldysh経路上にあるのがポイント
が往路にあるのか復路にあるのかで場合分け
⇒　Green関数を２×２行列とする
２×２行列のGreen関数 (KeldyshのGreen関数)とDyson方程式
7
CPT
CPT まとめ
•  Keldysh経路導入
⇒ ２×２行列Green関数
•  初期平衡分布
⇒　Wick定理成立のみ、初期温度無関係
⇒　初期に粒子描像（非摂動ハミルトニアン）を確定
•  External disturbance で非平衡状態を実現
⇒　詳しく記述することはない
8
p = e¡
¯ˉ (! ¡ ¹ )
TFD hT c [A 1A 2 ¢¢¢A 2N ]i 0 ´ T r [½0 T c [A 1 A 2 ¢¢¢A 2N ]]
h
i
X
hT c [A 1A 2 ¢¢¢A 2N ]i 0 ´ T r [½0 T=c [A 1 AhT
A ]]¾2 ]i 0 ¢¢¢hT c A ¾2N ¡ 1 A ¾2N i 0
2 ¢¢¢A
c [A ¾12N
T r [½0 T c [AX 1 A 2 ¢¢¢A 2N
]]
h
i
2 ¢¢¢A 2N ]i 0 ´
P h
i
X
=
hT [A ¾1 A ¾2 ]i 0 ¢¢¢hT c A ¾2N ¡ 1 A ¾2N i 0
=
hT c [A ¾1PA ¾2 ]ic 0 ¢¢¢hT
c A ¾2N ¡ 1 A ¾2N i 0
H. Umezawa, Advanced
F
ield
T
heory
|
Micro,
Macro, and T hermal P hysics (A IP, New Y ork, 1993).
P
TFD（Thermo Field Dynamics) ½0
J . R ammer, Quantu F ield T heory of Non-­‐equilibrium States (C ambridge Univ, C ambridge, 2007).
½
½0 (2008); P0rog. T heor. P hys. 123, 581 (2010).
北　孝文, 物性研究 90,1
混合状態期待値を、自由度を倍加して純粋状態期待値で表す
a !
a; ~a
a !
a; ~a 元々の自由度：non-tilde
a; ~a
hA i = T r[½A ] 新たな自由度：tilde
!
h0thjA j0thi
hA i = Tr[½A ] !
h0thjA j0thi
hAi = T r[½A ] !
h0thjA j0thi
j0th i
熱的真空 の期待値
a
!
超演算子形式　⇒　TFD形式
9
一様系でも　有限サイズ系でも
TFD
非摂動形式－超演算子形式から
まったく同じように定式化できる
局所近似はしないで粒子描像
非摂動ハミルトニアンを対角化する演算子で作る
規格化された非摂動密度演算子
熱的状態条件
密度演算子に対応する超ケット
トレース演算に対応する超ブラ
トレースの循環性
熱的期待値：
10
TFD
二重化のルール（チルダルルール）
超演算子　に関する代数：
証明）
任意の超ケット
全ハミルトニアン
力学：Schrödinger描像、Liouville方程式
Liouvillian
11
TFD
倍加されたFock空間
熱的真空
混合状態
超ブラと超ケット
熱的期待値
倍加されたFock空間の
純粋状態
＝TFD
TFD：空間を倍加した純粋状態で、熱的な混合状態を扱う！
12
dt
TFD
·∙
¸
d
i ~aH (t) = a~H (t); H^
dt
熱的Bogoliubov変換
n(t)
熱的真空を消去する演算子　を導入
は熱的真空を消去しない
熱的Bogoliubov変換
＝熱的Bogoliubov変換
R ¹ º ;A¹ º
SU(1,1)群の3つのパラメータ
n; ® ; s
at t1 and t2
各モード粒子数　（平衡系：Bose-Einstein分布）
2つのパラメータ自由度
熱的真空の定義
密度行列の情報をブラ・ケット
どちらに持たせるか？
スケール変換
も　も平衡系では意味のない自由度
しかし非平衡系では、
何にとっても結果は変わらない
重要になってくる！
T. S. Evans et al., J. Math. Phys. 33, 370 (1992).
13
c
P
TFD
¾1
¾2
0
c
¾2N ¡
1
¾2N
0
½0
½0
Heisenberg描像と相互作用描像
a
a
!
!
a; ~a
a; ~a
Heisenberg描像、相互作用描像：自由度の二重化と正準交換関係
hA i = T r[½A ]
hA i = T r[½A ]
!
!
h0thjA j0thi
h0thjA j0thi
j0th i
j0th i
·∙
¸
Heisenberg描像：Heisenberg方程式
d
i d a H (t)
i dt a H (t)
dt
d
i d a~H (t)
i dt a~H (t)
dt
= ·∙ aH (t); H^ ¸
= aH (t); H^
·∙
¸
·∙ ~
aH (t); H^ ¸
=
= ~aH (t); H^
ハットハミルトニアン
相互作用描像：熱的Bogoliubov変換、熱的真空
14
TFD
Feynman diagram
相互作用描像とHeisenberg描像
時間順序積でまとまるか？
Wick展開　←　熱的真空
平衡では任意の　でも
Feynman図法が使える
（　が特別な形をしている為）
ならば
非平衡では　が必要
T. S. Evans et al., J. Math. Phys. 33, 370 (1992).
Wickの定理
Feynman diagram、Dyson方程式
が使える形式！
Keldysh経路は不要
ただし、特定の　を選ぶ必要あり
15
hA i = T r[½A ]
TFD
非平衡化
!
h0thjA j0thi
j0th i
·∙
¸
d
i aH (t) = aH (t); H^
dt
非摂動状態の密度行列を仮定
a½0 = p½0 a
y
¡ 1
y
a
½
=
p
½
a
0
0
ただし時間依存する非平衡分布
·∙
¸
d
i ~aH (t) = a~H (t); H^
dt
×
p = e¡
¯ˉ (! ¡ ¹ )
n(t)
マクロ量（熱力学的量）粒子分布　は未知として導入
その時間依存性はミクロな力学と自己無撞着に決定
時間に対してある種の粗視化＝
各時刻でInitial correlationの消失を反映
時間変化する粒子分布・描像を追いかける形式（相互作用描像）
熱的真空が時間依存しない条件
相互作用ハミルトニアンを選ぶ必要がある。
16
TFD
非平衡TFDの構造
熱的真空
熱的真空を消す演算子
時間依存しない
相互作用描像の
Heisenberg方程式
非摂動ハミルトニアン
時間依存する
熱的Bogoliubov変換
摂動ハミルトニアン
熱的真空が時間依存しないために必要
もともとの演算子
相互作用描像の
Heisenberg方程式
熱的カウンター項
の時間依存性に起因
まだ　が決まっていない！！
何らかの方法で　を決定する必要がある。
非平衡TFDでもFeynman図法がつかえるか？
の自由度をどうするか？
17
非摂動伝搬関数
演算子が２重項だから、伝搬関数は２×２行列
相互作用描像
Heisenberg描像
非摂動伝搬関数
の伝搬関数
全伝搬関数
非摂動伝搬関数
の伝搬関数
全伝搬関数
両者の関係
18
i
·∙
¸
d
i ~aH (t) = a~H (t); H^
dt
d
a~H (t) = ~aH
dt
因果律・時間の向き
n(t)
n(t)
R ¹ º ;A¹
具体的な　の非摂動伝搬関数の構造
R ¹ º ;A¹ º
粒子の伝搬の係数
n; ® ; s
n ; ® ; s at t1 and t 2
の関数
at t1粒子の伝搬の係数
and t2
熱的時間の向き（不可逆性）　⇒　マクロ量( 等)に関する因果律
時間方向粗視化
となれ！
t t1 and t要請
2
nd t2
®(t) = 1
®(t) = 1
q
s(t) = log 1 + n(t)
q
s(t) = log 1 + n(t)
Feynman diagram, Dyson方程式が使える
未来の 情報に依存しない物理量の計算
自由度が固定される
internal vertex時間積分
一般には未来の　を知ってい
ないと計算できない！
19
at t1 and t2
at t1 and t2
Feynman diagram法と時間の向き
®(t) = 1
®(t) = 1
  ミクロな時間の向きの対称性　Heisenberg方程式
q
  マクロな時間の向きの選択 at t and t
s(t) =1 log 1q2 + n(t)
s(t) = log 1 + n(t)
at t1 and t2 平衡系 ®(t) = 1
Feynman daigramが使える
¡ i ¯ˉ
® ¯ˉ at(1t ¡and
® )¯ˉ任意の でFeynman diagram
®
マクロな時間の向きの選択
t2
1
q = 1
¡ i ¯ˉ
® ¯ˉ
(1 ¡ ®物理量は　に依存しない
)¯ˉ
®®(t)
s(t) = log 1 + n(t)
®(t) = 1
q
s(t) = log 1 + n(t)
q
¡ i ¯ˉ
® ¯ˉ
(1 ¡ ®)¯ˉ
®
s(t) = log 1 + n(t)
¡ i ¯ˉ
® ¯ˉ
(1 ¡ ®)¯ˉ
®
Keldysh経路
エントロピー増大
（物理的時間の向き）
¡ i ¯ˉ
エントロピー減少
（非物理的時間の向き）
® ¯ˉ
(1 ¡ ®)¯ˉ
20
TFD
繰り込み条件
H. Umezawa, Advanced F ield T heory | Micro, Macro, and T hermal P hysics (A
J . R ammer, Quantu F ield T heory of Non-­‐equilibrium States (C ambridge Univ, C
に対する方程式　＝　量子輸送方程式　北　孝文, 物性研究 90, 1 (2008); P rog. T heor. P hys. 123, 581 (2010).
の場合
Y . Y amanaka et al, Int. J . Mod. P hys. A 9, 1153 (1994).
一般化
非摂動伝搬関数
Chu-Umezawaの繰り込み条件
全伝搬関数
  短時間では が と同じ構造を持つという要請
  counter term Q を決める
  自己無撞着に決定
Chu-Umezawa条件で決着して
いるわけでない
最低次ではよさそう
を要請している
しかし高次では一般に
21
量子輸送方程式の導出 - 2つの粒子数分布
(a) 時間依存　から出発し、その時間依存性を自己無撞着に決定
は　の補正を計算して求める
(b) 初期の　を導入するが、時間依存　は導入しない
は時間依存するものとする　←　補正（摂動）計算はしない
CTP
(b) を採用。
Kadanoff-Baym方程式、Wigner表示、勾配展開、 微分近似。
導出されるもの：　に対する量子輸送方程式
TFD
(a) を採用。
ただし(b)を採用することもできる。（結果はCTPとまったく同じになる）
導出されるもの：　に対する量子輸送方程式
22
q
= log
CPT
at s(t)
t1 and
t 2 1 + ¡n(t)
i ¯ˉ
¡ i ¯ˉ
®¯ˉ
(1 ¡ ®)¯ˉ
®
M = g³ 2
CTP　輸送方程式の導出
®¯ˉ
(1 ¡ ®)¯ˉ ®(t)
® = 1
G(x 1 ; x 2 ) = G(X ; r ) ! G(X ; p) !
Kadanoff-Baym方程式（Dyson方程式をより導かれる）
q
s(t)
log! 1 + n(t)
G (X=; p)
x + x2
X = 1
2
x 1¡ +i ¯ˉx 2 ® ¯ˉ
X =
r =(1 x¡ 1 ®)¯ˉ
¡ x2 ®
2
r = Gx(x
x 2) = G (X ; r ) ! G (X ; p) !
1 ¡ ;x
x = (x ; t)
(x 1 ; x 2 ) = G (X ; r ) !
時空の変化がゆっくり
Wigner表示 一次の勾配展開
1 2
x1 + x2
2
r = x1 ¡ x2
X =
Full Green関数にスペクトル表示　→　準粒子近似をする
自己エネルギーを　微分近似で計算
粒子描像の導入
の時間変化を記述する方程式を得る
Wigner表示の分布関数
23
量子Boltzmann方程式
2
CPT
r = x 1 ¡ xr2 = x ¡ x
1
2
³ (x )
³ (x )
量子Boltzmann方程式
' (x )
' (x )
p @n H p @V@n @nH @V @n
n_H +
¢n_ + ¡ ¢ ¢H ¡ = I ¢[n H ;Hx ;=t;Ip]
[n H ; x ; t; p]
m @HX m@X@X @p @X
@p
衝突積分　Markov性
d3 p i Z Y4 4d34p i
I [n H ; x ; t; Ip][n=H ;2g
+ p2 4¡±4p(p3 ¡+ p
p42)¡ p3 ¡ p4 )
x ; t; p] = (2¼)
2g2 3 (2¼) ± (p3 (2¼)
i= 2
i = 2 (2¼)
£ [(1 + nH£)(1
)(1++ nnHH;3;4)(1
)] + nH ;4 )]
;2)(1
;3(1
[(1++nnH H;2 )n
)(1H +;3nnHH;4;2¡)nnH H;3nnHH ;4
¡ n+H nnHH ;2
2
Z Y4
24
Cf. 相互作用描像
TFD
TFD 伝搬関数の構造
相互作用ハミルトニアン
の全伝搬関数
Heisenberg描像
遅延
先進
Cf. Keldysh変換
の全伝搬関数
上三角行列を熱的Bogoliubov変換した構造
時間依存！
・似ているけど違う。
・定義の順番が逆。TFDでは
25
TFD
Dyson方程式
Dyson方程式で自己エネルギーを定義
の自己エネルギー
の自由エネルギー
伝搬関数と同じ構造
自己エネルギーは摂動で計算する
例えば、
ならば
26
TFD
２つの分布関数の関係
非摂動の粒子分布
Bose-Einstein分布
Heisenbergの粒子分布
観測される分布
を　の言葉で書いてみると
27
TFD
最低次の非対角要素
Dyson方程式　より
全伝搬関数
近似
非摂動伝搬関数
平衡なら
：　のFourier変換
衝突積分。平衡分布なら自動的に０
28
TFD
量子輸送方程式
非平衡系に繰り込み条件　を課す
摂動ハミルトニアン
熱的カウンター項
自己エネルギー
非摂動分布関数　が
時間依存することに由来
相互作用項
と　に分解
(相互作用項)
(熱的カウンター項)
量子輸送方程式
非摂動分布関数に対する閉じた方程式
過去の分布に依存する（非Markov型）
未来の分布には依存しない（因果律）
あとは、具体的に を計算すればよい。
29
量子輸送方程式導出　まとめ
CTPとTFD共通
2×２行列Green関数に対するDyson方程式
←　Heisenberg方程式、Feynman diagram法
CTP
に対する量子輸送方程式
＝　量子Boltzmann方程式（Markov）
ダイアグラムの補正計算なし
Wigner表示、勾配展開、準粒子近似
TFD
に対する量子輸送方程式（非Markov）
ダイアグラムの補正計算
→　繰り込み条件
時間方向の粗視化
30
冷却原子系
冷却原子系　1995年Bose-Einstein condensationの実現
Bose-Einstein凝縮
パラメータ制御性が良い
捕捉ポテンシャル
（磁気的, 光学的）
冷却原子気体 (Rb, Na, Li, etc.) 希薄、弱い相互作用、低温
温度 : 大きさ: 原子数: 熱緩和がゆっくり
様々な非平衡過程
非平衡TFDの検証
蒸発冷却法： 捕捉ポテンシャルを下げ、高いエネルギーの原子を蒸発させ、冷却する
蒸発
より低温に
緩和する
H. Umezawa, Advanced F ield T heory | Micro, Macro, and T hermal P hysics (A IP,
J . R ammer, Quantu F ield T heory of Non-­‐equilibrium States (C ambridge Univ, C am
H. Umezawa, Advanced F ield T heory | Micro, Macro, and T hermal P hysics (A IP,
北　孝文, 物性研究 90, 1 (2008); P rog. T heor. P hys. 123, 581 (2010).
J . R ammer, Quantu F ield T heory of Non-­‐equilibrium States (C ambridge Univ, C am
  外部ポテンシャル擾乱による非平衡過程
Y . Y amanaka et al, Int. J . Mod. P hys. A 9, 1153 (1994).
  Bose-Einstein凝縮体中の高次渦の崩壊
北　孝文, 物性研究 90, 1 (2008); P rog. T heor. P hys. 123, 581 (2010).
Y
. Nakamura and Y . Y amanaka, A nn. P hys. 326, 1070 (2011).
  光学格子中の流れのあるBose-Einstein凝縮体の崩壊　etc
Y . Y amanaka et al, Int. J . Mod. P hys. A 9, 1153 (1994).
Y . Nakamura et al, A nn. P hys. 325, 426 (2010).
31
Y . Nakamura and Y . Y amanaka, A nn. P hys. 326, 1070 (2011).
¡ i ¯ˉ
® ¯ˉ
(1 ¡ ®)¯ˉ
®
G (x 1 ; x 2 ) = G (X ; r ) ! G (X ; p) !
L = K + V ¡ ¹ + 2gj³ j 2
G (x 1 ; x 2 ) = G (X ; r ) ! G (X ; p) !
x + x2
X = 1
2
M
=
g³
x 1 +2 x 2
Xr == x 1 ¡ x 2
2
x = (x ; t)
r
=
x
¡
x
1
2
秩序変数
³ (x )
凝縮体の２種類の不安定性
捕捉ポテンシャル
化学ポテンシャル
相互作用定数
Gross-Pitaevski方程式　: ³ (x )
' (x )
Bogoliubov-de Gennes方程式：　を展開する波動関数
負固有値存在　⇒　Landau不安定性（エネルギー散逸）
' (x )
複素固有値存在　⇒　動的不安定性（指数関数的変化）　例：光学格子中を流れる凝縮体　における実験と解析
モード
Landau不安定
凝縮体の流れ
B. Wu and Q. Niu, New J. Phys. 5, 104 (2003).
動的不安定
L. Fallani, et al., Phys. Rev. LeG. 93, 140406 (2004). 32
Xp
@X
@p 2 Z ' Y(x4 ) d'3(x
'@
(xm
m @X
X) @@
p i)
d3 p i
4 4
4 4
I
[n
;
x
;
t;
p]
=
2g
(2¼)
± (p + p2 ¡ p3 ¡ p4 )
(2¼)
±
(p
+
p
¡
p
¡
p
)
Z
3
4
H
2
3
4
Y @ndH p i @V @(2¼)
3
3
p
n
H
2
4
4
(2¼)
2 TFD
n(2¼)
n[n ; x ; t; p]
TFDの処方
=@
I 3組の連立する方程式
Hi=¢2 @V
;n
t;
p]Z =Y42gn_dH 3+pmn_H¢ @+X p ¡¢3@
p @n H Z I Y[n
@
@
H;x
3
H
4V
¡ @p± ¢(p H+H =pI2[n¡H ; xp;3t;¡p] p4 )
@
X
d
p
i
4 4
i H ;42)]= 4I£[n
n_;;4Hx¡;+t;
;p(2¼)
t;
@XpH ;3¡n@Hpp;4 ¡¡ npH n
+xi =n
)(1
(1 + n H ;3)(1
n Hp]n H¢=I;2[n
(1
+2 ¡n ; t;
H ;+
H (2¼)
2 )nIH [n
;3n H
;3)(1
2
p] ¢+= n2g
2g
(2¼) ±4[(1
(p
¡p]mp+±@n¡X(pH ;2p+)n
) 2
H;xH
3
4 ) H ;2
H
m
@X
@X
@p
2
3
4
3
Z 4 d3 p
自由度の二重化
= 2; x(2¼)
Z iY4 ¡d34p
[(1 3+ nHI [ni)(1
+
n
)n
(1 + n )(1 + nH ;
2 HY;3n
i = 2£(2¼)
H
;2
;
t;
p]
=
2g
(2¼) n
±i 4H(pn+H4p;2
2 H ;4
H
24 ¡ p3 ¡ p4 )H ;3
3
I
[n
;
x
;
t;
p]
=
2g
(2¼)
±
(p
+ 0p2 ¡ p3³¡(xp4)) = hà H (
Ã
(x
)
=
³
(x)+
'
(x
)
h'
(x)i
h'秩序変数の導入
(x
)i
=
0
³
(x
)
=
hÃ
(x)i
(2¼)
H
Hn )(1 + nH
+ nH ;4 )]
£ [(1 + n )(1£Z +[(1
n ¡H ;2n)n HnH;3n (1
+3Hn+ nH)]=;3 )(1
H
H ;4+¡iH= 2nnH in
;2(1
=)(1
2H(2¼)
4n + 3)n
Hd;2 p i H ;3 H ;4 £ [(1
H + nH ;2
H ;3
H ;4
H )(1 + nH ;2)n H ;3n H ;4 ¡ nH nH ;2(1 + nH ;3 )(1 + nH ;4 )]
4 4
£
[(1
+
n
)(1
+
n
)n
n
(1 =
+ nhÃ
+ n)iH ;4 )]
H
H
;2
H
;3
H
;4
H ;2)
H ;3 )(1(x
' '(x+H) (x
I [n H ; x ; t; p] = 2g
(2¼)
±)+(p
p2) ¡ p3 h'
¡ Hp4(x
) )i = 0 ¡ nH³n(x
Ã
(x
)
=
³
(x
H
H
3
時間依存GP方程式
i = 2 (2¼))+ '
Ã)Ha(x
³h'(x )+
'³H(x
(x
) =HhÃ
H (x )i
H (x
à H' (x
)i)+)) ='=H (x0h'hÃ
³=H)i
(x0(x ))i ==³ (x0hÃ
(x
)i= )ihà H (x )i
`)=
H(x(x
H=(x
à H (x ) = ³ (x )+
h'
)i
=
0
(x
Ã
(x
)
³
(x
)
h'
³
(x
)
H
H )(x=) ³' (x
H
H
)
£ [(1 + nH )(1 + nH ;2 )n H(x
' (xn)H ;2(1 + nH ;3 )(1 + nH ;4 )]
;3n H ;4 ¡ nH
n(t)
' (x )
' (x ) a `
相互作用描像　を展開する適切な波動関数の完全系
' (x )
a`
' H (x )a`
n(t) n(t)
a
nh'` (t)
à H (xa に含まれる未知関数
) ` = ³ (x )+2 ' H (x` )
(x
)i
=
0
³ (x ) = hà H (x )i
H
'
(x
)
H
L = K + V ¡ ¹ + 2gj³ j2
'
+ V ¡n(t)
¹ + 2gj³ j
H (x )
n(t) ' H (x )
' (x )
L = K L+ =V K¡ ¹+ +V 2gj³
j +2 2gj³ j 2
¡
¹
' H (x )
' g³H 2(x )
22
= g³
M a=` 時間依存BdG方程式
22gj³
L = K + V ¡M ¹= +g³M
j
M = g³ 2
2
+ Vj 2 ¡ ¹ + 2gj³ j
n(t)
L = K + V ¡L ¹ =+K2gj³
2
M
=
g³
'　Green関数のDyson方程式　自己エネルギーFeynman diagram計算
(x
)
H
2
2
M
=
g³
M
=
g³
繰り込み条件
2
H
2
Y
L = K + V ¡ ¹ + 2gj³ j
量子輸送方程式
M = g³ 2
33
TFD
BEC不安定系の非平衡TFD
1次元光学格子中の流れのある凝縮体　1D Bose-Hubbardモデル
BdG固有値の相図
流れのある凝縮体が存在するとする
：ホッピング項
：相互作用項
：格子数
計算条件
適当な非平衡分布を初期条件に、時間発展を計算
（モード）
：凝縮体の流れ
（安定な領域）
（Landau不安定な領域）
（動的不安定な領域）
（流れの速さ）
Landau不安定なモード
動的不安定なモード
34
TFD
非凝縮気体の割合　(%)
安定
時間
35
TFD
安定
非凝縮気体の割合　(%)
Landau不安定
時間
36
TFD
安定
非凝縮気体の割合　(%)
Landau不安定
動的不安定
拡大
時間
37
TFD
初期分布による変化
安定
非凝縮気体の割合　(%)
Landau不安定
動的不安定
初期の非凝縮体
（低温的な初期分布）
初期の非凝縮体
（高温的な初期分布）
時間
38
TFD
non-­‐Markov　VS　Markov
角振動数　の調和振動子ポテンシャルに捕捉された、凝縮体のないBose気体
量子輸送方程式(non-­‐Markoffian)
量子Boltzmann方程式 (Markoffian)
平衡に近い場合
残差平方和
平衡から遠い場合
39
まとめ
• 
非平衡場の量子系　CPTとTFD
–  Heisenberg方程式、2×2Green関数、Feynman diagram法、Dyson方程式　共通
–  平衡系では同じ
–  非平衡系では異なる
–  導かれる量子輸送方程式も異なる（Markov vs non-Markov)
• 
TFD
H. Umezawa, Advanced F ield T heory | Micro, Macro, and T herm
–  マクロとミクロの共存　因果律
–  時間変化する非摂動密度行列を追いかける相互作用描像
J . Advanced
R ammer, FQuantu
F ield|T heory
Non-­‐equilibrium
States
(C amb
H. Umezawa,
ield T heory
Micro,ofMacro,
and T hermal
P hysics
(
–  粒子描像の時間変化　⇒　相転移
H. Umezawa, Advanced F ield T heory | Micro, Macro, and T herm
J . R ammer, 北　孝文
Quantu F, ield
T heory
StatesP (C
ambridge
Univ,
物性研究
90,of1Non-­‐equilibrium
(2008); P rog. T heor.
hys.
123, 581
(20
–  Feynman diagram計算可能
J . R ammer, Quantu F ield T heory of Non-­‐equilibrium States (C amb
–  真空場の量子論との共通性高い　例　Ward-Takahashi relation
Y . Y amanaka
et al, Int.
J . Mod.
P hys.
A 9,123,
1153
(1994).
北　孝文, 物性研究
90, 1 (2008);
P rog.
T heor.
P hys.
581
(2010).
• 
• 
北　孝文, 物性研究 90, 1 (2008); P rog. T heor. P hys. 123, 581 (20
Y
.
Y
amanaka
al, Int. J .and
Mod.
A 9, 1153
Y
Y . PYhys.
amanaka,
A nn.(1994).
P hys. 326, 1070 (2011).
冷却原子系（非相対論的） .etNakamura
Y . Y amanaka et al, Int. J . Mod. P hys. A 9, 1153 (1994).
–  非平衡理論の検証
Y .and
Nakamura
et al, A A
nn.
(2010).
Y . Nakamura
Y . Y amanaka,
nn.P hys.
P hys.325,
326,426
1070
(2011).
–  不安定性を伴う非平衡
Y . Nakamura and Y . Y amanaka, A nn. P hys. 326, 1070 (2011).
Y . Nakamura et al, A nn. P hys. 325, 426 (2010).
Y . Nakamura et al, A nn. P hys. 325, 426 (2010).
相対論的場の量子論
Y . Mizutani et al, P rog. T heor. P hys. 126, 681 (2011).
–  スカラー場　40