PLL用ループ・フィルタの設計:

PLL用ループ・フィルタの設計:
𝑇𝑇2 = 𝑅𝑅0 𝐶𝐶0
値が変更可能なRとCが1つずつの場合
著者：Ken Gentile
はじめに
フェーズ・ロック・ループ（PLL）用の2次ループ・フィ
ルタの設計においては、使用する抵抗とコンデンサの値
を 決 め る こ と が 主 な 作 業 に な り ま す 。 R 0、 C 0、 C Pの 値 の
決め方としては、稿末の関連資料に示すように標準的な
手法が確立されています（図1）。その方法は3次のルー
プ・フィルタに拡張することもでき、オープンループの
帯 域 幅 ω 0と 位 相 余 裕 φ Mを 設 計 パ ラ メ ー タ と し て 使 用 し て
R 2と C 2の 値 を 決 め る こ と も 可 能 で す 。 大 ま か に 言 え ば 、
そ の 手 順 は 、 C Pの 解 を 直 接 求 め 、 続 い て 残 り の 値 を 求 め
るというものになります。
PLL IC製品によっては、固定値を持つ内蔵素子とし
て 、 C P、 R 2、 C 2を 集 積 し て い る も の が あ り ま す 。 そ の 場
合 、 ル ー プ 応 答 の 調 整 に 使 用 で き る の は R 0と C 0の み で
す 。 C Pの 値 は 変 更 で き な い こ と か ら 、 上 述 し た 手 順 は 使
用 で き ま せ ん 。 本 稿 で は 、 C Pの 値 が 固 定 の 場 合 に 使 用 で
き る 他 の 手 法 を 提 案 す る ほ か 、 C Pの 値 を 変 更 で き な い 場
合の制約事項についての考察も行います。
VCOへ
VCOへ
R2
チャージ・
ポンプ
R0
CP
チャージ・
ポンプ
C0
図1. 標準的な2次/3次パッシブ・ループ・フィルタ
仮定
ここでは、2次ループ・フィルタを3次のパッシブ・フ
ィルタに拡張する場合について考えます。この設計で
は 、 R 2と C 2が 存 在 す る こ と を 前 提 と し な が ら 、 R 0と C 0の
値を調整します。その際、一般に使用される以下の2 つの
仮定に基づいて作業を行います。
・ R 2と C 2に よ っ て 得 ら れ る 極 周 波 数 は 、 ω 0（ オ ー プ ン
ループのユニティ・ゲイン帯域幅）より大きくなけ
れ ば な ら な い 。 つ ま り 、 f 0≦ 0 . 1 / ( 2 π R 2C 2) （ こ こ で
f 0= ω 0/ ( 2 π ) ） で あ る
・ R 0‐ C 0‐ C Pの ネ ッ ト ワ ー ク 上 に お い て 、 R 2と C 2に
よる直列の負荷は無視できるほど小さくなければ
ならない
2次ループ・フィルタの伝達関数
2次ループ・フィルタには、使用する素子に関連する2つ
=り𝑅𝑅ま
2あ
0 𝐶𝐶す
0 。 (1)
の 時 定 数 T 1 と T 2𝑇𝑇が
𝑇𝑇1 = (𝐶𝐶
𝐶𝐶𝑃𝑃
(1)
𝑇𝑇1 = (𝐶𝐶
Analog Dialogue 49-02
𝐻𝐻 (𝑠𝑠)
𝐿𝐿𝐿𝐿
(2)
) 𝑇𝑇2
𝑃𝑃 +𝐶𝐶0
𝐶𝐶𝑃𝑃
𝑃𝑃 +𝐶𝐶0
1
) 𝑇𝑇2
𝑇𝑇
(2)
𝑠𝑠𝑇𝑇 +1
= (𝐶𝐶 ) (𝑇𝑇1 ) (𝑠𝑠(𝑠𝑠𝑇𝑇2 +1))
𝑃𝑃
2
1
(2)
) 𝑇𝑇2
ル ー プ ・ フ ィ ル タ の 伝 達 関 数 は 、 T 1、 T 2、 C Pで 表 さ
れ、PLL全体の応答において重要な意味を持ちます。
1
𝑇𝑇
𝑠𝑠𝑇𝑇 +1
(3)
𝐻𝐻𝐿𝐿𝐿𝐿 (𝑠𝑠) = (𝐶𝐶 ) (𝑇𝑇1 ) (𝑠𝑠(𝑠𝑠𝑇𝑇2 +1))
𝑃𝑃
2
1
PLLのシステム関数
𝐻𝐻𝐿𝐿𝐿𝐿
図2に示す
モ −𝐾𝐾
デ ル(を
使(𝑠𝑠)
え )ば 、 P L(4)
Lの応答を式で
(𝑠𝑠)号=
𝐻𝐻小 信
表 す こ と が𝑂𝑂𝑂𝑂
で き ま す 。 ま た 𝑠𝑠𝑠𝑠
、このモデルは、入力での
位相の乱れによって生ずる出力での位相のバラツキを
解析するためのテンプレートにもなります。周波数
(𝑠𝑠)） は 、 理 想 的 な 位 相 積
源 と な る V C O （ 電 圧 制 御 発𝐻𝐻振
)
(5)
𝐻𝐻 (𝑠𝑠) = −𝑁𝑁 (1−𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂器(𝑠𝑠)
分 器 の よ う𝐶𝐶𝐶𝐶
に 働 く た め 、 ゲ イ𝑂𝑂𝑂𝑂ン K V は 1 / s 倍 に な り ま す
（積分と同等のラプラス変換）。また、P L L の小信号モデ
ルは周波数に依存します（s=σ+jω）。
D
ÓIN
𝐾𝐾
𝑇𝑇
𝑠𝑠𝑇𝑇 +1
(6)
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂Ó(𝑠𝑠) = −K (𝑠𝑠2 𝑁𝑁𝐶𝐶 )H((s)𝑇𝑇1 ) (𝑠𝑠𝑇𝑇2K +1
/s )
ERR
∙
位相比較器と
チャージ・
ポンプ
0 0
∙ 𝑇𝑇2 = 𝑅𝑅 𝐶𝐶
𝑃𝑃
LF
2
1
ループ・
フィルタ
(1)
V
ÓOUT
VCO
𝑇𝑇2 = 𝑅𝑅0 𝐶𝐶0 1/N𝐾𝐾(1)
𝑇𝑇
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇 +1
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗)
= − ((𝑗𝑗𝑗𝑗)2 𝑁𝑁𝐶𝐶 ) (𝑇𝑇1 ) (𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇2 +1)
分周器
𝑃𝑃
2
1
𝐶𝐶𝑃𝑃
) 𝑇𝑇2 (2)
𝑇𝑇1 = (𝐶𝐶 +𝐶𝐶
ÓFB
(7)
0
図 2 . P L𝐶𝐶L の 小 信 号 モ デ ル
3次ループ・フィルタ
𝑇𝑇2 = 𝑅𝑅0 𝐶𝐶0
𝑃𝑃 +𝐶𝐶0
𝑃𝑃
) 𝑇𝑇2 (2)
𝑇𝑇1 = (𝐶𝐶 +𝐶𝐶
𝑇𝑇1
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇2 +1
𝑃𝑃 𝐾𝐾
0
(𝑗𝑗𝑗𝑗)
)達
(𝑇𝑇関
)数
(𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂
PLLのクロ
ーズ
ド ル=
ー(プ𝜔𝜔で
の
H CLは
θ) / θ(8)で 定
2 𝑁𝑁𝐶𝐶 伝
𝑃𝑃 𝑇𝑇1 2
1 +1 O U T I N
𝑠𝑠𝑇𝑇
+1
2達
義 さ れ ま す 。𝐻𝐻
一 方(𝑠𝑠)
、 オ=
ー(
プ1ン)ル
ー
プ
の
伝
関
(𝑇𝑇 ) (𝑠𝑠(𝑠𝑠𝑇𝑇 +1))数 H O L は
(3)θ F B /
𝐿𝐿𝐿𝐿
𝐶𝐶
C2
C0
2次ループ・
フィルタ
𝐶𝐶𝑃𝑃
𝑃𝑃
R0
CP
𝑇𝑇1 = (𝐶𝐶
(1)
(3)
2 ー ズ ド1ル ー プ の 伝 達 関
θ I N で 定 義 さ れ ま す が 、 こ れ𝑃𝑃は
1 クロ
𝑇𝑇1
𝑠𝑠𝑇𝑇2 +1
(𝑠𝑠)
=オ
(𝐶𝐶ー)プ(ン
) (ー𝑠𝑠(𝑠𝑠𝑇𝑇
𝐻𝐻し
数に影響を及ぼ
す。
ル
プ の 伝)
達 関 数(3)
によ
𝐿𝐿𝐿𝐿ま
𝑇𝑇
𝐾𝐾
𝑇𝑇
1
𝑃𝑃
2 1
1 +1)
ってクロー
ループ
定
性
が
予
測
で
き
る
の
で
、
H C L+ 𝜔𝜔 2 𝑇𝑇1
|𝐻𝐻ズ𝑂𝑂𝑂𝑂ド(𝑗𝑗𝑗𝑗)|
=の(安
)
(
)
(
)
√(1
2 𝑁𝑁𝐶𝐶
)2
𝜔𝜔
1+(𝜔𝜔𝑇𝑇
𝑇𝑇
𝑃𝑃
2
1
𝐻𝐻
(𝑠𝑠)
を H O L で 表 す の は 有 効 な 手 法 で す𝐿𝐿𝐿𝐿
。
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑠𝑠) = −𝐾𝐾 (
(4)
)
𝑠𝑠𝑠𝑠
𝐻𝐻𝐿𝐿𝐿𝐿 (𝑠𝑠)
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑠𝑠) = −𝐾𝐾 ( 𝑠𝑠𝑠𝑠 )
(4)
∠𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇
2 ) − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇1 ) (10)
𝐻𝐻
𝐻𝐻𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝑠𝑠) = −𝑁𝑁 (1−𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂
(𝑠𝑠)
)
𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑠𝑠)
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑠𝑠)
𝐻𝐻𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝑠𝑠) = −𝑁𝑁 (1−𝐻𝐻
)
(𝑠𝑠)
(5)
(5)
K は 位 相 比 較 器 （ P F D ） 、 チ ャ ー ジ𝑂𝑂𝑂𝑂
・ポンプ、VCOを合
𝐾𝐾
𝑇𝑇1 𝐾𝐾
𝑠𝑠𝑇𝑇
+1D+
わせたゲイ
を
し
、K
=(K
K(V と な1り𝑇𝑇ま
。2K
はチ
ー 𝑇𝑇 )2 +
1 す
1ン
=𝐻𝐻
(𝜔𝜔表(𝑠𝑠)
)
)
√(1
𝜔𝜔0ャ2(6)
𝑇𝑇
D
1 2
2)
2
= − 2(𝑠𝑠A2 𝑁𝑁𝐶𝐶
)K0(𝑇𝑇𝑇𝑇1は
(C𝑠𝑠𝑇𝑇
)
))
1+(𝜔𝜔
ジ ・ ポ ン プ の 電𝑂𝑂𝑂𝑂
流0で𝑁𝑁𝐶𝐶
単𝑃𝑃位 は𝑇𝑇「
」
、
V
O
の
ゲ
イ
ン
で
𝑃𝑃
1 +1
V2
𝐾𝐾
𝑇𝑇
𝑠𝑠𝑇𝑇
+1
1
単位は「H z / V 」です。H
、H)L F(はいずれもs
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑠𝑠) =O L−、H
(𝑠𝑠C2L𝑁𝑁𝐶𝐶
) (𝑠𝑠𝑇𝑇2 +1)の関数
(6)
𝑃𝑃 ノ 𝑇𝑇
2 ドへ
1 負帰還に
です。式4の負の符号は、図2の
加算
ー
の
よって位相
することを表
て
ま す𝑇𝑇。
H O𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
)−
)+14 の(12)
=転𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔
𝑇𝑇2し
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔
𝑇𝑇12式
Φが
𝐾𝐾 い
1
𝑀𝑀 反
0L を
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗) = −0((𝑗𝑗𝑗𝑗)
(7)
ように定義すると、式5の分母で減算されていることから、
2 𝑁𝑁𝐶𝐶 ) (𝑇𝑇 ) (𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇 +1)
𝑃𝑃
2
1
𝐾𝐾
𝑇𝑇
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
+1
ク ロ ー ズ ド ル ー プ に お け る 安 定 性 を 直 観 的 に1 説 明 で2き ま
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗) = − ((𝑗𝑗𝑗𝑗)2 𝑁𝑁𝐶𝐶 ) (𝑇𝑇 ) (𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇 +1) (7)
す。
2
1
2 𝑃𝑃
𝜔𝜔 𝐾𝐾𝐾𝐾√1−cos (Φ )
0
𝑀𝑀
𝑅𝑅0𝐴𝐴 = 2 +2𝐾𝐾𝐶𝐶 𝑁𝑁𝜔𝜔
𝐶𝐶0𝐴𝐴 =
𝑇𝑇)+(𝐶𝐶
1 で𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
2 +1
2𝐾𝐾cos(Φ
2 2的 な 問
𝑁𝑁𝜔𝜔
𝐾𝐾
式5をよく見
る
と
、
ル
ー
プ
の
安
定
性
の
面
潜
𝑃𝑃
0
𝑀𝑀
𝑃𝑃は
0在))
(𝑗𝑗𝑗𝑗)
= (𝜔𝜔2 ) ( ) (𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂
(8)
𝑁𝑁𝐶𝐶
𝑇𝑇
+1
𝑃𝑃
2
1 =σ+jω）
題があることがわかります。H O𝐾𝐾L が複素周波数（s
𝑇𝑇1 2 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇2 +1
(Φ
) た振
𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾√1−cos
(𝑗𝑗𝑗𝑗)
0
𝑀𝑀
𝐻𝐻
=
(
)
(
)
(
) 幅と
(8)
の関数であ
ると、
周波数に依存し
𝑂𝑂𝑂𝑂
−を(考2え
𝑅𝑅 る こ=と
𝜔𝜔 2 𝑁𝑁𝐶𝐶2𝑃𝑃
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇1 +1 2 2 ) 𝐶𝐶0𝐵𝐵 =
𝑇𝑇2
)+(𝐶𝐶
)
+2𝐾𝐾𝐶𝐶
𝑁𝑁𝜔𝜔
cos(Φ
𝑁𝑁𝜔𝜔
𝐾𝐾 存
位 相 の 成 分0𝐵𝐵
が必然的に
在す
る
こ
と
に
な
り
ま
す
。
H
に
𝑃𝑃
0
𝑀𝑀
𝑃𝑃
0 OL
𝐾𝐾 き に ユ
𝑇𝑇1ニ テ ィ ・
1 ゲイン
おいて、sが何らかの値であると
|𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗)| = ( 2 ) ( ) (
) √(1 + 𝜔𝜔
1+(𝜔𝜔𝑇𝑇
𝑁𝑁𝐶𝐶整
𝑇𝑇2） が
とゼロ位相シフト
（ 2 π ラ ジ ア 𝜔𝜔
ンの
同 時 1に)2起 き
𝑃𝑃 数 倍
𝐾𝐾
𝑇𝑇1
1
る と 、 H C L の 分|𝐻𝐻
母𝑂𝑂𝑂𝑂
が (𝑗𝑗𝑗𝑗)|
ゼ ロ に=
なり
め ク ロ ー)ズ√(1 + 𝜔𝜔
( ま2 す 。)こ
( の)た(1+(𝜔𝜔𝑇𝑇
2
2 ムは、完
1 )全 に
ド ル ー プ で の ゲ イ ン は 不 定 に な𝜔𝜔り𝑁𝑁𝐶𝐶
、𝑃𝑃シ ス𝑇𝑇テ
∠𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇2 ) − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇1 )
∠𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇2 ) − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇
1
1)
2
(2)
𝑇𝑇11 = (𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃 +𝐶𝐶
0 ) 𝑇𝑇2
𝑃𝑃 +𝐶𝐶0 𝐶𝐶𝑃𝑃
)
𝑇𝑇
(2)
𝐶𝐶
) 𝑇𝑇
(2)
𝑇𝑇1 = (𝑃𝑃𝐶𝐶 𝐶𝐶+𝐶𝐶
2
𝑃𝑃 +𝐶𝐶0
(𝐶𝐶 (+𝐶𝐶𝑃𝑃 )𝑃𝑃 𝑇𝑇02) 𝑇𝑇2 (2)(2)
𝑇𝑇1 =
2
0
1
𝑇𝑇1 𝑇𝑇1 =
𝑠𝑠𝑇𝑇𝑃𝑃
+1
2 𝐶𝐶𝑃𝑃 +𝐶𝐶0
𝐻𝐻り
(𝑠𝑠)
(𝐶𝐶の)こ(と
)は(、
)𝑇𝑇1い て (3)
𝑠𝑠𝑇𝑇、
不安定な状態に陥
す=
。こ
H O1L+1)
にお
は
周波数に依存した振幅と位相の特性によって安定性が決
𝐿𝐿𝐿𝐿ま
2 +1
𝑠𝑠(𝑠𝑠𝑇𝑇
𝑇𝑇
𝑃𝑃
2
1 1) ( 𝑇𝑇1) ( 𝑠𝑠𝑇𝑇2 +1 )
𝐻𝐻
(𝑠𝑠)
=
(
(3)
𝐿𝐿𝐿𝐿
(𝑠𝑠)
=
(
)
(
)
(
𝐻𝐻
ま る と い う こ と を 表 し て い ま1 す 。𝑇𝑇
実際、
H
が
ユ
ニ
テ
ィ)に な る(3)
周波数では、式5の分母がゼロになるのを避け
𝐶𝐶L𝑃𝑃の 振𝑇𝑇幅
𝑠𝑠(𝑠𝑠𝑇𝑇
+1)
2
1
𝐿𝐿𝐿𝐿
O
𝑠𝑠𝑇𝑇2 +1𝐶𝐶𝑃𝑃
𝑇𝑇21 𝑠𝑠(𝑠𝑠𝑇𝑇
1
𝑇𝑇1 1 +1)𝑠𝑠𝑇𝑇2 +1
る た め に 、 H OLの
位相
は=
ゼロ
は
2𝐻𝐻π𝐿𝐿𝐿𝐿
の(𝑠𝑠)
整 数=
倍1）
か𝑇𝑇
ら
十)分𝑠𝑠𝑇𝑇
離
れ た と)こ ろ に(3)
位置するようにしなければなりません。
𝐻𝐻𝐿𝐿𝐿𝐿
(𝑠𝑠)
(𝐶𝐶（)ま(た
)
(
)
(3)
+1
(
)
(
(
1
2
𝑠𝑠𝑇𝑇21+1
𝑇𝑇2𝐻𝐻 𝑠𝑠(𝑠𝑠𝑇𝑇
+1)
𝑃𝑃
𝑠𝑠(𝑠𝑠𝑇𝑇
+1)
= (=𝐶𝐶 ()𝐶𝐶1(𝑃𝑃𝑇𝑇) ()𝑇𝑇𝑇𝑇(21𝑠𝑠(𝑠𝑠𝑇𝑇
)
(3)
𝐿𝐿𝐿𝐿𝐻𝐻(𝑠𝑠)1(𝑠𝑠)
(3)
𝑃𝑃 𝐶𝐶 2 𝑇𝑇 ) (𝑠𝑠(𝑠𝑠𝑇𝑇
1 +1)+1))
𝐻𝐻 (𝑠𝑠)𝐿𝐿𝐿𝐿
𝑃𝑃
2 意 味 を1持
H O L の 振 幅 が ユ ニ𝐻𝐻
テ𝑂𝑂𝑂𝑂
ィ(𝑠𝑠)
の と=き−𝐾𝐾
の 周(波𝐿𝐿𝐿𝐿
数 ω 0)は 、 非 (4)
常
に(𝑠𝑠)
重要な
ち ま す 。 ω 0に お け る H OLの 位 相 に よ っ て 、 シ ス テ
𝐻𝐻𝐿𝐿𝐿𝐿
𝑠𝑠𝑠𝑠 = −𝐾𝐾 ( 𝐻𝐻𝐿𝐿𝐿𝐿 (𝑠𝑠))
(𝑠𝑠)
𝑂𝑂𝑂𝑂。
ム の 位 相 余 裕 φ M が 決 ま る か ら で𝐻𝐻
す
ω 0 と=
φM
はい
れ も)H O L か(4)
ら
(𝑠𝑠)
𝐻𝐻
(4)求 め ら れ ま す 。
−𝐾𝐾
( ず𝑠𝑠𝑠𝑠
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐻𝐻𝐿𝐿𝐿𝐿 (𝑠𝑠)
𝐿𝐿𝐿𝐿 (𝑠𝑠)
(𝑠𝑠)
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂
= −𝐾𝐾 ( 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐻𝐻)𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑠𝑠)(4)
= −𝐾𝐾𝐻𝐻𝐿𝐿𝐿𝐿
( 𝐻𝐻(𝑠𝑠)
)
(4)
𝐿𝐿𝐿𝐿
𝑠𝑠𝑠𝑠
)(𝑠𝑠)) (4)(4)
𝐻𝐻 𝐻𝐻(𝑠𝑠)(𝑠𝑠)
= −𝐾𝐾
( 𝑠𝑠𝑠𝑠
=
−𝐾𝐾
(
ω0とφMを使用してR0とC0を定義 𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑂𝑂𝑂𝑂
(𝑠𝑠)
𝑠𝑠𝑠𝑠
(5)
𝐻𝐻𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝑠𝑠) = −𝑁𝑁 (1−𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑠𝑠))
𝐻𝐻
𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑠𝑠)
𝐻𝐻
(𝑠𝑠)
設計パラメータとし
て ω 0と φ Mを
用
し
、
R
と
C
の
値
を
求
め る た(5)
めには、これら4つの変数と何らかの定数を含む式が
(𝑠𝑠)
𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑂𝑂𝑂𝑂
=
−𝑁𝑁
(
)
𝐻𝐻𝐻𝐻使
0
𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝑠𝑠) = 0−𝑁𝑁 (
(5)
1−𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑠𝑠) )
𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂
必 要 に な り ま す 。 ま ず 、 H OLを 定 義
す (𝑠𝑠)
る式4から見
てい
ま𝑂𝑂𝑂𝑂す(𝑠𝑠)
。 こ の 式 に は H LFが 含 ま れ 、 H LFに は T 1と T 2を 介 し て R 0と
1−𝐻𝐻
(𝑠𝑠)
𝐻𝐻
𝑂𝑂𝑂𝑂き
(𝑠𝑠)
)
(5)
=
−𝑁𝑁
(
𝐻𝐻
(𝑠𝑠)
) 含ま
(5)れ ま す 。
=
𝐻𝐻
𝐶𝐶𝐶𝐶す 。 H は 振 幅1−𝐻𝐻
𝑂𝑂𝑂𝑂然
𝐶𝐶𝐶𝐶
C 0が 含 ま れ て い ま
と𝐻𝐻位
相
を(𝑠𝑠)
持
の −𝑁𝑁
で(、𝐻𝐻(
当
ω𝑂𝑂𝑂𝑂
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂
(𝑠𝑠)
(𝑠𝑠)
𝑂𝑂𝑂𝑂
1−𝐻𝐻
(𝑠𝑠)φ M も(5)
OL
0(𝑠𝑠)
)と
=つ−𝑁𝑁
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐻𝐻
(𝑠𝑠)
=
−𝑁𝑁
(
)
(5)
1−𝐻𝐻
(𝑠𝑠)
𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑂𝑂𝑂𝑂
𝐾𝐾
𝑇𝑇
𝑠𝑠𝑇𝑇 +1
𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑠𝑠)
(𝑠𝑠)
=る−と(𝑠𝑠式2 𝑁𝑁𝐶𝐶
) (う𝑇𝑇1に
)な
(𝑠𝑠𝑇𝑇り2𝐾𝐾+1
) 。1−𝐻𝐻
𝐻𝐻て
𝑇𝑇1H(6)
𝑠𝑠𝑇𝑇
+1
式3を式4に代入し
理す
6のよ
ま
す
は
、
T
と
T
に 加 え 、 定 数 K 、 N 、 C Pに よ っ て 表 さ れ ま す 。
𝑂𝑂𝑂𝑂整
2
L 𝑠𝑠𝑇𝑇 +1
1
2
𝑃𝑃 = 2− ( 1 𝐾𝐾 ) ( 𝑇𝑇1)O (
2 )
(6)
𝐻𝐻𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑠𝑠)
(𝑠𝑠)
=
−
(
(6)
𝑠𝑠22𝑁𝑁𝐶𝐶𝑃𝑃 ) (𝑇𝑇2 ) (𝑠𝑠𝑇𝑇1 +1 )
𝑂𝑂𝑂𝑂
𝐾𝐾
𝑇𝑇1
𝑠𝑠𝑇𝑇2𝑠𝑠+1
𝑠𝑠𝑇𝑇
𝑁𝑁𝐶𝐶𝑃𝑃 𝐾𝐾𝑇𝑇2
𝑇𝑇1 +1 𝑠𝑠𝑇𝑇2 +1
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑠𝑠) = − (𝑠𝑠2 )𝐻𝐻
(
)
(
)
(6)
𝐾𝐾
𝑇𝑇
𝑠𝑠𝑇𝑇
+1
(𝑠𝑠)
=
−
(
)
(
)
(
1
2
𝑂𝑂𝑂𝑂
𝐾𝐾) (
𝑠𝑠𝑇𝑇12)+1
+1) (6)(6)
𝑠𝑠𝑇𝑇−
𝑁𝑁𝐶𝐶𝐻𝐻
𝑇𝑇
𝑃𝑃 𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑠𝑠)
2 =
1 +1
𝑠𝑠2 𝑁𝑁𝐶𝐶
𝑠𝑠𝑇𝑇
(−
)𝑇𝑇𝑇𝑇(21𝑠𝑠𝑇𝑇
𝑃𝑃 ) (
2(
(𝑠𝑠)
𝐻𝐻
)
(
(6)
=
𝑠𝑠
𝑁𝑁𝐶𝐶
𝑇𝑇
+1
𝑂𝑂𝑂𝑂
𝐾𝐾
𝑇𝑇
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
+1𝑃𝑃 2 𝑇𝑇2 1 𝑠𝑠𝑇𝑇1 +1)
𝑠𝑠22𝑃𝑃𝑁𝑁𝐶𝐶
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗) = − ((𝑗𝑗𝑗𝑗)2 𝑁𝑁𝐶𝐶 ) (𝑇𝑇1 ) (𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
)
𝐾𝐾
𝑇𝑇1 (7)𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇2 +1
𝐾𝐾 1 +1
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇2 +1)
𝑃𝑃 − (
))((𝑇𝑇𝑇𝑇1))((𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
(7)
s = j ω な の で 、 H O L の 周 波 数 応 答𝐻𝐻
は
式(𝑗𝑗𝑗𝑗)
7(𝑗𝑗𝑗𝑗)
の よ=
う
り ま22𝑁𝑁𝐶𝐶
す。
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂
=に
−な2((𝑗𝑗𝑗𝑗)
(7)
2
1 +1 )
𝑂𝑂𝑂𝑂
𝐾𝐾
𝑇𝑇1 (𝑗𝑗𝑗𝑗)
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇2𝑁𝑁𝐶𝐶
+1𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾 𝑇𝑇
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
+1
𝑇𝑇
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
+1
2
11
2
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗) = − ((𝑗𝑗𝑗𝑗)2 𝑁𝑁𝐶𝐶
)
(
)
(
)
(7)
𝐾𝐾
𝑇𝑇
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
+1
(𝑗𝑗𝑗𝑗)
𝐻𝐻(𝑗𝑗𝑗𝑗)
=
−
(
)
(
)
(
1
2
2 𝑁𝑁𝐶𝐶
𝐾𝐾
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇12)+1
+1) (7)(7)
𝑇𝑇=
(𝑗𝑗𝑗𝑗)
𝑃𝑃
2 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
1 +1
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂
(−
)𝑇𝑇𝑇𝑇(21𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
𝑃𝑃 ) (
2 𝑁𝑁𝐶𝐶 ) (
(𝑗𝑗𝑗𝑗)
)
(
) (7)
=
(
(𝑗𝑗𝑗𝑗)
𝑇𝑇
+1
𝑂𝑂𝑂𝑂
1
𝐾𝐾
𝑇𝑇
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇2 +1 (𝑗𝑗𝑗𝑗)2𝑃𝑃𝑁𝑁𝐶𝐶𝑃𝑃 2 𝑇𝑇2
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
1 +1
)
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗) =2 (𝜔𝜔2 𝑁𝑁𝐶𝐶 ) (𝑇𝑇1 ) (2𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
𝐾𝐾
𝑇𝑇1 (8)𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇2 +1
𝐾𝐾
𝑇𝑇1) ( 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇2 +1)
こ こ で 、 分 母 に 含 ま れ る ( j ω ) を𝐻𝐻簡
略
化
し
ます。
(𝑗𝑗𝑗𝑗)
𝑃𝑃 し て
1 +1
=2=-(ω(𝜔𝜔と
(8)
2 𝑁𝑁𝐶𝐶 ))((
(8)
𝐻𝐻𝐾𝐾𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑇𝑇2 ) (𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇1 +1 )
𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗)
𝑇𝑇1
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
+1𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝑇𝑇
𝜔𝜔 22𝑁𝑁𝐶𝐶
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
𝑇𝑇1 1 +1𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇2 +1
2
(𝑇𝑇𝑂𝑂𝑂𝑂)(𝑗𝑗𝑗𝑗)
(𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇 =
)
𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗) = (𝜔𝜔2 𝑁𝑁𝐶𝐶 ) 𝐻𝐻
𝐾𝐾 (8)𝑇𝑇
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
+1
(
)
(
)
(
1 𝑇𝑇
2
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
+1) (8)(8)
+1 𝜔𝜔 2 𝐾𝐾
2)+1
𝑃𝑃 𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗)
2
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
𝑁𝑁𝐶𝐶𝑃𝑃 )𝑇𝑇
(21𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
𝐻𝐻
= (1=
1
2(𝑁𝑁𝐶𝐶 ) (
(𝑗𝑗𝑗𝑗)
𝐻𝐻
)
(
)
(
) (8)
𝜔𝜔
𝑇𝑇
+1
1
𝐾𝐾 𝑂𝑂𝑂𝑂 𝑇𝑇1
1𝜔𝜔 2𝑃𝑃𝑁𝑁𝐶𝐶𝑃𝑃 2 𝑇𝑇2
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑇𝑇
2 𝑇𝑇1 +1
)2 + 𝜔𝜔 22(𝑇𝑇2 −2𝑇𝑇1 )2 2 (9)
)
(
)
(
)
√(1
+
𝜔𝜔
𝑇𝑇
𝑇𝑇
1
H O L の 振 幅 と 位 相|𝐻𝐻
は 𝑂𝑂𝑂𝑂
式 9(𝑗𝑗𝑗𝑗)|
、式1=
0 の(よ 2う に な
りま
す
。𝐾𝐾
1
2
1
2
𝜔𝜔 𝑁𝑁𝐶𝐶
𝑇𝑇
𝐾𝐾 )
1
|𝐻𝐻
𝑃𝑃
2 ( 1+(𝜔𝜔𝑇𝑇
1 )( 𝑇𝑇1) (
(𝑗𝑗𝑗𝑗)|
=
)
√(1
+ 𝜔𝜔 2𝑇𝑇1 𝑇𝑇2 ) 2+ 𝜔𝜔 2(𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 )22 (9)
𝑂𝑂𝑂𝑂
2
|𝐻𝐻𝐾𝐾𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗)|
= (𝜔𝜔𝜔𝜔22𝑁𝑁𝐶𝐶
) (𝑇𝑇2 ) (1+(𝜔𝜔𝑇𝑇
(9)
1 ))2 ) √(1 + 𝜔𝜔 𝑇𝑇1 𝑇𝑇2 ) + 𝜔𝜔 (𝑇𝑇2 − 𝑇𝑇1 )
𝑇𝑇1
1𝑁𝑁𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝑇𝑇
1+(𝜔𝜔𝑇𝑇
𝑇𝑇1 2 1
12
2
2 (𝑇𝑇 − 𝑇𝑇
2
2
2
2
)
)
|𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗)| = ( 2 |𝐻𝐻
)
(
)
(
)
√(1
+
𝜔𝜔
𝑇𝑇
𝑇𝑇
+
𝜔𝜔
(9)
𝐾𝐾
𝑇𝑇
1
)
(𝑇𝑇
= (2𝜔𝜔2𝐾𝐾𝑁𝑁𝐶𝐶 )1(𝑇𝑇𝑇𝑇1) (1+(𝜔𝜔𝑇𝑇
+2𝜔𝜔
−)𝑇𝑇21 )2 (9)
1 21 2 ) √(1 2+2𝜔𝜔 1𝑇𝑇1 𝑇𝑇
𝑂𝑂𝑂𝑂
2 𝑇𝑇
22+ 𝜔𝜔
𝜔𝜔 𝑁𝑁𝐶𝐶
1+(𝜔𝜔𝑇𝑇
𝑇𝑇2 (𝑗𝑗𝑗𝑗)|
)
(𝑇𝑇
|𝐻𝐻𝑃𝑃𝑂𝑂𝑂𝑂
= (=𝜔𝜔12()𝑁𝑁𝐶𝐶
) (𝑃𝑃𝑇𝑇) () (21+(𝜔𝜔𝑇𝑇
)
+
𝜔𝜔
𝑇𝑇
−
2𝑇𝑇𝑇𝑇
2 + 𝜔𝜔
22(𝑇𝑇
2 (9) (9)
1 )√(1
1
2
1
2
)
|𝐻𝐻(𝑗𝑗𝑗𝑗)|
(𝑗𝑗𝑗𝑗)|
)
(
)
√(1
+
𝜔𝜔
𝑇𝑇
𝑂𝑂𝑂𝑂 )
1 2
2 − 𝑇𝑇1 )
1)
2𝑃𝑃𝑁𝑁𝐶𝐶 2 𝑇𝑇
2
)
𝜔𝜔
1+(𝜔𝜔𝑇𝑇
)
∠𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇
−
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇
(10)
𝑃𝑃
2
1
(𝑗𝑗𝑗𝑗) =2 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇2 ) −1 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇1 ) (10)
∠𝐻𝐻
∠𝐻𝐻𝑂𝑂𝑂𝑂
𝑂𝑂𝑂𝑂 (𝑗𝑗𝑗𝑗) = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇2 ) − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇1 ) (10)
)−
) い2(10)
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇
(𝑗𝑗𝑗𝑗)
)−
∠𝐻𝐻
=意𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇
𝑂𝑂𝑂𝑂C(𝑗𝑗𝑗𝑗)
T 1 と T 2 は 、 R 0 、∠𝐻𝐻
C 0、
か ら=
成る
式であ
る 𝑂𝑂𝑂𝑂
こ2と
に注
し て く だ1さ
式𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇
9 で ω = ω 0 、 | H1O)L | = (10)
1とするとユニティ・ゲイン
P
(𝑗𝑗𝑗𝑗)
) −。
∠𝐻𝐻∠𝐻𝐻
= 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇
𝑂𝑂𝑂𝑂
2
1 ) )(10)
(𝑗𝑗𝑗𝑗)
=
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇
(10)
周 波 数 が 定 義 さ れ ま す 。 こ の 周 波 数 で H O L𝑂𝑂𝑂𝑂
の振幅はユニティになり
。
2 )ま−す𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔𝑇𝑇
1
𝑇𝑇1 = (𝐶𝐶
𝐶𝐶𝑃𝑃
𝐾𝐾
𝑇𝑇
1
2
2
2 (𝑇𝑇 − 𝑇𝑇 )2
) (𝑇𝑇1 ) (1+(𝜔𝜔
(11)
𝐾𝐾
𝑇𝑇) √(1 +1𝜔𝜔 𝑇𝑇 𝑇𝑇2 ) + 𝜔𝜔0
2 𝑇𝑇 𝑇𝑇2 )2 +1 𝜔𝜔 2 (𝑇𝑇 − 𝑇𝑇 )2
11==2 ((𝜔𝜔 2 𝐾𝐾 0)𝑇𝑇)1()(2 𝑇𝑇11))((1+(𝜔𝜔 1 0)2 ))1√(1
+
𝜔𝜔
(11)
2
0
1 𝑇𝑇
2 )2 + 𝜔𝜔0 2 (𝑇𝑇
2 − 𝑇𝑇
1 )2
√(1
+
𝜔𝜔
𝑇𝑇
(11)
𝑁𝑁𝐶𝐶
𝑇𝑇
𝑇𝑇
2
0 1 )2
0 1 2
0
2
1
𝐾𝐾
𝑇𝑇1
𝜔𝜔00 21
1+(𝜔𝜔
𝑁𝑁𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝑇𝑇
𝑇𝑇1 0 𝑇𝑇
1 2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
)
(𝑇𝑇
)
)
(
)
(
)
√(1
+
𝜔𝜔
𝑇𝑇
𝑇𝑇
+
𝜔𝜔
−
𝑇𝑇
(11)
同 様 に 、 式 1 0 で1ω=
= ω(0 、 ∠
H
=
φ
と
す
る
と
、
位
相
余
裕
φ
は
周
波
数
ω
（
ユ
ニ
テ
ィ
・
ゲ
イ
ン
周
波
数
）
に
お
け
る
H
𝐾𝐾
𝑇𝑇
1
1 =0(𝑇𝑇1𝜔𝜔)22𝐾𝐾𝑁𝑁𝐶𝐶 )1(𝑇𝑇𝑇𝑇M1) (0 1+(𝜔𝜔
𝑇𝑇11)𝑇𝑇22 ) + 𝜔𝜔
−)𝑇𝑇21 )O L の 位 相(11)
1 12 0 2 ) √(1
0 +2𝜔𝜔
0 (𝑇𝑇
2 𝑇𝑇
2 𝑇𝑇0 𝑇𝑇
2 (𝑇𝑇
𝜔𝜔 2 𝑁𝑁𝐶𝐶O𝑃𝑃L 𝑇𝑇M2 1 =
1+(𝜔𝜔
)
(
+
𝜔𝜔
+
−
2 𝜔𝜔
2 (11)
2 𝑇𝑇
22(𝑇𝑇
0 )(
𝑃𝑃 ) (
2) (
02𝑇𝑇)
1 )√(1
0
1
2
0
1
)
として定義されます。 0
1 (=𝜔𝜔0(2𝜔𝜔𝑁𝑁𝐶𝐶
)
√(1
+
𝜔𝜔
𝑇𝑇
+
𝜔𝜔
(11)
1+(𝜔𝜔0 𝑇𝑇1 ) )2
𝑇𝑇2
0 1 2
0
2 − 𝑇𝑇1 )
2𝑃𝑃
𝑇𝑇02𝑇𝑇1 )1+(𝜔𝜔
(12)
Φ𝑀𝑀 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔0 𝑇𝑇2 ) − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔
0 𝑁𝑁𝐶𝐶𝑃𝑃
0 𝑇𝑇1
ΦΦ𝑀𝑀 ==𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔00𝑇𝑇𝑇𝑇22))−−𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔00𝑇𝑇𝑇𝑇11)) (12)
(12)
𝑀𝑀
)−
)
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔
𝑇𝑇
(12)
Φ𝑀𝑀 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔0 𝑇𝑇2Φ
=
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔10こ
𝑇𝑇と
−、𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔
(12)
𝑀𝑀
2 )で
0)𝑇𝑇
1 )式(12)
式 11 と 式 1 2 の T 2 に 式 1 を 、 T 1 に 式 2Φを𝑀𝑀代=
入𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔
し て 展 開 す00る
R 0 と C 00を𝑇𝑇1含
む
は 簡 単 に 求 め ら れ ま す 。 こ2の よ う
𝑇𝑇2 )𝑇𝑇−
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔
2
2
21+2𝐾𝐾𝐶𝐶
)
)
=
−
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔
𝑇𝑇
(12)
Φ
2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝜔𝜔
(Φ
)
𝐾𝐾
𝑀𝑀
0
2
0
𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾√1−cos
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
0 cos(Φ
𝑀𝑀 )+(𝐶𝐶𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
0 )
0 用して、変数
𝑀𝑀R と C に 関 連 づ け る こ と が で き ま し
2
に 、 ω 0と φ Mは 、 定
数 K=
、 N 、 C Pを 使
た。
2 cos(Φ
2 +2𝐾𝐾𝐶𝐶
2 (Φ ) 𝐶𝐶
0
0
𝑅𝑅0𝐴𝐴
=
−
(
) )+(𝐶𝐶
𝐾𝐾
𝑁𝑁𝜔𝜔
𝑁𝑁𝜔𝜔 2 ) 2
𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾√1−cos
𝑃𝑃
𝑀𝑀
𝑀𝑀 ) 0𝐴𝐴
2))cos(Φ
2
2 2 2 (Φ
2 (𝐶𝐶 𝑁𝑁𝜔𝜔
)+(𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔00 2 ) )
𝐾𝐾022+2𝐾𝐾𝐶𝐶
𝑁𝑁𝜔𝜔0𝑀𝑀
𝑁𝑁𝜔𝜔=
𝑁𝑁𝜔𝜔=
+𝐾𝐾 cos(Φ
𝐾𝐾2 +2𝐾𝐾𝐶𝐶
𝜔𝜔00 𝐾𝐾𝐾𝐾√1−cos
𝑃𝑃
0
𝑀𝑀
0 cos(Φ𝑀𝑀 )+(𝐶𝐶
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔0 )
0
𝑃𝑃
𝑀𝑀
𝐶𝐶
−
(
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑃𝑃0𝐴𝐴
0𝐴𝐴 = ®− (
2
2
2 )2
2
2
𝐶𝐶
)
𝑁𝑁𝜔𝜔
𝑀𝑀 )+(𝐶𝐶
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
0 22(𝐶𝐶
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔20)22+𝐾𝐾2cos(Φ𝑀𝑀 ))
2 (Φ𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
0𝐴𝐴 =𝐾𝐾𝐾𝐾2+2𝐾𝐾𝐶𝐶
R 0 とC 0 が含まれる式の解を同時に求めるのは容易ではありません。例えば、「M
a t0𝐴𝐴
h𝑃𝑃c𝑁𝑁𝜔𝜔
a d 0 2」（P
T𝑀𝑀
C𝑁𝑁𝜔𝜔
社）で提供されてい
2 (Φ0 2))2
)+(𝐶𝐶
) 00 2cos(Φ
𝐾𝐾2 +2𝐾𝐾𝐶𝐶
cos(Φ
𝜔𝜔0 𝐾𝐾𝐾𝐾√1−cos
(𝐶𝐶𝑁𝑁𝜔𝜔
)) 𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
+2𝐾𝐾𝐶𝐶
cos(Φ
cos(Φ𝑀𝑀
𝑃𝑃
0𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
𝐾𝐾
𝑀𝑀
𝜔𝜔
2 cos(Φ
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
𝑀𝑀 )+(𝐶𝐶
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
0
0 +2𝐾𝐾𝐶𝐶
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
022 +𝐾𝐾
𝑀𝑀)+(𝐶𝐶
0
0 𝐾𝐾𝐾𝐾√1−cos
𝑀𝑀
2)
2
2
2
2
2
𝑅𝑅
=
𝐶𝐶
=
−
(
)
)+(𝐶𝐶
)+(𝐶𝐶
(Φ
)
(Φ
)
)
𝐾𝐾
+2𝐾𝐾𝐶𝐶
𝑁𝑁𝜔𝜔
cos(Φ
𝑁𝑁𝜔𝜔
+2𝐾𝐾𝐶𝐶 t𝑁𝑁𝜔𝜔
cos(Φ
𝑁𝑁𝜔𝜔
𝜔𝜔
𝑅𝑅
=連
=22は
−a cos(Φ
2 cos(Φ
𝑃𝑃
𝑃𝑃 2 20𝑁𝑁𝜔𝜔
0 数
𝑀𝑀
𝑃𝑃))
0 置き
る シ ン ボ リ ッ ク ・0𝐴𝐴
ロセ
サを使
えば
2𝐾𝐾𝐾𝐾√1−cos
つ
立 方𝑁𝑁𝜔𝜔
程0𝑀𝑀𝐾𝐾𝐾𝐾√1−cos
式
と0𝐴𝐴
が
で )き ま す2𝐾𝐾
が
n0𝐴𝐴
関
r(
c𝐾𝐾c o2 +2𝐾𝐾𝐶𝐶
s関
数𝑃𝑃に
換𝑀𝑀
0
2𝑀𝑀
2 解
2𝜔𝜔cos(Φ
2 )を
0𝐴𝐴
)+(𝐶𝐶
(Φ
2 、 a r2c𝑃𝑃
2くこ
20𝑁𝑁𝜔𝜔
2え 𝑀𝑀
𝜔𝜔
)+(𝐶𝐶
(𝐶𝐶a𝐶𝐶
2
𝑁𝑁𝜔𝜔
+𝐾𝐾
2 (Φ𝑀𝑀
0 𝐾𝐾𝐾𝐾√1−cos
)+(𝐶𝐶
0 0𝐴𝐴
𝑃𝑃 𝜔𝜔0 𝐾𝐾𝐾𝐾√1−cos
0𝑃𝑃
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
0
𝑀𝑀
𝑁𝑁𝜔𝜔
𝑁𝑁𝜔𝜔
cos(Φ
𝐾𝐾2 +2𝐾𝐾𝐶𝐶
𝑅𝑅
=2の𝑀𝑀
=
−
(
=𝐾𝐾2ッ
−+2𝐾𝐾𝐶𝐶
( 2𝑃𝑃+2𝐾𝐾𝐶𝐶
)
𝐶𝐶
−
)
𝑅𝑅プ
)+(𝐶𝐶
2 ))
) 𝑀𝑀=
)𝑃𝑃𝑀𝑀
𝐾𝐾
+2𝐾𝐾𝐶𝐶
𝑁𝑁𝜔𝜔
cos(Φ
𝑁𝑁𝜔𝜔
0 2cos(Φ
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
0( ) 𝑁𝑁𝜔𝜔0𝐶𝐶0𝐴𝐴
0 (𝐶𝐶𝑃𝑃0𝑁𝑁𝜔𝜔
0 +𝐾𝐾
𝑃𝑃
0
𝑀𝑀
𝑃𝑃
0
0𝐵𝐵
0𝐵𝐵
𝑀𝑀
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
𝑅𝑅
=
𝐶𝐶
=
−
(
)+(𝐶𝐶
)は)R 02と
(𝐶𝐶
)+(𝐶𝐶
)+(𝐶𝐶
(𝐶𝐶を
))き
(Φ
𝑁𝑁𝜔𝜔
cos(Φ
𝑁𝑁𝜔𝜔
cos(Φ
𝐾𝐾め+2𝐾𝐾𝐶𝐶
cos(Φ
𝑁𝑁𝜔𝜔
𝑁𝑁𝜔𝜔
+𝐾𝐾
cos(Φ
な け れ ば な り ま せ ん 。 こ の 置𝐾𝐾き𝑅𝑅換
え=
に𝑁𝑁𝜔𝜔
よ
て+2𝐾𝐾𝐶𝐶
、
シ
ボ
リ
ッ
ク)・𝑀𝑀プ
ロ𝑀𝑀セ
ッサ
C
の=解
るこ
と
が
で
、 0解
集
0𝐴𝐴
0𝐴𝐴
𝑃𝑃𝜔𝜔
0𝑁𝑁𝜔𝜔
𝑃𝑃)𝑁𝑁𝜔𝜔
0𝑁𝑁𝜔𝜔
0 𝑀𝑀
𝑃𝑃
𝑀𝑀
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
0
𝑀𝑀+𝐾𝐾
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
0 ))) )))
𝑃𝑃
0っ
𝑀𝑀ン
𝑃𝑃
02
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
0 𝐾𝐾𝐾𝐾√1−cos
−−
((𝐾𝐾cos(Φ
𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐵𝐵
(求
2𝑁𝑁𝜔𝜔
2合
0 0
0𝐵𝐵
cos(Φ
𝐾𝐾2 +2𝐾𝐾𝐶𝐶
2 cos(Φ
2 )20 22
2 (𝐶𝐶𝑁𝑁𝜔𝜔
22+𝐾𝐾
𝑃𝑃0
0 cos(Φ
𝑀𝑀 )+(𝐶𝐶
𝑃𝑃0
020(𝐶𝐶
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
0 +𝐾𝐾
𝑀𝑀)
=
))+2𝐾𝐾𝐶𝐶
=−
−
(に0 式𝑁𝑁𝜔𝜔
)+(𝐶𝐶
𝑁𝑁𝜔𝜔
𝑁𝑁𝜔𝜔
𝐾𝐾2得
2め
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
𝑀𝑀
𝑃𝑃
0で
𝑃𝑃う
𝑀𝑀 ))))
2 (Φ
0𝐵𝐵
22+2𝐾𝐾𝐶𝐶
2cos(Φ
2+2𝐾𝐾𝐶𝐶
2
2𝜔𝜔
2))𝐾𝐾
2 +𝐾𝐾
2
)+(𝐶𝐶
（ R 0 A , C 0 A ; R 0 B , C 0 B ; R 0 C , C 0 C ; 𝑅𝑅
R 0𝐵𝐵
,
C
）
が
ら
れ
ま
す
。
な
お
、
a
r
c
c
o
s
関
数
を
使
用
す
る
た
1
2
行
変
換
の
詳
細
)
)
𝑁𝑁𝜔𝜔
cos(Φ
𝑁𝑁𝜔𝜔
𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾√1−cos
)+(𝐶𝐶
(𝐶𝐶
)+(𝐶𝐶
+2𝐾𝐾𝐶𝐶
𝑁𝑁𝜔𝜔
cos(Φ
𝑁𝑁𝜔𝜔
𝑁𝑁𝜔𝜔
𝑁𝑁𝜔𝜔
cos(Φ
𝐾𝐾
(Φ
𝑃𝑃
0
𝑀𝑀
𝑃𝑃
0
𝐾𝐾
𝑁𝑁𝜔𝜔
cos(Φ
0
𝑀𝑀
𝐾𝐾𝐾𝐾√1−cos
0D
0D
𝑃𝑃
0
𝑀𝑀 2 𝑃𝑃
0
0
𝑃𝑃 𝑃𝑃 02 0
𝑀𝑀
𝑀𝑀
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
0
𝑀𝑀
2
2)
−参
( 照2 +2𝐾𝐾𝐶𝐶
) 𝐶𝐶0𝐵𝐵(Φ=2𝑀𝑀 )− ()
) 2 cos(Φ
𝐾𝐾 (+2𝐾𝐾𝐶𝐶
𝑁𝑁𝜔𝜔0 cos(Φ
𝜔𝜔0 𝐾𝐾𝐾𝐾√1−cos
=
)2 (𝐶𝐶𝐶𝐶
=
𝑃𝑃))
𝑀𝑀 )+(𝐶𝐶
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔0𝑁𝑁𝜔𝜔
2い
2 )2𝐾𝐾𝐾𝐾√1−cos
2 −
に つ い て は 稿 末𝑅𝑅の0𝐵𝐵付=
録を
だ𝑅𝑅さ
。(−𝑀𝑀(
0𝐵𝐵
0𝐵𝐵
)+(𝐶𝐶
𝐾𝐾2 +2𝐾𝐾𝐶𝐶
2 +2𝐾𝐾𝐶𝐶
2 )20𝐶𝐶
𝜔𝜔
)+(𝐶𝐶
cos(Φ
cos(Φ
𝐾𝐾 し て く
𝑃𝑃2𝑁𝑁𝜔𝜔
0𝑁𝑁𝜔𝜔0 2 +𝐾𝐾𝑀𝑀cos(Φ
𝑃𝑃𝑀𝑀 ))
0 0 2 cos(Φ𝑀𝑀(Φ
𝑀𝑀 𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔0𝑁𝑁𝜔𝜔
)+(𝐶𝐶
(𝐶𝐶
𝑃𝑃
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔0𝑃𝑃
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔
0 +𝐾𝐾
𝑀𝑀
𝑁𝑁𝜔𝜔
𝑁𝑁𝜔𝜔
𝐾𝐾
)
=
−
(
𝑅𝑅𝑁𝑁𝜔𝜔
0
𝑃𝑃
0𝐵𝐵𝑅𝑅0= −
0𝐵𝐵
2 cos(Φ )+(𝐶𝐶 𝑁𝑁𝜔𝜔 2 )2
2 (𝐶𝐶 𝑁𝑁𝜔𝜔 2 +𝐾𝐾 cos(Φ ))
𝐾𝐾2(+2𝐾𝐾𝐶𝐶
0𝐵𝐵 = −
𝑃𝑃 𝑁𝑁𝜔𝜔0𝑁𝑁𝜔𝜔
𝑀𝑀
𝑃𝑃
0𝑁𝑁𝜔𝜔 2 )2 ) 𝐶𝐶0𝐵𝐵 = − ( 𝑁𝑁𝜔𝜔0𝑁𝑁𝜔𝜔
𝑃𝑃
𝑀𝑀
2 +2𝐾𝐾𝐶𝐶
2 cos(Φ
2 (𝐶𝐶 0𝑁𝑁𝜔𝜔 2 +𝐾𝐾 cos(Φ
)+(𝐶𝐶
))
1 = (𝜔𝜔
𝑅𝑅𝑅𝑅0𝐴𝐴𝐴𝐴 =
𝜔𝜔𝜔𝜔0𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1− cos2( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀)
2
𝐾𝐾𝐾𝐾 + 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 2 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 ) 2
𝑅𝑅𝑅𝑅 0𝐶𝐶𝐶𝐶 =
𝜔𝜔𝜔𝜔0 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1− cos2( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀)
2
𝐾𝐾𝐾𝐾 − 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 ) 2
𝑅𝑅𝑅𝑅0𝐵𝐵𝐵𝐵
𝐾𝐾
𝜔𝜔𝜔𝜔0𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−cos2( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀)
�
𝐾𝐾𝐾𝐾2 + 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 ) 2
= −�
𝑅𝑅𝑅𝑅0𝐷𝐷𝐷𝐷 = − �
2
2
0 𝑁𝑁𝐶𝐶𝑃𝑃
𝜔𝜔𝜔𝜔0 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1− cos2( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀)
�
2
𝐾𝐾𝐾𝐾 − 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 ) 2
𝑃𝑃
0
𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐴𝐴𝐴𝐴 =
𝑀𝑀
0
𝐾𝐾𝐾𝐾2 + 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 2�
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 + 𝐾𝐾𝐾𝐾 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀))
𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐵𝐵𝐵𝐵 = − �
𝐾𝐾𝐾𝐾2 −2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 2 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02�
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 2( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 − 𝐾𝐾𝐾𝐾 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀))
𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐶𝐶𝐶𝐶 = − �
2
2
2
𝐾𝐾𝐾𝐾2 −2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 2 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02�
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 2( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 − 𝐾𝐾𝐾𝐾 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀))
𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐷𝐷𝐷𝐷 = − �
𝐾𝐾𝐾𝐾 2 − 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔0 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀 ) + (𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔0 2) 2 (13)
𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐾𝐾2 + 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 2 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 2�
−�
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 + 𝐾𝐾𝐾𝐾 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀))
0
�
𝑃𝑃
0
�
�
2
�
Analog Dialogue 49-02
𝑀𝑀
2
2( Φ02�)
𝐾𝐾𝐾𝐾2 −2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 2 cos
Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + �cos
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝜔𝜔𝜔𝜔 (𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
このような結果が得られたわけですが、これで終了とい
曲 線 で𝐶𝐶𝐶𝐶表
す 。2赤 い 曲 線
の下の部分
に
お い て(16)
、 横 軸(15)
= れ𝑅𝑅𝑅𝑅ま
=
0さ
0 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
2
𝐾𝐾𝐾𝐾cos𝑃𝑃𝑃𝑃(𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
Φ𝑀𝑀𝑀𝑀0)2−cos
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃(𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾
Φ
0 2(−2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
0) )+ ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 2) 2
𝑀𝑀𝑀𝑀
う こ と で は あ り ま せ ん 。 こ こ で の 目 的 は 、 ω 0と φ Mか ら R 0
は C 0が 正 に な る ω 0と φ Mの 範 囲 を 規 定 し て い ま す 。 青 と 緑
とC 0 を求めることです。この結果は、1 組のR 0 とC 0 ではな の 曲 線 の 交 点 か ら 破 線 を 引 い て い ま す が 、 そ の 延 長 に あ
く 、 R 0 と C 0 の 4 組 の 候 補 で す 。 し か し 、 4 組 の 解 の 詳 細 を る 横 軸 上 の 点 は 、 C 0 が 正 に な る 場2 合 の φ M の 最 大 値 2で あ る
2 22� (17)
2 cos)(𝐾𝐾𝐾𝐾
2( Φ )
�𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾 cos
>2𝑀𝑀𝑀𝑀。
𝐶𝐶𝐶𝐶) +
( Φ ) + �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02�
𝜔𝜔𝜔𝜔 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
𝐾𝐾𝐾𝐾2 + 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔( Φ
Φ
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
−2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
にcos
して
1 𝑀𝑀𝑀𝑀
組の解が導かれます。.
ます
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔
0 00 cos
� 𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑅𝑅𝑅𝑅0𝐴𝐴𝐴𝐴 見
= る2と 、 次 の0 よ う
𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐴𝐴𝐴𝐴 = − �φ M _ M A X に𝑃𝑃𝑃𝑃2相 当0𝐶𝐶𝐶𝐶し
(16)
0=
2
2 2
2
𝐾𝐾𝐾𝐾 + 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 )
2 ( 𝐾𝐾𝐾𝐾cos
(Φ
)) ( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 )
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 + 𝐾𝐾𝐾𝐾 cos
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
0 𝑀𝑀𝑀𝑀
2
P L L の モ デ リ ン グ に お い て 、 全 2頁
の式のすべての変数は
( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) 2+ 2�𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 2�
𝜔𝜔𝜔𝜔0𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
cos) ( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀)
𝐾𝐾𝐾𝐾2 +22𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃(𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0)2 cos
2( Φ
�
2
𝜔𝜔𝜔𝜔0と
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−cos
𝐾𝐾𝐾𝐾2 =
+ 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 cos Φ𝑀𝑀𝑀𝑀 + �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
正 の𝑅𝑅𝑅𝑅値
で
あ
る
こ
に
注
意
し
て
く
だ
さ
い
。
ま
た
、
φ
は
0
�
�
=
𝐶𝐶𝐶𝐶
−
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾0 � ))
M = − �0𝐴𝐴𝐴𝐴
� 02 )2
2 ( 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔 2 +𝐶𝐶𝐶𝐶𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑅𝑅𝑅𝑅0𝐵𝐵𝐵𝐵 = − �0𝐴𝐴𝐴𝐴2 𝐾𝐾𝐾𝐾2 + 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶2𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔(0 2 cos
𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐵𝐵𝐵𝐵
( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + ( 𝐶𝐶𝐶𝐶2𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
Φ0𝑀𝑀𝑀𝑀_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀
=
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
�𝑀𝑀𝑀𝑀
radians (18)
0+
𝑃𝑃𝑃𝑃cos(0Φ� )) cos( Φ
2 ( 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
2
2 の
)正
Φら
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾
～ π / 2 の𝐾𝐾𝐾𝐾範+囲2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
にあ
る0こcos
とか
φ𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
)
も
値
で
す
。
こ
の
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑀𝑀𝑀𝑀)c+o (s𝐶𝐶𝐶𝐶(𝑃𝑃𝑃𝑃
0
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
2
M
𝐾𝐾𝐾𝐾 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀 ) > 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔0
(17)
2 + 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔 2 cos( Φ ) +2 �𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔 2�2
た め 、 C 0Aと R 0Bは 明 ら か
に
負 の 数 に2(な
り)ま す 。 R 0 と C 0 は
𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−cos
𝐾𝐾𝐾𝐾
Φ
2
2
2
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
2
( Φお
( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀)
�𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃
�の a r c c o s 関�数 の 制 約 を 満
式
0～
/2に
φ𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾 1−2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
+る
0 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
𝑃𝑃𝑃𝑃�𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
0 πcos
𝑀𝑀𝑀𝑀)け
�と
� と C=0 B−𝐶𝐶𝐶𝐶�0𝐵𝐵𝐵𝐵
−
=8 は
−、
M _ M0A X
を=
と𝜔𝜔𝜔𝜔る
こ
はcos
で き𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
ない
、)R+0 A(と
C 0A、
�小𝑀𝑀𝑀𝑀さ
2 ので
2 R
2 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
2 0 B0𝐶𝐶𝐶𝐶
= の2𝑅𝑅𝑅𝑅値0𝐵𝐵𝐵𝐵
𝑅𝑅𝑅𝑅0𝐶𝐶𝐶𝐶 負
(Φ
)) く な け れ ば な ら な
2 02 + 𝐾𝐾𝐾𝐾 cos(
𝐾𝐾𝐾𝐾22 + 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑃𝑃𝑃𝑃) + (0𝐶𝐶𝐶𝐶 cos
0 ) 𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑃𝑃𝑃𝑃
2 )𝑀𝑀𝑀𝑀
2に
20−(N
2
た
す
た
め
は
、
C
ω
が
K
よ
り
もΦ
(
(
(
))
𝐾𝐾𝐾𝐾
−
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
cos
Φ
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾
cos
Φ
𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
0
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
P
0
の解集合は直ちに除外されます。しかし、R 0 C とC 0 C 、R 0 D
2
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾
い
と
い
う
こ
と
を
表
し
て
い
ま
す
。
こ
れ
に
よ
っ て 、 C 0が 正 で
𝑃𝑃𝑃𝑃
02�2
2 cos
2
( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) 2cos
��𝐶𝐶𝐶𝐶2𝑃𝑃𝑃𝑃
と C 0 D の 組 に つ𝜔𝜔𝜔𝜔
いて
は
ら
な
検)2(討
𝜔𝜔𝜔𝜔
=
radians/s
(19)
𝜔𝜔𝜔𝜔0さ
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
cos
𝐾𝐾𝐾𝐾2 −2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
Φが
+
2 cos
2 −2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
�
2(る
(
)
𝑀𝑀𝑀𝑀)必 要 で す 。
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
0
Φ
=
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
��radians
(18)
0_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀
𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
Φ
(
)
�
�
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
cos
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
Φ
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
Φ
+
𝐶𝐶𝐶𝐶
0 し
𝑀𝑀𝑀𝑀決 ま
𝑀𝑀𝑀𝑀_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃
0 の
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑃𝑃𝑃𝑃 て ω
0
𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾
�
あ
る
場
合
の
ω
上
限
値
と
が
ります。
=
𝐶𝐶𝐶𝐶
=
−
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑅𝑅𝑅𝑅0𝐴𝐴𝐴𝐴
= 0𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐴𝐴𝐴𝐴
�0𝐶𝐶𝐶𝐶
� 02 )2
0 _(M�
A X ))
=
−
𝑅𝑅𝑅𝑅0𝐷𝐷𝐷𝐷 = − �0𝐶𝐶𝐶𝐶2 𝐾𝐾𝐾𝐾2 − 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶2𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔(02 cos
𝐶𝐶𝐶𝐶
2( 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔 2 −
(
)
(
0𝐷𝐷𝐷𝐷
2
2
2
2
Φ
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾
cos
Φ
+
𝐶𝐶𝐶𝐶
2
2
2
2
(
)
(
)
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝐾𝐾𝐾𝐾
+
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
cos
Φ
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
+
𝐶𝐶𝐶𝐶
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃とC
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 を含む4
cos Φ𝑀𝑀𝑀𝑀)つの式には、次の共通の要素
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 − 𝐾𝐾𝐾𝐾 cos
+ ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 )
𝑃𝑃𝑃𝑃 ( Φ0𝑀𝑀𝑀𝑀))
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
R 0 C とC𝐾𝐾𝐾𝐾0 C −
、R
0D
0D
2
2�2
( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + 2�2𝐶𝐶𝐶𝐶2𝑃𝑃𝑃𝑃2𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝜔𝜔𝜔𝜔202。
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1− cos2( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀)
𝐾𝐾𝐾𝐾2 −2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
があることが
か り まcos
す
0 cos
𝜔𝜔𝜔𝜔わ
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
𝐾𝐾𝐾𝐾22 + 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔 22 cos
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔 �� 2(0Φ𝑀𝑀𝑀𝑀)
(( Φ
(( Φ ))
)) +𝜔𝜔𝜔𝜔
��0𝐶𝐶𝐶𝐶𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−cos
𝜔𝜔𝜔𝜔00�
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1− cos Φ𝑀𝑀𝑀𝑀
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔00
� 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔−
� 𝐶𝐶𝐶𝐶 = −
�
𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾𝐾𝐾 =+−
00 cos
� 2(2𝐶𝐶𝐶𝐶Φ𝑃𝑃𝑃𝑃𝑀𝑀𝑀𝑀𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
�
𝑅𝑅𝑅𝑅
2 cos( Φ ) + ( 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔 2 ) 2 𝐶𝐶𝐶𝐶
2−
= 𝑅𝑅𝑅𝑅220𝐷𝐷𝐷𝐷 = −
��))
0𝐵𝐵𝐵𝐵 =–𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
( Φ(𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅0𝐴𝐴𝐴𝐴
𝐾𝐾𝐾𝐾2− 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾2cos
𝐾𝐾𝐾𝐾C
2 cos
0𝐴𝐴𝐴𝐴 =
0𝐴𝐴𝐴𝐴 = − ��
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
0 ( 𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
0𝐴𝐴𝐴𝐴
ΔΦ
arctan
(ω
R
)
(20)
) + ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 ) 2
00𝑃𝑃𝑃𝑃
2
+𝐾𝐾𝐾𝐾
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
Φ
22))22
22+
(
))
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
+2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0022cos
cos
Φ
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔00𝑀𝑀𝑀𝑀
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0022=
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔00𝐾𝐾𝐾𝐾
+
𝐾𝐾𝐾𝐾
cos
Φ
+
((Φ
(
( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
((𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝜔𝜔𝜔𝜔
))
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾2 +
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
cos
Φ
𝑀𝑀𝑀𝑀))+
𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
2
2
2
=
radians/s
(19)
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑀𝑀𝑀𝑀
�𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾
0_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀
𝐾𝐾𝐾𝐾 − 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀 ) + (𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔0 ) (13)
𝑃𝑃𝑃𝑃
22(
2
222�2( Φ )
cos
( 𝜔𝜔𝜔𝜔 )𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
�
22
22
)
𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐵𝐵𝐵𝐵
𝜔𝜔𝜔𝜔00𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−cos
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−cos ( Φ
𝐾𝐾𝐾𝐾 + 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔00 cos
cos( Φ
Φ𝑀𝑀𝑀𝑀
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔00 � 𝑀𝑀𝑀𝑀
Φ𝑀𝑀𝑀𝑀
+�𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑀𝑀𝑀𝑀)
𝑀𝑀𝑀𝑀)0 +
𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑅𝑅𝑅𝑅0𝐶𝐶𝐶𝐶 2=
�𝐾𝐾𝐾𝐾 + 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
�c 2 の 形 に な
=
−
=
−
𝐶𝐶𝐶𝐶
2
�
�
��
=
−
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅0𝐵𝐵𝐵𝐵
𝐶𝐶𝐶𝐶
2
2
0𝐵𝐵𝐵𝐵
0𝐵𝐵𝐵𝐵
こ=
の−
式�1�𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾
32を
く
見
る
と
、
a
(
2
a
c
)
c
o
s
(
β
)
+
っ
て
0𝐵𝐵𝐵𝐵
2
2
2
2 +よ
2
2
2
2
2
𝐾𝐾𝐾𝐾
−
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
cos
2 cos
2 ((𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
2+
)+
))( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 ) 2
𝑃𝑃𝑃𝑃cos
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
Φ𝑀𝑀𝑀𝑀
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
+ 𝐾𝐾𝐾𝐾
cos
Φ
((Φ
(0(Φ
((𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃(𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
+ 𝐾𝐾𝐾𝐾
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑀𝑀𝑀𝑀
02 )))2+ (𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔0 )
𝑀𝑀𝑀𝑀))
−
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Φ0𝑀𝑀𝑀𝑀
(13) 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
y M_
00 cos
00 MAX
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
00
𝑀𝑀𝑀𝑀
=
Φ
–
ΔΦ
=
Φ
(21)
Φ
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔
0) +
M𝐾𝐾𝐾𝐾
M + arctan(ω0 R2 C2 )
2
2=
いる
とaが2 わ
す 。 こ れ (β)
が 任(14)
意の数b と等しいとす
bこ
+か
c 2り–ま
(2ac)cos
22C
2((20)
)
2
2
2
𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
cos
Φ
2
ΔΦ
=
–
arctan
(ω
R
)
2
2
2
0
2
2
2
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
(
(
)
)
�
�
𝜔𝜔𝜔𝜔0よ
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
cos
𝐾𝐾𝐾𝐾 −2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
cos
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔00 �
Φす
(Φ
𝜔𝜔𝜔𝜔
cos
ると、次式の
うにな
りま
0𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
𝑀𝑀𝑀𝑀)。
𝑀𝑀𝑀𝑀
� (2ΦΦ𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀) ++�𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
�
𝑅𝑅𝑅𝑅0𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
=00−cos
𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐷𝐷𝐷𝐷
y = C N𝛚
= 22
=−
−��𝐾𝐾𝐾𝐾 −2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
��
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅0𝐶𝐶𝐶𝐶
2
2 2
0𝐶𝐶𝐶𝐶 =
0𝐶𝐶𝐶𝐶 =
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
22−
0)) cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 )
(Φ
)+
− 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0022cos
cos((Φ
Φ𝑀𝑀𝑀𝑀
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0022))22
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0022((𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔00𝐾𝐾𝐾𝐾
−−𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
cos𝑃𝑃𝑃𝑃
Φ
+((𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
(
)
))
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 −
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
cos
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑀𝑀𝑀𝑀
K
2
2
2
2
b = a + c – (2ac)cos (β) (14)
= ΦM_MAX + ΔΦ = arccos
(ω0 NCP/K) – arc
ΦM_MAX_NEW
2 cos( Φ ) 2+ �𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔 22�22
(cos
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
cos
Φ
2�2
2+
22((2Φ
0
𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
cos
𝐾𝐾𝐾𝐾22−2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
−2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
Φ
(𝑃𝑃𝑃𝑃Φ
))2()Φ𝑀𝑀𝑀𝑀)
)0+Φ
�𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃(–
�𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃
𝜔𝜔𝜔𝜔
cos
𝐾𝐾𝐾𝐾
cos
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
cos
Φ
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
0𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
022𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑀𝑀𝑀𝑀
0) �+=
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
0
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
0
=
ΔΦ
Φ
+
arctan
(ω0 R2 C2 )
Φ
=
(15)𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐷𝐷𝐷𝐷
M
�0𝐴𝐴𝐴𝐴𝐾𝐾𝐾𝐾2=2−2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔22 cos(Φ ) + (𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔 22)2�2�
=𝑅𝑅𝑅𝑅−
−
=−
−𝐶𝐶𝐶𝐶��0𝐴𝐴𝐴𝐴 = − �22( M_ MAX
0𝑅𝑅𝑅𝑅�
�� M
�
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅0𝐷𝐷𝐷𝐷
0𝐷𝐷𝐷𝐷 =
0𝐷𝐷𝐷𝐷 =
20 cos
22−
2−
2 長2さ
2三
2−(𝐾𝐾𝐾𝐾
2 𝑀𝑀𝑀𝑀
2 𝑃𝑃𝑃𝑃
2
(0Φ
(0Φ
(𝐶𝐶𝐶𝐶𝑀𝑀𝑀𝑀
)𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
))
𝑃𝑃𝑃𝑃
−定
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
cos
Φ
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔00 ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝑃𝑃𝑃𝑃cos
cos
Φ
+
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃の
(
))角
(形
))
(Φ
(
))
2
2
2 2 (13)
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾弦
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
+
𝐾𝐾𝐾𝐾理
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
cos
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
+
𝐾𝐾𝐾𝐾
cos
Φ
+3(辺
𝐶𝐶𝐶𝐶20𝑃𝑃𝑃𝑃)の
𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃)𝑃𝑃𝑃𝑃
0
これは余
の
式00で
す(。
𝑃𝑃𝑃𝑃+
𝑀𝑀𝑀𝑀
00
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
0 ) a、b、cと、
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
(
)
(
K
(𝚽 𝐾𝐾𝐾𝐾
) > C−
N𝛚2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Φ𝑀𝑀𝑀𝑀 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔0 )
2( Φ
) 表していま
長 さ が b の 辺 の 対 角 で あ𝜔𝜔𝜔𝜔る
内 角 β cos
の2 関
係𝑀𝑀𝑀𝑀を
2
0𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
2
2 + 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔 2 cos( Φ ) +K�𝐶𝐶𝐶𝐶 (𝚽
)=
( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀)
𝑅𝑅𝑅𝑅形
(15)
𝜔𝜔𝜔𝜔0𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−cos
2
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
0 C� N𝛚
0=
2) 2�
2−2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
す 。 b𝑅𝑅𝑅𝑅
は
三 角−
の長
の022cos
乗で
数0で
す 。 し 𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐵𝐵𝐵𝐵 = − �𝐾𝐾𝐾𝐾 Φ
( Φあ
( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃の
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
+2正
�の 21𝐾𝐾𝐾𝐾辺
�
2
𝑃𝑃𝑃𝑃さ
𝑀𝑀𝑀𝑀)り
0𝐵𝐵𝐵𝐵 =
=
Φ
+
ΔΦ
M_
MAX_NEW
M_
MAX
2
2
2
2
2
222cos
( Φ𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
)す+2。
( 𝐶𝐶𝐶𝐶と
+02𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
cos
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 + 𝐾𝐾𝐾𝐾 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀)) = arccos (ω0 NCP/K)
�)り
�𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑃𝑃𝑃𝑃(𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
0) な
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾
−2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
Φ
+
𝐶𝐶𝐶𝐶
22て
22) こ(13)
22))0う
た が𝐾𝐾𝐾𝐾
っ
、22𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
式 1 4𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾
の
右
辺
も
正
に
ま
い
と
は
、
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
(
(
𝐾𝐾𝐾𝐾
−
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Φ
(13)
+
𝐶𝐶𝐶𝐶
(
)
(
−
𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
Φ
𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔
+
𝐶𝐶𝐶𝐶
2
2
2
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃
00
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃
00 (16)
𝐶𝐶𝐶𝐶 =
b = a + c – (2ac)cos (β)
(14)
2
2
( 𝐾𝐾𝐾𝐾cos
) −、
式 1 30も 正 で な
け02れ
ば
な( Φら𝑀𝑀𝑀𝑀ず
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃R𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
0の))分 母 も 正 に な り ま
20(DΦ
𝜔𝜔𝜔𝜔0 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
cos
𝐾𝐾𝐾𝐾2 −2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 2 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02�
𝑀𝑀𝑀𝑀
�
す 。 R𝑅𝑅𝑅𝑅0 D0𝐶𝐶𝐶𝐶
の=
分 子2も 正
あ る2た
R(0Φ
全体と
て は2負 の 数 𝐶𝐶𝐶𝐶0𝐶𝐶𝐶𝐶 = − �
2、
�𝐶𝐶𝐶𝐶し
D ( 𝐶𝐶𝐶𝐶) +
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
2 2�
𝐾𝐾𝐾𝐾2で
−2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔め
cos
0( Φ
𝐾𝐾𝐾𝐾 − 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 2( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 − 𝐾𝐾𝐾𝐾 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀))
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0𝑃𝑃𝑃𝑃 cos
𝑀𝑀𝑀𝑀) + 𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0𝑃𝑃𝑃𝑃 ) 0
𝐶𝐶𝐶𝐶
=
(16)
に な り22ま す 2。
こ
の
こ
と
か
ら
、
R
と
C
の
解
集
合
も
除
外
さ
0 c22 – (2ac)cos
0(DΦ (14)
y=K
(𝚽 )
) 0−D 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 )
= aa 2 +
+
(β)
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 ( 𝐾𝐾𝐾𝐾cos
bb 。
=
c果 、
– (2ac)cos
(β)
𝑀𝑀𝑀𝑀(14)
𝜔𝜔𝜔𝜔 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1− cos2( Φ2 )
2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
れま
こΦの 結
式
11𝜔𝜔𝜔𝜔、
式 1 2(17)
にcos
共2通
る
( Φす
) 解の候補とし
𝐾𝐾𝐾𝐾2 −2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 2 cos( Φ0𝑀𝑀𝑀𝑀) + �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02� 𝑀𝑀𝑀𝑀
(
)
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃
𝐾𝐾𝐾𝐾すcos
𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔
>
𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑅𝑅𝑅𝑅
=
(15)
0
0
�
2
2) 2
2
𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑀𝑀𝑀𝑀− � 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝐶𝐶𝐶𝐶 = − �
(
) (�
P
COS
M
P
2
0
2
0
COS
M
COS
て は R 0 C0𝐷𝐷𝐷𝐷
と C 0 C の 1 𝐾𝐾𝐾𝐾
組2−
だ2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
けが
残 り2 ま す 。
2 2
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + ( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 )
22((Φ
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
cos
Φ0𝑀𝑀𝑀𝑀2
))
𝐾𝐾𝐾𝐾 cos(𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔Φ
(17)
cos
00𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
𝑀𝑀𝑀𝑀 ) > 𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔
2 𝑀𝑀𝑀𝑀
= 22
(15)
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅00 =
(15)
𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
2
2 cos
22)22
(
)
(
𝐾𝐾𝐾𝐾
−2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
cos
Φ
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
+
𝐶𝐶𝐶𝐶
(
)
(
𝐾𝐾𝐾𝐾
−2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
Φ
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
+
𝐶𝐶𝐶𝐶
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
Φ𝑀𝑀𝑀𝑀_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
(18)
𝑃𝑃𝑃𝑃
0�
𝑀𝑀𝑀𝑀2� radians
𝑃𝑃𝑃𝑃
0 )
2
𝐾𝐾𝐾𝐾 0 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀 ) + (𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔0 2) 2 (13)
𝐾𝐾𝐾𝐾 − 2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔
Φ𝑀𝑀𝑀𝑀_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀 =22𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 �
� radians
(18)
22
2 −2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔00 cos
cos((Φ
Φ𝑀𝑀𝑀𝑀
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0022��
+��𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾2 −2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝑀𝑀𝑀𝑀))+
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
= b 2 =𝐾𝐾𝐾𝐾22a( 2 + c( 2 – )(2ac)cos
(16)
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶00 =
(16)
22 ) (β) (14)
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔00 ( 𝐾𝐾𝐾𝐾cos
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾cos
Φ𝑀𝑀𝑀𝑀
−𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
(Φ
𝑀𝑀𝑀𝑀) −
𝜔𝜔𝜔𝜔0_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀
= 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
radians/s
(19)
�
00 )
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾
𝐶𝐶𝐶𝐶0 =
0
M
𝐾𝐾𝐾𝐾2 −2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 2 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) + �𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02�
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 ( 𝐾𝐾𝐾𝐾cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀) − 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02 )
2
(16)
𝛚0, 𝚽M
𝚽M 2
= 𝛑/2
𝐾𝐾𝐾𝐾 cos( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀 ) > 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔0
𝚽M_MAX = arccos (CPN𝛚02/K)
𝐾𝐾𝐾𝐾
0
𝐾𝐾𝐾𝐾 −2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 cos
( Φ𝑀𝑀𝑀𝑀Φ
))𝑀𝑀𝑀𝑀 + 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔0 2( 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔02𝑃𝑃𝑃𝑃− 𝐾𝐾𝐾𝐾 cos
0𝐷𝐷𝐷𝐷
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾02
2
P
(17)
𝛚O_MAX = [K/(CPN)]1/2
R 0 と C 0 に 関 𝜔𝜔𝜔𝜔
す0_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀
る 制 約= �
radians/s
2( Φ (19)
)
𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾�1−
cos
2
2
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
2
𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝐾𝐾𝐾𝐾cos
cos1((6Φ
Φは
𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔𝑃𝑃𝑃𝑃 2 に(17)
(17)
>
))>
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
𝐶𝐶𝐶𝐶る
𝑀𝑀𝑀𝑀0
𝑅𝑅𝑅𝑅
(15)
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾
0
式 1 5と式
、=
式𝐾𝐾𝐾𝐾
12𝑃𝑃𝑃𝑃1𝑃𝑃𝑃𝑃−2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
と 式001𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
通
す)る
解
の
候2補
図 3 . C 0の
分𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
母に関す
制約
2共
2です
(
(
)
cos
Φ
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
+
𝐶𝐶𝐶𝐶
Φ
=
�
� radians (18)
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
𝑀𝑀𝑀𝑀
𝑃𝑃𝑃𝑃
0
ΔΦ = – arctan(ω0 R2 C2 ) (20)
𝑀𝑀𝑀𝑀_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀
𝐾𝐾𝐾𝐾
が 、 R 0と C 0の 両 方 が 正 の 値 の と き の み 有 効 に な り ま
す。R 0 をよく見ると、c o s 2 ( x ) の範囲は0
～1 なので分子は
3次ループ・フィルタに向けた補正
22
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾
𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶3𝑃𝑃𝑃𝑃(ω
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾
𝑃𝑃𝑃𝑃と
0じ
0
ΔΦ
=
–
arctan
R
C
)
(20)
0
2
2
正 にΦ
な
ります
。
分
母
も
式
1
同
な
の
で
正です
。2 し
2 たが
Φ𝑀𝑀𝑀𝑀_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀
=
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
�
�
radians
(18)
2 cos
2 −2𝐾𝐾𝐾𝐾𝐶𝐶𝐶𝐶
�
�
radians
(18)
𝑀𝑀𝑀𝑀_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
(
)
�
�
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
Φ
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
+
𝐶𝐶𝐶𝐶
3次ループ・フィルタの場合、R
とC2によって2次ループ・フィ
0+ arctan
𝑃𝑃𝑃𝑃
=𝐶𝐶𝐶𝐶にΦな
R式
(21)
M – ΔΦ =
M
2 C1203)と 同 じ(16)
っ てΦ、M_RMAX
は正
。𝑃𝑃𝑃𝑃Φ
一𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾
方
、 C 0 の𝑀𝑀𝑀𝑀分(ω
子 0も
𝐾𝐾𝐾𝐾2
0
0 =り ま す
2
2
ルタよりも位相がシフトします。この位相シフトΔφは式20で
(
(
)
)
𝜔𝜔𝜔𝜔
=
𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
�𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐾𝐾𝐾𝐾 radians/s (19)
𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾𝜔𝜔𝜔𝜔
0_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀
であるため、分母が次の
条0 件𝐾𝐾𝐾𝐾cos
を満Φ
た𝑀𝑀𝑀𝑀し−て𝐶𝐶𝐶𝐶い
れ0ば C 0 も 正 に
𝑃𝑃𝑃𝑃
表されます。
な り ま す 。 ΦM_ MAX = ΦM – ΔΦ = ΦM + arctan(ω0 R2 C2 )
(21)
𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾 MAX + ΔΦ = arccos (ω0 2 NCP/K) – arctan(ω0 R2 C2 )
(22)
Φ𝜔𝜔𝜔𝜔
MAX_NEW = Φ
= cos
radians/s
(19)
2
�𝐶𝐶𝐶𝐶( M_
𝜔𝜔𝜔𝜔M_0_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀
radians/s
�
0_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀 =
) > 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑁𝑁𝑁𝑁𝜔𝜔𝜔𝜔0(19)
𝐾𝐾𝐾𝐾
Φ𝑀𝑀𝑀𝑀
(17)
𝐾𝐾𝐾𝐾
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝐾𝐾𝐾𝐾
ΔΦ = – arctan(ω0 R2 C2 ) (20)
(22)
ΦM_MAX_NEW = ΦM_MAX + ΔΦ = arccos (ω0 2 NCP/K) – arctan(ω0 R2 C2 )
2
これについて図3 に示しました。式1𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃7𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾
の左辺と右辺の値は
0
ΔΦ =
=軸で表し（青色の曲線と緑色の曲線）、横軸は
arctan
(ω0=
R2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
C22)) (20)
(20)
Φ𝑀𝑀𝑀𝑀_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀
�
� radians (18)
0R
2C
ΔΦ
––arctan
(ω
いずれもy
𝐾𝐾𝐾𝐾
ω 0と φ Mで 共 有 し て い ま す 。 2 つ の 曲 線 の 交 点 は 、 ω 0と φ M
の境界条件に相当します。式17が真になるケースは赤い
=Φ
ΦMM–– ΔΦ
ΔΦ =
=𝐾𝐾𝐾𝐾Φ
ΦMM+
+ arctan
arctan(ω
(ω00RR22CC22))
ΦM_
M_ MAX
MAX =
Φ
𝜔𝜔𝜔𝜔0_𝑀𝑀𝑀𝑀𝐴𝐴𝐴𝐴𝑀𝑀𝑀𝑀 = �
radians/s (19)
𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃𝑃𝑃 𝐾𝐾𝐾𝐾
この位相シフトに対処するために、φ M からΔφを引きます。
(21)
(21)
ΦM_ MAX = ΦM – ΔΦ = ΦM + arctan(ω0 R2 C2 )
ΦM_MAX_NEW = ΦM_MAX + ΔΦ = arccos (ω0 2 NCP/K
=Φ
ΦM_
+ΔΦ
ΔΦ =
= arccos
arccos(ω
(ω0022NC
NCPP//KK)) –– arctan
arctan(ω
(ω00RR22CC22))
ΦM_
M_MAX_NEW
MAX_NEW=
M_MAX
MAX +
Φ
ΔΦ = – arctan(ω0 R2 C2 ) (20)
Analog Dialogue 49-02
(22)
(22)
3
ΔΦ = – arctan(ω0 R2 C2 ) (20)
ΔΦ = – arctan(ω0 R2 C2 ) (20)
ΦM_ MAX = ΦM – ΔΦ = ΦM + arctan(ω0 R2 C2 )
(21)
式 1 5 と 式 1 6 に φ M _ NΦ
を 適 用 す る こ と に よ っ て 、 2 次 の 場 合 の 解 と は 異 な(21)
る R 0と C 0の 値 が 得 ら れ ま す 。 新 し い 値 に よ
EW
M_ MAX = ΦM – ΔΦ = ΦM + arctan(ω0 R2 C2 )
り 、 R 2と C 2に よ っ て 生 じ る 位 相 シ フ ト を 補 償 し ま す 。 R 2と C 2が 存 在 す る こ と で 、 φ Mの 最 大 許 容 値 で あ る φ M_MAXに も
ΦM_は
(ω0 2 NCP/K) – arctan(ω0 R2 C2 )
(22)
Φ最
M_大
MAX_NEW
MAX
影 響 が 及 び ま す 。 新 し い φ Mの
値 φ M _ M=
式 2+2 ΔΦ
で 表=
さ arccos
れます。
AX_NEW
ΦM_MAX_NEW = ΦM_MAX + ΔΦ = arccos (ω0 2 NCP/K) – arctan(ω0 R2 C2 )
(22)
まとめ
本 稿 で は 、 R 0と C 0の み 値 を 変 更 可 能 な 場 合 に 、 2 次 / 3 次 ル ー プ ・ フ ィ ル タ の 設 計 パ ラ メ ー タ と し て オ ー プ ン ル ー プ の
ユ ニ テ ィ ・ ゲ イ ン 帯 域 幅 ω 0と 位 相 余 裕 φ Mを 使 用 す る 方 法 を 紹 介 し ま し た 。 R 0と C 0を 含 む 2 次 ル ー プ ・ フ ィ ル タ を 使 用
し た P L L の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン を 行 っ た 結 果 、 H OLの 理 論 的 な 周 波 数 応 答 と そ れ に よ る 位 相 余 裕 が 完 全 に 一 致 し ま し た 。
こ れ に よ っ て 本 稿 で 示 し た 式 の 検 証 を 行 う こ と が で き ま し た 。 ω 0と φ Mに つ い て は 、 式 1 9 と 式 1 8 に よ っ て 2 次 ル ー プ ・
フィルタにおけるそれぞれの上限値が得られます。
R 0と C 0を 決 め る た め の 最 初 の 手 順 で は 、 2 次 の ル ー プ ・ フ ィ ル タ を 前 提 と し ま し た 。 こ の 手 順 で は 、 式 2 1 の 位 相 余 裕
φ Mを 調 整 し て 新 し い 値 φ M_NEWに 変 更 す る こ と で 、 3 次 の ル ー プ ・ フ ィ ル タ に 拡 張 す る こ と が で き ま す 。 こ の 結 果 、 式
2 2 の よ う に 新 た な 上 限 値 φ M_MAX_NEWが 得 ら れ ま す 。
式15と式16については、2次ループ・フィルタに対応するシミュレーションによって検証を行いました。これに対
し 、 3 次 ル ー プ ・ フ ィ ル タ 向 け に 拡 張 し た 設 計 手 順 の 評 価 を 行 う に は 、 ル ー プ ・ フ ィ ル タ の 応 答 H LF( s ) を 、 R 2と C 2を
含めて、次式のように再定義する必要があります。
𝐻𝐻𝐿𝐿𝐿𝐿 (𝑠𝑠) =
𝑠𝑠(𝑠𝑠 2 𝑅𝑅0 𝑅𝑅2 𝐶𝐶0 𝐶𝐶2 𝐶𝐶𝑃𝑃
𝑠𝑠𝑅𝑅0 𝐶𝐶0 + 1
+ 𝑠𝑠𝑅𝑅2 𝐶𝐶0 𝐶𝐶2 + 𝑠𝑠𝑅𝑅0 𝐶𝐶0 𝐶𝐶𝑃𝑃 + 𝑠𝑠𝑅𝑅2 𝐶𝐶2 𝐶𝐶𝑃𝑃 + 𝑠𝑠𝑅𝑅0 𝐶𝐶0 𝐶𝐶2 + 𝐶𝐶0 + 𝐶𝐶2 + 𝐶𝐶𝑃𝑃 )
𝑥𝑥
𝑦𝑦 C = 1 . 5 n F
こ の H L F を H OΦ
と H 𝜃𝜃L の−
式𝜃𝜃に 代
入することによって、R と
P
L = C
2
1 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ( ) − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎0 ( )
C 0 を 使 用 し た 3 次 ル ー プ ・ フ ィ ル タ の シ1ミ ュ レ ー シ ョ ン1
R2 = 165 kΩ
が可能になります。このシミュレーションにより、3次
ル ー プ ・ フ ィ ル タ の H OLに よ っ て 得 ら れ る 理 論 的 な 周 波
C2 = 337 pF
2余 裕 を
2ベ ー ス
2 とした場合、R とC の計算
数応答と位相
𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 cos(𝜃𝜃) 0 (θ is0 the angle Kopposite
side c)
D = 30 μA
値に少しのズレが生じることがわかります。これは主
に 3 次 ル ー プ ・ フ ィ ル タ の H OLに お け る R 2と C 2の 影 響 に
KV = 3072 （122.88MHzにおいて25ppm/V)
よるものです。
2
2
N = 1002
2
2
2
2
(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) = (√1 + 𝑥𝑥 ) + (√1 + 𝑦𝑦 ) − 2√1 + 𝑥𝑥 √1 + 𝑦𝑦 cos Φ
R 0と C 0の 式 は 2 次 の ル ー プ ・ フ ィ ル タ を 前 提 に し て い る
シミュレーション1とシミュレーション2では、計算値の
ことを思い出してください。R 2 とC 2 は2 次のループ・フィ
上 限 で あ る 1 2 4 . 8 H z （ ω 0_MAX） に 近 い 値 と し て ω 0= 1 0 0 H z
ルタには存在しません。このため、ループ・フィルタに
を使用しました。この結果、シミュレーション1 とシミュ
R 2と C 2を 含 め る と 、 そ れ ら に よ っ て
る位相シフトを
1生+じ𝑥𝑥𝑥𝑥
レ
ー シ ョ ン 2 で は 設 計 値 （ ω 0と φ M） か ら 約 1 0 ％ の ず れ が
補 償 す る た めΦに=
R 0𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
と C 0 を 調(整 す る こ と に な り 、 誤 )
差要因
生じました。一方、シミュレーション3 とシミュレーショ
2 )(1 + 𝑦𝑦 2 )
√(1
+
𝑥𝑥
が作り出されます。ただし、シミュレーションによれば、
ン 4 で は 、 上 限 の 約 1 / 4 に 相 当 す る ω 0= 3 5 H z を 使 用 し ま し
そ う し た 誤 差 が 生 じ て も 、 R 0と C 0と し て 調 整 後 の 値 を 使
た。予想どおり、シミュレーション3 とシミュレーション
用 し 、 ω 0を 式 1 9 で 導 き 出 さ れ る 最 大 値 の 1 / 4 に 制 限 す る
4 で は 、 設 計 値 （ ω 0と φ M） に 近 い 結 果 と な り 、 誤 差 は わ
ことで、許容可能な結果が得られる1
こ+
とが
ます。
𝜔𝜔2わ𝑇𝑇1か𝑇𝑇り
ずか1％程度になりました。
2
実 際 、 シ ミ ュΦレ=
ー 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
シ ョ ン で(得 ら れ た オ ー プ ン ル ー プ の 帯 )
2
域 幅 と 位 相 余 裕 の 値 は 、 3 次√[1
の ル+
ー (𝜔𝜔𝑇𝑇
プ ・2フ
ルタ
使用
)2ィ][1
(𝜔𝜔𝑇𝑇
+を
1) ] 表 1 は シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 結 果 を ま と め た も の で す 。 設 計
す る P L L の 設 計 値 （ ω 0、 φ M） か ら わ ず か に ず れ て い る だ
パ ラ メ ー タ と し て ω 0と φ Mの 値 が 与 え ら れ た と き の R 0、
けです。
C 、ω
、φ
の計算値も含まれています。本来、比
0
シミュレーション結果
ここでは3次のループ・フィルタを使用するPLLについて
4種のシミュレーションを実施した結果を示します。い
ずれのシミュレーションでも、ループ・フィルタの部品
とPLLのパラメータについては、以下に示す固定値を使
用しました。
4
0_MAX
M_MAX
較のためには、シミュレーション1とシミュレーション3
の 両 方 でφ M = 8 0 ° を 使 用 す る の が 望 ま し い と 言 え ま す 。 し
か し 、 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 1 で は 式 2 2 の φ M< 4 8 ° と い う 制 約
を 満 た す 必 要 が あ っ た た め 、 φ M= 4 2 ° を 使 用 し ま し た 。
Analog Dialogue 49-02
表1. シミュレーション結果のまとめ
シミュレーション 1
シミュレーション 2
シミュレーション 3
シミュレーション 4
ω0
ϕM
ω0
ϕM
ω0
ϕM
ω0
ϕM
設計(値)
100 Hz
42°
100 Hz
30°
35 Hz
80°
35 Hz
30°
シミュレーシ
ョン(値、結
果)
93.1 Hz
38.7°
92.5 Hz
27.1°
34.9 Hz
79.0°
34.7 Hz
29.3°
パラメータ
R0
969.6k kΩ
1118 kΩ
240.1 kΩ
139.9 kΩ
C0
14.85 nF
3.670 nF
225.5 nF
21.24 nF
𝛚0_MAX
124.8 Hz
124.8 Hz
124.8 Hz
124.8 Hz
𝛟M_MAX
48.0°
48.0°
84.8°
84.8°
図4と図5に、シミュレーションで得られたオープンループ/クローズドループの応答を示しました。
80
40
70
20
60
0
50
−20
40
−40
30
−60
20
−80
10
−100
0.1
1
10
100
1k
10k
100k
1M
0
FREQUENCY (Hz)
SIM 1 GAIN
SIM 1 PHASE
SIM 2 GAIN
SIM 2 PHASE
SIM 3 GAIN
SIM 3 PHASE
SIM 4 GAIN
SIM 4 PHASE
40
30
20
10
0
−10
−20
PEAKING
50
MAGNITUDE (dB)
60
MAGNITUDE (dB)
90
PHASE (DEGREES)
MAGNITUDE (dB)
50
80
−30
45
40
35
0.1
1
−40
−50
0.1
1
10
100
FREQUENCY (Hz)
10
1k
100
1k
10k
FREQUENCY (Hz)
SIM 1 GAIN
図4. オープンループのゲインと位相
SIM 2 GAIN
SIM 3 GAIN
SIM 4 GAIN
図5. クローズドループのゲイン
𝑠𝑠𝑅𝑅0 𝐶𝐶0 + 1
𝑠𝑠𝑅𝑅0 𝐶𝐶0 𝐶𝐶𝑃𝑃 + 𝑠𝑠𝑅𝑅2 𝐶𝐶2 𝐶𝐶𝑃𝑃 + 𝑠𝑠𝑅𝑅0 𝐶𝐶0 𝐶𝐶2 + 𝐶𝐶0 + 𝐶𝐶2
𝑠𝑠𝑅𝑅0 𝐶𝐶0 + 11 )です。また、ωT 2
式10は、角φが角θ 2 と角θ 1 の差であることを表しています。ここで、θ
=arctan(ωT
𝑠𝑠𝑅𝑅02 𝐶𝐶0 + 1 2 )、θ 1 =arctan(ωT
𝐻𝐻 。(𝑠𝑠) =
2
は x / 1 、 ω T 1 は y /𝐻𝐻
1𝐿𝐿𝐿𝐿
と (𝑠𝑠)
表 す=
こ と が2で き ま す𝐿𝐿𝐿𝐿
𝐶𝐶0𝑠𝑠𝑅𝑅
𝐶𝐶2 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑃𝑃 +
𝑠𝑠𝑅𝑅 𝐶𝐶 𝐶𝐶2 +
𝑠𝑠𝑅𝑅0 𝐶𝐶0 𝐶𝐶𝑃𝑃 + 𝑠𝑠𝑅𝑅2 𝐶𝐶2 𝐶𝐶𝑃𝑃 + 𝑠𝑠𝑅𝑅0 𝐶𝐶0 𝐶𝐶2 + 𝐶𝐶0
𝑠𝑠𝑅𝑅2 𝐶𝐶𝑅𝑅00𝐶𝐶𝑅𝑅2 2+
𝑠𝑠(𝑠𝑠 𝑅𝑅0 𝑅𝑅2 𝐶𝐶0 𝐶𝐶2 𝐶𝐶𝑃𝑃 + 𝑠𝑠(𝑠𝑠
𝑥𝑥0 0 𝐶𝐶𝑃𝑃 +2𝑠𝑠𝑅𝑅02 𝐶𝐶𝑦𝑦
2 𝐶𝐶𝑃𝑃 + 𝑠𝑠𝑅𝑅0 𝐶𝐶0 𝐶𝐶2 + 𝐶𝐶0 + 𝐶𝐶2 + 𝐶𝐶𝑃𝑃 )
Φ = 𝜃𝜃2 − 𝜃𝜃1 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ( ) − 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ( )
1
1
𝑥𝑥
これは、図6に示した幾何学的関係に相当します。
と θ 2 は 、 そ れ𝑦𝑦ぞ れ 図 6 （ B ） と 図 6 （𝑦𝑦A ） の 三 角 形 に よ っ て 定 義 で
𝑥𝑥𝜃𝜃 θ 1−
Φ
=
𝜃𝜃差1 φ=を𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
)で−
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 ( )
2
きます。図6（C）は、
つの
ね て 、 θ(1 と)θ−
の𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
表(し た
す。
Φ2=
𝜃𝜃2三−角𝜃𝜃形
=重𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
) も(の
1を
1
1
2
2
2
2
1 (θ is the angle opposite
𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏1 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎 cos(𝜃𝜃)
side c)
𝐻𝐻𝐿𝐿𝐿𝐿 (𝑠𝑠) =
Appendix：不連続なarctan関数を連続的なarccos関数に変換する方法
𝑠𝑠(𝑠𝑠 2 𝑅𝑅0 𝑅𝑅2 𝐶𝐶0 𝐶𝐶2 𝐶𝐶𝑃𝑃 + 𝑠𝑠𝑅𝑅2 𝐶𝐶0 𝐶𝐶2 +
次式のように、余弦定理は、三角形の内角θ（辺cの対角）と三角形の3辺a、b、cの長さの関係を表します。
2
= 𝑎𝑎2 +(θ𝑏𝑏is2 +
cos(𝜃𝜃)
(θ isside
thec)angle opposite side c)
𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 + 2𝑎𝑎𝑎𝑎𝑐𝑐cos(𝜃𝜃)
the22𝑎𝑎𝑎𝑎
angle
opposite
2
2
2
2
(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) = (√1 + 𝑥𝑥 ) + (√1 + 𝑦𝑦 ) − 2√1 + 𝑥𝑥 2 √1 + 𝑦𝑦 2 cos Φ
図6（C）の角φに余弦定理を当てはめると、次式のようになります。
2
2
2
2
2
𝑦𝑦)(√1
=+
(√𝑦𝑦12 )+2 𝑥𝑥−2 )2√+
2√Φ
1 + 𝑥𝑥 2 √1 + 𝑦𝑦 2 cos Φ
2 )−+
(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 = (√1 + 𝑥𝑥(𝑥𝑥
√1𝑦𝑦+)𝑦𝑦 2−cos
1 (√1
+ 𝑥𝑥 2+
1 + 𝑥𝑥𝑥𝑥
)
Φ = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (
√(1 + 𝑥𝑥 2 )(1 + 𝑦𝑦 2 )
1 + 𝑥𝑥𝑥𝑥
1+
𝑥𝑥𝑥𝑥
Φ
=
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
(
)√(1 + 𝑥𝑥 2 )(1 + 𝑦𝑦 2 ))
Φ = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (
2
2
√(1 + 𝑥𝑥 )(1 + 𝑦𝑦 )
1 + 𝜔𝜔2 𝑇𝑇1 𝑇𝑇2
Analog Dialogue 49-02
5
Φ = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (
)
2]
)
√[1 + (𝜔𝜔𝑇𝑇2 )2 ][1 + (𝜔𝜔𝑇𝑇
2 1
2
2
𝑐𝑐 2 = 𝑎𝑎2 +2 𝑏𝑏 2 +√2𝑎𝑎𝑎𝑎 cos(𝜃𝜃)
(θ is the angle
opposite side c)
(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) = ( 1 + 𝑥𝑥 2 ) + (√1 + 𝑦𝑦 2 ) − 2√1 + 𝑥𝑥 2 √1 + 𝑦𝑦 2 cos Φ
φ に つ い て 解 く と 、 次 式 の よ う に な り ま す 。 関連資料
B r e n n a n , P a u l V「P h a s e - L o c k e d L o o p s : P r i n c i p l e s a n d
2
2
r a c t+
i c e」
cGrΦ
aw-Hill, 1996
(√1 + 𝑥𝑥 2 ) + (√1 + 𝑦𝑦 2 ) − 2√1 + 𝑥𝑥 2P√1
𝑦𝑦 2Mcos
(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 =
Φ = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (
1 + 𝑥𝑥𝑥𝑥
√(1 + 𝑥𝑥 2 )(1 + 𝑦𝑦 2 )
1 + 𝑥𝑥𝑥𝑥
)
こ こΦ
で=
、 x𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
/ 1 = ω T 2、
) 式のようにT1
( y / 1 = ω T 1な の で 、 φ は 次
+。
𝑥𝑥 2 )(1
と T 2 で 表 す こ と が で√(1
きます
1 ++
𝜔𝜔2𝑦𝑦𝑇𝑇21)𝑇𝑇2
Φ = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (
Φ = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 (
2
+
(1
x
1 + 𝜔𝜔2 𝑇𝑇1 𝑇𝑇2
√[1 + (𝜔𝜔𝑇𝑇2 )2 ][1 + (𝜔𝜔𝑇𝑇1 )2 ]
)
M T- 0 8 6 : F u n d a m e n t a l s o f P h a s e L o c k e d L o o p s ( P L L s )
電圧制御発振器（VCO）内蔵PLL
½
)
X
(1 +
𝛉2
)
√[1 + (𝜔𝜔𝑇𝑇2 )2 ][1 + (𝜔𝜔𝑇𝑇1 )2 ]
K e e s e , Wi l l i a m O A N - 1 0 0 1 N a t i o n a l S e m i c o n d u c t o r
A p p l i c a t i o n N o t e「 A n A n a l y s i s a n d P e r f o r m a n c e
E v a l u a t i o n o f a P a s s i v e F i l t e r D e s i g n Te c h n i q u e f o r
C h a rg e P u m p P h a s e - L o c k e d L o o p s」M a y 1 9 9 6
𝛉1
1
(A)
2½
y )
y
1
(B)
2
+
(1
x
½
)
x− y
x
2 )½
(1 +y
𝛉2
φ
𝛉1
y
1
(C)
図6. 式10の幾何学的表現
著者：
Ken Gentile （[email protected] ）は1998年にシステム設計エンジ
ニアとしてADIに入社し、米ノースカロライナ州グリーンズボロでクロッ
ク/信号合成製品ラインを担当しました。ダイレクト・デジタル・シンセ
サ イ ザ や ア ナ ロ グ ・ フ ィ ル タ の 設 計 、 M AT L A B に よ る G U I ベ ー ス の ・ エ
ンジニアリング・ツールのコーディングが専門です。10件の特許を保有
するほか、さまざまな専門誌/紙に14件、ADIのアプリケーション・ノー
トとして十数件の論文を発表しています。また、ADIの「GTC（General
Te c h n i c a l C o n f e r e n c e ） 」 で は 2 0 0 1 年 、 2 0 0 5 年 、 2 0 0 6 年 に 講 演 を 行 っ て
います。1996年にノースカロライナ州立大学を優秀な成績で卒業し、電
気工学の学士号を取得しています。休日には読書や数学パズルのほか、科
学、技術、天体観測に関するあらゆることを楽しんでいます。
6
Ken Gentile
この著者が執筆した
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高調波スペクトル成
分によるDAC伝達関
数の再構築
Analog Dialogue 43-03
Analog Dialogue 49-02