古典油彩画におけるグレーズ技法シュミレーションに関する研究

Nara Women's University Digital Information Repository
Title
古典油彩画におけるグレーズ技法シュミレーションに関する研究
Author(s)
篠澤, 和恵
Citation
奈良女子大学博士論文、博士（情報科学）、博課 甲第532号、平
成25年3月22日学位授与
Issue Date
2013-03-22
Description
URL
http://hdl.handle.net/10935/3666
Textversion
ETD
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博士論文
古典油彩画におけるグレーズ技法
シミュレーションに関する研究
2013 年 1 月
奈良女子大学大学院人間文化研究科
博士後期課程 複合現象科学専攻
07-053
篠澤 和恵
本論文は，奈良女子大学大学院人間文化研究科において
博士（情報科学）授与の要件として提出された博士論文である．
提出者：
篠澤 和恵
審査委員： 城 和貴 教授
加古 富志雄 教授
山下 靖 教授
I
古典油彩画におけるグレーズ技法
シミュレーションに関する研究
1
篠澤 和恵
要旨
コンピュータ上での絵具の発色シミュレーションは，グラフィックソフトウェアへの応
用が期待できる．古典油彩画には，透明な層を重ねて微妙な色調を表現する「グレーズ」
という技法がある．グレーズ技法により，混色では表せない微妙な色調が表現されるとい
われている．本論文では，光学的な面からグレーズ技法の発色シミュレーションを行い，
応用アプリケーションを考える．
油絵具は，他の絵具と違い本質的な透明性を持っている．古典油彩画のグレーズ技法は
その透明性を生かし，塗り重ねにより色を表現するものである．現在普及している 2 次元
グラフィックソフトウェアにおいても，各レイヤで透明度と下層との演算方法を設定する
ことが可能であるが，擬似的に減法混色に基づく演算を選んだとしても，実際の絵具の塗
り重ねとは違った色になる．現在の 2 次元グラフィックソフトウェアでは，レイヤの透明
度を上げると色が薄くなってしまうため，油彩のように透明感とともに色の存在感を持た
せることは困難である．グレーズ技法をコンピュータ上で再現することにより，古典油彩
画で行われているような重色が可能なグラフィックソフトウェアの実現が期待できる．
そこで本論文では，2 つのアプローチでグレーズ技法のシミュレーションを試みる．
1 つめは，既存のコンピュータグラフィックス研究や，コンピュータカラーマッチング
でも使われている，2 フラックスモデルによるアプローチである．これは光の吸収と散乱
を上下方向に進む光に単純化したモデルであり，散乱が考慮されるため，現実の絵画の発
色により近い混色や重色計算が可能である．光の伝搬を上下方向に単純化することから，
計算量が抑えられるという点で優れている．本論文では，絵具の発色計算で標準的な 2 フ
ラックスモデルによるグレーズのシミュレーションを検討し，実際に作製したサンプルを
測色し，結果を検証する．
1
奈良女子大学大学院人間文化研究科複合現象科学専攻 博士論文, 2013 年 1 月 10 日．
II
2 つめは，3 次元空間における放射伝達方程式を用いた，放射伝達モデルによるアプロー
チである．放射伝達方程式とは，光の伝搬をあらわす式で，消散で光が失われる効果と，
光が入ってくる効果の双方を考慮した方程式である．2 フラックスモデルではできない，
光の入射角や観測角を変更するなどの方向依存性を取り扱うことが可能である．この放
射伝達方程式の解法の一つに，補助関数法がある．これは，微積分方程式であらわされる
放射伝達方程式を線形積分方程式に変換して解く手法であり，角度の離散化等の問題が発
生しない，層内で連続的に散乱係数と吸収係数を変化させることも可能，などの利点を
持つ．
しかし，補助関数法は線形積分方程式の数値解法に精度が依存するため，精度を高め
るには，線形積分方程式を離散化する際に求める連立 1 次方程式の係数計算コストが大き
くなる．そのため，パラメータを変更したうえで分光反射率を再計算するには時間を要
するという問題がある．これは，グレーズの発色シミュレーションによる重ね塗りの色調
整や，グラフィックソフトウェアを開発する際の障害となる．本論文では，より高速にグ
レーズシミュレーション計算を行うため，補助関数法における数値計算の高速化手法を提
案する．
最後に，計算結果を利用し，加速度センサを内蔵したタブレット型コンピュータを用い，
直感的な操作で入射角に応じた表示変更を行うシステムを試作した内容を報告する．
本論文は 5 つの章から構成されている．
まず，第 1 章では，コンピュータグラフィックスにおける絵画的アプローチの研究意義
と，本研究の位置づけについて述べる．
第 2 章では，画材として油絵具が他の絵具と異なる点と，油彩の技法，特に古典油彩画
で用いられたグレーズ技法について，美術的な面から述べる．
第 3 章では，2 フラックスモデルによるグレーズ技法のシミュレーションを行い，実験
を行った結果を述べる．
第 4 章では，放射伝達方程式を用いたシミュレーションとその高速化を検討し，実験を
行った結果を述べる．さらに，結果を表示するためのインタフェースの検討と，試作した
システムについて述べる．
最後に第 5 章では，本研究で得られた結果を要約し，今後の課題について述べる．
キーワード
コンピュータグラフィックス，油絵モデル，グレーズ技法，絵具
III
A Graphic System
Simulating the Glazing Technique of
Oil Painting
2
Kazue Shinozawa
Abstract
Computer simulations of paint color formation may be applied to developing graphics
software that can reproduce the paint colors. In the “glazing” technique in the classical
oil painting, one or more thin transparent layers of paints are applied to an opaque layer to
create delicate color tones that cannot be achieved by color mixture. This thesis simulates
the coloring of the glaze technique on computers from an optical aspect, and discusses its
potential application.
The paints based on oils have essential transparency in contrast to paints based on others. This characteristic transparency of the oils is crucial to the glazing technique. Some
kinds of transparencies can be represented by two-dimensional graphics software used
widely at present, which allows users to specify, for each layer, a degree of transparencies
and an operation method for merging the layer into its underlying layers. However, an
operation method based on subtractive color mixing fails to reproduce colors of the actual
layers of paints. In existing two-dimensional graphics software, greater transparency of a
layer just leads to a lighter color, ignoring the characteristic transparency in the colors
of oils. A glazing technique simulated on a computer may enable graphics software to
realize such layered colors as in the classic oil painting.
In this thesis, the simulations of the glaze technique are done in two approaches.
The first approach is based on the 2-flux model, which is used also in existing computer
graphics research and computer color matching. This model includes propagation of light
only in directions perpendicular to the layers, to simplify scattering and absorption of the
2
Doctorial Thesis，School of Interdisciplinary Research of Scientific Phenomena and Information，
Graduate School of Humanities and Sciences, Nara Women’s University, January 10, 2013.
IV
light. Since scattering is taken into account, mixed and layered colors closer to those on
actual paintings can be calculated. The simplification to one-dimensional propagation of
light significantly reduces computational complexity. In this thesis, a simulation of the
glazing based on a standard 2-flux model is performed, and compared with colorimetry
for actually prepared paint samples, to examine the model.
The second approach is based on the radiative transfer equation, which describes propagation of light in a three-dimensional space by incorporating the effect of light attenuated
by absorption and scattering and the effect of light scattered to the main propagation
direction from other directions, allowing treatment of dependence on directions such as
the incidence angle and the observation angle of light in contrast to the 2-flux model.
One way to solve this equation is the auxiliary function method based on conversion
of the radiative transfer equation represented by an integro-differential equation into a
linear integral equation. As advantages, this method is free from such problems as discretization of the angular variables and capable of continuously changing the absorption
coefficient and the scattering coefficient in the layers. However, its precision depends on
how to solve the linear integral equation numerically, and thus the cost of calculating
coefficients of simultaneous linear equations in discretizing the linear integral equation
increases with precision. Therefore, recalculation of spectral reflectance after changing
parameters consumes time. This problem should slow down color adjustment for layered
paints in simulating colors of the glazing, and hinder development of graphics software.
In this thesis, an efficient algorithm for numerical calculation in the auxiliary function
method is proposed to accelerate the glazing simulations.
Finally, utilizing the results of the simulations, a preliminary application is provided on
a tablet computer having an accelerometer. Colors changing according to the incidence
angle are reproduced on a display by intuitive operations.
This thesis consists of five chapters:
In chapter 1, the importance of investigating the pictorial approach in the computer
graphics is described, and the purpose of this study is provided.
In chapter 2, characteristics of oil paints and techniques of oil painting, especially the
glazing technique, are described from an artistic aspect.
In chapter 3，the glaze technique is simulated by the 2-flux model, and the results of
the experiment are described.
In chapter 4, the glaze technique is simulated by the radiative transfer equation, and
V
improvement of algorithms to accelerate the simulations is discussed. In addition, a
numerical experiment is performed and its results are presented. Furthermore, an interface
for displaying the results is discussed, and a system made as the preliminary application
is described.
In chapter 5, conclusions, summaries and possible future developments are described.
Keywords computer graphics, oil painting, glazing, pigments
i
目次
第 1 章 序論
1
第 2 章 油彩画におけるグレーズ技法
5
5
5
2.1
2.2
2.3
2.4
まえがき . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
油絵具の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
油彩画の技法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
9
第 3 章 2 フラックスモデルによるシミュレーション
3.1
3.2
11
まえがき . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
モデルの概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3
特性行列の応用計算
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15
15
16
16
3.3.4 実測値からの計算 . . .
測色実験 . . . . . . . . . . . .
3.4.1 実験に用いるサンプル
3.4.2 濃度変化に関する検証
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17
19
19
20
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.4
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濃度変更 . . . .
混色 . . . . . .
重色 . . . . . .
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3.5
3.4.3 塗厚変化に関する検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4.4 重ね塗りに関する検証 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
グレーズに関する考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6
アプリケーション . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6.1
3.6.2
3.6.3
3.7
概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
プログラム概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
計算結果例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
ii
第 4 章 3 次元放射伝達モデルによるシミュレーション
4.1
4.2
4.3
まえがき . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
放射伝達モデルの特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
グレーズとそのモデル化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.1
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
33
グレーズのモデル化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3.2 補助関数法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
数値解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4.1 反射率の求め方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4.2 分光反射率の計算
高速化の検討 . . . . . .
4.5.1 行列の分解 . . .
4.5.2 刻み幅の統一 . .
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43
43
43
45
高速化実験
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
表示システム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.7.1 開発の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.7.2 システム要件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.7.3 HTML5 による実装 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
まとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
第 5 章 結論
55
謝辞
57
参考文献
58
付 録 A 絵具の特性一覧
63
研究業績
65
iii
図目次
2.1
2.2
水彩絵具と油絵具の違い． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
3.2
3.3
2 フラックスモデル． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
重色の計算． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
散乱係数と濃度の関係． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4
3.5
3.6
3.7
吸収係数と濃度の関係． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.8
3.9
重色と混色の比較．
4.1
グレーズモデル模式図． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2
使用する絵具の吸収係数 K と散乱係数 S のグラフ．(a)Yellow lead and tin
代表的な作品の例．
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
塗厚変化実験結果．
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
作成したサンプルのクロスセクション例． . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
予測値と実測値比較． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
シミュレーション結果． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
（Kremer 社製）(b)Vermillon（Kremer 社製）(c)Viridian green（Kremer 社
製）(d)Ultramarine blue （Sennelier 社製）． . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3
4.4
観測者，仮想光源，タブレット端末の位置関係． . . . . . . . . . . . . . . 52
実装した画面の例．
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
v
表目次
3.1
3.2
3.3
予測値と実測値比較（白背景）． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1
4.2
プログラムの実行時間の比較（秒）． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3
4.4
プログラムの実行時間（秒）と再利用率：刻み幅を統一する場合． . . . . 48
予測値と実測値比較（黒背景）． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
各画素における入力値． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
プログラムの実行時間（秒）：刻み幅を統一しない場合． . . . . . . . . . 48
RGB 値の比較． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A.1 絵具の特性． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.2 展色材の比重と屈折率． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1
第1章
序論
本論文は，古典油彩画におけるグレーズ技法をコンピュータシミュレーションにより再
現することで，コンピュータグラフィックスにおいて彩度と透明性を保った重ね塗りを実
現するための研究についてまとめたものである．
人は絵画を鑑賞するとき，存在しない空間をリアルに認識したり，描かれている人間の
皮膚の艶やかさなどを感じることがある．実際に存在するのは絵具でしかないが，その材
質的な効果や色の見え方が鑑賞者に実感を与える．
一方，現実の絵画と，コンピュータグラフィックスを含むコンピュータ・ジェネレーテッ
ド・イメージ (CGI) の見え方の間にはギャップがある．絵画の持つ魅力が CGI では失わ
れてしまう傾向がある．そのため，現実の絵画の効果をコンピュータグラフィックスで実
現させることは重要な研究テーマのひとつとされ，流体モデルにより水彩画をシミュレー
ションする手法に関する研究 [1]，紙の微細構造，顔料吸着，加水効果などをモデル化し色
鉛筆画のボリュームモデリングを行う研究 [2] など様々な研究が行われている．また，ノン
フォトリアリスティックレンダリング研究の一環として，油彩，水彩，ペン画などのタッ
チを模した効果を与え絵画風に加工する技術は，既にグラフィックソフトウェアとして提
供され，広く使われている [3]．しかし，その「絵画風に仕上げる技術」の問題は，表面
的なイメージを作り出すことを重視し，絵画の本質である基底材と絵具層との物理的な結
びつきを軽視している点にある．
本研究では，絵画の物理的方法論から CGI に新たな表現様式を与え，芸術を科学的な
視点でとらえることを最終的な目標とする．本研究により，作品の物理構造を解析しデー
タ化してデジタルアーカイブに利用することや，
「技法」を科学的に実証し，名画が描か
れる過程を再現することなどが可能になると考えられる．
絵画芸術では様々な画材が用いられ，それぞれの特徴を生かした様々な技法が生み出さ
れている．本研究ではそれらの中でも油彩画，特に古典油彩画のグレーズ技法で行われる
重ね塗りに着目する．
油絵具は，顔料と展色材として用いられる乾性油の屈折率が近く，乾性油が固化すると
いう性質から，絵具自体に本質的な透明性を持つことを特徴とする．油彩には，主に 2 つ
第1章
2
序論
の代表的な技法がある．1 つは「アラプリマ」と呼ばれる近代的な技法であり，もう 1 つ
は「グレーズ」と呼ばれる古典油彩画で用いられた技法である．前者は，下塗りをせずに
油絵具が湿った状態で一気に描く技法であり，コンピュータグラフィックスの分野では，
先に述べた油絵風な絵画に加工するソフトウェアや，油絵シミュレータの研究 [4] などが
ある．後者は，
「グラッシ」や「透層法」とも呼ばれる透明な層を重ねて表現する技法であ
り，油絵の本質的な透明性を生かし，混色ではあらわせない微妙な色調を，重色によって
表現するものである．
現在普及している 2 次元グラフィックソフトウェアにおいても，各レイヤで透明度と下
層との演算方法を設定することが可能である [3]．しかし，擬似的に減法混色に基づく演
算 (乗算) を選んだとしても，実際の絵具の塗り重ねとは異なる色になる．現在の 2 次元
グラフィックソフトウェアでは，レイヤの透明度を上げると色が薄くなってしまうため，
油彩のように透明感とともに色の存在感を持たせることは困難である．グレーズを科学的
にモデル化し，グレーズの技法をコンピュータ上で再現することにより，古典油彩画で行
われているような重色が可能なグラフィックソフトウェアの実現が期待できる．
また，現在のグラフィックソフトウェアでは RGB の 3 原色を基本とした色処理が行わ
れている．しかし，近年，美術におけるデジタルアーカイブ研究など，より高精細な色が
求められる分野では，3 チャンネルではなく，マルチバンドカメラなどにより，物体の可
視領域の波長ごとの反射率，つまり分光反射率を記録することが求められている．分光反
射率を記録することにより，高精細な色再現が可能となるだけではなく，照明条件の変更
などにも対応が可能となる．一方，表示系では多原色ディスプレイの研究や開発が行われ
ている．多原色ディスプレイとは，RGB の 3 原色の光を混色して色を表示している従来
のディスプレイに対し，4 原色以上の原色を使用するディスプレイのことを指す．一般的
な RGB3 原色を用いるカラーディスプレイでは，人間が知覚できる色の範囲を全てあらわ
すことはできないが，多原色ディスプレイにより表示色域の拡大が可能となり，より自然
な再現が期待される [5]．実物からの反射光スペクトルをディスプレイで再現すれば，ど
のような観察者にも実物とディスプレイ上の表示色を同じ色として知覚させることが可能
といわれている．そのため，分光反射率による画像入力と多原色ディスプレイを用いて，
実物からの反射光スペクトルを近似して再現する研究も行われている [6]．
このような記録や再現だけではなく，コンピュータグラフィックスの分野においても分
光反射率に基づく色の生成が研究されている．絵画などの分光反射率を推測し，色を求め
るアプローチとしてコンピュータカラーマッチングで広く使われている 2 フラックスモデ
ル [7] がある．これは，Kubelka-Munk モデルとも呼ばれ，光の吸収と散乱を上下方向に
進む光に単純化したモデルであり，散乱が考慮されるため，現実の絵画の発色により近い
3
混色や重色計算が可能である．光の伝搬を上下方向に単純化することから，計算量も抑え
られるという点で優れている反面，3 次元的な存在である現実の絵画に対し，1 次元モデ
ルである Kubelka-Munk モデルでは光の入射角や観測角を変更した場合の計算ができな
いなど，方向依存性を取り扱えないという問題がある．
これに対し，3 次元空間における放射伝達方程式を用いたモデルが提案されている [8][9][10]．
放射伝達方程式とは光の伝搬をあらわす式で，消散で光が失われる効果と，光が入ってく
る効果の双方を考慮した方程式である．Elias らは，放射伝達方程式の解法として補助関
数法（AFM）を提案している [11]．補助関数法は，放射伝達方程式中の多重散乱項の関
数を変数とみなし，微積分方程式であらわされる放射伝達方程式を線形積分方程式に変換
して解く手法である．そのため，離散座標法やモンテカルロ法などの他の解法のように，
角度の離散化等の問題が発生しないという利点がある．また，層内で連続的に散乱係数と
吸収係数を変化させることや，基層の反射，多重散乱，単一散乱の 3 種類の項に分離して
評価することも可能である [9]．
補助関数法には角度の離散化の問題はないが，線形積分方程式の数値解法に精度が依存
する．精度を高めるには，線形積分方程式を離散化する際に求める連立 1 次方程式の係数
計算コストが大きくなる．そのため，入射角，観測角，厚さ等のパラメータを変更した上
で分光反射率を再計算するには時間を要する．これは，グレーズの発色シミュレーション
による重ね塗りの色調整や，グラフィックソフトウェアを開発する際の障害となる．
本論文では，2 フラックスモデルと 3 次元的な放射伝達モデルの 2 つのアプローチによ
り，古典油彩画のグレーズ技法シミュレーションの検討を行う．まず，絵具の発色計算で
標準的である 2 フラックスモデルによるグレーズのシミュレーションを検討し，実際にサ
ンプルを作成して測色し，結果を検証する．
次に，2 フラックスモデルでは取り扱うことができない方向依存性や平行入射光を取り
扱うことが可能な，3 次元的な放射伝達方程式を用いたシミュレーションを検討する．ま
た，より高速にグレーズシミュレーション計算を行うため，補助関数法における数値計算
の高速化手法を提案する．さらに，計算結果を利用し，加速度センサを内蔵したタブレッ
ト型コンピュータを用い，直感的な操作で入射角に応じた表示変更を行うシステムについ
て報告する．
本論文は 5 つの章から構成されている．
第 1 章は本章であり，コンピュータグラフィックスにおける絵画的アプローチの研究意
義について述べ，本研究の位置づけを述べる．
第 2 章では，油彩画におけるグレーズ技法について美術的な観点から述べる．まず，絵
具の構造について述べ，画材としての油絵具の持つ特長を他の絵具と比較しながら簡単に
第1章
4
序論
説明する．さらに，その特長を生かした油彩画における技法である「アラプリマ」と「グ
レーズ」について説明し，それぞれの代表的な作品や，その技法に関するコンピュータグ
ラフィックス研究などを示す．
第 3 章では，既にコンピュータカラーマッチングなどで広く用いられている 2 フラック
スモデルによる，グレーズ技法のシミュレーションを行う．まず，2 フラックスモデルを
層単位の取り扱いが容易となるように，層を通過する光の振舞いを線形変換の形であらわ
し，濃度変更，混色，重色を行う場合の計算法を示す．また，サンプルを実際に作成し測
色実験を行うことにより，シミュレーションの検証を行う．さらに，2 フラックスモデル
の重色計算が可能なアプリケーションを作成する．
第 4 章では，3 次元の放射伝達モデルを用いたシミュレーションとその解法である補助
関数法の高速化を検討し，実験を行った結果について述べる．まず，モデル式を吸収係数
と散乱係数の変化に対応した式に拡張し，離散化する．そこから，対称テプリッツ行列と
ハンケル行列の計算に着目し，重複する計算を除くことにより，解の精度を保った高速化
を行う．また，刻み幅を固定し，最大行数の行列を計算してその部分行列を利用すること
により，分光反射率を求める際の重複する計算を回避し，高速計算を可能とする．実験に
より計算時間の比較を行い，解の精度を検証する．さらに，3 次元放射伝達モデルの高速
解法による計算結果を表示するためのインタフェースの検討と，試作したシステムについ
て述べる．
最後に第 5 章では，本研究で得られた結果を要約し，今後の課題について述べる．
5
第2章
2.1
油彩画におけるグレーズ技法
まえがき
本章では，油絵具の特徴と，油彩画の古典的な技法である「グレーズ技法」について述
べる．まず，2.2 節において油絵具の性質について述べる．2.3 節において油彩画の技法に
ついて説明する．2.4 節においてまとめを示す．
2.2
油絵具の性質
絵具は，有色の物質である顔料と，固着成分とを混ぜ合わせて作られる [12]．絵画に用
いられる絵具にはさまざまな種類があるが，これらの違いは，絵具を構成する固着成分
である「展色材」の違いによるものである．よく用いられる絵具には「油絵具」「水彩絵
具」「アクリル絵具」などがある．同じ顔料を用いても，油を展色材とすると油絵具にな
り，天然樹脂のアラビアゴムを展色材とすると水彩絵具になる [13]．
油絵具の展色材である乾性油は，乾燥時，酸化重合によって固化する．そのため，展色
材が蒸発してしまう水彩，アクリルなどの絵具とは違い，顔料を包み込む形で油の層が存
在する．油絵具は，他の絵具のように固着成分が揮発して下地層が見えている状態とは異
なる，本質的な透明性を持ち合わせているといえる [13]．
水彩絵具と油絵具の発色原理の違いを，図 2.1 に示す [13]．それぞれ (a) は水彩絵具，(b)
は油絵具が下地に固着した状態である．(a) の水彩絵具は，水が蒸発してアラビアゴムの
みが固着成分として残り，顔料を固定している．鑑賞者は顔料からの反射で色を感じると
ともに，下地が直接見えることにより透明感を得る．
一方 (b) の油絵具は，固着成分である油が固化し，その中に顔料が分散した形で発色す
る．水彩のような蒸発成分がなく，ほとんどが固着成分である．他の絵画材料や塗料に比
べ乾燥が遅いのが特徴であり，環境や顔料にもよるが，指触乾燥までに数日を要し，内部
乾燥には 6 カ月以上を要するといわれている．皮膜は非常に堅牢となる．また，油絵具に
第2章
6
油彩画におけるグレーズ技法
明るい色
下地の色
深み
つや
絵具の色
顔料粒子
メディウム
下地
下地
(a)水彩絵具
(b)油絵具
図 2.1: 水彩絵具と油絵具の違い．
用いられる乾性油の屈折率は顔料の屈折率に近いため，絵具は透明性のあるものとなる
[14]．水彩絵具とは異なり鑑賞者からは下地は直接見えないが，光が絵具層を通過して下
地に到達して反射することにより透明感を得る．油の中を通過する光は空気中よりもエ
ネルギーを消費し弱くなるため，色の明度は下がる [13]．そのため，油の層が厚くなるほ
ど，暗く，深みのある色が出る．
このように，油絵具は乾性油を展色材とすることにより，以下の 3 つの特性があるとい
われている [15]．
1. 絵具自体に透明感がある．
2. 完全な乾燥後にも絵具に光沢がある．
3. 乾燥に少し時間がかかるが，固着はとても丈夫である．
近年では，東京藝術大学とホルベイン工業株式会社が産学共同調査研究「理想的な油
絵具の研究」を実施し，これらの特性をさらに極めた油絵具の共同開発が行われている
[16]．この油絵具は，厳選された天然顔料や化学技術の進歩により開発された新たな顔料
などを最新鋭の機器で練り上げることにより，色鮮やかで濁りのない，より透明度の高い
ものとなっている．
2.3. 油彩画の技法
7
(a) モネ「積みわら・夏の終わり」
(b) ベラスケス「マル
ガリータ王女」
(c) レンブラント「夜警」
図 2.2: 代表的な作品の例．
2.3
油彩画の技法
前節で述べたように，油絵具には展色材が油であることによる特性がある．油彩画は
この特性を生かした技法により制作されている．油彩画には主に 2 つの代表的な技法があ
る．1 つは「アラプリマ」と呼ばれる近代的な技法であり，もう 1 つは「グレーズ」と呼
ばれる古典油彩画で用いられた技法である．図 2.2 に，それぞれの技法を用いた作品例を
示す [17]．以下，各技法について述べる．
アラプリマ
アラプリマとは，プリマ描きとも呼ばれ，油絵具を適当な地塗りなしに直
接画面に塗り込み，筆のタッチや絵具の盛り上げなどを画面効果として生かす技法であ
る [15]．チューブ入り絵具が市販された 19 世紀以降，より自然な光を追求して戸外で一
気に作品を仕上げた印象派の画家たちに好まれた [18]．図 2.2(a) に例として，印象派であ
るモネの作品を示す．アラプリマは現在も広く使われている技法である．この技法に関し
てコンピュータグラフィックスの分野では広く研究され，油彩画風な絵画に加工するソフ
トウェアも提供されている [3]．また近年では，油画描画シミュレータの研究 [4] もある．
油画描画シミュレータとは，平成 16∼21 年度に科学技術振興機構（JST）の戦略的創造
研究推進事業（CREST）「デジタルメディアを基盤とした 21 世紀の芸術創造」プロジェ
クトにおける研究成果の 1 つであり，
「筆モジュール」
「絵具の移流計算モジュール」
「発色
計算モジュール」などを持つ油画描画システムとなっている．
グレーズ
グレーズとは，
「グラッシ」や「透層法」とも呼ばれ，乾燥している不透明色
の下地の上に「透層（ラズール）」という透明な層を何層も重ねて色を作り出す技法であ
第2章
8
油彩画におけるグレーズ技法
る．この技法は，15 世紀前半の初期フランドル派の画家たちにより確立されたものである
[15]．17 世紀のヨーロッパの画家であるベラスケス (図 2.2(b))，レンブラント (図 2.2(c))
などはこの技法を巧みに使ったといわれており，30 層∼40 層もの重色が行われる場合も
ある [19]．彩色手法の中で最も熟練を要し画家の力量が露になるとして，17 世紀ごろまで
は重点的に教育されたが，印象派の時代から衰退したといわれている [15]．
当時はまだチューブ絵具は存在せず，手作業で顔料と展色材を練っていた．その頃用い
られていた展色材の油では，アラプリマで行われるように絵具を盛り上げたり筆のタッチ
で力強く描いたりすることが不可能であったため，薄く塗り重ねた回数で濃淡を作り上げ
ていった [12]．簡単な色調でも混色せず，何層もの透層の塗り重ねを行ったといわれてい
る．この技法では彩度は失わないが層を重ねる回数で明度が下がるため，明るい下地の上
に透明度の高い絵具をグレーズするのが効果的とされている．特に，下地において明るい
不透明色でモデリングを行い，明暗や凹凸などをコントロールした上に，透明度の高い絵
具をグレーズすることにより彩色が行われることが多い．また，同系色をグレーズすると
鮮やかに色が強調され，補色をグレーズすると深い微妙な色となり，白地に単色でグレー
ズすると透明度の高い色になり，黒をグレーズすると深みのある黒が作れるともいわれて
いる．グレーズ技法は，澄みきった美しい色と，透明度のある空気や遠近感を出すのに向
いている．混色で足りない色を補ったり，後から影をいれたりしたいときにも役立つ．
グレーズ技法のモデル化研究としては，応用光学分野における Elias らのグループによ
る 3 次元放射伝達モデルの研究がある [8][9]．これは，グレーズのサンプルを実際に計測
してモデル化し，Elias らの提案する補助関数法により解を求めるものである．このモデ
ルとマルチスペクトルのカメラを用いて，レオナルド・ダ・ヴィンチのモナリザの非破壊
分析を行っている報告もある [10]．この報告では，モナリザで用いられている輪郭をぼか
す技法である「スフマート」について解析し，スフマートが 1 種類の顔料を用いたグレー
ズ技法であることを示している．この 3 次元放射伝達モデルに関しては第 4 章で詳しく述
べる．また，古典油彩画の SVBRDF を調べた研究もある [20]．SVBRDF とは空間変化双
方向反射率分布関数 (Spatially-Varying Bidirectional Reflectance Distribution Function)
のことで，反射表面上のある地点 x に対して，ある方向から光が入射したとき，各方向へ
どれだけの光が反射されるかをあらわす関数 (BRDF) を空間的に変化させたものである．
その結果，グレーズ技法による彩色部分では，照明の入射角度と撮像角度によって計測値
に変化があるという報告がされている．
2.4. まとめ
2.4
9
まとめ
本章では，油絵具の特徴と，油彩画の古典的な技法である「グレーズ技法」について述
べた．混色で出せない彩度が高く透明感のある色が，グレーズ技法で出せるといわれてい
る．従来のノンフォトリアリスティックで行われている油彩画風コンピュータグラフィッ
クスでは，
「アラプリマ」のみに着目するものが多く，古典的な絵画で使われているグレー
ズ技法の持つ豊かな色彩への考察がなされていない．このグレーズ技法を科学的にモデル
化し，発色をシミュレーションする技術により，現実の油彩画のような豊かな色彩をコン
ピュータグラフィックスで実現することが期待される．また，レオナルド・ダ・ヴィンチが
用いた「スフマート」のような，それぞれの画家が好んだ技法をモデル化し，コンピュー
タグラフィックスへ応用することも可能となる．
さらに，現代の美術教育においても油彩教育はアラプリマが主流であり，グレーズ技法
はほとんど教えられていない．これは，現代の商業化された画材がグレーズ技法に適して
いないことや，技法自体を教えられる人がほとんどいないということなどが原因となって
いる．グレーズ技法のモデル化とコンピュータシミュレーションが実現すれば，美術教育
におけるこれらの問題を解決することも可能であると考える．
11
第3章
2 フラックスモデルによるシミュ
レーション
3.1
まえがき
本章では，2 フラックスモデルによるシミュレーションを行う．まず，3.2 節において代
表的な 2 フラックスモデルである Kubelka-Munk モデルについて述べる．3.3 節において，
濃度変更，混色，重色を行う場合の計算法について述べる．3.4 節において実際にサンプ
ルを作成して測色を行った実験とその結果を示す．3.5 節においてグレーズに関する考察
を示す．3.6 節において，本手法に基づき作成したアプリケーションについて述べる．3.7
節においてまとめについて述べる．
3.2
モデルの概要
一般に，重色をコンピュータグラフィックスで行う際には，αブレンディングという方
法が用いられている．これは，RGB 各色に対し，上層の色に透明度を指定し，下層の色
との平均を以下の式で計算するものである．
出力 =α* 上層 + ( 1 −α) * 下層
αブレンディングは加法混色であるため，下層が白である場合は上層の色の彩度が落ち
る．つまり，油彩のように彩度の低下を起こさず鮮やかなままに透明感を得る重ね塗りの
発色計算は，この方法では困難である．
一方，透明フィルムの重ね合わせに見られるような重色は減法混色により計算が可能で
ある．減法混色による重色を行った場合，全体の透過特性はそれぞれの透過率を波長ごと
に掛け合わせることで求まる．そのため，層が重なるたびに暗くなる．減法混色は一般に
Lambert-Beer の法則によって求められる [21]．非常に薄い油絵具層における光の振舞い
第3章
12
2 フラックスモデルによるシミュレーション
空気層
絵具層
i
dx
x
j
基層
Rg
図 3.1: 2 フラックスモデル．
は減法混色に近いが，顔料による光の散乱が考慮されない Lambert-Beer の法則では，黒
地上の白色顔料や有色顔料によるグレーズの発色が計算できないという問題がある．
これに対し，Lambert-Beer の法則を，吸収だけではなく，散乱による光の「戻り」を
加えて拡張した 2 フラックスモデルがある．これは一般に Kubelka-Munk モデルともいわ
れ，色材混合による再現色の計算に有用であるため，コンピュータカラーマッチングの各
分野で活用されている [14]．
以下，Kubelka-Munk の 2 フラックスモデルの概要を述べる．
一様にランダムに顔料が分布している絵具層に，拡散光が入射している場合を考える．
絵具層に入射する光の一部は顔料粒子で反射され，一部は吸収されながら透過し，他の顔
料に入射する．Kubelka と Munk は，絵具層を下方に進む光と上方に進む光にモデルを単
純化し，散乱係数 S および吸収係数 K の 2 つの定数で絵具層の光学特性が定まることを
示している [7]．吸収係数と散乱係数はそれぞれ，光が単位長さ進む間の吸収・散乱の強
さをあらわす量で，値が大きいほど吸収・散乱が強くなる．K ≥ 0, S ≥ 0 であり，単位
長さを 1m とする場合，K, S の単位は m−1 となる．
図 3.1 に 2 フラックスモデルの概念図を示す．基層からの距離 x の位置で厚さ dx の微
小層に入射する光束 i は，吸収のため Kidx，散乱のため Sidx 減衰する．微小層 dx で上
方へ向かう光束 j も吸収，散乱のため，同様に Kjdx，Sjdx だけ減衰する．しかし，下方
光束 i による上方への散乱成分 Sidx は上方光束に加えられるので，上方に進む光束の変
化 dj は次式となる．
dj = −(K + S)jdx + Sidx
(3.1)
3.2. モデルの概要
13
同様に下方に進む光束の変化 di は次式となる．
−di = −(K + S)idx + Sjdx
よって，連立微分方程式
(
di/dx
)
(
=
dj/dx
K +S
−S
S
−(K + S)
(3.2)
)( )
i
(3.3)
j
を解くことにより光束 (i, j) が求められる．x = 0 の光束を (i0 , j0 ) として式 (3.3) を解くと，
( )
(
)( )
i
−1
i0
sinh bSx a + b coth bSx
=
(3.4)
b
j
1
−a + b coth bSx
j0
となる．ただし，a, b は，
K +S
√S
K 2 + 2KS √ 2
b =
= a −1
S
a =
である．ここで基層の反射率を Rg とすると，x = 0 の境界条件 j0 = Rg i0 より，
( )
(
)(
)
i
−1
i0
sinh bSx a + b coth bSx
=
b
j
1
−a + b coth bSx
Rg i0
(3.5)
(3.6)
(3.7)
となる．よって求める反射率 R は，
R=
1 − (a − b coth bSx)Rg
j
=
i
a + b coth bSx − Rg
(3.8)
である．反射率 R は基層の反射率 Rg に依存するが，層の厚さ x が充分大きい（理論的に
は ∞）場合，Rg が影響しない．この場合の反射率は固有反射率と呼ばれており，R∞ と
書かれる．つまり，
x → ∞, coth bSx → 1, Rg = 0
とすると，
1
a+b
となる．代入して変形すると以下の式が成り立つ．
R∞ =
(R∞ − 1)2
K
=
S
2R∞
(3.9)
(3.10)
第3章
14
2 フラックスモデルによるシミュレーション
式 (3.10) は Kubelka-Munk の理論式と呼ばれ，コンピュータカラーマッチングの基礎と
なっている [14]．
Kubelka-Munk モデルにより絵具モデルを定義している既存の研究 [1][22] では，基層か
ら塗り重ねて反射率と透過率を更新していくことを前提としており，使用されている式は
3 層以上塗り重ねた場合，上層にある複数層を結合して一層とする計算ができない．つま
り，基層や中間層のみを変更する場合，計算し直すことになる．これは層単位で絵画を構
造化させる上で障害となる．本論文では，下層の差し替えや更新を容易に行うため，層間
の光の振舞いを線型変換によって表現する．
式 (3.4) より行列 A を次のように定義する．
 a sinh bSx + b cosh bSx


A=

−
b
sinh bSx
b
sinh bSx
b
−a sinh bSx + b cosh bSx
b





(3.11)
行列 A により，入射光と出射光の絵具層における変化が以下のように記述できる．
( )
( )
i
i0
=A
(3.12)
j
j0
本論文ではこの行列 A を，絵具層の特性行列と呼ぶ．特性行列 A の固有値 λ1 , λ2 は，
{
λ1 = ebSx
λ2 = e−bSx
であり，固有ベクトルは固有反射率 R∞ により
(
)
(
)
1
1
=
1/(a + b)
R∞
)
(
(
)
R∞
1/(a + b)
=
1
1
(3.13)
(3.14)
と書ける．特性行列 A による線型変換で固有ベクトルの方向は変化しないことから，基
層が固有反射率 R∞ である場合，絵具層により反射率は変化しないことがわかる．
3.3. 特性行列の応用計算
15
次に，特性行列を層の透過率と反射率により表記する．Rg = 0 とおくことにより，透
過率 T と，基層の反射率が 0 の場合の反射率 RB が求められる．
i0
b
=
i
a sinh bSx + b cosh bSx
j
sinh bSx
=
=
i
−a sinh bSx + b cosh bSx
T =
RB
この RB , T により，特性行列 A は簡単な形で記述できる．
(
)
1
−R
1
B
A=
2
2
T RB T − RB
また，RB を R∞ と T で解くと次式になる．
√
2
2 − 1)2 + 4R2 T 2
R∞
+ 1 + (R∞
∞
RB =
2R∞
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
つまり，各層の特性行列を固有反射率 R∞ と透過率 T により表記することも可能である．
3.3
特性行列の応用計算
本節では，3.2 節で述べた単一層の特性行列に基づき，グレーズ技法シミュレーション
に必要となる，濃度変更，混色，重色を行う場合の計算方法について述べる．
3.3.1
濃度変更
グレーズ技法では透明な層を重ねることにより色を作る．絵具層の透明度は基本的に顔
料の屈折率に依存するが，ペインティングオイルなどを混入し，濃度を低くすることによ
り透明度を高めることも可能である．そのため，濃度変更に対応可能な特性行列を検討す
る必要がある．
散乱係数と吸収係数は，微小な単位厚さあたりの数値であることから，(個々の粒子の
係数) × (濃度) という数値，つまり，係数と濃度の間に比例関係があると推定される．し
たがって，濃度を f とすると，
{
Sf = Sf
Kf = Kf
(3.19)
第3章
16
2 フラックスモデルによるシミュレーション
と記述できる．このことは，固有反射率 R∞ および a, b が濃度によらず一定になることを
示す．濃度 f を組み込んだ特性行列 A は次のようになる．
 a sinh bSf x + b cosh bSf x


A=

3.3.2
sinh bSf x
−
b
b
−a sinh bSf x + b cosh bSf x
b
sinh bSf x
b





(3.20)
混色
グレーズ技法は重ね塗りが主であるが，顔料の混合を行い層の色の調整を行うため，混
色を行う場合の特性行列について検討する必要がある．
顔料の混色においては，一般に反射率や 3 刺激値の加法性は成立しないが，散乱係数と
吸収係数についての加法性は成立する．例えば 2 種の異なる顔料の混合において，波長 λ
における吸収係数を K1λ , K2λ ，散乱係数を S1λ , S2λ とすると，混合後の吸収係数 Kλ と散
乱係数 Sλ は次のようになる [14] [23]．
{
Kλ = K1λ + K2λ
(3.21)
Sλ = S1λ + S2λ
それぞれの波長 λ において加法性が成り立つ．これと同様に N 種の異なる顔料において
も，それぞれの波長で加法を行うことにより，混合後の吸収係数 Kλ と散乱係数 Sλ を求
めることが可能である．新しく計算された吸収係数 Kλ と散乱係数 Sλ を式 (3.11) 等に代
入し計算することにより，混色を行う場合の特性行列を求めることができる．
3.3.3
重色
グレーズ技法の重色計算を行うため，図 3.2 のように層が何層も重なっている場合を考
える．層 t (t = 1, ..., N ) の吸収係数を Kt ，散乱係数を St ，層の厚さ，つまり塗厚を xt
とする．また，各層の境界において，下へ向かう光束を it ，上へ向かう光束を jt とする．
Kt , St , xt から各層の特性行列 At を求める．基層の反射率を Rg とすると j0 = Rg i0 であり，
(
i1
j1
(
)
= A1
i0
j0
(
)
= A1
i0
Rg i0
)
(3.22)
3.3. 特性行列の応用計算
17
(iN, jN)
層N
xN
KN,SN
(iN-1, jN-1)
(i3, j3)
層3
K3,S3
x3
層2
K2,S2
x2
層1
K1,S1
x1
(i2, j2)
(i1, j1)
(i0, j0)
図 3.2: 重色の計算．
であることから，2 層の重色は
(
i2
)
(
= A2
j2
i1
j1
)
(
= A2 A1
)
i0
(3.23)
Rg i0
となる．よって同様にして
(
iN
jN
)
(
= AN · · · A2 A1
i0
)
(3.24)
Rg i0
となる．つまり，塗り重ねられた層の特性行列は，各層の特性行列の積である．複数層
の特性行列は式 (3.11)(3.17) のような形にならないため，重色は混色のように簡単な K, S
の演算として表現できない．しかし，重色を行った結果の透過率は T = i/i0 ，反射率は
R = j/i により計算できる．
3.3.4
実測値からの計算
グレーズ技法のシミュレーションを行うために，実際の絵具から，吸収係数 K と散乱
係数 S を得る方法について述べる．齋藤らは十分に厚いとみなせる顔料の反射率を計測
第3章
18
2 フラックスモデルによるシミュレーション
するという方法をとっている [22]．しかし透明度の高い油絵具は完全に基層を隠蔽させる
のが困難であるため，本論文では白地と黒地上の色を測色する手法 [23] を用いる．さら
に，測色値の組合せによっては，解が求まらない場合が生じる．そこで，解が求められる
条件についても述べる．
式 (3.5)(3.8) を，K, S について解くと以下となる．

 S = 1 coth−1 aR − Rg R + Rg a − 1
bx
b(Rg − R)

K = S (a − 1)
(3.25)
理論上，黒地の基層の反射率は 0 であるため，式 (3.25) において Rg = 0 とし，黒地上に
塗付した絵具の反射率を Rs とした次式が S の計算に用いられることが多い [14]．
S=
1
aRs − 1
coth−1
bx
−bRs
(3.26)
しかし，実測値の反射率は 0 とならない場合があるため，一般に 2 色の基層に絵具を塗付
した場合の反射率から，K, S を求める方法について述べ，値が求められる条件について
検討する．
白地と黒地の基層の反射率をそれぞれ Rg1 , Rg2 とする．それらに厚さ x の絵具を塗付
した場合の反射率を R1 , R2 とする．式 (3.8) を連立させて解くことにより，以下のように
a, b が求められる．
ただし，
{

 a = −Q
2P
 b = √a2 − 1
P = R1 Rg2 − R2 Rg1
Q = (Rg1 − Rg2 )(1 + R1 R2 ) − (R1 − R2 )(1 + Rg1 Rg2 )
(3.27)
(3.28)
である．式 (3.25) に式 (3.27) と R = R1 , Rg = Rg1 を代入することにより K, S が求めら
れる．また，
1
=a−b
a+b √
Q2 − 4P 2
−Q
=
−
2P
2 |P |
R∞ =
である．
式 (3.25) より S を求めるためには，b ̸= 0, Rg ̸= R であることが条件となる．
(3.29)
3.4. 測色実験
19
式 (3.5) より a, b は正の数であることから，b > 0 が実数解をとる条件は a > 1，つまり，
{
P > 0, Q < −2P
P < 0, Q > −2P
(3.30)
である．
なお，RB ，T は，R1 , R2 , Rg1 , Rg1 から次式で求めることができる．
R1 Rg2 − R2 Rg1
Rg1 Rg2 (R1 − R2 ) + Rg2 − Rg1
√
T2
T =
T1
RB =
(3.31)
(3.32)
ただし，
{
T1 = Rg1 Rg2 (R1 − R2 ) + Rg2 − Rg1
T2 = (R1 − R2)(1 − Rg1 Rg2) × (Rg1 − Rg2)(1 − R1 R2)
(3.33)
である．
3.4
測色実験
本節では，実際に絵具を使ってサンプルを作成し，測色実験を行う．実測値から吸収係
数と散乱係数を求めて 2 フラックスモデルによるシミュレーション値を計算し，サンプル
の測色値と比較する．
3.4.1
実験に用いるサンプル
実験には，一般に普及している絵具のうち直感的に色の理解がしやすい 3 原色に近い色
を選択し使用する．ここでは，Holbein 製のカドミウムレッド (以下 CR)，カドミウムイ
エロー (CY)，セルリアンブルー (CB)，ウルトラマリンブルー (UB) の 4 種類の絵具を使
用している．これらの絵具の詳細については，付録 A に記述する．絵具はペインティン
グオイルを混合することにより濃度の調整を行う．濃度は，絵具の重量と全体の重量の比
率で決定する．混合の際は，泡立ちを防止し均一に混ぜるため，撹拌脱泡機を使用する．
撹拌脱泡機とは材料の均一分散と脱泡の同時処理を行うことが可能な撹拌機である．ま
第3章
20
2 フラックスモデルによるシミュレーション
た，塗付時はそれぞれの厚さを塗付可能なフィルムアプリケーターを使用し，一定の塗厚
を保つようにする．フィルムアプリケーターとは塗料などを高精度に一定の塗厚で塗布
するための器具である．基層には，隠蔽率試験紙を使用する．隠蔽率試験紙とは，白色部
と黒色部を持つ試験用紙であり，その上に塗料等を均一に塗付後白色部上と黒色部上の塗
りを測色し，それらの比率である隠蔽率で塗料等の隠蔽力を測定するためのものである．
ただし本実験では，絵具は OHP シートに塗布し，隠蔽率試験紙に重ねる方法をとる．こ
れは，濃度の低い絵具は粘度が低くなるため，隠蔽率試験紙上に均一に塗布するのが困難
であるためである．サンプルは表面が乾燥してから，分光測色計を用いて測色を行う．測
色にはスガ試験機製多光源分光測色計 MSC-2 を使用し，分光反射率を 400nm∼700nm，
10nm 刻みで計測する．作成したサンプルは以下となる．
• 濃度変化 4 段階（塗厚一定）
• 塗厚変化 3 段階（濃度一定）
• 2 色の絵具による 2 層の重ね塗り
本実験では OHP シートに塗布し隠蔽率試験紙に重ねる方法をとっている．そのため，正
確な値を計算するためには，隠蔽率試験紙に OHP シートを重ねた状態で反射率を測定し，
基層の反射率とする必要がある．しかし，隠蔽率試験紙に OHP シートを重ねて基層とし
て反射率を計測したところ，CR，CY のような非常に散乱の強い絵具では，サンプルの
反射率 R が基層の白地の反射率 Rg を大きく上回り，条件式を満たさず固有反射率が求ま
らない波長が生じる．そのため，便宜上 OHP シートと重ねない隠蔽率試験紙を計測した
値を，ここでは基層の反射率としている．
3.4.2
濃度変化に関する検証
絵具の濃度と Kf , Sf の線形関係を検証するため，濃度を 4 段階に変化させたサンプル
の測色結果を比較する．ペインティングオイルの混合比率を，絵具の重さとペインティン
グオイルの重さの比が 1:0，1:0.5，1:1，1:1.5 となるようにする．塗厚は一定で 50µm と
する．
図 3.3，図 3.4 に，各濃度における，各波長（400nm∼700nm）で計算された散乱係数
と吸収係数の平均値（単位 m−1 ) を示す．横軸の濃度は，
（絵具の重量/総重量）のパーセ
ント表記とする．つまり，絵具の重さとペインティングオイルの重さの比が 1:0 の場合は
濃度 100%，1:1.5 の場合は，濃度 40%となる．
3.4. 測色実験
50000
21
m-1
45000
40000
35000
30000
CR
25000
CY
20000
CB
15000
UB
10000
5000
0
0%
20%
40%
60%
80%
100%
図 3.3: 散乱係数と濃度の関係．
図 3.3 に示すように，散乱係数に関しては，はっきりとした線形の関係がみられる．各
波長で見ても，一部例外もあるが，ほとんどの波長で濃度と各係数に線形の関係が見受け
られる．各波長で線形回帰分析を行ったところ，R-2 乗値は概ね 0.95 から 1.0 の間を取っ
ている．
これに対し，図 3.4 に示す吸収係数の CR,CY については線形から外れているのがわか
る．CR,CY は非常に散乱が強く隠蔽率が高いため，CB,UB に比べて白地上と黒地上の測
色値の差が小さい．吸収係数は散乱係数と違い，測色値が小さい場合に大きい値をとる係
数である．そのため，小さい数値における誤差の影響を受けやすいため，吸収係数が線形
とならなかった可能性がある．
3.4.3
塗厚変化に関する検証
絵具の塗厚を変化させた場合の係数値をサンプルの実測値から求め，それらの比較を行
うことで，理論値を検証する．理論的には，絵具の塗厚を変化させても固有反射率は一定
となるはずである．ここでは，同一の濃度の塗厚 50，150，300µm の 3 種類のサンプルを
作成して測色を行う．また，3.4.2 項の実験から CR，CY の 2 種類の絵具は非常に散乱が
強く，隠蔽率も高いという結果を得たため，CR，CY のペインティングオイルの混合比
第3章
22
45000
2 フラックスモデルによるシミュレーション
m-1
40000
35000
30000
CR
25000
CY
20000
CB
15000
UB
10000
5000
0
0%
20%
40%
60%
80%
100%
図 3.4: 吸収係数と濃度の関係．
率を CB，UB の 2 倍として隠蔽率のバランスを取る．具体的には，CR, CY については
濃度 25%となるようにし，CB, UB については濃度 50%となるように混合している．
図 3.5 に，各絵具の塗厚を変化させたサンプルの各測色値から求められる固有反射率を
示す．縦軸は反射率（%），横軸は波長（nm）であり，50, 150, 300 は塗厚（µm）を示
す．図 3.5 からわかるように，実験データから計算される固有反射率は，CR，CY はほぼ
一致，UB もおおむね一致しているが，CB では塗厚の変化に伴い変動している．固有反
射率は基本的に黒地上と白地上の分光反射率で決まるため，理論上は濃度や塗厚が変わっ
ても一致する数値である．実際，CB 以外の絵具では，ほぼ一致している．これは，CB
に関して 2 フラックスモデルによる予測結果が外れてしまうことを意味する．
CB の特徴として，散乱係数が他の絵具に比べて小さいという点が挙げられる．透過率
が高くて隠蔽率の低い絵具の場合，2 フラックスモデルでは正確な計算ができない可能性
があることが結果から考察される．
3.4.4
重ね塗りに関する検証
3.4.2 項の実験で得られた K, S 値を用い，重ね塗りを行った場合の分光反射率を，2 フ
ラックスモデルで予測する．また，重ね塗りサンプルを作成し，測色を行い予測値と比較
3.4. 測色実験
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
400
23
300
150
50
450
500
550
600
650
700 (nm)
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
400
300
150
50
450
500
(a) CR
45%
40%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
400
550
600
650
700 (nm)
(b) CY
14%
12%
10%
300
150
50
8%
300
150
50
6%
4%
2%
450
500
550
600
650
700 (nm)
0%
400
450
500
(c) CB
550
600
650
700 (nm)
(d) UB
図 3.5: 塗厚変化実験結果．
する．
3.4.2 項の実験から CR，CY は非常に散乱が強く，隠蔽率も高いことがわかっている．
隠蔽率が高いと重ね塗りの色変化が期待できないため，3.4.3 項の実験と同様に CR，CY
の濃度を CB，UB の濃度の 1/2 として，4 絵具間の隠蔽率のバランスを取る．
サンプルを次の手順で作成する．まず，OHP シートに，濃度 100%の各絵具を 50µm の
塗厚で塗布し十分乾かしてから，上層の絵具を，50µm，100µm の塗厚で塗布する．上層
に塗布する絵具の濃度は，CB，UB は濃度 100%，CR，CY は濃度 50%とする．
図 3.6 に，作製したサンプル片を樹脂で固め，クロスセクション（横断面）を撮影した
画像を示す．これは，下層に CB，上層に 50µm の塗厚で UB を塗付したサンプルである．
撮影には USB デジタル顕微鏡を用いている．
作成したサンプルを他の実験と同様隠蔽率試験紙上で測色し，予測値と実測値を比較
する．予測値は，3.4.2 項で求めた吸収係数，散乱係数を使用し，それぞれの濃度と塗厚
で塗り重ねた場合に対して 2 フラックスモデルにより計算する．求めた分光反射率から，
24
第3章
2 フラックスモデルによるシミュレーション
図 3.6: 作成したサンプルのクロスセクション例．
L*u*v*色空間における距離（Δ E 値）を計算する．L*u*v*色空間はよく用いられる均等
色空間の一つである．均等色空間とは，色を座標値で定量的にあらわす色空間における距
離が，知覚的な色差と近いものになるように設計されている色空間である．L*u*v*色空
間は加法混色が色度図上で直線の軌跡であらわされる特長があり，光の混合を扱うカラー
テレビや照明関連の産業界で広く使われている [21]．ここでは予測値と実測値のΔ E 値を
求めることにより，予測精度を検証する．
表 3.1，表 3.2 に，Kubelka-Munk 式を用いた予測値と実測値の，L*u*v*空間における
Δ E 値を示す．表 3.1 は白背景，表 3.2 は黒背景である．例えば，黒背景に，下層は CR，
上層は塗厚 50µm の CY を塗り重ねた場合の予測値と実測値のΔ E は，4.0 である．この
表に示すように，Δ E の平均値は 7.9∼8.7 と低い値である．特に，上層に粒子の細かい
CR，CY を塗布する場合は，比較的正確な数値が得られていることがわかる．
図 3.7 に色差が最小となっている下層 UB 上層 CR（100µm）と，色差が最大となって
いる下層 CR 上層 UB（100µm）の分光反射率を示す．実測 (a) が下層 UB 上層 CR の実測
値，予測 (a) が下層 UB 上層 CR の予測値，実測 (b) が下層 CR 上層 UB の実測値，予測
(b) が下層 CR 上層 UB の予測値である．このグラフより，波形の形状はよく予測されて
いることがわかる．しかし，(b) は実測値の方が若干平坦な波形であるため，結果として
色差が大きくなっている．
3.5. グレーズに関する考察
表 3.1: 予測値と実測値比較（白背景）．
上層 (50µm)
平
上層 (100µm)
平
均
均
CR CY
下
CR
層
CY
3.2
CB
3.8
6.9
UB
4.4
9.5
3.8
7.2
平均
5.1
CB
UB
CR CY
CB
UB
1.9
7.2
24.7 11.3
7.6
22.5 11.0
10.9 14.5
10.2
9.2
12.8
8.4
2.9
13.3
8.0
2.4
3.9
11.4
8.5
1.3
2.7
8.6
10.5 13.5
8.7
2.2
2.8
7.8
14.4
6.9
4.2
20.5
8.3
表 3.2: 予測値と実測値比較（黒背景）．
上層 (50µm)
平
上層 (100µm)
平
CR CY
CB
UB
均
4.0
11.5
13.9
9.8
9.6
13.0
9.5
1.0
8.0
6.0
3.0
3.6
6.3
0.7
2.8
7.6
7.9
1.6
2.6
7.5
下
CR
層
CY
5.8
CB
3.7
6.5
UB
3.1
9.9
5.9
4.2
6.8
9.0
平均
3.5
25
11.6
CR
CY CB
UB
均
1.4
7.3
24.4
11.0
7.6
21.6
10.0
13.3
6.7
3.7
19.8
7.9
グレーズに関する考察
本節では，実験で求めた各絵具の吸収係数と散乱係数を用いて，2 フラックスモデルに
よりグレーズ技法のシミュレーションを行い，グレーズによる効果を混色の場合と比較
する．
第 2 章で述べたように，油彩のグレーズ技法では背景に明るい不透明色をおき，その上
に透明色を塗り重ねることにより，鮮やかで透明感のある色を実現するといわれる．そ
の効果をシミュレーションにより考察する．3.4.2 項，3.4.4 項で実験した絵具の組合せで
は，下層 CY 上層 CR（ただし CR は散乱が強い絵具であるため，低濃度で薄い場合に限
る）や，下層 CB 上層 UB の場合がこれにあてはまる．そこで，白地上に下層 CY 上層 CR
（50µm，濃度 50%）でグレーズを行った場合と，白地に CR（50µm，濃度 50%）でグレー
ズを行った場合と，二つの絵具の混色を行い白地上に塗付した場合のシミュレーションを
行い，比較する．
第3章
26
2 フラックスモデルによるシミュレーション
80%
60%
実測(a)
予測(a)
40%
実測(b)
予測(b)
20%
0%
400
450
500
550
600
650
700
(nm)
図 3.7: 予測値と実測値比較．
図 3.8 に，下層 CY 上層 CR（50µm，濃度 50%）で重色を行った場合の予測値と，それ
らの絵具を混色する場合の予測値と，白地の上に CR（50µm，濃度 50%）を塗布する場
合の分光反射率予測値を示す．
白地に CR を塗布する場合と CY 上に CR を塗布する場合を比較すると，白地の場合に
比べ，CY 上に塗布する場合は短波長の反射率が低く抑えられている．つまり，白地に CR
を塗布すると全体が明るくなるが，CY 上に塗布すると，より鮮やかな赤色になることが
わかる．一方，混色の場合は波形が階段状となることにより，濁りがでてしまう．つまり，
グレーズを行うことにより，濁りのない鮮やかな色を作り出す効果が得られることが，本
シミュレーションより示される．
3.6
アプリケーション
本節では，2 フラックスモデルを用い，各レイヤに対してグレーズシミュレーションに
基づいて発色計算を行うことが可能なアプリケーションを作成する．
3.6. アプリケーション
27
100%
80%
重色
60%
混色
40%
白地上
20%
0%
400
450
500
550
600
650
700 (nm)
図 3.8: 重色と混色の比較．
3.6.1
概要
第 1 章で述べたように，現在普及している 2 次元グラフィックソフトウェアでは，複数
のレイヤを設定し，各レイヤで透明度と下層との演算方法を設定することにより，多層の
重ね合わせ計算を実現している [3]．レイヤを用いることにより，オリジナルを変更せず
に上層のレイヤだけ変更する，グループ分けをして管理や再利用を容易にするなど，様々
なメリットがある．しかし，これらのグラフィックソフトウェアのレイヤの重ね合わせは，
グレーズ層の重ね合わせとは全く異なる演算方法であるため，現実の絵具の重色のような
発色を計算できない．そこで，グレーズシミュレーションに基づいた発色計算が可能なレ
イヤを持つグラフィックシステムを検討する．
グレーズのシミュレーションをするためには，顔料の吸収係数と散乱係数，濃度，塗
厚について値を与える必要がある．ここでは，1 画素を同じ塗りをする小領域とみなし，
それぞれの画素に対し異なるパラメータを与えるとする．顔料の吸収係数と散乱係数は，
ユーザが直接数値を与えるのは困難であるため，あらかじめ，各波長における吸収係数と
第3章
28
2 フラックスモデルによるシミュレーション
散乱係数が既知であるサンプルの絵具を複数用意する．ユーザはサンプルの絵具を選び，
それらの混合比率を与え，吸収係数と散乱係数を決定する．
表 3.3 に，各画素における入力値を示す．表中の p は使用する顔料の数である．これは
「ある比率で絵具（顔料）を混ぜ，ペインティングオイルを足して濃度を調節し，それを
ある厚さで塗る」操作を数値化するパラメータとなる．
以下に具体的に説明する．
(1) 混合比率 ri
ユーザが K, S 値を既知とする複数の絵具をどのように混色するかを指
定するパラメータとする．この比率により，3.3.2 項の計算方法に基づいて，混合後の絵
具の K, S 値が決定される．
(2) 濃度 fi
用意された絵具に対し，ペインティングオイルを混合して薄めるためのパラ
メータであり，濃度を 0∼1 の範囲の数値とする．1 はペインティングオイルを混入しな
い絵具そのものであり，0 は顔料が含まれず透明となる．
(3) 塗厚 xi
各層の塗厚を示す．値域は 0 から上限値とする．厚いほど光が透過せず不透
明になる．
(4) 下地の反射率 R0 下地の反射率を各波長において決める．理論的に白を 1 とするなど
も可能であるが，いくつかサンプルを用意して，それらから選択することも可能である．
表 3.3: 各画素における入力値．
層
混合比率
濃度 塗厚
N
rN = (gN 1 , ...., gN p )
fN
xN
：
：
：
：
1
r1 = (g11 , ...., g1p )
f1
x1
下地
3.6.2
R0
プログラム概要
3.6.1 項で述べたアプリケーションを実現するため，グレーズシミュレーションに基づ
いて発色計算を行うことが可能なテストプログラムを次のように開発する．開発にあたっ
3.6. アプリケーション
29
ては，移植が容易な Java 言語を使用する．
入力値としては，3.4 節の実験で使用した絵具から，色のバランスをとるため，赤黄青
それぞれ 1 種類を選ぶ．カドミウムレッド，カドミウムイエローの他に，青としてはセル
リアンブルーを選択し，それらの絵具に対して，混色と重ね塗りの計算，濃度の指定など
が可能となるようにする．入力値と出力値は以下とする．また，本実験では層数は 3 層と
している．
(1) 入力値
• セルリアンブルー (CB)，カドミウムレッド (CR)，カドミウムイエロー (CY) の吸
収係数 K と散乱係数 S （400nm∼700nm，10nm 刻み）
• 各層上の各点での，セルリアンブルー (CB)，カドミウムレッド (CR)，カドミウム
イエロー (CY)，の混合比率 ri
• 1 層∼3 層の各点における濃度 f
• 1 層∼3 層の塗厚 x
(2) 出力値 1 層∼3 層までを塗り重ねた場合の重ね塗りの予測結果．
(3) 処理内容
1. 1 層∼3 層の濃度データと塗厚データ，各層における 3 色の絵具の混合比率から，1
点におけるある波長の反射率を求める．
2. それぞれの波長，それぞれの画素に対して同様に計算し，各点における分光反射率
を計算する．
3. 分光反射率から RGB3 原色値を求める．
3.6.3
計算結果例
本プログラムによる計算例について述べる．入力データとして，画像処理研究用標準
画像データベース SIDBA の画像を 100 ピクセル× 100 ピクセルの CMYK 画像に変換
し使用する．まず，その C，M，Y 値をそれぞれ 0 から 1 の値に正規化し，1 層，2 層，
第3章
30
2 フラックスモデルによるシミュレーション
3 層の濃度として入力する．塗厚は全画素で一定としている．混色は行わず，1 層目に
CB，2 層目に CR，3 層目に CY のみを使用する．つまり，絵具の混合比率は全画素にお
いて，1 層目は CB : CR : CY = 1 : 0 : 0，2 層目は CB : CR : CY = 0 : 1 : 0，3 層目は
CB : CR : CY = 0 : 0 : 1 としている．
図 3.9 に，(a) 白背景に 1 層目のみを塗った場合のシミュレーション値，(b) 白背景に 2
層目のみを塗った場合のシミュレーション値，(c) 白背景に 3 層目のみを塗った場合のシ
ミュレーション値，(d) 白背景に 1 層目，2 層目，3 層目と重ね塗りした場合のシミュレー
ション値を示す．また，参考に，層の順序を入れ替えた結果を (e)，(f) に示す．(e) は 2 層
目 CR と 3 層目 CY を入れ替えたもの，(f) は 1 層目 CB と 3 層目 CY を入れ替えたもので
ある．この例では試験画像の CMY 値を 1 層∼3 層の濃度値とし，1 層目を CB の層，2 層
目を CR の層，3 層目を CY の層というように 1 色のみを塗り，絵具の混合を行っていな
い．そのため，写真の色分解をして，その結果に基づいて絵具の重ね塗りで再構成をした
ことになる．塗布する順番を変更すると，(d)∼(f) のように全く異なる印象の結果となる．
特に上層に使用する絵具による影響を大きく受けていることがわかる．また，本プログラ
ムは絵具の混色にも対応しており，より複雑な塗りのシミュレーションも可能である．
本プログラムは 2 フラックスモデルによるグレーズシミュレーション部分の実装であり，
入力値は数値として外部ファイルの読み込みを行い，最終結果もファイル出力を行ってい
る．つまり，ユーザインタフェースの実装は行っていない．グラフィックソフトウェアに
おいては，ユーザが実際に絵を描く感覚で入力値を与えられることが実用面においては
重要であると考えられる．しかし，どのようなインタフェースを使用したとしても，最終
的に 1 画素に対して表 3.3 の数値を与えることにより，2 フラックスモデルによるシミュ
レーションが可能となる．
3.7
まとめ
本章では，2 フラックスモデルである Kubelka-Munk モデルについて述べ，グレーズ技
法シミュレーションへの適用を検討した．まず，光の変化を行列表記による線形変換の形
で表現した．濃度変化，混色を行う場合，重色を行う場合の求め方について述べ，実測値
から散乱係数と吸収係数を求めるための条件について検討した．
次に，サンプルを作成し測色を行うことにより，先に述べた濃度変化，混色，重色に関
するシミュレーションの検証を行った．また，2 フラックスモデルに基づき，グレーズ技
法の効果に関する考察を試みた．さらに，顔料，濃度，塗厚の 3 つの要素を持つレイヤか
3.7. まとめ
31
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
図 3.9: シミュレーション結果．
らなるグラフィックシステムへの応用について述べた．
ここでは，表面層の反射による補正を行っていないが，油絵は表面反射を無視できな
い．これについては，表面反射の補正に広く用いられている Saunderson の補正式 [23] の
利用が考えられる．
また，顔料，濃度，塗厚の 3 つの要素の関連性についても考える必要がある．例えば，
塗厚の合計から得られる下層の起伏により，凹んでいる部分に顔料粒子が溜まり濃度が高
くなったり，塗厚が大きくなるなどが挙げられる．現在は水平方向を完全に独立に扱って
いるが，緩い絵具を比較的広い範囲について塗布する技法であるグレーズの場合，水平方
向の拘束条件を用いることにより，計算量の削減が図れる可能性がある．今後，これらに
関する検討が必要であると考える．
33
第4章
3 次元放射伝達モデルによるシ
ミュレーション
4.1
まえがき
本章では，3 次元的な放射伝達モデルによるグレーズ技法のシミュレーションを検討す
るとともに，その解法の高速化について述べる．まず，4.2 節で放射伝達モデルの特徴を
述べる．4.3 節においてグレーズとそのモデル化について述べる．4.4 節において数値解法
について説明する．4.5 節において高速化の検討を行い，4.6 節において実験により効果の
検証を行う．さらに，4.7 節において表示システムの検討を行う．
4.2
放射伝達モデルの特徴
第 3 章では，コンピュータカラーマッチング等で広く使われている 2 フラックスモデル
である Kubelka-Munk モデルを用いて，古典油彩画のグレーズ技法をシミュレーションす
るための検討と実験を行った．しかし，3 次元的な存在である現実の絵画に対し，1 次元
モデルである Kubelka-Munk モデルでは光の入射角や観測角を変更した場合の計算がで
きないなど，方向依存性を取り扱えないという問題がある．さらに，入射光としては拡散
光のみを前提としているため，平行入射光を取り扱うことができないという問題もある．
また，第 3 章で行った測色実験より，散乱の強い絵具に関しては良い予測値をとるのに対
し，散乱の弱い絵具に関しては，実測値とシミュレーション値との差が大きいことがわ
かっている．
Kubelka-Munk モデルは 3 次元的な放射伝達モデルを 2 方向に単純化することにより，
1 次元的なモデルに簡略化されたものと考えられる．これに対し，3 次元的な放射伝達モ
デルでシミュレーションを行う方法が Elias らにより提案されている [8][9][10]．放射伝達
モデルでは放射伝達方程式によりモデルを記述する．放射伝達方程式とは光の伝搬をあら
第4章
34
3 次元放射伝達モデルによるシミュレーション
わす式で，消散で光が失われる効果と，光が入ってくる効果の双方を考慮した方程式であ
り，リモートセンシングなどの分野でよく用いられる [24][25]．
Elias らは，放射伝達方程式の解法として補助関数法（AFM）を提案している [11]．補
助関数法は，放射伝達方程式中の多重散乱項の関数を変数と見なし，微積分方程式であら
わされる放射伝達方程式を線形積分方程式に変換して解く手法である．そのため，離散座
標法やモンテカルロ法などの他の解法のように，角度の離散化等の問題が発生しないとい
う利点がある．また，層内で連続的に散乱係数と吸収係数を変化させることや [26]，基層
の反射，多重散乱，単一散乱の 3 種類の項に分離して評価することも可能である [9]．
補助関数法には角度の離散化の問題はないが，線形積分方程式の数値解法に精度が依存
する．精度を高めようとすると，線形積分方程式を離散化する際に求める連立 1 次方程式
の係数計算コストが大きくなってしまう．そのため，入射角，観測角，厚さ等のパラメー
タを変更したうえで分光反射率を再計算するには時間を要する．これは，グレーズの発色
シミュレーションによる重ね塗りの色調整や，グラフィックソフトウェアを開発する際の
障害となっている．
そこで本研究では，より高速にグレーズシミュレーション計算を行うため，補助関数法
における数値計算の高速化手法を提案する．
まず，Elias らが提示したモデル式を，吸収係数と散乱係数の変化に対応した式に拡張
する．さらに，それに応じた離散的なモデル式を提示する．そこから，行列の形状に着目
し重複する計算を除くことにより，解の精度を保った高速化を行う．また，刻み幅を固定
し，最大行数の行列を計算してその部分行列を利用することにより，分光反射率を求める
際の重複する計算を回避し，高速計算を可能とする．さらに，実験により計算時間の比較
を行い，解の精度を検証する．
4.3
グレーズとそのモデル化
本節では，古典油彩画で用いられたグレーズ技法とそのモデル化について詳しく述べ
る．まず，4.3.1 項で，放射伝達方程式を用いたモデル式について述べ，4.3.2 項で，放射
伝達方程式の解法である補助関数法について述べる．
4.3. グレーズとそのモデル化
4.3.1
35
グレーズのモデル化
Elias らは，グレーズシミュレーションを行うために，技法を使える現代の画家によっ
て作成されたサンプル断面を電子顕微鏡で観察し，その結果を報告している [8]．それに
よると，2.3 ％程度の顔料容積濃度で顔料が分散し，顔料粒子は直径およそ 5µm であり，
顔料の大きさ，形，および方位にはランダムネスがあるとしている．また，1 層の厚さは
各層ほぼ同じで 12µm であり，層の境界面は平面であるが，同じ絵具を塗り重ねた場合に
は層の境界面は観測されないとしている．さらに，グレーズで使用されている展色材で
あるリンシードオイルは屈折率が n = 1.478，基層の展色材に含まれるにかわは屈折率が
n = 1.456 であるとしている．
それらに基づき，Elias らは，以下を仮定しモデル化を行っている．
• 空気層とグレーズ層の境界，および，グレーズ層と基層の境界は平面かつ平行
• 顔料のランダムネスから，散乱は等方的
• 基層の反射はランバート反射を適用
また，パラメータとして以下を用いている．
• 1 層の厚さは 12µm とし，全体の厚さは層数の乗算
• 全ての展色材に対して屈折率 n は 1.5
図 4.1 に，グレーズモデルの模式図を示す．
K, S (K ≥ 0, S ≥ 0) を吸収係数と散乱係数とする．第 3 章で述べたように，吸収係数
と散乱係数はそれぞれ，光が単位長さ進む間の吸収・散乱の強さをあらわす量で，値が
大きいほど吸収・散乱が強くなる．単位長さを 1m とする場合，K, S の単位は m−1 とな
る．入射光に対する反射の比率であるアルベド q を q = S/(K + S) とする．q < 1 の場合
は K ̸= 0 であり吸収があることを示す．また，z を層の深さをあらわす変数とすると，τ
∫z
は光学的深さで，τ = x=0 (K + S)dx である．K と S が定数なら τ = (K + S)z となる．
光学的深さ τ は，不透明さの程度を示す尺度であり，吸収と散乱が強い場合に大きい値を
取る．光学的深さ τ およびアルベド q は単位が無い無次元数となる．τ = 0 を空気層とグ
レーズ層の境界，τ = h をグレーズ層と基層の境界とする．h をグレーズ層の光学的厚さ
と呼ぶ．h は τ 同様無次元数であり，厚さの実測値と K, S 値によって決まる．
また，(θI , φI ) を入射角の天頂角と方位角，(θF , φF ) を観測角の天頂角と方位角とする．
光の方向は θ と φ の組によって定義されるが，このモデルは方位角 φ において等方的であ
第4章
36
3 次元放射伝達モデルによるシミュレーション
拡散光
コリメート光
空気層
WI
Wspec
θI
ωF(μF)
θF
0
グレーズ層
ω−(μ,τ)
( K(τ), S(τ) )
τ
W (τ)
+
θ0
θ
ω+(μ,τ)
h
基層（反射率ρ）
図 4.1: グレーズモデル模式図．
るため，天頂角 θ のみに依存する．以下，式を簡単にするため変数 µ = cos θ を用いる．µ は
0 ≤ θ ≤ π のとき 0 ≤ µ ≤ 1 の範囲で一意に決まる．θ0 は θI の，屈折率 n である媒体におい
て対応する角度で，sin θI = n sin θ0 を満たす．以下，µI = cos θI , µF = cos θF , µ0 = cos θ0
とする．
W + (τ ), W − (τ ) を光学的深さ τ におけるコリメート光に対する分光放射照度，ω + (µ, τ ), ω − (µ, τ )
を光学的深さ τ における方向 µ への拡散光束に対する分光放射輝度とする．コリメート光
とは，収束や拡散をしない平行な光のことである．空気層から基層への垂直方向を θ = 0
とすると，それぞれ，上付き文字＋は上流の方向（0 < θ < π/2），上付き文字−は下流
の方向（π/2 < θ < π ）を示す．W + (τ ) は，ランバートベールの法則にしたがって減少し，
以下であらわされる．
W + (τ ) = W + (0) exp(−
τ
)
µ0
(4.1)
基層はランバート反射と仮定するため，負の方向にコリメート光はない．よって，0 < τ <
h において，W − (τ ) = 0 となる．境界面 τ = 0 においては，W + (0) = T (µI ), Wspec = R(µI )
である．ここで R(µI ) と T (µI ) = 1 − R(µI ) は，界面における光の反射や屈折を計算する
フレネルの公式によって与えられる反射係数と透過係数である．
4.3. グレーズとそのモデル化
37
このとき，放射伝達方程式は，
dω ± (µ, τ )
ω ± (µ, τ )
= ∓
dτ
|µ|
∫ 1
q
2π
±
[ω + (µ1 , τ ) + ω − (µ1 , τ )] dµ1
4π 0
µ1
q W + (τ )
±
4π µ0
(4.2)
となる．第 1 項は，吸収と散乱による拡散光束の減衰，第 2 項は，全ての方向 µ1 からの
拡散光束の方向 µ への散乱（多重散乱），第 3 項は，µ0 方向から来た全てが方向 µ へ拡
散するコリメート光束の変化（単一散乱）である．この式の第 2 項と第 3 項をそれぞれ次
のようにおく．
∫
f (τ ) =
1
[ω + (µ1 , τ ) + ω − (µ1 , τ )]
0
g(τ ) =
dµ1
µ1
1 W + (τ )
2π µ0
(4.3)
(4.4)
t(τ ) = f (τ ) + g(τ ) を全体の散乱に対する増分とすると，放射伝達方程式は，
dω ± (µ, τ )
ω ± (µ, τ ) q
=∓
± t(τ )
dτ
µ
2
(4.5)
となる．
Elias らは同じ絵具による塗り重ね実験を行っているため，式 (4.5) のように q を定数と
して式を提示している．しかし，異なる絵具を塗り重ねる場合は q の値が深度方向で変化
するため，q は τ の関数となる．その場合，式 (4.5) は次式となる．
dω ± (µ, τ )
ω ± (µ, τ ) 1
=∓
± q(τ )t(τ )
dτ
µ
2
(4.6)
式 (4.6) により，式 (4.5) では計算できない，異なる絵具の塗り重ねを行っているグレーズ
層における光の伝搬が計算可能となる．
4.3.2
補助関数法
補助関数法 [11] とは，放射伝達方程式を，f (τ ) を補助関数とし，f (τ ) の線形積分方程
式の形に変換して解く手法である．Elias らは補助関数法の利点として，層内でアルベド
第4章
38
3 次元放射伝達モデルによるシミュレーション
q や屈折率 n 等のパラメータが変化する場合にも解くことが可能であるという点を挙げ，
一般的な式を示している [26]．しかしそれらは複雑であり扱いにくい．グレーズモデルに
限る場合，式は比較的簡単となる．しかし，Elias らはグレーズモデルに補助関数法を応
用する際，式 (4.5) を使用し，単一の絵具の塗り重ね計算を行っている [8]．そのため，そ
のままでは異なる絵具の塗り重ねの計算ができない．本節では，異なる絵具の塗り重ね計
算に対応可能とするため，グレーズモデルの仮定に基づいた境界条件を式 (4.6) に適用し，
補助関数法により解く過程を説明する．そして，異なる絵具を塗り重ねた層の反射率計算
式を示し，既存研究で使われている式との差異を示す．
0 < µ < 1, 0 < τ < h において式 (4.6) を解くと以下となる．
τ
ω + (µ, τ ) = ω + (µ, 0) exp(− )
µ
∫
1 τ
s−τ
+
q(s)t(s) exp(
)ds
2 0
µ
τ −h
ω − (µ, τ ) = ω − (µ, h) exp(
)
µ
∫
1 h
τ −s
+
q(s)t(s) exp(
)ds
2 τ
µ
(4.7)
(4.8)
H(τ, s) を指数積分関数
∫
H(τ, s) =
0
1
exp(−|τ − s|/µ)
dµ
µ
(4.9)
とすると，式 (4.3)(4.7)(4.8) より，
1
f (τ ) =
2
∫
0
h
H(τ, s)q(s)t(s)ds
∫ 1
τ
τ − h dµ
+
{ω + (µ, 0) exp(− ) + ω − (µ, h) exp(
)}
µ
µ
µ
0
(4.10)
となる．
グレーズ層と空気の境界面 (τ = 0) における境界条件と，グレーズ層と基層の境界面
(τ = h) における境界条件は，以下で与えられる．
ω + (µ, 0) = R(µ)ω − (µ, 0)
ρ
ω − (µ, h) =
Bµ
π
(4.11)
(4.12)
4.3. グレーズとそのモデル化
39
ただし，ρ は基層の反射率とする．B は基層に届く光束全体であり，以下であらわす．
∫ 1
+
B = W (h) + 2π
ω + (µ, h)dµ
(4.13)
0
第 1 項は基層に到達するコリメート光束，第 2 項は基層に到達する拡散光束である．式
(4.7)(4.8) に境界条件 (4.11)(4.12) を適用し，τ = 0，τ = h を代入することにより，境界
付近での拡散光が以下のように求められる．
ρ
−h
ω + (µ, h) = R(µ){ Bµ exp(
)
π
µ
∫
1 h
−s
h
+
q(s)t(s) exp( )ds} exp(− )
2 0
µ
µ
∫ h
1
s−h
+
q(s)t(s) exp(
)ds
2 0
µ
ρ
−h
ω − (µ, 0) =
Bµ exp(
)
π
µ
∫
1 h
−s
+
q(s)t(s) exp( )ds
2 0
µ
(4.14)
(4.15)
式 (4.10) に境界条件 (4.11)(4.12) および (4.14)(4.15) を代入し整理すると，
1
f (τ ) =
2
∫
h
{H(τ, s) + U (τ, s)}q(s)t(s)ds
0
ρ
+ BM (τ )
π
(4.16)
となる．ここで，
∫
1
exp(−(τ + s)/µ)
dµ
µ
0
∫ 1
−(h + τ )
τ −h
M (τ ) =
) + R(µ) exp(
)dµ
(exp(
µ
µ
0
U (τ, s) =
R(µ)
(4.17)
(4.18)
である．B は最終的に次式であらわされる．
∫h
T (µi ) exp(−h/µ0 ) + π 0 M (s)q(s)t(s)ds
B=
(1 − ρK)
ただし，
∫
K=2
1
R(µ)µ exp(−2h/µ)dµ
0
(4.19)
(4.20)
第4章
40
3 次元放射伝達モデルによるシミュレーション
である．式 (4.16)(4.19) より，以下の線形積分方程式を得る．
1
f (τ ) =
2
∫
h
2ρ
M (τ )M (s)]q(s)t(s)ds
1 − ρK
0
ρ
T (µI ) exp(−h/µ0 )
+
M (τ )
1 − ρK
π
[H(τ, s) + U (τ, s) +
(4.21)
また，n2 (1 − µ2 ) = 1 − µ2F ，ωf (µf ) = T (µ)ω − (µ, 0) より，システムの拡散反射 ρF (µI , µF )
は，次式で求められる．
ρF (µI , µF ) =
π T (µ) −
ω (µ, 0)
n2 µ
(4.22)
ここで µ は µF に対応する媒質内の角変数である．
既存研究 [8] で示されている f (τ ) の式は以下となる．
q
f (τ ) =
2
∫
h
2ρ
M (τ )M (s)]t(s)ds
1 − ρK
0
ρ
T (µI ) exp(−h/µ0 )
+
M (τ )
1 − ρK
π
[H(τ, s) + U (τ, s) +
(4.23)
これは，式 (4.21) における q(s) が一定値をとる場合と一致する．
4.4
4.4.1
数値解法
反射率の求め方
4.3.2 項の式 (4.21) は，層内での絵具による吸収や散乱，基層からの反射，空気層との
境界で戻る光の効果などの入った複雑な積分方程式となっており，解析的に解くことは困
難である．そのため，数値解を得るため式 (4.21) を離散化する．数値解法は Elias らが使
用した手法 [11] に従う．ただし，式 (4.21) は既存研究 [8] の線形積分方程式と，アルベド
q が関数として積分項にあるという点で異なる．そのため，まずアルベド関数を離散化す
るために節点の考え方について述べる．そして，アルベドをあらわす対角行列 P を導入
し数値解を求める．
光学的厚さを h，刻み幅を ∆h とするとき，[0, h] を [(i − 1)∆h, i∆h](i = 1, . . . , Q) の Q
セグメントに分割する．刻み幅 ∆h を小さくとることにより，積分を精度よく数値計算す
ることが可能である．
4.4. 数値解法
41
各セグメントの中点を節点と呼び，τi = (i−1/2)∆h (i = 1, . . . , Q) とおく．セグメント内
の f (τ ), g(τ ) は一定値をとるとみなし，節点における代表値で近似する．アルベド関数 q(τ )
に関しても微小領域の変化は小さいと考えられるため，同様に節点における代表値で近似す
る．τi における値を，fi = f (τi ), gi = g(τi ), ti = f (τi ) + g(τi ), qi = q(τi ) (i = 1, . . . , Q)
とする．これらは各セグメントで一定のため，積分記号の外に出すことができる．式 (4.21)
より，
1∑
=
2 j=1
Q
fi
(∫
τj +∆h/2 (
τj −∆h/2
+
) )
2ρ
H(τi , s) + U (τi , s) +
M (τi )M (s) ds qj tj
1 − ρK
ρ
T (µI ) exp(−h/µ0 )
M (τi )
1 − ρK
π
(4.24)
となることから，
1∑
2ρ
′
=
(Hi,j + Ui,j +
Mi Mj )qj tj
2 j=1
1 − ρK
Q
fi
+
T (µI ) exp(−h/µ0 )
ρ
Mi
1 − ρK
π
(4.25)
と書ける．ただし， Mi = M (τi ) であり，
∫ τj +∆h/2
Hi,j =
H(τi , s)ds
τj −∆h/2
∫
Ui,j =
′
τj +∆h/2
τj −∆h/2
∫
Mj =
U (τi , s)ds
τj +∆h/2
M (s)ds
(4.26)
τj −∆h/2
である．行列 A, P および，ベクトル t, f , g, m を以下のように定義する．


A1,1
A1,Q


..

A=
.


AQ,1
AQ,Q


P =

q1
0
..
0
.
qQ
(4.27)




(4.28)
第4章
42
3 次元放射伝達モデルによるシミュレーション
t = (t1 , . . . , tQ )t ,
f = (f1 , . . . , fQ )t ,
g = (g1 , . . . , gQ )t
(4.29)
(
m =
ρ
T (µI ) exp(−h/µ0 )
M1 , . . . ,
1 − ρK
π
)t
ρ
T (µI ) exp(−h/µ0 )
MQ
1 − ρK
π
(4.30)
2ρ
ただし，Ai,j = Hi,j +Ui,j + 1−ρK
Mi Mj′ である．このとき，P t = P f +P g = (q1 t1 , . . . , qQ tQ )t
より
1
A(P f + P g) + m
2
1
1
=
AP f + ( AP g + m)
2
2
f =
(4.31)
となる．ベクトル b を以下のように定義する．
b = 1/2AP g + m
(4.32)
E を Q 次の単位行列とすると，式 (4.31)(4.32) より以下の連立 1 次方程式を得る．
1
( AP − E)f = −b
2
(4.33)
この式 (4.33) を解くことにより，f が求められる．最終的な反射率は，以下で求められる．
ρF (µI , µF ) =
π T (µout ) −
ω (µout , 0)
n2 µout
(4.34)
ただし，µout は観測角 µF に対応するグレーズ層における角変数であり，
ω − (µout , 0) =
ρ
Bµout exp(−h/µout )
π
)
Q (∫ τj +∆h/2
1∑
+
exp(−s/µout )ds qj tj
2 j=1
τj −∆h/2
T (µi ) exp(−h/µ0 ) + π
B=
(1 − ρK)
∑Q
j=1
Mj′ qj tj
(4.35)
(4.36)
である．
対角行列P は，アルベドを q から q(τ ) に拡張したため必要となる行列である．対角行
列P の存在により，P を求め，積をとる計算過程は増えるが，異なる絵具の塗り重ねに対
応できるため，より実用的となる．
4.5. 高速化の検討
4.4.2
43
分光反射率の計算
人間が知覚する色を求めるためには，分光反射率，つまり，可視領域の波長にわたり
ρF (µI , µF ) を計算する必要がある．通常，絵具層の吸収係数 K(τ )，散乱係数 S(τ ) は波長
λ で異なる値をとるため，アルベド q(τ ) と光学的厚さ h は波長 λ で異なる．
また，入射角 µI と観測角 µF はベクトル b には影響するが，行列 A には影響しない．
以上の内容から計算手順は以下となる．
ある波長 λ に対して次を実行する．
1. 絵具層の構成から，アルベド関数 q(τ ) を求め，行列 P を計算
2. 行列 A を計算
3. 入射角 µI ，観測角 µF についてベクトル b を計算
4. 連立 1 次方程式を解き，ベクトル f を計算
5. 反射率 ρF (µI , µF ) を計算
6. µI = µF ，|φI − φF | = π の場合は，鏡面反射 Wspec = R(µI ) を ρF (µI , µF ) に加算
以上の手順で，可視領域の波長 λ(380nm ≤ λ ≤ 780nm) に対して繰返し計算する．
4.5
4.5.1
高速化の検討
行列の分解
この計算過程では，離散化数 Q の増加に伴い，行列 A の項の値を求める部分の計算量
が増大する．そこで本研究では，行列を分解することにより計算量の削減を図る．
第4章
44
3 次元放射伝達モデルによるシミュレーション
式 (4.26)(4.27) より，A は以下の 3 つの行列の和の形に変形できる．

H1,1 + U1,1 + cM1 M1′ . . . H1,Q + U1,Q + cM1 MQ′


..
..
...

A = 
.
.


′
′
HQ,1 + UQ,1 + cMQ M1 . . . HQ,Q + UQ,Q + cMQ MQ

 

H1,1 . . . H1,Q
U1,1 . . . U1,Q
 .

.. 
.. 
..
..
 +  ...
..
= 
.
.
.
. 

 

HQ,1 . . . HQ,Q
UQ,1 . . . UQ,Q


cM1 M1′ . . . cM1 MQ′


..
..
...

+
.
.


′
′
cMQ M1 . . . cMQ MQ

(4.37)
(4.38)
ただし，c = 2ρ/(1 − ρK)．ここで，H = (Hi,j ) は対称テプリッツ行列，U = (Ui,j ) はハ
ンケル行列となっている．
対称テプリッツ行列とは，対称行列でさらに主対角線および副対角線に沿って一定の要
素を持つ行列であり，以下のような形となる．

a1 a2 · · ·

 a
 2 a1 · · ·
 .
..
..
 ..
.
.

an an−1 · · ·

an
an−1
..
.






(4.39)
a1
つまり，a1 , . . . , an を計算すると行列 H が決定する．
ハンケル行列とは，正方行列で逆の対角成分が等しい行列であり，以下のような形と
なる．








a1
a2
···
an
a2
..
.
a3
..
.
···
..
.
an+1
..
.
an an+1 · · ·
a2n−1






(4.40)
つまり，a1 , . . . , a2n−1 を計算すると行列 U が決定する．
以上から Q 次の行列 H, U に関して，H は Q 回，U は 2Q − 1 回の計算で Q × Q 個
の項の値が決定することがわかる．また，M = (Mi ), M ′ = (Mi′ ) は Q 次のベクトルで
4.6. 高速化実験
45
あるため，Q 回の計算で決定される．つまり A をダイレクトに計算するのではなく，H ，
U ，M と 3 つに分けて計算することにより，計算結果を同一とする計算量の削減が可能
となる．
4.5.2
刻み幅の統一
光学的厚さ h，刻み幅 ∆h に対して，離散化数は Q = h/∆h で求められるが，Q は 2 以
上の整数である必要がある．例えば，h = 2.33, ∆h = 1/50 のとき，Q = h/∆h = 116.5
となるが，Q は整数であるため 116 もしくは 117 となり，丸め誤差が生じる．この丸め誤
差の問題は，単一層の場合でも起こる．
この丸め誤差を解消する方法として，2 つの方法が考えられる．1 つは，Q に合わせて
刻み幅 ∆h を調整する方法，もう 1 つは光学的厚さ h を調整する方法である．つまり上記
の例で Q=117 を選択する場合，前者は，∆h = h/Q = 2.33/117 = 0.0199 . . . であり，後
者は，∆h = 0.02 （定数），h = Q∆h = 117 ∗ 0.02 = 2.34 である．
行列 H ，U の各項の値は光学的厚さ h には依存しないが，刻み幅 ∆h には依存する．つ
まり，∆h を定数にして統一する場合，1 度計算した項の値は再利用が可能である．一方
∆h を変更する場合は，H ．U の項の値が h と Q によって変わるため，その都度再計算
が必要となる．
そこで，∆h は一定とし，光学的厚さ h を変更する方法を選択することにより，分光反射
率を求める際の，行列 H ，U の計算量を削減する．具体的には，各 λ に対して，Q(λ) の最大
値 Qmax をあらかじめ求め，Qmax × Qmax の行列 Hmax ，Umax を計算する．Qmax ≥ Q(λ)
となる Q(λ) については，Hmax ，Umax の Q(λ)×Q(λ) 部分行列を使用し，再計算を回避す
る．また，計算結果を保存し，Q ≤ Qmax の場合に使用することが可能である．Q > Qmax
の場合は再計算し，Q を新たに Qmax として更新する．
4.6
高速化実験
実験により，提案手法と従来手法の計算時間の比較と計算精度の検証を行う．MATLAB
プログラムを開発し，組み込みのストップウオッチ関数（tic,toc）により，プログラムの
実行時間を計測する．
実験に使用する計算機環境は以下となる．
• ハードウエア：SGI UV100
第4章
46
3 次元放射伝達モデルによるシミュレーション
表 4.1: プログラムの実行時間の比較（秒）．
離散化数
30
60
90
120
従来手法
提案手法
31.10 99.44
1.64
2.56
185.40
294.21
3.23
3.92
• メモリ容量：768GB(8GB×96)
• OS:SUSE Linux Enterprise Server 11
• プログラミング言語：MATLAB Version 7.13.0.564
なお，実験において明示的な並列化は行っていない．
まず，4.5.1 項で述べた行列を分解する効果を確認するため，A を分解しない場合と，
H ，U ，M の 3 つの行列に分けて計算する場合の比較を行う．媒体の屈折率 n を 1.5，基
層の反射率 ρ を 1 として，行列 A を分解せず計算する結果を従来手法，分解する場合の
結果を提案手法とし，それぞれ 100 回実行した平均値を表 4.1 に示す．刻み幅 ∆h は既存
研究で推奨している 0.02 を使用している [8]．
この結果からわかるように，行列を分解することにより，離散化数 30 の場合で 5%，離
散化数 120 の場合で 1% 程度まで計算時間を短縮することが可能となる．
次に，4.5.2 項で述べた刻み幅の統一を行う場合と，行わない場合の計算時間を計測し
比較する．まず，既存研究 [27] において計測された，絵具の吸収係数・散乱係数データか
ら，黄系，赤系，緑系，青系の絵具を 1 種類ずつ選択し使用する．使用する絵具データを
図 4.2 に示す．
本実験では 4 種類のデータから 2 種類を選び，厚さ 12µm の 2 層で塗付する場合の反射
率を計算する．なお，先の実験同様，媒体の屈折率 n を 1.5，基層の反射率 ρ を 1 とし，
行列 A は，先の実験で高速化が確認された，分解して計算する方法で求める．求めた A
について，入射角を 0，観測角を 0 として，LU 分解を使用して連立方程式を解き，反射
率を計算する．さらに，380nm から 780nm まで 10nm 刻みで分光反射率を求め，24 ビッ
トの RGB 値へ変換する．表 4.2 および表 4.3 に，刻み幅を統一しない場合と，統一する
場合の計算時間を示す．計算時間は刻み幅の大きさに依存するため，それぞれ刻み幅 0.01
∼0.04 について計算している．刻み幅の統一をしない場合については，刻み幅は表に示す
数値前後の値をとる．使用する絵具は，図 4.2 のグラフの番号の組み合わせで，
「第 1 層/
第 2 層」としている．層の順序が異なると計算される反射率は異なるが，計算時間はほぼ
同一であるため，ここでは絵具の組み合わせが異なる場合の結果のみを示す．
4.6. 高速化実験
47
120000-1
(m )
100000
K
160000-1
(m )
K
S
120000
S
80000
80000
60000
40000
40000
20000
0
0
380
480
580
680
(a)
50000 -1
(m )
40000
380
780
(nm)
K
S
480
580
680
(b)
100000-1
(m )
80000
30000
60000
20000
40000
10000
20000
0
780
(nm)
K
S
0
380
480
580
(c)
680
780
(nm)
380
480
580
680
(d)
780
(nm)
図 4.2: 使用する絵具の吸収係数 K と散乱係数 S のグラフ．(a)Yellow lead and tin（Kremer
社製）(b)Vermillon（Kremer 社製）(c)Viridian green（Kremer 社製）(d)Ultramarine blue
（Sennelier 社製）．
また，刻み幅の統一による再利用率を調べ，計算時間短縮に対する効果を検証する．再
利用率とは，H ，U で計算が必要な項のうち，再利用を行った項の比率とする．絵具層
の構成が同じ場合は刻み幅によらず再利用率はほぼ同一であるが，ここでは 4 種類の刻み
幅による平均値をとり，表 4.3 に示す．また，表 4.3 の実行時間を表 4.2 の数値で割った値
を短縮率とし，4 種類の刻み幅による平均をとった平均短縮率も同様に示す．
この実験結果より，統一する場合の計算時間は，統一しない場合の 4%∼7% 程度に短
縮されており，統一することで計算時間を大幅に短縮できることがわかる．また，再利用
率が高い場合は計算時間の短縮効果が大きいことから，本手法が計算時間短縮に効果的で
あることがわかる．
第4章
48
3 次元放射伝達モデルによるシミュレーション
表 4.2: プログラムの実行時間（秒）：刻み幅を統一しない場合．
刻み幅 a/b
a/c
a/d
b/c
b/d
c/d
平均
約 0.01
270.74 181.42
192.1
221.94
229.94
127.25
203.90
約 0.02
149.73 104.57
108.83
123.93
128.71
72.16
114.66
約 0.03
106.95 74.679
78.306
88.95
92.652
51.707
82.207
約 0.04
84.687 59.892
63.278
71.38
73.219
40.929
65.564
表 4.3: プログラムの実行時間（秒）と再利用率：刻み幅を統一する場合．
刻み幅
a/b
a/c
a/d
b/c
b/d
c/d
平均
0.01
10.628 6.7048
7.1751
7.7433
8.3379
6.9017
7.9151
0.02
5.5547 4.1015
4.3042
4.5125
4.7493
4.4489
4.6119
0.03
3.9944 3.1588
3.3068
3.3573
3.5241
3.5650
3.4844
0.04
3.2254 2.726
2.8005
2.8443
2.9449
3.1513
2.9487
平均短縮率
0.0379 0.0410 0.0408 0.0372
0.0379 0.0655
平均再利用率
0.9769 0.9836 0.9842 0.9843
0.9765 0.9476
なお参考のため，同等のプログラムを以下のスペックのパソコンで実行する場合の処理
時間を示す．
• プロセッサ： Intel(R) Core(TM) i5-2500K CPU @ 3.30GHz
• 実装メモリ (RAM): 16.0 GB
• OS: Windows 7 Professional 64bit
• プログラミング言語：Gnu Octave version 3.4.3
Gnu Octave は，MATLAB と互換性を持ったフリーの数値解析ソフトウェアである [28]．
この場合，表 4.2 の「a/b」については，刻み幅 0.01 の場合 2951.57 秒，0.04 の場合 863.60
秒であり，表 4.3 の「a/b」については，刻み幅 0.01 の場合 102.51 秒，0.04 の場合 29.765
秒である．
次に，計算値の精度について検証する．表 4.2 に示す，
「刻み幅を統一しない」かつ「刻
み幅が約 0.01」である場合の計算結果を最も高精度と仮定して，基準値に設定する．刻み
幅を大きくして計算時間を短縮する場合と，刻み幅を統一して計算時間を短縮する場合に
ついて，基準値との差を比較する．比較のため，入射角と観測角を 0∼π/2 に π/36 刻み
4.7. 表示システム
49
表 4.4: RGB 値の比較．
a/b
a/c
a/d
b/c
b/d
c/d
刻み幅を
平均
0.2881
0.3047
0.2798
0.0083
0.0259
0.0803
大きくする方法
分散
0.2051
0.2119
0.2015
0.0082
0.0252
0.0739
刻み幅を
平均
0.0203
0.0092
0.0139
0.0018
0.0055
0.0480
統一する方法
分散
0.0199
0.0091
0.0137
0.0018
0.0055
0.0457
で変化させた計 19 × 19 の値についてそれぞれ RGB 値を求め，基準値との差の絶対値を
取り，平均と分散を求める．表 4.4 に以下の 2 つの方法について比較した結果を示す．
• 刻み幅を大きくする方法：
「刻み幅を統一しない」かつ「刻み幅が約 0.04」
• 刻み幅を統一する方法：
「刻み幅を統一する」かつ「刻み幅が 0.01」
表 4.4 に示す 6 種類の組み合わせの全てにおいて，刻み幅を統一する場合の方が基準値か
らのずれが小さくなっている．以上の結果から，刻み幅を統一する方法は，刻み幅を大き
くして計算時間を短縮する方法より，計算精度を保ち，かつ，より計算時間の短縮が可能
となっていることがわかる．
4.7
表示システム
3 次元的な放射伝達モデルによるシミュレーションによって，光の入射角と観測角に応
じた計算が可能になり，4.5 節においてその高速化を実現した．
本節では，まず，光の入射角と観測角に応じて色が変化するという特徴を，直感的にイ
メージしやすい色提示システムについて検討する．それに基づき，加速度センサを内蔵し
たタブレット型コンピュータと Web ブラウザにより，端末の角度を入力インタフェース
として色の表示変更を行うシステムを試作する．
4.7.1
開発の目的
3 次元的な放射伝達モデルによるシミュレーションにより，光の入射角と観測角に応じ
た計算が可能となる．グレーズ技法のもつ透明性から，光の入射角と観測角に応じて，シ
ミュレーション結果には変化が見られる．
50
第4章
3 次元放射伝達モデルによるシミュレーション
ある入射角と観測角では同じ色となっても，角度を変更すると異なる色になる場合があ
る．これは，透明な層を重ねて塗ることによって色を作るグレーズ技法の特徴である．つ
まり，グレーズ技法で作られた「色」は，角度変更によってどのように変化するかという
点も重要な情報となる．このことから，グレーズ技法をコンピュータグラフィックスに応
用するためには，この特徴をもつ「色」の直感的な方法での提示が不可欠となる．
第 1 章で述べたように，一般的な RGB3 原色を用いるカラーディスプレイでは，人間
が知覚できる色の範囲を全てあらわすことはできないため，4 原色以上の原色を表示する
多原色ディスプレイの開発が行われている．しかし，現時点では特殊なモニタで高価であ
るため，限られた環境でしか表示ができないという問題がある．これに対し，本研究のよ
うに角度変更で色が変化すれば，一般的な RGB3 原色の方式の従来のモニタでも RGB 以
上の色の印象を作り出す効果が期待できる．
文化財としての油彩画を劣化なく後世に残すためのデジタルアーカイブ研究において
は，油彩画の表面の凹凸に着目し，物体の 3 次元形状情報を記録する研究が行われている
[29][30]．油彩画を実測して得た表面形状と表面反射に基づき，視点や平行光源の角度な
どを自由に変更して鑑賞することが可能となる．それらの研究における絵画表示システム
では，表示を行うモニタは固定された状態にあるのが一般的である．また，ユーザは何ら
かのインタフェースにより，入射角と観測角を表示システムに入力し，表示を変更する必
要がある．
一般に用いられる入力インタフェースとしては，キーボードや，マウス，タッチパネル，
ジョイスティックなどのポインティングデバイスがある．また，センシングデバイスを用
いて人間のジェスチャーを入力インタフェースとするモーションインタフェースも，ゲー
ム機などを中心に使用されている．
近年，Apple 社の iPad 等のタブレット型コンピュータが普及しつつあり，表示の高精
細化も進んでいる．入力は主に画面にタッチすることで行い，ジャイロスコープ，加速度
計，コンパス，カメラなどが装備されていることも特徴である．形はシンプルな板状であ
るため，使用者はタブレット端末を絵画作品やキャンバスであるかのように取り扱うこと
ができる．そのため作品の鑑賞だけでなく，グラフィックアプリケーションによる制作も
直感的な操作で可能である．また，操作性のみならず携帯性という観点からも優れてい
る．使用場所を選ばないため，スケッチブックやキャンバスを屋外に持ち出す感覚での使
用も可能である．
グレーズシミュレーションは現時点ではまだ計算量が多く，リアルタイムで使用するの
は難しいが，あらかじめ計算したデータを蓄積しておき，サンプルカラーを提示すること
は可能である．その際，色の角度変化の情報を直感的に提示する方法が必要となる．そこ
4.7. 表示システム
51
で，この操作性や携帯性に優れたタブレット端末を用いてユーザが鑑賞や制作を行う際
に，入射角と観測角で変化する「色」を直感的に提示するインタフェースを検討する．
4.7.2
システム要件
タブレット端末を絵画，もしくはキャンバスであると考える．光の入射角は，光源に対
するタブレット端末の向きによって決まる．つまり，仮想的な光源に対して，ユーザが端
末をかざしたり傾けたりすることにより，入射角の変更が可能である．タブレット端末の
傾きは，加速度センサなどで計測することができる．
一方観測角は，観測者の視線と端末の角度によって決まる．これに関しては，タブレッ
ト端末のカメラでユーザの視線推定を用い，観測角を推定する方法が考えられる．しか
し，現在の多くのタブレット端末で用いられている液晶パネルは視野角がせまく，推定さ
れた観測角度，つまり，斜めから見ている状態での色の再現が難しい．そのため本試作シ
ステムでは，観測角は固定とすることにする．将来，視野角が広くパネル毎のばらつきが
少ない平面ディスプレイが開発され普及すれば，視線推定から観測角を推定する方法を使
用することが可能となると考えられる．
以上の入射角および観測角に関する検討内容から，本システムは以下を仮定する．
1. 仮想光源は常に真上にあるとする．
2. 観測角を一定とするために，常に，鑑賞者は真正面からタブレット端末を見るとする．
3. 観測者がタブレット端末を見ている環境における環境光やタブレット端末に対する
反射は考慮しない．
さらに，以下の機能を備えるとする．
1. タブレット端末の傾きを検出する．
2. 仮想光源と端末の位置関係から，入射角を求める．
3. 求めた入射角から，それに対応する色に表示を変更する．
図 4.3 に，観測者，仮想光源，タブレット端末の位置関係を示す．図 4.3(a) は仮想光源
にかざした状態となる．垂直に入射している状態であり，入射角は 0 となる．図 4.3(b) の
ように端末を傾けると，仮想光源の入射角は傾きにしたがって大きくなる．
第4章
52
光源
3 次元放射伝達モデルによるシミュレーション
光源
観測者
(a)
入射角
観測者
(b)
図 4.3: 観測者，仮想光源，タブレット端末の位置関係．
4.7.3
HTML5 による実装
表示システムを，HTML5 と Javascript を使用して実装する．
HTML5 は W3C が策定を進めている HTML 仕様であり，HTML4 ではできない，動画
や音声への対応，グラフィックの描画などがプラグインなしで可能になる [31]．また，端
末の位置や向き，傾きなどに対応する機能も備えている．HTML5 を用いると，端末に新
しいアプリケーションをインストールする必要はなく，容易に実装が可能となる．また，
Web を用いてコンテンツの公開や情報の共有もできる．
2012 年現在，HTML5 に対応している Web ブラウザは少ないが，iPad, iPhone などに
搭載されている Web ブラウザである Safari は一部対応している．そこで本システムでは，
iPad, iPhone などが対応する HTML5 の Canvas と Device Motion API を利用する．
Canvas は HTML5 で追加されたグラフィック機能であり，JavaScript を用いて図を描く
ことが可能になる．
Device Motion API は，W3C により，ジャイロスコープ，加速度計，コンパスを装備
したデバイスに対して策定されている規格である．2012 年の段階では仕様として確定は
していないが，iOS5 以上の iPad や iPhone に搭載されている Safari で対応しているため，
iPad や iPhone で問題なく使用できる．Device Motion API により，JavaScript を用いて，
端末の傾き，加速度，向いている方角を取得して使用することが可能になる．
本システムでは，Canvas を用いて描画を行い，Device Motion API の accelerationIn-
4.8. まとめ
53
cludingGravity を用いて端末の傾きを検出する．
また，外部ファイルにある計算結果データをバックグラウンドで読み込むために，Ajax
を使用する．Ajax とは，Javascript の XMLHttpRequest クラスを用いて非同期通信を行
う技術であり，近年 Web サービスで広く用いられている．
具体的には以下のように実装する．
ある絵具構成に対してあらかじめシミュレーションをし，観測角を 0 とし，入射角を 0
∼π/2 に変更した RGB 値を CSV ファイルとして用意する．Javascript を用いて CSV ファ
イルを参照し，端末の傾きを検出して描画色を傾きに対応した色に変更する．
傾きの検出には重力加速度を示す accelerationIncludingGravity を用い，端末が水平の
状態を入射角が 0，垂直の状態を入射角が π/2 となるようにして傾きに応じた仮想光源か
らの入射角を求める．なお，本シミュレーションでは入射角の方位角は影響しないため，
天頂角のみを用いる．つまり，端末をどちらに傾けても表示結果は同じとなるようにする．
図 4.4 に，入射角に応じて変化させた画面の例を示す．ここでは，4.6 節の実験で用い
た 4 種類の絵具から 2 種類の絵具を選択し，下層の厚さを 4 段階，上層の厚さを 6 段階
に変化させて，2 層の塗り重ねをシミュレーションした結果を，一覧表示させている．図
4.4(a) はほぼ水平な状態，(b) は垂直近くまで傾けた状態である．このように，19 段階に
シミュレーションした結果を傾きに応じて連続的に表示することが可能である．
現在のシステムでは真上に仮想光源があるとしているが，別方向からの設定に容易に変
更可能である．また，パレットのように色を選択して，HTML5 の Canvas 機能を用いて
タブレット端末上で自由に描画されたものに対し，傾きに応じて色の変更を行うなどの応
用も可能である．現時点では，入射光の変更のインタフェースのみであるが，直感的に観
測角の変更を行うインタフェースの構築が今後の課題であると考えられる．
4.8
まとめ
本章では，古典油彩画のグレーズ技法の色の塗り重ねをシミュレーションするため，3
次元的な放射伝達モデルによるモデル式を，絵具層のアルベドの変化に対応する式に拡張
した．
また，放射伝達方程式の補助関数法における数値計算の行列の形状に着目し，シミュ
レーションの高速化を行った．具体的には，係数行列を対称テプリッツ行列とハンケル行
列の計算に分解して重複する計算の削減を行うとともに，刻み幅を固定し最大行数の行列
の部分行列を利用することにより，計算コストを大幅に削減した．
第4章
54
3 次元放射伝達モデルによるシミュレーション
(a)
(b)
図 4.4: 実装した画面の例．
そして，実際の油絵具のデータを用いて数値実験を行い，高精度な解が，従来手法の約
4 ％∼7 ％の計算時間で求められることを示した．
最後に，グレーズ技法のシミュレーション結果を提示するシステムを試作した．グレー
ズ技法で作られた「色」は，角度変更によってどのように変化するかという点も重要な情
報となることから，直感的な操作で入射光の角度を入力するインタフェースについて検討
した．そして，絵画やキャンバスをイメージしやすく携帯性に優れたタブレット端末を用
い，入力インタフェースとして端末の傾きを使用することにより，直感的な操作で入射光
の角度が変更可能となった．
55
第5章
結論
本章では，本論文で述べた研究成果をまとめ，最後に今後の課題について述べる．
本論文では，古典油彩画におけるグレーズ技法をコンピュータシミュレーションにより
再現することで，コンピュータグラフィックスにおいて彩度と透明性を保った重ね塗りを
実現するための研究について述べた．第 1 章では，コンピュータグラフィックス研究にお
ける絵画的アプローチの研究意義および研究動向と，その中での本研究の位置づけについ
て述べ，コンピュータグラフィックス研究における本研究の意義について明らかにした．
第 2 章では，油絵具の構造と，代表的な絵画技法，特に古典的な技法であるグレーズ技法
について述べ，油絵具の透明性を生かしたグレーズ技法の特徴を美術的な観点からまと
めた．
本論文では，2 つのアプローチでグレーズ技法シミュレーションを行った．
1 つめは，コンピュータカラーマッチングなどで使用されている 2 フラックスモデルに
よるものである．第 3 章において，その 2 フラックスモデルである Kubelka-Munk モデル
のグレーズ技法シミュレーションへの適用を検討した．光の変化を行列表記による線形変
換の形で表現し，実測値から散乱係数と吸収係数を求めるための条件や，濃度と散乱係数
及び吸収係数の関係について検討した．また，実際にサンプルを作成することにより，シ
ミュレーションと実測値の比較実験を行った．さらに，応用として，絵具の混合比率，濃
度，塗厚を与えた多層塗りの計算のできるアプリケーションの作成を行った．
2 つめは，3 次元的な放射伝達モデルによるものである．第 4 章において，3 次元的な放
射伝達モデルを古典油彩画グレーズ技法シミュレーションへ適用するための改良と，高速
化について検討した．具体的には，既存研究における放射伝達方程式によるモデル式を，
多様な色の塗り重ねが可能となるように，絵具層のアルベドの変化に対応する式に拡張し
た．また，放射伝達方程式の補助関数法における数値計算の行列の形状に着目し，2 種類
の高速化を行った．1 つは，係数行列を対称テプリッツ行列とハンケル行列の計算に分解
し，重複する計算を削減することによる，計算結果同一の高速化である．もう 1 つは，分
光反射率計算の際の刻み幅を固定し，最大行数の行列を計算してその部分行列を利用する
ことによる，近似的な計算コストの削減である．高速化の効果を確認するため，実際の油
56
第5章
結論
絵具のデータを用いて数値実験を行い，高精度な解が，従来手法の約 4 ％∼7 ％の計算時
間で求められることを示した．また，精度を検証するため，本手法と，刻み幅を大きくす
る単純な高速化手法との精度の比較を行い，本手法の方が精度よく高速化できることを示
した．最後に，入射角と観測角の変更に応じたシミュレーションを効果的に提示するため
に，本研究で試作したシステムの概要について述べた．
本シミュレーションでは分光反射率による色計算を行っており，RGB3 原色を用いた色
計算よりも，より高精細な色表現への応用が可能である．4 原色以上の原色を表示する多
原色ディスプレイにおける表示にも対応可能であるとともに，角度変更で色が変化すると
いうインタラクティブ性により，一般的な RGB3 原色の方式の従来のモニタでも RGB 以
上の色の印象を作り出す効果が期待できる．
2 フラックスモデルによるシミュレーションと，放射伝達方程式によるシミュレーショ
ンにはそれぞれ長所と短所がある．2 フラックスモデルはカラーマッチングなどに広く用
いられているように，単純化した計算が可能である．しかし，コリメート光による入射光
について計算できない，入射角や観測角の変更に対応できないなどの問題がある．一方
の 3 次元的な放射伝達モデルによるシミュレーションは，コリメート光による入射光につ
いての計算が可能であり，入射角や観測角の変更にも対応できるため，より正確なシミュ
レーションが可能である．その反面，計算量が光学的厚さに依存し膨大となるため，高速
計算が課題となる．これらのことから，今後は 2 つのアプローチのうちより正確な計算が
可能な 3 次元的な放射伝達モデルに基づき，行列計算の並列化などによるさらなる高速化
を目指す．また，2 フラックスモデルとの比較により，近似解を精度よく求める方法の検
討を行う．
現時点ではどちらのアプローチにおいても，水平方向の顔料変化を考慮したモデルに
はなっていない．グレーズ技法はモデリングされた不透明層の上に透明層を重ねる技法で
あるため，層の高さが場所により変化すると考えられる．グレーズ層の塗厚は凸面では薄
くなり，凹面では厚くなる．現在の放射伝達モデルは，水平方向へある程度同じ分布をし
ていることが仮定されたものである．そのため，1 点の色だけではなく作品全体をシミュ
レートする際は，絵具の塗りの境目となる断続的な個所がある場合のような水平方向の顔
料変化にも対応する必要がある．以上のように，さらなる高速化と高機能化を図り，より
実用的なシミュレーションを目指したいと考える．
57
謝辞
懇切なるご指導およびご鞭撻をいただきました指導教官である城和貴教授に心から感
謝いたします．本論文の審査過程において研究に関する有益な御意見をいただきました，
本学の加古富志雄教授ならびに山下靖教授にお礼申し上げます．また，研究を始める際に
アイデアをいただき，美術的な観点から長きにわたりご助言をいただきました千葉商科大
学楜沢順教授に心から感謝いたします．
本研究を進めるにあたりさまざまな助言および絵具のデータをご提供くださいました，
Univ Pierre et Marie Curie Mady Elias 教授，絵画解析の専門家の視点からのご助言やク
ロスセクション観察手法のご指導をいだたきました森田恒之先生，古典油彩画研究に関す
る有益な情報をくださいました筑波大学の蔡東生准教授，サンプルの測色にご協力いただ
きましたホルベイン工業株式会社の荒木豊様に心から感謝いたします．
また，本学助教髙田雅美先生には有意義な御助言をいただきました．深く感謝いたしま
す．城研究室の各位，篠沢一彦氏，福島昇氏には，さまざまな面で御助力をいただきまし
た．厚くお礼申し上げます．
59
参考文献
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glazes: explanation of the special color saturation, Applied optics, Vol. 45, No. 13,
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[10] Elias, M. and Cotte, P.: Multispectral camera and radiative transfer equation used
to depict Leonardo’s sfumato, Applied optics, Vol. 47, No. 12/20 (2008).
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参考文献
60
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[15] 森田恒之監修：絵画表現のしくみ，美術出版社 (2000).
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[17] IPA「教育用画像素材集サイト」
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[18] 視覚デザイン研究所編：巨匠に教わる絵画の技法，視覚デザイン研究所 (1998).
[19] マックス・デルナー：絵画技術体系，美術出版社 (1980).
[20] 蔡 東生，福本麻子，楜沢 順：古典油彩画における構造発色とそのレンダリング
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61
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色彩学会誌，Vol. 31, No. 4, pp. 292–297 (2007).
[31] W3C: http://www.w3.org/TR/html5/.
[32] ホルベイン工業技術部編：絵具の事典，中央公論美術出版 (1997).
[33] ホルベイン工業技術部編：絵具材料ハンドブック，中央公論美術出版 (1997).
63
付 録A
絵具の特性一覧
第 3 章でサンプル作製に使用した絵具の特性を表 A.1 に示す [32][33]．また，表 A.1 の
絵具が使用している展色材の比重と屈折率を表 A.2 に示す [14]．
絵具
表 A.1: 絵具の特性．
展色材
透明性
顔料の比重
粒径
屈折率
カドミウムレッド
亜麻仁油
不透明
4.9
小
2.64∼2.77
カドミウムイエロー
芥子油
不透明
4.5
小
2.35∼2.48
セルリアンブルー
芥子油
半不透明
4.9
中
1.84
ウルトラマリンブルー
亜麻仁油
半透明
2.8
大
1.50∼1.54
表 A.2: 展色材の比重と屈折率．
油名
比重
屈折率
亜麻仁油
0.930∼0.933
1.4780∼1.4810
芥子油
0.924∼0.927
1.477∼1.478
65
研究業績
査読付
1. 篠澤和恵, 楜沢順, 高田雅美, 城和貴 : 古典油彩画グレーズ技法シミュレーションの
高速化, 情報処理学会論文誌数理モデル化と応用 (掲載予定)
査読無し
1. 篠沢 和恵, 楜沢 順, 鉄谷 信二 : 油彩画の透層をシミュレートするグラフィックシステ
ム, 電子情報通信学会技術研究報告. PRMU, パターン認識・メディア理解 100(566),
165-172, (2001)
2. 篠澤和恵, 楜沢順, 高田雅美, 城和貴 : 古典油彩画グレーズ技法シミュレーションの
高速化, 情報処理学会研究報告，Vol.2012-MPS-90，No.7，pp.1-6，(2012)