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Bose-Einstein凝縮のシミュレーション −BECから発信される世界−
Bose-Einstein 凝縮のシミュレーション − BEC から発信される世界− 鹿野 豊∗ February 16, 2006 Abstract Bose-Einstein 凝縮の数値的実験を行った。その発表のための補助資料である。基本原理からスタートして、 Bose-Einstein 凝縮を表す GP 方程式の導出、そこからの研究の発展性について述べた。 1 Bose-Einstein 凝縮 [1] [2] Bose 粒子系1 を以下では考える。絶対零度に近い低温領域で最もエネルギーの低い 1 粒子状態 (基底状態) を占 めていた。温度が上がると、粒子は基底状態からエネルギーの高い状態へ励起される。しかし、基底状態かを占 めていた N 個の粒子が全て、瞬時に励起するとは考えられず、十分に低温では、励起状態にマクロの数の粒子が 残っていると思われる。その数は 1 g(0) = −µ/k B T −1 exp と表されるが、これがマクロの数でなくてはならないので、化学ポテンシャル µ は T = 0 から引き続きと µ ' 0 考えられる。 これによって、励起した粒子の数 N 0 とすると、 V m3/2 N (T ) = √ 2π 2 h̄3 Z 0 ∞ µ ²1/2 exp−²/kB T −1 0 d² = N T TC ¶3/2 よって、基底状態を占める粒子数 N0 は " 0 N0 (T ) = N − N (T ) = N 1 − µ T TC ¶3/2 # となる。 T = TC から原点にマクロな数の粒子が集まり始め、T=0 で全粒子が原点に集まることになる (参照、Fig.1)。 この現象のことを Bose-Einstein 凝縮 (以下、BEC) という。 ∗ 東京工業大学理学部物理学科 3年 1 同じ状態にいくつでも粒子は存在できる。 1 Figure 1: 基底状態を占める粒子数 N0 の温度依存性 1.1 Bose-Einstein 凝縮 小史 [3] [4] BEC の存在は 1924 年に Einstein が予言したものであった。超低温で理想ボーズ粒子が最低エネルギーに凝縮 する、という予想は、量子統計から導かれたものであったが、原子間相互作用とは無縁のものであったので、BEC は長い間数学上のものであると思われていた。 しかし、歴史的には，BEC が注目された実験はいくつかある。 1. 液体 He が，2.17K で比熱が発散する 2 次相転移を起こし、この温度以下では粘性がゼロに近くなる超流動 現象が P.L. Kapitza らによって発見された。F.London (1938) は、これを He 原子の BEC によるものだと いう説明した2 。 2. 水銀において発見された超伝導現象 (K. Onnes,1911) が、格子振動を媒介とする引力相互作用によって対を なしたクーパー対電子の BEC として説明がなされた (1957 Bardeen-Cooper-Schrieffer 3 )。 3. 超伝導と同じメカニズムで液体 3 He も超流動となることが理論的に予想され、実験でも数 mK の温度領域 で確認されている (1972)。 4. 半導体 Cu2 O 中の励起子において BEC の証拠が見いだされた (1993)。 しかし，これら液体や固体中では、粒子間の相互作用が高く、理論と実験との整合を確かめるには不確定な要素が 多かった。しかし、技術が発達し、レーザーを利用した冷却技術を用いた気体原子での BEC が 1995 年に実現し た4 。粒子間の相互作用の少ない気体で BEC を実現することは理論計算と比較する上で大きな前進となった。そ 24 He に対しての実験であった。 理論と呼ばれ、1972 年にノーベル物理学賞を受賞した。 4 Rb,Na,Li の三種類の Bose 気体で実現した。 3 BCS 2 して、これを契機に研究が進み、2 つの凝縮体の干渉や量子渦の発生・可視化といった実験も実現されるように なった。 2 実験で実現される BEC 2.1 レーザー冷却 レーザー冷却の原理を簡単に述べると次のようである。レーザー光は，周波数と位相がそろった電磁波であり、 エントロピーの小さい状態である。気体原子のエネルギー準位間を遷移することによる自然放出光の放出・吸収の スペクトルは、位相や進行方向がランダムであり、エントロピーの大きい状態である。したがって，レーザー光の 周波数を原子の共鳴周波数よりも低く設定し、レーザー光の周波数幅を自然放出光の周波数幅（自然幅）よりも 若干狭くすれば、原子系はエネルギーの低いレーザー光を吸収し、共鳴周波数付近の高いエネルギーの光を放出 する。結果として原子系からエネルギーが失われ、その分だけ温度が下がることになる．こうすることで，数百 µK 程度（ドップラー限界）までの冷却が可能になる。さらに偏光勾配冷却という技術で数十 µK 程度まで冷却， そして蒸発冷却で数 µK 程度から数十 nK まで冷却する。 ただし，一回の光吸収と放出では、それほど原子は冷却されない。原子が壁との衝突を避けるように原子を真 空中で捕獲する必要がある。また，超低温で気体が液化しないようにするためには、ファン・デル・ワールス力に よる束縛力に抗さなくてはならない。気体が凝縮する場合として、気体原子の「3 体衝突による束縛エネルギーの 運び去り」が，大きな要因である。これを避けるために、気体の原子数密度をある程度低く抑える必要があった。 これらを実現させたのが、1997 年ノーベル物理学賞をした Steven Chu,Claude Cohen-Tannoudji,William D. Phillips によって実現できるようになった。 2.2 BEC 実現 [5] BEC が実現したのは Fig.2 のようにレーザー冷却・磁気トラップ・蒸発冷却の技術を融合し、1995 年 6 月に実 験室天文学共同研究所 (JILA, Joint Institute for Laboratory Astrophysics) の Cornell-Wieman が Rb 原子で、9 月に MIT の CPritchard が Na 原子で BEC 生成に成功した。これまでに、アルカリ原子では 87 Rb、23 Na、7 Li、 41 K に実現している。 単に，ミクロな現象がマクロスコピックに観測されるだけなら、超伝導現象と同じである．原子 BEC の新しい 点は、対象が簡単な構造であるため、すべてのパラメータが実験的に制御可能なことである。環境変数を制御す ることにより、巨視的量子コヒーレンスや非平衡緩和過程を見ることが可能になり、理論と実験とのデッドヒート が見られるようになった。 3 理想 BEC 気体 [6] [7] 原子間の相互作用には次の２つがある． 1. 安定な原子がもつ斥力。力の到達距離は格子定数（数Å）のオーダー。 2. 双極子ゆらぎの相関に起因する弱い引力 (van der Waals 力)。原子間距離が 100 Å程度で効いてくる。 3 Figure 2: BEC 実現までの過程 弾性散乱する原子は、これら２つの力を感じることになる。低密度多体系の量子状態は、2 体散乱の前後での波動 関数の漸近的振る舞い（位相のずれ）で特徴づけられる。超低温の場合、低エネルギー散乱が支配的になり、2 体 散乱の相互作用の強さは、S 波散乱長 a によって特徴づけられる。|a| は相互作用の実質的な到達距離で、 • a > 0 なら斥力・位相シフト負 • a < 0 なら引力・位相シフト正 磁場がない状態では，87 Rb(a = 5.8nm), 23 Na(2.8nm), 1 H(0.065nm) は斥力，7 Li(-1.5nm), 85 Rb(-20nm) は引力 である。 平均原子間距離は、相互作用の到達距離に比べて十分大きいので、デルタ関数型のポテンシャルで置き換えるこ とができる。V (r) = U0 δ(r)。ここで，U0 は S 波散乱の場合に，U0 = 4πh̄2 a m である。この表式は a2 のオーダー まで正しいそうだ。この相互作用ポテンシャルに対する系を記述する波動方程式は、Gross-Pitaevskii (GP) 方程 式、あるいは非線形 Schrodinger 方程式と呼ばれる。具体的な式は、次のような形である。5 ih̄ ∂ h̄2 2 4πh̄2 a 2 ϕ=− ∇ ϕ + Vtrap (r)ϕ + |ϕ| ϕ ∂t 2m m これを [8] [9] を参考にしつつ、BEC 形成の数値実験を行った。出来たものは自己無頓着な GP 方程式を Crank- Nicholson スキームを用いて時間発展を数値的に解いた。そして、現在、研究上、実現されているもので以下のよ うなものがある。 1. 成長と崩壊を繰り返すパターン (7 Li) 2. 超新星爆発と同様の現象 (85 Rb) 5 トラップポテンシャル V trap 中の原子の初期状態から終状態へ遷移する確率振幅を経路積分を用いて導出し、そこから GP 方程式を導出 する。 4 3. 量子渦を発生させる (様々) 以上のものは実験的にもシミュレーション上も実現された事例である。これから先も、新しい現象が見つかるこ とを期待している。 3.1 成長と崩壊を繰り返す [10] Rice 大のグループは，7 Li に急速な蒸発冷却を行い、過冷却状態 (BEC 転移温度以下であるが、凝縮していな い状態) を生成，それを放置することで引力 BEC のダイナミクスを観測した。トラップされた中心部に BEC の 種が形成されると、まわりの原子を取り込んで BEC は徐々に成長してゆく。しかし、引力相互作用のため、臨界 原子数（千数百程度）を超えると不安定性のために BEC は崩壊し、原子数は数百に減少・再び成長を繰り返す、 という周期的な現象が見られた (参照：Fig.3)。 3.2 Bosenova 準安定な BEC は気体相にあり、数ミクロンの大きさである。ひとたび崩壊をはじめれば、原子集団は数?A の オーダーの反発芯が見えるまで収縮していくものと予想される。密度にして 1018 倍の圧縮である。B 原子密度が 高くなると、3 体衝突が起こりはじめ、束縛状態の形成に伴って数 K の巨大な潜熱が放出されるのでダイナミク スは単純ではない。潜熱が原子の運動エネルギーに転化されたら、原子集団は大爆発を起こす可能性があり、以 下のような実験報告がなされた。 3.2.1 実験報告 Colorado 大学の Wieman ら [11] は、次の実験結果をレポートした (参照：Fig.4)。 1. 104 個からなる 85 Rb の原子を，誘導磁場 Feshbach 共鳴（原子同士が衝突した際に一時的に束縛状態が形成 される状態）を用いて安定な BEC 状態にした。衝突前のエネルギーと束縛エネルギーが等しくなる近傍で は Feshbach 共鳴が起こり、S 波散乱長が大きく変わる（正から負へ自在に変えることができる）。この技術 により、原子の自己相互作用の大きさを変えるダイナミクス実験が可能になった。 2. 相互作用を斥力 (a ∼ 10nm) から引力 (a ∼ -1nm) へ変えると、BEC 状態は収縮をはじめ、実験解像度より も小さくなった後、約 5ms 後、バースト的な爆発が見られた。すなわち、ダイナミクスとしては、(1) decay of condensate (2) ejection and refocus of atomic bursts (3) jet formation の 3 段階が観測された。 3. collaps 後の状態は次の３つに分けられる。remnant (trap された中央部に残った密度の高い原子の塊、もち ろん臨界原子数以下、dense atomic cloud peaking around the center of the trap)、burst (dilute one that spreads broadly around the remnant BEC, 100nK 程度のエネルギー)、そして missing atoms である。数 の勘定が合わないので、missing atoms という分類を加えた。 4. burst は，非等方的であった。 これにより、超新星爆発 (Supernova) [12] [13] と類似する現象なので、「Bosenova」と名づけられた。 5 Figure 3: 成長と崩壊の現象 [10] 6 Figure 4: Bosenova [11] 7 3.2.2 理論 (数値実験) Saito-Ueda は、原子の loss 効果を含めた、Gross-Pitaevskii (GP) 方程式を数値的に積分することにより、Bosenova 現象を説明している [14]．GP 方程式は，BEC の平均場を記述するものとして広く使われているものであり， それまで BEC 斥力の場をよく表現できていた。引力場をどこまで記述できるかは不明であった。 彼らの解いた GP 方程式は次のようなものである。波動関数 ϕ の unitary time evolution として、 ih̄ ∂ h̄2 2 4πh̄2 a 2 ih̄ ϕ=− ∇ ϕ + Vtrap (r)ϕ + |ϕ| ϕ − (K2 |ϕ|2 + K3 |ϕ|4 )ϕ ∂t 2m m 2 これによって、(1) decay of condensate (2) ejection and refocus of atomic bursts (3) jet formation の 3 段階が 追実験できた。 ここから、Supernova と Bosenova は実験的に類似している現象なので、Bosenova 現象が数値実験できたこと は、Bosenova 現象から起こる Bose 宇宙物理学を創出しうる可能性を持っている。これでは、今までの宇宙物理 学と違い、数値的に実験することが可能になる可能性を秘めているという意味で、非常に意義があると思う。 4 最後に 以上、見てきたように BEC には様々な可能性を秘めており、非常に面白い。この先、更なる応用分野があるの かもしれない。20 世紀は「物理の世紀」、21 世紀は「情報・生物の世紀」と言っているが、私はむしろ、21 世紀は 「物理の応用の世紀」と位置づけるのが正しいのではないかと思う。そして、大きな可能性を秘めている BEC に 地球惑星科学の視点からも示唆できる部分はたくさんあると思う。活発な意見交換と更なる分野の拡大を願って いる。 そのためには、学科内だけでなく学科を飛び越えた交流、学校、国を飛び越えた交流が必要であり、私は東工大 物理学科内でそのようなムーブメントが起こるような仕掛けを現在、作っている。 References [1] 長岡洋介. 統計力学. 岩波基礎物理シリーズ. 岩波書店, 1994. [2] H. Smith C.J. Pethick. ボーズ・アインシュタイン凝縮. 吉岡書店, 2005. 町田 一成訳. [3] 真貝寿明. 一般相対論ジャーナルクラブ. http://atlas.riken.go.jp/ shinkai/clubJ/clubJ.html. [4] 藪博之. ボーズ・アインシュタイン凝縮 目で見る極微の力学の世界. 高校生のための現代物理学講座, 2003. [5] 上田正仁. レーザー冷却された中性原子気体の bose-einstein 凝縮. 日本物理学会誌, Vol. 53, No. 9, p. 663, 1998. [6] W. Ketterle J.R. Amglin. Bose-einstein condensation of atomic gases. Nature, Vol. 416, p. 211, 2002. [7] 上田 正仁斎藤 弘樹. レーザー冷却された中性原子気体のボーズ・アインシュタイン凝縮-引力系を中心とし て-. 固体物理, Vol. 36, No. 6, p. 311, 2001. 8 [8] 川畑有郷. 電子相関. パリティ物理学コース. 丸善, 1992. [9] 赤坂隆. 数値計算. 応用数学講座. コロナ社, 1967. [10] I. Prodan R.G. Hulet J.M. Gerton, D. Strekalov. Direct obeservation of growth and collapse of a boseeinstein condensate with attractive interactions. Nature, Vol. 408, p. 692, 2000. [11] S.L. Cornish J.L. Roberts E.A. Cornell C.E. Wieman E.A. Donley, N.R. Claussen. Dynamics of collapsing and exploding bose-einstein condensates. Nature, Vol. 412, p. 295, 2001. [12] 柴崎徳明. 中性子星とパルサー. NEW COSMOS SERIES. 培風館, 1993. [13] 椛島 成治矢部 孝. パソコンによるシュミレーション物理. 朝倉書店, 1992. [14] Masahito Ueda Hiroki Saito. Mean-field analysis of collapsing and exploding bose-einstein condensates. PHYSICAL REVIEW A, Vol. 65, p. 033624, 2002. 謝辞 2004 年度の地惑巡検の際に、藤本 正樹先生と出会い、たくさんお話をさせていただいたことから今回の授業の 受講となった。あの時のアメリカでの出会いが無かったら、シミュレーションの楽しい経験はさせていただけな かったであろうと思う。このような機会を与えていただいた藤本 正樹先生に感謝したい。 また、数値計算を一から懇切丁寧に教えていただいた篠原 育先生、また TA の山城 かすみさん、中村 佳太さ ん、山崎 太陽さんにも計算スキームの話から雑談までたくさん教えていただいた。感謝を申し上げたい。 今回、BEC というテーマを選定したのも 2005 年の世界物理年の機会を通じて、1997 年ノーベル物理学賞受賞 者6 Dr.Steven Chu と Dr.Claude Cohen-Tannoudji と出会い、量子力学の魅力を感じたからである。理論的な側面 を支援した 2003 年ノーベル物理学賞受賞者7 の Dr.Anthony J. Leggett 8 とあわせて、感謝したい。そして、今回 のテーマを選ぶ上で、 「果敢に挑戦せよ」とメッセージをくださった 1957 年ノーベル物理学賞受賞者9 の Dr.Chen Ning Yang 10 、日本学術会議会長の黒川 清先生11 、元電気通信大学学長の有山 正孝先生12 をはじめ、多くの方に 今回の無理難題な問題にチャレンジするアドバイスをいただいた。感謝を申し上げたい。 また、今回の数値実験に関しては、東京工業大学理学研究流動機構助手の斎藤 弘樹先生に引力 BEC の数値的 安定性の問題、Bosenova の数値実験的難しさについて、原子間ロスを含めた GP 方程式について、更には実際の 研究で使用したプログラムソースまで公開していただき、大変参考になったと共に、非常に勉強になった。今回 の数値実験は斎藤先生なくして出来なかったであろうし、これほどまでに深い考察ができたのは、斎藤先生との 議論の末に生まれたものであるものが大半である。非常に感謝すると共に、今後の研究室配属も含めた大きな参 考となった。 また、最後になったが、今回の受講をした友達を含め、ここには書ききれないほどの人にアドバイスをいただ いたり、やる気を出させてもらった。感謝をし、今後とも、この縁が切れぬように私自身努力していきたい。 6 受賞理由はレーザーを用いた原子トラップ、冷却の手法の開発 7 受賞理由は超伝導・超流動の先進的研究 8 Leggett は親日家であり、私も勉強している世界エスペラント協会で活躍されている。 9 受賞理由はパリティの破れの理論的発見 10 楊先生には、個人的にも encourge していただいた。 11 東京大学医学部第一内科名誉教授。挑戦し続けることの意義を教えていただいた。 12 世界物理年で今でも一緒に仕事をさせていただいている。私のことをいつも指導していただいてる。 9 連絡先 今回の発表結果、レジュメに関しては以下の HP でも公開予定です。 また、ご質問・ご感想は以下の連絡先までお願いします。 鹿野 豊 東京工業大学理学部物理学科３年 [email protected] http://www.geocities.jp/shikano_yutaka/ 10