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2 連立1次方程式
線形代数 1 資料 No. 3 担当:松田 晴英 2 2.1 連立 1 次方程式 基本変形 練習問題 1 次の連立一次方程式を求めよ。 2x + y + z = 7 ··· ° 1 x + 2y − z = 2 ··· ° 2 3x − 2z = −3 · · · ° 3 解答 x = ,y = ,z = 解説 連立方程式を機械的に解くために,以下に従って解きます。(便宜上,1 番上の式を『第 1 式』,上から 2 番目の式を『第 2 式』,上から 3 番目の式を『第 3 式』とよびます。) (1) 1 番上にある式の x の係数を 1 にする。こ (4) 第 1 式,第 3 式の y を消去する。このため のために,第 1 式と第 2 式の位置を入れ替える。 に,第 2 式の両辺を −2 倍して第 1 式に,第 2 式の両辺を 6 倍して第 3 式に加える。 ··· ° 2 x + 2y − z = 2 +z =4 ··· ° 20 x 2x + y + z = 7 ··· ° 1 3x y − z = −1 · · · ° 1 00 − 2z = −3 · · · ° 3 −5z = −15 · · · ° 3 00 (2) 第 2 式と第 3 式の x を消去する。このため (5) 一番下にある式の z の係数を 1 にする。こ に,第 1 式の両辺を −2 倍して第 2 式に,第 1 のために,第 3 式を − 1 倍する。 5 式の両辺を −3 倍して第 3 式に加える。 x +z =4 ··· ° 20 ··· ° 2 x + 2y − z = 2 y − z = −1 · · · ° 1 00 0 −3y + 3z = 3 ··· ° 1 z=3 ··· ° 3 000 −6y + z = −9 · · · °0 3 (6) 第 1 式,第 2 式の z を消去する。このため (3) 上から 2 番目にある式の y の係数を 1 にす に,第 3 式の両辺を −1 倍して第 1 式に,第 3 る。このために,第 2 式を − 13 倍する。 式を第 2 式に加える。 = 1 ··· ° x + 2y − z = 2 · · · ° 2 00 2 x y − z = −1 · · · ° 1 00 −6y + z = −9 ··· ° 30 y =2 ··· ° 1 000 z=3 ··· ° 3 000 以上で解が得られましたが,上で使った変形は以下の 3 つでした。 (1) 2 つの式を入れ替え る。(2) 1 つの式に 0 でない数をかける。(3) 1 つの式に他の式の定数倍を加える。 1 上の解説における (1)∼(6) の変形は連立方程式の拡大係数行列に対して,次の 3 つの変形(行 列の基本変形)を施し,係数行列を単位行列に変形することと同じです。 ¶ ³ (1) 1 つの行に 0 でない数をかける。 (2) 2 つの行を入れ替える。 (3) 1 つの行に他の行の定数倍を加える。 µ ¶ ´ ³ a11 x + a12 y + a13 z = b1 a11 a12 a13 x b1 連立方程式 a21 x + a22 y + a23 z = b2 つまり,a21 a22 a23 y = b2 が 1 組の解を a x + a y + a z = b a31 a32 a33 b3 z 31 32 33 3 a11 a12 a13 b1 もつとき,その解は拡大係数行列 a21 a22 a23 b2 を次のように変形して得られる。 a31 a32 a33 b3 (1) (1, 1) 成分が 1 となるように 1 行目に 0 でない数をかける (または他の行と入れ替える)。 (2) (2, 1) 成分が 0 となるように 1 行目の定数倍を 2 行目に加える。 (3) (3, 1) 成分が 0 となるように 1 行目の定数倍を 3 行目に加える。 (4) (2, 2) 成分が 1 となるように 2 行目に定数倍をかける (または第 3 行と入れ替える)。 (5) (1, 2) 成分が 0 となるように 2 行目の定数倍を 1 行目に加える。 (6) (3, 2) 成分が 0 となるように 2 行目の定数倍を 3 行目に加える。 (7) (3, 3) 成分が 1 となるように 3 行目に 0 でない数をかける。 (8) (1, 3) 成分が 0 となるように 3 行目の定数倍を 1 行目に加える。 (9) (2, 3) 成分が 0 となるように 3 行目の定数倍を 2 行目に加える。 µ ´ 練習問題 3. 教科書 22 ページ問題 2.1 の 2.(3) を解いてください。 今日のまとめ :教科書 19∼22 ページ 復習問題 :教科書 22 ページ問題 2.1 の 2. 次回とその次の回 :教科書 23∼33 ページを 2 回に分けて解説します。 2