課 題 学 習 の 周 辺 -

岡山大学井放 ･数学教育竿会誌
『パ ピルス』 箭 l号 日9
9
4
年 )5
5
頁∼61
貢
課 題 学 習 の 周 辺
星形正多角形 を中心課題 に して 川
田
勝
彦
倉敷市立連島中学校
謙虚学習 r
星形正多 角形｣の周辺 にあって ,詐題 とな りうる題材 を蹄査 した .
r
斉金比｣ ,
r
フイボナ ッチ赦 ｣ ,
r
非平面的グラ フ｣ ,
｢
正多 角形の作図｣ ,
r
円形 ビリヤー ド｣ ,
rト-ラス結 び 目J などの,数学的 に興味深い題材 机
生
徒 にとっては未知 の数学 の原石 となって いることが分 かった｡
これ らの題材 をも とに して課題学習 を実施す れば,数学 の無題 と して その良 さ
や美 しきを学び と り,数学 に対す る望 ま しい感度 の育成 が期待 され る｡
1.は じめに
2.斉金比
平成元年度 と 2年度 の 2年間 に,筆者 は ,
｢中学校赦学科における課題学習の研究 ｣
と題 して ,中学校 の生徒一人ひ と りに,教
古代 ギ リシャの ピタゴラス学派では ,下
の図の政孝 を使 って いた とい う｡ この星形
正五角形 をベ ンタクラム とい う｡
学 の課題研究 (自由研究) をさせ るための
内容や方法等 を滑べ ,課題学習 r
星形正多
角形｣ を岡山大学附属 中学校で実施 したd
無題学習は ,単 なる課題 の学習ではない｡
課題 が課題 を生み出 し,課題 を自ら学習す
チ
ることによって ,興味 ･関心 を増加 させ ,
正五 角形 の 1辺 の長 さと対 角線 の長 さの
新 しい課題 の解決へ と,意欲的 に放 り組む
比 を育金比 とい う｡ 1辺の長 さ を 1とす る
ような学習であ りたい0
本論文は ,星形正多角形 を中心 と して ,
と,対角線 の長 さ ては ,次のようになる｡
その周辺 の鹿材例 を研究 したものである.
※現在 は ,倉敷市立 半浦中学校 へ勤務中C
-5
5-
1+√ 5
2
この数 てを,斉金敷 とい う｡
3.フイボナ ッチ赦
東金比 は ,古来 ,調和 の とれたもっ とも
黄金数 での性質 を調べてみ る と,次の よ
美 しい比 とされ ,建築物 や彫刻 ,芸術作 品
うに, フイボナ ッチ数列 の数 と密接 な関連
の中に数 多 くみ られ る｡
があ るこ とが分 かる｡
線分 を 1 :Tの比 に分割す ることを,貫
て0=
金分割 とい う｡
1 -
で1 -で
縦 と横 の比 が,黄金比 1 :T,およそ ,
-
1
T
5:8になってい る長方形 を,斉金長方形
で2 =て +1 -
といい ,テ レフォ ンカー ドや名刺 ,新書判
T3 =て2 +て - 2で+ 1
サイズの書井 な どの形 に使 われて いるD
T4 =T3 +て2 =3て+ 2
TS = T4 +てユ ニ5て+ 3
TG =TS + て4 -8で+ 5
資金長方形 か ら正方形 を切 り取 った残 り
の長方形 は ,も との長方形 と相似 になって
で+ 1
ブイボナ ッチ赦 列は ,
い るb正方形 の 1辺 の長 さを半径 とす る弧
(
4分 円) をつなげてで きる妹娘 の形 を,
1,1,2,3,5,8,13, ･･ ･
で ,一般項 は ,次の ようにな るo
斉金城娘 というD
1
I (n)= フ
n
∩
手 (て - (-P)
)
さ らに,次の ことも分 かる｡
f (∩+1
)
n一0
0
慧
f (n)
ブイボナ ッチ数列 に関連す る問題 には ,
上 の図は ,ユー ク リッ ドの互 除法 を表現
兎の繋殖 に関す る間鬼 ,鰐段のぼ りの方法
してお り,黄金 敷 Tが分母 が 1の正則連分
に関す る問題 な ど,興味深 い問題 が多 くあ
数 に展 開 で きるこ とも分 かるB
る｡ また ,パ スカル の三 角形 の斜 めの数 の
T = [1;1, 1, 1, ･･･]
和 が, フイボナ ッチ数列 の数 になって い る
資金数 での逆数 p をリュカ鞍 といい ,
ことな ど関連す る話題 も多 くあ るB
1:て-P :1
フイボ ナ ッチ数 列 の数 は ,自然界 にも見
で あ るこ とか ら,東金比 を p :1と考 えで
られ る｡ た とえば ,マツ カサの リン片 や ,
も よい｡
ヒマ ワ リの種子 の配列 は , フイボ ナ ッチ数
列 になって いる｡植物 の兼 のつ き方 も , フ
なお ,A列や B列 の規格 の紙 の縦 と横 の
√ 2になって い る｡ 2つ折 りに
比は,1 :
イボナ ッチ数列 の数 になって い る｡
なお ,下 の数列 をリュカ救 列 といい ,ブ
しても ,4つ折 りに しても ,も との長方形
イボナ ッチ数列 と密接 な関連 があ り,一 部
と相似 になって い る｡
√ 2= [1 ;2, 2,2, ･･･]
のマ ツカサの リン片 の配列 になって いる｡
2,1,3,4,7,ll,18, ･･･
か らも,類似の性質 が見 られ る｡
※共金敷 と リュカ数 を区別 して扱 った｡
※以下 ,高等学校 で数列 と して扱 われ る｡
-
56
-
4.正多 角形の作図
円に内接す る正五角形 を作 図す るには ,
定親 とコンパ スだけ を使って ,正五 角形
中心 角が720 になるよ うに円周 を 5等分 し
て い くようにすればよい｡
の作 図がで きるD以前 は,技術 ･家庭科 の
複素数 を使 って , 1の 5乗 積 Uをガ ウス
興 国で ,正五角形 の作 図 を教えていた こと
平面 に表現す ることがで きる｡
もあるが,謙虚学習で扱 うことが可能 な題
朝で あ る｡
u
- cos ( 7
28) + i sJ
n (7
20)
ガ ウスは,正1
7角形 の作 図 を発見 した｡
u2 - cos (
1
44D)+ i si
n(
1
44p)
正 n角形 が,定規 とコンパ スだ けで ,作 図
21
60) + i s川 (
21
60)
u' - cos (
可能 となる条件は,次のようにな るO
U. - cos (
2
880)+ i sin (
2
880)
(
1
) 2のベ キであ る｡
(
2) フェルマー素数である｡
(
3) これ らの 2種類 の数の横であ るD
=2
フェルマー勅 とは , k
∩
と して ,
k
F n= 2 + 1
_ I_
:
:
:
の形の教 の ことで ,これ が素数であるもの
(1, u
を,フェルマー素軟 とい う｡
F D =2' + 1= 3
,u
2
,uf, u一)は,元 Uで
生成 され る位数 5の巡 回群 Cs である.
F 1 -27 + 1=5
CS は , 5 を法 とす る草敷群 Zの剰余群
F 2 = 24+1=1
7
ZS= (0, 1, 2, 3, 4)
F 3 - 2■+1=2
57
F
と,同型 な群 になって いるC
4-2 B+ 1=6557
正五 角形 を自分 自身 に移す よ うな,中心
1
これ らの数 が素数であったので ,フェル
のまわ りのすべての回転 ,および線対称 の
マーは, F n がいつも素数であるだ ろう
つ くる群 Ds を , 5次の二面体群 とい う｡
と予想 していたQ しか し,オイラーは,吹
Ds は,回転 uと操対称 Uで生成 され る
0の群であ り,Cs は , Ds における
位 赦1
の数 が合成数 であ ることを発見 した｡
指数 2の正規部分群 になって いる｡
F s - 2日 + 1-42
9
J
I
9672
97
Cz - (1, q)
= 6
41 × 670041
7
F
s
も , Ds の部分群 であ り, Ds は , Cs と
か らあ との数 は合成数 ばか りで ,
Cz の半直積 になっている｡
フェル マー素数は ,まだ発見 されて いない
ようである｡
なお,黄金 数 でとその逆数 p は,次のよ
うになっている｡
57角形や正 6557角形 も,定規 とコン
正 2
で-
パ スだけで作図できる｡
これ らは,授業 の中での ｢
数学 のお話 ｣
p
2 cos (
36o)
- 2 cos (
720)
として , トピック的 に扱 うことがで きると
※剰余 の考 えは,中学校で以前扱われ たD
考え られ る｡
-
5 7
-
5.円形 ビリヤー ド
下 図の よ うな正方形の台で .下 の矢印の
玉突 き (ビリヤ ー ド)の問児 とは,国の
C
B
方 向 に玉 を打 ち出す問題 を考 えてみ る｡
よ うな長方形 の台で ,
頂点0 から45Qの角度
458 の角度 で あたって
≡ ∠
同 じ角度で はね返 り,
打 ち出す 角度 を矢印の傾 きと考 えると,
頂点 A, ち ,Cの ところにあ る穴 に落ち込
傾 きが有期数 の時 には,駅 にあた った玉 が
んで止 まるまで同 じよ うにはね返 り続 ける
同 じ角度 ではね返 り,頂点 A, ち ,C の と
とき,下 の よ うな玉 の通 った軌跡 の規則性
ころにあ る穴 に必 ず落ち込 んで止 まる｡
で玉 を打 ち出 し,壁 に
O
A
_
これ は ,次の図 のよ うに考 えれ ばよい｡
を発見 させ る問題 であ る｡
規則 1 頂点 Oに戻 って こない｡
傾 きが無碍数 の
(
0,1)
規則 2 同 じ道 を決 して通 らな い｡
規則 3
時 には, どの穴 に
玉 は必ず落 ちて止 まる｡
も落 ち込 む ことな
縦 と横 の数 をm, nとす るとき ,軌跡 の
図形 を [m ln] と表す ことにす る｡
≡
(
0,
0)
m と nの最大公約数 を g とす る｡
正方形 の場合 の問題 とは ,視点 が変わって
この とき ,m- sg, ∩- tgで ,
いるが本質的 に同 じ問題 であ る｡ さ らに ,
G.
C.
M. (S, t) - i
台の形 を,円形 に変 えれ ば どうな るの か と
発展 的 に考 えさせ たい ｡
[m ln]- [s lt]
以下 ,m と nが互 いに素 な時 を考 える｡
円に内接す る正多 角形 の対 角嬢 が軌跡 に
な る埼合 は ,星形 正多 角形 になって いる｡
G.
C.
M. (m , n) - 1
規則 5
く,はね返 り続 け
_:
(1,
0) るこ とになる｡
玉突 きの台 の形 が長方 形 の場合 の問題 と
G
.
C
.
M
.(m, n)- g
規則 4
-
[m -n] が線 対称 にな るのは
円形 の台 で
mと nの どち らかが偶数 の ときで ,対柿 の
はね返 る時 に
軸 は偶数 の方 にな る｡
は ,円の接線
[m ln] が点対称 にな るのは
にあたって ,
m と nの両方 とも が奇数の ときで ,対杯 の
同 じ角度で玉
規則 6
中心 は長方形 の対 角線 の交点 であ る.
規則 7
2a
3
o
4
lm ln] で .玉 が落 ち込む穴
がはね返 るも
の とす る｡
円周上 の n等分 点 を m 番 目ご とに結 んで
の串所 は ,次のよ うにな るo
①
m が奇数 ,nが偶数 の とき
A
②
m が奇数 , nも奇数 の とき
B
③
m が偶数 , nが奇数 の とき
C
で きた図形 を,正 ∩/ m角形 とい う｡
例 えば ,上 の図形 は ,正 5/ 2角形 で あ
る｡
規則 8 壁 と (m +n) 回接触 す るB
規則 9
※以 下 は ,修 士論 文 に論述 した.
(m+ n- 2) 回はね返 る｡
-
58 -
6.非平面的 グラ フ
下 図の グラ フは ,完全 グラ フ K s で あ
円周 上 の 4等分点 を平面上 の直線 で結 ん
1
るが,平面 に埋 め込 めない｡ この よ うな グ
だ固形 では ,対角線
ラ フを,非 平面的 グ ラ フとい う｡
が交差す るところが
で きる｡ この交差点
0
をな くす には ,どち
2◇
3
らかの対 角線 を円周
の外 に出す よ うに動 かす しかない.
点 と点 のつ なが り方 を同 じに した まま,
･譲
次の よ うに図形 を変形 させ れ ば ,交差点 の
2_
ない図形 がで きる d
4
これ は 円周上 の 5等分点 を直線 で結 んだ
この よ うに平面 に
図形 で あ るが,次 の よ うな 6等分点 を直線
埋 め込 む ことがで き
で頼 んだ図形 を考 えてみ る｡
るグラ フを,平面的
3
l
臣
V
グラ フとい うD
相異 な る 2つの点 がす べて隣接 して いる
単純 グラ フを,完全 グ ラフとい う｡上 図の
グラフは ,完全 グラ フ K
4
B深
で あ る｡
さ
o
は ,各点 の次数 が 3に等 しくなっ
点 と点 のつ な が り方 を同 じに した まま,
て いるので , 3-正 則 グラ フで あ るo さ ら
図形 を変形 させ る と,下 回の よ うにな る｡
K
4
0
に ,3-連結 であ り,正 四面体 の グラ フに
1
2
∋‡
∈舞∈
もなって いる｡
一般 に,連結 平面 グラ フの頂点 赦 V,辺
A
数 e,面 赦 fにつ いて ,次のオ イラーの公
式 が成 り立つ ｡
B
C
これ は ,完全二部 グ ラ フK(
3,
3) であ る o
V-e+f-2
つ ま り, (0, 1, 2) と (A,B ,C)
V-e+fを,位相幾何学 においては ,
に分割 され ,同 じ集合 の点 とは決 して附接
オ イラ-棟数 とい う｡
せず に,異 なった集 合 のす べての点 と附按
して いる.
正多面体 が,正 四面体 ,正六 面体 ,正八
面体 ,正 十二面体 ,正二 十面体 の 5種類 し
K
S とK(
3,
3) が非 平面的 グラ フで あ
かない ことは ,オ イ ラーの公式 か ら導 くこ
る ことも ,オ イ ラー の公式 か ら尊 くこ とが
とがで きる｡
で きる｡
なお ,ケ一 二 ヒスベル グの 7つの摘渡 り
非平面的 グラ フは , K
S か K(
3,
3) の
細分 を部分 グラ フにもつ｡
の問題 は ,一筆書 きの問題 と して も知 られ
て いるが,オ イラー は ,陸地 を点 ,瑞 を腺
※オ イ ラー の公式 は ,中学校 1年 で扱 うd
と して ,-筆書 きで きない ことを示 した .
-
1
59
-
7. トー ラス結 び 目
T
(3, 2) を,三井結 び 目とい う｡
トーラス とは , ドーナツの表面 の形 を し
ミ
た曲面で ,位相競何学 では ,正方形 の向 か
い合 った辺 の横 の辺 同士 と,縦 の辺 同士 を
貼 り合わせ て構成す る｡
_
つ ま り,正方形 [0, 1] 之 において ,
(x, 0) ≡ (x, 1)
なお , T
(0, y) ≡ (1, y)
と同型 になって いる ｡
とい う同値 関係で ,辺 の上 の点 を同一視 し
(2, 3)
(5, 2) は ,次のよ うな結 び 目で
あ る｡ この図形 は ,正 5/2角形 を柵成 す
てで きる等化空間 T Z で ある｡
(
0,1
)
T
(3, 2) は , T
(1,1
)
≡ .
‥
重き
(
0,
0)
-- --
一
-
(
1,
0)
この車間 は,直稚空間 S
lxs l と
同相 になって いる｡ M を蛙綿 といい , L を
る際 にで きる交点 の ところで ,上 の線 と下
純綿 とい う｡
の線 を交互 に交差 させ てで きた図形 で あ る
下図の よ うな長方形 の対 角線 の傾 きは ,
と考 え られ る｡
3/ 2であ るが, トー ラス上 の閉 曲線 を表
している とも考 え られ るB
(
0,1
)
また , T
らないで ,次の よ うな絡 み 目にな る｡ この
(1,1
)
琴3田
(
0,
0)
(4 , 2) は ,結 び 目にはな
(1,
0)
こ
この閉曲線 は ,M 方 向 に 3回 , L方 向 に
2回まわ ってお り, (3, 2)型 の トーラ
ス結 び 目 T
ことは ,次の正則表示 か らも分 か る｡
二∴
r
(3, 2) とい う.
また ,次 の結び 目を, T
(3, 2) の
正則表示 とい う｡
:
_
_
:
_
⊥-
一般 に , T
(∩, 2) は , n が奇数 の
時は結 び 目で あ り, n が偶数 の時 は絡み 目
であ る｡
-6
0-
8.お わ Uに
だ が , その よ うな謙虚 学 習 の実 践 研 究 は
課題 学 習 は ,新 しい 中学 校 学 習 指 導 要領
あ ま りな され な かっ た よ うに思 わ れ る｡
の 目玉 の一 つ と して ,思 考 の過程 を重 視 す
筆 者 の辞学 の た め ,学 会等 へ の発 表 は控
る と とも に数 学 の有 用 性 につ いて の理 虜 を
えて い た が , この た び , ｢岡 山大 学 界赦 ･
一層 深 め るた め の ｢各 領域 の 内容 を総 合 し
数 学 教 育学 会 誌 J の創 刊 をお祝 い して投 稿
た り, 日常 の事象 に関 連 付 けた り した適 切
す る こ とに した ｡
な課 鹿 を設 け て行 う学 習 ｣ とされ た.
最 後 に ,大学 院 時代 に , ｢学 問 と して の
また ,生徒 の主 体 的 な学 習 を促 し,数 学
数 学 ｣ を厳 し く,あ た た か く御 指 導 い た だ
的 な見 方 や考 え方 の育 成 を図 り,数 学 を学
い た先 生 方 に心 か ら御 礼 を申 し上 げ た い ｡
ぶ こ との楽 しさや成 就 感 を体 得 させ る こ と
がね らい とな って い る｡
参考文 献
さ らに ,生 徒 自 らが課題 を兄 い だ し,価
[1]H.
S.
M.コ クセ タ- ,銀 杯
学 入 門 』 ,明 治 図書 ,1
9
6
50
々の生 徒 がそれ ぞ れ の到達 日額 に向 けて 多
[
2
]F.ハ ラ リィ ,池 田月 経 訳 『グ ラ フ坤
様 な ア プ ロー チ を可 能 にす るもの で あ り,
諭 』 ,共 立 出版 ,1
9
71
｡
個 々の生 徒 の実 億 にあ っ た学 習 の場 面 が設
[
3]川 田勝 彦 ｢中学 校 数 学 科 にお け る 自由
定 され ,様 々 な学 習 活 動 が展 開 され るも の
研 究 につ いて J , 日本 数 学 教 育学 会 誌 ･
で な くて は な らない とされ た｡
9
82
8
岡 山大 会特 集 号 ,1
筆 者 は ,中学校 の生徒 一 人 ひ と りに ,教
[
4]文 部 省 『中学 校 指 薄 青 数 学 絹 』 ,大 阪
学 の無題 研究 (自由研 究 ) をさせ る試 み を
9
8
9｡
'
S 籍 ,1
1
6年 前 か ら実 施 して きた ｡ ま さ に , ｢課題
[5]川 田勝 彦 ｢中学 校 数 学 科 に お け る評 価
学 習 ｣ そ の も の の実 践 で あ っ た｡
岡 山大学 大学 院 で は ,
浩 訳 『触 何
r
無 題 とな りうる
に つ いて｣ , 日本 数 学 教 育学 会誌 ･愛 娘
9
9
0｡
大 会 特 集 号 ,1
題材 ｣ を,各社 の教 科 書 を中心 と して調査
[
6]川 田勝 彦 『中学 校 数 学 科 に お け る課 題
し,デ ー タベ ー ス を作 成 した o そ の際 ,図
9
9lc
学 習 の研 死 』 ,修 士 論 文 ,1
形 の領域 には , ｢課題 とな りうる題 材 ｣ が
l
7]文 部 省 『帽桃 李踊 帥 指 串 計 画 の作 成 と
多 くあ っ た が ,典 型 的 な課題 とも い うべ き
9
91
｡
学 習 指 導 の工 夫 』 ,大 阪苔 耕 ,1
｢星 形 正 多 角形 ｣ を研 究 の 中心 と した ｡
[
8]鈴 木 晋 - 『結 び 目理 論 入 門 』 ,サ イエ
｢
星 形 正 多 角形 ｣ の周 辺 にあ っ て ｢課題
9
9
1｡
ンス社 ,1
とな りう る題 材 ｣ を研 究 した結 果 ,数 学 的
[
9]文 部 省 『中開 節 約 帥 学 習 指 導 と評 価 の
に興 味 深 い題 材 が多 くあ り,それ らが生 徒
9
9
3｡
改 香 と工 夫』 ,大 日本 図書 ,1
に とって は未 知 の ｢
数 学 の原 石 ｣ にな って
[1
0]根 本
い る こ とが分 かっ た ｡
博 『f芋川 に呈づく中辛棚 鞘 授 兼 刺 通 の
視 点 と指 導 細 案
これ らの題 材 をも と に して ,課 題 学 習 を
課題 学 習 』 ,明治 図書 ,
1
9
9
3｡
実 施 す れ ば ,数学 の課 題 と して そ の良 さや
[
11
]河 野 俊 文 『組 み ひ も の数 理 』 ,遊 星 社 .
1
9
9
3｡
美 しき を学 び と り,教 学 に対 す る望 ま しい
感 度 の育成 が,
q 持 され る｡
(
平成 6年 3月 30日受理 )
1
6
1
-