Page 1 京都大学 京都大学学術情報リポジトリ 紅

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量子通信理論 : 通信路容量無限大の光通信を目指して(基
研長期研究会「進化の力学への場の理論的アプローチ」
報告,研究会報告)
広田, 修
物性研究 (1988), 51(2): 155-159
1988-11-20
http://hdl.handle.net/2433/93501
Right
Type
Textversion
Departmental Bulletin Paper
publisher
Kyoto University
｢進化 の力学- の場 の理 論的 アプローチ｣
3)
A･
H･Guth,ph
ys･
R
ev･
週 ,
34
7(1
981)･
4)
K.Sat
o,Mon.
N
ot.
R
o
y.
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on.
Soc.
⊥鎚 ,
4
67く1
981
),
5)H･Mat
sumot
o,Z･Ph
ysi
kCi4,
335(1
98
7)･
量子通 信理論
通
信
路
容
量
無
限
大
の
光
通
広田
信
修
を
目 指
し て
(
玉川大学 )
1..まえが さ.
情報理論の骨格が科学技術の主要理論 として定
着 して以来 4
0年が経過 し.現在では極めて多岐に
わたる分野に多様 な影響を与 えている. シャノン
の理論体系が今 日人類が生み出した主要理論の一
シャノンの理論は信号の物理学 とは直接的な関
つ として深 く受け入れ られているのは.その理論
係 はな く, また信号 と雑音の実体 は完全 に独立な
が皇宮な技術 や応用 を生み出す能力を備えている
概念である. これは彼の理論が古典物理学 に従 う
か らである.
信号や雑音の通信系のみを統括する, または通借
シャノンの情報 (
通僧)理論の中核の概念 は"エ
用デ ィバ イス とは全 く独立 であ る ことを意味す
ン トロピー'
'による情報丑の計丑化である.エン
る. この ような性質は一面は利点であるが,通信
.
トロビーは長 く知 られているように熱統計力学の
科学 に対 しては欠点 となる.
基礎で もある_ また数学 においてもエン トロピー
の概念は数学の基礎問題 を解析するための重要な
1
96
0年メイマンによってレーザーが発明 され,
光通信 の可能性が クローズア ップされた.光 は
手法の一つ となっている. このようなわけでエン
1
01̀Hz以上の高い周波数をもつため,その実体は
トロピーを情報通倍,物理,数学,拡大解釈すれ
丑子力学 によって説明されるものである.光の物
ば宇宙の根本的な概念 とみなしたいと思 うのは当
理的特性 を全で利用 した通信科学 を完成 させ るた
然の成 り行 きであろう. したがってエン トロピー
めには, シャノンの理論に量子力学的特性をもつ
の魅力にとりつかれた研究者は数知れない.各分
信号や雑音を伴 う通信系を統括するための補正を
野においてエ ン トロピ†に関する有益な理論が構
加 えた "
光通信理論"(
あるいは量子通信理論)を
築されているようではあるが,情報通倍の分野で
発展 させ る必要がある. これはシャノンの平均相
l
事シャノンの定義 したエン トロピーを越 えるもの
互情報量
I
(
X,Y)-H(
X)
-H(
XI
Y)
=H(
Y)
-H(
YJ
X)
はない.むしろ,種々のエン トロピー理論におい
ても情報通借の概念に対応やせれば全てシャノン
(1)
のエントロピー と等価 になる. シャノンのエン ト
に,通信路の入力から出力に至 る信号系の物理学
ロピーは通信科学 とい う極めて深淵なバ ックグラ
による極 めて複雑な拘束 を与 えることを意味 す
ウンドを伴 うものである.
る. これによって,通信のノく
⊥ ドウェア と記号上
の理論であるシャノンの理論を統一的に論ずる羊
-1
55-
研究会報告
とが可能 となる.すなわち,
･
信号の物理的特性や
現象によって通信系の伝送可能な情報丑が決 まる
のである.これは一見容易に見 えるが この理論の
体系化は極めて難 しい.
を満足する非負 He
r
mi
t
e作用素である(
詳細は文
献 4).5)を参照)
.光信号 (
A,p) を測定過程
t
x(
3.
)
)によって測定 した時,その測定値の確率
は
p(
xh
)-Trp
X(
xn
)
･
新しい通信技術を求めて光の通僧理論の開発を
試みた最初の研究者は D.
Ga
borであるl
)
.彼に続
(3)
いて J
.
P.
Co
r
do
n,
高橋秀俊2㌧H.
A.
Ha
usらによ
と表わされ, この確率による平均値 く
xn
)嘩情報
源の情報に対応する僧号の値 となる.また分散は
n
de
l
,
って光通信過超 の特徴 が分析 され.Ma
雑音の屯力に対応する.このように信号 と雑音(
丑
Gl
a
u
b
e
rら即によって光の量子 ゆ らぎと発光過程
子雑音)は不可分 となり,同時にその雑音特性は
の相関などが議論された.彼 らの研究 は光の領域
丑子力学の原理 に拘束されることになる.一例 と
の雑音現象 (
量子雑音)の分析が主題 となったた
して,孟子状態 をコヒーレン ト状態,測定過程を
め,通信 システムには至 らず, むしろレーザー,
光子計数 とすれば式 (3)は
p(
n)- Trl
a
)
く
ql
n)くn
l
光導波路,光検波器の理論的バ ックグラウン ドに
9
7
0
寄与することとなった. これ らを基礎 とし,1
年代に光通信用半年体 レーザー,光 ファイバー,
光ダイオー ド等々が実用に供せ られるまでに発展
し,今 日の光ファイバ通信 システムが実現 した.
-･
#
(
4)
e-.
q"
とな り,現在の光通信に現われる光電ショット雑
音 を表わす.
しかし, これらの光通信は光の古典的な性質のみ
を利用 したものであ り,光の潜在的能力のほんの
一部の利用にすぎない.
光 を通信媒体 とする以上.
光の量子的側面 も利用すべ きであろう. しか しこ
れを実現するには前述のように情報理論の補正が
必要不可欠である.
1
9
6
7年 に C.
W.He
l
s
t
r
o
mlIは量子力学 に従 う
信号の検出理論を提唱 し,現在 の光通僧理論のス
ター トを切った.シャノンの理論が僧号系の物理
l
s
t
r
o
m は情報伝送
と独立であっ.
A
.
=
のに対 し,He
の理論に物理学的な拘革を付加 することによって
通信理論から新 しい通信技術,新 しい通信ディバ
イスを予言できることを示唆 した. このような能
2｡
量 子 通 信 理 論 の数 学 的 理 論
2
-1 光通信過程のモデル
･通信システムの理論構築にあたって丑も基本的な杜念
は.通信路 のモデル化 とその数学的記述である.
'
我 々は
ここに光通信通夜 の点も一般的なモデル を与え､その数
学的背景 を明確 にす る.
まず光通信過種 を図 1
のようにモデル化する. この図
において情報源.情報源符号化は従来の概念 と同一であ
る.光通信では図 1
のように丑子送信機が構成 される.
第 1
ブロックは光の どのパ ラメータに情報 を変胡す るか
ブ ロックでは通信路 に適切な信号 の皇子
を決定 し,弟 2
力をもつことで,初めて情報及 び通信理論が通信
の基礎理論 と称するものにな りうると筆者は確信
するものである.
He
l
s
t
r
o
m の基本モデルは,情報 を伝送する光
し,その物理
の物理丑を自己共役作用素 A で表わ.
丑は圭子状態 p(あるいは I
￠
〉)を伴 うも甲 とする.
さらに･
この物理丑を測定する装置を確率作用素測
皮 (
X(
Xn
)
)で表わす.確率作用素測度は
〟
h
S.
X(
x乃
)- I ･
(
恒等作用素)
(2)
状怨 を生成す る.第 3
プロ･
}クでは指定 された量子状腰
をアル ファベ ッ トとす る誤 り訂正称 号が塘成される.吹
に丑子伝送通信路 は送信丑子状怨の伝搬退避であ り.数
学的には丑子状悠変換写像によって記述 される.
の後半の部分でやは り .
3
ブロックに分
●光受侶故は回 1
解 される.茄 1プ ロ･
}クは重 信丑子状潜 を長瀬決定過程
ブロ
に都合のよい状軌 こ変換す ることを意味す る.弟 2
ックは光 か ら怒気 に変換する掛 こ発生す る丑子雑音 によ
って親走去れ る通 信端であ り.またそれは決定過種 を含
めることがで きる. この過良は確串作用素渦度によって
記述 され る.最後 に決定 された信号は従来 と同様､改号
化 されるものとす る.
-1
5
6-
｢進化 の力学へ の場 の理論 的 アプローチ ｣
2
2 数学的記述
2
3 玉子符号理論
(
a) 丑子伝送通信路
送摺丑子状淵の生成は光の発光過掛 こ強 く依存するが.
の非負 トレースクラスの息子状億の
ここでは トレース 1
光池倍系における符号理論の研究は今後の重要なテー
草)に述べ られた
マの一つである.ここでは文献 タ (9
丑子符号迎論の数学的記述 を示す.
i
q彩,xに属する要素の全てが生成可能とする.すなわ
垂r
J
.
は
ち送侶丑子状怨 p†
pTX
∈#
ます･i
削宮路 アル ファベットはヒ
∩ルベル ト空間 # Ty
引去 .@ 舛 T… 'の元 とな
の元であ り.n次拡大符号音
る.
Tメ
定義 1
0
. 情報源のシンボル系列から
p …
∈ ⑬ # TY.
･1,への写糠 を皇子
符号化と呼び, p 山 を丑子符号譜 と貞
義する.
この任意の丑子状胤 こ対す る通信路は正位媛形写像 によ
って記述される.ここで､送信丑子状瀬の HHbeTt
空間
舛T
l
), a
を ,,受信のそれを軒川とす る.また B (
(
如 x
)を 雑 T
l,hE
川上の有界繰形作用素の全体 とす
る.
#T
このような量子符号詔が図 1の通信系で伝送されるもの
とすれば.これ らの誤 り率特性は前節の数学を用いて記
述できる.
h 符号詔を
丑子符号請の全体 をpとし.it
p h - TLE1- ∈
p とする. it
h 澄子符号語は､量
子伝送通侶路によって
8(
〟.
∫
)から B (
〆T
*
)への正値線形
写像をよとする.
定義 2
. よ の共役写像をL.と記す.
L .がLb共役 とは任意の
定弟 1
.
〆
,q'∈a( RX) に対 して
p,l∈V T
T,
)
F
舛
(
i.
.p'
〆
.
pfり R叫 ,
.= ･
￡ ' p■
…
を意味すa
: T r p ,x (
よの
定義 3
. ￡ 'を丑子状憩変換写像 と定義する.
ガ
は
.
一
対
■
'1
T叫
,
とな り.次に丑子状億制御番によって
p‥ 吋 小
M
=
'`
以上 より,丑子伝送通信路はヱ●によって記述できる.
U .よ ● p…
川中
これより.受倍機出力にお.
ける符号藷の誤 り確率は
Po (
j= ) ･=
(
b)丑子滑走通信路と最適決定過程
･量子受信機 を構成する ･
3
つのブロックのうち,党侶長
子状怨制御は受信機入力丑子状憩から決定論的に新 しい
丑子状態 に変換せねばな らないので.これは一般にユニ
タリー作用素によって記述すべきである.すなわち
p●.RK
=
(
Ⅲ)
J (ェ)
述ベ古.丑子系での大きな特赦は. n次拡大時に特に現
れる.その∵例は次の定理であろう.
U p叩
定理 (
Ho1
8
VO
) :■n次拡大通信路の通信路容丑は
非加法的である.すなわち.
Cn
x (I)≧ O
, ヱ ∈R
x (
I) = ∑ x (zl)
Zi n
X J =中, 2- U zl
x (少).
=0
3｡
十 cm
< Cn七山
量 子 通 信 理 論 の具 体 化
量 子 通 信 理 論 の一 般理 論 は リー代 数 を用 い て
これによって受信出力は
p (I)●
= T, p-叩 X
…
-ただし.X`りJ (I)は n次拡張決定作用素である.
'このような誤 り確率の平均 を最J
J
l
にするためのパ ラメ
ータは極めて改姓なものとなるので,詐称 ま別の捜会に
次のブロックは光から電気に変換する過程であり.迫肌
皇子測定過程 と呼ばれる.この過程は非決定的な過程で
あ り､通信路 としてモデル化される.数学的記述は拙*
作用素甜度 が用いられる.確率作用瀬棚皮は次の条件 を
満足す るエル ミ｢ ト作用素である丁
目)
(a)
p-̀り ^x{I,エ
T,
･
研 究 が続 け られ て い る｡一 方 ､ この よ うな
抽 象 理 論 の具 体 化 研 究 も盛 ん に行 われて い る ｡
(
x)
以 下 に現 在 最 も関 心 を集 めて い る量子制 御
,
また X (
I)は単位分解であるので､受信機出力の全
問分割 を表す ことができる. したがって.受信過程 と同
時に決定機構 を表すことができる.詳細は文淑 (
f
HS
T
)
を参瓜されたい.
ー1
5
7-
通 信 の概 要 を述 べ る ｡
研究会報告
量子制御通信
の固有値方程式の軌
あるいは等価的 にコヒ-◆
レ
ン ト状態のユニタ リー変換
前述の式 (3)より光信号の測定 に際 しての玉子
J
a:
F
L
,
V
)
=Ula)
雑音は 2つの自由度 をもつ ことがわかる. 1つは
(
10
)
ただ し,
o
=
e
x
,
測定過程く
光受信機に対応).
他 は量子状態である.
6
a
ll '
l
i
'
l
il
｡
g(
2
k.1
'
'
He
l
s
t
r
o
m は量子状態 は自然界 によって決 まるも
h
のであるとし,
I
Q〉を固定 した時,量子雑音の影響
y=頂 前 T
p=凝
が最小になる制定過程 t
X(
a)
)を求 める理論 を展
となる.読 (9)を解 くことによってその波動関数
●閲 した. これは土子皐適受信機理論 と呼 ばれる.
彼 はこれによって既存の光受僧枚 よりさらに優れ
としての具体的な特性 を求めることがで きる.
た特性 をもつ光受付横の存在 を示 してみせや.
1
9
7
4年に Hi
r
o
t
aは逆 に光の量子状態 を制御 し
ぎが
この量子状態は複素振幅に対 してその量子 ゆ ら
-
o
l
e
rが
て通倍 を行 う概念 を提案.そ してそれは St
Axc
2 iIp-yl2
示 した "
最小不確定状態の同値類"の理論 によっ
A
x
至芸IL
p
て実現可能であると主波 した. 当時実験的に確認
･ yl
2
で きる量子状態 はコヒー レン ト状態のみであ り,
これは全 く空言のように思 われた. しか し同時期
とな り, j
Jあ早いは Vの制御によってそれぞれ ど
Yu
e
n`
)と彼 の仲間は量子 状態の制御の物理的方
ち らか一方を 1
/
4よりはるかに小 さ くで きる.平
(2光子過程) を含めた量子制御通信の理論 を
展開 し始めた,
均光子数一定条件のもとで xcあるいは 3.(
丑子
法
ゆらぎの小 さい方)に対 して信号対丑子雑音比 は
SNR-4
(n)(
(n)+1
)
以下 に Yu
e
nによって整備 された量子状態の制
･
御 について簡単 に述べる.
(
1
3)
となる･一方, コヒ｢レン ト状態では
SNT
P=4くn)
(
1
4)
となる･ この値は現在の光 ファイバ マヒ- レン ト
3 -1 2光子 コヒー レン ト状態
光 の代表 的 な土子 状 燈 は Gl
a
u
be
rの コヒー レ
通侶系の限界 を与 えている. したが?七式 く
1
3
)
が
達成 されれば通信の倍額性は格段 に長 くなる.
ン ト状態であ る. この量子状卿 ま塊 の複素振婿 を
( ,3.
)として
ヱ`
C
-Acos(a
)
i
+≠
)=Ac
o
s≠･cosa
J
t
-As
i
n≠･si
na
J
i
= 3c
co
sw
t
+3.
S
i
nα
I
t
(
5)
3
光の丑子的特徴の中で最 もポピュラーな･
ものは
光子であるが,量子状態制御は光源 として光子数
に対 してその量子 ゆ らぎが
血
血C
2･ ･
2= 去
'
-2 光子致確定状態
一定の光すなわち光子数確定状態の生成 もそのタ
ーゲ ッ トにおいている. この玉子状態 は当惑光子
･
(6)
数作用素 N = a
l
aの固有状態である.一般 に光
かつ
弓
血C
2= AS
･
2
は光子数 と位相の間に不確定性関係があ り .
(
7)･
An2･A42≧1
(
1
5
)
となる.厳密には位相は玉子力学的オブザーバブ
となる･式 (6)は He
i
z
e
n
be
r
gの不確定性原琴で
あ り, これを破 ることは不可能であるが,式 (7)
ル として定義できない.
の各量子 ゆ らぎの相対 値 は原理 的 には可変 で あ
コヒ- レン t状態の場合,.
式く
4)よ り An2 -
る.その代表 は St
o
l
e
r
Yue
nの 2光子 コヒー レン
くn)となる.光子数確定状態は An2
-0
,Aさし→∞
ト状擬である. これ は次 の一般化光子消滅作用素
(
実際 には 2
7
Tにわたって一様分布)の状態 に対応
b= J
L
a十ya'
する.近年 .･
コヒーレン ト状態 と光子数確定状態
(8)
の固有状態 として求 め られ る.ただ し,(
α,αつ は
u
b
po
i
s
s
o
n状態 の光
の中間のゆちぎをもつ光 を S
通常の光子消滅 ･
生成作用素,(
j
L
,V
)は I
J
L
l
2
-レI2
と呼んでいる.
この ような光 を光源 とした時,光検出器 を光子
=1を満たす複素数であ る. この関係は (占,ムー)
計数 とすれば信号対丑子牲音比 は
がボース粒子 の消滅 ･生成作用素であるためには
･
sNK芦 (n)
2
/
く
ふ〉
t
l+(
9{
2
'
-1
)
くn〉
) (
1
6
)
b
.b'
1- 1が要求 され ることによる.
交換関係 【
さて,2光子 コヒー レン ト状掛 ま
bl
a:
j
L
,
y
)≡(
F
L
U+J
J
q'
)
I
q:I
L
,
V
〉
(
9)
-1
5
8-
｢進 化 の力 学 へ の場 の 理 論 的 ア プ ロー チ ｣
この方式の問題点は弱い受信光か ら 2光子 コヒ
ただ し
g
t
2
,- (くn2〉-くn)
)
/
くn)
2
ーレン ト状態 を効率的 に生成 しうるスタイサーを
(
17)
で あ る. もし光子数確定状態で あれ ば gt2)= 1
いかに構成す るかである. しか し,送信 されて来
-1/
くn)となり,式 (
1
6
)は無限大 となる･
･すなわ
た光の丑子状態 を受信機 で加工 す るとい う概念
s
son光の極限が光子数確定状態 で あ
ち,Subpoi
は, 与れまで にない新 しい概念であ り今後の発展
が期待 される.
る.
33 量子状態の伝由
参考文献
通信 は信号を遠方に伝送せねばならない. した
がって王子状態の伝搬特性 は重要である.孟子制
l
a:
F
L,
レ
〉,
御 によって生成された非標準草子状態 (
I
n
)な ど)は残念ながら,エネルギ-頒のある通信
路ではその状態を維持で きない.エネルギーの損
失が あれば真空の'
ゆちぎが損失の率だけ浸み出 し
て くる.すなわち,送僧状態が 2光子 コヒ- レン
ト状態で あれば通倍路出力では
㌫-ワ
･
il
p-vI･(
トQ
)
･
･
与
ム㌫
-ワ
･
与I
p･レ作 (
ト7)･
与
Ax
2
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1
8)
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1
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如 n.E7
0
,N0
1
,
1
9
8
7
.
となる.
上式の右辺第 2項 目は真空ゆらぎである.
c
2
≪1
/
4として も,甲
したが ってた とえ送信側で Ax
≪1で あれ ばその特徴 は失 なわれ る. これ は,
Hei
s
enber
g不確定性関係がいかなる時で も成立
せねばな らないことに基づ くものである.
仰
一方,光子数確定状態に対 しては通侶路出力は
p(
nRl
n,
)-(
n:
)･が
.･(i-7)
(
2
0
)
と確率的なゆちぎが生ずる. したがって この まま
wa.T,
ms
.
1
0
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.1
9
8
7
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l
l
)X･Ya
ma
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)大矢,書見 広軌 亀子情報通信学会.輪文托 (
投稿
..
中)
で は童子制御は長距離通信には不向 きであるよう
に見 える.
通信 において頒失は不可避であり, こ
の損失により非積準状態の性質は破壊
される｡それでは,皇子通信の実現 は
不可能か と問われれば,答 えは-ノJ
である｡祖朱による性能封 ヒの影響 を
受 けない方式 として,筆者 らのグルー
プでは送信光にはコヒー レン ト状態 を
用い.受借倒で皇子状態変換 と共生ゆ
らぎキャンセル法 を用いる方式 を塩基
㌧〉
してい る ｡ システムの構成 はく図 2
の ようになる.
これ によって,誤 りゼロの光通信が
可能 となることか期待される｡
項2
-1
59-