テーマ B51： 逆関数 元の関数の x と y を入れ替えた関数を逆関数といい

埼玉工業大学
テーマ B51：
機械工学学習支援セミナー（小西克享）
逆関数－1/7
逆関数
元の関数の x と y を入れ替えた関数を逆関数といいます．ただし，逆関数は x とに対し
て y が一つだけ存在する範囲で定義しなければなりません．
逆関数を求めるには，次のようにします．
① 元の関数 y  f  x  を x に関して解いて， x  g  y  と表す．
② 関数 x  g  y  の x と y を入れ替えて y  g  x  とする．この y  g  x  が逆関数となる．
例１. y  x 2
y  x 2 を x に関して表すと
x y
となるので，x と y を入れ替えると，
y x
となります．このままでは同じ x に対して，y はプラスとマイナスの 2 つの値が存在する
ことになります．逆関数では x と y は 1 対 1 の関係になければならないため，場合分けが
必要になります．すなわち，
y  x2
x  0 の逆関数は y 
y  x2
x  0 の逆関数は y  
x
x
となります．
y  x2
x  0 と y 
x および y  x 2
 x  0 と y  
x の関数は図 1 に示すように直線
y  x に対して線対称となることがわかります．この例のように，逆関数と元の関数は直線
y  x に対して線対象となる特徴があります．
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逆関数－2/7
y
1
O
1
x
図1
例２． y  x 2  2 x  2
y  x 2  2 x  2 を x に関して表すと
y  x 2  2 x  2   x  1  1
2
x   y 1 1
となるので，x と y を入れ替えると，
y   x 1 1
場合分けを行うと
y  x2  2x  2
x  1の逆関数は y 
y  x2  2x  2
x  1の逆関数は y  
と な り ま す ． y  x2  2x  2
y  x2  2x  2
x  1 と
y
x 1 1
x 1 1
x  1  1 お よ び y  x2  2x  2
x  1の関係は図 2 のとおりです．
 x  0
と
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y
1
O
-1
1
-1
図2
例３． y  log x
自然対数 y  log x は指数関数を用いると，x に関して
x  ey
と表せるので，x と y を入れ替えると， y  log x 逆関数は
y  ex
となります． y  log x と y  e x の関係は図 3 のとおりです．
x
逆関数－3/7
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y
1
O
1
2
図3
例４． y 
y
1
x 1
1
を x に関して表すと
x 1
1
x  1
y
となるので，x と y を入れ替えると， y 
y
1
の逆関数は
x 1
1
1
x
となります． y 
1
1
と y   1 の関係は図 4 のとおりです．
x 1
x
e 3
x
逆関数－4/7
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y
1
O
1
x
図4
例５． y  sin x
y  sin x は逆三角関数を用いると，x に関して


2
x

2
の範囲において
x  sin 1 y

 
と表せるので，x と y を入れ替えると， y  sin x    x   の逆関数は
2
 2
y  sin 1 x

 
となります． y  sin x    x   と y  sin 1 x の関係は図 5 のとおりです．
2
 2
逆関数－5/7
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y
1
1
O
図5
例６． y  sinh x
y  sinh x 
e x  e x
を変形すると
2
2 y  e x  e x
e x  2 y  ex  0
e 2 x  2 ye x  1  0
この式は， e x に関して 2 次式となるため，解の公式より e x に関して
ex  y 
y2 1
となります．さらに， e x  0 でなければならないので，適する解は
ex  y 
y2 1
となります．x と y を入れ替えると，
e y  x  x2  1
となるので，両辺の対数を取ると，逆関数は

y  log x  x 2  1

x
逆関数－6/7
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逆関数－7/7
となります．この関数は y  sinh 1 x と表記されます．
y  sinh x 


e x  e x
と y  sinh 1 x  log x  x 2  1 の関係は図 6 のとおりです．
2
y
1.175
1
1
O
x
図6
問題．逆関数のグラフが元の関数のグラフと重なるものは次のどれか．
y  x3 ， y  x ， y  x  1 ， y 
1
1
1
， y   1， y  2 ， x2  y 2  1
x
x
x
x  0, y  0
解答．逆関数が元の関数に一致するものを探せばよいから，答えは
y x， y 
1
， x2  y 2  1
x
x  0, y  0
http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/InverseFunction.pdf
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