産業組織論 II 第3講: ゲーム理論の基礎1 ∼展開形ゲーム∼

産業組織論 II
第 3 講: ゲーム理論の基礎 1
∼展開形ゲーム∼
三浦慎太郎
2016 年 10 月 4 日・10 日
神奈川大学
1
概要
1. 展開形ゲーム．
➢ 時間差のある駆け引きの定式化．
➜ ゲームの木と展開形ゲーム．
➢ ゲームの木の解とは？
➜ 後向き帰納法と部分ゲーム完全均衡．
➢ 部分ゲーム完全均衡とナッシュ均衡．
2
1. 展開形ゲーム
3
展開形ゲーム
⃝
➢ 時間の経過を伴うゲーム．.
➜ あるプレイヤーが動いた後で他のプレイヤーが動く．
➜ 後手プレイヤーは，
自身
の行動を選択出来る．➱ 同時手番ゲームとの違い．
例： オセロ，チェス，将棋，囲碁．
4
⃝
.
➢ 六角橋ではサイゼリヤがファミレス需要を独占している．
➢ すかいらーくグループは，ガストを学生需要が大いに見込め
る六角橋か，競合店のない他地域に出店するかの選択に直面．
➢ 六角橋に参入しない場合：
➜ サイゼリヤは 50 万/月の純利益．
➜ ガストは他地域で開店し，確実に 10 万/月の純利益．
➢ 六角橋に参入した場合：
➜ サイゼリヤはガストと競争するか，協調するかを選択．
➱ 競争 ➪ 価格競争の結果，互いに 0 万/月の純利益．
➱ 協調 ➪ 共に高価格維持．各 20 万/月の純利益．
➢ このゲームは
に伴う意思決定問題を描写．
➜ このゲームはどのように定式化するか？ゲームの解は？
5
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
競争
0
0
10
50
協調
20
20
⃝ チェーンストア・ゲームの定式化．
➢ このような図を
と呼称．
➜ 逐次手番ゲームはゲームの木を用いて定式化する．
➢ ゲームの木を使って表現できるゲームを
と呼称．
6
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
競争
0
0
10
50
協調
20
20
⃝ ゲームの木の要素．
➢ 点（
と呼称）.
➜ プレイヤーが行動を選択するゲームの
を表わす．
➱ 上のノードがガスト，下のノードがサイゼリヤの手番．
➜ 点の傍に手番のプレイヤーを記載．
7
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
競争
0
0
10
50
協調
20
20
⃝ ゲームの木の要素 (続き)．
➢ 枝（
と呼称）.
➜ プレイヤーの
を表わす．
➱ 上のエッジがガスト，下のエッジがサイゼリヤの行動．
➜ エッジの傍に対応する行動を記載．
8
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
競争
0
0
10
50
協調
20
20
⃝ ゲームの木の要素 (続き)．
➢ ゲームは上から始まり，時間経過で下に進む．
➜ 初期点からある点までの枝の系列を
と呼称．
➜ 初期点から一つの終点までのパスを
と呼称．
➱ 上図はガストが参入し，サイゼリヤが協調するプレイ．
9
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
競争
0
0
10
50
協調
20
20
⃝ ゲームの木の要素 (続き)．
➢ ゲームは上から始まり，時間経過で下に進む．
➜ 初期点からある点までの枝の系列をパスと呼称．
➜ 初期点から一つの終点までのパスをゲームのプレイと呼称．
➱ 上図はガストが参入せずにゲームが終了するプレイ．
10
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
競争
0
0
10
50
協調
20
20
⃝ ゲームの木の要素 (続き)．
➢ ゲームのプレイは
である．
➜ プレイヤーは “帰結”に対する好みを持つ．➱
！
➜ 終点の数字は各プレイヤーの利得に対応している．
➱ 上の数字がガスト，下の数字がサイゼリヤの利得．
11
⃝
．
➢ 展開形ゲームの解の見つけ方．
➢ ゲームの終わりから順に，各プレイヤーが意思決定ノードで
何をするのかを決めていく推論方法．
➜ 直観的には，逆算的にスケジュールを立てることに近い．
➜ 例. 1 限の授業に遅刻しないためには何時に家を出るか？
❒ 授業は 8:50 開始．
❒ 白楽駅から教室まで徒歩で 25 分かかる．
❒ 最寄りの駅から白楽駅まで電車で 25 分かかる．
❒ 家から最寄り駅まで徒歩で 10 分かかる．
➱ 遅くとも 7:50 までに家を出ないと遅刻する！
➢ ポイントは
．
12
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
競争
0
0
10
50
協調
20
20
⃝ チェーンストア・ゲームを後向き帰納法で解く．
➢ サイゼリヤの意思決定：競争 or 協調．
➜ 競争を選択 ➪ 利得
を得る．
➜ 協調を選択 ➪ 利得
を得る．
13
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
競争
0
0
10
50
協調
20
20
⃝ チェーンストア・ゲームを後向き帰納法で解く (続き)．
➢ サイゼリヤの意思決定：
➜
，サイゼリヤは
を選択する．
14
ガスト
参入しない
参入する
20
20
10
50
⃝ チェーンストア・ゲームを後向き帰納法で解く (続き)．
➢ ガストの意思決定:
➜ ガストは参入後のサイゼリヤの行動を予測する．
➱
➜ 予測を基に，ゲームの木の参入後の結果を簡略化出来る．
➱ 将来のサイゼリヤの行動を織り込んでゲームを眺める．
➱ 上記のゲームの木がガストの直面している意思決定状況．
➜ このような簡略化したゲームを
と呼称する．
15
ガスト
参入しない
参入する
20
20
10
50
⃝ チェーンストア・ゲームを後向き帰納法で解く (続き)．
➢ ガストの意思決定 (続き):
➜ 参入するを選択 ➪ 利得
を得る．
➜ 参入しないを選択 ➪ 利得
を得る．
➢ ガストは
を選択する．
16
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
競争
10
50
協調
0
0
20
20
⃝ チェーンストア・ゲームを後向き帰納法で解く (続き)．
➢ 後向き帰納法で考えると，ゲームの解は
．
➜ 注: ゲームの解とは
．利得ではない！
➢ 逆向き帰納法で得られた解を
と呼称．
17
⃝ ナッシュ均衡と部分ゲーム完全均衡．
➢ ゲームの解とはナッシュ均衡だったのでは？
⃝
.
➜ 六角橋ではサイゼリヤがファミレス需要を独占している．
➜ ガストが六角橋へ参入するかどうか検討中．
➜ サイゼリヤは
，“値下げ (競争)”か
“高価格維持 (協調)”を選択する．(変更点)
➜ ガストが参入しない場合:
➱ ガストはよその地域へ参入し，利得 10 を得る．
➱ サイゼリヤは高価格維持を選択すると利得 50 を，値下げを
選択すると利得 30 を得る．
➜ ガストが参入した場合:
➱ サイゼリヤがガストと協調して高価格維持を選択すると，双
方利得 20 を得る．
➱ サイゼリヤがガストと値下げ競争をすると共に利得 0．
18
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
サイゼリヤ
値下げ
値下げ
高価格
高価格
0
0
20
20
10
30
10
50
⃝ 参入ゲームの定式化．
➢ ポイントはサイゼリヤの意思決定ノードが 2 つあること．
➢ ガストの選択に応じて
のノードに到達する．
➜ ゲームの展開次第では到達しないノードもある．
➜ 参入した “世界線”と参入しなかった “世界線”．
➱ サイゼリヤは両者を判別可能．
19
⃝ 展開形ゲームにおける戦略．
➢
➢ 戦略とは，プレイヤーの
である．
➜
選択するべき行動を指定したリスト．
➜ “場面 A では行動 1 を選択し，場面 B では行動 2 を選択．”
➢ 例. サイゼリヤの戦略@参入ゲーム．
➜ ガストの参入時と未参入時に選択すべき行動を指定．
➜ 戦略の例: “参入時は値下げし，未参入時は高価格維持．”
➢ 即ち戦略とは，
➜
➜ 例. 各プレイヤーの戦略の個数@参入ゲーム．
➱ ガスト:
➱ サイゼリヤ:
．
.
.
20
参入
→ 高価格維持
しない
→ 高価格維持
参入
→ 高価格維持
しない
→ 値下げ
参入
参入
→ 値下げ
しない
→ 高価格維持
→ 値下げ
しない
→ 値下げ
参入する
20; 20
20; 20
0; 0
0; 0
参入しない
10; 50
10; 30
10; 50
10; 30
⃝ 展開形ゲームの戦略形表現．
➢ 参入ゲームを利得行列を用いて記述する．
➢ ゲーム開始前に同時に行動計画 (戦略) を決めて神様 (GM) に
提出．神様は行動計画に基づき各プレイヤーを動かすと解釈．
21
参入
→ 高価格維持
しない
→ 高価格維持
参入
→ 高価格維持
しない
→ 値下げ
参入
参入
→ 値下げ
しない
→ 高価格維持
→ 値下げ
しない
→ 値下げ
参入する
20; 20
20; 20
0; 0
0; 0
参入しない
10; 50
10; 30
10; 50
10; 30
⃝ 参入ゲームのナッシュ均衡.
➢ ガストの最適反応は？
➜ (高価格，高価格) or (高価格，値下げ) ➪
➜ (値下げ，高価格) or (値下げ，値下げ) ➪
．
．
22
参入
→ 高価格維持
しない
→ 高価格維持
参入
→ 高価格維持
しない
→ 値下げ
参入
参入
→ 値下げ
しない
→ 高価格維持
→ 値下げ
しない
→ 値下げ
参入する
20; 20
20; 20
0; 0
0; 0
参入しない
10; 50
10; 30
10; 50
10; 30
⃝ 参入ゲームのナッシュ均衡 (続き)．
➢ サイゼリヤの最適反応は？
➜ 参入する ➪
➜ 参入しない ➪
．
．
23
参入
→ 高価格維持
しない
→ 高価格維持
参入
→ 高価格維持
しない
→ 値下げ
参入
参入
→ 値下げ
しない
→ 高価格維持
→ 値下げ
しない
→ 値下げ
参入する
20; 20
20; 20
0; 0
0; 0
参入しない
10; 50
10; 30
10; 50
10; 30
⃝ 参入ゲームのナッシュ均衡 (続き)．
➢ 3 つのナッシュ均衡が存在する．
➜
➜
➜
．
．
．
24
ガスト
ガスト
参入しない
参入しない
参入する
参入する
サイゼリヤ
サイゼリヤ
サイゼリヤ
値下げ
値下げ
20
20
10
30
値下げ
値下げ
高価格
高価格
0
0
サイゼリヤ
10
50
高価格
高価格
0
0
20
20
10
30
10
50
⃝ ナッシュ均衡解の解釈．
(
) (
)
➢
参入，(高価格，高価格) と 参入，(高価格，値下げ) ．
➜ この 2 つのナッシュ均衡は
．
➱ ガストが参入し，サイゼリヤが高価格維持．
➱ 違いは
サイゼリヤの行動．
➜ 均衡において実際に到達するパスを
，到達しない
と呼称．
しないパスを
➱ これらのナッシュ均衡の違いはオフパスの違いのみ．
25
ガスト
ガスト
参入しない
参入しない
参入する
参入する
サイゼリヤ
サイゼリヤ
サイゼリヤ
値下げ
値下げ
20
20
10
30
値下げ
値下げ
高価格
高価格
0
0
サイゼリヤ
10
50
高価格
高価格
0
0
20
20
10
30
10
50
⃝ ナッシュ均衡解の解釈 (続き)．
(
) (
)
➢
参入，(高価格，高価格) と 参入，(高価格，値下げ) ．
➜ ナッシュ均衡は
．
➱ オフパスの行動は
から．
❒ 例. 左の均衡でサイゼリヤがオフパスで値下げを選択．
❒ オンパスは無変化．(参入 ➪ 値下げ)．
❒ サイゼリヤの利得は 20 のまま．
26
ガスト
ガスト
参入しない
参入しない
参入する
参入する
サイゼリヤ
サイゼリヤ
サイゼリヤ
値下げ
値下げ
20
20
10
30
値下げ
値下げ
高価格
高価格
0
0
サイゼリヤ
10
50
高価格
高価格
0
0
20
20
10
30
10
50
⃝ ナッシュ均衡解の解釈 (続き)．
(
) (
)
➢
参入，(高価格，高価格) と 参入，(高価格，値下げ) ．
➜ ナッシュ均衡はオフパスの行動に無頓着 (続き)．
➱ ナッシュ均衡: 一人で戦略を変えても得をしない．
❒
を前提とする．
❒ この前提の下ではオフパスの行動は利得に無影響．
❒
27
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
サイゼリヤ
値下げ
値下げ
高価格
高価格
0
0
20
20
10
30
10
50
⃝ ナッシュ均衡の解釈
(続き)．
(
)
➢
参入しない， (値下げ，高価格) .
➜ サイゼリヤが “参入したら値下げするぞ”という脅しをかけ、
ガストがその脅しを真に受けて参入を断念した状況．
➜
➱ サイゼリヤはガストの行動を観察後に行動を決定．
➱ 事前では “参入後に値下げ”と計画していても，実際に参
入後は
．
➱ この脅しは信憑性のない
と言える．
28
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
サイゼリヤ
値下げ
値下げ
高価格
高価格
0
0
20
20
10
30
10
50
⃝ ナッシュ均衡の解釈
(続き)．
(
)
➢
参入しない， (値下げ，高価格) (続き).
➜ このような信憑性のない脅しを
と呼称．
➜
➱ 合理的なプレイヤーは空脅しを見抜き，屈しない！
➜ ナッシュ均衡の概念では
…．
➱ 空脅しはオフパスで発生する．
➱ ナッシュ均衡はオフパスの行動に無頓着だから．
➱ より洗練された解概念が必要．➪
．
29
⃝
➢
．
．
➜ 全体を個別の “パーツ”に分割してやろう！
➜ ただし各 “パーツ”もきちんとゲームであること！
➜ ゲームであるとは？
❒ 出発点はただ一つ．
❒ 終着点 (利得の書いてある部分) まで含まれている．
❒ ゲーム内の各終着点はこの出発点から必ず到達可能．
❒ この出発点を起点とする全ての終着点を含む．
➱ ゲームの木は上述の性質を満たさねばならない．
30
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
サイゼリヤ
値下げ
値下げ
高価格
高価格
0
0
20
20
10
30
10
50
⃝ 部分ゲーム (続き)．
➢ 参入ゲームには
の部分ゲームが存在する．
➜
．
➜ 全体ゲームも部分ゲームの１つとして数える．
31
⃝
➢
(SPE と省略することあり)．
➜ 部分ゲームが 1 人のプレイヤーだけで構成:
➱ そのプレイヤーが
を選択している状態．
➜ 部分ゲームが 2 人以上のプレイヤーで構成:
➱ プレイヤー間で
をプレイしている状態．
➢ 部分ゲーム完全均衡は
➜ “全て”の部分ゲームで行動の最適性を要求．
➜ 即ち
➜ 空脅しを排除出来る！
．
を要求．
➢ 部分ゲーム完全均衡の求め方:
.
➜ 一番後ろの部分ゲームにおける最適行動を指定．
➜ 上記を前提に一つ手前の部分ゲームでの最適行動を指定．
➜ 全体ゲームの出発点に辿り着くまで本プロセスを繰り返す．
32
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
サイゼリヤ
値下げ
値下げ
高価格
高価格
0
0
20
20
10
30
10
50
⃝ 参入ゲームの部分ゲーム完全均衡．
➢ 部分ゲーム A におけるナッシュ均衡を求める．
➜ サイゼリヤが最適な行動を選択していることを要求．
❒ 値下げを選択 ➪ 利得 0 を得る.
❒ 高価格を選択 ➪ 利得 20 を得る.
➜ サイゼリヤの最適行動は
である.
33
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
サイゼリヤ
値下げ
値下げ
高価格
高価格
0
0
20
20
10
30
10
50
⃝ 参入ゲームの部分ゲーム完全均衡 (続き)．
➢ 部分ゲーム B におけるナッシュ均衡を求める．
➜ サイゼリヤが最適な行動を選択していることを要求．
❒ 値下げを選択 ➪ 利得 30 を得る．
❒ 高価格を選択 ➪ 利得 50 を得る．
➜ サイゼリヤの最適行動は
である．
34
ガスト
参入しない
参入する
20
20
10
50
⃝ 参入ゲームの部分ゲーム完全均衡 (続き)．
➢ 部分ゲーム C(全体ゲーム) におけるナッシュ均衡を求める．
➜ 部分ゲーム A, B の分析からゲームを縮約する．
（上図）
➜ まず縮約ゲームにおけるガストの最適行動を求める．
❒ 参入するを選択 ➪ 利得 20 を得る.
❒ 参入しないを選択 ➪ 利得 10 を得る.
➜ ガストの最適行動は
である．
➢
である．
35
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
サイゼリヤ
値下げ
値下げ
高価格
高価格
0
0
20
20
10
30
10
50
⃝ 参入ゲームの部分ゲーム完全均衡 (続き)．
➢
．
➜ 部分ゲーム完全均衡は
！
(
➜ 空脅しを含んだナッシュ均衡 参入しない， (値下げ，高価
)
格) は部分ゲーム完全均衡の下では排除される！
36
ガスト
参入しない
参入する
サイゼリヤ
サイゼリヤ
値下げ
値下げ
高価格
高価格
0
0
20
20
10
30
10
50
⃝ 参入ゲームの部分ゲーム完全均衡 (続き)．
➢ 注意:
➜ 均衡とは
.
➜ サイゼリヤの戦略は
．
➱ オンパスだけでなくオフパスの行動もきちんと記述！
➜ SPE におけるサイゼリヤの戦略は (高価格，高価格)．
37
…ナッシュ均衡の集合
…部分ゲーム完全均衡の集合
全ての戦略の組
⃝ 部分ゲーム完全均衡とナッシュ均衡．
➢ 部分ゲーム完全均衡の集合はナッシュ均衡の集合の
➜ 要は一部分であるということ．
（上図参照）
➜ 部分ゲーム完全均衡ならば
である．
➜ しかし
➱ 例: 空脅しを含んだナッシュ均衡．
➜ 部分ゲーム完全均衡は
．
．
38
⃝ 部分ゲーム完全均衡の妥当性．
➢ 理論と現実の現象の間には無視できない差がある．
➢ 例: チェーンストア・ゲームを複数回繰り返す．
➜ 部分ゲーム完全均衡では，
が実現．
➜ 現実には参入後に競争になるケースも観察される．
➱
と呼称．
⃝ チェーンストア・パラドックスの解決法．
1.
のメカニズム.
➜ 前半回で敢えて競争を選択し，
「参入したら競争が起きて損
をする」という評判に信憑性があるとガストに信じ込ませる．
2.
.
➜ 現実の人間は合理性が限定されていると考え，合理性の仮
定を緩和した上でプレイヤーの意思決定を分析する．
➪
や
へ繋がる．
39
⃝ 1994 年ノーベル経済学賞受賞者：
ラインハルト・ゼルテン，ジョン・ナッシュ，ジョン・ハーサニ
『非協力ゲームの均衡の分析に関する理論の開拓を称えて.』
⃝ 部分ゲーム完全均衡はゼルテンによって定義された．
➢ Selten (1965, 1973, 1975)．
➢ ナッシュ均衡を強化する均衡概念の研究の発端となる．
➪ 一連の研究は
と呼称される．
➢ 2016 年 8 月 23 日没．
40
⃝ プレイヤーの行動に順序のあるゲームが
．
⃝ 逐次手番ゲームは
で描写し，
とも呼称．
➢
: プレイヤーの行動の手番を表わす．
➢
: プレイヤーの行動を表わす．
➢
: 初期点からあるノードまでの枝の系列．
⃝ 展開形ゲームは
で解く.
➢
: 後向き帰納法に基づき簡略化したゲーム.
⃝ 展開形ゲームのナッシュ均衡には
を含んだものがある.
➢ ナッシュ均衡は
については無頓着なので．
➜ オンパス:
.
➜ オフパス:
.
⃝ 空脅しを排除した
➢
➜ 部分ゲーム:
がゲームの解として妥当．
状態．
．
41