エネルギー機能材料学特論 第4回目 担当：西野信博 A3

エネルギー機能材料学特論
第4回目
担当：西野信博
A3-012号室
[email protected]
プラズマ実験装置NSTX(Princeton)
授業の内容
•
•
プラズマの運動方程式を考える前に，まず電磁場内での粒子の運動
を調べる。
これを、単粒子運動(single particle motion)という。
– 荷電粒子と電磁場との相互作用であるローレンツ力
– 特に,磁場内での運動
• 一様磁場
• 空間で一様でない磁場
• 時間的に変動する磁場
– クーロン衝突について
2
電磁場中で荷電粒子にかかる力
•
•
•
電磁場中の荷電粒子の運動を説明する。
一様磁場中では荷電粒子はサイクロトロン運動（円運動）することは
よく知られている。
第一回目の復習をすると，まず，電磁場中では荷電粒子はローレン
ツ力を受ける。
F  q E  v  B
広い意味でのローレンツ力は、
電場と磁場の力を意味する
•
•
•
ここに、Fは力、ｑは電荷、ｖは速度、Eは電場、Bは磁束密度である。
もし、E=0なら、
dv
 qv  B
よって、 m
F  ma  qv  B
•
力は磁場と速度に垂直。すなわち，これは磁場に垂直方向には円運
動の式である。
磁場と平行方向には磁場の力は働かない
•
dt
3
v  B の意味するところは
•
もし，プラズマ中の個々の粒子が互いに影響なく運動できるなら，
– 磁場に垂直方向には
• イオンと電子はそれぞれ
反対方向に回る円運動
– 磁場に平行方向には
• イオンと電子は自由に動く
•
すなわち,イオンと電子はらせん状に
動いている
•
どのように回転するのか試算して
みよう
4
サイクロトロン運動とサイクロトロン周波数
•
前に運動方程式から回転運動の部分をとる
dv
m
 qv  B, v  r
dt
qB
2

• から mr  qr B
m
•
•
•
毎秒の回転数は速度によらない
各粒子(q、m) により、毎秒の回
転数は磁束密度で決まる
この回転運動をサイクロトロン(ラーマー，Larmor)運動と呼び,その回
転周波数はプラズマの特性を表す基本的な量のひとつである。
例
e
 2.80 1010 B [ Hz ]
電子サイクロトロン周波数
［例えば、B=１Tで28GHz］
2
i
Z
 1.52 107 B [ Hz ]
2
A
•
質量数A,Z価イオンのサイクロトロン周波数
•
ちなみに, 2.45GHzは電子レンジの電磁波(マイクロ波）の周波数で
あるが，磁束密度が875gaussでの電子サイクロトロン周波数である
すなわち,かなり高い周波数で回転する
5
ラーマー半径
•
では，サイクロトロン運動の半径はどうか?
2
mr 2  qr B
•
•
•
•
•
mv v
r

qB 
v
m  qvB
r
この半径の事をラーマー（Larmor）半径という
特徴は，粒子速度に比例し，磁場に反比例すること，また，ｍに比例
することからいわゆる重い粒子はラーマー半径が大きい
電子とイオンが同じエネルギーの場合は,イオンのラーマー半径は電
子のそれより mi me / q 倍大きい
理由を考えよ
熱速度で表した電子のラーマー半径は
meTe 

e 
eB
miTi 

イオンのそれは i 
eB
1/2
1/2
1/2
T 
 2.38 106  e 
e
1
B
1/2
4 1  ATi 
 1.02 10


Z e 
[m],
1
B
Te
[eV ]
e
Ti
[m], [eV ]
e
6
ドリフト運動について
•
以上のように,磁場中では荷電粒子はかなり高速で回転しながらその
回転中心の部分が磁場に平行に動くと考えるのが基本である。
•
この回転の中心を案内中心（guiding center）と呼ぶ。
•
すなわち、電磁場中の荷電粒子は，高速回転しながらその案内中心
がゆっくり動いていると考えられる。
•
そこで、粒子の運動そのものを記述するより、この案内中心の運動で
粒子の運動を代表させることが考えられた。
•
代表的な案内中心の運動にドリフト（drift）運動がある。
7
ドリフト近似
•
今，一様磁場の空間で，磁場に垂直方向に電場があるとき，この案
内中心の動きを試算しよう。
dv
Fm
 q E  v  B
dt
•
速度をサイクロトロン運動の部分と案内中心の部分に分けて,
v  vc  vd
m
•
d (vc  vd )
 q  E  (vc  vd )  B 
dt
dv c
m
 q  vc  B 
dt
dv d
m
 q  E  vd  B 
dt
案内中心はゆっくり動くので,その時間微分を０とすると
E  vd  B  0
EB
vd 
B2
8
EｘBドリフト
•
前項で求めたドリフトをExB(イークロスビー）ドリフトと呼び,ドリフトの
中でも最も重要なものである。
EB
vd 
B2
•
•
•
•
•
特徴は,荷電粒子の電荷によらない
電子も正イオンも同じ方向
すなわち，電流が流れない
ドリフトには多くの種類があるが，これは，ExBドリフトのみの特徴で
ある。
また、通常実験室レベルでは，他のドリフトより大きい。
一様な静磁界に一般の外力Fがかかった時のドリフト
電荷qがある
•
FB
qB 2
各自この表式を導いてみよう
9
一様な静磁界に空間変動電場が重なった時のドリフト
今、Bはｚ方向に一様な磁場B0とする。静電場Eはx方向成分のみをも
ち、その大きさは以下の式のように周期λ（k=2π/λ）で正弦的に変化す
るとして，どのようにドリフトが変わるか調べる
• x̂ をx方向の単位ベクトルとして,
•
E( x)  E0 cos  kx  xˆ
•
これを
•
•
•
•
に代入し、粒子の旋回運動１周期
にわたる平均を取ると、
x方向のドリフト速度＝０、
y方向のドリフト速度ｖｙは、
dv
m
 q E  v  B
dt
v d  v y    E ( x0 ) / B0  1  k 2 c 2 / 4 
10
有限ラーマー効果
• 前頁の結果は、非一様電場のための修正因子として、
1  k 2 c 2 / 4 
• をかけたものであり、一様電場よりはドリフト速度は低下する
• 一般的な考察によると、
v d  v y  1   c 2 / 4   2  E  B / B 2 
• となり、電場Eの空間2次微分の項が影響する。
• このρcの部分を持つ項を有限ラーマー効果と呼ぶ。
• 注意：イオンのρcは、電子のそれに対してかなり大きいので、
この値は同一のEの空間変動に対しては、イオンの方がはるかに
大きい。従って、ドリフト速度の大きさはイオンと電子と異な
り、一般に電流が生じる
11
空間的に非一様な磁場
•
•
•
磁力線の性質
下図のように、真空の静磁場中で磁力線のある部分Pが曲率半径Rc
で曲がっている時、Pでの磁界ベクトルBはその点における接線方向
にある。
そして、磁場の大きさ|B|は湾曲の凹側(曲率中心)に向けて増大し、そ
の増大率はその点における曲率半径に逆比例する
Bの垂直方向の空間変化率
▽⊥Bは、結局
  B  ( B / Rc )(R c / Rc )
 ( B / Rc 2 )R c
曲率半径ベクトル
12
非一様磁場中のドリフト
•
•
•
磁力線の曲がりによるドリフトが存在する。
一つは、Bの曲がりによる遠心力ドリフト、
他は磁場の大きさが変化することによって起こるドリフトである。
13
遠心力ドリフト
•
•
•
•
•
•
曲がった磁力線にからんだ粒子（質量m、電荷q）の運動を考える。
粒子は螺旋運動をしながら曲率半径Rcの点Pにくるとしよう。
磁力線に平行方向の速度V//、
磁力線に垂直方向の速度V⊥
として粒子に働く遠心力Fcの大きさ
は、曲率半径Rcを用いて
Fc  m(v / / 2 / Rc 2 )R c
•
•
となる。
この式を前の一般の外力のドリフト
の式に代入すると、
v d  (m / q )(v / / 2 / Rc 2 B 2 )(R c  B)
14
磁場の大きさが変化することによって起こるドリフト
•
•
磁場が下図のように、上にいくほど大きくなる時、サイクロトロン運動
の半径は上に行くほど小さくなる。
従って、イオンの軌道は図のようにだんだん右の方向にドリフトする。
B
▽⊥B
•
＋
わかりやすく書くと
上は円の半径が小さく
下は円の半径が大きい
このドリフト速度を計算すると、
v d  (W / qB0 2 )  (B / B )    B 
 (m / q ) (R c  B) / B0 2 Rc 2  (v  2 / 2)
磁場に垂直な
速度の運動エネルギー
15
非一様磁場中のドリフトの表式
•
最終的には，磁場の性質から二つのドリフトが同時に存在するため,
その足し合わせとなるから
v d  (m / q ) (R c  B) / B0 2 Rc 2  v/ / 2  v  2 / 2 
ドリフトの方向を
決める
•
•
•
•
•
凡そ、粒子の運動エネルギー
特徴
磁力線に平行な速度v//と垂直な速度v⊥が同程度の寄与をする
曲率半径Rcの小さなところで増大する
速度が同程度であれば，イオンのほうが電子より大きい
正イオンと電子は逆方向
16
補足 磁気モーメントW⊥
•
•
磁場中で旋回運動を行っている荷電粒子の磁気モーメントなる量を
考える。電磁気学ではひとつの閉じた電流ループの電流値Iとループ
の面積Sの積の大きさとし,電流の方向に右ねじを回したときにねじが
進む方向の向きを持つベクトルを磁気モーメントと定義する。
磁場中で旋回運動を行う荷電粒子は，サイクロトロン周波数とラーマ
ー半径を用いて,電流値が（qΩ/2π），面積が（πρ2）のひとつの電流ル
ープを形成しているので,
  (q / 2 )( 2 )   m v  2 / 2  / B
•
•
となる。
実は,周期系の力学においてｑとｐを共役な正準変数とするとき、1周
期について取った作用積分
J   pdq
•
が断熱不変量で、速度v⊥、半径ρの旋回運動において、これを求め
ると、上記の磁気モーメントになる
「磁場Bをゆっくり増やすと、磁場に垂直方向の運動エネルギーが大きくなる」
磁場に平行成分は?
17
補足の補足
•
断熱不変量とは？
– 系に含まれるパラメータが時間的にゆっくり変化する時は保存さ
れる量
断熱という意味
•
不変量
では，時間的にゆっくりとは？
– この場合は、系の運動が周期的であるから、その周期に比べて
ゆっくり起こると考えればよい。
– すなわち、一周する程度ではほとんど変わらない変化のしか
たである。
– 当たり前のことになるが、系により上記の時間は変わる。ま
た、人間の感覚での評価ではないことに注意しよう。
18
磁気モーメントの断熱不変性の応用例
•
•
•
下図のようなコイルが平行に置かれた磁場配位をミラー磁場という。
この磁場配位内の荷電粒子の運動を考える。磁気モーメントμmは一
定であるから、Bの増大と共にW⊥（磁場の垂直方向の運動エネルギ
ー）は増大し、W//は減少する。
従って、粒子によっては、コイルの近傍でW//が0になり、その結果、
粒子が反射されて戻ってくる（磁気ミラーの由来）。
よって、適当な条件を持つ粒子
は磁気ミラーの間を往復し、外
に抜け出せない
プラズマの閉じ込めに利用できる
（筑波大学，GAMMA 10)
19
反射の条件
• 磁気ミラーで反射される粒子の条件を調べる。
• 反射されるには、磁場の強い位置で磁場に平行な速度を失う必要があ
る。すなわち、磁場の強い位置で、W//=0となることが必要である。
• 今、中央面（磁場最小）での粒子の速度ｖ0とし、それが磁力線に対
する角度をθmとする。この粒子が磁場最大のコイル部に来た時、
• v//＝0であるから、v⊥=v0となるから
• μmの保存より
m v
2
0
/ 2)  (m v  2 / 2   m Bmax
• よって
2
2
m
v
/
2)
/
B

(
m
v
 0
max
 min / 2  / Bmin
Bmax v 0 2
1
R
 2 
Bmin v 
sin 2  m
20
反射の条件
つづき
• すなわち、中央面（最小磁場位置）での初期粒子速度の磁場に
対する角度θがこのθmより大きい粒子はトラップされ、小さい
粒子は逃げ出す。
• 最大磁場と最小磁場の比であるこのRをミラー比と呼んでいる。
• また、速度空間上でこの角度で作られる円錐をロスコーン（損
失円錐）という。下図参照
v⊥
θm
v//
•
簡単のために、旋回中心が磁場の中心軸の粒子を考えていたが、非
中心軸の粒子でも本質は変わらない。但し、磁束密度Bの半径方向
の勾配のために、磁界の勾配に基づく方位角方向のドリフトが加わ
る。
21
静磁場に垂直なプラズマの実効誘電率
•
•
一様な電場によるEｘBでは，電流は生じないが，電場が時間的に変
動した場合はどうであろうか?
下図のような簡単な場合で考えてみる
平行平板の間にあるプラズマ
をコンデンサーに例える
一様磁場が電極面に平行で，
電極面に垂直に時間変動する
電場が加わる。
•
  B ドリフト以外に
この場合では,通常のExBに対応する E
•
•
•
という振動するドリフト運動が加わる。
Vpは電荷によって方向が逆（qがある），電場の時間変化に比例する
電磁気学で言う分極（現象）である
v p   m / qB0 2   dE / dt 
22
分極電流と誘電率
•
新しいドリフトによる電流（分極電流）ｊｐを求めよう
•
•
より，振動成分は，質量に比例するためイオンによるものが主である
イオンの密度ni，質量mi,電荷Ziとして
•
•
•
•
•
より,プラズマを誘電体としてみた時の実効誘電率が直ちに求まる
電磁気の復習
分極ベクトルPと分極電流ｊｐは dP / dt  j p
電束密度Dと誘電率εは D   E   0 E  P
すると,実効比誘電率εSは
v p   m / qB0 2   dE / dt 
j p  eZ i ni v pi   ni mi / B0 2   dE / dt 
 s    /  0  1  (ni mi /  0 B0 2 )  1   0 c 2 ni mi / B0 2 
 1  1.9 1016 ( Ai ni / B0 2 )
最も軽い水素イオンでもB0=１Tの時， ni= 1017m-3（蛍光灯程度）で，
εs～20， ni= 1020m-3でεs～ 104という大きな値である
23
クーロン衝突について
最重要
プラズマの世界で
最も頻度が大きい
衝突過程である。
•
•
•
•
クーロン散乱の断面積を調べる
上図は，2体衝突を重心Oから見た図で，χは衝突前後の偏角，ｂは
衝突係数（impact parameter）と呼ばれる。
衝突の前後で相対速度の大きさｕは変わらない（弾性衝突）
今,χ方向の微小立体角dΩへ散乱される断面積をσ(χ)dΩとすると
2bdb   (  )d
24
続き（少し式が続きます）
•
また， d  2 sin d だから
•
よって，
•
質量m,電荷qの粒子と質量m*,電荷q*の粒子がクーロン衝突するとbとχ
の間には
2
b db
 ( ) 
sin  d
4 0 mr bu
cot(  / 2) 
qq *
mm *
mr 
m  m*
•
の関係が成り立つ。mrは換算質量で
•
従って,クーロン散乱（ラザフォード散乱）の断面積は,以下のようになる
 ( ) 
(qq*) 2
8 m u
0
r
2
sin (  / 2)
2

2
25
弾性衝突による運動量の変化
•
•
•
二つの粒子の衝突前の速度をv,v*とし，衝突後のそれをv+δv，
v*+δv*とする。
運動量保存より， mv  m * v*  0
相対速度ｕ（=ｖ-ｖ*）をつかい
m*
m
u  r u
m  m*
m
m
m
v* 
u   r u
m  m*
m*
v 
•
•
運動量ｐで書くと、  p  
エネルギーの変化δεは
p*  mr u  me u
m
m 2
m 2
2
   v   v   v  mV v  mr u v   v
2
2
2
mv  m * v *
但し、 V 
は重心の速度で、  V  0
m  m*
26
衝突の前後で、エネルギー保存から
V2
V2
2
2
 m  m *  mr u   m  m *  mr  u   u 
2
2
よって、
 (u) 2  2u   u   u 
前頁のδv等の式を使って、
u
n
u u
χ
u
u
よって
u
2
  m  V   v   mr  V   u 
 *  m *  V   v *  mr  V   u 
衝突による偏角χを用いると
 u  u sin  n  (1  cos  )u
2 
 u sin  n  2sin
u
 p   p*  mr u sin  n  2mr sin
2
2

u
2
2 
   *  mr u sin   n  V   2mr sin  u  V 
2
次に、q*、m*の場の粒子が密度n*で分布しており、v*で走っているとする。
そこへ、 q、mのテスト粒子がvで走ると、1回の衝突で前ページの運動量、
エネルギーの変化を受けるが、dtの時間内に受ける運動量、エネルギーの
平均的変化は、それぞれ
n * udt   p (  , u )d 
n * udt   (  , u )d 
である。
運動量もエネルギーも表式が似ているので、以下、エネルギーで説明す
ると
d
 n * u   (  , u )d 
dt

の式の第一項の積分
mr u sin   n  V  は、0であるから(対称性)
d
2 
 4 mr n * u  u  V   sin  (  , u ) sin  d 
2
dt

衝突断面積σにクーロン散乱を用いると
 cot(  / 2)d  積分がχ=0で発散
0
そこで、プラズマ中のデバイ遮蔽を考慮して、デバイ半径λD以上では
電場が0と考える。したがって、積分の下限が0ではなく、ある値χminとし
て計算することにより、積分ができる。
ln  と書き、クーロン対数と呼ぶ。


1
ln    cot d   ln
2
sin  min 2
 min
この積分値を、
クーロン対数を用いると
n *  qq * ln 
d

u  V 
2 3
dt
4 mr  0 u
2
n *  qq * ln 
dp

u
2 3
dt
4 mr  0 u
電荷の積の二乗に比例
速度差の二乗に反比例
2
同様に
となる。
式が長いが、主張していることは、デバイの長さ程度でクーロン力が
遮蔽されるため、積分が有限の値で求まることになる
レポート
•
一様にコイルを巻いたドーナッツ殻状の真空容器（単純トーラスと呼
ぶ）内にプラズマを生成してもそのプラズマは磁場を横切って流出し
てしまう。その理由を考えよ。
30