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目
次
序文 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
第 1 章 リーマン幾何学の基礎事項 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 リーマン多様体
1
1.1.1
リーマン計量
1.1.2
曲線の長さ
1.1.3
距離
1.2 接続
1
3
5
6
1.2.1
レビ・チビタ接続
1.2.2
平行移動
1.2.3
測地線
1.3 曲率テンソル
1.4 積分
6
8
9
11
13
1.5 ベクトル場の発散とラプラシアン
14
1.5.1
ベクトル場の発散，勾配ベクトル場，ラプラシアン
1.5.2
グリーンの公式
1.6 微分形式のラプラシアン
14
15
17
1.7 曲線の長さの第 1 変分公式と第 2 変分公式
19
第 2 章 リーマン計量の空間と固有値の連続性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 実対称行列の固有値
24
2.2 リーマン計量全体の空間
32
2.3 固有値の連続性と重複度の上半連続性
2.4 固有値の一般的性質
kbdbook6a<2014/08/08>:
37
45
pLaTeX2e<2006/11/10>+0 (based on LaTeX2e<2011/06/27>+0):
スペクトル幾何
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viii
次
第 3 章 最小正固有値のチーガーとヤウの評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1 本章における主たる結果
61
3.1.1
正の最小固有値 λ2 に対するチーガーの評価
3.1.2
正の最小固有値 λ2 に対するヤウの評価
3.2 co-area 公式
61
62
65
3.3 定理 3.4, 3.5 と系 3.6 の証明
3.4 定理 3.7 の証明
70
78
3.5 ヤコビ場と比較定理
84
第 4 章 第 k 固有値の評価とリヒネロヴィッツ・小畠の定理 . . . . . . . . . . 95
4.1 R. クーラントの節領域定理
95
4.1.1
ラプラス作用素の境界値問題
4.1.2
R. クーラントの節領域定理
4.2 第 k 固有値の上からの評価
95
97
108
4.3 リヒネロヴィッツ・小畠の定理
122
第 5 章 ディリクレ固有値のペイン・ポリヤ・ワインバーガー型不等
式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.1 本章の主な結果
2
5.2 予備的な L 評価
136
139
5.3 チェン・ヤンの定理と系
147
5.4 定理 5.6 の証明のための基礎的準備
151
5.4.1
等長はめ込みと勾配ベクトル場
5.4.2
等長はめ込みと接続
5.4.3
等長はめ込みとラプラス作用素に関する補題
5.5 定理 5.6 の証明
151
153
154
159
第 6 章 熱方程式と閉測地線の長さの集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.1 1 次元サークル上の熱方程式
6.2 モース理論からの準備
6.2.1
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162
167
ヒルベルト多様体内の非退化臨界部分多様体
pLaTeX2e<2006/11/10>+0 (based on LaTeX2e<2011/06/27>+0):
スペクトル幾何
167
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6.2.2
閉測地線
6.2.3
Ω(M ) への有限次元近似
172
6.3 複素熱方程式の基本解
6.4 擬フーリエ変換
6.5 主定理
ix
177
183
200
211
6.6 複素熱方程式の基本解のもつ性質
6.7 鞍部点法（停留位相法）
6.8 3 つの補題
213
222
235
6.9 主定理 6.23 の証明
254
第 7 章 負曲率多様体とスペクトル剛性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
7.1 ギルミン-カズダンらによるスペクトル剛性定理
7.2 証明の方針
260
262
7.3 測地流ベクトル場
265
7.4 リヴシックの定理の証明
275
7.5 調和多項式の空間と直交群の実表現論
286
7.6 対称テンソル場の空間上の楕円型作用素
7.7 主定理 7.10 の証明
299
310
7.8 残された 3 つの補題の証明
318
7.9 スペクトル剛性定理 7.1 の証明
325
参考文献 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
索
引. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
kbdbook6a<2014/08/08>:
pLaTeX2e<2006/11/10>+0 (based on LaTeX2e<2011/06/27>+0):
スペクトル幾何