7．自己相関とパワースペクトル Â

７．自己相関とパワースペクトル
• 相関（correlation）：たとえば２つの属性
ＸとＹが測定されたとき一般に
ＸとＹの関係を相関と呼ぶ
• 相関の大小は
 ( X - X )(Y - Y )
• X=Y=0のときには，相関度は
†XY
自己相関関数とૣ気的推定法
乗算回路
਻延回路
自己相関係数・関数
•
1 N -1
E [ x] = Â xm
N m= 0
相対的な相関度
È y ˘ E [ xy ]
rx = E Í ˙ =
;
Î x˚ E [x 2]
È y ˘ E [ xy ]
ry = E Í ˙ =
,
Î x ˚ E[x 2]
†
•
自己共分散係数
•
自己相関係数・関数：自己共分散係数を正Ӫ化
C ( t, t ) = E [ x(t)x(t + t )]
†
†
N -1
Âx
rj =
m
xm + j
m= 0
N -1
Âx
m= 0
†
=
2
m
c(t )
c(0)
r=
E [ xy ]
E[x 2]E[y 2]
スペクトルとは？
プリズムを通過する太෩光から分Жされた７色
太෩光線は白色光（white）：連続変化
各メーカから出された野菜ジュースの成分
複‫ܚ‬な組織をもつものを単純な成分に分Жし，
その成分を，特੹づけられるある量の大小の順
に並べる
• 頻度分布もある種のスペクトル
•
•
•
•
パワースペクトル
•
•
•
1 N -1 2
 xm
N m= 0
パワー：２乗
関数の標本値xmの２乗平均
先に示したとおり,これを有限複素フーリエ係数で表すと,パー
セヴァルの定理から
†
N / 2-1
1 N -1 2 N -1 2
2
2
2
x m = Â Cn = C0 + 2 Â Cn + CN / 2
Â
N m= 0
n= 0
n=1
•
通常は,これに波の継続時間T=Nδtを乗じて
†
N -1
Âx
m= 0
•
2
m
2
Dt = T C0 + 2
N / 2-1
ÂT C
2
n
+ T CN / 2
2
n=1
フーリエ振幅スペクトルと同様の意味を持つ→位相情報を含ま
ないことに注意。すなわち,時間ࡃを移動しても不変
†
(invariant)
自己相関関数と
パワースペクトルの関係
•
（自己共分散係数の数列）のフーリエ変換を求めると
N -1
1
R j e-i(2 pnj / N )
Â
N j= 0
N -1
N -1
˘
1 È -i(2 p 2mn / N ) 1
= ÂÍe
 xm xm + j ˙
N m= 0Î
N m= 0
˚
N -1
N -1
N -1
N -1
1
1
=  x m  x m + j e-i(2 pnj / N )
N m= 0 N j= 0
1
1
=  x m  x m + j e-i(2 pn(m + j )/ N ) e-i(2 p (- n )m / N )
N m= 0 N j= 0
N -1
N -1+m
1
1
= Â x m e-i(2 p (-n )m / N )
x m + j e-i(2 pn(m + j )/ N )
Â
N m= 0
N m + j= m
= C-n Cn = Cn
•
2
自己共分散のフーリエ変換は平均パワーの各成分に対応している。
†
•
自己共分散係数は平均パワーのフーリエ逆変換
N -1
2 i2 pnj / N
R j = Â Cn e
n= 0
•
T=NDTを一定に保ったまま，N->∞にすると
†
•
Ú
T /2
-T / 2
x(t)x(t + t )dt
これの積分範囲を拡張すると
†
•
1
R(t ) =
T
R(t ) =
1
T
Ú
これをフーリエ変換すると
†
•
-•
x(t)x(t + t )dt
•
•
Ú-• R(t )e
-iwt
1 •
= Ú x(t)
T -•
[Ú
1
= Ú x(t)[ Ú
T
•
-•
dt =
•
-•
È1
Ú ÍÎT
-•
˘ -iwt
x(t)x(t
+
t
)dt
Ú-•
˙˚e dt
•
]
x(t + t )e-iwt dt dt
]
•
-i(t +t )
iwt
x(t
+
t
)e
d
t
e
dt
-•
•
1 •
1
1
2
iwt
= Ú x(t)[ F(w )]e dt = F(w ) Ú x(t)e iwt dt = F(w )F(-w ) = F(w )
T -•
T
T
-•
G(w ) =
Ú
•
-iwt
R(
t
)e
dt
-•
1 •
iwt
R(t ) =
G(
w
)e
dw
Ú
-•
2p
1
2
G(w ) = F(w )
T
†
•
：パワースペクトル
：自己相関関数
パワースペクトル（G(ω)）：パワースペクトル密度関数ともۗう）と
自己相関関数（R(τ)）はお互いにフーリエ変換の対をなしている。
†
相互相関関数
•
•
•
２つ以上の時系列データがある（例えば，入力と出力）
２つの不֩則変動，x(t),y(t)の相関性を調べる.
まずは，相互相関関数
Cxy (t ) = E [ x(t)y(t + t )]
•
次に，相互相関係数
†
†
Rxy (t ) =
E [ x(t)y(t + t )]
E [ x(t) 2 ] E [ y(t) 2 ]
クロススペクトル
• 自己相関⇔パワースペクトル
• 相互相関⇔クロススペクトル
相互相関とクロススペクトル
• x(t)とy(t)の相関性を調べる。
• 相互相関の性ࡐ
• 相互相関はそれぞれの変動の２乗平均値をѠえない。
• 相関を有する２つの時系列の例を挙げよ。
• 入力地震動と建物の応答
• 降а量と流出量
• 栄養の量(t)とCO2発生量(t)
クロススペクトル
• 自己相関関数とパワースペクトルの関
係のように，クロスでも：
G(w ) =
•
Ú-• R(t )e
-iwt
dt
1 •
iwt
G(
w
)e
dw
Ú
-•
2p
1
2
G(w ) = F(w )
T
R(t ) =
†
†
Sxy (w ) =
Ú
•
-iwt
R
(
t
)e
dt
-• xy
1 •
iwt
S
(
w
)e
dw
Ú
xy
-•
2p
1
-iq (w )
Sxy (w ) = x(w ) y(w ) e xy ,
T
Rxy (t ) =
q xy (w ) = q x (w ) - q y (w )
クロススペクトルの性‫ޑ‬
Sxy (-w ) = Syx (w )
*
Sxy (-w ) = Sxy (w )
*
Sxy (w ) = Syx (w )
†
回転フーリエス成
分スペクトル
iq x (w )
X(
w
)
=
X(
w
)
e
• X(w),Y(w)をベクトル表示してみる
まず
x(t) =
=
Ú
Ú
•
-•
iwt
X(w )e dw = R
[Ú
•
-•
X(w )e iwt dw
•
]
†
X(w )cos(wt + q x (w )) dw
-•
Yについても同様であるので
†
X * (w )Y (w ) = X (w ) e-iq x (w ) Y (w ) e
†
-iq y (w )
= X (w ) Y (w ) e
-iq xy (w )
2p
2p
-iq w
*
Sxy (w ) =
E [ X (w )Y (w )] =
E X (w ) Y (w ) e xy ( )
T
T
[
]
コスペクトルとクオドスペクトル
Sxy (w ) = K xy (w ) - iQxy (w )
2
Sxy (w ) = K xy (w ) + Qxy (w )
2
宿題
†
K xy (w ) = K xy (-w )
Qxy (w ) = -Qxy (-w )
†
：偶関数
：奇関数
コヒーレンスとフェイズ
• クロススペクトルは複素数であるので，不便
• 実൉（コヒーレンス）と‫ײ‬൉（フェイズ）とで表現
• コヒーレンス
２つの信号のフーリエ周波数成分の相互相関係数
2
coh (w ) =
Sxy (w )
2
Sxx (w ) Syy (w )
2
=
2
K xy (w ) + Qxy (w )
Sxx (w ) Syy (w )
• フェイズ
２つの変動の時間ૺれを表す。
†
Ê Q (w ) ˆ
q xy (w ) = tan ÁÁ xy
˜˜
Ë K xy (w ) ¯
-1
tw =
q xy (w )
w
確率密度スペクトル
• 時間波形
• ゼロークロス法，ピーク法：波の周期
性に着目
• 確率密度分布：波の振幅に着目
– スクリーンを通過した光の濃淡