v - 生命物質科学

モンキーハンティングの問題を右の図のような記号を使って考えてみましょう。
時刻ゼロ
は弾を表していて，地面から的 に向かって飛び出します。的は水平に距離 L，
落下距離
垂直に H 離れているとします。 が飛び出すとき，速度の水平方向成分が v だとすると，
が的 に向かって飛び出すためには
速度の水平成分：速度の垂直成分＝ L ： H
であればよいので，速度の垂直方向成分は
H
×v
L
となります。 が飛び出した瞬間の時刻をゼロとして，
時刻 T
H
×v
L
が の真下の位置，
つまり，水平に距離 L だけ飛ぶのに
時刻 T
H
必要な時間を T とすると，
L
v
となります。P27の自由落下の結果を使うと，時間 T の
T=
L
1
gT 2
2
だけ落下します。
すなわち，時間 T での の位置は
1
H − gT 2 = H
2
1 L
g
v
2
v
時刻ゼロ
間に は
地面から
H
地面
2
1 L
g
v
2
の高さであることが分かります。一方， は，時間 T の間に水平方向に L だけ飛びます。
そのときの垂直方向の
位置は P28 の投げ上げ運動を参考にすると
H
L
v
T
H
1 2
gT =
L
2
v
L
v
1 L
g
v
2
2
=H
1 L
g
v
2
2
となります。
これは の位置と同じですから，衝突することが分かります。
練習問題
1. 地上 60 m の高さの窓から、
ボールを真上に 20 m/s の速さで投げた。
a) このボールはどこまで昇るか。b) いつ最高点に達するか。c) 地面に達するのはいつか。
右図のように座標をとることにします。原点はボールを投げる位置で，上向きを
x(t)
正の向きとします。
したがって，地面の座標は −60 となります。
P28の投げ上げ運動を参考にすると，
ボールを投げた時刻をゼロとして，
その後のボール位置と速度は
1
x(t) = v0 × t − g × t 2
v0 = 20 m/s, g = 10 m/s 2
v(t) = v0 − g × t
ただし
2
と表すことができます
（重力加速度は，簡単のために，10と近似しました）。
20 m/s
0
60 m
−60
v(t)
=0
ボールの最高到達点では速度がゼロとなりますから，
から
1
v0
2
t=
= 2 秒 → x(t) = 20 × 2 − × 10 × 2 = 20 m
2
g
であることが分かります。
つまり，最高到達点は a) 2秒後 で，b) 投げた位置から 20 m 上で，地面から見て
x(t) = −60
80 m の高さとなります。
また，地面に達する時刻は から求めることができて
1
x(t) = 20 × t − × 10 × t 2 = −60 → −5t 2 + 20t + 60 = 0 → −5(t − 6)(t + 2) = 0
2
から c) 6秒後 であることが分かります。
2. 高さ 5 m の崖の上から初速 3 m/s で水平に海に飛び込んだ。着水するまでの時間を求めよ。
崖の真下から何 m 先の海面に着水するか。
2
1秒後 に 3m先の位置 ただし g=10 m/s とした計算
29
2
2. 1 運動の法則
アイザック・ニュートンは 1642年にイングランド
で生まれました。初等学校においては特に非凡な
才能を示すことはありませんでしたが，
１人の教師
が勉強を続けるように勧めて，
ケンブリッジ大学に
進学しました。
４年後に学位を授けられ，研究を続
けていましたが，
ペストの大流行のために故郷に
Isaac Newton 1642-1727
Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica戻り2年間を過すことになりました。
この期間
1686
の研究を基礎に物理学，
数学，天文学に多大な貢献をしました。
ニュートンが研究の結果をまとめた大著「自然哲学の数学的諸原理」
（「プリンキピア」）
を出版したのは
1687年，
ニュートンが45才のことでした。
日本では貞亨４年，
５代将軍綱吉が生類憐れみの令を出した年に
あたります。
「プリンキピア」
では，多くの人々の努力の成果が，簡潔な３つの法則として結実しました。
ニュートンは
自ら作り上げた新しい数学（微分・積分）
を駆使して，
これらの３つの法則から広大な世界の現象を説明
して見せました。
その後，現在にいたるまで，300年もの間，様々な事柄に適用され正しい答えを与え続けて
います。
第１法則 [慣性の法則]
すべての物体は，
それに加えられた力によって状態を変化させられ
ないかぎり，静止もしくは一様な直線運動を続ける。
第２法則 [運動方程式]
質量と速度の積の時間変化は加えられた力に比例し，変化はこの力が
 
作用する直線の方向となる。 ma = F
第３法則 [作用・反作用の法則]
互いに力を及ぼし合う２つの物体に働く力は，互いに大きさが等しく，
反対の向きである。
たとえば，昨年，人工衛星「はやぶさ」
は，多くの人々の懸命な努力の
結果，地球に帰ってきました。打ち上げられてから７年を経て，太陽をまわる
軌道を５周して地球に接近し，最後のチャンスをとらえました。
ニュートンが
300年前に書き残した運動の法則が
「はやぶさ」
を帰還させたのです。驚くべき
ことだと思いませんか？
[例題] ２つのつながれた物体
m1 < m2 としておきます。
状況をはっきりさせるために，
まずは m1
m2
物体 は上へ加速度運動し，
物体 は下へ加速度運動します。
２つの物体はひもでつながっているので，両者の加速度の大きさは
T
同じです。
それぞれの物体には
「ひもが物体を引っ張る力」 と
T
a
m2 ( −a ) = T − m2 g
図１
30
−a
−m1g
−m2 g
m2
と書くことができます。
ふたつの式から未知数 a と T を求めると
m − m1
2m2 m1
a= 2
g, T =
g
m2 + m1
m2 + m1
であることが分かります。
T
m1
−m1g, − m2 ）
g が働いています。
「重力」
（ したがって，
それぞれの
物体の運動方程式は
m1 a = T − m1g,
座標の正の向き
m1 と m2 の物体がつながれています。
図１のように滑車を介して質量が 図２
図３
2.2 力学的エネルギー保存則
x
h [m]
ここでは
「エネルギー」
について考えます。
そのための例題として，高さ h = 80 m
m [kg]
から質量 m = 0.5 kg の物体が，静止状態から落下することを考えてみましょう。
座標は地面を原点として，上向きを正の向きとします。P27で調べた落下と同じ
− mg
[N]
ですが，座標の向きと最初の位置が異なります。重力加速度の向きは座標の負の
向きですから，加速度のグラフは図２(a)のようになります
（重力加速度の大きさは
簡単のために 10 m/s 2 としておきましょう）。P27と同様に，
グラフの面積を
求めることで
（面積の符号に注意して），時刻 t における物体の速度と位置は
1
v(t) = −gt ,
x(t) = h − gt 2
2
であることが分かります。
さらに，具体的な数値
0
g=10 m/s 2 , h = 80 m
図１
を代入して計算すると表１のように位置と速度が変化することが分かります。
a(t) [m/s2 ]
2
3
4
0
1
−10
2
t
x(t) [m]
時刻 [秒]
3
−20
−10
−g
−30
a(t ) = −g
v(t ) = −gt
−40
(c)
80
4
速度
1
t
時刻 [秒]
(b)
位置
加速度
0
v(t) [m/s]
(a)
1
x(t) = h − gt 2
2
60
40
20
0
図２
1
2
3
4 時刻[秒]
表１：落下する物体の位置，速度およびエネルギー
1
2 mv(t)
時刻 t [s] 位置 x(t) [m] 速度 v(t) [m/s] mgx(t)
80
75
60
35
0
0
1
2
3
4
0
−10
−20
−30
−40
400
375
300
175
0
2
0
25
100
225
400
2
1
mgx(t)
+ 2 mv(t)
400
400
400
400
400
v(t)
x(t)
計算するまでもなく分かることですが，高さが 低くなるにしたがって，
速度の大きさ は大きくなります。
1
2
mg × x(t)
m × v(t)
唐突ですが，位置（高さ）
と関係する量 と，速度に関係する量 を計算してみると，
それぞれは
2
時刻とともに数値が変化します。
ところが，
これら２つの量の和
1
mg × x(t) + m × v(t)2
2
は物体が落下していっても常に一定に保たれています。
これは
「力学的エネルギー保存則」
とよばれます。
2.2.1 仕事と位置エネルギー
F = mg [N]
mg × x(t)
位置と関係する量 は
「位置エネルギー」
とよばれる量です。
図３のように，人が物体を地面から高さ h まで持ち上げることを考えましょう。
人は，最低限，物体に働く重力と同じ大きさの力で物体を引っ張る必要が
mg
あります。人は，
この力 で物体を距離
h だけ移動させることになります。
このように，
力と加えて物体を移動させることを
「仕事をする」
といいます。
h [m]
m [kg]
すなわち，人は
力
F = mg [N]
移動距離 = mg × h
だけの仕事を物体にして，物体はこの仕事分のエネルギーを獲得することに
なります。
31
図３
それでは，
「仕事」
とはどのような量なのでしょうか？
物理学における
「仕事」
という言葉の意味は, 日常使われている意味とは大きく
異なることがあります。例えば, 10 kg の物体を，
しばらくの間，地面から持ち上
げていても，物理学の意味での
「仕事」
はしていません。
つまり, 人が物体を
ある高さに持ち上げていようと，物体がその高さの台の上に置かれていようと，
物体の状態としては同じなのです。台の上に物体が置いてあるとき,「台は何も仕事を
していない」
ということには違和感はないでしょう。物体を持ち上げている人は，台の役割をしているだけだと
物理学は主張するのです。
けれども, 持ち上げ続けていると, 汗が出たり, ふるえたり, 呼吸があらくなったりすることは誰でも経験して
います。物を一定の位置に保持するだけでは仕事は必要ありません。物理学における仕事の定義は，生理学に
おける定義と違うのです。
なぜ汗がでるのか？おもりを持ち上げているために, 食物エネルギーが消費され
るのはなぜか？おもりを持つというだけのために身体の仕掛けを動かす必要があるのはなぜか？おもりを台の上
に置けば, 何もしないでおもりは置かれたままになっている。
つまり, エネルギーを供給しないでも, 台はおもりを
同じ高さに保持し続けるのです。
生理学的な事情は筋肉の機構によります。人間や他の動物の筋肉には２種類のものがあります。第1は横紋筋
とか骨格筋と呼ばれるもので，我々の腕の筋肉はその例です。横紋筋は思ったように動かすことができる筋肉です。
第2は平滑筋と呼ばれていて，腸の筋肉，
あるいはハマグリの大閉殻筋のようなものです。平滑筋の働きは非常
に遅いのですが, ある位置に留めておくことができます。
すなわち, ハマグリが殻をある位置に閉じておこうと
すると，大きな力でそれを変えようとしても，
ビクともしないのです。
力がかかっても，何時間もその位置を
保って疲れません。
ちょうどおもりを支えている台のようなものです。
ある位置に留められた筋肉は一時固定し，
仕事なしで維持できます。
ハマグリも別段の努力をしていません。我々がおもりを持っておくために努力を
しなければならないのは，横紋筋の構造によることなのです。
神経の刺激が一つの筋繊維に達すると，
その繊維はピクリと動いては，緩みます。
だから，我々が何か
を持っていると,神経の刺激が筋肉に次々に沢山やってきて，
ピクリピクリが何度も起こっておもりを支えます。
重い物を持ち続けて疲れてくると, 筋肉はふるえだします。刺激が来るのが規則的ではなく，
その上，筋肉が
疲れて早く反応できなくなるからです。
どうしてこんな非能率な仕掛けになっているのでしょうか？進化の過程
の事情によるのでしょうが，早い平滑筋というものが出来なかったのです。平滑筋ならば，我々はただ立って，
固定しさえすればよいのですから，
おもりを支えるのにずっと能率的なはずです。仕事もいらないし，
エネルギー
もいらない。
しかし, 平滑筋の欠点は,，
働きが非常に遅いことなのです。
ここまでの話で誤解を招くかもしれないので注意をしておきます。
おもりを保持しているとき, 我々は
おもりには仕事をしていません。
しかし, 筋肉内の小さな世界では筋繊維がピクリピクリと動いて仕事を
しているのです。筋繊維が仕事をするためにはエネルギーが消費されます。
だからといって, その仕事やエネルギー
はおもりには伝達されてはいないのです。
f
θ
物理学における
「仕事」
は
d
（移動方向の力の成分）×
（移動距離）
で定義されます。右の図のように物体に働いている力が，移動方向に対して
角度 θ 傾いていて，物体が距離 d だけ移動したときの
「力がする仕事」
は
(f cosθ)×(d)
となる。
では, なぜこのように定義するのでしょうか。
その理由は
「エネルギー保存則」
にあります。
重油を燃焼させて蒸気機関を働かせたり，水を高所から落として発電を行い，
その電気エネルギーを利用しています。
このとき，
重油を燃焼させることによって発生する熱や，高いところにある水はわれわれに何を供給しているの
でしょうか。
この
「何かをすることができる能力」
をエネルギーと呼び, 自然現象のなかでエネルギーと呼ばれる
量は保存されることを 1842年にマイヤーが唱えました。1847 年にヘルムホルツが，
力学的現象以外に熱現象，
32
電磁気的現象やその他の現象においても, エネルギー保存則がより広い範囲で成立していることを示しました。
これは科学が今までに生み出した, もっとも基礎的で重要な法則の一つです。1840 年代にはジュールによって，
熱エネルギーが力学的エネルギーと交換される際，一定の関係式が成立していることが確立されました。
1cal = 4.1855 J
このジュールの研究に敬意を表して，エネルギーの単位にジュール J という単位が採用されています。
2.2.2 運動エネルギー
1
m × v(t)2 「運動エネルギー」
もうひとつのエネルギー は
と呼ばれます。
2
運動している物体が持っているエネルギーを表す量です。
なぜ，
このような
式で表すことができるかを説明するかわりに，位置エネルギーと運動エネルギー
の関係を考察してみましょう。
運転免許書の更新時に受け取る
「交通の教則」
のなかに，図４のような
挿し絵とともにスピードを出すことの危険性が述べられています。
たとえば，
100 km/h のスピードを出していて壁に激突したときのダメージは，高さ 39 m
から落下したときのものに相当するということです。
この対応関係はどのような
ものなのでしょう。
スーピード 60 km/h の場合について確かめて
みましょう。P31の表１で調べたように，落下する物体の運動エネルギー
と位置エネルギーの合計は一定に保たれています。
すなわち，高さ h
mgh
にあった物体の位置エネルギー は，
落下後，運動エネルギー
1
2
m×v
となります。
よって，
2
1
mgh = m × v 2
2
という関係を調べればよいことになります。
したがって，v=60km/h
の場合（m/sの単位になおして計算することに注意して）
h=
120 km/h
56 m
39 m
100 km/h
25 m
80 km/h
60 km/h
14 m
40 km/h
6m
1 v2
1 (60 × 1000 / 60 / 60)2
= 13.9 [m]
=
2 g
2
10
という高さに相当することが分かります。
0m
図４
練習問題
1
mv(t )2 の単位はどのようなものか。
mgx(t) や 1. この単位はエネルギーの単位ジュール [J] と同じである。
2
2
m : kg g : m/s x(t) : m v(t) : m/s
それぞれの量の単位は です。
2
2
2
mgx(t) の単位は kg × m/s × m=kg × m /s
したがって，位置エネルギー 1
2
kg × ( m/s ) =kg × m 2 /s 2
mv(t )2
また，運動エネルギー の単位は
2
2
2
2
N = kg × m/s 2
さらに，
力の単位は なので，
仕事の単位は J=N × m = kg × m/s × m=kg × m /s
1
mgx(t ) + mv(t )2
2. 速度ゼロで高さ h から自由落下する物体の運動について が一定の値であることを，
2
式の計算で確かめなさい。
1
v(t) = −gt , x(t) = h − gt 2
P31と同様にして， を用いると，
2
1
1
1 2
2
2
mgx(t) + m v(t) = mg h
gt + m ( gt ) = mgh 一定
2
2
2
h
θ y
3. 滑り台を，子供が摩擦を受けずに高さ h から滑り降り，高さ h/5 から
}h/5
角度 θ でプールに投げ出される。子供が到達する最大の高さを決定せよ。
8
エネルギー保存則から滑り台を飛び出す速さは となる。
飛び出してからは速度の垂直成分が
v=
gh
5
h 4
8
y = + h sin 2
gh sinθ の投げ上げ運動となるので，最高到達点の高さは水面から の高さとなる。
5
5 5
33
3. 流体の力学
我々の周りには様々な物体が存在しています。
それらの動きを考えるうえで, 対象とする物質の
「堅さ」
によって
分類するのが便利です。
どんなに力を加えても簡単には変形しないものを考える場合には,「剛体」
として
議論するのが便利です。
力を加えれば変形する物質であっても, 力がなくなればもとの形に戻るような物体は
「弾性体」
とよばれます。
このとき物体に発生するもとに戻ろうとする力は
「弾性力」
とよばれ,バネの性質を
持つことになります。
剛体や弾性体は, いわば, 固体としての特徴的な性質です。一方, 液体や気体のように容易に変形する物質も
あります。
この章で扱う
「流体」
とは
いかに小さな力が働いても自由に変形して流れ出し, 力が働かなくなっても変形が回復しない。
また, 引っ張る力には応答しない。
ような物体として定義します。液体や気体が容易に変形するといっても, たとえば, 風船に空気を閉じ込めれば
弾性体のようにふるまうでしょう。
そのような場合には, 諸君がよく知っている PV=nRT の式で代表される
「気体分子運動論」
にしたがって分析をするのが便利です。
このように言うと
「物理学は都合のよいように
法則を設定して, 机上の空論をしているのではないか」
と感じるかもしれませんが，
これは誤解です。我々が
日常生活で見かけるような現象については, ニュートンの３つの運動法則はいつも正しいのです。物体に働く力は
電磁気力と重力だけだと考えてよろしい。
つまり, すべての現象はニュートンの運動法則を用いて計算可能です。
しかし, 厳密ではあるが複雑な計算を経て, 厳密ではあるが複雑な結果を得て, その結果が現象と一致したからと
いって何が分かったことになるのでしょうか。
それよりは, 対象とする物質の特徴を切り出して, 問題を単純化する
ことが大切なのです。
このために, 全く変形しない物体の極限として
「剛体」
を, 容易に変形する物体の極限として
「流体」
を, また, その中間的な性質を持つものとして
「弾性体」
を考えるのです。
人の体に関して
「流体」
と考えることができるものには, 体液と呼吸系を通して出入りする空気があるでしょう。
以下にそれらの特徴的な性質をまとめてみます。
×10 −3 [N ⋅ s / m 2 ]
16
血液
3
3
1.05 10 （水 1.00 10 ）
−3
粘性率 η [N s /m2 ]
12
粘性率
密度 ρ
（比重）[kg/m3 ]
−3
1∼4 10 （水 0.8 10 ）
血液中の細胞成分の体積比[%] 40
0
細胞内外液
+
Na
K+
10 mM
140
2+
Mg
0.5
Ca2+ 0.0001
H+
0.00007
−
Cl
15
−
HCO3 10
細胞液の密度 ρ
1 mM = 10
−3
0.230 kg/m3
細胞外液のイオン組成
145 mM
5
0.195
0.012
2
0.048
0.00
2
0.08
0.00
0.00004
110
1.65
0.610
30
1.83
6.8 kg/m3
1.0068 103 kg/m3
3
酸素
窒素
アルゴン
二酸化炭素
ネオン
ヘリウム
クリプトン
0.00
0.533
60 µm
5 µm
0
20
40
60
80
血液中の細胞成分の体積比 [%]
空気
3.335 kg/m
5.460
185 µm
8
4
血流速度 [cm/s] 20∼50（大動脈）11∼16（大静脈）
0.05∼0.1（毛細血管）
細胞内液のイオン組成
血管の半径
750 µm
キセノン
23.0 %
75.5
1.3
0.04
0.001
0.00007
0.0003
0.00004
25 ℃ 1気圧の場合
7.1 kg/m3
1.0071 103 kg/m3
3
mol / = 1 mol/m
34
密度 ρ = 1.2 kg/m3
粘性率 η = 1.8 10−5
N s/m 2