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生体膜の電気伝導現象と膜電位
生体膜の機能として、(1) 物質の選択透過や能動輸送､ (2) 外界情報の受容､増幅､伝
播､ (3) エネルギー変換､ (4) 免疫応答､細胞間相互作用などがあげられる｡ これらの
機能の多くは膜電位の変化と関係があり、またイオン透過と共役している｡ 従って､細
胞膜における電位発生の機構やイオン透過の仕組みを理解することは重要である｡
１. 膜のイオン透過
１．１．電解質水溶液の導電現象
電解質溶液の電圧 V と電流 I の関係（電極面積 S ，間隔 d）
I = GV = V R （ohm の法則）（G＝コンダクタンス､ R＝１／G）
G =κ S d
•
（κ＝導電率、抵抗率ρ＝１/κ）
導電率κ：κ=zFcu （z，イオン価；F，ファラデー定数；c，イオン濃度；
u，電気化学的移動度）
粘性流体（粘度η）中にある荷電粒子(イオン)（電荷 ze、半径 a）
粒子が電場によって受ける電気力：zeE
速度 v で動いている粒子が粘性流体から受ける流体抵抗力：ξv
（ξ：摩擦係数、ξ=6πaη（球形イオンの場合の Stokes の式））
速度一定 ⇒ 電気力＝抵抗力、 zeE = ξv
v=zeE /ξ=uE （u：電気化学的移動度, u = ze /ξ)
流束 J：単位時間、単位面積を通過する粒子の数
＝粒子の濃度ｃ×粒子の速度 v ⇒ J = cv = cuE
電流： I = zFJS = zFcuES = zFcuVS / d （電極面積 S、間隔 d）
コンダクタンス G： G = I / V = zFcu S d = κ S d
•
⇒ κ=zFcu
輸率
全電流＝陰イオン電流+陽イオン電流（Kohlrausch のイオン独立移動の法則）
I = I + + I − = (FV S d )( z + u + c + + z − u − c − )
輸率 t+, t−：全電流に対する陰イオンや陽イオンの寄与
(
)
(
z + c + = − z − c − ⇒ t + = I + I = u + u + − u − 、 t − = I − I = − u − u + − u −
)
2
１．２． Nernst-Planck のイオン拡散式
溶質粒子 i の流束： Ji (mol/cm2s)＝粒子の移動速度 vi (cm/s)×溶質濃度 ci (mol/cm3)
⇒ J i = ci vi
移動速度 vi ∝溶質粒子に作用する駆動力 fi
⇒ J i = ci ω i f i
（ωi：モル移動度、molar mobility）
~ / dx
駆動力 fi ∝ 電気化学ポテンシャルの勾配 dµ
~ / dx )
⇒ J i = − ci ω i ( dµ
（Nernst-Planck）
（正の流束：電気化学ポテンシャル高から低側への移動）
µ~i = µ i0 + z i Fφ + RT ln ci ( φ :電位) （ µ i0 は x に依存しなとする）
⎧
⇒ J i = −ω i ci ⎨ RT
⎩
d ln ci
z F dφ ⎫
dφ ⎫
⎧ dci
+ zi F
+ ci i
⎬ = − Di ⎨
⎬
dx
dx ⎭
RT dx ⎭
⎩ dx
（拡散定数 D=ωiRT）
•
Nernst-Planck 積分形
⎧d ⎡
⎛ z Fφ ⎞
⎛ z Fφ ⎞⎤ ⎫
⎛ z i Fφ ⎞
⎟⎥ ⎬
⎟ = − Di ⎨ ⎢ci exp⎜ i
⎟ ⇒ J i exp⎜ i
dx
RT
⎝ RT ⎠
⎝
⎠⎦ ⎭
⎝ RT ⎠
⎣
⎩
上式の両辺 × exp⎜
定常状態 ⇒ Ji は場所によらず一定
膜相の x=o から x=d まで積分（DI は定数とする）
⇒ J i =
[
− Di cid exp( z i F∆φ RT ) − cio
∫
d
0
exp( z i Fφ RT )dx
]
（Nernst-Planck 積分形）
（ cio , cid ：x=o, d での濃度； φo、 φd ：x=o, d での電位；△φ = φd − φo ）
•
µ i0 が x に依存する場合（膜内にエネルギ−障壁ｗI）の Nernst-Planck 微分形
⎧
⇒ J i = −ω i ci ⎨ RT
⎩
d ln ci d (wi + z i Fφ ) ⎫
c d (wi + z i Fφ ) ⎫
⎧ dci
+ i
+
⎬
⎬ = − Di ⎨
dx
dx
dx
⎭
⎭
⎩ dx RT
x=0, d で wio = wid = 0
⇒ J i =
[
− Di cid exp( z i F∆φ RT ) − ci0
∫
d
0
]
exp(wi RT + z i Fφ RT )dx
3
１．３． Goldman の定電場の式
Nernst-Planck 式（微分方程式）を解くために
膜内に定電場を仮定
∆ φ = φ i -φ o
o 側
φo φo
φi
φi
i側
∆ φ = φ i -φ o
膜モデル（右図参照）
co
￣の付いた変数：膜内に関するパラメータ
c
上付 o, i：膜の外側と内側のパラメータ
o
膜
βi
膜電位は o 側基準
d
ci
βo
ci
膜中での流束（エネルギー障壁の無い場合）
膜モデル
Nernst-Planck の積分形
⎡
⎞
⎛ z F∆φ
⎟⎟dx = − Di ⎢cii exp⎜⎜ i
⎠
⎝ RT
⎣
d
⎛ z Fφ
J i ∫ exp⎜⎜ i
0
⎝ RT
⎞ o⎤
⎟⎟ − ci ⎥
⎠
⎦
Goldman の仮定： 膜内の電位勾配一定
積分 ⇒ J i
∫
d
0
⎛ RTd
⎛ z F∆φ x ⎞
⎟⎟dx = J i ⎜⎜
exp⎜⎜ i
⎝ RTd ⎠
⎝ z i F∆φ
⇒ J i = −
•
⎞ ⎡ ⎛ z i F∆φ
⎟⎟ ⎢exp⎜⎜
⎠ ⎣ ⎝ RT
Di z i F∆φ cii exp(z i F∆φ / RT ) − cio
RTd
exp(z i F∆φ / RT ) − 1
⎞ ⎤
⎟⎟ − 1⎥
⎠ ⎦
（Goldman の式）
膜内のパラメーター( ∆φ ､ ci0 、 cii )は観測不可
⇒ 膜の両溶液のパラメーター（観測可能量）で表す
cio = β i cio ,
cii = β i cii 、 βi：膜と溶液間の分配係数（濃度に依らないと仮定）
膜／溶液の界面電位を膜両側で等しいと仮定 ( φ o − φ o = φ i − φ i )
⇒ φ i − φ o = φ i − φ o = ∆φ
Pi z i F∆φ cii exp( z i F∆φ / RT ) − cio
⇒ J i = −
（Goldman-Hodgin-Katz (GHK)の式）
RT
exp( z i F∆φ / RT ) − 1
（PI：透過係数､ Pi = Di β d ）
•
GHK 式を用いた計算例 Ji と△φの関係（右下図）
一価カチオン（zi=1）、Pi=0.01cm/hr、 cio =100mM（o 側濃度）
cii =10, 50, 100mM （i 側の濃度）
4
•
cio = cii =cI のとき
Ji
J i = −ci Pi z i F∆φ / RT
cio=100mM
（Jj−△φ:直線関係）
Pi=0.01 cm/hr
100 mM
50 mM
2
zi=1
Ii = ziFSJI （S 膜面積)
3
1
電流-電圧関係（ohm の法則）
(
)
-100
I i = ci Pi z i2 F 2 S / RT ∆φ = ∆φ / Ri
-50
-2
（膜抵抗、 Ri = RT / ci Pi z i2 F 2 S ）
•
∆φ
100
50
10 mM 0
-1
-3
ＧＨＫ式による流束の計算
cio > cii のとき
Ji と△φの関係：整流性
o 側から i 側への流束 (負側) ＞ i 側から o 側の流れ (正側)
(
Ji=0 の膜電位： ∆φ = ( z i RT / F ) ln cio / cii
)
（Nernst の平衡電位）
im
１．４． 反応速度論的取り扱い
o 側
δG
om
i 側
モデル：二つのエネルギー障壁（山）と
イオンの結合サイト（谷）
（右図）
m
∆Gom
∆Gim
∆Gb
粒子の拡散⇒障壁を飛び越え移動
−∆φim
速度定数 kom （om ピーク⇒m 谷）
kom = (k BT / h )exp(− ∆Gom / RT )
∆φ
mi
−∆φmo
δφ
∆φ=φi-φο
om
（kB、Boltzmann 定数；h、Planck 定数） ∆φ
膜に電場印加（膜に定電場を仮定）
二つのエネルギー障壁と一つの結合部
反応の速度定数
位をもつモデル
(
*
*
k om
（o→m）
： k om
= k om exp − zF∆φ om / RT
)
（△φom：o 側から om ピークまでの電位差）
*
k mo
*
kmi
(
*
(m→o): k mo
= k mo exp − zF∆φ mo / RT
(
*
(m→i): k mi
= k mi exp − zF∆φ mi / RT
)
)
5
*
kim
(
*
(i→m): k im
= k im exp − zF∆φ im / RT
)
*
*
o 側から膜内への流束 jom : J om = k om
cio λ o − k mo
cim λ m
（ cio 、o 側の濃度； cim 、膜内の濃度；λ、一回のジャンプで障壁を飛び越える
ことのできる粒子の存在する範囲）
* m
* i
ci λ m − k im
ci λi
膜内から i 側への流束 Jmi： J mi = k mi
J i = J om = J mi （定常状態）、 cim λ m 消去､ λ = λ o = λ i
[
(
) ][ (
)(
*
*
*
*
*
*
⇒ J i = k om
λ cio − k mo
/ k mi
k im* / k om
cii / 1 + k mo
/ k mi
(
)]
)
⎡ zF ∆φ mo − ∆φ mi ⎤
k mo
exp ⎢−
⎥
k mi
RT
⎣
⎦
mo
⎡ zF ∆φ − ∆φ mi ⎤
⎛ ∆Gmo − ∆Gmi ⎞
= exp⎜ −
⎟ exp ⎢−
⎥
RT
RT
⎝
⎠
⎣
⎦
= exp(δG / RT ) exp( zFδϕ / RT )
*
*
k mo
/ k mi
=
(
(k
*
mo
)(
*
*
*
/ k mi
k im
/ k om
)
)
(
)
⎡ zF ∆φ mo + ∆φ im − ∆φ mi − ∆φ om ⎤
= (k mo k im / k mi k om ) exp ⎢−
⎥
RT
⎣
⎦
= (k mo k im / k mi k om ) exp[zF∆φ / RT ]
[
]
*
k om
λ cio − cii (k mo k im / k mi k om ) exp( zF∆φ / RT )
⇒ J i =
1 + exp(δG / RT ) exp( zFδφ / RT )
kmokim/kmikom=1 （o 側と i 側との間の化学的な自由エネルギー差を 0 とする）
[
]
*
k om
λ cio − cii exp( zF∆ϕ / RT )
⇒ J i =
1 + exp(δG / RT ) exp( zFδφ / RT )
6
C
11.5
9.5
8.5
O
H
H
O
9.5
A
D
C
B
O
B
A
0.5
0.5
C
D
O
0
-1.0
Na イオンチャンネルのバリアーと結合サイト
１．５．イオン透過に対するエネルギー障壁
イオン透過に対するエネルギー障壁のプロファイルを決める要素
（１）イオンを水相から油の膜相へ持ち込むのに必要なエネルギー
Born エネルギー（半径 a、電気量ｑ、媒質の誘電率ε）：
E B =
•
q2
8aπε 0 ε
q=e, a=0.2 nm、ε=2（油相中）⇒ 約 70kT（41.7ｋcal/mol）
ε=80（水相中）⇒ 約 18kT（1.05ｋcal/mol）
水相から油相にイオンを持ち込むにはイオン一個あたり 68kT の仕事必要
チャンネル：誘電率の高い水で満
たされた穴を膜に開ける
キャリア：イオンを誘電率の高い
殻で覆う
•
エネルギー障壁の計算（右図）
厚さ 7 nm の油の膜
⇒ 40.1 kcal/mole
半径 0.5 nm の穴を持つチャンネル
⇒ 6.7 kcal/mole
キャリアー（殻の誘電率無限大）
⇒ 16.7 kcal/mole
Energy of charging (kcal/mole)
（２）イオンが透過するための工夫
41.7
40.1
26.7 ε=10
21.7 ε=5
16.7 ε=∞
6.7
1.05
In H2O In hc Finite Pore Spherical
ε=80 ε=2 slab
r=5 Å Jacket
r=5 Å
d=7 nm
エネルギー障壁の大きさ
7
イオンチャンネルのエネルギー障壁
（１） 膜と水相やチャンネル内の水相とチャンネル壁では誘電率の異なる相が接して
いる。この界面にイオンが近づくとイオンの電場により、界面に分極を引き起
こす。イオンは水相にあるので、この場合界面にはイオンと同じ極性の電荷が
生ずることになり、イオンがチャンネル内部に進入するのを妨げるように働く。
（２） チャンネル壁に双極子や固定電荷がある場合：イオン−双極子、イオン−イオ
ン相互作用
（３） 表面電荷による電気二重層
（４） イオンの水和、脱水和
グラミシジンチャンネルのエネルギ−障壁
グラミシジンＡ（ペプチド性の抗生物質）が脂質
Solvation energy
二分子膜につくるイオンチャンネル
（生体イオンチャンネルのモデル）
•
チャンネル入り口の山は脱水和に対応
•
内部の小さい山と谷の連なりはカルボニル基
とカチオンとの相互作用（溶媒和と呼んでい
Electrostatic energy
る）
•
近距離の相互作用+遠距離の静電相互作用（界
面分極に相当する）⇒全体のエネルギー障壁
のプロファイル
グラミシジンチャンネル
のエネルギ−障壁
8
２． 膜電位
膜に発生する起電力を膜電位と呼ぶ｡ 膜電位は (1)膜内のイオンの拡散による拡散
電位と､ (2)膜表面や膜内の固定電荷による表面電位やドナン電位との和となる｡神経
や筋肉細胞膜では刺激により，膜電位が一過性に変化する興奮現象が見られる。この
膜電位の変化はイオンの透過性の変化により引き起こされる。
２.１． 拡散電位 (diffusion potential)
（１）1 種類の一価陽イオンと 1 種類の一価陰イオン（z+=−z−）の場合
Nernst-Planck の式より （¯の付いた変数、膜内の量を表す）
[
[RT (d ln c
(
)]
F (dφ / dx )]
J + = −c +ω + RT (d ln c + / dx ) + z + F dφ / dx
J − = −c −ω −
−
/ dx ) − z −
電気的中性条件（膜内）
イオン濃度： c+o = c−o = cio （膜内 o 側）,
c+i = c−i = cii （膜内 i 側）
流束： J + = J − = J i
⇒ ω − ω − RT d (ln ci )
dφ
=− +
dx
ω + + ω − z + F dx
ω + − ω − RT cii
ln
（積分）⇒ ∆φ = φ − φ = −
ω + + ω − z + F cio
分配係数 β i = cii / cii = cio / cio
ω − ω − RT cii
ln
膜電位⇒ ∆φ = φ i − φ o = − +
ω + + ω − z + F cio
2 RTω + ω − dci
dc
流束 ⇒ J i = −
= − D± i （＝Fick の拡散の式）
ω + + ω − dx
dx
i
•
o
D±（電解質の拡散係数）
： D± = RTω ± = 2 RT
ω +ω −
ω +ω −
（ω ± = 2
）
ω+ +ω−
ω+ + ω−
外部から電位差を加え、電流を流さない限り陽イオンと陰イオンの流束は等しい
⇒ 陰イオンと陽イオンは同じ速度で拡散。このときの移動度は ω ± となる
•
発生する電位は，ω+ と ω− の差が大きいほど大
ω+≠0､ ω-=0 のときは、J=0、 Nernst の平衡電位
（２）３種類以上の一価イオンが存在する場合
Goldman-Hodgkin-Katz の式（定電場の仮定使用）
9
一価イオンの流束
J + = −
o
i
o
i
P+ F∆ϕ c+ − c+ exp( F∆ϕ / RT )
P F∆ϕ c− − c− exp( F∆ϕ / RT )
、 J− = −
RT
RT
1 − exp( F∆ϕ / RT )
1 − exp( F∆ϕ / RT )
電流ゼロの条件： I = F
(∑ J − ∑ J ) = 0
+
−
o
i
RT ∑ P+ c + + ∑ P− c −
膜電位： ∆φ = φ − φ =
ln
F
∑ P+ c+i + ∑ P− c−o
i
o
主イオン種が Na+, K+, Cl−のとき（生体膜の場合）
o
+ PK c Ko + PCl cCli
RT PNa c Na
ln
（Goldman-Hodgkin-Katz の式）
∆φ =
i
F
PNa c Na
+ PK c Ki + PCl cClo
２．２． 表面電位 (Gouy−Chapman の拡散電気二重層)
膜界面に固定電荷⇒界面近傍の溶液内のイオン分布（Poisson−Boltzmann）
φ=
2k B T exp(eφ 0 / 2k B T ) + 1 + [exp(eφ 0 / 2k B T ) − 1]exp(− κx )
ln
e
exp(eφ 0 / 2k B T ) + 1 − [exp(eφ 0 / 2k B T ) − 1]exp(− κx )
2n 0 e 2
φ0 at x=0； κ =
εε 0 k B T
φ0 が小さいとき (Debye-Huckel 近似)： φ = φ 0 exp(− κx )
1/κ：拡散二重層の厚さ (Debye length)
２．３．ドナン電位
膜あるいは膜表面近傍に固定電荷 ⇒ 膜と水溶液の間でイオンの分布
⇒ 界面にドナン電位（Donnan potential）
膜に負の固定電荷（電荷密度 X−）、1−1 電解質を考える
界面でのイオン分布は平衡状態
電気化学ポテンシャルは膜と溶液界面の間で等しい
RT ln c + + Fϕ = RT ln c + + Fϕ 、 RT ln c − + Fϕ = RT ln c − + Fϕ
（標準電気化学ポテンシャルは膜と溶液の両相で変わらないと仮定）
ドナン電位： ∆ϕ = ϕ − ϕ = −
RT ⎛ c +
ln⎜
F ⎜⎝ c +
⎞ RT ⎛ c −
⎟⎟ =
ln⎜⎜
⎠ F ⎝ c−
⎞
⎟⎟
⎠
⇒ c + c − = c + c −
10
電気的中性条件 ⇒ c + = c − = c 、 c + = c − + X −
⇒ c + c − = (c − + X − )c − = c + (c + − X − ) = c
(
⇒ c + = X − +
)
X −2 + 4c 2 / 2 、
2
)
(
c − = X − − X −2 + 4c 2 / 2
膜−溶液間のイオンの分配係数：
)
(
)
(
β + = c + / c + = X − + X −2 + 4c 2 / 2c 、 β − = c − / c − = X − − X −2 + 4c 2 / 2c
⇒ ドナン電位： ∆ϕ = −
RT
RT
ln (β + ) =
ln(β − )
F
F
２．４． 膜電位の測定法
電極：カロメル電極、銀塩化銀電極(Ag-AgCl)
銀塩化銀電極の電極反応: AgCl + e- = Ag + Cl- ; 標準電極電位 V0=0.2225V
起電力 Ve: Ve = V0 − (RT F ) ln a cl 、 （ V0 = − ∆G0 / F ）
銀塩化銀電極を用いた測定系
Ag ｜ AgCl(固体) ｜ NaCl(a1) ｜ 膜 ｜ NaCl(a2) ｜ AgCl(固体) ｜ Ag
Vle
Vm
Vre
測定される起電力(電位差)： Vob = Vle + Vm + Vre （電位は左の電極が基準）
正起電力：右の電極は左の電極に比べ正(電子不足)
電極間を導線で結ぶ⇒ 導線を電子は左から右（電流は右から左）
左の電極反応： Ag + Cl- = AgCl + e-
Vle = −[V0 − (RT F ) ln a1 ]
右の電極反応： AgCl + e- = Ag + Cl-
Vre = V0 − (RT F ) ln a 2
実測電位差＝膜電位差＋電極電位差： Vob = Vle + Vm + Vre = −
RT ⎛ a 2
ln⎜
F ⎜⎝ a1
⎞
⎟⎟ + Vm
⎠
膜の両側での Cl-イオンの活量既知 ⇒ 電極電位の補正可能
生物細胞では，細胞内の Cl-イオンの活量を正確に求めること困難
⇒ 塩橋 (salt bridge)を用いた方法（電極電位差をほぼゼロ→実測電位差≈膜電位差）
•
塩橋の作り方：濃厚な 3M KCl 溶液に寒天を加え､熱して溶解する｡この液をポリエチ
レンやガラスのチューブに詰めたあと､冷やして固める｡
11
Ag｜AgCl｜KCl(a3) - 塩橋｜NaCl(a1)｜膜｜NaCl(a2)｜塩橋 - KCl(a3)｜AgCl｜Ag
Vle
Vlj
Vm
Vrj
Vre
左右の銀塩化銀電極は同じ濃度の KCl 溶液中にある ⇒ Vle=−Vre
塩橋 KCｌ（活量 a3）と NaCl（活量 a1）と液間電位 Vlj
⇒ Vlj =
RT a1 (ω Na − ω Cl ) − a3 (ω K − ω Cl ) a1 (ω Na + ω Cl )
ln
F a1 (ω Na + ω Cl ) − a3 (ω K + ω Cl ) a 3 (ω K + ω Cl )
a3≫a1､ a3≫a2､ ωK≒ωCl ⇒ Vlj≈０,Vrj≈０ ⇒ Vob ≒ Vm
（Henderson の式）