ヌードモデルの子

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電子と電場の相互作用(自由電子の場合）
物質に電場が印加されると電場によって電子は力を受ける

 m
dv
m = −eE − v
dt
τ
速度に比例した摩擦力
（エネルギーを失う過程）
m

v

E
τ
電子の質量
電子の速度
電場ベクトル
散乱緩和時間
電場により受ける力
 
E = E0 e−iωt
 
v = v0 e−iωt


eE0τ 1
v0 = −
m 1− iωτ
とすると
が得られる。


eE τ 1
v0 = − 0
m 1− iωτ
ωτ << 1
ωτ >> 1


eE τ
v0 = − 0
m


ieE0
v0 = −
mω
電子の散乱が頻繁に起こるとき、電子と
電場は同位相で変化する。
このとき、エネルギーが電子に移る。
ジュール熱もその結果の一つ
X線のように大きなエネルギーでは
物質と電場の相互作用は小さい
電場と電子の位相はπ/2ずれている
交流電場(電磁波)の場合
交流電場(電磁波)によって物質中に電流が流れる。




j = σ (ω ) E +
∂D
∂t
D
電束密度
σ (ω ) 伝導率
電束密度の時間変化
電場に比例した電流

   −iωt
の関係から
D = ε (ω ) ε 0 E 、 E = E0 e



j = {σ (ω ) − iωε (ω ) ε 0 } E = σ (ω ) E

"
%

1
j = −iωε 0 #ε (ω ) + i
σ (ω )& E = −iωε (ω ) ε 0 E
ωε 0
$
'
σ (ω )
複素伝導率
ε (ω )
複素誘電率
電子密度n,散乱緩和時間τの伝導電子に関して、運動方程式は、

! d2 1 d $ 
m# 2 +
δ
x
=
−e
E
&
" dt τ dt %
  −iωt


E = E0 e
δ x = δ x0 e−iωt


eE0
δ x0 =
m {ω 2 + (iω τ )}
、

δx
+ +
+
電子の分布が振動

P
正電荷（原子核）と電子の分布がずれる
電子の位置がずれると言うことは、分極が起こるということ


P = −neδ x = −

ne E
2
m {ω + (iω τ )}
2
- - - 
ne 2 E
m {ω 2 + (iω τ )}


 
D = ε (ω ) ε 0 E = ε 0 E + P の関係から


P = −neδ x = −
ne 2 mε 0
ε (ω ) = 1− 2
ω + (iω τ )
複素誘電率
τ
ω
ω
= 1+
+i
2
1+ ω τ
1+ ω 2τ 2
2
p
2
ただし、
ε (ω ) = 1−
ω 2p
ne 2
ω =
mε 0
2
p
プラズマ周波数
ne 2 mε 0
ω 2 + (iω τ )
τ
ω 2p
ω 2pτ 2
ω
= 1+
+i
2 2
1+ ω τ
1+ ω 2τ 2
τ >> 1
のとき（摩擦項がないとき）
誘電率の実数部は
ωp
ω 2p
ε ! (ω ) = 1+ 2
ω
プラズマ周波数以下の周波数で
は、電磁波は物質中に進入でき
ず反射される。
キッテル、固体物理より
電磁気学によると反射率は
1.0
R=
反射率
0.8
εr −1
εr +1
2
と表される、もし、非誘電率が
負の実数なら、
0.6
0.4
2
0.2
50
R=
ωp
100
150
200
250
300
周波数ω
−a −1
=1
−a +1
となり、プラズマ周波数以下の
周波数で反射率は100%となる。
束縛電子の運動方程式
束縛された電子の光学遷移を固有振動数ω0を持つ振動子とする
m

v

E
τ
m
x + mγ x + mω 02 x = −eE
束縛項
ε (ω )
ne
1
= 1+
ε0
mε 0 ω 02 − ω 2 − iωγ
2
= 1+ ω
2
p
ω 02 − ω 2
2
(ω02 − ω 2 ) + ω 2γ 2
実部
+ iω
2
p
ω 02 − ωγ
(ω
2
0
2
− ω 2 ) + ω 2γ 2
虚部
電子の質量
電子の速度
電場ベクトル
散乱緩和時間
! ε (ω ) $
ω 02 − ω 2
2
Re #
& = 1+ ω p
2
" ε0 %
(ω02 − ω 2 ) + ω 2γ 2
誘電率の実部
ω0
束縛された電子が
光学遷移を起こす
振動数に相当する
1.000000
1.000000
誘電率の実部
固有振動数
1.000000
1.000000
0.999999
0.999998
200
ω0
400
600
800
1000
周波数ω
+
1.0
誘電率を
反射率
0.8
ドルーデ + 振動子
0.6
ωp
0.4
とすると反射率は、
プラズマ周波数で極小をとる。
0.2
50
100
150
周波数ω
200
250
300
1.0
反射率
0.8
0.6
0.4
0.2
50
100
150
200
250
300
周波数ω
プラズマ周波数
ne 2
ω =
mε 0
2
p
反射端は、プラズマ
周波数に対応する。
また、プラズマ周波
数は nに比例する。
左図では、ドーピン
グ量の増加に伴い、
高エネルギー側にシ
フトしている。
+
ドルーデ
（自由電子）
1.0
0.8
50
100
150
200
-2
-4
250
300
反射率
誘電率の実部
2
振動子
（バンド間遷移）
0.6
0.4
0.2
-6
50
周波数ω
100
150
200
250
300
周波数ω
ホールドーピング
により1eV以下で
電子の運動による
反射率の増加が見
られる。（ドルー
デモデル）
ドーピングレベル
が低い場合はフォ
ノンによる反射
ピークが見られる。
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M. Faraday (1791-1867)
透過：ファラデー効果
反射：カー効果
45
θ
一軸異方性材料における光の伝搬
" ε
ε xy 0
$ xx
ε = $ −ε xy ε xx 0
$
0 ε zz
$# 0
%
'
'
'
'&
N̂ ±2 = ε xx ± iε xy
位相が同じ時
位相が異なる時
左右円偏光の電界ベクトルとその合成
E± =
z
直線偏光
一軸異方性材料の中では
左右円偏光に分けて考える
(*
" N̂ %,*
E0
(i ± ij)exp )−iω $ t − ± z 'c &*.
2
*+
#
左右円偏光について屈折
率が異なると、材料を透
過した光の位相がずれて
偏光面が傾くことになる
θ
一軸異方性材料における光の伝搬
" ε
ε xy 0
$ xx
ε = $ −ε xy ε xx 0
$
0 ε zz
$# 0
%
'
'
'
'&
N̂ ±2 = ε xx ± iε xy
吸収が異なる
位相、吸収とも異なる時
左右円偏光の電界ベクトルとその合成
E± =
z
直線偏光
一軸異方性材料の中では
左右円偏光に分けて考える
ことができる
(*
" N̂ %,*
E0
(i ± ij)exp )−iω $ t − ± z 'c &*.
2
*+
#
左右円偏光について吸収
が異なると、材料を透過
した光は楕円偏光になる
縦カー配置
ファラデー配置
E1
M
縦カー配置
θ
!
θF
H
!
(deg/cm)
(nm)
Fe
3.825×105
578
Co
1.88×105
546
Y3Fe5O12
250
1150
Gd2BiFe5O12
1.01×104
800
EuO
104
660
θ
MnBi
V= F
Hl
磁気転写には直線部分を利用
傾きが感度に相当
飽和磁場以上は測定できない
€
(at 4.2K)
1.43
500
可視域で透明な材料は
数少ない
複素ファラデー回転角
Φ F = θ F + iηF
ω iε
= − ⋅ xy ζ
2c ε xx
複素カー回転角
θF
ファラデー回転角
ηF
ファラデー回転角
ζ
Φ K = θ K + iηK
nε
= 2 0 xy
(n0 − ε xx ) ε xx
試料の厚さ
θK
カー回転角
ηK
カー楕円率
誘電率の非対角成分
2c
(nηF + κθ F )
ωζ
2c
ε !!xy = −
(κηF − nθ F )
ωζ
ε !xy= −
ε !xy= {n ( n02 − n 2 + 3κ 2 )θ K − κ ( n02 − 3n 2 + 3κ 2 )ηK } n0
ε !!xy = {κ ( n02 − 3n 2 + κ 2 )θ K + n ( n02 − n 2 + 3κ 2 )ηK } n0
1
透過光強度 (a.u.)
0.8
cos2 θ
0.6
0.4
0.2
€
0
40
60
80
100
120
2枚の偏光子の角度 (degree)
140
外部磁界
偏光フィルター
1
透過光強度 (a.u.)
0.8
磁化
0.6
cos2 θ
0.4
0.2
磁気光学材料
0
40
60
80
100
120
140
€2枚の偏光子の角度 (degree)
透過：ファラデー効果
反射：カー効果
偏光の回転と光強度の関係
注意：ここでは、回転角のみを考え、
楕円率はないとしている。
住友金属鉱山株式会社ホームページより
住友金属鉱山株式会社ホームページより
住友金属鉱山株式会社ホームページより