1 平面図形

せき
この問題集は，
「思考力」
「表現力」「判断力」「分析力」をみる総合的な問題を集めたものです。
このような問題は，各教科の知識をいくら集めても，解けるようにはなりません。それは，複数の
教科の内容が含まれることがらを整理したり推理したりして考えをまとめ，表現する力が必要とな
るからです。
まずは覚えなければいけない知識は何か，どうすれば考えをすばやくまとめられるか，あるいは
そ
どう表現すればわかりやすいかなどといった基本的なルールを学習しましょう。そして，基礎的な
問題から類題，さらに応用的な問題へと学習を進めて，身に付けた力を伸ばしてください。
各課は 4 ステップで構成されています。
ステップ 1 ∼ 3 では，基本的な考え方や知識が完全に身に付いていることを確認しながら学習
はば
を進めてください。ステップ 4 では，さらに幅広い形式の問題や，複数の考え方が組み合わさっ
ちょう
た高度な問題に挑戦して，応用力を高めましょう。
ステップ
1
例題
ステップ
2
確認問題
題
ステップ
3
練習問題Ａ
実際の適性検査に沿った問題で実戦力を養成。
ステップ
ステ
4
練習問題
練習問題Ｂ
さらにハイレベルの問題で応用力アップ。
考え方や着眼点を理解。
自分の理解度をチェック。例題へのリターンも
m
a
S
表示。
1 平面図形 ………………………………………………………………………… 2
2 もののとけ方 …………………………………………………………………… 8
3 論 理 ………………………………………………………………………… 14
4 酸とアルカリ ………………………………………………………………… 20
5 最短経路 ……………………………………………………………………… 26
6 速 さ ………………………………………………………………………… 32
7 実験・観察・調査方法 ……………………………………………………… 38
8 総合問題 ……………………………………………………………………… 44
1
平面図形
●あたえられた図形を複数組み合わせて，目的の図形をつくることができるか。
●正多角形の性質を利用して，正多角形の中にある図形のまわりの長さと面積を求める。
例題１
右の図のような，上から赤，黄，青の 3 色が 3 まいずつある，9 まいつながっ
たシールを買いました。これを，4 まい切り取って友だちにあげようと思い
ます。あげる分も，残った分もシールがつながっているように分ける方法は
全部で何通りありますか。ただし，同じ色の組み合わせでも形のちがうもの
は別に数えます。
（うら返したり，向きを変えたときに同じになるものは，1
通りと数えます。）
（ ）
e
l
p
る形
ステップ 1 色は考えずに，正方形 4 まいを切り取ってできる形
切り取
㋐
㋑
㋒
㋓
じに
うら
きに同じ
を考えます。向きを変えたり，うら返したときに同じに
形は右の 4
ると，4 まいでできる形は右の
できる形
なるものを 1 つと考えると，
）の
種類です。しかし，㋐∼㋓のうち（
，㋐
ち（ ❶ ）
）の
m
a
の5ま
いが 2 つ
に分か
ろう
残りの
まいが
つに分か
形を切り取ろうとすると，残りの
の3種
類 の形
形 を 使 っ て分
しまう
㋐，㋑，㋒の
種類の形を使って分
れてしまうので，㋐，㋑，㋒の
S
えます
ける
えます。
けることを考えます。
（ ❷ ）
）色
色 を 3 まい
ステップ 2 まん中の（
の（
）色を
まいいっしょに切り取ると，残りのシールが分断
しょに
がらないので，
（ ❷ ）色は
さ
）色はどの場合でも，
場合で 1 まいか 2 まい入ることになります。
されてつながらないので，
切 り 取 り 方は， 1 ∼図 4 の
ステップ 3 ㋐の形での切り取り方は，図
㋐
図1
図2
図3
図4
図5
図6
図7
図8
図9
つ
分を切り
ので， 1 より
色のついた部分を切り取るので，図
より（
（赤，赤，赤，黄）
，図 2 より（赤，
赤，黄，青），
り（黄，青，青
図 3 より（黄，青，青，青）
，図 4 より
（ ❸ ）の 4 通りになります。
㋑の形での切り取り方は，図 5 ∼図 7 の
色のついた部分を切り取るので，図 5 より
（赤，赤，赤，黄）
，図 6 より（赤，黄，黄，青），
図 7 より（ ❹ ）の 3 通りになり
ます。
㋒の形での切り取り方は，図 8，図 9 の色
のついた部分を切り取るので，図 8 より（赤，
赤，黄，黄），図 9 より（ ❺ ）の 2 通りになります。
（通り）あります。
したがって，全部で，4 ＋ 3 ＋ 2 ＝ 9
9 通り
2
１ 平面図形
例題２
右の図のように，円の中にちょうど入る正六角形をかき，その正六角形の
頂点をむすんで，正三角形を 2 つかいたところ，その中にもう 1 つ正六角
形ができました。これについて，次の問いに答えましょう。
⑴ 円の半径が 4cm のとき，大きいほうの正六角形のまわりの長さは何 cm
ですか。
（ ）
⑵ 大きいほうの正六角形の面積が 57cm2 のとき，小さいほうの正六角形の面積は何 cm2 にな
りますか。
（ ）
ステップ 1 右の図 1 で，三角形ＡＯＢの
は（ ❶ ）度になり
にな
e
l
p
三角形に
になり
等しく
ます。ＯＡ，ＯＢは円の半径なので等しく，二等辺三角形になり
1
図1
B
A
形になります。
度になるので正三角形になります。
正三角形になります。
ますが，3 つの角がすべて 60 度にな
O
しく
さは， Ａ，ＯＢと等しく
したがって，ＡＢの長さは，Ｏ
六 角 形 の まわ
わ り の 長 さは
（ ❷ ）cm に
になるので，正六角形のまわりの長さは
で，正六
m
a
24cm になります。
ります
三 角 形 と，かげ
ステップ 2 右の図
の図 2 で，黒くぬった三角形と，かげをつけた三角形は，
くぬった三
と， げ を つ け た三
は，
S
図2
高 さ が 等 し い 三 角形
形なので
底辺
で， 面積
くな
底辺の長さと高さが等しい三角形なので，面積は等しくなりま
って
を つ け た 三角
角 形の面
す
がっ
て， かげを
①とす
す。したがって，かげをつけた三角形の面積を①とすると，小
正六角形の面積は
さ
は（ ❸ ）
）
，大きいほうの
さいほうの正六角形の面積は（
積 は，⑫
六
は， ⑫ ＋⑥＝
なるの
正六角形の面積は，⑫＋⑥＝⑱となるので，大きいほうの正六
3
の
小さいほ
正六角
（倍）
角形の面積は，小さいほうの正六角形の面積の，⑱÷⑥＝
です。
がって，小さい
したがって，小さいほうの正六角形の面積は，
（ ❹ ）cm2 となります。
⑴ 24cm ⑵ 19cm2
3
例題３
1cm
右の図のような㋐∼㋒の 3 種類のタイルが，㋐は 2 まい，
1cm
㋑は 2 まい，㋒はたくさんあります。これらのタイルを
いくつか使い，すき間なくならべて正方形をつくります。
これについて，次の問いに答えましょう。
1cm
1cm
1cm
1cm
1cm
3cm
㋐
㋑
㋒
⑴ ㋐と㋑をすべて使って正方形をつくるとき，㋒のタイ
ルは少なくとも何まい必要ですか。
（ ）
⑵ ㋐と㋑をすべて使って最も小さい正方形をつくるとき，
タイルのならべ方の例を，1 つ右の図に示しましょう。
ステップ 1 ㋐ 1 まいの面積は，（1 ＋ 3）× 1 ÷ 2 ＝（
（ ❶ ）
）（cm2），㋑ 1 まいの面積は，
e
l
p
1×1＝1
積の合計は，2 × 2 ＋ 1 × 2 ＝ 6
（cm2）だから，㋐ 2 まい，㋑ 2 まいの面積の合計は，
（cm2）
1 辺の
の長さは
は必ず整数
できる
辺の長さは必ず整数になるので，面積は，
ので
です。㋐，㋑，㋒をならべてできる正方形の
へい ほう すう
ります
り大きく 6 に一番近い平方
わせた （平方数）
数）になり
になります。
す。6 よ
より大きくて
番
同じ整数 2 つをかけあわせた数
タイルはすき間なくな
）になります。タイルはすき間なくならべるので，ならべ
ます。タイルはすき間なくならべるの
数は（ ❷ ）になります。タイルはすき間なくならべるので，ならべてできる
m
a
cm2 になります。
正方形
（ ❷ ）
最も小さい正方形の面積は
計は 9 − 6 ＝ 3（cm
m2）
ステップ 2 そのとき使う㋒の面積の合計は，
のとき
面積の合計は，
です
です。㋒
㋒ 1 まい
まいの面積は，
）cm2 より，使うまい数
（ ❸ ）
より，使うまい数は，3 ÷ 0.5 ＝ 6
（まい）となります。
（ま
S
1 辺の長さは
い正
ステップ 3 最も小さい正方形の
さい正方形の
辺の長さは（ ❹ ）
）cm で，㋐ 2 まい，㋑ 2 まい，㋒
6 まいを使って正方形をつくります。
って正方形をつくり
って正方形をつくります。
⑴ 6 まい
例）
⑵ （例）
4
確 認 問 題
そ
□ 1 右の図のような 3 × 4 の正方形のマス目から，マス目の線に沿 っ て 5 マ
スひと続きの図形を切り取ります。例のように，切り取って残った図形もひ
と続きになるように，切り取ることにします。例をふくめ，切り取り方は全
部で何通りありますか。ただし，向きを変えたり，うら返したりしたときに
同じになるものは，1 通りと数えます。
例題 1
例
（ ）
中
2 右の図は，長方形の中にちょうど入るひし形をかき，ひし形の中
10 cm
。これ
に，さらにちょうど入る長方形をかいてつくったものです。これに
ついて，次の問いに答えましょう。
e
l
p
例題 2
6 cm
か
か。
㋐）は何 cm ですか。
□⑴ 小さいほうの長方形のたての長さ（図の㋐）
（ ）
㋐
m
a
で何 cm2 ですか。
た部分
は全部で何
□⑵ 図のかげをつけた部分の面積は全部で何
S
（
（ ）
（ ）
三角形の緑色のカードと
の
し形の
3 右の図のような正三角形の緑色のカードと，ひし形の赤色のカードがあり
は，正
形
は，正三角形の
ドを 2 まいくっつけたものと同じ
ます。ひし形のカードは，正三角形のカードを
三
し形も 1 辺の長さは
長さは 1cm です。これらのカードをす
大きさで，正三角形もひし形も
べて もようをつくります。これについて，
ります
き間なくならべて，
次の問いに答えましょ 図1
1 通りと
ら返
り，向
う。ただし，うら返したり，向きを変えたときに同じになるものは
数えます。
例題 3
□⑴ 2 種類のカードをそれぞれ 1 まいは必ず使って，右の図 1 のような，1
辺 1cm の正六角形の形にならべます。ならべ方は何通りありますか。
図2
（ ）
□⑵ 右の図 2 は，図 1 の正六角形に，正三角形を 2 まいくっつけてつくった形
です。この形にならべるとき，ひし形のカードを 2 まい使うと，ならべ方は
何通りありますか。
（ ）
5
練 習 問 題 A
1 右の図のような，1 辺の長さが 1cm の同じ大きさの正三角形を 6 まい，辺と辺をぴっ
たりくっつけるようにならべていろいろな図形をつくります。これについて，次の問
いに答えましょう。
□⑴ 図の正三角形を 6 まいならべてできる図形は，全部で何通りありますか。ただし，向きを変
えたり，うら返したりしたときに同じになるものは，1 通りと数えます。
（ ）
□⑵ ⑴でできる図形の中で，まわりの長さが最も短くなる図形をかきましょう。また，そのときの
まわりの長さも答えましょう。
（ ）
e
l
p
中の点
でもう 1 つ正方形をか
つ正方形をかき，
2 右の図は，正方形の中に，各辺のまん中の点をむすんでもう
次の問いに答えましょ
です。こ
いて，次の問いに答えましょう
それぞれの対角線を引いたものです。これについて，次の問いに答えましょう。
形 が全
全 部 で何
何種 類 あ りますか
さや
う四角形
□⑴ この図の中には，大きさや形のちがう四角形が全部で何種類ありますか。
m
a
1種
りしたとき
きに同じになるもの
えたり
返したり
ただし，向きを変えたり，うら返したりしたときに同じになるものは，
す。
類と数えます。
S
（ ）
三角形は全部で何個あり
の図
三角形は全部で何個ありますか
□⑵ この図の中に，三角形は全部で何個ありますか。
（ ）
うに，正三角形の各辺のまん中
角形の各
3 下の図のように，正三角形の各辺のまん中の点をむすんで，正三角形の中に小さい正三角形をか
そう さ
1 つ，もとの図形の右下にくっつけてかきます。
1 回操 作 すると図 1
正
，も
き，その小さい正三角形を
なり 2 回操作
回操作すると図 2 のような図形になり，3 回操作すると図 3 のような図
のような図形になり，
れについ
形になります。これについて，あとの問いに答えましょう。
もとの正三角形
図1
図2
図3
□⑴ 図 2 で，図形全体のまわりの長さが 30cm のとき，もとの正三角形のまわりの長さは何 cm で
すか。
（ ）
□⑵ 図 3 で，図形全体の面積が 170cm2 のとき，もとの正三角形の面積は何 cm2 ですか。
（ ）
6
練 習 問 題 B
□ 1 右の図のような直角三角形ＡＢＣを，頂点Ｃ
を中心に時計回りに 180°回転させます。直角
三角形が回転するときに通過する部分を，定規
とコンパスを使って作図し，その部分に斜線を
Ｂ
かきいれましょう。作図に用いた線は消さずに
残しなさい。
Ａ
Ｃ
e
l
p
2cm と
□ と横
2 右の図のような厚紙を切って，たてと横の長さが
17cm
3cm の長方形のカードをたくさんつくりました。
るカー
んつく
切り取るカー
6cm
5
ちょう
うど 55
たので
りもなくち
ドはどちら向きでもよかったので，あまりもなくちょうど
m
a
き，図
図の㋐
㋐の部分の
まい切り取ることができました。このとき，図の㋐の部分の
できま
このとき，
でしたか。
長さは何 cm でしたか
S
18cm
18
4cm
8cm
（
（ ）
（ ）
㋐
正
にぴっ
る円
3 右の図は，正方形の中にぴったり入る円をかき，次にその円の中に
A
正方
た，正
ぴったり入る正方形をかき，また，正方形の中に円をかき，…という
E
H
と円
番にか
ように，正方形と円を順番にかいたものです。大きい方の円の半径が
10cm のとき，次の問いに答えましょう。ただし，円周率は
3.14 とし
問いに
ます。
B
G
F
□⑴ 正方形ＡＢＣＤの面積は何 cm2 ですか。
（ ）
D
O
C
□⑵ 正方形ＡＥＯＨの面積は何 cm2 ですか。
（ ）
□⑶ 小さい方の円の面積は何 cm2 ですか。
（ ）
□⑷ かげをつけた部分の面積は合わせて何 cm2 ですか。
（ ）
7