r - 名大の授業

2010年11月22日(月) 13:00-14：30 S2Y
平成22年度 工V系(社会環境工学科) 第７回 電磁気学Ⅰ
天野 浩
項目
電気双極子、種々の帯電体による電界と電位の計算法
＊本日は二つの事柄、即ち
①電気双極子、及び
②種々の帯電体と電界、電位の計算法の実際
を学びます。
電気双極子の考え方の応用例
＊分極・・・固体やガスなどで生じる。
物質名
チタン酸バリウム
水
アルコール
ガラス
木材
雲母
紙
空気
   r 0
比誘電率
約5,000
80.4
16～31
5.4～9.9
5.4
9.9
2.5～7.7
70
7.0
2.0～2.6
1 00059
1.00059
強誘電体
真空の誘電率  0
圧電スピーカ
 8.854  10 12 [ F / m]
http://f.hatena.ne.jp/koki-h/20090428190100
•空気＝絶縁体
•電界があまりに大きくなると絶縁も壊れる。
電界があまりに大きくなると絶縁も壊れる
•→空気の絶縁が壊れると…
http://www.aobaya.jp/photo1.html
空気の絶縁破壊電界は
約30[KV/cm]
と言われている。
と言われている
誘電体を使うと何がよいのか?
コンデンサ(キャパシタ)容量
：誘電率
S
C 
d
S：面積
d：電極間隔
Q=C・Vなので、同じ電圧ならばCが大きい方がQが大きい！
誘電率の大きい材料を用いると、同じ面積、同じ電
誘電率の大きい材料を用いると
同じ面積 同じ電
圧、同じ厚さで、蓄える電荷量を増やすことができ
る！
誘電体に関する最近のエレクトロニクスの話題
学生証にもFeRAM
FeRAMは、構造などがDRAMに似ていて、フラッシュメモリの10倍以
上に及ぶ高速な読み書きが可能である。また、信頼性の面においても
フラッシュメモリ、EEPROMに比べて格段に上と言われている。
FeRAM:強誘電体メモリ
http://ascii.jp/elem/000/000/344/344538/
http://www.sony.co.jp/SonyInfo/News/Press/200510/05-055/
http://journal.mycom.co.jp/news/2003/07/09/11bl.jpg
http://www.usc-sbc.com/felica/index.htm
静電容量の定義
１．空間に孤立した導体に電荷Q[C]が帯電しており、その時の導体の
１
空間に孤立した導体に電荷Q[C]が帯電しており その時の導体の
電位がV[V]であるとき、その導体の静電容量Cは
C
Q
[C / V  F ]
V
単位はファラッド
２．空間の二つの導体に電荷＋Q[C]、
２
空間の二つの導体に電荷＋Q[C] -Q[C]が帯電しており
Q[C]が帯電しており、導体間
導体間
の電位差がV[V]であれば、その導体間の静電容量は
C
Q
[F]
V
電荷を蓄えられるように配置した1対の導体を
キャパシタ、またはコンデンサと呼ぶ。
空気以外の絶縁体(誘電体、不導体)
真空中の場合の平行平板コンデンサ
面積S
金属電極
＋
－
＋
＋
－
－
V
ｄ
 電界
E   [V / m]
電束密度ベクトル
電極の全電荷
Q=C・V=D・S[C］
Q
[ ］


D   0 E[C / m 2 ]
V
S
E  ,C  0
d
d
空気以外の絶縁体(誘電体、不導体)
電極間に誘電体を挟んだ時、誘電率が0からに変わったとする。
面積S
＋＋ ＋ ＋＋
－ －－ －－
金属電極
V
ｄ
＝r0 として、rを比誘電率と呼
ぶ。X線領域以外では、r>1
 r  1  ( r  1)




D  E   0 r E   0 1  ( r  1)E


  0 E   0 ( r  1) E
 
  0 E  P[C / m 2 ]
Pを分極ベクトルと呼ぶ。
Pを分極
クトルと呼ぶ。 単位[C/m2]


P   0 ( r  1) E[C / m 2 ]
空気以外の絶縁体(誘電体、不導体)
分極とは何か?
→ 物質内部で、電気的に中性であったものが、電荷が発生する現象。
ーq
q


m  q
電気双極子
電気
極



P   mi
+q
q
i

は微小長さ、
微 長 、
mは電気双極子モーメント
電気 極
物質内部に発生する電気双極子の総和が分極P
空気以外の絶縁体(誘電体、不導体)
分極の種類
１ 電子による分極
１．
原子核
核
＋
電子雲

E

m
＋
＊各原子における正電荷(原子核)と負電荷(電子)の重心位置のずれ
により、電気双極子が発生する。
＊特徴：電子は 原子核に強く束縛されているので それほど大きくな
＊特徴：電子は、原子核に強く束縛されているので、それほど大きくな
い。
＊電子は軽いので 早い周波数にも対応する
＊電子は軽いので、早い周波数にも対応する。
空気以外の絶縁体(誘電体、不導体)
２ イオン分極
２．
NaClのような結晶を考える。 Na：正イオン（青） Cl：負イオン(赤紫)
E
＋
＝
元の格子＋ずれた格子位置に電気双極子を配置することと同じ
元の格子＋ずれた格子位置に電気双極子を配置することと同じ。
特徴：格子振動に対応するので、赤外領域まで追随する。
電気双極子とは?
z
d ＋Q

2
－Q
x

r1 
r2

短い距離d[m]だけ離れた±Q[C]の電荷対
P
Q7-1 Pの電位は？
V
y
Q
1 1
(  )
4 0 r1 r2
d

r

r

cos  ,
1

2
d<<rなので 
r  r  d cos 
 2
2
Q
d cos 
Qd cos 
V

4 0 2 d 2
4 0 r 2
2
r  cos 
4

d

2

電気双極子モーメントp[C・m]を定義する。
電気双極子モ
メントp[C m]を定義する。 p  Q  d
V
Qd cos 
p cos 

4 0 r 2
4 0 r 2
電気双極子による電界 デカルト座標系 (Cartesian Coordinate)
z
d ＋Q

2 
－Q
x
P(
P(x,y,z)
)

r1 
r2
d

2

d 
d
r1  ( x, y, z  ), r2  ( x, y, z  )
2
2

E  V
y
Ex  
V
Q

x 4 0
Ey  
V
Q

x 4 0
Ez  
V
Q

x 4 0
Q7-2 電界を求めなさい。




 
1
1
   Qx ( 1  1 )


x
4 0 r13 r2 3
d 2
d 2
2
2
2
2
x  y  (z  ) 
 x  y  (z  )
2
2 





 
1
1
Q
1
1
   Qy

( 3  3)


y
4 0 r1 r2
d 2
d
2
2
x2  y 2  ( z  )2 
 x  y  (z  )
2 
2



d
d


z
z
 
Q
1
1
2



( 3  32 )


4 0 r1
z
r2
d
d 2
2
2
x2  y 2  ( z  )2 
 x  y  (z  )
2
2 

電気双極子による電界 極座標系(Polar Coordinate)
第3回講義ノートより
第
回講義
より
直交座標

     
i
j
k
z
x
y
円筒座標
極座標
  1    
ir 
i 
iz
z
r
r 

E  V
V
  1  
1  
ir 
i 
i
r
r 
r sin  
p cos 
4 0 r 2
Q7-3 極座標を用いて、電界を求めなさい。
r方向の電界 Er  
p cos    1  p cos  1
 2
4 0 r  r 
2 0 r 3
方向の電界 E  
1 p

p sin  1




cos
r 4 0 r 2 
4 0 r 3
電界の大きさ
p
E  Er  E 
2
2
3 cos 2   1
4 0 r 3
2.5
2
大き
きさ
1.5
1
系列1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
z 軸との為す角度[rad]
3 cos 2   1 のグラフ
無限の長さの導線に単位長さ当たりq［C/m］の電荷が与えられている
問題2-4
時， この導線から垂直距離r［m］だけ離れている地点Pでの電界の
方向および大きさ、及び電位は？
上下方向の電界は無い
r
ガウスの法則を使うと
 内部の電荷
q
 D  dS  q
dl×2r×D=q×dl
d
E
q
2 0 r
[V / m]
電界の向きは、導線に対して垂直方向外向き
電位は
r
V  
q
2 0 r

dr  
r2
q
2 0
距離r1とr2の電位差は？V   
r1
発散する。
(log r  log )[V ]
q
2 0 r
dr 
q
2 0
log
r2
[V ]
r1
Q7-4 長さが無限で単位長さ当たりq［C/m］に帯電した半径a[m]の
中空円筒のｒ方向の電界分布を求めよ。
r
a
r<aでは 中に電荷は存在しないのでE=0[V/m]
r<aでは、中に電荷は存在しないのでE=0[V/m]。
r>aでは、中心r=0に電荷が集中している導線と
同じ。
q
E
[V / m]
2 0 r
Q7-5 半径a[m]の球導体の表面上にのみ電荷Q[C]が一様に分布し
ている。電界と電位分布を求めなさい。
Q
a
最初に電界分布を求める。
球の内部では電荷はゼロ→電界E=0[V/m]
r>aでは ガウスの法則を用いて
r>aでは、ガウスの法則を用いて
E
Q
4 0 r
2
[V / m]
次に電位分布を求める。
r
r>aでは、
では
V  

a
ｒ<aでは、 V   

Q
4 0 r
Q
4 0 r
2
2
d 
dr
dr  0 
Q
4 0 r
Q
4 0 a
[V ]
[[V
V]
球体内部は表面電
位と同じ！
位と同じ
Q7-6 2枚の無限に広い平行導体板がそれぞれ＋、－[C/m2]だけ
帯電している。導体板間距離をd[m]とすると、電界分布はどうなる
[ ]
か？また、２枚の導体板間の電位差はどれだけか？
二枚の
板間
ー
d[m]

平行平板の外では，打ち消しあって電界は零
平行平板の外では
打ち消しあ て電界は零
平行平板の内側のみ E  2     [V / m]
2 0
電位差は
0


dx  d [V ]

0
d 0
0
V  
同心球の導体の場合の電気力線
内側の導体球に＋Q1，外側の導体球に＋Q2の電荷を与えた場合
静電誘導により，外側の導体
静電誘導
り，外側 導体
球内部表面にーQ1，外部表
面に＋Q1の電荷が発生
ーQ1
＋Q1
＋Q2
内部の電気力線は
Q1

＋Q1＋Q2
外部の電気力線は
Q1  Q 2

重要！
ガウスの法則の本質
Q7-7 図のように、真空におかれた２個の同心球導体を考える。内球の半径はa[m]、外球の
内側の半径はb[m]、外側の半径はc[m]である。
(１)内導体球に電荷Q[C] 外導体球に電荷０[C]与えた時の電界分布及び電分布を求めよ
(１)内導体球に電荷Q[C]、外導体球に電荷０[C]与えた時の電界分布及び電分布を求めよ。
(２) 内導体球に電荷０[C]、外導体球に電荷Q[C]与えた時の電界分布及び電分布を求めよ。
(３)内導体球に電荷Q[C]、外導体球に電荷－Q[C]与えた時の電界分布及び電分布を求め
よ。
a
b
(1) 導体内部では電界=0、すなわち
0<r<a b<r<cではE=0[V/m]
0<r<a、b<r<cではE=0[V/m]
E
b＞r＞a、r>cでは
、
c
r>cでは
a<r<bでは
a
bでは
a＞rでは
＞ では
V
V
V
Q
4 0 r
Q
4 0 c
[[V
V]
r

b
Q
4 0 r 2
c>r>bでは
Q
4 0 r
d 
dr
2
[V / m]
V
Q
4 0 c
[[V
V]
Q 1 1 1
   [V ]
4 0  c r b 
Q 1 1 1
   [V ]
4 0  c a b 
Q7-7 図のように、真空におかれた２個の同心球導体を考える。内球の半径はa[m]、外球の
内側の半径はb[m]、外側の半径はc[m]である。
(２) 内導体球に電荷０[C]、外導体球に電荷Q[C]与えた時の電界分布及び電分布を求めよ。
内導体球に電荷０[C] 外導体球に電荷Q[C]与えた時の電界分布及び電分布を求めよ
0<r<cでは 内部に電荷が無いのでE=0[V/m]
0<r<cでは、内部に電荷が無いのでE=0[V/m]
a
b
c
r>cでは
E
Q
4 0 r 2
Q

[V ]
V
r cでは
r>cでは
4 0 r
r<cでは V  Q 1 [V ]
4 0 c
[V / m]
Q7-7 図のように、真空におかれた２個の同心球導体を考える。内球の半径はa[m]、外球の
内側の半径はb[m]、外側の半径はc[m]である。
(３)内導体球に電荷Q[C] 外導体球に電荷－Q[C]与えた時の電界分布及び電分布を求め
(３)内導体球に電荷Q[C]、外導体球に電荷
Q[C]与えた時の電界分布及び電分布を求め
よ。
a
b
導体内部では電界=0、すなわち
導体内部では電界=0
すなわち
0<r<a、b<r<cではE=0[V/m]
b＞r＞aでは E 
c
Q
4 0 r
r＞cでは E  0[V / m]
[V / m]
V  0[V ]
r>bでは
r
a<r<bでは V   
b
a＞rでは
2
V
Q
4 0 r
dr 
2
Q 1 1
  [V ]
4 0  r b 
Q 1 1
  [V ]
4 0  a b 
本日のまとめ
•7問中何問正解したか?
•電気双極子について、自分なりにまとめよ。
•導体内の電界及び電位は理解できたか？
•導体球、無限導線、無限導体板それぞれの電界と電位分布を自分な
りにまとめよ。
りにまとめよ
•次回11月29日(月)は、理解度チェックテストを行います。必ず電卓を
持参してください。
持参してください