Ⅲ－1. アナログフィルタ R C

Ⅲ－１. アナログフィルタ
１.目的
アナログフィルタの基本原理を理解し、回路の設計方法を習得する。
２.基礎理論
２-１.パッシブフィルタ(RC 回路)の解析
Fig.1 のように抵抗 R とキャパシタ C を直列接続し、その両端に交流電流
ei を加えた時の C の端子電圧 e0 について
R
考える。入力電圧 ei に対する出力電圧の
比 e0/ei(伝達関数)は、
e0
1 / jω C
1
=
=
ei R + 1 / jω C 1 + jω C R
また、その絶対値(振幅特性)は、
e0
1
=
ei
1 + (ωC R ) 2
ei
(2.1)
C
eo
Fig.1 最も簡単な LPF
(2.2)
この式で周波数が十分低い場合、つまりω→0 を考えると e 0 / e i → 1 となる。
また、 e 0 / e i → 1 / 2
fc と呼び、 ω C R = 1
1
fc =
2πCR
−1
、つまり-3dB ( = 20 log 2 ) となる周波数を遮断周波数
より
(2.3)
が求められる。
周波数が fc よりもさらに高くなると e 0 / e i ≡ 1 / ( ω C R ) となり、周波数に逆比
例してゲインが限りなく低下する。
この周波数特性を示す回路は、低周波
成分のみを通過させる LPF(Low Pass
Filter)と呼ばれる。
フィルタには、その特性から以下の
種類がある。
* HPF(High Pass Filter)
* BPF(Band Pass Filter)
* BEF(Band Elimination Filter)
通過
帯域
遮断
帯域
ゲ -3
イ
ン
dB
減衰
傾度
fc
周波数 Hz
Fig.2
5
変遷
帯域
LPF の周波数特性
２-２. バターワース型アクティブフィルタの解析
正帰還方式のアクティブ LPF 回路及びその等価回路を Fig.3 に示す。
C2
R1
R1
R2
i1
+A
ei
ei
eo
C1
R2
i2
C2
C1
eo
(a) 原回路
(b)等価回路
Fig.3
正帰還方式２次系アクティブ LPF の解析
等価回路から次式が成り立つ
1
e0 = A
i2
jωC1
ei − e0 = i1 R1 + (i1 − i2 )
e0 = (i2 − i1 )
(2.4)
1
jω C 2
(2.5)
1
1
+ ( R2 +
)i2
jω C 2
jωC1
(2.6)
まず、この３式から伝達関数を求める
e
A
A( jω ) = 0 =
2
ei ( jω ) C1 R1 C 2 R2 + {(1 − A)C 2 R1 +C1 R2 +C1 R1 }( jω ) + 1
1
ωc2 =
(2.8)
とおくと,
C1 R 1 C 2 R 2
A( jω ) =
(j
ω
=x
ωc
A( j x) =
,
ω 2
) +
ωc
A
(1 − A)C 2 R1 + C1 R2 + C1 R1
C1 R1C 2 R2
C1 R1C 2 R2
(1 − A)C 2 R1 + C1 R2 + C1 R1
=Q
A
1
( j x) 2 + ( j x) + 1
Q
(j
ω
) +1
ωc
(2.9)
とおけば,
(2.10)
6
(2.7)
eo/A
従って、バターワース型 2 次 LPF の伝達関数の一般式は,
A
A (S) =
(2.11)
1
S2 + S + 1
Q
次にアンプのゲイン A を１に設定し、さらに C1=C/k, C2=k×C, R1=R2=R と
1
k
おくと、 f c =
, Q=
と求まる。
2πCR
2
A=1 のアンプはボルテージホロアで実現され、Fig.4 のような回路を構成すれ
ばよいことになる。
2QC
R
＋
－
ei
Fig.4
1
2π C R
k
Q=
2
fc =
R
C/2Q
eo
(2.12)
(2.13)
A=1 のバターワース型２次 LPF
また、A>1 に設定する場合は R1=R2=R,C1=C2=C とすることにより、Fig.5 のよ
うな回路を構成すればよいことになる。
R
R
＋
－
ei
C
eo
r1
r2
Fig.5
1
2πCR
1
Q=
3− A
r
A = 1+ 1
r2
fc =
C
A>1 のバターワース型２次 LPF
7
(2.14)
(2.15)
(2.16)
３.実験装置
* パーソナルコンピュータ
* 電子回路シミュレータ
Multisim
４.実験
４-１.パッシブフィルタの設計
予習
RC 回路において遮断周波数が 100Hz となる R1 及び C1 の値を求めよ。
（ヒント：式 2.3 において、fc=100Hz，R=1,000Ωとすると、C=? ）
実験
①信号源の周波数を 10, 100, 1kHz
と変化させた時の出力電圧の変化
を調べ、表１にまとめる。
②AC 解析を行い、振幅（ゲイン）
特性のグラフより得た値を表２
にまとめ、減衰傾度を求める。
③AC 解析のグラフ及び回路図を
画像データとして保存。
Fig.6
RC 回路
※1 減衰傾度は 2 倍離れた周波数間,つまり１オクターブにつきゲインが何 dB
減衰するかを表し、単位としては dB/オクターブ(dB/oct)を用いる。
表１
信号周波数[Hz]
RC 回路における入出力電圧の測定
入力電圧[mV]
出力電圧[mV]
出力電圧/入力電圧[dB]
10
100
1k
表２
AC 解析のグラフにて調査した値(RC 回路)
周波数[Hz]
振幅[dB]
10
100
200
1k
8
４-２.バターワース型 2 次系アクティブ LPF の設計
予習
バターワース型 2 次ローパスフィルタの遮断周波数, 回路抵抗,
コンデンサの値は(2.12)及び(2.13)式の関係で表される。
fc=100Hz , R=1,000Ω（=R1=R2）, Q=0.707 とし、C1 と C2 の
値を求めよ。
C = 1 / (2×3.14×R×fc) =
C2 = 2QC =
C1 = C / 2Q =
実験
Fig.7 を参考に遮断周波数 fc=100Hz のバターワース型 2 次系（A=1）
を構成し、RC 回路と同様に調査せよ。なお、AC 解析のグラフ及び回
路図は画像データで記録を行うこと。
Fig.7
表３
信号周波数[Hz]
A=1 のバターワース型 2 次系アクティブフィルタ
バターワース型 2 次 LPF の入出力電圧の測定
入力電圧[mV]
出力電圧[mV]
10
100
1k
9
出力電圧/入力電圧[dB]
表４
AC 解析のグラフにて調査した値（バターワース型 2 次）
周波数[Hz]
振幅[dB]
10
100
200
1k
４-３.バターワース型４次系アクティブ LPF の設計
Fig.8 にバターワース型 4 次系アクティブ LPF を示す。この回路は 2 次系 LPF
の 2 段接続と考えられる（前段の Q は 1.307, 後段の Q は 0.541 とする。）
下の図を参考に遮断周波数 fc=100Hz の LPF を構成し、
RC 回路と同様に調査せよ。
なお、AC 解析のグラフ及び回路図は画像データで記録を行うこと。
Fig.8
表５
信号周波数[Hz]
バターワース型 4 次系アクティブ LPF
バターワース型 4 次 LPF の入出力電圧の測定結果
入力電圧[mV]
出力電圧[mV]
10
出力電圧/入力電圧[dB]
表６
AC 解析のグラフにて調査した値（バターワース型 4 次）
周波数[Hz]
振幅[dB]
10
100
200
1k
５.課題
１)パッシブフィルタ(RC 回路)とアクティブフィルタの短所,長所を述べよ。
（回路の複雑さ、遮断領域における減衰特性など）
[＋10 点]
２)バターワース型 2 次系アクティブ HPF の回路及びその等価回路を
Fig.9 に示す。この回路の伝達関数を導出せよ。
[＋10 点]
R2
C1
+A
ei
R1
C2
C1
C2
eo
ei
i1
R1
i2
R2
eo /A
eo
a) 原回路
b)等価回路
Fig.9 バターワース型 2 次系アクティブ HPF
３)グラフィックイコライザ及びアンチエリアスフィルタについて、その動作
原理及び使用目的を説明せよ。
[＋10 点]
６.参考文献
1)島田公明；アナログフィルタの基礎知識と実用設計法,誠文堂新光社,1993
2)宮崎仁 他；基礎から学ぶフィルタ回路のすべて,トランジスタ技術 8 月
号,1991
3)松本幸夫；電子回路シミュレータ multiSIM8 入門,技術評論社,2005.
◇ 実験資料掲載 HP
http://www.esato.net/ex/
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