ビーム物理

総研大 高エネルギー加速器科学研究科
加速器科学専攻
加速器概論Ｉ
ビーム物理
鎌田 進
２０１５年５月２８日
今日の予定内容
I.
エミッタンス保存について
II. シンクロトロン放射の発生機構
III.シンクロトロン放射と加速器ビーム特性
円形加速器の一箇所でビーム粒子を観測すると、
毎ターンごとに、同じ位相空間楕円の上に来る。
W = γ ( s ) z ( s ) + 2α ( s ) z ( s ) z′ ( s ) + β ( s ) z′ ( s )
2
2
z’
z
非線形運動の場合でも、楕円ではないが、同様な制約が存在する。
⇨ ビーム運動は減衰しない！
ビーム運動を減衰させることは可能か？ ⇨ YES
“ビーム運動の大局的性質 (1)”
リウビルの定理
エミッタンスの保存
ビーム粒子の位相空間分布密度 ρ(q,p,t) は、粒子が生成消滅しない場合、
次式の位相空間に於ける連続方程式を満たす
i
i
⎛
⎞
!
!
∂
ρ
q
∂
ρ
p
(
)
(
)
∂ρ
+ ∑⎜
+
⎟ =0
i
i
∂t i=1 ⎝ ∂q
∂p ⎠
3
全てのビーム粒子が同じハミルトニアンに従って運動する時、
次の式が成立する。
この条件を崩してやる！
3
⎛ ∂2 H
⎛ ∂q! i ∂ p! i ⎞
∂2 H ⎞
ρ∑ ⎜ i + i ⎟ = ρ∑ ⎜ i
−
=0
i⎟
∂p ⎠
∂ pi ∂q ⎠
i=1 ⎝ ∂q
i=1 ⎝ ∂q ∂ pi
3
この時、ビーム粒子の位相空間分布密度 ρ(q,p,t) の時間全微分はゼロである
d ρ ∂ρ 3 ⎛ ∂ρ i ∂ρ i ⎞
=
+ ∑ ⎜ i q! + i p! ⎟ = 0
dt
∂t i=1 ⎝ ∂q
∂p ⎠
シンクロトロン放射
I.
シンクロトロン放射光の発生機構
(1) Maxwell方程式のFeynmann表現
(2) Syncrotron放射の数値計算
偏向磁石、アンジュレータ
(3) 偏向磁石放射の統計的性質
II. シンクロトロン放射と加速器ビーム特性
(1) 放射減衰
(2) 放射励起
(3) 平衡分布
(1)
Maxwell方程式のFeynman表現
Maxwell方程式
変位電流
Maxwell方程式は電荷保存則を
満たすようにして得られた。
波動方程式
ポテンシャルによる電磁場表現を導入
Lorentz ゲージを選択
波動方程式が導かれる
運動荷電粒子が作る電磁場
Green’s 関数を使った波動方程式の一般解に
運動荷電粒子がソースであることをδ関数を使って表現
次の遅延ポテンシャルを得る。
運動荷電粒子と観測者
発光体時間と観測者時間
unit aming vector
観測者時間、発光体時間、見かけの運動
t’ : 発光体時間
t : 観測者時間
見かけの位置
時間変換係数
発光体時間表示による電場表現
遅延ポテンシャルを空間積分し、電磁場を求めるためにポテン
シャルの微分を実行し、その後、発光体時間で積分する。独立
変数を観測者時間 t として、その関数である発光体時間 t’(t) を
使って、次のように電場が表現される。
観測者時間表示での電場表現もできるはず、
電場のHeaviside-Feynmann 表現
観測者時間表示の電場
Coulomb場
Mixture
加速度、
この項が遠距
離まで到達
これは観測者時間表示の電場。 だから、unit aiming
vector ”n” の見かけの運動を思い浮かべれば、放射電場
が想像できる。
(2)
Syncrotron放射の数値計算
1. 偏向磁石のシンクロトロン放射
2. アンジュレータ放射
円運動荷電粒子の放射電磁場
偏向磁石からの放射光
ParametricPlot@r@tpD, 8tp, -tst, tst<, A
PlotRange Æ 880, r<, 8-r, r<<D
r@tp_D := 8r H1 - Cos@Cmov tp ê rDL, r Sin@Cmov tp ê rD<;
H* curvature,observer,energy *L
r = 10; robs = 80, 100<; grel = 50;
H* physical consts.*L
Clv = 299 792 458;
1
e0 =
;
2
4 Pi 10 ^ H-7L Clv
qelec = 1.602176462 ¥ 10 ^ -H19L;
H* particle velocity *L
1
Cmov = Clv SqrtB 1 F;
2
grel
tst = HPi ê 4L r ê Clv;
10
進行方向位置
5
0
水平方向位置
2
n
-5
-10
4
6
8
10
観測者の目に映る運動
tobs@tp_D := tp + R@tpD ê Clv;
Plot@tobs@tpD, 8tp, -tst, tst<, PlotRange Æ AllD
R@tp_D := Sqrt@Hrobs - [email protected] - r@tpDLD;
観測者時間
n@tp_D := Hrobs - r@tpDL ê R@tpD;
ParametricPlot@8tp, n@tpD@@1DD<, 8tp, -tst, tst <, PlotRange Æ All,
AspectRatio Æ 1D
-2. ¥ 10-8
-1. ¥ 10-8
1. ¥ 10-8
2. ¥ 10-8
3.36 ¥ 10-7
発光体時間
-0.005
3.35 ¥ 10-7
-0.010
3.34 ¥ 10-7
-0.015
3.33 ¥ 10-7
-0.020
3.32 ¥ 10-7
-2. ¥ 10-8
-1. ¥ 10-8
発光体時間
1. ¥ 10-8
-0.025
2. ¥ 10-8
nx
ParametricPlot@8tobs@tpD, n@tpD@@1DD<, 8tp, -tst, tst <,
PlotRange Æ All, AspectRatio Æ 1D
k@tp_D = D@tobs@tpD, tpD;
Plot@k@tpD, 8tp, -tst, tst<D
-0.030
時間変換係数
3.32 ¥ 10-7
0.30
-0.005
0.25
-0.010
0.20
-0.015
0.15
0.10
-0.020
0.05
発光体時間
-2. ¥ 10-8
-1. ¥ 10-8
1. ¥ 10-8
2. ¥ 10-8
-0.025
nx
3.33 ¥ 10-7
3.34 ¥ 10-7
3.35 ¥ 10-7
3.36 ¥ 10-7
観測者時間
見かけの運動の微分
ParametricPlot@8tobs@tpD, n@tpD@@1DD<, 8tp, -tst, tst <,
PlotRange Æ All, AspectRatio Æ 1D
3.32 ¥ 10-7
3.33 ¥ 10-7
3.34 ¥ 10-7
3.35 ¥ 10-7
3.36 ¥ 10-7
nxの１階微分
5 ¥ 107
観測者時間
-0.005
観測者時間
-0.010
0
nx
3.32 ¥ 10-7
3.33 ¥ 10-7
3.34 ¥ 10-7
3.35 ¥ 10-7
3.36 ¥ 10-7
-0.015
-0.020
-5 ¥ 107
-0.025
観測者時間
-0.030
H* dnHt'L =
dt
-7
-7
-7
-7
-7
3.33562 ¥ 10
3.33563
¥ 10
3.33564
¥ 10
3.33565
¥ 10
3.33566
¥ 10
3.33567
¥ 10-7
dnHt'L
1
*L
kHt'L dt'
dndt@tp_D =
H* d
2 nHt'L
dt2
=
1
k@tpD
-5.0 ¥ 1020
D@n@tpD, tpD;
d2 nHt'L
dnHt'L
k'
*L
HkHt'LL2 dt'2
HkHt'LL3 dt'
-1.0 ¥ 1021
1
d2ndt2@tp_D =
1
Hk@tpDL2
D@n@tpD, 8tp, 2<D -
D@k@tpD, tpD
Hk@tpDL3
D@n@tpD, tpD;
21
-1.5 ¥ 10
ParametricPlot@8tobs@tpD, dndt@tpD@@1DD<, 8tp, -tst, tst <,
AspectRatio Æ 1D
-2.0 ¥ 1021
ParametricPlot@8tobs@tpD, d2ndt2@tpD@@1DD<, 8tp, -tst ê 10, tst
ê 10 <,
PlotRange Æ All, AspectRatio Æ 1D
nxの２階微分
Feynmann表現の放射電場
H* EHx,tL=
q
4pe0
:
dnR2dt@tp_D = DB
Efield@tp_D =
n
R2
d
J n2
c dt R
+R
n@tpD
R@tpD2
N+
1 d2 n
>
c2 dt2
*L
, tpF ì k@tpD;
qelec
n@tpD
4 Pi e0
R@tpD2
+
R@tpD
Clv
dnR2dt@tpD +
1
Clv2
d2ndt2@tpD ;
Table@ParametricPlot@8tobs@tpD, Efield@tpD@@iDD<, 8tp, -tst ê 10, tst ê 10 <,
PlotRange Æ All, PlotPoints Æ 1000, AspectRatio Æ 1D, 8i, 1, 2<D
-7
-7
-7
-7
-7
3.33562 ¥ 10
3.33563
¥ 10
3.33564
¥ 10
3.33565
¥ 10
3.33566
¥ 10
3.33567
¥ 10-7
-5. ¥ 10-6
1.4 ¥ 10-9
観測者時間
進行方向電場
1.2 ¥ 10-9
-0.00001
1. ¥ 10-9
-0.000015
8. ¥ 10-10
-0.00002
6. ¥ 10-10
-0.000025
4. ¥ 10-10
-0.00003
水平方向電場
-0.000035
観測者時間
-7
-7
-7
-7
-7
3.33562 ¥ 10
3.33563
¥ 10
3.33564
¥ 10
3.33565
¥ 10
3.33566
¥ 10
3.33567
¥ 10-7
運動荷電粒子が作る電場と磁場の関係
磁場はいつでも横波。電場は横波とは限らないが、充
分遠方なら、横波と見なせる。
偏向磁石放射光スペクトル
観測者時間が等間隔になるデータを作成しFourier変換
Nbin = 2 ^ 10;
eqtime =
Table@
FindRoot@
tobs@tpD ä Htobs@-tst ê 10D H1 - i ê NbinL + tobs@tst ê 10D Hi ê NbinLL,
8tp, -tst ê 10, tst ê 10<,
AccuracyGoal Æ 24, WorkingPrecision Æ 34,
MaxIterations Æ 50D, 8i, 0, Nbin<D;
Edata = Efield@tpD ê. eqtime;
ListPlot@Transpose@EdataD@@1DD, PlotRange Æ AllD
200
-5. ¥ 10-6
-0.00001
400
600
800
1000
ListPlot@Abs@FdataD, PlotRange Æ 880, Nbin ê 10<, All<D
Fdata = Fourier@Transpose@EdataD@@1DDD;
0.000025
0.00002
-0.000015
-0.00002
0.000015
-0.000025
-0.00003
-0.000035
0.00001
5. ¥ 10-6
0
20
40
60
80
100
アンジュレータ放射
運動方程式
アンジュレータパラメタ
アンジュレータ放射
電子軌道
意外に感じるかもしれないが、この電子軌道は近似。
zとt’の関係が積分で表示され解析的表現が煩瑣にな
進行方向位置
z
0.4
る。数値的に扱えば問題にならない
<< "FourierSeries`"
r@tp_D := :-
Kund Clv Sin@wu tpD
grel wu
1+
, 12
K2
und
2
grel2
Clv tp -
K2und Clv Sin@2 wu tpD
I8
grel2 M
wu
>;
0.3
H* curvature,observer,energy *L
Kund = 1; lu = 0.04; Nu = 10; robs = 80, 100<; grel = 50;
H* physical consts.*L
Clv = 299 792 458;
1
e0 =
;
2
4 Pi 10^H-7L Clv
qelec = 1.602176462 ¥ 10^-H19L;
0.2
0.1
H* undulater frequency, velocity of moving charge, time duration of observation *L
2 Pi Clv
1
wu =
; Cmov = Clv SqrtB 1 F;
2
lu
grel
tst = lu Nu ê Cmov;
-0.0001 -0.00005
水平方向位置
x
0.00005 0.0001
ParametricPlot@r@tpD, 8tp, 0, tst<, AspectRatio Æ 2, PlotRange Æ All, PlotPoints Æ 5000D
アンジュレータ放射
発光体時間と観測者時間
R@tp_D := Sqrt@Hrobs - [email protected] - r@tpDLD;
tobs@tp_D := tp + R@tpD ê Clv;
Plot@tobs@tpD, 8tp, 0, tst ê Nu <, PlotRange Æ AllD
観測者時間 t
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
発光体時間 t’
2. ¥10-11 4. ¥10-11 6. ¥10-11 8. ¥10-11 1. ¥10-101.2 ¥10-10
k@tp_D = D@tobs@tpD, tpD;
Plot@k@tpD, 8tp, 0, tst ê Nu <, PlotPoints Æ 1000D
時間変換係数
κ
-8
4. ¥10
3.5 ¥10-8
3. ¥10-8
2.5 ¥10-8
発光体時間 t’
2. ¥10-11 4. ¥10-11 6. ¥10-11 8. ¥10-11 1. ¥10-10 1.2 ¥10-10
アンジュレータ放射
unit aiming vector
n@tp_D := Hrobs - r@tpDL ê R@tpD;
Table@ParametricPlot@8tp, n@tpD@@iDD<, 8tp, 0, tst ê Nu <,
AspectRatio Æ 1, PlotRange Æ AllD, 8i, 1, 2<D
nx
1. ¥10-6
Table@ParametricPlot@8tobs@tpD, n@tpD@@iDD<, 8tp, 0, tst ê Nu <,
AspectRatio Æ 1, PlotRange Æ All, PlotPoints Æ 1000D, 8i, 1, 2<D
nx
1. ¥10-6
5. ¥10-7
5. ¥10-7
2. ¥10-11 4. ¥10-11 6. ¥10-11 8. ¥10-11 1. ¥10-10 1.2 ¥10-10
発光体時間 t’
-5. ¥10-7
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
観測者時間 t
-5. ¥10-7
-1. ¥10-6
-1. ¥10-6
nz
nz
1
1
1
1
1
1
1
1
2. ¥10-11
4. ¥10-11
6. ¥10-11
発光体時間 t’
8. ¥10-11
1. ¥10-10 1.2 ¥10-10
3.33564 ¥10-7
観測者時間 t
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
Feynmamm表現の項別アンジュレータ放射
E Hx, tL =
Ex
q
4 pe0
:
n
R2
+
R d
n
c dt
R2
Ex
1.5 ¥10-19
6. ¥10-12
1. ¥10-19
4. ¥10-12
5. ¥10-20
2. ¥10-12
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
-5. ¥10-20
+
1 d2 n
c2
dt2
>
Ex
0.0010
0.0005
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
-2. ¥10-12
-1. ¥10-19
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
-4. ¥10-12
-0.0005
-1.5 ¥10-19
-6. ¥10-12
-0.0010
Ez
Ez
Ez
1.4 ¥10-9
1.442 ¥10-13
1.3 ¥10-9
1. ¥10-9
1.2 ¥10-9
1.4415 ¥10-13
1.1 ¥10-9
5. ¥10-10
1.441 ¥10-13
1. ¥10-9
9. ¥10-10
1.4405 ¥10-13
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
3.33564 ¥10-7
第１項
第２項
第３項
アンジュレータ放射
エネルギースペクトル計算
観測者時間で等間隔なデータを求める計算で、もっとも時間を食う。
Nbin = 2^15;
eqtime = Table@FindRoot@tobs@tpD ä Htobs@0D H1 - i ê NbinL + tobs@tstD Hi ê NbinLL, 8tp, 0, tst<,
AccuracyGoal Æ 14, WorkingPrecision Æ 24,
MaxIterations Æ 50D, 8i, 0, Nbin<D;
Edata = Efield@tpD ê. eqtime;
ListPlot@Transpose@EdataD@@1DD, PlotRange Æ All, Joined Æ TrueD
Fdata = Fourier@Transpose@EdataD@@1DDD;
ListPlot@Log@Abs@FdataDD, PlotRange Æ 880, Nbin ê 50<, All<, Joined Æ TrueD
0.0010
0.0005
-5
5000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
-10
-0.0005
-0.0010
-15
-20
-25
100
200
300
400
500
600
アンジュレータ放射
エネルギースペクトル計算
観測者時間で等間隔なデータを求める計算で、もっとも時間を食う。
Nbin = 2^15;
eqtime = Table@FindRoot@tobs@tpD ä Htobs@0D H1 - i ê NbinL + tobs@tstD Hi ê NbinLL, 8tp, 0, tst<,
AccuracyGoal Æ 14, WorkingPrecision Æ 24,
MaxIterations Æ 50D, 8i, 0, Nbin<D;
Edata = Efield@tpD ê. eqtime;
ListPlot@Transpose@EdataD@@1DD, PlotRange Æ All, Joined Æ False, PlotStyle Æ [email protected]
Fdata = Fourier@Transpose@EdataD@@1DDD;
ListPlot@Log@Abs@FdataDD, PlotRange Æ 880, Nbin ê 100<, All<, Joined Æ FalseD
0.0010
0.0005
-5
5000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
-10
-0.0005
-15
-0.0010
-20
-25
50
100
150
200
250
300
(3)
偏向磁石放射の統計的性質
1. 偏向磁石放射の解析的取扱い
2. 偏向磁石放射の統計的性質
Analytical method of radiation
calculation
General formula(another expression)
Far-field approximation
Acceleration gives electric field far from the source
where
in other form
Power and spectrum
Power
Spectrum
where
Photon number
Amplitude of electric field E^2 gives finding probability
of photons.
Polarization vector
Electric field of each polarization
in time domain
Electric field calculated in
frequency domain
Analytic calculation of
radiation from bending
Emitter time t’ and observer time t.
Power spectrum of bending radiation
where
放射パワー、電子１個の時e^2に比例、N個の時は？
電子１個と同じ領域にN個が詰まっているな
ら、上式と同じ導出に従うので(Ne)^2 となる。
これを干渉性放射という。そうでない非干渉性
放射では、同じ電子間の干渉項のみが生き残り、
Ne^2となる。
干渉性の度合いは、ビームの時間空間広がりと
対象とする波長領域とから決まる。
放射光ビームの時間干渉性
色の違いは波長の違いに対応している
σ-polarization
$-polarization
Total
偏向磁石放射光の統計的性質まとめ
周回当たり放射エネルギー損失
周回当たり放出光子数
平均光子エネルギー
平均光子エネルギー分散
II. Effects of Synchrotron Radiation on Beams
(1) 放射減衰
(2) 放射励起
(3) 平衡分布
簡単に示せるために、主に、シンクロトロン振動を基
にして述べる。
ベータトロン振動についても、同様に話が進む。
詳しくは、例えば、Sandsの教科書を参照のこと。
放射をTransfer matrixで取り扱うため
放射エネルギー損失のビームエネルギー偏差依存
周回当たりエネルギー損失
放射を含む進行方向運動の
Transfer matrixに拠る表現
リングモデル
加速空洞のTransfer matrix
放射のTransfer matrix
周回行列
放射減衰
周回行列のDeterminant
時間当たり減衰率
減衰振動として表現
上のように書ける条件
シンクロトロン角周波数
量子励起
光子放出は量子化され、確率的に起きる現象。
光子放出により、シンクロトロン振動が励起される。
ベータトロン振動でも放射減衰や放射励起が生じる。
ビームエネルギーの平衡分布
個々の電子のエネルギー偏差は、無限過去からの光子放
出とその後の減衰シンクロトロン振動の重ね合わせとし
て書ける。
ここでui (放出光子エネルギー)と ti (放出時刻)は確率変
数。 これらは統計的に扱わなければならない。
電子エネルギー偏差の二乗を求める
特性時間∆tの存在を要求する
この時間幅∆tでスライスした時間内で総和を取る。
減衰が早過ぎる場合、シンクロトロン振動が極端に遅い場合 など、特性時間∆tが存在し
ない具体例を考えると、以下の議論が適用できなくなり教訓になる。
アンサンブル平均が計算でき、
ビームエネルギの分散が求まる
減衰項が同じになる項を集める
減衰項を総和の外にくくり出す
異なる i, j 間では位相相関が
無いから、アンサンブル平均
すると消える。
光子放出はシンクロトロン振
動位相と相関が無いから、平
均すると、
分散は放射の統計的性質と
して既に求めている。
上式の導出では、光子放出とシンクロトロン振動位相に相関が無いことを前提とした。FELなど、光子放出と位相に相関
がある場合は、話が変わってくる。
総和を積分で置き換え、
電子エネルギー分散が求まる。
中心極限定理
中心極限定理が成立するなら、電子エネルギーはガウス
分布である。
ここで、
中心極限定理が成立しない時を考えると、理解が深まり面白い。
非線形運動、高強度散乱、干渉性運動、など。
非ガウステイル発生、ビーム寿命短縮、高バックグラウンドノイズなど、課題に直結。
水平エミッタンス
ここで、
垂直方向のemittanceは、水平方向と同じ取り扱いをするなら零となる。
実際には、放射光の発散角広がり、残留ガスやビーム内粒子間の散乱過程、さらに軌道誤差
や光学誤差に起因する水平垂直結合などのため一定の値をとる。
コライダーで高ルミノシティを達成するため、軌道や光学補正が鋭意追求される所以である。
参考文献
シンクロトロン放射光の発生機構に関して
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Kim K.J., Characteristics of Synchrotron Radiation, AIP Conference Proceedings 184, vol. 1 p567 (American
K-J.Kim’s text book
Institute of Physics, NewYork, 1989).
アメリカ物理学会加速器学校のテキスト、シンクロトロン放射を真面
目に取り扱う。位相の取り扱いに取り組むも、未完のようだ。
J.Schwinger’s paper
PhysRev.75.1912.pdfとしてビーム物理Notesファルダーに有り
1948~9年頃の作。朝永先生が、 Schwinger ともあろう人が院生の演
習みたいな仕事をと評し、後に放射光分野の隆盛を受けて、さすがと
訂正。
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一般の教科書
http://www.archive.org/details/ClassicalElectrodynamicsで初版を見られる。最新版は第３版。
Classical Electrodynamics (Jackson)
シンクロトロン放射と加速器ビーム特性に関して
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M. Sandsの教科書
slac-r-121.pdfとしてビーム物理Notesファルダーに有り
高エネルギー実験屋さん向け入門書、とても有名で読みやすい体裁。
話の流れを理解するのに向いているが、専門的に扱おうとする時には
課題が多い。
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拙著「ビーム物理学入門」
ビーム物理学入門.pdfとしてビーム物理Notesファルダーに有り
未完。計算を馬鹿丁寧にフォローしており、ネット上からダウンロー
ドできる場合がある。
Mathematica notes related to the lecture are uploaded in the following URL. Visit there
by using web-browser and download them. The link will be kept valid until the end of this semester, namely 31 March 2015, at least. I may modify the already uploaded notes for the sake of improvement. You may guess it
from the renewal date.
https://www.dropbox.com/sh/drlrper8gg9boui/AACoBhiFZo1gJbO52LYXwqPxa?dl=0
Day2 lecture related Day3 lecture related
Mathematica Notes
Mathematica Notes
Hamiltonian-KAprox.nb
FODO lattice2.nb
BendDiff.nb
H-VCoupledResonances.nb
BendMatPower.nb
Cavity3.nb
CavitySeries2.nb
Day4 lecture related
Mathematica Notes
dipoleRadFourier.nb
Angular Divergence 2.nb
undRadFourier.nb
Also uploaded in the above URL is the uncompleted textbook of mine “Beam
Physics” that includes detailed derivation of equations.
Eng_BP.pdf
Schwinger’s paper and Sand’s text book are also uploaded as “PhysRev.
75.1912.pdf” and “slac-r-121.pdf”, respectively.