極限光物理学 講義ノート 第10講

2010/06/21 Azechi
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第１０講 流体力学的不安定性
0) はじめに
流体力学的不安定性は身の回りから宇宙までの豊かな現象
を作り出すメカニズムである。
小は 1mm のレーザー核融合ターゲットから
大は億光年規模の宇宙の大域構造まで
① その中からもっとも有名な 2 つの不安定性を取り出し、その基本
メカニズムを調べる。
・ レイリー・テイラー不安定性
・ ケルビン・ヘルムホルツ不安定性
② 続いてこれらの不安定性の具体例を見る。
③ 次に、流体力学の基礎式を前講とは別の見方で導出し
④ その応用例として、レイリー・テイラー不安定の非線形飽和現象を考
える。
…つもりであったが講義時間が足りないので断念
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1) レイリー・テイラー(R-T)不安定性のゲリラ的解析
Positive feedback
Ⅰ バブルでは浮力、スパイクでは重力が支配的となる。
Ⅱ
バブルには上向きのスパイクには下向きの運動量が与えられる
Ⅰ
浮力－重力＝ (ρ hi − ρ lo )ag
Ⅱ
運動量＝ P =
∞
∫ ρv( z )dz
−∞
v(z ) を求めよう。ここでは数学的にやってみる。
① 速度 v は速度ポテンシャルφを用いて v = ∇φ と書ける
② 非圧縮性流体 ∇ ⋅ v = 0
∴∇
φ =0
2
(ラプラス方程式)
φ = f ( z ) cos ky としてみると
∇ 2φ = −k 2 f ( z ) cos ky + f ′′( z ) cos ky = 0
∴ f ′′ = + k 2 f → f ( z ) = f 0 e
∴ v z = ae
−k z
−k z
cos ky
非常に良く似た話＝グリッドの周りの静電場
グリッド間隔分はなれると電位一定となる
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したがって
∞
P=
∫ρ
hi
e
a
− kz
0
dz +
∫ρ
lo
e + kz dz
a
−∞
0
= ( ρ hi + ρ lo ) a
k
運動量の時間微分＝力より
 =
a
ρ hi − ρ lo
kg ⋅ a
ρ hi + ρ lo
γ2：成長率
α A : アットウッド数
ρ hi >> ρ loでα A = 1
ρ hi = ρ loでα A = 0
解
a (t ) = a0 cosh(γt ) ≅ a0eγt
初期摂動
R-T 不安定性の特徴
① 短波長の摂動ほど成長率が大きい
② 密度比が大きいほど成長率が大きい
③ 加速度 g が大きいほど成長率が大きい
数値例
レーザー核融合
10 7 cm / s
= 1016 cm / s 2 = 1013 g 0
g=
ns
k = 2π / 50 µm
αA = 1
→ γ = 3.5 / ns
e γ ⋅2 ns = 1000
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自然の恵み：
低密度側の流体の中にエネルギー源がある
・ レーザー核融合 … レーザー
・ ワシ星雲
… UV 光
・ Ia 型超新星
… C-C C-O 反応
エネルギーはレーザーの場合は電子、x 線によって界面に伝わり
・ 密度勾配
・ アブレーション
をもたらす。
レーザー核融合によっての福音
Ia 型 SN …
hot な議論
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半経験式を示す
2) 密度勾配とアブレーションの効果
γ =
kg
− β kva
1 + kL
① 密度勾配
ρ ∝e
modified Takabe formula.
+
z
L
という密度プロフィールを考える
摂動は ± k 内に制限されているので実効
的な密度はそこで決まる。
すなわち
ρ hi = ρ 0 e
ρ lo = ρ 0
∴αA =
2
kL
ρ (e
ρ hi − ρ l
= 0 2
ρ hi + ρ lo
ρ 0 (e kL
2
kL
2
−1
− 1)
kL
→
2
1+
+1
+ 1)
kL
1+
1
1
kL
(for kL >>1)
=
=
1
1
+
kL
1+
kL
② ablation
i)古典的 R-T の振幅
a ( z , t ) = a0eγt ⋅ e − kz
ii)アブレーションがあると z → z + va t
a ( z , t ) = a0 eγt e − k ( z +vat )
= a0 e (γ −kva ) t e − kz
係数βの物理的意味
ν a はピーク密度で定義されているのに対
し RT 最大となる密度はそれより低密度
β≈
ρ peak
ρ RT
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3) ケルビン・ヘルムホルツ不安定(KH)
2 つの流体に速度差 2 つの流体の重心系に乗った座標
Ⅰ
それぞれの流体から見て不連続面が
へこんでいる部分では流速が大 → 圧力が小
膨らんでいる部分では流速が小 → 圧力が大
不連続面の変形が加速される向きに運動量があたえられる。
Ⅱ
Ⅱ. 運動量の時間変化＝ ( ρ1 + ρ 2 ) a k
Ⅰ. 面積が狭くなる
(RT と同じ)
→ 速度が上がる
(1)
→ 圧力が下がる
図のような流管を考えよう
①面積：摂動 の振幅も表面から離れる
にしたがって exp で減衰するから
δa = δz + ae − kδz − a ≅ (1 − ak )δz
②速度： uδz = (u + δu )δa = (u + δu )(1 − ak )δz ≅ (u + δu − aku )δz
δu
= ak
∴
∴ δu = + aku
u
③圧力：ベルヌーイの定理より
1 2
ρu + p = const
2
2
→ δp = − ρu
δu
u
= − ρu 2 ⋅ ak
∴ δp1 = − ρ1u12 ak 、 δp 2 = + ρ 2 u 22 ak
流体 1 と 2 の圧力差
δp = δp2 − δp1 = ( ρ1u12 + ρ 2u22 )ak
(2)
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運動量の時間変化＝力であるから、(1)＝(2)として
ρ1u12 + ρ 2u 22 2
 =
a
k ⋅a
ρ1 + ρ 2
(3)
u1 ,u2 は重心系での速度。これを相対速度 v = v1 − v2 で書き直す
 =
a
ρ1 ρ 2
v2k 2 ⋅ a
2
( ρ1 + ρ 2 )
(4)
2
≡ γ KH
成長率を書き直す
γ KH
kv
=
ρ1 ρ 2
=
( ρ1 + ρ 2 ) 2
ρ 2 ρ1
(1 + ρ 2 ρ1 ) 2
(5)
ρ1 ρ 2
1
4
1/4
γ kva
1/2
2/5
2/5
KH 不安定性の特徴
① 速度差があれば( g ＝0 でも)成長
② ρ1 = ρ 2 で成長率最大
−1
③ 成長率の大きさ～ (波長 速度差 )
考えるヒント：(3)→(4)を証明せよ。重心系では ρ1u1 = ρ 2u2 を使え。
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u1 ,u2 は重心系での速度。これを相対速度で書き直す。
重心系では運動量＝0 なので
ρ1 (v1 − V ) + ρ 2 (v2 − V ) = 0
∴
v1 = V +
ρ v + ρ 2 v2
V= 11
ρ2 + ρ2
逆に

→
v = v1 − v2
v2 = V −
ρ2
ρ1 + ρ 2
ρ1
ρ1 + ρ 2
重心系の速度は
u1 = v1 − V =
ρ2
v
ρ1 + ρ 2
− ρ1
u2 = v2 − V =
v
ρ1 + ρ 2
圧力は
δp1 = − ρ1u12 ak
δp2 = − ρ 2u12 ak
δp = δp 2 − δp1 =
ρ1 ρ 2 2
v ak
ρ1 + ρ 2
これを運動量の時間変化に等しいとおいて
 =
a
ρ1ρ 2
2 2
v
k ⋅a
2
( ρ1 + ρ 2 )
≡ γ KH
2
v ：相対速度
v
v
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5)まとめ
流体力学の基礎式を書き下しておこう。
連続の式：
∂ρ
= −∇ ⋅ ρv
∂t
運動の式：
ρ
Dv
= −∇p − ρ∇φ + f 粘性
Dt
エネルギーの式：
この講義では導いていないが書いておく
 1

p
∂ 1 2
( ρv + ρε ) = −∇ ⋅  ρv v 2 + ε +  + q 粘、熱 
ρ
∂t 2
 2

エネルギー密度
エネルギー流速密度
かくも簡単な方程式の中に非常に多くの現象が隠されている。
地球、惑星、太陽の内部構造とダイナミクス
凝縮・進化・爆発する星
渦巻く(あるいは巻がない)銀河
銀河が形成する宇宙の大域構造
これら全ては流体方程式の中に含まれている。
しかし極めて簡単な場合を除いて方程式が意味する内容を
理解する方法はなかった。チェスや碁のルールは判ったが戦い方を
知らなかったのである。
それが可能になりそうだというのが今の状況。
大規模シミュレーションと観測、実験