平成 24 年度 修士論文 4WD-4WS 車両の旋回特性の把握 ― タイヤ

平成 24 年度
修士論文
4WD-4WS 車両の旋回特性の把握
― タイヤ特性データを導入した CAE シミュレーション ―
三重大学
生物資源学研究科
共生環境学専攻
応用環境情報学研究分野
水谷俊介
目次
Abstract…………………………………………………………………………………………..1
I.
緒言 ....................................................................................................................... 2
1.1
研究背景 ............................................................................................................. 2
1.2
研究目的 ............................................................................................................. 4
II.
タイヤ特性.......................................................................................................... 5
2.1
タイヤモデル ...................................................................................................... 5
2.2
タイヤの力学的パラメータ 6) 7) ........................................................................... 5
2.2.1
駆動力，サイドフォース，トルク ................................................................... 6
2.2.2
すべり率 .......................................................................................................... 9
2.2.3
横すべり率 ...................................................................................................... 9
III.
2 次元シミュレーション ................................................................................... 10
3.1
概要 .................................................................................................................. 10
3.2
マルチボディダイナミクス 8) 9) ......................................................................... 10
3.2.1
多剛体の表現................................................................................................. 10
3.2.2
仮想仕事の原理 ............................................................................................. 12
3.2.3
ダランベールの原理 ...................................................................................... 12
3.2.4
ラグランジュの未定乗数法の定理 ................................................................. 12
3.2.5
拡大法による系の支配方程式 ........................................................................ 13
3.3
シミュレーションモデル .................................................................................. 14
IV.
3 次元シミュレーション ................................................................................... 19
4.1.
機構解析ソフトウェア ...................................................................................... 19
4.2.
シミュレーションモデル .................................................................................. 20
4.2..1
車両モデル .................................................................................................... 20
4.2..1
ジョイント拘束 ............................................................................................. 23
4.2..2
接触 ............................................................................................................... 24
4.2..3
フォース ........................................................................................................ 25
4.2..4
解析 ............................................................................................................... 28
V. 検証実験 .............................................................................................................. 29
5.1.
概要 .................................................................................................................. 29
5.2.
実験車両 13) ....................................................................................................... 29
5.3.
実走行実験........................................................................................................ 31
5.3.1.
実験概要 ........................................................................................................ 31
5.3.2.
実験結果 ........................................................................................................ 34
5.4.
シミュレーション ............................................................................................. 34
5.5.
実走行実験とシミュレーションとの結果比較................................................... 36
VI.
平坦な路面での車両の旋回特性 ........................................................................ 38
6.1.
概要 .................................................................................................................. 38
6.2.
シミュレーション実験 ...................................................................................... 38
6.2.1.
概要 ............................................................................................................... 38
6.2.2.
旋回半径 ........................................................................................................ 41
6.2.3.
駆動力 ........................................................................................................... 42
6.2.4.
トルク ........................................................................................................... 44
6.2.5.
接地反力 ........................................................................................................ 45
6.2.6.
横すべり角 .................................................................................................... 46
6.2.7.
すべり率 ........................................................................................................ 49
6.2.8.
サイドフォース ............................................................................................. 51
6.2.9.
まとめ ........................................................................................................... 54
VII.
車両の傾斜面での走行特性 ............................................................................... 55
7.1.
概要 .................................................................................................................. 55
7.2.
傾斜面での円旋回 ............................................................................................. 55
7.2.1.
シミュレーション概要................................................................................... 55
7.2.2.
接地反力 ........................................................................................................ 56
7.2.3.
駆動力 ........................................................................................................... 58
7.2.4.
サイドフォース ............................................................................................. 60
7.2.5.
横すべり角 .................................................................................................... 62
7.2.6.
すべり率 ........................................................................................................ 65
7.2.7.
旋回幅 ........................................................................................................... 67
7.3.
等高線走行........................................................................................................ 69
7.3.1.
概要 ............................................................................................................... 69
7.3.2.
斜面上下方向の変位 ...................................................................................... 69
7.3.3.
横すべり角 .................................................................................................... 71
VIII.
結言 ............................................................................................................... 73
8.1
結論 .................................................................................................................. 73
8.2
展望 .................................................................................................................. 74
謝辞………………………………………………………………………………………… …75
参考文献………………………………………………………………………………………. 76
付録……………………………………………………………………………………………..77
Abstract
The turning performance is required at large steering angle and under the condition of heavy
workload, in agricultural vehicle. To understand driving characteristics of such a vehicle is
important to control a vehicle and to work efficiently. The driving ability of agricultural vehicle
consists of the directional stability, the cornering ability and the tracking ability. This study
especially focused on cornering ability of a 4WD-4WS (4-wheel-drive and 4-wheel-steering)
vehicle that is better suited for the agricultural workings. Object of this study is to understand
the turning characteristics of vehicle, and construct the simulation model by use of
tire-characteristics-data obtained from previous research. Accurate simulation model was
constructed to incorporate measured tire-characteristics-data, which contain the resistance
between tire and road surface, in the CAE analysis used the function of the user subroutine,
without any general tire model that assumed the running in high speed. The validity of
simulation model was verified by the verification experiment with actual experimental vehicle.
Additionally, behavior of vehicle during steady-state circular turning was analyzed. As a result,
in cases where vehicle turns at low speed and large steering angle, we’ve learned that
4WD-4WS vehicle was able to turn stably with small sideslip.
1
I.
緒言
1.1 研究背景
近年，日本の農業分野では，農家後継者の他産業，他都市への流出や農業機械の普及
による高齢農作業者の増加，社会全体の少子高齢化などの要因により，就業人口の減少
や就業者の高齢化が進んでいる 1)．それに伴い，耕作放棄により作付面積が減少してい
る．その一方で，一般法人が農業参入するなど一農業経営団体当たりの農地面積は増加
傾向にあり，農業規模の拡大がみられる．それに加え，地球温暖化や有限なエネルギ状
況の中で，農作業を効率化し，環境への負荷を減らすという観点からも，作業の省力化，
効率化が望まれている．
農業機械においても，土地の有効利用や施設栽培の発展，労力削減に伴い，効率化，
省力化が求められており，作業機械の自動化に伴う精密な制御が要求される．しかし，
農作業車両では，土壌表面とタイヤの複雑な力学的関係のため，操縦者の経験に基づく
予測と煩雑な操作なしには良好な走行は困難であり，自動化も遅れている．そこで農作
業車両においては，省スペース内での効率的な運動性能が要求されるとともに，運搬や
牽引などの負荷の大きな作業を行うことから，その支えとなるタイヤ‐路面間の力学的
特性を把握したうえで，制御を行うことが重要となる．
農業では多種多様な機械が使用されている．その中でも，農作業車両においては，車
輪式が一般的である．車輪式の車両は，機動性，旋回性に優れており，限られた範囲で
の 作 業 に 適 す る ． 特 に ， 4WD(4-Wheel-Drive) 車 両 は FWD(Front-Wheel-Steering) ，
RWD(Rear-Wheel-Steering)より駆動力が大きく圃場などの整地されていない路面でも走
行性に優れる．4WS(4-Wheel-Steering)車両は，前後輪の逆相操舵やそれに同相操舵を併
用する方式など様々な形態が考えられ，2WS(2-Wheel-Steering)車両より狭範囲での作業
に適することから，農作業車両には 4WD-4WS 車両が適していると考えられる．
農作業車両の運動性は，直進性，旋回性，追従性の 3 特性で表現される 2)．著者ら
は特に旋回性に注目し，従前より低速で大舵角を伴う 4WD-4WS 車両に関する走行性能
とタイヤの横すべり特性との関係を調査してきた
3)4)
．その中で駆動力，サイドフォー
ス，車軸トルクを含めたタイヤの駆動特性を実路面上の実測値として計測した．これは
一般に高速走行に重点を置いた車両の運動性に関する研究では，舵角および駆動力が小
さいため，タイヤ特性としてサイドフォースやコーナリングフォースに注目し，それと
直角方向の力を無視して簡略化することが多いが，農作業車両のように大舵角での旋回
2
走行や重量物をけん引する場合には，タイヤに作用する力を精密に把握する必要がある
ためである．この実測値はタイヤ固有のものであり，複雑な環境での作業を強いられる
農作業車両の運動解析や制御に役立つものと考えられる．また，それにより得られた知
見は，野外の農作業車両だけでなく，ハウス内や工場内の作業車両，そして福祉施設な
どで活用される車椅子などにも応用可能であるべきである．
3
1.2 研究目的
本研究は，従前の研究で得られた実測のタイヤ特性データを考慮した 4WD-4WS 車両
のシミュレーションを作成し，車両の走行特性を精密に把握することを目的とする．
従前の研究では，車両の各車輪の舵角を旋回中心に設定すると，旋回走行時に旋回中心
が前方にずれることが確認されているが，その原因は解明されていない．また，大舵角
で走行する車両は，大きな横すべりが生じることによって方向安定性の著しい低下を引
き起こす．車両の運動解析や，自動化においてより精密な制御を行うためには，その原
因を解明し，理論的に車両の走行特性を把握する必要がある．著者は従前の研究におい
て，マルチボディダイナミクスを用いた 4WD-4WS 車両の 2 次元シミュレーションを作
成し，そのシミュレーションの妥当性を確認し，駆動方式の違いによる走行特性につい
て調査した．しかし，より精密に走行特性を把握するために，シミュレーションを 2 次
元から 3 次元に拡張することが望まれていた．
そこで，本研究では，特に走行時の旋回特性に注目し，理論的に車両の旋回特性を把
握するために，従前の研究で得られた精密なタイヤ特性データを基に，CAE の機構解
析ソフトウェアである RecurDyn を用いた 4WD-4WS 車両のシミュレーションを作成し，
平坦地および傾斜面での旋回時の挙動について解析した．本シミュレーションの特徴は，
一般的に提案されるタイヤモデルを用いずに，実測のタイヤ特性データをユーザーサブ
ルーチンにより CAE 解析に組み込むことで，より精密なシミュレーションを作成した
点である．
4
II. タイヤ特性
2.1 タイヤモデル
一般に，車両運動解析に用いられるタイヤモデルは， Brush Model や Fiala Model に
代表される解析モデルと，Magic Formula に代表される実験同定モデルの大きく 2 種類
に分類される 5)．解析モデルはタイヤの構造を定義するパラメータを用いて車両運動解
析に必要なタイヤ力を算出できるため，基本的なタイヤ特性を考えるには非常に有効で
ある．しかし，構造材料などの特性が非常に限られていることから，非線形性を強く帯
びた状態での特性は予測しにくい．実験同定モデルでは，実験データを用いてタイヤ特
性を近似式に表わす手法で，実際に計算に用いられる領域のタイヤデータを試験機によ
って計測し，数式を作成するものである．また，実験データをそのまま数式や表に置き
換えているため，モデルとしての精度が高く，シミュレーションに用いる場合に扱いや
すい形式になっているという利点がある．
本研究では，タイヤ固有の特性を表す従前の研究で得られた精密な実験同定モデルの
タイヤ特性データを用いてシミュレーションを行う．
2.2 タイヤの力学的パラメータ 6) 7)
本研究では，タイヤに作用する力は，従前の研究で得られたタイヤ特性データを基に
算出する．タイヤの力学的パラメータの概略図を図 2.1 に示す．タイヤは，平面的な路
面上にて一定の軸鉛直荷重のもとに軸トルク T を与えられ，角速度ωで回転しながら一
定の速度 v で直進しており，その回転面は進行方向と横すべり角αをなすものとする．
そのとき，タイヤは路面から軸鉛直荷重と同じ大きさで逆向きの接地反力 R，水平面上
でタイヤ回転面方向の駆動力 FD および回転軸方向のサイドフォース FS を受ける．
5
Fd
αi
v
T
ω
R
Fs
図 2.1
タイヤの力学的パラメータ
駆動力，サイドフォース，トルク
2.2.1
タイヤに作用する力は，駆動力 FD とサイドフォース FS，トルク T であり，それぞれ
式(2.1)，(2.2)，(2.3)で求められる．
𝐹𝐷𝑖 = 𝐶𝑑 ∙ 𝑅𝑖
(2.1)
𝐹𝑆𝑖 = 𝐶𝑠 ∙ 𝑅𝑖
(2.2)
Ti = Ct ∙ R
(2.3)
Cd，Cs，Ct は駆動力係数とサイドフォース係数，トルク係数であり，従前の研究で得ら
れたタイヤ特性を与える近似係数 Ajk，Bjk，Cjk，横すべり角α，すべり率 s を用いて
𝑗
𝑘
𝑗
𝑘
𝑗
𝑘
𝑑
𝑑
∑𝑘=0
𝐶𝑑 = ∑𝑗=0
𝐴𝑗𝑘 𝑠 𝑗 |∝𝑘 |
(2.4)
𝑠
𝑠
∑𝑘=0
𝐶𝑠 = ∑𝑗=0
𝐵𝑗𝑘 𝑠 𝑗 |∝𝑘 | ∙ 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝛼)
(2.5)
𝑠
𝑠
∑𝑘=0
𝐶𝑡 = ∑𝑗=0
𝐶𝑗𝑘 𝑠 𝑗 |∝𝑘 |
(2.6)
と表される．
駆動力係数，サイドフォース係数，トルク係数の近似曲面を図 2.2 と図 2.3，図 2.4 に示
す．
6
これらの係数は，従前の研究でコンクリート路面を対象とし，不整地用ブロックタイヤ
(6-12 4 P.R.)を用いて計測されたものである．駆動力係数およびトルク係数は，横すべり
角の正負に対し対称の値を示し，サイドフォース係数では，横すべり角 0 を軸に正負対
称の値を示す．
図 2.2
駆動力係数の近似曲面
7
図 2.3
サイドフォース係数の近似曲面
図 2.4
トルク係数の近似曲面
8
2.2.2
すべり率
タイヤのすべり率は，タイヤの速度 v とタイヤトレッドの平均周速度 vt を用いて表され
る．ここで vt はタイヤ有効半径 rt を用いて，
𝑣𝑡 = 𝑟𝑡 𝜔
(2.7)
とする．
制動状態 (𝑣𝑡 < 𝑣)では，
𝑠=
𝑣𝑡 −𝑣
𝑣
(2.8)
駆動状態 (𝑣𝑡 ≥ 𝑣)では，
𝑠=
𝑣𝑡 −𝑣
𝑣𝑡
(2.9)
と定義される．
2.2.3
横すべり率
タイヤの横すべり角は，タイヤの速度から算出する．タイヤの速度の概略図を図 2.5
に示す．
xi
αi
v
y i
図 2.5
タイヤの速度
タイヤの回転面方向の速度を𝑥i̇ ，回転軸方向の速度を𝑦𝑖̇ とすると横すべり角αは，
𝑦̇
𝛼𝑖 = −𝑡𝑎𝑛−1 (𝑥𝑖̇ )
(2.10)
𝑖
で求められる．
9
III. 2 次元シミュレーション
3.1 概要
本研究の 2 次元シミュレーションには，マルチボディダイナミクスの拡大法を用いる．
マルチボディダイナミクスとは，多体動力学のことである．多くの剛体からなる構造物
では，それぞれの剛体間に拘束力が働いている．拘束力の算出は，剛体数が増えるほど
煩雑になり困難となる．そこで，本シミュレーションでは，平面多剛体の運動解析をよ
り簡易的に行うために，拘束力を算出する必要がないマルチボディダイナミクスの拡大
法を用いる．
3.2 マルチボディダイナミクス 8) 9)
3.2.1
多剛体の表現
図 3.1 に示すような n 個の剛体が拘束されて運動する系について考えると，拘束条件
式が m 個あるして，系の拘束条件式は(3.1)のような代数方程式で与えられる．拘束条件
式は，拘束されている剛体間の位置関係を固定するものである．
y
η
・
yi
ζ
・
Gi
・
θ
・
o
xi
図 3.1
x
剛体が拘束されて運動する系
𝚽(𝐪, 𝑡) = 0
(3.1)
第 i 番目の剛体に注目すると，
𝐪𝑖 = [ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝜃𝑖 ]T
:
第 i 番目の剛体に対する一般化座標ベクトル
であり，xi，yi は全体座標枠 O-xy における第 i 番目の胴体の重心 Gi の座標，θi は第 i
10
番目の剛体の物体固定枠 Gi-ζiηi の全体基準枠 O-xy に対する回転角を表す．
個々の物体に対する運動方程式は次の微分方程式で与えられる．
(C)
+ 𝐐𝑖𝐴 )
(C)
+ 𝐐𝑖𝐴 ) = 0
𝐌𝑖 𝐪̈𝑖 = (𝐐𝑖
( 𝑖 = 1,2, ⋯ 𝑛)
(3.2)
または，
𝐌𝑖 𝐪̈𝑖 − (𝐐𝑖
(𝐶)
ここで，Mi，𝐐𝑖
( 𝑖 = 1,2, ⋯ 𝑛)
(3.3)
𝐐𝑖𝐴 は，第 i 番目の剛体に対する質量マトリックス，第 i 番目の剛体
，
の拘束力ベクトル，第 i 番目の剛体に作用する外力ベクトルであり，それぞれ次式で与
えられる．
𝐌𝑖 = diag[ 𝑚𝑖 𝑚𝑖 𝐽𝑖 ]
(𝐶)
𝐐𝑖
(𝐶)
(𝐶) T
(𝐶)
= [ 𝐹𝑥𝑖 𝐹𝑦𝑖 𝑁𝑖
𝐴 𝐴
𝐐𝑖𝐴 = [ 𝐹𝑥𝑖
𝐹𝑦𝑖 𝑁𝑖𝐴 ]
]
T
mi は第 i 番目の剛体の質量，Ji は第 i 番目の剛体のζi 軸 (Gi を通り平面 Gi-ζiηi に垂直
な軸 ) まわりの慣性モーメント，Fxi，Fyi は第 i 番目の質点に働く力，Ni は i 番目の質
点に働く力のζi 軸まわりのモーメントである．
すべての剛体に関する運動方程式を順に並べると，系全体の運動方程式は次のように
表すことができる．
𝐌𝐪̈ = (𝐐(𝐶) + 𝐐(𝐴) )
(3.4)
または，
𝐌𝐪̈ − (𝐐(𝐶) + 𝐐(𝐴) ) = 0
(3.5)
ここで，M，Q(C)，QA は，系全体の質量マトリックス，系全体の拘束力ベクトル，系全
体に作用する外力ベクトルであり，それぞれ次式で与えられる．
𝐌 = diag[ 𝐌1 𝐌2 ⋯ 𝐌𝑛 ] =
(C)
𝐐
=
(C) 𝑇
[(𝐐1 )
(C) 𝑇
(𝐐2 ) ⋯
𝑇
𝐌1
0
⋯
0
0
𝐌2
⋯
0
0
0
⋱
0
[0
0
⋯ 𝐌𝑛 ]
𝑇
(𝐶) 𝑇
(𝐐𝑛 ) ]
𝐐𝐴 = [(𝐐1𝐴 )𝑇 (𝐐2𝐴 ) ⋯ (𝐐𝑛𝐴 )𝑇 ]
𝑇
11
したがって，多剛体系の動力学解析は，代数方程式(3.1)の拘束条件のもとで，微分方程
式(3.5)の解を求める微分代数方程式の問題となる．このような解析では，多剛体の拘束
力が多いと算出が困難であるため，簡易的に問題を解くために，仮想仕事の原理，ダラ
ンベールの原理，ラグランジュの未定乗数法の定理を利用することができる．
3.2.2
仮想仕事の原理
静的な状態で物体に力 f が作用しているとし，その作用点の仮想変位δ𝐫を考える．
静的な平衡状態では，系の確執点に作用する合力は 0 でなければならないので，仮想変
位のもとで力 f によりなされる仮想仕事δ𝑊は 0 となる．
𝑖
𝑖
δW = ∑𝑁
𝑖 𝐟 ∙ δr = 0
3.2.3
(3.6)
ダランベールの原理
仮想仕事の原理は静的な場合から動的な場合に拡張される．拘束状態のある質点の運
動方程式は次式で与えられる．fA は外力，f(C)は拘束力，fi は内力である．
𝑖
𝐟 𝐴 + 𝐟 (𝐶) + ∑𝑁
𝑖 𝐟 = 𝑚𝒂
(3.7)
ここで，
𝑖
𝐟 𝐴 + 𝐟 (𝐶) + ∑𝑁
𝑖 𝐟 − 𝑚𝒂 = 0
(3.8)
として，−𝑚𝐚を慣性力とみなすと式(2.4.2)はつりあいの式と考えられる．
仮想仕事の原理から，
𝑖
∑(𝑚𝒂 − 𝐟 𝐴 − 𝐟 (𝐶) − ∑𝑁
𝑖 𝐟 ) ∙ δ𝐫 = 0
(3.9)
となる．また，仮想変位のもとで拘束力と内力によりなされる仕事は 0 なので，
∑(𝑚𝐚 − 𝐟 𝐴 ) ∙ δ𝐫 = 0
(3.10)
となる．
3.2.4
ラグランジュの未定乗数法の定理
b および x を n 次元の列ベクトル，A を m 行 n 列のマトリックスとする．条件式 Ax=0
を満足するすべての x について
𝐛𝑇 𝐱 + 𝛌𝑇 𝐀𝐱 = 0
(3.11)
となるような m 次元の列ベクトルλが存在する．このとき，
12
𝑇
𝑇
{𝐛 + 𝛌𝑇 𝐀 = 0
𝐛+𝐀 𝛌= 0
(3.12)
の関係が成立する．
拡大法による系の支配方程式
3.2.5
仮想変位δ𝐪は，拘束条件式(3.1)を満たさなければならないので，
𝚽𝐪 (𝐪, 𝑡)δ𝐪 = 0
(3.13)
の関係が成り立つ．
ダランベールの原理から，仮想仕事の原理は動的な場合に拡張され，つりあい条件式
(3.5)より
𝑇
[𝐌𝐪̈ − (𝐐(𝐶) + 𝐐(𝐴) )] δ𝐪 = 0
(3.14)
が成り立つ．また，なめらかな拘束を考えているので，仮想変位のもとで拘束力により
なされる仕事は 0 なので，式(3.14)はより
𝑇
[𝐌𝐪̈ − 𝐐(𝐴) ] δ𝐪 = 0
(3.15)
となる．
ここで，式(3.13)，(3.15)より
𝐀 = 𝚽𝐪 (𝐪, 𝑡)
{𝐛 = 𝐌𝐪̈ − 𝐐𝐴
𝐱 = δ𝐪
(3.16)
とおいて，ラグランジュの未定乗数法の定理を利用すると，
𝐌𝐪̈ − 𝐐A + 𝚽qT 𝛌 = 0
(3.17)
すなわち，
𝐌𝐪̈ + 𝚽qT 𝛌 = 𝐐A
(3.18)
となる．拘束条件式を 2 回微分した式を
𝚽𝐪 𝐪̈ = 𝛄
,𝛄 = −
d𝚽𝐪
dt
𝐪̇ −
d𝚽𝐭
dt
= −(𝚽𝐪 𝐪̇ ) − 2(𝚽𝐪 )t − 𝚽tt
(3.19)
として，式(3.18)，(3.19)を結合し，変数を[𝐪̈ 𝑇 𝛌𝑇 ]𝑇 に拡大すると
𝐌
[
𝚽𝐪
𝚽𝐪𝑇 𝐪̈
𝐐𝐴
][ ] = [ ]
0 𝛌
𝛄
(3.20)
となる．マルチボディダイナミクスでは式(3.20)を用いて系の動力学解析を行う．この
方法は拡大法と呼ばれる．拡大法では式(3.20)を[𝐪̈ 𝑇 𝛌𝑇 ]𝑇 について解き，これをもとに
数値積分することで解を求めることが可能である．
13
3.3 シミュレーションモデル
本モデルは，車両を車体と 4 つの車輪からなる 5 つの剛体が拘束されている系とみ
なした 2 次元シミュレーションモデルである．モデル概略図を図 3.2 に示す．車輪には
車体との連結棒軸がついており，車輪と車体とを拘束している．車両重心位置は車体の
中心とする．各剛体は，それぞれが拘束されているので，系全体を 1 つの物体として絶
対座標系 O-XY 内を運動する．右前輪は車体の右前，左前輪は車体の左前，左後輪は車
体の左後，右後輪は車体の右後で拘束されている．拘束力に関しては，拡大法を用いる
ことにより無視できる．
また，5 つの剛体それぞれの状態を把握することも可能である．
シミュレーション作成に用いたプログラム言語は MATLAB である．プログラムは，付
録に示される．
拡大法によるプログラム手順は以下である．シミュレーションでは，まず車両の初期設
定として，ステアリング角，初速度を入力する．次に，時刻 t における M， Φ q (q, t ) ，
Q A (q, q , t ) および γ(q, q , t ) を求め，式(3.20)により[𝐪̈ 𝑇 𝛌𝑇 ]𝑇 を求める．そして，ルンゲ
クッタ法を用いて q(t+⊿t)T を求めることで解析を行う．QA は，タイヤに作用する力で
あり，算出式は事項のタイヤ特性に記述する．フローチャートを図 3.3 に示す．関数名
は，付録の MATLAB プログラムの function 名である．以後，添え字 1 を右前輪，2 を
左前輪，3 を左後輪，4 を右後輪，5 を車体とする．
Y
x2
y2
Body2
θ2
y3
Body3
x5
y5
x1
y1
x3
θ3
θ5
Body5
y4
θ1
Body1
x4
θ4
Body4
O
X
図 3.2 シミュレーションモデル概略図
14
開始
VDP関数
初期値設定，
データ入力
MassMatrix関数
M算出
Constrait関数
Φq，γ算出
ExForce関数
QA算出
defeq関数
qT λT T 算出
VDP関数
q算出
計算終了時刻
Yes
終了
図 3.3
フローチャート
15
No
タイヤに作用する力は，第 2 章に示されている．タイヤの接地反力は前後輪，左右輪
で異なるのでそれぞれ算出する．車両横からの接地反力図を図 3.4，車両正面からの接
地反力図を図 3.5 に示す．車体重量を M，ホイールベースを WB，トレッドを TR，車両
重心位置の高さを h ，前輪の接地反力を Rf ，後輪の接地反力を Rre ，右輪の接地反力
を Rri ，左輪の接地反力を Rl ，重力加速度を g とする．図 3.4 での加速度は ax ，図 3.5
では加速度 ay である．
ax
WB
Rear
Front
h
Rre
Rf
Mg
図 3.4
車両横からの接地反力
図 3.4 での鉛直方向，水平方向，前輪の接地点回りのモーメントのつりあい式は
𝑀𝑔 = 𝑅𝑓 + 𝑅𝑟𝑒
{ 𝐹 = 𝑀 ∙ 𝑎𝑥
𝑊𝐵
𝑊𝐵 ∙ 𝑅𝑓 + 𝑀 ∙ 𝑎𝑥 ∙ ℎ − 2 ∙ 𝑀𝑔 = 0
(3.21)
であり，前輪の接地反力および後輪の接地反力は，
𝑊𝐵𝑀𝑔
𝑀𝑎 ℎ
− 𝑊𝐵𝑥
2
𝑀𝑔
𝑀∙𝑎𝑥 ∙ℎ
𝑅𝑟𝑒 =
+
2
𝑊𝐵
𝑅𝑓 =
(3.22)
(3.23)
となる．
16
ay
TR
Right
Rri
Left
Mg
Rl
図 3.5 車両正面からの接地反力
図 3.5 での鉛直方向，水平方向，右輪の接地点回りのモーメントのついあい式は
𝑀𝑔 = 𝑅𝑟𝑖 + 𝑅𝑙
𝐹
{ = 𝑀 ∙ 𝑎𝑦
𝑇𝑅 ∙ 𝑅𝑙 − 𝑀𝑎𝑦 ℎ
𝑇𝑅
−
2
(3.24)
∙ 𝑀𝑔 = 0
であり，右輪および左輪の接地反力は，
𝑀𝑎𝑦 ℎ
𝑀𝑔
− 𝑇𝑅
2
𝑀𝑎 ℎ
𝑀𝑔
+ 𝑦
2
𝑇𝑅
𝑅𝑟𝑖 =
(3.25)
𝑅𝑙 =
(3.26)
となる．よって，式(3.22)，(3.23)，(3.25)，(3.26)よりタイヤの接地反力は
𝑅=
𝑀𝑔
4
∓
𝑀𝑎𝑥 ℎ
2𝑊𝐵
±
𝑀𝑎𝑦 ℎ
2𝑇𝑅
+ 𝑀𝑤 𝑔
(3.27)
である．ただし，第二項は前後輪，第四項は左右輪であり，Mw はタイヤ重量とする．
また，本シミュレーションは，両前輪間，両後輪間にディファレンシャル特性を考慮
することにより，駆動方式の違いによる走行特性を表現することができる．4WD は，
前輪間，後輪間でそれぞれ同じトルクとなるようにし，エンジン回転数を前輪及び後輪
に振り分ける．FWD(Front-Wheel-Drive)は，前輪間にのみトルクを与え，エンジン回転
数を前輪に振り分ける．
RWD(Rear-Wheel-Drive)は，後輪にのみトルクを与え，エンジン回転数を後輪に振り分
ける．
<4WD>
T1=T2
(3.28)
17
T3=T4
(3.29)
ω1+ω2=ω3+ω4=2ωengin
(3.30)
<FWD>
T1=T2
(3.31)
T3=T4=0
(3.32)
ω1+ω2=2ωengin
(3.33)
<RWD>
T1=T2=0
(3.34)
T3=T4
(3.35)
ω3+ω4=2ωengin
(3.36)
18
IV. 3 次元シミュレーション
4.1. 機構解析ソフトウェア
本研究の 3 次元シミュレーションには，Function Bay 株式会社の機構解析ソフトウェ
アである RecurDyn を用いる 10)．CAE（Computer Aided Engineering）は，製品の設計・
開発工程を支援するコンピュータシステムであり，研究機関や企業などの工業分野で積
極的に用いられている．CAE を用いることの利点は，開発期間の短縮及び試作や試験
コストの短縮ができることや実際の試験で困難な条件下での検討ができること，また，
設計品質の向上などがある．CAE の中でも機構解析ソフトウェアは，複数のボディ要
素と拘束要素で構成された MBS（Multi Body System）の作成が可能であり，コンピュ
ータ上で設計した製品の実際の動きのシミュレートができる．RecurDyn のソルバーの
アルゴリズムは，運動方程式定式化手法には相対座標系，積分手法には DASSL 法，
Implicit G-Alpha 法，Track G-Alpha 法が採用されている．これらはマルチボディダイナ
ミクス用に開発された積分法である 11)．
RecurDyn はユーザーサブルーチン（Microsoft Visual C++）を用いることで，CAE
内部で表現することのできないオリジナルの処理を実行することができる 12)．RecurDyn
のシミュレーションモデルからユーザーサブルーチンに引数を与え，プログラム内で計
算を行い，計算結果をシミュレーションモデルに出力することが可能である．
19
4.2.
4.2..1
シミュレーションモデル
車両モデル
本モデルは，車両を車体と 4 つの車輪，車体と車輪をつなぐ４つのリンク，前輪と車
体をつなぎセンターピン機構を表現する軸の計 10 個の剛体が拘束されている系とみな
した 3 次元シミュレーションモデルである．車両モデルの上面図を図 4.1，右側面図を
図 4.2，正面図を図 4.3 に示す．図 4.1～図 4.3 の車両モデルのボディの詳細を表 4.1 に
示す．車輪は，添え字１が右前輪，添え字 2 が左前輪，添え字 3 が右後輪，添え字 4 が
左後輪である．各ボディの重心位置はボディ原点と同じである．ボディの慣性モーメン
トは，ボディ形状と質量から与えられる概算値である．ボディの寸法及び質量は，第 5
章で後述する実験車両を基に設定される．懸架方式は前輪がセンターピン式，後輪が車
軸懸架式である． 本シミュレーションの座標系は，x-z 平面が Ground 面であり，鉛直
上向きを y 軸としている．
②
④
⑧
⑥
⑩
⑤
⑦
③
①
図 4.1 車両モデルの上面図
20
Front
Rear
⑨
⑨
③
①
図 4.2
車両モデルの右側面図
⑨
① ⑤
⑩
図 4.3 車両モデルの正面図
21
⑥ ②
表 4.1
車両モデルのボディの詳細
番号
名称
形状
原点
寸法(m)
質量(kg)
①
tire1
円筒
(0.68, 0.2685, 0.565)
半径
20
②
③
④
⑤
tire2
tire3
tire4
link1
円筒
円筒
円筒
円筒
(0.68, 0.2685, -0.565)
(-0.68, 0.2685, 0.565)
慣性モーメント
Ixx
7.5939
0.2685
Iyy 7.5939
高さ 0.2
Izz 12.8173
半径
20
Ixx
7.5939
0.2685
Iyy 7.5939
高さ 0.2
Izz 12.8173
半径
20
Ixx
7.5939
0.2685
Iyy 7.5939
高さ 0.2
Izz 12.8173
(-0.68, 0.2685,
半径
-0.565)
0.2685
Iyy 7.5939
高さ 0.2
Izz 12.8173
(0.68, 0.2685, 0.39)
半径 0.015
20
0.0001
高さ 0.15
Ixx
7.5939
Ixx 0.001607
Iyy 0.001607
Izz 0.0000936
⑥
link2
円筒
(0.68, 0.2685, -0.39)
半径 0.015
0.0001
高さ 0.15
Ixx 0.001607
Iyy 0.001607
Izz 0.0000936
⑦
link3
円筒
(-0.68, 0.2685, 0.39)
半径 0.015
0.0001
高さ 0.15
Ixx 0.001607
Iyy 0.001607
Izz 0.0000936
⑧
link4
円筒
(-0.68, 0.2685, -0.39)
半径 0.015
0.0001
高さ 0.15
Ixx 0.001607
Iyy 0.001607
Izz 0.0000936
⑨
body
ボック
幅 1.36
(0, 0.5, -0.315)
ス
⑩
axle
円筒
Ixx
158.6285
高さ 0.463
Iyy 582.9821
奥行 0.63
Izz 535.6141
半径 0.015
(0.68, 0.2685, 0)
405
高さ 0.63
0.0001
Ixx
0.1158
Iyy 0.1158
Izz 0.00039327
22
4.2..1
ジョイント拘束
RecurDyn は，ジョイントをボディ間に取り付けることにより拘束させることができ
る．本シミュレーションでは，各ボディを回転ジョイントにより拘束している．
ジョイントを取り付けた車両モデルを図 4.4 に示す．各ジョイントの詳細を表 4.2 に
示す．各車輪の舵角は，回転ジョイント①～④の回転モーションにより与えられる．タ
イヤの回転は，回転ジョイント⑤～⑧により与えられるが，本シミュレーションでは走
行抵抗が含まれているタイヤ特性データを用いるため，回転モーションを 0 に設定し，
タイヤが回転しないように固定する．回転ジョイント⑨は，センターピンを表現するも
のであり，回転モーションは設定しないため柔軟に x 軸周りに回転する．
⑧
④
③
⑥
⑦
⑨
①
⑤
図 4.4
ジョイントを取り付けた車両モデル
23
②
表 4.2
ジョイントの詳細
番号 名称 ベースボディ アクションボディ
ポイント
方向
①
回転
axle
link1
(0.68, 0.2685, 0.315)
y 軸周り
②
回転
axle
link2
(0.68, 0.2685, -0.315)
y 軸周り
③
回転
body
limk3
(-0.68, 0.2685, 0.315)
y 軸周り
④
回転
body
link4
(-0.68, 0.2685, -0.315) y 軸周り
⑤
回転
link1
tire1
(0.68, 0.2685, 0.565)
z 軸周り
⑥
回転
link2
tire2
(0.68, 0.2685, -0.565)
z 軸周り
⑦
回転
link3
tire3
(-0.68, 0.2685, 0.565)
z 軸周り
⑧
回転
link4
tire4
(-0.68, 0.2685,- 0.565)
z 軸周り
⑨
回転
body
axle
(0.68, 0.2685, 0)
x 軸周り
4.2..2
接触
本シミュレーションでは，tire1～4 と Ground 間に接触を定義している．接触定義名は
円筒・面接触である．接触定義の詳細を表 4.3 に示す．本シミュレーションでは，走行
抵抗を含んだタイヤ特性データを用いているため，路面とタイヤの摩擦は 0 とする．そ
の他係数も実条件より高い値であるが，それらもタイヤ特性データに含まれているもの
とする．
表 4.3
名称
ベース面
アクション
接触定義の詳細
Spring Coefficient
円筒
Dumping
Dynamic Friction
Coefficient
Coefficient
円筒・面
Ground
tire1
1000000
100000
0
円筒・面
Ground
tire2
1000000
100000
0
円筒・面
Ground
tire3
1000000
100000
0
円筒・面
Ground
tire4
1000000
100000
0
24
4.2..3
フォース
RecurDyn のフォースは，指定した点の間に並進力や回転力を与える．本シミュレー
ションでは，各車輪には 3 方向の力と各軸周りのトルクを与えるフォースにより，駆動
力，サイドフォース，トルクが与えられる．図 4.5 にフォースを取り付けた車両モデル
を示す．各フォースの詳細を表 4.4 に示す．
各フォースには，ユーザーサブルーチンにより算出された駆動力，サイドフォースが
出力される．まず，車両の運動に影響しない位置にボディを作成し，Ground と作成し
たボディ間に 6 方向フォースを二つ（⑤，⑥）取り付ける．この二つの 6 方向フォース
のユーザーサブルーチンで前輪，後輪それぞれのトルクおよび最適なタイヤ回転数を算
出する．算出したタイヤ回転数を，6 方向フォース①～④に引数として与え，それぞれ
のタイヤの駆動力，サイドフォースを算出する．各ユーザーサブルーチン詳細として引
数リストと出力リストを表 4.5 に示す．ユーザーサブルーチンのプログラムを付録に示
す．
④
③
②
①
図 4.5
フォースを取り付けた車両モデル
25
表 4.4
番号
①
②
③
④
名称
六方向フォース
六方向フォース
六方向フォース
六方向フォース
フォースの詳細
ベースボディ
アクションボディ
（ポイント）
（ポイント）
Ground
tire1
(0,0,0)
(0.68, 0.2685, 0.565)
Ground
tire2
(0,0,0)
(0.68, 0.2685, -0.565)
Ground
tire3
(0,0,0)
(-0.68, 0.2685, 0.565)
Ground
tire4
(0,0,0)
(-0.68, 0.2685,
参照マーカ
tire1 重心マーカ
tire2 重心マーカ
tire3 重心マーカ
tire4 重心マーカ
-0.565)
表 4.5
番号
①
ユーザーサブルーチン詳細
引数リスト
出力リスト
1. tire1 接地反力
Fx：tire1 駆動力
2. tire1 x 方向の速度
Fy：0
3. tire1 z 方向の速度
Fz：tire1 サイドフォース
4. tire1 回転数
Tx：0
Ty：0
Tz：0
②
1. tire2 接地反力
Fx：tire2 駆動力
2. tire2 x 方向の速度
Fy：0
3. tire2 z 方向の速度
Fz：tire2 サイドフォース
4. tire2 回転数
Tx：0
Ty：0
Tz：0
26
③
1. tire3 接地反力
Fx：tire3 駆動力
2. tire3 x 方向の速度
Fy：0
3. tire3 z 方向の速度
Fz：tire3 サイドフォース
4. tire3 回転数
Tx：0
Ty：0
Tz：0
④
1. tire4 接地反力
Fx：tire4 駆動力
2. tire4 x 方向の速度
Fy：0
3. tire4 z 方向の速度
Fz：tire4 サイドフォース
4. tire4 回転数
Tx：0
Ty：0
Tz：0
⑤
1. tire1 接地反力
Fx：tire1 回転数
2. tire1 x 方向の速度
Fy：tire2 回転数
3. tire1 z 方向の速度
Fz：0
4. tire2 接地反力
Tx：tire1 トルク
5. tire2 x 方向の速度
Ty：tire2 トルク
6. tire2 z 方向の速度
Tz：0
7. tire1 回転数
⑥
1. tire3 接地反力
Fx：tire3 回転数
2. tire3 x 方向の速度
Fy：tire4 回転数
3. tire3 z 方向の速度
Fz：0
4. tire4 接地反力
Tx：tire3 トルク
5. tire4 x 方向の速度
Ty：tire4 トルク
6. tire4 z 方向の速度
Tz：0
7. tire3 回転数
27
4.2..4
解析
本シミュレーションの解析実行時のパラメータ設定を表 4.6 に示す．解析終了時間と
アニメーションのフレーム数は任意に設定し，解析ステップと結果出力ステップの同期
を行う．
表 4.6
解析実行時のパラメータ設定
最大積分次数
2
最大の時間刻み
1×10-2
初期の時間刻み
1×10-6
許容誤差
5×10-3
積分器
Implicit G-Alpha
数値減衰
1
ヤコビアン評価
100
28
V. 検証実験
5.1. 概要
シミュレーションの妥当性を確認するために，実車両（以下実験車両）を用いた走行
実験とシミュレーションの結果比較を行う．比較項目は旋回半径と各車輪の回転数とす
る．結果比較は 2 次元シミュレーション，3 次元シミュレーションともに行う．
5.2. 実験車両 13)
実験車両は，
2009 年度に本研究室で制作された車両である．
実験車両の外観を図 5.1，
動力伝達系概略図を図 5.2，車両諸元を表 5.1 に示す．動力源として使用する電動機は，
TOSHIBA+TsubakiDisco 社製の，無段変速機付き三相誘導電動機である．この誘導電動
機の仕事率は 1.5kW である．変速目盛が 1 から 10 まであり，この機構により回転速度
の調整を行う．ギヤボックスは，ツバキエマソン製の ED6B20-1-LR-T であり，電動機
の回転は，ギヤボックスを介して，中心動力軸の各方向に伝達される．車軸は，前後車
軸とも同型の神崎高級工機製のトラクタ前車軸を流用している．また，車軸には，ディ
ファレンシャル機構がある．各車輪の舵角は，任意に設定可能であり，舵角一定で固定
することができる．車両の前方中央部には，ペットボトル容器で作成した水を滴下する
装置が装備されており，走行中に滴下された水の跡から車両の走行軌跡を計測すること
ができる．タイヤは，従前の研究で使用された有効半径 0.2685[m]，タイヤ呼び 6-12，
硬さ 4P.R，空気圧 1.8[Mpa]の不整地用ブロックタイヤである．
29
図 5.1
実験車両外観図
後
モータ
ユニバーサ
ルジョイント
前
中心軸
センターピン
トルク変換器
車軸
ギヤボックス
図 5.2 動力伝達系統図
30
表 5.1 車両主要諸元
駆動方式
四輪駆動
操舵方式
四輪操舵
M：車両重量
485 kg
Mw：タイヤ重量
20 kg
TR：トレッド
0.63 m
WB：ホイールベース
1.36 m
Lsl：リンク
0.15 m
h：車体重心高さ
0.5 m
Rw：タイヤ有効半径
0.2685 m
Ww：タイヤ幅
0.2 m
タイヤ種類
6-12 4 P.R.
5.3. 実走行実験
5.3.1.
実験概要
実験は三重大学内の乾いた平坦なコンクリート路面で行う．走行実験は車両の速度を
変えて 2 回（以後 case1，case2）行う．直進走行時の case1 の速度は約 0.64m/s，case2
の速度は約 1.45m/s である．各車輪の舵角は，旋回半径が約 2m となるように右前輪を
18°，左前輪を 22°，右後輪を 18°，左後輪を 19°と設定した．実験時の様子を図 5.3
に示す．旋回半径は，水を滴下することによってできた旋回軌跡円の直径を計測する．
タイヤ回転数は，各タイヤに取り付けられたロータリエンコーダ（オムロン株式会社，
E6A2-CW5C）により旋回走行中に取得する．ロータリエンコーダの取り付け図を図 5.4，
主な仕様を表 5.2 に示す．
31
図 5.3
走行実験の様子
ロータリエンコーダ
図 5.4 ロータリエンコーダ
32
表 5.2 ロータリエンコーダの主な仕様
型番 E6A2-C
電源電圧 DC12～24V
消費電流 20ｍA 以下
分解能
100，200，360，500 ( パルス／回転 )
出力相
A 相，B 相
出力形式 オープンコレクタ出力
最高応答周波数 30ｋHz
起動トルク
1ｍN・m 以下
慣性モーメント 1×10－7kg・m2 以下
許容最高回転数 5000r/min
材質
本体金属部：アルミニウム
シャフト：SUS420J2
取付金具：鉄，亜鉛メッキ
質量
約 35ｇ
接続部 茶：Vcc，黒：A 相，白：B 相，青：0V(COMMON)
33
5.3.2.
実験結果
実走行実験での旋回半径の実測値を表 5.3，タイヤ回転数の実測値を表 5.4 に示す．
表 5.3
旋回半径
旋回半径(m)
case1
2.0242
case2
2.0157
表 5.4
右前輪
25.54
64.65
case 1
case 2
5.4.
タイヤ回転数
タイヤ回転数(rpm)
左前輪
右後輪
17.25
27.66
41.5
70.47
左後輪
15.13
35.7
シミュレーション
シミュレーションに与える車両諸元及び操舵角は実走行実験のステアリング角を基
に設定する．シミュレーションに与える操舵角を図 5.5 に示す．シミュレーションでは
1 秒後から 3 秒後にかけて目標のステアリング角になるように設定する．
0.5
SteeringAngle(rad)
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1 0
3
6
9
-0.2
-0.3
12
tire1
tire2
tire315
tire4
-0.4
-0.5
Time(s)
図 5.5
シミュレーションに与える操舵角
旋回半径は，2 次元シミュレーションでは旋回走行時の中心位置から最小二乗法によ
り算出する．3 次元シミュレーションでは，旋回時の x 座標の最大値と最小値の差を 2
で除したものを旋回半径とする．
34
シミュレーションに初期値として与えるエンジン回転数 ωengin は実走行実験で取得し
たタイヤ回転数から次式で算出する．
 engin 
(1   2 )
2
(5.4)
表 5.2.1 の右前輪と左後輪のタイヤ回転数を用いて，式（5.4）から算出したシミュレー
ションに与えるエンジン回転数を表 5.5 に示す．このエンジン回転数を用いてシミュレ
ーションを行い，2 次元シミュレーションで算出した旋回半径を表 5.6，3 次元シミュレ
ーションで算出した旋回半径を表 5.7 に示す．また， 2 次元シミュレーションで算出し
たタイヤ回転数を表 5.8，
3 次元シミュレーション算出したタイヤ回転数を表 5.9 に示す．
表 5.5
シミュレーションに与えるエンジン回転数
エンジン回転数（rpm）
case 1
21.39
case 2
53.08
表 5.6
2 次元シミュレーションの旋回半径
旋回半径(m)
case 1
2.0263
case 2
2.0101
表 5.7 2 次元シミュレーションのタイヤ回転数
右前輪
タイヤ回転数(rpm)
左前輪
右後輪
左後輪
case 1
26.35
16.44
26.4
16.39
case 2
65.52
40.64
65.52
40.64
表 5.8
3 次元シミュレーションの旋回半径
旋回半径(m)
case 1
2.0306
case 2
2.0156
35
表 5.9 3 次元シミュレーションのタイヤ回転数
右前輪
タイヤ回転数(rpm)
左前輪
右後輪
左後輪
case 1
26.84
15.95
26.89
15.9
case 2
66.76
39.35
66.73
39.43
5.5. 実走行実験とシミュレーションとの結果比較
実走行実験とシミュレーションとの旋回半径の結果比較を表 5.10，タイヤ回転数の結
果比較を表 5.11 に示す．実走行実験での計測値の旋回半径は，従前の研究で精度が確
認された 6 標識点法 14)と呼ばれる位置計測法で算出された値を用いる．
case1 の旋回半径の比較では，2 次元シミュレーション，3 次元シミュレーションとも
計測値との差が 1cm 以内である．case2 の旋回半径の比較においても同様に，2 次元シ
ミュレーション，3 次元シミュレーションとも計測値との差が 1cm 以内である．
case1 のタイヤ回転数の比較では，右前輪の計測値と 3 次元シミュレーションとの差
が 1.3rpm で最大であり，その他は 1.3rpm 以内の差である．case2 のタイヤ回転数の比
較では，前輪は計測値とシミュレーションの値は比較的近い値であるが，後輪では右後
輪の計測値と 3 次元シミュレーションとの差が最大で 4.95rpm であり，その他も差が比
較的大きい．この case2 の計測値とシミュレーションの後輪のタイヤ回転数の差は許容
の範囲内とは言い難いが，2 次元シミュレーションと 3 次元シミュレーションのタイヤ
回転数が近い値であること，実走行実験時の路面が均一でないことや計測器の不具合が
あったことから，シミュレーションのタイヤ回転数の値の方が信頼性が高いと考えられ
る．
総じて，計測値とシミュレーションの旋回半径とタイヤ回転数の値の差が比較的小さ
く，ディファレンシャル特性に関しても同じような傾向を示していることから，2 次元
シミュレーションと 3 次元シミュレーションの妥当性が十分あることが確認された
36
表 5.10 旋回半径の比較
旋回半径(m)
計測値
2 次元シミュレーション
3 次元シミュレーション
case1
2.0242
2.0264
2.0306
case2
2.0157
2.011
2.0156
表 5.11 タイヤ回転数の比較
タイヤ回転数（rpm）
case1
case2
右前輪
左前輪
右後輪
左後輪
計測値
25.54
17.25
27.66
15.13
2 次元シミュレーション
26.35
16.44
26.4
16.39
3 次元シミュレーション
26.84
15.95
26.89
15.9
計測値
64.65
41.5
70.47
35.7
2 次元シミュレーション
66.76
39.35
66.73
39.43
3 次元シミュレーション
65.52
40.64
65.52
40.64
37
VI. 平坦な路面での車両の旋回特性
6.1. 概要
一般に，通常の車両の運動では，ある一定の実舵角のもとで，一定の走行速度で走行
する車両は，一定の半径の定常的な円運動をする，これは，車両の運動の基本となるも
のであり，これを定常円旋回と呼ぶ．この定常円旋回の特性を知ることによって，車両
運動の基本的な性質が理解できると考えられる．よって本研究では，まず第一に，3 次
元シミュレーションを用いた平坦な路面での 4WD-4WS 車両の旋回時の挙動を解析す
る．また，4WD-4WS 車両の有用性を示すため，4WD-2WS 車両の旋回特性との比較を
行う．本研究では 2WS を前輪操舵とする．
6.2. シミュレーション実験
6.2.1.
概要
本シミュレーション実験には，第 4 章に示した 3 次元シミュレーションの車両モデル
を用いる．車両モデルの諸言は第 5 章に示した実験車両と同値のものとする．シミュレ
ーションに与える操舵角は，アッカーマン方式により決定する．アッカーマン方式によ
る 4WS 車両の操舵角の概略図を 6.1，2WS 車両の操舵角の概略図を図 6.2 に示す．アッ
カーマン方式とは，各車輪を車輪の中心線が 1 点（旋回中心）で交わるような舵角に設
定する方式のことである．これは，旋回時に旋回内側の車輪と旋回外側の車輪で旋回半
径に差があるためであり，旋回内側の車輪の操舵角が旋回外側の車輪の操舵角よりも大
きくなる．本研究は低速で大舵角な車両を研究対象としているため，定常円旋回のシミ
ュレーション実験の設定旋回半径は，1.5m と 2m とした．設定旋回半径 1.5m の 4WS
車両の操舵角を図 6.3，設定旋回半径 2m の 4WS 車両の操舵角を図 6.4，2WS 車両の操
舵角を図 6.5 に示す．設定旋回半径 1.5m 時の 2WS 車両のシミュレーションは，操舵角
が大きくタイヤと車体が干渉してしまうため行わないこととする．シミュレーション実
験の車両に与える初速度は，0.5m/s，1.0m/s，1.5m/s の 3 段階とする．
38
図 6.1
4WS 車両のアッカーマン方式による操舵角の概略図
旋回中心
図 6.2
2WS 車両のアッカーマン方式による操舵角の概略図
SteeringAngle(rad)
30
20
10
0
0
5
10
15
-10
20
tire1
tire2
tire3 30
25
tire4
-20
-30
図 6.3
Time(s)
設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両の車輪の操舵角
39
SteeringAngle(rad)
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
-10
tire1
tire2
tire3
tire4
-20
-30
Time(s)
図 6.4
設定旋回半径 2m の 4WS 車両の車輪の操舵角
SteeringAngle(rad)
45
35
25
tire1
tire2
tire3
tire4
15
5
-5 0
5
10
15
20
25
Time(s)
図 6.5
設定旋回半径 2m の 2WS 車両の車輪の操舵角
40
30
30
6.2.2.
旋回半径
設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両の旋回半径を表 6.1，設定旋回半径 2m の 4WS 車両 2WS
車両の旋回半径を表 6.2 に示す．4WS 車両の旋回半径は設定旋回半径 1.5m，2m ともに
設定旋回半径との差は 1mm 以下であり，非常に小さい．2WS 車両は設定旋回半径との
差が大きく，最大で 0.5m/s 時に 21cm の差が生じている．この結果から，アッカーマン
方式により設定した操舵角では，4WS は 2WS よりも小旋回できることが示された．2WS
車両では前輪と後輪の内輪差が 4WS 車両よりも大きく，センターデフを持たない 4WD
車両特有のタイトコーナーブレーキング現象により，前輪が旋回外側に押し出され旋回
半径が大きくなったと考えられる．
4WS 車両は速度が増すとともに旋回半径が大きくなり，アンダステア特性を示して
いる．一方，2WS 車両は速度が増すとともに旋回半径が小さくなり，オーバステア特
性を示している．このような特性になる考察については，後述のサイドフォースについ
ての項目で述べる．
表 6.1
表 6.2
設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両の旋回半径
初速度(m/s)
旋回半径(m)
0.5
1.4999
1
1.5
1.5
1.5004
設定旋回半径 2m の 4WS 車両 2WS 車両の旋回半径
初速度(m/s)
旋回半径(m)
4WS
2WS
0.5
1.9999
2.2125
1
2.0002
2.1988
1.5
2.0008
2.1771
41
6.2.3.
駆動力
2WS 車両の定常状態での速度別の駆動力を表 6.2.3 に示す．表 6.3 では，タイトコーナ
ーブレーキング現象により，前輪の駆動力が負，後輪の駆動力が正であり，2WS 車両
の旋回半径が大きくなる要因であることが確認された．また，2WS 車両の駆動力は，
4WS 車両の駆動力と比較して非常に大きな値である．設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両
の駆動力を表 6.4，
設定旋回半径 2m の 4WS 車両の駆動力を表 6.5 に示す．4WS 車両は，
前輪と後輪が逆位相で操舵されるため，理想的には旋回内側の車輪と旋回外側の車輪は
それぞれ同じ軌跡になると考えられるが，旋回時には車両に横すべりが生じるため，僅
かな内輪差が生じる．その結果，前輪の駆動力が正，後輪の駆動力が負となり，旋回を
促す場合のタイトコーナーブレーキング現象が生じている．しかし，その値は 2WS 車
両と比較して十分小さく，設定旋回半径と旋回半径の差が非常に小さいので，4WS 車
両が比較的安定して旋回できることが示唆される．内輪差の大きい 2WS 車両が大舵角
旋回時に安定して旋回するためには，前後輪間にセンターデフ機構を装備し，内輪差を
吸収しタイヤ回転数を前後輪間に振り分ける必要がある．
表 6.3 2WS 車両の駆動力
初速度(m/s)
駆動力（N)
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
-635.80574
-631.16536
784.34008
785.0004
1
-620.21395
-615.20058
768.0129
770.40947
1.5
-588.34548
-583.17139
737.1009
742.0024
表 6.4
設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両の駆動力
初速度(m/s)
駆動力（N)
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
8.179243
8.9590785
-8.6931656
-8.5741938
1
35.433064
35.923682
-33.405633
-35.222839
1.5
84.22153
83.634881
-74.523683
-80.006101
42
表 6.5
設定旋回半径 2m の 4WS 車両の駆動力
初速度(m/s)
駆動力（N)
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
5.4399997
5.8305299
-5.5225947
-5.6996599
1
23.228352
23.415065
-21.510591
-23.180268
1.5
54.932538
54.4538
-47.956189
-52.412924
43
6.2.4.
トルク
2WS 車両の各タイヤのトルクを表 6.6，設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両の各タイヤの
トルクを表 6.7，設定旋回半径 2m の 4WS 車両の各タイヤのトルクを表 6.8 に示す．
トルクは，第 2 章の駆動力係数の近似曲面及びトルク係数の近似曲面の図より，駆動
力と似た特性を示すことが示唆される．2WS 車両では，駆動力同様に前輪が負の値で
あり，後輪が正の値である．4WS 車両においても駆動力同様に前輪が後輪より大きな
値であり，速度の増加に伴い，値の絶対値が大きくなる傾向がある．
左右輪の値は，最適化法によりディファレンシャル特性を考慮したモデルであるため，
ほぼ同じである．
表 6.6
2WS 車両のトルク
初速度(m/s)
トルク（N)
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
-175.4815
-175.4801
262.90514
262.89798
1
-171.26
-171.2617
257.5591
257.5604
1.5
-162.7778
-162.7768
247.4535
247.4556
表 6.7
設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両のトルク
初速度(m/s)
トルク（N)
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
11.6857
11.6742
6.3588
6.3648
1
19.9883
19.992
-1.614
-1.612
1.5
34.6585
34.6579
-15.0613
-15.0576
表 6.8
設定旋回半径 2m の 4WS 車両のトルク
初速度(m/s)
トルク（N)
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
10.777
10.7708
7.2935
7.2996
1
16.1887
16.1841
2.0917
2.0932
1.5
25.6774
25.6793
-6.6649
-6.6653
44
6.2.5.
接地反力
2WS 車両の各タイヤの接地反力を表 6.9，設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両の各タイヤ
の接地反力を表 6.10，設定旋回半径 2m の 4WS 車両の各タイヤの接地反力を表 6.11 に
示す．一般に，定常円旋回する車両には遠心力が働くため，旋回外側のタイヤの接地反
力が大きくなると考えられる．表 6.9～6.11 において，後輪では旋回外側のタイヤの接
地反力が大きいが，前輪では必ずしもそうではない．その理由として，本車両モデルの
懸架方式が，前輪はセンターピン式であることが挙げられる．後輪は車軸懸架式である
ため，遠心力の影響を受け旋回外側のタイヤの接地反力が大きくなる．また，速度が増
加に伴い，遠心力も増加するため後輪の旋回外側のタイヤの接地反力も大きくなる．
表 6.9 2WS 車両の接地反力
初速度(m/s)
接地反力（N)
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
1227.6264
1181.8415
1165.2831
1181.4732
1
1230.9249
1184.9485
1137.4924
1202.8422
1.5
1236.1095
1189.8299
1090.6402
1239.5448
表 6.10 設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両の接地反力
初速度(m/s)
接地反力（N)
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
1205.5507
1174.5378
1191.8209
1184.3251
1
1208.4609
1177.3251
1153.49
1216.9397
1.5
1212.8569
1181.5324
1090.0628
1271.6251
表 6.11 設定旋回半径 2m の 4WS 車両の接地反力
初速度(m/s)
接地反力（N)
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
1196.7247
1182.5977
1186.132
1190.7765
1
1198.4756
1184.3084
1156.1488
1217.2804
1.5
1201.1046
1186.8762
1106.4425
1261.692
45
6.2.6.
横すべり角
2WS 車両の各タイヤの横すべり角を表 6.12，設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両の各タ
イヤの横すべり角を表 6.13，設定旋回半径 2m の 4WS 車両の各タイヤの横すべり角を
表 6.14 に示す．本シミュレーションでは横すべり負が正の値であれば進行方向に対し
て車体やタイヤが旋回内向きであり，正の値であれば旋回外向きであることを示す．
2WS 車両は，
前輪操舵であるため前輪の横すべり角が後輪より大きくなっている．
4WS 車両は，旋回内側のタイヤ，旋回外側のタイヤそれぞれの前輪後輪において横す
べり角は非常に近い値となっている．これは，4WS 車両は前輪と後輪を逆位相で操舵
させるので，2WS 車両の前輪の操舵角より各車輪の操舵角を小さくすることができる
ためだと考えられる．また，2WS 車両，4WS 車両において，旋回内側のタイヤの横す
べり角が大きくなっているのは，アッカーマン方式により舵角を決定することで旋回内
側のタイヤの舵角が大きいからである．
2WS 車両の車体の横すべり角を図 6.6，
4WS 車両の車体の横すべり角を図 6.7 に示す．
2WS 車両の車体横すべり角は正である．これは，タイトコーナーブレーキング現象に
より前輪が外側に押し出された影響だと考えられる．一方，4WS 車両の車体の横すべ
り角は負であり，車両の進行方向に対して車体が旋回内側を向いていることを示してい
る．
2WS 車両と 4WS 車両の車体の横すべり角は速度が大きくなるにつれ減少している．
このように車体の重心点の横すべり角が速度とともに変化する理由は，車両は走行速度
に応じた遠心力と釣り合うサイドフォースを得なければならないからである．つまり，
横すべり角が速度とともに負となり，その絶対値が増すということは，車体前方を旋回
円の内側にして円旋回する傾向を強くすることを示すものである．
46
表 6.12 2WS 車両の各タイヤの横すべり角
初速度(m/s)
横すべり角（deg）
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
-4.69499
-2.5608
-0.61354
-0.35443
1
-5.04459
-2.83247
-1.38907
-0.80079
1.5
-5.61767
-3.27318
-2.64259
-1.51868
表 6.13 設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両の各タイヤの横すべり角
初速度(m/s)
横すべり角（deg）
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
-0.13414
-0.07408
-0.13657
-0.07501
1
-0.5526
-0.30306
-0.54426
-0.30104
1.5
-1.2863
-0.70182
-1.24406
-0.6918
表 6.14 設定旋回半径 2m の 4WS 車両の各タイヤの横すべり角
初速度(m/s)
横すべり角（deg）
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
-0.11107
-0.06766
-0.11161
-0.06793
1
-0.45436
-0.27579
-0.44683
-0.27295
1.5
-1.05128
-0.6363
-1.02027
-0.62518
47
18
SlipAngle(deg)
17.5
17
16.5
16
15.5
15
0.5
1
Velocity(m/s)
図 6.6
1.5
2WS 車両の車体の横すべり角
0
0.5
1
SlipAngle(deg)
-0.2
-0.4
-0.6
設定旋回半径（m）
-0.8
-1
1.5
2
-1.2
Time(s)
図 6.7
4WS 車両の車体の横すべり角
48
1.5
6.2.7.
すべり率
2WS 車両の各タイヤのすべり率を表 6.15，設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両の各タイ
ヤのすべり率を表 6.16，設定旋回半径 2m の 4WS 車両の各タイヤのすべり率を表 6.17
に示す．
一般に，すべり率は駆動状態では正，制動状態では負の値となる．しかし，すべり率
が負の値の場合でも，駆動力が正の値の場合もある．第 2 章の図 2.1 では，すべり率が
負の値でも，その絶対値が小さい場合駆動力係数は正となる．よって，すべり率の正負
だけでは，駆動力の正負は判断できない．
2WS 車両では，内輪差により前輪の走行距離が後輪より長くなるため，前輪のすべ
り率が後輪より小さい値となっている．4WS 車両では，車体の横すべり角が負であり，
後輪の走行距離が前輪より長くなるため，後輪のすべり率が前輪より小さい値となって
いる．
すべり率は，絶対値の 0.2 以下が安定領域，0.2 以上が不安定領域と言われている．表
6.15～6.17 のすべり率は，安定領域であり，本シミュレーションの設定条件では不安定
領域は見られない．2WS 車両と 4WS 車両を比較すると，2WS 車両の操舵角である前輪
の絶対値が約 0.09 であり，4WS 車両より大きい．4WS 車両は 4 輪とも値が小さく安定
して走行可能であることが示唆される．また，2WS 車両，4WS 車両ともに，速度の増
加に伴いすべり率の絶対値も大きくなる傾向がある．
49
表 6.15 2WS 車両のすべり率
初速度(m/s)
すべり率
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
-0.0905
-0.0779
0.006
0.0058
1
-0.0907
-0.0766
0.0061
0.0055
1.5
-0.09
-0.0739
0.0063
0.005
表 6.16 設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両のすべり率
初速度(m/s)
すべり率
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
-0.00388
-0.00379
-0.00538
-0.00537
1
-0.00156
-0.00138
-0.00778
-0.00771
1.5
0.000177
0.000204
-0.01244
-0.01149
表 6.17 設定旋回半径 2m の 4WS 車両のすべり率
初速度(m/s)
すべり率
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
-0.00411
-0.00408
-0.0051
-0.00511
1
-0.00259
-0.00252
-0.00664
-0.00665
1.5
0.000001
0.000014
-0.00956
-0.00916
50
6.2.8.
サイドフォース
2WS 車両のサイドフォースを表 6.18，設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両のサイドフォ
ースを表 6.19，設定旋回半径 2m の 4WS 車両のサイドフォースを表 6.20 に示す．第 2
章の式 2.2，2.5 より，サイドフォースは横すべり角とすべり率，接地反力の影響を受け
る．ここではサイドフォースと横すべり角の関係に注目する．
2WS 車両，4WS 車両ともに速度が増すにつれ各タイヤのサイドフォースが大きくな
る．これは前述の通り，速度が増すにつれタイヤの横すべり角が大きくなるからである．
一般に，サイドフォースは遠心力に対する求心力であるため，旋回中心からの距離が大
きいほうがサイドフォースが大きいと考えられるが，旋回内側のタイヤのサイドフォー
スが大きいことも，横すべり角の絶対値の大きさが影響していると考えられる．
2WS 車両の前輪と後輪のサイドフォースを表 6.21，設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両
の前輪と後輪のサイドフォースを表 6.22，設定旋回半径 2m の 4WS 車両の前輪と後輪
のサイドフォースを表 6.23 に示す．2WS 車両では，前輪のサイドフォースが後輪のサ
イドフォースより非常に大きい．つまり，求心力であるサイドフォースが大きいので車
体前方が旋回内側に向き，車体後方が旋回外側を向くことを意味している．これが 2WS
車両が強いオーバステア特性を示す理由である．4WS 車両では，表 6.23 の初速度 1.0m/s
を除いて，僅かに後輪のサイドフォースが前輪のサイドフォースより大きい．そのため，
車体後方が旋回内側を向き，車体前方が旋回外側を向くので 4WS 車両は非常に弱いア
ンダステア特性を示す．
51
表 6.18 2WS 車両のサイドフォース
初速度(m/s)
サイドフォース（N)
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
579.7005
356.5852
35.7719
21.0735
1
611.6959
390.1767
80.8230
51.6603
1.5
662.7959
443.3552
150.2557
110.533
表 6.19 設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両のサイドフォース
初速度(m/s)
サイドフォース（N)
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
19.0193
10.2510
19.325
10.5731
1
76.1259
41.01235
74.376
43.8261
1.5
168.5122
91.2735
159.731
105.697
表 6.20 設定旋回半径 2m の 4WS 車両のサイドフォース
初速度(m/s)
サイドフォース（N)
tire1
tire2
tire3
tire4
0.5
15.6705
9.44637
15.7063
9.6136
1
62.7298
37.8665
61.0422
39.5414
1.5
139.7961
84.8392
132.3462
93.86
52
表 6.21 2WS 車両の前輪と後輪のサイドフォース
初速度(m/s)
サイドフォース（N）
tire1+tire2
tire3+tire4
0.5
936.2858
56.8455
1
1001.8726
132.4834
1.5
1106.1512
260.7891
表 6.22 設定旋回半径 1.5m の 4WS 車両の前輪と後輪のサイドフォース
初速度(m/s)
サイドフォース（N）
tire1+tire2
tire3+tire4
0.5
29.2704
29.8982
1
117.1382
118.2029
1.5
259.7858
265.4286
表 6.23 設定旋回半径 2m の 4WS 車両の前輪と後輪のサイドフォース
初速度(m/s)
サイドフォース（N）
tire1+tire2
tire3+tire4
0.5
25.1169
25.32
1
100.5963
100.583
1.5
224.6353
226.2062
53
6.2.9.
まとめ
操舵方式による旋回特性を表 6.24 に示す．車両が低速大舵角で旋回をする場合，旋
回半径の評価から，2WS 車両と 4WS 車両では，4WS 車両の方が設定した旋回半径で安
定して旋回できることがわかった．2WS 車両においては，特にタイトコーナーブレー
キング現象の影響が大きく低速大舵角で旋回する場合は，センターデフ機構を備える必
要があると考えられる．
旋回車両においては，走行速度や舵角が増加すると遠心力も増加するため，それに釣
り合うサイドフォースを得るため横すべり角が負になり，その絶対値が大きくなる．
2WS 車両は前輪のみ操舵するため，前輪の横すべり角の絶対値が大きく，サイドフォ
ースが大きくなることで強オーバステア特性となる．4WS 車両は前輪と後輪を逆位相
で操舵するため，前輪と後輪のサイドフォースの差は非常に小さく，僅かにアンダステ
ア特性となる．
総じて，4WS 車両は，内輪差が小さいためタイトコーナーブレーキング現象の影響
が小さく横すべりも小さいので，2WS 車両より旋回機動性に優れ，低速で大舵角な旋
回を要する作業に適した車両である．
表 6.24 操舵方式による旋回特性
2WS
4WS
旋回半径
速度の増加に伴い減少
速度の増加に伴い増加
駆動力
速度の増加に伴い絶対値が増加
速度及び操舵角の増加に伴い絶対値が増加
前輪が制動，後輪が駆動
前輪が駆動，後輪が制動
速度の増加に伴い増加
速度及び操舵角の増加に伴い増加
前輪の和＜後輪の和
前輪の和＞後輪の和
サイドフォース
トルク
速度の増加に伴い前輪は増加，後輪 速度及び操舵角の増加に伴い前輪は増加，後
は減少
横すべり角
すべり率
輪は減少
速度の増加に伴い減少
速度の増加に伴い前輪は増加，後輪 速度及び操舵角の増加に伴い前輪は増加，後
は減少
ステア特性
速度及び操舵角の増加に伴い減少
輪は減少
オーバステア
アンダステア
54
VII.
7.1.
車両の傾斜面での走行特性
概要
日本は傾斜地が多く，北海道などで多くみられる採草地や牧草地での作業や，山間地
での複雑で狭小な道の走行，また，平坦地での水田や畑に侵入する際の傾斜路面などが
あり，そこで使用される作業車両は平坦地では必要とされない傾斜地走行適応性が要求
される． 特に旋回機動性が優れていることが要求される．第 6 章において，平坦地で
は 4WD-4WS 車両が 4WD-2WS 車両より旋回機動性に優れることが示された．傾斜地に
おいても，4WD-4WS 車両が旋回機動性に優れると考えられる．そこで本章では，
4WD-4WS 車両の傾斜面での走行特性を把握することを目的とし，円旋回走行や等高線
走行をさせた場合の車両の挙動を解析する．
7.2.
7.2.1.
傾斜面での円旋回
シミュレーション概要
山間地の圃場面傾斜の特性を調査した論文 15)では，ある圃場は傾斜度の最大値が 29°
であり，平均 14.1°であることが報告されている．本研究では，比較的度数分布の大き
い傾斜角 10°と 20°を対象路面とした．設定旋回半径は 2m とする．車両の初速度は，
傾斜地では平坦地より速度を落として旋回することが考えられるため，0.5m/s，1m/s と
設定した．
図 7.1 に傾斜面旋回時の車体位置を示す．本シミュレーションでは，斜面上側を車体
位置 0°とし，斜面下側に向かって車両を右旋回させる．車体位置 0°～90°を①，車
体位置 90°～180°を②，車体位置 180°～270°を③，車体位置 270°から 360°を④
とする．
55
④車体位置270°～360°
斜面上側
0°
①車体位置0°～90°
270°
90°
③車体位置90°～270°
180°
②車体位置90°～180°
斜面下側
図 7.1 傾斜面旋回時の車体位置
7.2.2.
接地反力
傾斜面旋回時の各タイヤの接地反力を図 7.2 に示す．傾斜面を旋回する車両の各タイ
ヤにおける接地反力は，定常状態とはならず，斜面下方にあるタイヤの接地反力が大き
くなる．図 7.2 では，どの条件においても各タイヤの接地荷重の増減の傾向は同じであ
る．
進行方向が斜面の等高線と平行になる車体位置 0°では，斜面下方に位置するタイヤ
1 およびタイヤ 3 の値が大きく，車体位置 180°では，斜面下方に位置するタイヤ 2 お
よびタイヤ 4 の値が大きい．
進行方向が斜面の等高線と垂直になる車体位置 90°では，
斜面下方に位置するタイヤ１およびタイヤ 2 の値が大きく，車体位置 270°では，斜面
下方に位置するタイヤ 3 およびタイヤ 4 の値が大きい．
56
①
②
③
1250
1200
1150
1100
tire1
tire2
tire3
38 40
tire4
1050
1000
14
16
18
20
22
24
26
28
Time(s)
30
32
34
①
1300
④
ContactForce(N)
ContactForce(N)
1300
36
②
③
1100
tire1
tire2
tire3
tire4
1000
6
1400
④
tire1
tire2
tire3
tire4
1100
8
10
12
14
16
Time(s)
18
1000
900
①
②
③
④
1300
1200
1100
1000
900
800
10
15
20
25
Time(s)
30
35
20
（b）傾斜面 10°，初速度 1m/s
1300
1200
④
900
ContactForce(N)
ContactForce(N)
①
③
1200
（a） 傾斜面 10°，初速度 0.5m/s
1400
②
40
6
（c）傾斜面 20°，初速度 0.5m/s
8
10
12
14
Time(s)
16
18
（d）傾斜面 20°，初速度 1m/s
図 7.2 傾斜面旋回時の接地反力
57
tire1
tire2
tire3
20
tire422
7.2.3.
駆動力
斜面旋回時の各タイヤの駆動力を図 7.3 に示す．
駆動力は，すべての条件において同様の傾向がみられる．車体位置①～②の場合すな
わち車両が斜面下方に向かい降坂している状態では，駆動力は負である．車体位置③～
④の場合すなわち車両が斜面上方に向かい登坂している状態では，駆動力は正である．
これは，降坂時には重力の斜面下方成分が車両の進行方向に作用することで車両の速度
が増加し，タイヤの周速度より大きくなることで各タイヤが制動状態になることが要因
であると考えられる．登坂時には重力の斜面下方成分が進行方向とは逆に作用すること
で車両の速度が減少し，タイヤの周速度より小さくなることで各タイヤが駆動状態とな
る．また，車体位置①では，後輪の駆動力が前輪の駆動力と比較して大きい．これは，
前輪と後輪では，前輪の方が車体位置における重力の斜面下方成分の影響を早い段階で
受けるためだと考えられる．他の車体位置でも同様に，後輪が前輪の位相遅れとなる．
駆動力と傾斜度，初速度の関係に注目する．傾斜度が増加すると重力の斜面下方成分
が大きくなるため，駆動力は大きくなる傾向がある．駆動力と初速度の関係では，同傾
斜度において初速度が増加しても駆動力に大きな変化は認められない．
58
①
250
200
②
③
④
250
DriveForce(N)
DriveForce(N)
50
0
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
tire1
tire2
tire3
tire4
-100
-150
-200
-250
400
50
0
-50 6
②
12
14
16
18
20
tire1
tire2
tire3
tire4
-100
Time(s)
（b）傾斜面 10°，初速度 1m/s
500
④
③
10
-250
Time(s)
①
8
-200
①
400
②
③
④
300
DriveForce(N)
DriveForce(N)
④
-150
300
200
100
0
-100 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
tire1
tire2
tire3
tire4
-200
-300
-400
-500
③
100
（a） 傾斜面 10°，初速度 0.5m/s
500
②
150
100
-50 14
①
200
150
Time(s)
100
0
-100 6
8
10
12
14
16
18
-200
-300
-400
-500
（c）傾斜面 20°，初速度 0.5m/s
図 7.3
200
Time(s)
（d）傾斜面 20°，初速度 1m/s
傾斜面旋回時の駆動力
59
20
22
tire1
tire2
tire3
tire4
7.2.4.
サイドフォース
斜面旋回時のサイドフォースを図 7.4 に示す．
サイドフォースはすべての条件において，同様の傾向がみられる．前輪と後輪では，
駆動力と同様の理由で，後輪が位相遅れとなる．
平坦地における定常円旋回では，旋回により生じる遠心力と釣り合うために旋回中心
方向つまり正の値としてサイドフォースが生じると考察したが，車体位置②，③ではサ
イドフォースが正の値であるのに対し，車体位置①，④ではサイドフォースは負の値で
ある．一般に，4 輪のサイドフォースが負であれば，遠心力と同様に旋回外側に力が働
き，車両が円旋回を行うことは困難となる．車体位置①，④においてサイドフォースが
負の値になるのは，遠心力が重力による斜面下方成分より小さいことが要因であると考
えられる．車体位置③～④では，車両が登坂状態となるため速度が小さくなり，それに
伴い遠心力も小さくなる．その際，車両の重力の斜面下方成分が遠心力より大きくなれ
ば，車両は横方向の釣り合いを維持するために旋回外側に横すべりを起こし，負の値の
サイドフォースを得ようとする．車体位置 360°付近では，重力の斜面下方成分と遠心
力との斜面下方への合力が最も小さくなるため，サイドフォースも最も小さくなる．一
方で，車体位置①～②では，車両が降坂状態となるため速度が大きくなり，それに伴い
大きくなる遠心力との釣り合いを維持するためにサイドフォースは増加する．車体位置
180°付近では，重力の斜面下方成分と遠心力との斜面下方への合力が最も大きくなる
ため，サイドフォースも最も大きくなる．
サイドフォースと傾斜度，初速度の関係に注目する．傾斜度が大きくなると，重力の
斜面下方成分が大きくなり，より走行速度および遠心力に影響を与えるので，同車体位
置でのサイドフォースの絶対値は大きくなる．同傾斜度では，初速度が大きくなると，
同車体位置でのサイドフォースが大きくなる傾向が確認された．
60
300
①
②
③
200
100
0
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
tire1
tire2
tre3
tire4
-100
-200
-300
③
④
100
0
6
②
12
14
16
tire1
tire2
tire3
tire4
Time(s)
③
18
20
（b）傾斜面 10°，初速度 1m/s
④
SideForce(N)
500
400
300
200
100
0
-100 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
-200
-300
-400
-500
-600
-700
tire1
tire2
tire3
tire4
Time(s)
（c）傾斜面 20°，初速度 0.5m/s
図 7.4
10
-200
Time(s)
①
8
-100
（a） 傾斜面 10°，初速度 0.5m/s
SideForce(N)
②
200
SideForce(N)
SideForce(N)
①
300
④
600
500
400
300
200
100
0
-100 6
-200
-300
-400
-500
-600
①
②
③
④
tire1
tire2
tire3
tire4
8
10
12
14
16
18
Time(s)
（d）傾斜面 20°，初速度 1m/s
傾斜面旋回時のサイドフォース
61
20
22
7.2.5.
横すべり角
斜面旋回時の各タイヤの横すべり角を図 7.5，車体の横すべり角を図 7.6 に示す．横
すべり角は，進行方向に対し車体やタイヤが旋回中心に向いている場合に負の値となり，
進行方向に対し車体やタイヤが旋回外側に向いている場合に正の値となる．
図 7.5 においてタイヤの横すべり角はすべての条件で同様の傾向を示す．サイドフォ
ースの項で前述したように，重力の斜面下方成分と遠心力の関係から，車体位置③～④
において，タイヤは負のサイドフォースを得ようとする．よってタイヤの横すべり角は
旋回外側方向にタイヤを向けるため増加する．一方で，車体位置①～②において，タイ
ヤは正のサイドフォースを得ようとするので，タイヤの横すべり角は旋回内側にタイヤ
を向けるために減少する．また，旋回内側のタイヤ 1 およびタイヤ 2 の横すべり角が，
旋回外側のタイヤより大きいのは，アッカーマン方式により決定した操舵角が旋回外側
のタイヤより旋回内側のタイヤの方が大きいことが影響していると考えられる．
各タイヤの横すべり角と傾斜度，初速度の関係に注目する．傾斜度が大きくなると，
重力の斜面下方成分が大きくなる影響を受けるため，同車体位置での横すべり角は約 2
倍大きくなる．また，同傾斜度において，初速度が増加すると同車体位置での横すべり
角はやや小さくなる傾向がみられた．
図 7.6 において車体の横すべり角はすべての条件で同様の傾向を示す．車体位置①～
②では，横すべり角が減少し車体が旋回を促進する方向に向いていることが示唆される．
車体位置③～④では，横すべり角が増加し車体が旋回を抑制する方向に向いていること
が示唆される．これらは，前後輪間のサイドフォースの大きさが影響していると考えら
れる．図 7.4 において，車両位置①～②では，前輪のサイドフォースが後輪よりも大き
い．そのため，車両前方が旋回内側を向き，車両後方が旋回外側を向くので横すべり角
が減少する．車両位置③～④では，後輪のサイドフォースが前輪よりも大きくなるため，
車両前方が旋回外側を向き，車両後方が旋回内側を向くので横すべり角が増加する．
車体の横すべり角と傾斜度，初速度の関係に注目する．タイヤの横すべり角同様に，
傾斜度が大きくなれば同車体位置での横すべり角が大きくなり，同傾斜度において，初
速度が増加すると同車体位置での横すべり角が小さくなる傾向がみられた．
62
2
①
②
③
2
④
1
SlipAngle(deg)
SlipAngle(deg)
1.5
0.5
0
-0.5
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
-1
tire1
tire2
tire3
tire4
-1.5
-2
-2.5
Time(s)
①
②
③
6
1
0
-1 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
-2
tire1
tire2
tire3
tire4
Time(s)
14
16
18
20
tire1
tire2
tire3
tire4
Time(s)
①
②
③
④
2
1
0
-1 6
8
10
12
14
16
18
-3
-4
-6
Time(s)
（d）傾斜面 20°，初速度 1m/s
傾斜面旋回時のタイヤの横すべり角
63
20
-2
-5
（c）傾斜面 20°，初速度 0.5m/s
図 7.5
12
3
2
-5
10
-2
4
3
-4
8
-1
（b）傾斜面 10°，初速度 1m/s
④
-3
④
0
-3
SlipAngle(deg)
SlipAngle(deg)
4
①
③
1
（a） 傾斜面 10°，初速度 0.5m/s
5
②
tire1
tire2
tire3
tire4
22
①
SlipAngle(deg)
1.5
②
③
1.5
④
1
0.5
0
-0.5
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
①
1
SlipAngle(deg)
2
38
40
-1
③
④
0.5
0
6
8
10
12
14
16
18
20
-0.5
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
Time(s)
Time(s)
（a） 傾斜面 10°，初速度 0.5m/s
（b）傾斜面 10°，初速度 1m/s
③
④
③
④
1
0
-1
6
8
10
12
14
16
18
-2
-3
-4
-5
Time(s)
（c）傾斜面 20°，初速度 0.5m/s
図 7.6
②
2
SlipAngle(deg)
②
①
3
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
①
SlipAngle(deg)
②
Time(s)
（d）傾斜面 20°，初速度 1m/s
傾斜面旋回時の車体の横すべり角
64
20
22
7.2.6.
すべり率
斜面旋回時の車体の横すべり角を図 7.6 に示す．
図 7.5 においてすべり率はすべての条件で同様の傾向を示す．車体位置①～②ではす
べり率は負の値であり，車体位置③～④ではすべり率が正である．車体位置①～②では，
車両が降坂状態となり車体の速度が増加するが，車両のエンジン回転数は一定であるた
め，タイヤの周速度が車体の速度より小さくなることですべり率が負の値となる．車体
位置③～④では，車両が登坂状態となり車体の速度が減少するが，車両のエンジン回転
数は一定であるため，タイヤの周速度が車体の速度より大きくなることですべり率が正
の値となる．
すべり率と傾斜度，初速度の関係に注目する．傾斜度が大きくなると同車体位置のす
べり率の絶対値が約 2 倍大きくなる．同傾斜において初速度が大きくなると，同車体位
置での前輪のすべり率の変化は小さいが，後輪のすべり率の絶対値は大きくなる傾向が
みられた．
65
0.01
①
0.005
②
③
0.005
④
6
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
-0.01
tire1
tire2
tire3
tire4
-0.015
-0.02
-0.025
-0.03
②
10
12
16
18
20
tire1
tire2
tire3
tire4
-0.03
③
14
-0.025
Time(s)
①
8
-0.02
Time(s)
（b）傾斜面 10°，初速度 1m/s
④
①
0.01
②
③
④
0
10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
6
-0.01
8
10
12
14
16
18
20
-0.01
-0.02
SlipRate
SlipRate
④
-0.015
0
tire1
tire2
tire3
tire4
-0.03
-0.04
-0.05
-0.06
③
-0.01
（a） 傾斜面 10°，初速度 0.5m/s
0.01
②
-0.005
40
SlipRate
SlipRate
0
-0.005
①
0
-0.02
tire1
tire2
tire3
tire4
-0.03
-0.04
-0.05
-0.06
Time(s)
（c）傾斜面 20°，初速度 0.5m/s
Time(s)
（d）傾斜面 20°，初速度 1m/s
図 7.6 傾斜面旋回時のすべり率
66
22
7.2.7.
旋回幅
傾斜面での円旋回は，平坦地での旋回と異なり車両に重力の傾斜下方成分が作用し，
定常円旋回にはならないため，旋回半径による評価が困難である．そこで本シミュレー
ションでは，車体位置 0°の車体重心位置と車体位置 180°の車体重心位置との距離お
よび，車体位置 180°の車体重心位置と車体位置 360°の車体重心位置との距離，車体
位置 90°の車体重心位置と車体位置 270°の車体重心位置との距離, 車体位置 270°の
車体重心位置と車体位置 450°の車体重心位置との距離を旋回幅と呼び，評価対象とす
る．初速度 0.5m/s の旋回幅を表 7.1，初速度 1m/s の旋回幅を表 7.2 に示す．
車体位置 0°～180°での旋回幅は，重力の斜面下方成分が旋回幅を大きくする方向
に作用するため，平坦地での旋回幅より大きい．車体位置 180°から 360°での旋回幅
は，重力の斜面下方成分が旋回幅を小さくする方向に作用するため，平坦地での旋回幅
より小さい．特に，傾斜度 20°においてその傾向が大きい．車体位置 90°～270°，270°
～450°においては，平坦地での旋回幅よりわずかに大きくなるが，大きな差は認めら
れない．また，同傾斜度において，初速度を増加させても旋回幅に大きな影響は認めら
れない．
以上のことから，等高線走行から斜面上方に旋回する場合は，容易に旋回を行えるが，
等高線走行から斜面下方に旋回する場合には，走行速度の増加やタイヤの舵角が不足す
るため，旋回が困難となることが示唆される．
67
表 7.1
初速度 0.5m/s の旋回幅
旋回幅(m)
車体位置
（deg）
傾斜度 10°
傾斜度 20°
0～180
4.1420
4.3506
180～360
3.8257
3.6396
90～270
4.0112
4.0475
270～450
4.0036
4.0222
表 7.2
初速度 1m/s の旋回幅
旋回幅(m)
車体位置
（deg）
傾斜度 10°
傾斜度 20°
0～180
4.1418
4.3482
180～360
3.8272
3.6449
90～270
4.0180
4.0627
270～450
4.0002
4.0124
68
7.3.
7.3.1.
等高線走行
概要
一般に，車両の等高線走行では，等高線方向の直進性を維持するために機体に作用す
る重力の傾斜下方成分による横すべりを打ち消す必要がある．車輪を操舵しない場合，
車両は斜面下方に向かって走行してしまう．そのため前進時には前輪を傾斜上方へ操舵
し，一定の舵角を保ち走行する．4WS 車両の特徴として，前後輪を逆位相および同位
相に操舵できることがあげられる．逆位相操舵では，前輪を斜面上方に操舵し，後輪を
斜面下方に操舵するため，車両の上向き偏角が急激に増大するため，頻繁に操舵の切り
返しを行わなければならない．一方，同位相操舵では，4 輪を斜面上方に同舵角で操舵
できるため，比較的安定して等高線に沿った走行ができると考えられる．2WS 車両に
おいても，前輪を一定舵角で斜面上方に操舵すれば等高線に沿った作業が可能だと考え
られるが，実際の作業現場ではオペレータが頻繁に舵角を切り替えて等高線走行を試み
ていることが報告されている 16)．
農業車両は，作業機をけん引して作業をすることが頻繁にある．傾斜地において等高
線走行を行う際，車両が横すべりを起こすと牽引される作業機も横すべりを起こし，高
い作業効率が得られないことが懸念される．そこで本項では，等高線走行時の 2WS 車
両と 4WS 車両の横すべりに注目し，操舵方式による等高線走行の適応性を調査する．
シミュレーション条件は 7.2 同様，傾斜度 10°と 20°とし，走行速度 1m/s で 15 秒
走行させた際の斜面上下方向の変位と車両の横すべり角について解析する．
7.3.2.
斜面上下方向の変位
等高線走行では一定の操舵角をタイヤに与えるが，実際は横すべりを起こしサイドフ
ォースが生じるため，車両は直進せず僅かに斜面上下方向に変位する．斜面上下方向の
変位を図 7.7 に示す．シミュレーションでは，斜面上下方向の変位が 0 となる操舵角を
設定するのは困難なため，経験的に変位が 0 となるような操舵角を任意に設定した．
4WS 車両の傾斜度 10°の操舵角は 4.25°，傾斜度 20°では 2.15°であり，2WS 車両の
傾斜度 10°の操舵角は 0.1°，傾斜度 20 度の操舵角は 0.3°である．4WS 車両では，傾
斜 10°，20°ともに直進 15m に対し斜面上下方向の変位は最大で約 0.05m である．2WS
車両では，直進 15m に対し斜面上下方向の変位は，傾斜 10°で 0.1m，傾斜 20°で 0.25m
であり，4WS 車両とり大きい．2WS 車両は，4 輪を同舵角に設定できる 4WS 車両と違
い，前輪のみ操舵するため，前輪の横すべり角が大きくなり，サイドフォースも大きく
なるので旋回を促進する傾向があるからだと考えられる．
69
0
-0.02 0
0.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
-0.04
0.08
z(m)
z(m)
-0.06
0.06
0.04
-0.08
-0.1
-0.12
-0.14
-0.16
0.02
-0.18
-0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Time(s)
9
Time(s)
10 11 12 13 14 15
（a） 傾斜面 10°，4WS
（b）傾斜面 10°，2WS
0
0.1
0
0.09
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-0.1
0.08
0.06
z(m)
z(m)
0.07
0.05
0.04
-0.2
-0.3
0.03
-0.4
0.02
0.01
-0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Time(s)
9
Time(s)
10 11 12 13 14 15
（a） 傾斜面 20°，4WS
（b）傾斜面 20°，2WS
図 7.7 斜面上下方向の変位
70
10 11 12 13 14 15
7.3.3.
横すべり角
等高線走行時の車体の横すべり角を図 7.8 に示す．4WS 車両の横すべり角は，傾斜
10°では約 0.43°，傾斜 20°では約 0.7°である．2WS 車両の横すべり角は，傾斜 10°
では約-1.4°，傾斜 20°では-3.2°であり，その絶対値は 4WS 車両より大きい．タイヤ
の横すべり角は，4WS 車両は 4 輪とも近い値であるのに対し，2WS 車両は前輪の横す
べり角が後輪より大きい．そのため前輪のサイドフォースが後輪より大きくなり旋回を
促す傾向がある．
車体の横すべり角が大きければ，等高線に対し車体が大きく傾く．作業機を装備した
トラクタなどの場合，等高線に対し車体が大きく傾けば，作業機も傾くため効率の良い
作業が困難になると考えられる．4WS 車両は，4 輪を同位相に操舵するという特徴があ
るため，等高線走行において車体の傾きが小さく 2WS 車両よりも効率の良い作業をす
ることが期待できる．ただし，操舵方式に関係なく，車両は横すべりを起こし斜面上下
方向に変位が生じるため，実際にオペレータが操舵する場合や，自動制御を行う場合は，
等高線に沿うように状況によって操舵角の切り替えを行う必要がある．
71
0
0.5
0.4
SlipAngle(deg)
SlipAngle(deg)
-0.2
0.3
0.2
0.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1.2
-1.4
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1.6
10 11 12 13 14 15
Time(s)
Time(s)
（b）傾斜面 10°，2WS
0.8
0
0.7
-0.5
0
AlipAngle(deg)
SlipAngle(deg)
（a） 傾斜面 10°，4WS
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-3.5
10 11 12 13 14 15
Time(s)
Time(s)
（a） 傾斜面 20°，4WS
図 7.8
（b）傾斜面 20°，2WS
横すべり角
72
10 11 12 13 14 15
結言
VIII.
8.1 結論
本研究では，従前の研究で得られたタイヤ特性データを基に直結型 4WS-4WS 車両の
3 次元シミュレーションを作成し，実機を用いた検証実験により，シミュレーションの
妥当性を確認した．また，定常円旋回する車両の挙動を解析するとともに，傾斜面での
旋回走行及び等高線走行の挙動についても解析した．解析の結果， 4WS-4WS 車両につ
いて以下のような知見が得られた．
定常円旋回する車両においては，走行速度や舵角が増加すると遠心力も増加するため，
それに釣り合うサイドフォースを得るため横すべり角が負になり，その絶対値が大きく
なる．サイドフォースは横すべり角が大きいほど大きくなる． 2WS 車両は前輪のみ操
舵するため，前輪の横すべり角の絶対値が大きく，サイドフォースが大きくなることで
強オーバステア特性となる．4WS 車両は前輪と後輪を逆位相で操舵するため，前輪と
後輪のサイドフォースの差は非常に小さく，僅かにアンダステア特性となる．また，4WS
車両は，内輪差が小さいためタイトコーナーブレーキング現象の影響が小さく駆動力は
旋回を促す方向に作用し，横すべりも小さいので，2WS 車両より旋回機動性に優れ，
低速で大舵角な旋回を要する作業に適した車両であることが確認された．
傾斜面で旋回する車両の挙動は，重力の斜面下方成分の影響を強く受ける．降坂状態
では，進行方向に重力の斜面下方成分が作用することで，走行速度が増加し，タイヤが
制動状態となり駆動力は負となる．走行速度の増加に伴い，遠心力も増加するので，タ
イヤはサイドフォースを得るために横すべり角を増加させる．一方，登坂状態では，進
行方向とは逆に重力の斜面下方成分が作用するため，走行速度が減少し，タイヤが駆動
状態となり駆動力は正となる．走行速度の減少に伴い，遠心力も減少し，重力の斜面下
方成分と釣り合おうとして，タイヤは横すべりを起こしサイドフォースは負となる．ま
た，登坂時には走行速度が減少し，重力の斜面下方成分が旋回を促す方向に作用するの
で，旋回は容易になるが，降坂時は走行速度が増加し重力の斜面下方成分が旋回を抑制
する方向に作用するので，旋回に要する距離は長くなり，舵角も不足するため旋回が困
難となる場合がある．傾斜度が大きくなるほど，その傾向は強くなるので旋回には注意
が必要である．
等高線走行では，4WS 車両は 4 輪を斜面上方に同位相に操舵することで，横すべり
を小さく抑えることができるため，斜面において作業機などを装備して，効率良く均一
な作業が可能である．
総じて，直結型 4WD-4WS 車両は，他の駆動-操舵形式より旋回走行に優れ，農作業
車両に求められる低速大舵角走行に非常に適した車両である．
73
8.2 展望
作業の効率化が求められる農業分野において，車両を自動化する場合は，シミュレー
ション解析で得られた知見を基に，操舵によりタイヤの横すべりの抑制や，タイヤ回転
数の制御，さらには車両の姿勢を検出するセンサなどと組み合わせることにより，複雑
な路面や傾斜地において車両が安定して走行可能なシステムの開発が求められる．
また，機動性に優れ小旋回可能な 4WS 車両は，圃場だけでなく，室内圃場や工場内，
福祉車両などに積極的に採用されることが期待される．
74
謝辞
本研究を行うにあたり，終始丁寧かつ熱心なご指導ご鞭撻を頂いた福島崇志助教授，
佐藤邦夫教授に厚く御礼を申し上げます．また，本論文をご精読いただきました村上克
介教授，陳山鵬教授に深く感謝いたします．最後になりましたが，応用環境情報学研究
室の先輩，同輩，後輩方のご支援に深く感謝いたします．
75
参考文献
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農 林 水 産 省 ． 農 業 労 働 力 に 対 す る 統 計 ． 農 林 水 産 省 Homepage
（http://www.maff.go.jp/j/tokei/sihyo/data/08.html）
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（2013 年 2 月現在）
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4)
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7)
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8)
清水信行，今西悦二郎，日本機械学会編．2007．マルチボディダイナミクス(1)，初
版．コロナ社，東京．146-150．
9)
清水信行，曽我部潔，日本機械学会編．2006．マルチボディダイナミクス(2)，初版．
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10)
FunctionBay K.K．2011．RecurDyn V7R5 リファレンスガイド．
11)
久保田理人，曽我部潔．2002．マルチボディダイナミクスにおける数値積分法の
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FunctionBay K.K．2012．ユーザーサブルーチン例題マニュアル．FunctionBayK.K
Homepage（http://www.functionbay.co.jp/）
13)
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14 木村圭祐．2011．4WD-4WS 車両の旋回特性の把握 ―単眼視による車両の 3 次元
挙動計測―．三重大学卒業論文．4-15
15)
本橋圀司，田中勝千，高橋俊行．1985．傾斜地への 4 輪駆動トラクター導入効果
調査．農業機械学会誌第 47 巻第 4 号．528-530．
16)
沈海，武田純一，鳥巣諒．2000．傾斜牧草地における自律走行トラクタ．計測制
御学会東北支部．第 187 回研究集会．資料番号 187-19
76
付録
2 次元シミュレーションのプログラムを掲載する．プログラム言語は MATLAB である．
ファイル名は VDP.m である．
clear all;
close all;
%駆動方式の選択
DS=input('Driving System? 1:4WD 2:FWD 3:RWD >>');
%①時間の設定
dt=0.01;
te=15;
t=0:dt:te;
%BodyのSpecification
spec=dlmread('spec.txt');
Mb=spec(1); WB=spec(2); TR=spec(3);
Mw=spec(4); Rw=spec(5); Ww=spec(6);
Lsl=spec(7);
%タイヤ特性データ読み込み
CoD=dlmread('Cd.txt');
CoS=dlmread('Cs.txt');
CoT=dlmread('Ct.txt');
BODY=[WB/2 WB/2 -WB/2 -WB/2 WB/2;
-TR/2 TR/2 TR/2 -TR/2 -TR/2];
W14=[Rw 0 0 0 -Rw -Rw Rw Rw;
Ww/2 Ww/2 Lsl Ww/2 Ww/2 -Ww/2 -Ww/2 Ww/2];
W23=[Rw -Rw -Rw 0 0 0 Rw Rw;
Ww/2 Ww/2 -Ww/2 -Ww/2 -Lsl -Ww/2 -Ww/2 Ww/2];
%②´拘束条件
%|body-i Xi Yi body-j Xj Yj|
Cr=[1 0 Lsl 5 WB/2 -TR/2;
2 0 -Lsl 5 WB/2 TR/2;
3 0 -Lsl 5 -WB/2 TR/2;
4 0 Lsl 5 -WB/2 -TR/2];
% Cs=[body-i body-j;...];
Cs=[1 5;
2 5;
3 5;
4 5];
%③質量マトリックス
M=MassMatrix(spec);
%④初期値
q=[WB/2; -TR/2-Lsl; 0;
77
WB/2; TR/2+Lsl; 0;
-WB/2; TR/2+Lsl; 0;
-WB/2; -TR/2-Lsl; 0;
0; 0; 0];
v0=input('Initial Velocity [m/s] ? ');
dq=[v0; 0; 0;
v0; 0; 0;
v0; 0; 0;
v0; 0; 0;
v0; 0; 0;];
ddq=zeros(15,1);
Om=v0/Rw;
Ome=[v0/Rw; v0/Rw; v0/Rw; v0/Rw];
%④’ステアリングデータ
SAData=dlmread('SADr3.txt');
j=1; k=1;
X(1,:)=q'; time(1)=0;
Out(1,:)=zeros(1,33);
%ルンゲクッタ法
for t=0:dt:te-dt
SAD=SAData(j,:);
k1_q=dt*dq;
[kk,Ome,OP]=difeq(t,q,dq,ddq,M,spec,SAD,Ome,CoD,CoS,CoT,Cr,Cs,Om,DS);
k1_dq=dt*kk(1:15);
j=j+1;
SAD=SAData(j,:);
k2_q=dt*(dq+k1_dq/2);
[kk,Ome,OP]=difeq(t+dt/2,q+k1_q/2,dq+k1_dq/2,ddq,M,spec,SAD,Ome,CoD,CoS,CoT,Cr,Cs,Om,DS);
k2_dq=dt*kk(1:15);
k3_q=dt*(dq+k2_dq/2);
[kk,Ome,OP]=difeq(t+dt/2,q+k2_q/2,dq+k2_dq/2,ddq,M,spec,SAD,Ome,CoD,CoS,CoT,Cr,Cs,Om,DS);
k3_dq=dt*kk(1:15);
j=j+1;
SAD=SAData(j,:);
k4_q=dt*(dq+k3_dq);
[kk,Ome,OP]=difeq(t+dt,q+k3_q,dq+k3_dq,ddq,M,spec,SAD,Ome,CoD,CoS,CoT,Cr,Cs,Om,DS);
k4_dq=dt*kk(1:15);
q=q+(k1_q+2*k2_q+2*k3_q+k4_q)/6;
dq=dq+(k1_dq+2*k2_dq+2*k3_dq+k4_dq)/6;
ddq=((k1_dq+2*k2_dq+2*k3_dq+k4_dq)/6)/dt;
t
k=k+1;
78
X(k,:)=q';
time(k)=t;
Out(k,:)=OP;
end
Tout=[time' X Out];
save Output.txt Tout -ascii -tabs;
save Body.txt BODY -ascii -tabs;
Wheel=[W14;W23];
save Wheel.txt Wheel -ascii -tabs;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ファイル名はA.mである．
%回転行列
function Aout=A(q,i)
Aout=[cos(q(3*i)) -sin(q(3*i));
sin(q(3*i)) cos(q(3*i))];
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ファイル名はMassMatrix.mである．
%質量マトリックス
function M=MassMatrix(spec)
Mb=spec(1); WB=spec(2); TR=spec(3);
Mw=spec(4); Rw=spec(5); Ww=spec(6);
MM=[];
for i=1:4
MM=[MM Mw Mw (Rw^2/4+Ww^2/12)*Mw];
end
MM=[MM Mb Mb Mb/3*(WB^2+TR^2)];
M=diag(MM);
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ファイル名はConstrait.mである．
%拘束条件式の微分
function [F,Fq,Fqq]=Constrait(q,dq,Cr,Cs,SAD)
79
SA=SAD(1:4); dSA=SAD(5:8); ddSA=SAD(9:12);
N=length(Cr(:,1));
col=length(q);
F=[]; Fq=[]; Fqq=[]; Ft=[];
for k=1:N
i=Cr(k,1); j=Cr(k,4);
ip=A(q,i)*[Cr(k,2);Cr(k,3)];
jp=A(q,j)*[Cr(k,5);Cr(k,6)];
Fcal=[q(3*i-2);q(3*i-1)]+ip...
-([q(3*j-2);q(3*j-1)]+jp);
F=[F;Fcal];
Fqcal1=zeros(1,col); Fqcal2=zeros(1,col);
Fqcal1(3*i-2)=1;
Fqcal1(3*i)=-ip(2);
Fqcal1(3*j-2)=-1;
Fqcal1(3*j)=jp(2);
Fqcal2(3*i-1)=1;
Fqcal2(3*i)=ip(1);
Fqcal2(3*j-1)=-1;
Fqcal2(3*j)=-jp(1);
Fq=[Fq;Fqcal1;Fqcal2];
Fqqcal=[ip(1)*dq(3*i)^2-jp(1)*dq(3*j)^2;
ip(2)*dq(3*i)^2-jp(2)*dq(3*j)^2];
Fqq=[Fqq;Fqqcal];
Ft=[Ft;0;0];
end
N=length(Cs(:,1));
for k=1:N
Fs=q(3*Cs(k,1))-q(3*Cs(k,2))-SA(k);
F=[F;Fs];
Fqs=zeros(1,col);
Fqs(3*Cs(k,1))=1; Fqs(3*Cs(k,2))=-1;
Fq=[Fq;Fqs];
Fqq=[Fqq;-ddSA(k)];
Ft=[Ft;-dSA(k)];
end
%Baumgarte
al=10;
be=10;
Fqq=Fqq-2*al*(Fq*dq+Ft)-be^2*F;
end
80
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ファイル名はSlipAngle.mである．
%横すべり角
function B=SlipAngle(dq,q)
for i=1:5
V=A(q,i)'*[dq(3*i-2);dq(3*i-1)];
B(i)=-atan(V(2)/V(1));
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ファイル名はSlipRate.mである．
%すべり率
function S=SlipRate(spec,dq,Ome)
Rw=spec(5);
for i=1:4
vt=Rw*Ome(i);
vw=sqrt(dq(3*i-2)^2+dq(3*i-1)^2);
if (vt<vw)
S(i)=(vt-vw)/vw;
else
S(i)=(vt-vw)/vt;
end
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ファイル名はGCF.mである．
%接地反力
function R=GCF(spec,q,ddq)
Mb=spec(1); WB=spec(2); TR=spec(3); Mw=spec(4);
h=0.3;
g=9.80665;
81
a=A(q,5)'*[ddq(13);ddq(14)];
R(1)=Mb*g/4-Mb*a(1)*h/(2*WB)+Mb*a(2)*h/(2*TR)+Mw*g;
R(2)=Mb*g/4-Mb*a(1)*h/(2*WB)-Mb*a(2)*h/(2*TR)+Mw*g;
R(3)=Mb*g/4+Mb*a(1)*h/(2*WB)-Mb*a(2)*h/(2*TR)+Mw*g;
R(4)=Mb*g/4+Mb*a(1)*h/(2*WB)+Mb*a(2)*h/(2*TR)+Mw*g;
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ファイル名はDriveForce.mである．
%駆動力
function DF=DriveForce(CoD,S,B,R)
Nj=length(CoD(:,1));
Nk=length(CoD(1,:));
for i=1:4
D=0;
for j=1:Nj
for k=1:N
D=D+CoD(j,k)*S(i)^(j-1)*abs(B(i)^(k-1));
end
end
DF(i)=D*R(i);
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ファイル名はSideForce.mである．
%サイドフォース
function SF=SideForce(CoS,S,B,R)
Nj=length(CoS(:,1));
Nk=length(CoS(1,:));
for i=1:4
D=0;
for j=1:Nj
for k=1:Nk
D=D+CoS(j,k)*S(i)^(j-1)*abs(B(i)^(k-1));
end
82
end
SF(i)=D*R(i)*sign(B(i));
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ファイル名はTorque.mである．
%トルク
function f=Torque(GRF,B,S,CoefTo)
N=size(CoefTo,1);
f=zeros(4,1);
for i=1:4
for j=1:N
for k=1:5
f(i)=f(i)+CoefTo(j,k)*S(i)^(j-1)*abs(B(i)^(k-1));
end
end
f(i)=f(i)*GRF(i);
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ファイル名はExForce.mである．
%外力
function QA=ExForce(q,DF,SF)
QA=zeros(15,1);
for i=1:4
QA(3*i-2:3*i-1)=A(q,i)*[DF(i);SF(i)];
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ファイル名はDef.mである．
%ディファレンシャル
function [S,Ome,To]=Def(dq,Ome,spec,GRF,B,Om,CoefTo,DS)
h=Ome/1000;
83
Ja=zeros(4,4);
count=0;
FF=func(dq,Ome,spec,GRF,B,Om,CoefTo,DS)'*func(dq,Ome,spec,GRF,B,Om,CoefTo,DS);
while(count<1000)
% Jacobian
F2=func(dq,Ome,spec,GRF,B,Om,CoefTo,DS);
for i=1:4
for j=1:4
ha=zeros(4,1);
ha(j)=h(j);
F1=func(dq,Ome+ha,spec,GRF,B,Om,CoefTo,DS);
Ja(i,j)=(F1(i)-F2(i))/h(j);
end
end
JJ=Ja'*Ja;
JF=Ja'*F2;
Own=Ome-JJ¥JF;
F=func(dq,Own,spec,GRF,B,Om,CoefTo,DS)'*func(dq,Own,spec,GRF,B,Om,CoefTo,DS);
if (F<FF)
FF=F;
Ome=Own;
else
break;
end
count=count+1;
end
S=SlipRate(spec,dq,Ome);
To=Torque(GRF,B,S,CoefTo);
end
function F=func(dq,Ome,spec,GRF,B,Om,CoefTo,DS)
S=SlipRate(spec,dq,Ome);
To=Torque(GRF,B,S,CoefTo);
switch(DS)
case 1
F=[To(1)-To(2);
To(3)-To(4);
Ome(1)+Ome(2)-2*Om;
Ome(3)+Ome(4)-2*Om];
case 2
F=[To(1)-To(2);
To(3);
To(4);
84
Ome(1)+Ome(2)-2*Om];
case 3
F=[To(1);
To(2);
To(3)-To(4);
Ome(3)+Ome(4)-2*Om];
end
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ファイル名はdefeq.mである．
%拡大法
function [X,Ome,OTH]=difeq(t,q,dq,ddq,M,spec,SAD,Ome,CoD,CoS,CoT,Cr,Cs,Om,DS)
Mb=spec(1); WB=spec(2); TR=spec(3);
Mw=spec(4); Rw=spec(5); Ww=spec(6);
Lsl=spec(7);
R=GCF(spec,q,ddq);
B=SlipAngle(dq,q);
[S,Ome,To]=Def(dq,Ome,spec,R,B,Om,CoT,DS);
DF=DriveForce(CoD,S,B,R);
SF=SideForce(CoS,S,B,R);
[F,Fq,Fqq]=Constrait(q,dq,Cr,Cs,SAD);
QA=ExForce(q,DF,SF);
Nfq=length(F);
AA=[M Fq';Fq zeros(Nfq,Nfq)];
BB=[QA;Fqq];
X=AA¥BB;
OTH=[SAD(1:4) DF SF To' B S R Ome'];
end
85
3 次元シミュレーションのプログラムを掲載する．プログラム言語は C++である．
ファイル名はt12_dtである．
#include "DllFunc.h"
#include "Math.h"
#include <iostream>
#include <fstream>
extern "C" {
double SlipAngle(double x, double z);
double SlipRate(double x, double z, double w);
double Torque(double s, double b, double r);
double DriveForce(double s, double b, double r);
double SideForce(double s, double b, double r);
__declspec(dllexport) void __cdecl screw_force
(double time, double upar[], int npar, int jflag, int iflag, double result[6])
{
using namespace rd_syscall;
// Parameter Information
//
time: Simulation time of RD/Solver
//
upar: Parameters defined by user
//
npar: Number of user parameters
//
jflag: When RD/Solver evaluates a Jacobian, the flag is true.
//
iflag: When RD/Solver initializes arraies, the flag is true.
//
result: Returned force vector[6]
// User statement
int cf1, VX1, VZ1, cf2, VX2, VZ2, errflg,W;
double vx1,vz1,B1,S1,R1,T1,vx2,vz2,B2,S2,R2,T2,DF,SF,w,w2,w1,
R,tol,A,B,C,D,f1,f2,S1_C,S2_C,T1_C,T2_C,S1_D,S2_D,T1_D,T2_D;
static double w_eng;
cf1 = (int) upar[0];
//contact force
VX1 = (int) upar[1];
//velocity of tire
VZ1 = (int) upar[2];
//velocity of tire
cf2 = (int) upar[3];
//contact force
VX2 = (int) upar[4];
//velocity of tire
VZ2 = (int) upar[5];
//velocity of tire
W = (int) upar[6];
sysfnc("VARVAL", &cf1, 1 ,&R1, &errflg);
sysfnc("VARVAL", &VX1, 1 ,&vx1, &errflg);
sysfnc("VARVAL", &VZ1, 1 ,&vz1, &errflg);
sysfnc("VARVAL", &cf2, 1 ,&R2, &errflg);
sysfnc("VARVAL", &VX2, 1 ,&vx2, &errflg);
sysfnc("VARVAL", &VZ2, 1 ,&vz2, &errflg);
sysfnc("VARVAL", &W, 1 , &w1, &errflg);
86
B1=SlipAngle(vx1,vz1);
B2=SlipAngle(vx2,vz2);
//黄金分割法による最適化
if(time<1)
{ w1=1/0.2685;
w_eng=1/0.2685;
}
else {
w=w1;
R=(3-sqrt(5*1.0))/2;
tol=1.0e-5;
A=w*0.9;
B=w*1.1;
C=A+R*(B-A);
D=B-R*(B-A);
S1_C=SlipRate(vx1,vz1,C);
S2_C=SlipRate(vx2,vz2,2*w_eng-C);
T1_C=Torque(S1_C,B1,R1);
T2_C=Torque(S2_C,B2,R2);
f1=(T1_C-T2_C)*(T1_C-T2_C);
S1_D=SlipRate(vx1,vz1,D);
S2_D=SlipRate(vx2,vz2,2*w_eng-D);
T1_D=Torque(S1_D,B1,R1);
T2_D=Torque(S2_D,B2,R2);
f2=(T1_D-T2_D)*(T1_D-T2_D);
while(fabs(C-D) > tol)
{
if(f1 > f2)
{
A=C;
C=D;
D=B-R*(B-A);
f1=f2;
S1_D=SlipRate(vx1,vz1,D);
S2_D=SlipRate(vx2,vz2,2*w_eng-D);
T1_D=Torque(S1_D,B1,R1);
T2_D=Torque(S2_D,B2,R2);
f2=(T1_D-T2_D)*(T1_D-T2_D);
87
}else{
B=D;
D=C;
C=A+R*(B-A);
f2=f1;
S1_C=SlipRate(vx1,vz1,C);
S2_C=SlipRate(vx2,vz2,2*w_eng-C);
T1_C=Torque(S1_C,B1,R1);
T2_C=Torque(S2_C,B2,R2);
f1=(T1_C-T2_C)*(T1_C-T2_C);
}
}
if(f1<f2)
else
w1=C;
w1=D;
}
w2=2*w_eng-w1;
S1=SlipRate(vx1,vz1,w1);
S2=SlipRate(vx2,vz2,w2);
T1=Torque(S1,B1,R1);
T2=Torque(S2,B2,R2);
result[0]=w1;
result[1]=w2;
result[2]=0;
result[3]=T1;
result[4]=T2;
result[5]=0;
}
double SlipAngle(double x, double z)
{
return -atan2(z,x);
}
double SlipRate(double x, double z, double w)
{
double r,vt,v,s;
r=0.2685;
vt=r*w;
v=sqrt(pow(x,2)+pow(z,2));
if(vt<v)
s=(vt-v)/v;
else
88
s=(vt-v)/vt;
if(fabs(s)>0.2)
s=0.2*(s/fabs(s));
return s;
}
double DriveForce(double s, double b, double r)
{
using namespace std;
int i, j, k, l;
double a[17][5], d;
ifstream fin("Cd.txt");
for(int i=0; i<17; i++){
for(int j=0; j<5; j++){
fin >> a[i][j];
}
}
fin.close();
d=0;
for(k=0;k<17;k++){
for(l=0;l<5;l++){
d=d+a[k][l]*pow(s,k)*fabs(pow(b,l));
}
}
return d*r;
}
double SideForce(double s, double b, double r)
{
using namespace std;
int i, j, k, l;
double a[15][5], d,sf;
ifstream fin("Cs.txt");
for(int i=0; i<15; i++){
for(int j=0; j<5; j++){
fin >> a[i][j];
}
}
fin.close();
89
d=0;
for(k=0;k<15;k++){
for(l=0;l<5;l++){
d=d+a[k][l]*pow(s,k)*fabs(pow(b,l));
}
}
if(b==0){
sf=0;}
else{
sf=d*r*(b/(fabs(b)));
}
return sf;
}
double Torque(double s, double b, double r)
{
using namespace std;
int i, j, k, l;
double a[17][5], d,t;
ifstream fin("Ct.txt");
for(int i=0; i<17; i++){
for(int j=0; j<5; j++){
fin >> a[i][j];
}
}
fin.close();
d=0;
for(k=0;k<17;k++){
for(l=0;l<5;l++){
d=d+a[k][l]*pow(s,k)*fabs(pow(b,l));
}
}
t=d*r;
return t;
}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
ファイル名はDFSF13_simpleである．
#include "DllFunc.h"
#include "Math.h"
90
#include <iostream>
#include <fstream>
extern "C" {
double SlipAngle(double x, double z);
double SlipRate(double x, double z, double w);
/*double Torque(double s, double b, double r);*/
double DriveForce(double s, double b, double r);
double SideForce(double s, double b, double r);
__declspec(dllexport) void __cdecl screw_force
(double time, double upar[], int npar, int jflag, int iflag, double result[6])
{
using namespace rd_syscall;
// Parameter Information
//
time: Simulation time of RD/Solver
//
upar: Parameters defined by user
//
npar: Number of user parameters
//
jflag: When RD/Solver evaluates a Jacobian, the flag is true.
//
iflag: When RD/Solver initializes arraies, the flag is true.
//
result: Returned force vector[6]
// User statement
int cf, VX, VZ, W, errflg;
double vx,vz,B,S,R,DF,SF,w;
cf = (int) upar[0];
//contact force
VX = (int) upar[1];
//velocity of tire
VZ = (int) upar[2];
//velocity of tire
W = (int) upar[3];
sysfnc("VARVAL", &cf, 1 ,&R, &errflg);
sysfnc("VARVAL", &VX, 1 ,&vx, &errflg);
sysfnc("VARVAL", &VZ, 1 ,&vz, &errflg);
sysfnc("VARVAL", &W, 1 ,&w, &errflg);
if(time<1)
w=1/0.2685;
B=SlipAngle(vx,vz);
S=SlipRate(vx,vz,w);
DF=DriveForce(S,B,R);
SF=SideForce(S,B,R);
result[0]=DF;
result[1]=0;
result[2]=SF;
91
result[3]=0;
result[4]=0;
result[5]=0;
}
double SlipAngle(double x, double z)
{
return -atan2(z,x);
}
double SlipRate(double x, double z, double w)
{
double r,vt,v,s;
r=0.2685;
vt=r*w;
v=sqrt(pow(x,2)+pow(z,2));
if(vt<v)
s=(vt-v)/v;
else
s=(vt-v)/vt;
if(fabs(s)>0.2)
s=0.2*(s/fabs(s));
return s;
}
double DriveForce(double s, double b, double r)
{
using namespace std;
int i, j, k, l;
double a[17][5], d;
ifstream fin("Cd.txt");
for(int i=0; i<17; i++){
for(int j=0; j<5; j++){
fin >> a[i][j];
}
}
fin.close();
d=0;
for(k=0;k<17;k++){
for(l=0;l<5;l++){
d=d+a[k][l]*pow(s,k)*fabs(pow(b,l));
}
92
}
return d*r;
}
double SideForce(double s, double b, double r)
{
using namespace std;
int i, j, k, l;
double a[15][5], d,sf;
ifstream fin("Cs.txt");
for(int i=0; i<15; i++){
for(int j=0; j<5; j++){
fin >> a[i][j];
}
}
fin.close();
d=0;
for(k=0;k<15;k++){
for(l=0;l<5;l++){
d=d+a[k][l]*pow(s,k)*fabs(pow(b,l));
}
}
if(b==0){
sf=0;}
else{
sf=d*r*(b/(fabs(b)));
}
return sf;
}
93