第 4 回演習 第 4 回演習問題：テキスト p.22 問題 B 2

微分積分 1 及び演習 (1MM 区分 3, 1MP 区分 3) 第 4 回演習
第 4 回演習問題：テキスト p.22 問題 B 2.(1)∼(4)，p.22 問題 B 3.(1)∼(4) と次の追加問題 1.,2. です．
p.22 問題 B 2.(1)∼(4) については x = 1 における接線の方程式を求めて関数と接線のグラフも描け
(ヒント)：p.22 問題 B 2.(1)∼(4) は下の例題 1 を参考にせよ．p.22 問題 B 3.(1)∼(4) は裏面の例題 2
を参考にせよ．
提出期限と場所：10 月 29 日 (火) 授業開始時に教室にて回収する．
注意：演習用紙には，答えだけでなく，答えに至る計算過程や理由を必ず記入する事．
eh − 1
= 1 を用いて，定義に従って，f (x) = ex を微分せよ．
h→0
h
(ヒント) 裏面の例題 3 を参考にせよ．指数法則 ex+h = ex eh を用いる．
追加問題 1. 極限値 lim
sin h
= 1 を用いて，定義に従って，f (x) = sin x を微分せよ．
h→0 h
(ヒント) 裏面の例題 3 を参考にせよ．sin x の加法定理を用いる．
追加問題 2. 極限値 lim
例題 1. 次の関数の x = 1 における微分係数を定義に従って求めよ．また，x = 1 における接線の方
程式を求めて関数と接線のグラフも描け．
y = 4x − x2
(解答例) x = 1 における微分係数はテキスト p.18 の公式 (4.1) または (4.1)’ を用いて求める．接線の
方程式は p.19 の公式 (4.2) を用いて求める．
f (x) = 4x − x2 とおく．x = 1 における微分係数 f 0 (1) は，p.18 の公式 (4.1)’ を用いると
f (1 + h) − f (1)
{4(1 + h) − (1 + h)2 } − (4 · 1 − 12 )
= lim
h→0
h→0
h
h
4 + 4h − 1 − 2h − h2 − 3
2h − h2
= lim
= lim
h→0
h→0
h
h
h(2 − h)
= lim
= lim (2 − h) = 2 − 0 = 2
h→0
h→0
h
f 0 (1) = lim
x = 1 における接線の方程式は，p.19 の公式 (4.2) を用いて
y − f (1) = f 0 (1)(x − 1) ⇔ y − (4 · 1 − 12 ) = 2(x − 1) ⇔ y − 3 = 2(x − 1) ⇔ y = 2x + 1
関数と接線のグラフは
y = 2x + 1
y
3
y = 4x − x2
O
x
1
1
例題 2. 次の関数の導関数を定義に従って求めよ．
y = 4x − x2
(解答例) 導関数はテキスト p.20 の公式 (4.3) を用いて求める．
f (x) = 4x − x2 とおく．導関数 f 0 (x) は，p.20 の公式 (4.3) を用いると
f (x + h) − f (x)
{4(x + h) − (x + h)2 } − (4x − x2 )
= lim
h→0
h→0
h
h
2
2
2
4x + 4h − x − 2xh − h − 4x + x
4h − 2xh − h2
= lim
= lim
h→0
h→0
h
h
h(4 − 2x − h)
= lim
= lim (4 − 2x − h) = 4 − 2x − 0 = 4 − 2x
h→0
h→0
h
f 0 (x) = lim
従って，y 0 = f 0 (x) = 4 − 2x.
sin h
= 1 を用いて，定義に従って，f (x) = cos x を微分せよ．
h→0 h
(解答例) 「f (x) = cos x を微分せよ」とは「f (x) = cos x の導関数を求めよ」という事を意味しま
す．導関数はテキスト p.20 の公式 (4.3) を用いて求める．
f (x) = cos x とおく．cos x の加法定理より
例題 3. 極限値 lim
f (x + h) = cos(x + h) = cos x cos h − sin x sin h
よって，
f (x + h) − f (x)
cos x cos h − sin x sin h − cos x
= lim
h→0
h→0
h
h {
{
}
}
cos h − 1
sin h
(cos h − 1)(cos h + 1)
sin h
= lim cos x ·
− sin x ·
= lim cos x ·
− sin x ·
h→0
h→0
h
h
h(cos h + 1)
h
{
}
− sin2 h
sin h
= lim cos x ·
− sin x ·
(∵ cos2 h − 1 = − sin2 h)
h→0
h(cos h + 1)
h
}
{
sin h
sin h 2 −h
= lim cos x · (
)
− sin x ·
h→0
h
cos h + 1
h
−0
= cos x · 12 ·
− sin x · 1 = − sin x
1+1
f 0 (x) = lim
従って，f 0 (x) = − sin x.
2