進化ゲーム

本日の範囲
第12回目
z進化ゲーム
進化ゲ ム
`
`
前回のQuiz解説
進化ゲーム
`
`
ゲーム理論
ゲ
論
概念と例示
進化的に安定な戦略(ESS)
`
練習問題
`
7/12 期末試験
`
出題範囲：6,7,8,11章
`
火曜 ２限 2011.07.05
`
`
高木英至
1
`
`
`
`
`
`
練習問題8-1 (1)
プロジェクトが成功したときのボーナスb=160
労働者のＨ選択時の成功確率 p
`
インセンティブ両立条件は
p(w+b-100)+(1-p)(w-100) ≧w-20
`
⇒ pb+w-100) ≧w-20 ⇒ p≧1/2
参加条件は 160p+w-100≧0
両条件を満たす(w,p)の集合
={(w,p)| p≧1/2かつ160p+w-100≧0}
成功
A
P
w
A
H
p
1が２つの情報構造でm1、2が常にa1、はナッシュ
均衡点
しかし 2のa1は常に最適ではない
しかし、2のa1は常に最適ではない
⇒ このナッシュ均衡点は完全ベイジアン均衡点で
はない １ m1 1 2
`
t1
偶然
600-w-b w+b-100
受諾
m2
1 2
a2
m2
-w w-100
-w w-20
２ a1
m1
t2
1-p
受諾
a1
失敗
L
拒否
3
テキストの記載が分かり、Quizができれ
ば正解できる程度
2
前回のQuiz解答例
`
用語解説問題１問
普通の問題 ３or４問
0 0
拒否
a2
0 0
0 1
-1 0
2 1
4
1
練習問題8-1 (2)
練習問題8-2 (1)
2はいかなる予想に対してもa2が最適
1は、t1ではm1、t2ではm2
完全ベイジ
完全ベイジアン均衡点
均衡点
`
`
`
`
(M,R,R)はナッシュ均衡点
`
(M R R)は完全ベイジアン均衡点
(M,R,R)は完全ベイジアン均衡点
`
`
1 2
１ m1
１人だけ変更しても有利にならない
すべての情報構造に到達し、何れでも最適
1
2
-1 10 0
L
t1
受諾
m2
偶然
２ a1
1 2
m1
t2
a2
m2
a1
拒否
L
0 0
M
0 1
-1 0
R
L
3
0 2 10
L
000
R
R
L
311
2 1
a2
R
R
5
進化ゲーム（第１１章）
(R,R,L)はナッシュ均衡点
しかし、完全ベイジアン均衡点ではない
`
`
x:２の情報構造で下の位置になる確率、y:３の情報構造で下の位
x:２の情報構造で下の位置になる確率
y:３の情報構造で下の位
置になる確率としたとき、x=yとはならない ⇒ ２と３の選択
の最適性条件を満たす予想は存在しない
1
2
L
R
M
R
L
生物行動への説明（Maynard Smith）
社会科学全般での普及→１１章４、Axelrod
重 概念
重要概念
`
`
`
`
`
-1 10 0
L
`
3
0 2 10
L
000
R
R
311
R
適応度(fitness)
突然変異(mutation)
自然選択(natural selection)
定常状態
`
L
7
5 2 10
6
練習問題8-2 (2)
`
205
015
`
`
205
015
`
`
5 2 10
戦略の進化の結果
単型集団 － 純戦略、単一タイプ
多型集団 － 混合戦略、複数タイプ
共進化(co-evplution)：接触のある複数の集団それぞれ
での進化
8
2
例11.1 囚人のジレンマ
例11.2
協力
協力タイプ
`
`
協力
比率 x
裏切りタイプ
`
`
比率 1-x
集団内の行動の分
布にかかわらず、
裏切りタイプが増
える
`
裏切り
2
2
3
Win
-1
-1
1
0
`
3
`
0
3
2
裏切りタイプ
プ
1
協力タイプ
`
0
0
1.0
協力タイプの比率
-2
タカ-ハト・ゲーム
例11.4
ハト
ハト・タイプ
`
`
`
ハト
比率 x
タカ・タイプ
`
`
Mac
0
0
0
0
4
4
5
4
3
マッキントッシュ
ウィンドウズ
2
1
0
0
2/3 1.0
ウィンドウズの比率
10
例11.3
`
歴史経路依存性
2
2
比率 1-x
x=2/3 を境に、何れ
かのタイプが優勢にな
って行く
初期値が2/3より大か
小かで進化の結果が異
なる
`
9
Win
比率 x
マックのタイプ
`
`
Mac
ウィンドウズのタイプ
`
4
-1
システム選択
裏切り
タカ
比率 1-x
混合戦略のナッシュ均
衡点(x=1/2)に収束
このナッシュ均衡点は
「進化的に安定」
2
3
女性
野球
タカ
2
1
1
0
3
`
3
`
タカ
`
`
0
野球タイプ比率 y
混合戦略のナッシュ均衡
点(x=2/3)に収束
ナッシュ均衡点(x,y)は
`
ハト
野球タイプ比率 x
女性集団
`
`
2
男性集団
`
0
1
11
`
4
0
男性と女性の争いにおける共進化
純戦略(1.0,1.0)と(0,0)
純戦略(1
0 1 0)と(0 0)
混合戦略(2/3,1/3)
純戦略ナッシュ均衡点が
「進化的に安定」
1/2 1.0
ハトの比率
男
性
野球
2
バレエ
0
1
0
女性の
最適応答
0
1
0
2
2/3
1.0
y
男性の 1/3
最適応答
0
12
バレエ
x
1.0
3
進化的に安定な戦略(ESS)
`
Evolutionarily Stable Strategy
`
全員がある戦略 s* を選択する定常状態を仮定
突然変異した戦略 t が比率 ε で出現、とする
この状態を便宜上、(1-ε)s*+εt と表記
`
`
`
`
`
定理11.1 ESSである戦略s*の組はナッシュ均
衡点である
戦略s*の適応度（利得）：u(s*, (1-ε)s*+εt)
戦略 t の適応度（利得）：u(t, (1-ε)s*+εt)
s*
`
戦略s*がESSであるとは、
`
`
s*
t
s**
t
s*
s*
s*
s*
s*
13
t
t
u(s*,
( , ((1-ε)s*+εt)
)
) > u(t,
( , ((1-ε)s*+εt)
)
)、つまり
まり
どんなに小さなε(>0)に対しても
` (1-ε)u(s*, s*) + εu(s*, t) > (1-ε)u(t, s*) + εu(t, t)
s*
14
…授業はこれでおしまい
…次回(7/12)は期末試験です。
15
4